Динамика гибких связей переменной длины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Панфилов, Дмитрий Игоревич

• Панфилов, Дмитрий Игоревич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Панфилов, Дмитрий Игоревич

ГЛАВА 1

Задача о динамической размотке нити

§1. Математическая модель процесса размотки нити с катушки

§2. Получение решения

§3. Предельный случай размотки нити при нулевой начальной длине

§4. Анализ устойчивости полученного решения

§5. Основные результаты

ГЛАВА 2

Скользящий удар по гибкой растяжимой нити. Теория и эксперимент

§1. Математическое моделирование скользящего удара по гибкой растяжимой нити. Задача о внезапном движении вынужденного разрыва вдоль нити

§2.Результаты эксперимента

§3. Сравнение теории и эксперимента

§4. Заключение

ГЛАВА 3

Задача о динамическом прогибе балки

§1. Задача о влиянии скорости подвижной нагрузки на изгиб натянутой балки

§2. Верификация эксперимента

§3. Заключение

Основные результаты диссертации

Приложение 1

Переход к безразмерным переменным в задаче о динамической размотке нити

Приложение 2

Замена переменных, обеспечивающая стационарность граничных условий в задаче о динамической размотке нити

Приложение 3

Преобразование Лапласа

Приложение 4

Нахождение аналитического решения для образов в задаче о динамической размотке нити

Приложение 5

Обратное преобразование Лапласа

Приложение 6

Проверка начальных и граничных условий в задаче о динамической размотке нити

Приложение 7

Вывод системы уравнений, описывающих динамический прогиб балки под действием подвижной нагрузки

Приложение 8

Нахождение точного аналитического решения задачи о динамическом прогибе балки методом разделения переменных

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика гибких связей переменной длины»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Издавна тросы, канаты, нити являются одним из основных конструктивных элементов многих механизмов и тем самым, также как и колесо, являются значимыми техническими факторами развития цивилизации. При математическом моделировании нить является идеальным одномерным объектом, движущимся в пространстве. При этом даже при упругом поведении материала нити, уравнения движения являются геометрически нелинейными в силу больших перемещений и поворотов. Одномерность нити, в силу своей простоты в моделировании, позволяет решать нелинейные задачи с большими скоростями движения и деформациями и при этом получать хорошее первое приближение решения реальной физической задачи. Учет жёсткости изгиба, как правило, необходим лишь в областях с большим радиусом кривизны.

Во многих устройствах длина рабочего участка троса (нити) меняется во времени. Примером могут служить широко известные устройства, такие как лифты, подъемные краны, канатные дороги и т.д. Задачи с движением участков нити переменной длины характерны для многих технологий текстильной промышленности. Между тем изменение свободного участка нити ведет к изменению набора ее собственных частот. В механике известно явление параметрического резонанса, когда внешние возмущения малой амплитуды могут привести к потере устойчивости. Для нити переменной длины скорость движения ее подвижной границы, или скорость движения вдоль нити внешней возмущающей связи, могут привести к аналогичным последствиям - росту амплитуды колебаний. Данный факт может иметь решающее значение для возникновения резонанса - увеличения амплитуды колебаний. В некоторых случаях, резонанс может иметь положительное значение. Например, гитарист, изменяя длину свободного участка струны, не только меняет собственные частоты колебаний, но может индуцировать наступление события резонанса, тем самым увеличивая громкость звучания гитары. В технических приложениях резонанс, как правило, не приемлем, так как может привести к разрушению конструкции. Рост амплитуды колебаний вследствие движения границ нити - один из аспектов, которому уделялось особое внимание при написании диссертации.

Другой отличительной особенностью нити является наличие в ней двух типов волн -продольных и поперечных. Причём, если скорость продольных волн определяется материалом нити, то скорость поперечных волн определяется величиной натяжения и может

регулироваться. Уменьшая натяжение нити, скорость поперечных волн также снижается. Таким образом, при фиксированной скорости подвижной нагрузки можно добиться сверхзвуковых режимов её движения, когда скорость данной нагрузки больше скорости поперечных волн. Это обстоятельство дает возможность исследования интересной теоретически и важной для практики задачи, когда движущаяся вдоль нити нагрузка переходит с дозвуковой (по отношению к скорости поперечных волн) скорости - к сверхзвуковой скорости. Аналогичные задачи возникают в теории упругости при движении штампа вдоль свободной поверхности, а также в газовой динамике при переходе летящего тела из дозвукового в сверхзвуковой режим. При этом в процессе решения стационарных задач меняется тип уравнений (эллиптический на гиперболический). Переход через критическую скорость в различных средах представляет важную научную ценность. Именно поэтому в последнее время целый ряд работ посвящен теоретическим исследованиям контактных задач о движении нагрузки вдоль нити. Между тем экспериментальное моделирование данного процесса является достаточно сложным в силу высокой скорости распространения волн в твердых телах. Поэтому экспериментальные исследования по данной тематике в научной литературе практически отсутствуют. В данной диссертационной работе помимо теоретического произведено также экспериментальное моделирование процесса перехода движущегося ролика через скорость поперечных волн для резины.

В последней главе рукописи рассмотрена задача о балке как более сложного объекта, имеющего жесткость на изгиб и, как следствие, конечные радиусы кривизны возникающих изломов. Балка, позволяет получить решение, более точно описывающее процессы, происходящие в тросах и канатах, так как реальные объекты имеют изгибную жесткость. Модель идеальной нити данной характеристики не рассматривает, так как в этой модели изгибная жёсткость равна нулю.

Целью диссертационной работы является анализ явлений, возникающих при динамике нити с подвижными границами. Общим для данного класса задач является то, что область независимых переменных, в которой ищется решение, изменяется во времени. В том случае, когда нить разматывается с катушки, изменяется область определения решения - длина нити в свободном движении. Подвижные границы появляются также для нити, на которую наложена движущаяся по точкам нити геометрическая связь, разделяющая её на две области переменной длины. В работе рассмотрены задачи обеих типов. Показано, что величина

скорости изменения области определения решения, по отношению к скорости распространения возмущений в нити является одним из определяющих параметров задачи.

Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту:

• задача о динамической размотке нити приводит к необходимости решения дифференциальных уравнений в частных производных для области независимых переменных, которая меняется со временем. Подобная задача, когда одна из границ области, совершает в направлении, перпендикулярном ее движению, гармонические колебания, рассмотрена впервые. Важно, что решить задачу удалось аналитически без применения численных методов. Исследовались случаи сверхзвукового и дозвукового режима (по отношению к скорости поперечных волн) размотки нити. Процесс перехода скорости подвижной границы через скорость поперечных волн остается практически неисследованным в научной литературе, поэтому полученное аналитическое решение и проведенный анализ колебаний нити являются особенно ценными.

• задача о скользящем ударе по идеальной растяжимой нити является новой. В работе эта задача рассмотрена как теоретически (автомодельное решение), так и экспериментально. Эксперименты по динамике нити имеют самостоятельную ценность, поскольку позволяют проверить работоспособность принятых математических моделей. Полученное теоретическое решение сравнивалось с результатами эксперимента. В эксперименте скорость ролика возрастает постепенно, поэтому результаты эксперимента и полученное автомодельное решение совпадают качественно. Найдена зависимость динамического коэффициента вязкого трения для резины от Эйлеровой скорости ролика. В ходе эксперимента удалось изучить процесс перехода скорости ролика через скорость поперечных волн в нити (тонкая резиновая нить).

• решение задачи о динамическом прогибе балки под действием движущейся нагрузки позволило получить значения критических скоростей движения (скоростей, при которых происходит резонанс). Этот результат является новым. Показано, что при равноускоренном движении нагрузки, переход из дозвукового в сверхзвуковой режим меняет характер прогибов балки.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на следующих конференциях:

• Конференция Ломоносов 2013

• Конференция Ломоносов 2014

• Конференция Ломоносов 2015

• Конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова 2013

• Конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова 2014

• Конкурс У.М.Н.И.К. 2013 I полугодие

• Конкурс У.М.Н.И.К. 2013 II полугодие

и научно-исследовательских семинарах кафедры Теории пластичности, кафедры Теории упругости, кафедры Механики композитов и кафедры Газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 1 статья в рецензируемом журнале [12], 1 статья в рецензируемом международном периодическом издании [1], 6 статей в сборнике трудов конференции [2, 9, 10, 115, 117, 132] и 3 тезиса докладов [3, 11, 116].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, восьми приложений и списка литературы. Общий объем диссертации 121 страница, из них 107 страница текста, включая 27 рисунков. Библиография включает 132 наименование на 14 страницах.

Во ВВЕДЕНИИ сформулированы постановки задач и дан краткий обзор основных результатов диссертации.

В ОБЗОРЕ ЛИТЕРАТУРЫ проанализированы основные работы, посвященные задачам динамики нитей, тросов и канатов с подвижными границами.

В первой главе рассмотрена задача о динамической размотке нити. Особенностью

данной задачи является то, что длина нити, находящейся в свободном движении меняется.

Получено аналитическое решение как для случая движения границы со скоростью меньшей

- 7 -

скорости поперечных волн, так и для случая движения границы со скоростью, превосходящей скорость поперечных волн. Произведен анализ роста амплитуды колебаний со временем. Показано, что амплитуда колебаний растет во всех случаях, соответствующих реальным случаям движения.

Во второй главе рассмотрена задача о скользящем ударе по гибкой растяжимой нити. Задача решалась в нелинейной постановке с учетом фронтов продольных и поперечных волн и фронта вынужденного разрыва, обусловленного геометрической связью, скользящей по нити с постоянной скоростью. Для бесконечной нити получено автомодельное решение, при котором форма нити представлена в виде прямолинейных звеньев. Задача была сведена к решению системы из шести нелинейных уравнений, решение которой было получено численно. Показано, что характер решения существенно меняется в зависимости от отношения скорости движения связи к скорости поперечных волн (дозвуковое и сверхзвуковое движение связи). Показано, что при переходе в режим сверхзвукового скольжения, сила реакции нити на связь возрастает на порядок.

В НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова автором проведены эксперименты, моделирующие задачу о скользящем ударе по гибкой растяжимой нити (в эксперименте нить и связь, скользящая вдоль нее, моделируются соответственно тонкой резиной и роликом, движущимся вдоль нити). Получены экспериментальные значения относительных удлинений резины, напряжений и скоростей, возникающих в резине. Произведена оценка погрешностей, возникающих при подготовке и обработке эксперимента. Получен факт постоянства Лагранжевой скорости скольжения ролика по точкам нити. С использованием данного результата, задача о скользящем ударе по нити была решена в более сложной постановке, когда скользящая связь не идеальная (на нить действует сила трения). Получена зависимость динамического коэффициента трения от Эйлеровой скорости связи. Произведено сравнение полученных относительных удлинений материальных точек резины в теории и эксперименте. Показана необходимость учета изгибной жесткости резины, отсутствующей в модели идеальной нити.

В третьей главе рассмотрена задача о динамическом прогибе предварительно натянутой

балки (модель Кирхгофа-Лява) под действием движущейся сосредоточенной нагрузки.

Задача решалась в линейной постановке. Рассмотрено движение нагрузки с постоянной

скоростью и равноускоренное движение. Показано наличие характерных скоростей

(критические скорости движения), при которых наступает резонанс. По отношению к

- 8 -

меньшей из критических скоростей рассмотрен случай движения с дозвуковой и сверхзвуковой скоростью. Проанализирован случай равноускоренного движения, при котором скорость нагрузки переходит критическую скорость в процессе движения вдоль балки. Во всех случаях получены аналитические решения в виде абсолютно сходящихся рядов. Проанализированы прогибы балки, показана необходимость учета изгибной жесткости в области приложения нагрузки.

В ПРИЛОЖЕНИЯХ приведены основные выкладки.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

В научной литературе исследование процессов динамики нитей, тросов и канатов с подвижными границами традиционно идет по двум взаимосвязанным направлениям. Одно из них - это задачи, в которых акцент сделан на изучение режимов движения границ нити и приложенных к ним нагрузок, а также их влиянии на общую динамику конструкции [ 1 - 8, 13 - 21, 24 - 35, 38 - 42, 44 - 55, 57]. Особенности анализа работ этого направления представлены в параграфе 1 настоящего обзора.

Второе направление включает в себя задачи, в которых нить имеет конечную длину и по ней движется некоторая связь или сосредоточенная нагрузка [9-12, 22, 23, 36, 37, 43, 56, 60, 61, 67, 80 - 96, 98, 99, 101 - 109, 132]. При этом подвижная граница, обусловленная связью или сосредоточенной нагрузкой, делит нить на два участка переменной длины. Обзор результатов этих исследований рассмотрен в параграфе 2.

1. Задача о размотке нити.

Как уже отмечалось ранее, широкое использование в практических приложениях гибких связей в виде нитей, проволоки, кабелей, канатов и тросов выдвигает требования высокой надежности при их применении из-за возможного возникновения в этих связях колебаний большой амплитуды, которые при работе инженерных объектов крайне нежелательны или просто недопустимы. Надежная работа лифтов, канатов в грузоподъемных установках, динамическая устойчивость нитей, волокон и тесемочных передач в технологиях текстильной промышленности, предотвращение колебаний лент в лентопротяжных механизмах, бесперебойность в работе железнодорожной контактной сети - вот лишь небольшой перечень технических проблем, которые приходится учитывать конструкторам при создании соответствующих механизмов [4, 5].

Особую актуальность в настоящее время приобретает использование тросовых систем в космосе [6-8]. Так, за последние десять-пятнадцать лет проведено множество экспериментов, целью которых был анализ поведения таких систем, сбор данных и визуализация рассматриваемого процесса. Были проведены успешные запуски TSS1 и TSS1-R (Tethered Satellite System), а также миссии Oedipus, SEDS 1 и SEDS 2 (Small Expendable Deployer System), YES и YES2 (Young Engineers' Satellite), и многие другие.

Для реализации размотки троса большой длины в космосе учеными разработаны новые высокопрочные механизмы, подробное описание одного из которых можно найти, например, в [13]. Такие механизмы использовались для размотки и последующей смотки нити с целью создания искусственной гравитации в ходе проекта MARS-g. Проект миссии DELFI-1, в результате которой предполагалась размотка алюминиевой нити длинной 1 километр, описан в [14]. Данные технологии планируется использовать и в будущих миссиях на Марс, над которыми совместно работают NASA и Европейское космическое агентство.

На данный момент существуют проекты, в которых задействованы тросовые системы. Например, в качестве "космических лифтов", при доставке материалов с орбиты без транспортного корабля ("космическая почта"), или при удалении космического мусора. Для решения последней проблемы (минимизации количества объектов космического мусора на геостационарных орбитах), в работе [15] проведен подробный анализ и рассмотрены различные сценарии. Для демонстрации и отработки возможной доставки груза с орбиты с помощью тросовой системы 14 сентября 2007 г. была запущена миссия YES2. В ходе эксперимента осуществлялась размотка 32 километров троса и спуск с орбиты 6 килограммовой возвращаемой капсулы. В результате были получены данные о процессах, происходящих в нити во время размотки (графики координат спускаемой капсулы, угла отклонения нити от вертикального положения, скорости размотки и длины нити в зависимости от времени). Получены данные о скачках натяжения в нити, как следствия взаимодействия продольных и поперечных возмущений с границами [16]. Параллельно этому проведено математическое моделирование рассматриваемого процесса и верификация модели с помощью полученных в ходе миссии данных. Проведенный анализ показал чувствительность процесса к начальным параметрам задачи (вес капсулы, начальная скорость ее движения), а также необходимость учитывать на последней стадии размотки эффекты, связанные с распространением звуковых волн в нити, их отражения от спутника и возвращаемой капсулы [17-19].

Описанные выше факты указывают на актуальность теоретического анализа процесса размотки нити. Однако особенности задачи, в которой движется граница самой нити, делают этот анализ достаточно трудоёмким в первую очередь из-за того, что область независимых переменных, на которой ищется решение системы дифференциальных уравнений в частных производных, меняется со временем. И это, несмотря на то, что разработкой методов решения подобного рода задач ученые занимаются уже более полувека.

Впервые задача о движении струны, левый конец которой жестко закреплен, а прижимные валки справа движутся с постоянной скоростью вдоль струны из некоторого начального положения, была поставлена и даже решена Е.Л. Николаи ещё в 1921 году [20, 21]. Правда долгое время после этого разработка вопросов о волнах в системах с изменяющимися во времени геометрическими размерами, а также с движущимися нагрузками и неоднородностями велась отдельными, никак не взаимодействующими между собой группами ученых и инженеров, занятыми решением возникающих инженерно-технических проблем в своих областях. Так, в вопросах, связанных с эксплуатацией железных дорог и мостов разрабатывалась проблема динамической устойчивости упругих конструкций, несущих подвижные нагрузки [22,23]. В горной механике изучали проблему динамики шахтного подъема, где используются канаты переменной длины [24-27]. В вопросах, связанных с силовыми передачами, исследовалась динамическая устойчивость гибких ветвей передачи [28-34] и т.п. Единый же взгляд на все многообразие подобных процессов был предложен только в конце прошлого века в работах профессора Весницкого А.И. и его учеников [35-37]. Решения, полученные этим научным коллективом, позволили наиболее полно и строго на тот момент изучить основные эффекты и закономерности волновых процессов, обусловленные движением границ. Авторы придерживались концепции, в соответствии с которой за первичный объект изучения выбирались не элементы нити, а волны деформации, возникающие в ней под воздействием движения границ. Именно эти волны, по мнению авторов, являются источником переноса энергии и импульса вдоль нити. Далее на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского определялось динамическое состояние упругой системы. На основе точных решений А.И. Весницким был выявлен ряд общих свойств динамического поведения систем с движущимися границами, а также изучены особенности проявления их резонансных свойств. В частности, в его работах показано, что системы с движущимися границами обладают «динамическими» собственными колебаниями, которые с течением времени приводят к потере устойчивости системы или возникновению резонанса. Вместе с тем следует отметить, что причиной возникновения в системе продольно-поперечных колебаний, могут быть не только продольные движения границ нити вместе с приложенной к ним нагрузкой, тщательно изученные А.И. Весницким, но и их колебательные движения в поперечном направлении. Ведь реальный процесс наматывания нити на катушку или её размотки безусловно содержит колебания конца нити перпендикулярно основному движению. А это

уже задача имеет следующий порядок сложности и в настоящее время до конца не исследована. Научная работа в этом направлении актуальна и по сей день.

Например, при решении проблемы дистанционного управления подвижными объектами с помощью кабельной связи, по мере движения объекта кабель сматывается с внутренней поверхности, образованной в результате регулярной укладки нити в бобину, проходя далее через осевое отверстие нитепровода. В работах [4,5] такая задача смоделирована движением участка идеальной нити, один конец которой находится на поверхности вращения, а другой -в точке начала нитепровода. Движение нити рассматривается с учетом трения Кулона и вязких сил сопротивления в приложении к задаче стационарной размотки нити. Для случая цилиндрической поверхности получено аналитическое решение и проведено параметрическое исследование зависимости натяжения в нити от скорости размотки, размеров текущего витка и характеристик обтекающей нить жидкости. Авторами особо отмечена необходимость учета движения нити по поверхности для полного решения задачи размотки.

Научный интерес к обсуждаемым задачам не угасает до сих пор. В одних работах исследователи уточняют постановочную часть задачи, отрабатывают более тщательно краевые условия, чтобы как можно точнее учесть особенности решаемой задачи. В других стараются адаптировать имеющиеся методы аналитического и численного интегрирования применительно к данным задачам, а также разработать какие-то новые методики получения точных и приближенных решений.

Так, в работе [7] выводятся уравнения динамики троса при его наматывании или разматывании лебедкой, вращающейся вокруг Земли, обсуждаются особенности динамики тросовых орбитальных систем фалов, широко используемых в различных миссиях НАСА для транспортировки и развертывания спутников. Вывод уравнений производится двумя способами - с использованием законов Ньютона и, применяя принцип Гамильтона, после чего показывается эквивалентность этих двух методов.

В работах [38, 39] построена математическая модель продольных колебаний, возникающих в главных канатах грузоподъемных механизмов, отображающая поле динамических перемещений и напряжений в произвольном сечении каната, который наматывается на барабан, рассмотрена постановка краевой задачи для стального каната постоянного сечения. Автором установлены закономерности влияния на трос волн,

отраженных от его подвижного и неподвижного конца. Для точного решения поставленной задачи применялся метод отражения и модифицированный метод продолжения. С их помощью рассчитывались перемещение и напряжение точек в разных сечениях каната, приводилась численная реализация результатов расчета.

В работе [40] предлагаются асимптотические и численные методы расчета модели о продольных и продольно-поперечных колебаниях упругого троса переменной длины. При асимптотическом анализе в качестве малого параметра используется отношение скорости изменения длины троса к скорости распространения волны. Численные методы являются модификациями методов конечных разностей и Рунге-Кутта. В работе проведено сравнение результатов асимптотического и численного интегрирования для конкретных значений физических параметров задачи и различных наборов начальных условий. При относительно низких скоростях изменения длины троса получено хорошее совпадение результатов асимптотического и численного интегрирования на временах порядка 3-4 периодов колебаний системы. В то же время при высокой скорости изменения длины уже после первого периода колебаний начинается расхождение результатов асимптотического и численного анализа. Проведенные численные эксперименты позволили авторам сделать вывод о том, что асимптотика в сочетании с численным интегрированием позволяет эффективно решать широкий класс задач о колебаниях тросов переменной длины.

В работах [41, 42] выполнен асимптотический анализ уравнений динамики развертывания троса для малых значений безразмерных тросовых параметров, связывающих линейную плотность троса, скорость выброса концевой массы с космического корабля, характеристическое натяжение троса и т. п. Авторами найдено асимптотическое решение уравнений для гибкой нерастяжимой связки пренебрежимо малой массы на круговой орбите в центральном гравитационном поле Земли. Решения отыскивались в форме решений уравнений колеблющегося гравитационного маятника в приближении, что трос имеет прямолинейную форму и одинаковое по всей длине натяжение. Они показывают изменение формы троса в полете. В работе дается сравнительный обзор результатов аналитического исследования и данных экспериментальной проверки показателей динамического поведения тросовых систем, в частности, космического назначения, обсуждается динамика тросовой космической системы (TSS) на орбитальном модуле.

Авторами [44-46] разработана методика приближенного решения уравнений,

описывающих влияние движения границ механических объектов применительно к задаче о

- 14 -

резонансных свойствах каната переменной длины. Предложенная методика является обобщением двух методов численного решения дифференциальных уравнений - метода Канторовича и метода Галёркина. При тестировании созданного алгоритма авторы проводили сравнение с решением аналогичной задачи для случая неподвижных границ, проведенным методом разделения переменных, и получили хорошее согласие. В работе [47] этими же авторами предложен аналитический метод решения волнового уравнения с условиями, заданными на движущихся границах. При его использовании исходная краевая задача с помощью замены переменных в системе функциональных уравнений сводится к системе разностных уравнений с одним постоянным смещением, которая затем решается с помощью интегрального преобразования Лапласа. Данный метод позволяет рассмотреть более широкий класс граничных условий по сравнению с другими аналитическими методами решения краевых задач с движущимися границами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панфилов, Дмитрий Игоревич, 2017 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Zvyaguin A.V., Panfilov D.I. The motion of the thread with a variable length. Acta Astronautica 97 (2014) pp. 92-98.

2. Звягин А.В., Панфилов Д.И. Динамика нити переменной длины. СПб.: Изд-во «КультИнформПресс», 2014. Сборник научных статей по итогам международной научно-практической конференции. - с.50-56

3. Панфилов Д.И. Движение нити переменной длины. Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2013» / Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2013.

4. Звягин А. В., Куксенко Б. В. Стационарная размотка нити в вязкой жидкости. Вестн. МГУ. Сер. 1. 1995, N 1, с. 62-67. Рус.

5. Звягин А. В. О движении гибкой нити по поверхности вращения. Вестн. МГУ. Сер. 1. 1993, N 6, с. 55-60. Рус.

6. Kristiansen K. Uldall, Palmer P. L., Roberts R. M. Численное моделирование упругих космических тросовых [систем]. Numerical modelling of elastic space tethers. Celest. Mech. and Dyn. Astron.. 2012. 113, N 2, с. 235-254. Англ.

7. Mankala Kalyan K., Agrawal Sunil K. Моделирование динамики тросовой орбитальной системы. Dynamic modeling of satellite tether systems using Newton's laws and Hamilton's principle. Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust.. 2008. 130, N 1, с. 014501/1-014501/9, 2 ил.. Библ. 15. Англ.

8. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л., Корпен И.В. Резонансные свойства каната переменной длины, обладающего изгибной жесткостью, с учетом действия демпфирующих сил. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 8 Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, 15-17 сент, 2011. Ч. 1. Секц. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ. 2011, с. 15-20. Библ. 2. Рус.

9. Звягин А.В., Зубков А.Ф., Панфилов Д.И. Скользящий удар по гибкой растяжимой нити. Теория и Эксперимент. СПб.: Изд-во «КультИнформПресс», 2014. Сборник

научных статей по итогам международной научно-практической конференции. -с.44-49

10. Звягин А.В., Зубков А.Ф., Панфилов Д.И. Динамический прогиб балки. СПб.: Изд-во «КультИнформПресс», 2014. Сборник научных статей по итогам международной научно-практической конференции. - с.38-44

11. Панфилов Д.И. Изгибная жесткость резиновой нити. Теория и эксперимент. Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2015» / Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2015.

12. Звягин А.В., Зубков А.Ф., Панфилов Д.И. Динамический прогиб балки. Успехи современной науки и образования. Белгород: Изд-во «Эпицентр», 2016, №12, том 8 - с.134-138.

13. B. Lansdorp, H.M.J.R. Soemers, E.J. van der Heide, M. Kruijff, Design of a high-tension elastically deforming space tether deployer, IAC-04-IAA-3.8.2, 2004.

14. A.S. Wijnans, B.T.C. Zandbergen, M. Kruijff, E.J. van der Heide, Bare Electrodynamic Tape Tether Experiment onboard the Delfi-1 University Satellite, 4th International Spacecraft Propulsion Conference (ESA SP-555), Chia Laguna, Sardinia, Italy, 2-9 June 2004.

15. V.A. Chobotov, N. Melamed, W.H. Ailor, W.S. Campbell, Ground assisted rendezvous with geosynchronous satellites for the disposal of space debris by means of Earth-oriented tethers, Acta Astronautica 64 (9-10) (2009) 946-951

16. M. Kruijff, E.J. van der Heide, Qualification and in-flight demonstration of European tether deployment system on YES2, Acta Astronautica 64 (2009) 882-905.

17. N.N. Smirnov, Yu.A. Demyanov, A.V. Zvyaguin, A.A. Malashin, A.A. Luzhin, Dynamical simulation of tether in orbit deployment, Acta Astronautica 67 (2010) 324332.

18. Смирнов Н.Н., Звягин А.В., Малашин А.А. Динамические процессы при разворачивании тросовой системы во время полета КА «Фотон М-3». Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам

- 109 -

механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина, Москва, 20-21 января 2011 года. - М.: Издательство Московского университета. 2011. С.454-457

19. A.V. Zvyaguin, Yu.A. Demyanov, B.V. Kuksenko, A.A. Malashin, A.A. Luzhin, N.N. Smirnov, Dynamics of tether systems deployment in low Earth orbits, in: in: Proceedings of the Scientific Conference ''Lomonosovskie Chteniya'' Mechanics, Moscow University Press, 2007, p. 68.

20. Николаи Е.Л. О поперечных колебаниях участка струны, длина которого равномерно изменяется. В кн.: Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: ГИТТЛ, 1955.

21. Nicolai E.L. On a dynamical illustration of the pressure of radiation // Phil.Mag. Ser. 6. 1925. V. 49, №289. P. 171-175.

22. Болотин В.В. Задача о колебаниях мостов под действием подвижной нагрузки // Изв. АН СССР. ОТН. 1961. № 4. С. 109-115.

23. Якушев Н.З. Динамика деформируемых систем под действием движущихся нагрузок. Ч. I. Балки, стержни и арки под действием подвижных нагрузок. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1972. Вып. 8. С. 3-42.

24. Горошко О.А., Савин Т.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. - Киев: Наукова думака, 1971.

25. Ишлинский А.Ю. Об уравнении продольных движений каната (упругой нити) переменной длины // ДАН СССР. 1954. Т. 95, №5. С. 370-374.

26. Неронов Н.П. Об упругих деформациях в подъемном канате // ПММ. 1937. Т. 1, № 1. С. 91-96.

27. Неронов Н.П. Определение напряжений в подъемном канате // ДАН СССР. 1947. Т. 57, № 8. С. 765-768.

28. Доценко ПД. О нелинейных колебаниях движущейся струны // Самолетостроение и техн. возд. флота: Республ. межвед. тематич. научно-техн. сб. 1971. № 25. С. 123126.

29. Кожегиник Я. Поперечные колебания напряженных гибких звеньев передач. В кн.: Теория машин и механизмов. - М.: Наука, 1976.

30. Моут Д. (мл.) О нелинейных колебаниях струны, движущейся в продольном направлении // Прикл. мех. М.: Мир. 1966. Т. 33, №2.

31. Раздолъский А.Г., Заболотный Ю.В. К исследованию переходных процессов одномерных механических систем переменной длины. В кн.: Динамика машин. -М.: Наука, 1974.

32. Своуп Р.Д., Эймс В.Ф. Колебания движущейся нити // Механика: Сб. пер. /М.:Мир, 1964. №4.

33. Thurman A.L., Mote CD. (Jr) Free, Periodic, Nonlinear Oscillation of an Axially Moving Strip // Trans ASME. J. Appl. Mech. 1969. V. 36, №1. P. 87-98.

34. Wauer J. Schwingungen von bewegten Seiten ver anderlicher Lange // ZAMM. 1975. V. 55, №4. P. 182-184.

35. Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 320 с. - ISBN 5-9221-0172-2.

36. Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е. Частотно-энергетические соотношения для упругих волн в одномерных системах с движущимися объектами // Акустический журнал. 1995. Т. 41, №2. С. 209-215.

37. Весницкий А.И., Лисенкова Е.Е., Уткин Г.А. Волновые процессы в одномерных механических системах с движущимися вдоль них объектами: Учеб. пособие / Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1997.

38. Зеленская Т. С. Динамика каната переменной длины шахтной подъемной установки. Исследование продольных колебаний и напряжений под влиянием отраженных волн от подвижной границы. Научная дискуссия: вопросы физики,

математики, информатики: Материалы 3 Международной заочной научно-практической конференции, Москва, 22 окт., 2012. М.. 2012, с. 45-54. Библ. 4. Рус.

39. Зеленская Т. С. Переходные процессы в канатах с переменной верхней границей. Вестник Днепропетровского университета Серия «Механика» Вып. 17, т. 1, 2013, с. 185-191.

40. Пинчук Н. А., Столяр А. М. Решение начально-краевых задач с подвижной границей. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, No 4 (5), с. 2423-2424

41. Pelaez J. О динамике развертывания троса от орбительного модуля. Ч. 2. Экспоненциальное развертывание. On the dynamics of the deployment of a tether from an orbiter. Part II. Exponential deployment. Acta astronaut.. 1995. 36, N 6, с. 313335. Англ.

42. Pelaez J. К динамике развертывания троса с орбитального КК. I. Основные уравнения. On the dynamics of the deployment of a tether from an orbiter. I. Basic equations. Acta astronaut.. 1995. 36, N 2, с. 113-122. Англ.

43. Аверин А. Н. Колебания жесткой нити под действием подвижной нагрузки. Аэродинамика, механика и технологии авиастроения: Сборник научных трудов. Воронеж. гос. техн. ун-т. Воронеж: Изд-во ВГТУ. 2002, с. 106-109. Библ. 1. Рус.

44. В.Н. Анисимов, В.Л. Литвинов. Исследование резонансных свойств механических объектов с движущимися границами при помощи метода Канторовича-Галёркина. Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. _ 2009. _ № 1 (18). _ С. 149-158

45. В. Н. Анисимов, В. Л. Литвинов. Резонансные свойства каната переменной длины, Матем. моделирование и краев. задачи, 2006, часть 1, 17-19

46. В. Л. Литвинов. Об одном решении интегро-дифференциального уравнения колебаний механических систем с движущимися границами. Вестник научно-технического развития www.vntr.ru №8 (96), 2015 г.

47. В. Н. Анисимов, В. Л. Литвинов, И. В. Корпен. Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с

движущимися границами. Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. No 3 (28). С. 145-151

48. Легеза В. П., Легеза Д. В. О колебаниях струны с подвижным концом. Прикл. мех.. 2014. 50, N 1, с. 124-129. Библ. 16. Рус.; рез. укр., англ.

49. В.Н. Анисимов, В.Л. Литвинов. Анализ влияния движения границ при исследовании резонансных свойств систем с демпфированием. Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. _ 2009. _ № 2 (19). _ С. 147-152

50. Steindl A., Troger H. Оптимальное управление развертыванием привязного спутника-зонда. Optimal control of deployment of a tethered subsatellite. Nonlinear Dyn.. 2003. 31, N 3, с. 257-274. Англ.

51. Barkow B., Steindl A., Troger H. Управление развертыванием системы связанных спутников. Controlling the deployment of a tethered satellite system. 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 23-29 авг., 2001: Аннотации докладов. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН; Пермь: Изд-во Ин-та мех. сплош. сред УрО РАН. 2001, с. 5. Англ.

52. Wang Cong, Zou Zhen-zhu, Ishkov S. A. Динамический анализ развертывания тросовой космической системы. Dynamic analysis of tethered space system deployment process. J. Harbin Inst. Techn.. 2001. 8, N 1, с. 94-96. Библ. 6. Англ.

53. Levin E. M. Стратегия почти равномерного развертывания для космических систем со страховочным фалом. Nearly-uniform deployment strategy for space tether systems. Acta astronaut.. 1994. 32, N 5, с. 399-403. Англ.

54. Гринберг Г.А. Об одном возможном методе подхода к рассмотрению задач теории теплопроводности, диффузии и им подобных при наличии движущихся границ и о некоторых иных его приложениях // ПММ. 1967. Т. 31, №2. С. 193.

55. Barkow B., Steindl A., Troger H. Целевая стратегия развертывания системы связанных спутников. A targeting strategy for the deployment of a tethered satellite system. IMA J. Appl. Math.. 2005. 70, N 5, с. 626-644. Англ.

56. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л. Применение вариационного принципа Гамильтона для нелинейной постановки задачи о колебаниях балки с движущейся

- 113 -

границей. Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 8 Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, 15-17 сент, 2011. Ч. 1. Секц. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ. 2011, с. 10-14. Библ. 2. Рус.

57. Зимин Б. А., Судьенков Ю. В. Волны в системе с движущимися границами. Международная конференция "8 Окуневские чтения", Санкт-Петербург, 26-28 июня, 2013: Материалы докладов. СПб. 2013, с. 365-366. Библ. 5. Рус.

58. А.З. Камалов. Краткий курс лекций по теории колебаний. Учебное пособие. Казанский государственный архитектурно-строительный университет. Казань, 2006. - 128 с.

59. С.В. Ракша, Ю.К. Горячев, А.С. Куропятник. Анализ влияния упругих деформаций несущего каната на усилия в тяговом канате подвесной дороги. Наука та прогрес транспорту. Вюник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2013, N0 6 (48), с.110-119

60. Гриднев С.Ю. Пространственные колебания моста, пролетное строение которого моделируется тонкостенным стержнем, под действием подвижной нагрузки // Компьютерные учебные программы и инновации. - 2006, N0 5. С.27.

61. Гриднев С. Ю. Задача о колебаниях балки, один конец которой закреплен упруго, а другой шарнирно, при подвижной нагрузке в постановке А.М. Крылова / С. Ю. Гриднев // Компьютерные учебные программы. - 2008. - N 1. - N0 8752 ОФАП от 12.07.2007 N050200701570 от 23.08.2007.

62. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В. Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1978. Т. 1. Колебания линейных систем/Под ред. В. В. Болотина. 1978. 352 с, ил.

63. М.Н. Хальфин, Е.В. Сорокина. Повышение стойкости несущих канатов при эксплуатации на подвесных канатных дорогах. Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 12. Ч. 2. с. 337-343.

64. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Учебное пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 798 с.

65. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Учебное пособие. Т.1-2. Изд. Наука.1970

66. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. - М.: Гостехиздат, 1953.264 с.

67. Сафронов B.C. Расчет висячих и вантовых мостов на подвижную нагрузку. Воронеж: ВГУ, 1983. - 194 с.

68. Рахматулин Х.А. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения. // ПММ. 1945. Т. IX. № 6.

69. Рахматулин Х.А. Поперечный удар по гибкой нити телом заданной формы. // ПММ. 1952. T. XVI. Вып. 1.

70. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. - М.: «Наука». 1961

71. Рахматулин Х. А. Об ударе по гибкой нити . ПММ. 1947 г., Т. XI, 3.

72. Зверев И.Н. Некоторые задачи о распространении волн при ударе. - М.: МГУ, 1949.

73. Павленко А.Л. Некоторые вопросы динамики гибкой растяжимой нити // Газовая и волновая динамика. 1979. Вып. 3. С. 190-199.

74. Рябис А.А. Поперечный удар притупленным телом по гибкой связи при наличии трения. // Вестник МГУ. Сер. «Математика, механика». 1966. №6.

75. Демьянов Ю.А., Демьянова Е.Г., Лобанова С.С. Распространение поперечно-продольных волн в натянутой струне при ударе по ней телом произвольной формы. // МТТ. 2003. №2. C. 26 - 39.

76. Демьянов Ю.А., Малашин. А.А. Вынужденные продольные колебания музыкальных струн, обусловленные их поперечными колебаниями. Газовая и волновая динамика: Сб. ст. - М.: Изд-во МГУ (Сайрес-пресс). 2005. С. 178 - 187.

77. Кристеску Н. О волнах нагрузки и разгрузки в упругой или пластической гибкой нити. // ПММ. 1954. T. XVIII. Вып. 3.

78. Ленский Э.В. Вынужденные движения поперечной волны в гибкой растяжимой нити. //Механика твердого тела. 1968. № 6.

79. Демьянов Ю.А. Асимптотический метод решения задач распространения волн в нити. // ПММ. 1993. № 4. С. 146 - 149.

80. S. Gavrilov. Nonlinear investigation of the possibility to exceed the critical speed by a load on a string. Acta Mechanica 154, 47-60 (2002)

81. S.N. Gavrilov. Transition through the critical velocity for a moving load in an elastic waveguide. Technical Physics, Vol. 45, No. 4, 2000, pp. 515-518.

82. Gavrilov S. Passage through the critical velocity by a moving load in an elastic waveguide. The nonlinear statement for the problem // Z. Angew. Math. Mech. 2000. Vol. 80. P. S743-S744.

83. Gavrilov S.N. Configurational forces in elastic systems with moving loads // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Специальный выпуск "Нелинейные проблемы механики сплошной среды". 2003. С. 7-14.

84. Гаврилов С.Н. Струна на упругом основании под нестационарным воздействием подвижной нагрузки / Труды XXV-XXVI летних школ "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" 33]. — с. 180-197.

85. Гаврилов С.Н. О переходе подвижной нагрузки на струне на упругом основании через критическую скорость / Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества 31]. — с. 48-51.

86. Гаврилов C.H, Индейцев Д.А. Об эволюции ловушечной моды колебаний в дискретно-континуальной системе с медленно меняющимися параметрами // Труды XXIII Летней Школы "Актуальные проблемы механики" 2000 / Под ред. Д.А. Индейцева ; ИПМаш РАН. Т. 2. Санкт- Петербург, 2001. С. 80-92.

87. Гаврилов С.Н. Об эффективной массе материальной точки, движущейся по струне на винклеровском основании // ПММ. 2006. Т. 70, № 4. С. 641-649.

88. Гаврилов С.Н., Индейцев Д.А. Об эволюции локализованной моды колебаний в системе "струна на упругом основании - подвижное инерционное включение" // ПММ. 2002. Т. 66, № 5. С. 864-873.

89. Звягин А.В. Критическая скорость в контактной задаче теории упругости для трансзвуковой скорости движения штампа // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 6. С. 58-69.

90. Мастиновский Ю. В., Засовенко А. В. Нестационарное деформирование однопролетной балки под действием подвижной нагрузки. Нов. матер. i технол. в металургп та машинобудуванш. 2008, N 2, с. 40-43. Библ. 6. Рус.; рез. укр., англ.

91. Метрикин А.В. Эффект переходного излучения в одномерных упругих системах. Нелинейные колебания механических систем/Тез.док. всесоюзной конф. Горький. 1990.ч.2.с.173.

92. Метрикин А.В., "Особенности проявления переходного излучения в одномерных упругих системах". Волновые задачи механики. Сборник статей. Нижний Новгород. Иф ИМАШРАН, 35-43 (1991)

93. Весницкий А.И. Метрикин А.В. Переходное излечение как характерный источник вибраций в одномерных упругих системах. Инженерно-физические проблемы новой техники/Тез.док. всесоюзн. совещания-семинара. Москва.1992.-с.44.

94. Весницкий А.И. Метрикин А.В. Переходное излучение в периодически-неоднородной упругой направляющей. Нижегородский филиал института машиноведения. Нижний Новгород. 1992.-12c. Деп. в ВИНИТИ 25.02.92. К 635-В92.

95. Весницкий А.И. Метрикин А.В. Переходное излучение в случайно-неоднородной направляющей / Нижегородский филиал института машиноведения. Нижний Новгород. 1992.-9с. Деп. в ВИНИТИ 25.02. 32.N 637-В32.

96. Весницкий А.И. Метрикин А.В. Переходное излучение в механике / Успехи физических наук. 1996, том 166, № 10, с. 1043-1068.

97. Гольдштейн Р. В. Поверхностные волны и резонансные явления в упругих телах / Соросовский образовательный журнал. Математика, № 11, 1996, с. 123-127.

98. Весницкий А. И., Лисенкова Е. Е. О проблемах скоростного наземного транспорта / Ученые записки Волго-Вятской академии государственной службы, 1997, с. 197213

99. Весницкий А.И., Лисенкова Е. Е. Об эффекте преобразования продольной вибрации объекта в поперечную в процессе его движения вдоль упругой направляющей / Вибрационные машины и технологии, 1997, с. 122-123

100. Ерофеев В.И., Колесов Д.А., Лисенкова Е.Е. Расчет дисперсионных характеристик струны, лежащей на упруго-инерционном основании. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, №4 (1), с. 199-203

101. Веричев С.Н. Математические методы исследования устойчивости объекта, движущегося по упругой направляющей. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2008, №4, с. 117-121

102. Кондратьев В. М. Нелинейные колебания гибкой балки под действием подвижной нагрузки. Динам. и устойчивость элементов транспорт. сооруж.. Ташк. ин-т инж. ж.-д. трансп.. Ташкент. 1992, с. 2-10, ил.. Библ. 6 назв.. Рус.. Деп. в ГФНТИ ГКНТ РУз 30.12.92, N 1765-Уз92

103. Sun Lu. Closed-form representation of beam response to moving line loads. Trans. ASME. J. Appl. Mech.. 2001. 68, N 2, p. 348-350.

104. Clolek Witold. Неустановившиеся колебания свободнолежащей балки, вызванные нагрузкой, перемещающейся с постоянным ускорением. Drgania nieustalone belki swobodnie podpartej spowodowane obciazeniem przesuwajacym sie ze stalym przyspieszeniem. Pr. Inst. tech. bud.. 1987. 16, N 4, с. 31-45. Пол.; рез. Рус.

105. Adams G. G. Critical speeds and the response of a tensioned beam on an elastic foundation to repetitive moving loads. Int. J. Mech. Sci.. 1995. 37, N 7, p. 773-781.

106. Бутова С.В., Герасимов С.И., Ерофеев В.И., Камчатный В.Г. Задачи устойчивости высокоскоростного движения объектов по упругим направляющим. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, No 1(3), с. 55-60

107. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Лисенкова Е.Е., Семерикова Н.П. Динамическое поведение балок моделей Бернулли-Эйлера, Рэлея и Тимошенко, лежащих на упругом основании (сравнительный анализ). Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, №5 (3), с. 274-278.

108. Веричев С.Н., Метрикин А.В. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте. Нижегородский филиал Института машиноведения РАН. Прикладная механика и техническая физика. Т. 41, №6, 2000.

109. Dieterman H. A., Metrikine A. Critical velocities of a harmonic load moving uniformly along an elastic layer. Trans. ASME. J. Appl. Mech.. 1997. 64, N 3, p. 596601.

110. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1971. - 584 с.

111. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. - М.: ГИТТЛ, 1951. - 432 с.

112. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

113. Гирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. - М.: АН СССР, 1962

114. Гирхгоф Г. Механика. - М.: АН СССР, 1962

115. Панфилов Д.И. Скользящий удар по идеальной растяжимой нити. Сборник докладов международной конференции «Наука как основа возрождения общества и экономики» - Д.: научно-информационный центр «Знание», 2014 - с.10-11

116. Панфилов Д.И. Скользящий удар по идеальной растяжимой нити. Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2014» / Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2014.

117. Панфилов Д.И. Скользящий удар по идеальной растяжимой нити. Труды конференции-конкурса молодых ученых. 8-9 октября 2013 г. - М.: Издательство Московского университета, 2014. - с.179-186

118. Кирсанов М.Н. Maple и Maplet. Решения задач механики. - М.: Лань, 2012. -512 с.

119. Манжиров А.В., Лычев С.А. Математическая теория растущих тел. Актуальные проблемы механики. 50-лет Институту проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН: Сборник статей. Ин-т пробл. мех. РАН. М.. 2015, с. 426-455.

120. Лычев С.А., Манжиров А.В. Математическая теория растущих тел. Конечные деформации. Прикл. мат. и мех. (Москва). 2013. 77, N 4, с. 585-604.

121. Лычев С.А., Манжиров А.В. Отсчетные конфигурации растущих тел. Изв. РАН. Мех. тверд. тела. 2013, N 5, с. 86-95.

122. Манжиров А.В. Краевые задачи наращивания трехмерных тел двумерными поверхностями. 6 Сессия Научного совета РАН по механике, Барнаул-Белокуриха, 26-31 июля, 2012: Материалы Всероссийской конференции. Барнаул. 2012, с. 1517.

123. Левитин А.Л., Лычев С.А., Манжиров А.В., Шаталов М.Ю. Нестационарные колебания дискретно наращиваемого термоупругого параллелепипеда. Изв. РАН. Мех. тверд. тела. 2012, N 6, с. 95-109.

124. Барышев А.А., Лычев С.А., Манжиров А.В. Нестационарные колебания растущей круговой цилиндрической оболочки. Изв. Сарат. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат.. 2012. 12, N 2, с. 42-48.

125. Манжиров А.В. Математическая теория растущих тел: уравнения, задачи, приложения. Вестн. Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011, N 4, ч. 4, с. 16031605.

126. Лычев С.А., Лычева Т.Н., Манжиров А.В. Нестационарные колебания растущей круглой пластины. Изв. РАН. Мех. тверд. тела. 2011, N 2, с. 199-208.

127. Манжиров А.В., Паршин Д.А. Моделирование процесса деформирования наращиваемых конических тел. Вестн. Самар. гос. ун-та. 2007, N 4, с. 290-303.

128. Li Hui, Zhang Hongwu, Zheng Yonggang, Zhang Liang. A peridynamic model for the nonlinear static analysis of truss and tensegrity structures. Comput. Mech.. 2016. 57, N 5, с. 843-858.

129. Гордеев Б.А., Охулков С.Н., Осмехин А.Н., Бугайский В.В. Демпфирующие характеристики тросовых виброизоляторов. Пробл. машиностр. и надеж. машин. 2016, N 1, с. 11-15.

130. Guo Tieding, Kang Houjun, Wang Lianhua, Zhao Yueyu. Cable's mode interactions under vertical support motions: boundary resonant modulation. Nonlinear Dyn.. 2016. 84, N 3, с. 1259-1279.

131. Израилович М.Я., Орданович А.Е., Лось М.В. Об управлении движением конца тонкого упругого стержня, подвергающегося сложному нагружению. Пробл. машиностр. и автоматиз.. 2016, N 2, с. 32-39.

132. Панфилов Д.И. Скользящий удар по идеальной растяжимой нити. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. -Оренбург: Эвенсис, №1, 2016. - c.8-12.