Динамика газовых пузырьков переменной массы в жидкости под действием акустического поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Бутюгина, Екатерина Валерьевна

• Бутюгина, Екатерина Валерьевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Бутюгина, Екатерина Валерьевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Анализ литературных источников по экспериментальным и теоретическим исследованиям колебаний микропузырьков в жидкости под действием акустического поля

1.1. Теоретические исследования динамики одиночного пузырька (5 жидкое I и

1.2. Направленная диффузия: теории и -жсиеримеит

1.3. Динамика пузырьковых кластеров

1.4. Выводы по первой ыаве

Глава 2. Математическая модель и численное решение диффузионной задачи для одиночного пузырька в акустическом поле

2.1. Постановка задачи и основные уравнения

2.1.1. Уравнения динамики ну зырька

2.1.2. Задача масеоиереноса в жидкости

2.2. Численное решение полной диффузионной задачи в частых про-

и '.водных

2.2.1. Конеерва!пвпая схема

2.2.2. Влияние направленной диффузии на динамику одиночного пузырька

2.3. Выводы ко в юрой главе

Глава 3. Приближенные модели и численные методики для описания динамики растворимого пузырька

3.1. Учет копненIрании газа в жидкости с применением почт периодически! о приближения

3.1.1. Особенное ш численной реал и запии

3.1.2. Результаты вычислиюльных зкенеримеп го в

3.2. Применение могола многих масштабов к задаче диффузии газа между пузырьком и жидкостью

3.2.1. Внешнее раз южепие

3.2.2. Внутреннее разложение

3.2.3. Численная реали ?ацим

3.3. Динамика газового пузырька на многих периодах акустического поля и сравнение с жеперимешом

3.4. Выводы к третьей главе

Глава 4. Диффузионная устойчивость пузырьков в кластере

4.1. Особенности математической модели пузырькового кластера при учею диффузионных чффок го в

4.2. Исследование динамики пузырька в кластере в воде

4.3. Динамика газовых пу?ырьков в чехннчееких жидкостях

4.3.1. Численное исследование и особенности мат ома гическо1 о моделирования

4.3.2. Результаты мачомагичеекого моделирования

4.4. Выводы к чотворюй главе1

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика газовых пузырьков переменной массы в жидкости под действием акустического поля»

Введение

Актуальность темы исследования. Одним из наиболее интересных эффектов. вызванных воздействием звуков,ой волны па жидкость, являемся акустическая кавитация образование в жидкости полостей, так называемых ка-витационных пузырьков. Звуковые волны в жидкости вызывают также рост, коллапс или движение таких пузырьков. Научный и практический интерес представляют изучение связанных с акустической кавитацией физических явлений, таких как: сонолюминисценция (излучение ну зырьком свечения во время коллапса). самоорганизация (взаимное влияние акустического поля и пузырьков), химические реакции внутри пузырька и в жидкости, самодвижение пузырька, кавитациоппая эрозия и многие другие. Эти явления наблюдаются в физике, химии и биологии, и находят широкое практическое применение в различных областях промышленности, например, для разрушения и диспергирования твердых тел. "эмульгирования жидкостей, дегазации жидкостей, очистки поверхностей. а также в различных медицинских целях.

При изучении многих химических и физических процессов часто возникает задача о влиянии различных факюров на динамику микропузырьков, и па возникновение устойчивой кавитации. К таких факторам относятся: направленная диффузия, частота звукового поля, тип жидкости, ее вязкость, количество растворенного газа в жидкое 1 и и прочие. Следовательно, од по из важных направлений в понимании фундаментальной природы акустической кавитации эк) изучение диффузионной устойчивости пузырьков при акустическом воздействии.

Первоначально интерес к диффузионным процессам, протекающим между газовым пузырьком и окружающей его жидкостью с растворенным в ней га зом. возник благодаря экспериментам по акустической кавитации, в которых наблюдалось. что маленькие газовые пузырьки, при наличии акустического поля, растут со временем. Это явление обьясиялось массоперепоеом растворенного

газа между жидкостью и пузырьком и было названо направленной диффузной (rectified mass diffusion).

Аналитического решения полной системы нелинейных уравнений, описывающих массообмен между колеблющимся в акустическом поле газовым пузырьком и жидкостью, не существует, и решение может быть найдено только численно. До настоящего момента в литературе при исследовании диффузионной задачи полная система уравнений в частных производных не решалась, поскольку разрабатывались, как правило, асимптотические или аппрокеимаци-онные модели, использующие средние за период значения переменных величин. Заметим, что во всех -этих работах влияние изменения массы пузырька в масштабе одного периода колебаний не принималось в расчет. Это связано с тем. что такие расчеты требуется проводит!) с высокой степенью точности, поскольку изменение массы пузырька за один период колебания, как правило, очень мало и сопоставимо с погрешностью счета. Все это значительно влияет' па увеличение затрат времени вычислений и затрудняет однозначное1 определение корректности вычислений: сложно утверждать, растет масса пузырька или уменьшается, или же имеет место вычислительная ошибка.

Таким образом, представленная в данной работе1 задача исследования сильно нелинейной динамики пузырька в акустическом поле с учетом процесса направленной диффузии газа, растворенного в жидкости, на основе адекватно пеэ-строепной математической модели с- помощью разработанных вычислительных методик, которые позволяют проводить расчеты высокой точности, являеюя актуальной задачей механики жидкех'ти и газа.

Цель диссертационной работы е-еэстоит в выявлении закошэме'риеячей нелинейной динамики одиночною микропузырька и микропузырька в кластере1 под действием акустического поля в неюграниченной области с учетом воздействия направленной диффузии.

Для достижения поставленной цели были решены следующие -задачи:

• разработка математической модели, описывающей нелинейные колебания одиночного газового микропузырька под действием акустического ноля с учетом изменения массы газа в функции давления газа в пузырьке:

• обобщение математической модели, описывающей нелинейные колебания газового микропузырька для случая пузырькового монодисперсного кластера:

• разработка консервативной разностной схемы при вычислении диффузионного потока через стенку пузырька для получения физически корректного решения полной диффузионной задачи в частных производных:

• создание приближенных методик (почти периодическое приближение, мно-гомасштабпый подход) для ускорения расчетов в задаче1 о влиянии направленной диффузии на динамику микропузырька на многих периодах акустического поля:

• проверка корректности применения разработанных численных методов путем сравнения результатов их реализации для различных случаев с известными аналитическими, численными и экспериментальными исследованиями:

• исследование пограничного слоя растворенного газа вокруг пузырька г» жидкости:

• исследование влияния направленной диффузии на динамику одиночного пузырька в воде1 под действием акустического поля:

• исследование влияния направлешюй диффузии на динамику пузырькового кластера в воде и в технических жидкостях под действием акустического поля.

Научная новизна работы.

• Впервые реализован алгоритм, позволяющий учитывать и исследовать влияние мгновенного изменения массы газа в сферическом пузырьке, колеблющемся в акустическом поле, на ого динамику при решении полной нелинейной диффузионной задачи в частных производных;

• для вычислений на большом количестве периодов акустического ноля разработан новый вид приближенного решения задачи, основанный па предположении квазипериодичности колебаний профиля концентрации растворенного в жидкости газа:

• разработана и протестирована техника многих масштабов для моделирования влияния направленной диффузии газа па сферический пузырек, совмещающая аналитический и численный подходы:

• реализована диффузионная задача для пузырькового кластера в воде и технических жидкостях в рамках применимости модели для кластера, проведено параметрическое исследование задачи в широком диапазоне1 параметров системы.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для доильного изучения явления устойчивой акустической кавитации и связанных с ним процессов, таких как самоорганизация пузырьков, кавитациоппая эрозия, дегазация жидкостей, где важным является учет диффузии газа между жидкостью и пузырьком.

Предложенные математические постановки и численные подходы moi ут быть применены также для исследования практических задач, связанных с динамикой микропузырька под действием акустического поля, и быть основой для дальнейшего развития модельных представлений одиночного мнкропузырька и пузырькового кластера.

Положения, выносимые на защиту:

• математическая модель диффузионной задачи для одиночного газового сферического пузырька и пузырька в кластере в безграничной слабосжи-маемой жидкости, колеблющегося под действием акустического поля, которая позволяет корректно учитывать мгновенное изменение массы газа внутри пузырька:

• численный метод решения диффузионной задачи на основе консервативной разностной схемы:

• приближенные методики для решения диффузионной задачи: приближение с периодическим условием для профиля концентрации газа в пузырьке и комбинированный мпогомасштабный подход па основе метода многих масштабов и сращиваемых асимптотических разложений:

• анализ нелинейной динамики одиночных пузырьков и пузырьков в кластере с изменяющейся массой газа под действием акустического поля.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью математических постановок задач, основанных на применении фундаментальных законов сохранения механики сплошных сред. Проведение тестовых расчетов показало, что результаты, полученные с помощью реализованных программных модулей, хорошо согласуются с экспериментальными исследованиями, а также1 с- существующими в литературе аналитическими и численными решениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па следующих научных семинарах, а также1 Международных и Всероссийских конференциях:

• Семинаре Института механики УНЦ РАН под руководством д.с1>.-м.п.. проф. Урманчеева С.Ф (Уфа. 2015):

• Семинарах Центра Микро- и наномасштабиой динамики дисперсных систем БашГУ под руководством д.ф.-м.н. Гумерова Н.А. и д.ф.-м.н.. проф. Ахатова И.Ш. и академика РАН Нигматулина Р.И. (Уфа, 2011 2015):

• Международной школе-конференции для студентов,, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа. 2011. 2012):

• Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2012)» (Новосибирск, 2012):

• Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвященной 20-лстшо со дня основания Института Механики УНЦ РАН. (Уфа. 2012):

• Международном конгрессе1 ASME International Mechanical Engineering Congress & Exposition IMECE2012. (Houston. USA. 2012):

• Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау Дюрсо. 2012):

• Всероссийской молодежной научно-практической конференции «Актуальные вопросы пауки и образования» (Уфа. 2013):

• Конкурсе молодых ученых в Институте1 механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН (г. Уфа. 2013):

• Международном семинаре Summer workshop "Dynamics of dispersed systenns: experimental and numerical research on liano-. micro-, mc^so- and liiaerosca W (Ufa. 2014).

Публикации. Материалы диссертации изложены в 16 печатных и -vh'k-тронных изданиях (С. 7. 9 1G. 32. 42. 59. S7. 127. 150]. из них 3 статьи в журналах, режомечгтованных ВАК [G. 9. 13|. и 1 статья в издании, относящемся к сиеме'ме

цитирования Scopus (приравненной к ВАК) [150]. 4 статьи в сборниках трудов конференций и 8 тезисов докладов,. Получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ [8. 17].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения. 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 130 страниц с 44 рисунками и 4 таблицами. Библиография включает 155 наименований на 14 страницах.

Исследования были поддержаны грантами Министерства образования и науки РФ (договор 11.G34.31.0040. исполнитель) и РФФИ (№14-01-313С9-мол_а. руководитель: УФ 11-08-00823-а. 11-01-97007-р_поволжье_а и 14-01-97019-р_-поволжье_а. исполнитель), а также грантом для молодых ученых и инновато-ров У.М.Н.И.К.

Автор благодарит своего научного руководителя д.ф.-м.п.. проф. Ахато-ва И.Ш. за постановку задач и предложенное направление исследований: научного консультанта к.ф.-м.п. Наеибуллаеву Э.Ш. за постоянное внимание к работе, помощь при подготовке материалов диссертации и ценные замечания: коллектив Центра "Микро- и напомасштабпая динамика дисперсных систем" при БашГУ и лично директора Центра д.ф.-м.н. Гумерова H.A. за оказанную поддержку во время работы над материалами диссертации, идеи но реализации программных модулем! и щюдуктивные дискуссии. Авте>р выражает глубокую признательность д.ф.-м.н.. прен]). Урманчечнзу С.Ф.. а также к.ф.-м.п. Бупогипу Д.С. за оказанную поддержку при подготовке диссертационной работы.

11

Глава 1

Анализ литературных источников по экспериментальным и теоретическим исследованиям колебаний микропузырьков в жидкости под действием акустического поля

В настоящей главе приводится краткий обзор '-экспериментальных и теоретических работ, посвященных изучению акустической кавитации и. в частности, нелинейных колебаний пузырька в акустическом поле под действием направленной диффузии.

1.1. Теоретические исследования динамики одиночного пузырька в жидкости

Одной из наиболее интересных задач гидродинамики, как 15 плане теоретической. так и с точки зрения практической значимости, является изучение явления кавитации — процесса образования заполненных паром и газом полостей или пузырьков при локальном понижении давления в жидкости до давления насыщенных паров или вследствие местного притока '-энергии. Соотношение содержания газа и пара в полости может быть различным (теоретически от пуля до единицы), в -зависимости от чего пу-зырьки называют паровыми или газовыми.

Местное понижение давления в жидкости может происходить либо при увеличении скорости жидкости (гидродинамическая кавитация), либо при прохождении акустической волны большой интенсивности во время полупериода разрежения (акустическая кавитация). Возможны также другие причины понижения давления и появления пузырьков в жидкости, такие5 как кипение пли

вакуумироваиие жидкости, но эти процессы распределяются но всему объему жидкости в отличие от кавитации, которая имеет ограниченную область.

Однако, первые теоретические1 и --экспериментальные исследования целенаправленно проводились именно при акустическом воздействии на жидкость. Использование звуковых воли для возбуждения кавитации оказалось наиболее подходящим методом для исследований кавнтационных явлений в лабораторных условиях [48. 80|.

Акустическая кавитация представляет собой эффективное средство кумуляции энергии звуковой волны низкой плотности в высокую плотность энергии кавнтационных пузырьков, связанную с их пульсациями и захлопыванием. Общую картину поведения кавитациоппого пузырька можно представит!» в следующем виде: в фазе разрежения 'звуковой волны в жидкости образуется разрыв в виде полости, которая заполняется насыщенным паром данной жидкости. В фазе сжатия под действием повышенного давления и сил поверхностного натяжения полость захлопывается, а пар конденсируется на границе раздела фаз. Через стены полости в нее диффундирует растворенный в жидкости газ. который затем подвергается сильному адиабатическому сжатию |39].

Наличие пузырьков отмечается во многих областях, как в естественных пауках, так и в соответствующих технологических процессах хорошо разработанных и находящихся на стадии развития |5G|. [10] |. Знания о пузырьках и их поведении постоянно совершенствуются, и существует множество кшп [G3. GS. 70. 107. 113. ПО. 14G. 119. 151. 150] и научных трудов [13. 14. 17. 51. 57. G0. 75. 77. 90. 110. 119. 129. 134. 13G. 138. 151]. посвященных экспериментальному и теоретическому изучению пузырьков.

Исследование колебаний сферически симметричною одиночного пузырька газа в жидкости началось в первых десятилетиях XX века [139]. ко1да Релей получил уравнение для безграничною объема несжимаемой жидкости, а ее скорость вдали от пузырька была равна нулю. Дальнейшие исследования привели к модели Рслея-Плессета. где учитывалось переменное давление1 на беч'конечпо-

сти [20. 131]. Совершенствование модели привело к рассмотрению жидкое!и как слабосжимаемой с помощью поправок на производную по времени от перепада давлений, что позволило обеспечить затухание свободных колебаний и привело к уравнениям Келлера-Миксиса [25. 29. 33. 70. S1. 100]. В 1989 юду было открыто явление сонолюминиецепции одиночного пузырька ('-эффект свечения пузырька во время коллапса) в сферической колбе [80]. В результате, появились математические модели, описывающие радиальные колебания пузырька в центре колбы, когда ее сгенки выступают в качестве источника колебаний в жидкости |4. 115. 130. 137]. и др.

Все эти модели послужили основой для исследования линейных и нелинейных колебаний газовых пузырьков в акустическом поле. Когда пузырек находится под воздействием периодической акустической волны, он отвечает на него нелинейными колебаниями [1()6|. демонстрирующими различные особенности [131|. по в то же время и сходства с другими нелинейными осцилляторами [101. 112]. Одним свойством, которое проявляется у пузырьков наряду с другими нелинейными осцилляторами, и. в целом, с нелинейными динамическими системами, является детерминированный хаос. Несмотря на упорядоченное воздействие звуковой волны (в простейшем случае — синусоиды), конечные колебания пузырька могут резко отличаться от формы возмущения [111]. Известным путем достижения хаотических колебаний является удвоение периода акустического поля [108. 109].

Наряду с изучением сферически-симметричных пузырьков при исследовании колебаний пузырька в акустическом поле с различным набором параметров также появляется вопрос о неустойчивости осцилляций. природа которой может быть различной. Существует диффузионная неустойчивость (непрерывное увеличение или уменьшение массы газа в пузырьке за счет диффузии газа, растворенного в жидкости), неустойчивость сферической формы (нарушение сферической формы пузырьков при взаимодействии друг с другом, при возбуждении поверхностных мод или в присутствии пзердой стенки), трансляционная

неустойчивость (движение пузырька в пространстве1, возникающее1 вследствие действия на пузырек различных сил со стороны жидкости). Во время коллапса пузырька может иметь место химическая неустойчивость, возникающая при химических реакциях, происходящих из-за нагрева газа.

Связанные с этим явления активно изучаются теоретически и экспериментально в современной литературе [1-3. 52. 55. 58. 86. 97. 102. 153]. Также, в работах [88. 89] рассмотрен эффект самоорганизации пузырьков взаимного влияния пузырьков и акустического поля, приводящий к структурообразова-шпо и возникновению пузырьковой завесы, очищающей жидкость от газа. Нарушение сферической формы и самодвижение пузырька исследуется в работах [9S. 99]. где с помощью метода граничных элементов рассматривается взаимодействие трехмерных микропузырьков с твердой стенкой и между собой, что используется при очистке поверхностей от загрязнений. Нуклеация (зарождение) пузырьков и поведение папопузырьков рассмотрено в работах |122. 123|.

Однако, в случае1 сферически-симмотричиых моделей существует возможность одновременно учесть множество эффектов при моделировании динамики пузырьков, таких как вязкость жидкости, направленный тепло- и маесоперсчюс и т.д.. что практичеч'ки невозможно при прямом численном моделировании.

Поэтому исследованиям различных факторов, которые могут влиять па образование устойчивых сферических кавитационных пузырьков, уделяется особое внимание. Среди таких факторов: диффузия газа между пузырьком и жидкостью. частота звукового поля, тип жидкости, поверхностное натяжение, количество растворенного газа в жидкости, вязкость и т.п.

1.2. Направленная диффузия: теория и эксперимент

Изучение дис^фузионпой устойчивости газовых пузырьков в жидкости при звуковом воздействии являемся неотъемлемой частью в понимании фундаментальной природы акустической кавитации. Первоначально шперес к исслемова-

пию этого явления возник из экспериментов по акустической кавитации [ 18. 80|. В экспериментах было обнаружено, что при наличии акустического поля конвективно-диффузионный перенос газа между пузырьком и окружающей его жидкостью может изменять естественную тенденцию пузырька к растворению под действием поверхностного натяжения, заставляя его расти.

Одиночный газовый пузырек в бесконечной несжимаемой жидкости с растворенным газом в отсутствии внешнего воздействия неустойчив, поскольку давление внутри пузырька больше давления в жидкости и. следовательно, пузырек будет медленно растворяться из-за диффузии газа из пузырька в окружающую жидкость и со временем исчезнет. Если же поместить пузырек в акустическое поле, то это вызовет колебания пузырька. Причем, газ будет диффундировать внутрь пузырька во время стадии расширения, когда давление; падает меньше среднего значения, а во время сжатия наоборот. На первый взгляд казалось. ч го чистый отток или приток массы отсутствует'. Однако, эксперименты по сополюминесценции показали, что это не так. и пузырек растет со временем. Этот процесс был назван «направленной» диффузией («тееНИес! (НИ'икюп») |90|.

Первые математические теории направленной диффузии были созданы для случая малых амплитуд колебаний пузырька и представлены, например, в работах [53, СО. 07. 71, 90[.

В работах [71. 96| пре'днолагалось. что дие}х[)узия должна пршюдить к ро-ету пузырька за полный период колебаний, поскольку больнюе количеетво газа попадает в пузырек из жидкости гю время стадии раетпиречшя вследствие увеличения площади поверхности че>м выходит из нечч) по ме'ре сжатия. Авторы [90] проводили исследования дифс1)узионне)й задачи для одиночного пузырька в предположении синусоидальных колебании малой амплитуды, когда поле акустического давления и концентрация газа в жидкости у стенки пузырька также изменялись по закону синуса. Предполагалось, что газ в пузырьке1 остается изо-термичеч'ким. что выполнялось при достаточно малых частотах звукового поля. Аналитичеч'кие сложности, вызванные подвижной границей пузырька были

устранены путем разложения 1рнничного условия в ряд Тейлора около положения равновесия стенки пузырька. В работе ¡71) исследованы высокочастотные колебания и проведен анализ пограничного слоя в лагранжевых координатах, представленных в работе [135]. Вышеописанные работы [9G] и [71] носили основополагающий характер в изучении направленной диффузии.

Кроме того, до выхода труда [67| в литературе существовало как минимум четыре различных уравнения для пороговой амплитуды звукового давления, определяющей рост газового пузырька за счет направленной диффузии. Это были уравнения, предложенные в работах Safar [141]. Eller (два уравнения: одно для изотермических [74] и одно для адиабатических |73] пульсаций пузырька), и Спин [G6|. Остальные работы по направленной диффузии, например, за авторством Gould [82], Skinner [144].[145|, использовали уравнения, которые1 можно рассматривать как особый случай первых четырех. Эти уравнения имели ограниченную область применимости в связи с тем. что содержат ряд линеаризаций и аппроксимаций, которые не позволяют применить эти уравнения в областях. где1 скорость дифс])узии достаточно большая (например, возле ре1 зопапеа). Как следствие, в этих областях существуем опасность количественной поточности расчетов. В работе |G7| впервые была получеша система обобщенных уравнечшй для скорости изменения радиуса пузырька и порога направленной диффузии, применимая в гораздо большем диапазоне параметров, а также1 согласующаяся с упомянутыми выше уравнениями при определенных ограничениях.

После1 дующие экспсримешы по однопузырьковой счшолюмипеецепции [18] показали, что одиночный пузырек в сильном акуетичеч-ком поле1 в течение1 нескольких дней может колебаться без изменения начального размера. Это наблюдение данные1 матемагпческие теории обьяснить не1 могли.

Поскольку аналишчеекого решения полной системы уравнений задачи мас-сообеиа между колеблющимся пузырьком и жидкостью по существует, может быть найдено только численное решение1. Главная пробле\ма в таком подходе1 состоит в том. что изменение срсушего за период значения массы пузырька очень

мало и близко к погрешности расчета. Кроме того, численный эксперимент требует1 значительных затрат машинного времени. Все это привело к созданию приближенных и асимптотических моделей |41, 79. 94. 117. 118. 143]. некоторые из которых рассмотрены ниже.

В работах [117] и |79] предложено адиабатическое приближение диффузионной задачи. Авторы последней разработали асимптотический метод решения задачи направленной диффузии. Для определения перемещения растворенного в жидкости газа, они разделили задачу па гладкую, описывающую направленное изменение массы, и осциллирующую, где средний маесообмен за одно колебание пузырька полагается пулевым. Гладкая задача была решена для линейных колебаний малой амплитуды. Решение обоих частей справедливо везде в жидкости. Решение задачи с осциллирующим граничным условием характеризуется тонким ногранелоем в ноле концентрации, толщина которого контролируется числом Пекле. Эта часть отвечает за неустойчивую составляющую граничного условия, по быстро стремится к пулю при удалении от пузырька. Решение1 гладкой задачи характеризуем устойчивую, усредненную часть гранич-1юго условия, отвечающего за поток газа, растворенного 15 жидкости, внутри или вне осциллирующего пузырька.

В работе [94] отмечалось, что возможны две различные1 е[)азы одпонузырь-ковой сонолюминеч'ценции: дифе^узионно устойчивая и дис1)фузионно неустойчивая. а также1 могло наблюдаться отсутствие сополюмипесцспции. Для того, чтобы определить, какой случай из трех мехжпо наблюдать при определенных параметрах, были рассчитаны сказовые1 диаграммы в пространстве состояний для концентрации газа от управляющето давления, а также для равновесного радиуса пузырька от концентрации газа и от управляющего давления. Оказалось. что соиолюминесценция происходит в довольно малом парамемрпческом промежутке: в случае больших амплитуд звукового давления (от 1.2 до 1.5 атмосфер) и малой концентрации газа (менее 0.4% насыщения). С возрастанием управляющего давления верхний порог концентрации становится меньше1.

Эти результаты частично соответствовали экспериментальным данным группы Putterman ¡48 -51. 95. 11G. 117|. где было открыто множество удивительных свойств светящихся пузырьков. Все утверждения проводились на основе1 обыкновенного дифференциального уравнения Рэлея Плессета для динамики пузырька в адиабатическом приближении, чтобы учесть диффузионные эффекты. Было проведено сравнение адиабатической аппроксимации с полным численным решением уравнений адвекции-диффузии в частных производных и было найдено хорошее соответствие1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бутюгина, Екатерина Валерьевна, 2015 год

Список литературы

1. Аганин А. А.. Давлетшин А. И. Моделирование взаимодействия игзовых пузырьков в жидкости с учетом их малой несферичпости Мат1, моделирование. 2009. Т. 21. С. 89-102.

2. Агании А. А.. Ильгамов М. А.. Косоланова Л. А.. Малахов В. Г. Нелинейные несфернческие колебания пузырька газа при периодическом изменении давления окружающей жидкости Теплофизика и аэромеханика. 2008. Т. 15. С. 521-533.

3. Аганин А. А.. Коеолапова Л. А., Малахов В. Г. Нелинейные радиальные колебания и пространственные перемещения иесферического газового пузырька в жидкости Мат. моделирование. 2011. Т. 23. С. 50 57.

4. Ахатов И. Ш.. Вахитова Н. К.. Галеева Г. Я. и др. О слабых колебаниях газового пузырька в сферическом объеме сжимаемой жидкости ПММ. 1997. Т. Т.61(0). С. 952-902.

5. Большаков Г. В.. Гулин Е. И.. Торчиев Н. Н. Физико-химически«1 основ!,1 применения моторных, реактивных и ракетных тонлив. Москва: Химия. 1905.

0. Бутюгина Е. В.. Насибуллаева Э. Ш. Динамика пузырька в кластере1 с учетом массоиерепоса Весгпик Баи1кирского университета. 2015. Т. 20 (1). С. 11 19.

7. Бугюгина Е. В.. Наеч1буллаечза Э. Ш.. Ахаюв И. Ш. Примечание миогомасштабпого подхода к моделированию динамики одиночноге) пузырька в акуетичеч-ком иоле1 Сборник тезисов Всч'росенйоксш молодежной научно-ирактичеч'кой коис1)срснции «Актуальные вопросы науки и образования». Уфа: 2013. Р. 103.

8. Бутюшна Е. В.. Наечтбуллаева Э. Ш.. Ахаюв И. Ш.. Гумеров Н. А. Свидетельство о государственной 1)егие'т})апии программы для ЭВМ: Чпслечшое1 моделирование динамики пузырька в акусч'ичеч'ком поле1 с учемом дие})е})у-

зии газа между пузырьком и жидкостью. №2014611975. 2014.

9. Бутюгина Е. В.. Насибуллаева Э. III.. Гумеров Н. А.. Ахатов И. Ш. Численное моделирование динамики газового микропузырька в акустическом поле с учетом процесса направленной диффузии , Вычислительная меха-пика сплошных сред. 2014. Т. 7 (3). С. 234 244.

10. Волкова Е. В. Нелинейные колебания одиночного пузырька в акустическом поле Труды Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». БашГУ. Уфа. Россия: 2011. Р. 40 44.

11. Волкова Е. В. Численное моделирование нелинейных колебаний одиночного пузырька под деГкчвием акустического поля в одномерном случае Труды Института механики. 2011. Vol. 8. Р. 45-53.

12. Волкова Е. В. Об ускорении расчетов для задачи динамики газового пузырька с учетом направленной диффузии средствами Matlab ' Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2012): труды международной научной конференции. (Новосибирск. 26 30 марта 2012 г.). Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ: 2012. Р. 710.

13. Волкова Е. В.. Насибуллаева Э. Ш. Влияние1 масеообмена на динамику газового пузырька в акустическом ноле , Вестник Башкирского университета. 2012. Vol. 17(4). Р. 1661-1665.

14. Волкова Е. В.. Насибуллаева Э. Ш. Численное исследование динамики пузырька с изменяющейся массой газа в акустическом поле Труды VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова. Абрау-Дюрсо: 2012. Р. 21 23.

15. Волкова Е. В.. Насибуллаева Э. III. Эффект массопереноса в задаче о динамике одиночного пузырька в акустическом поле Труды Международной молодежной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее

приложения в естествознании». Уфа: 2012. Р. 110. 10. Волкова Е. В.. Насибуллаева Э. Ш.. Ахаюв И. Ш. Исследование влияния диффузии газа на динамику пузырька в акустическом ноле1 Том 1 трудов V Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвященной 20-летию со дня основания Института механики УНЦ РАН. 02 - 05 июля. Уфа: 2012. Р. 23-28.

17. Волкова Е. В.. Насибуллаева Э. Ш.. Ахатов И. Ш.. Гумеров Н. А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ: Программный продукт для численного исследования динамики одиночного пузырька в акустическом поле с учетом направленной диффузии. №2013012090. 2013.

18. Воронин Д. В.. Санкнн Г. II., Тееленко В. С. и др. Вторичные акустические волны в нолидисперсной пузырьковой среде ; ПМТФ. 2003. Т. 44. С. 22 32.

19. ГОСТ 10227-80. Топлива для реактивных двигателей. Ввод. 1987-01-01. Москва: Стапдартипформ. 2008.

20. ГОСТ 3900-85. Нефть и нефтепродукты. Методы определения плопюети. Ввсд. 1987-01-01. Москва: Стандаргинформ. 2000.

21. Домидович Б. П.. Марон И. А. Основы вычислительной математики. Изд. 2. Москва: Физ-Маг. Лит.. 1903.

22. Добрынин А. Н. Проектирование гидромеханических систем ав 1 статического регулирования авиадвигателей. Часчь 1. Москва: ЦИАМ. 1980.

23. Дубовкин И. Ф.. Маланпчева В. Г.. Массур К). П.. Федоров Е. П. Физико-химические и эксплуатационные4 свойечва реактивных гоплив. Справочник. Москва: Химия. 1985.

24. Кедринсжий В. К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и мод сути. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000.

25. Кнэпп Р.. Дейлп Д.. Хэммиг Ф. Звукохимические реакции и сонолюмпнпс-

цепиция. Москва: Мир. 1974. 2G. Ламб Г. Гидродинамика. Москва: Гоечехиздат. 1947.

27. Ландау Л. Д.. Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. T. VI. Гидродинамика. Москва: Наука. 1986.

28. Ландау Л. Д.. Лифшиц Е. М. Статистическая гидродинамика. Ч. 1.2. Москва: Наука. 1998.

29. Маргулис М. А. Звукохимические реакции и еонолюмииисценнция. Москва: Химия. 1968.

30. Насибуллаева Э. Ш.. Axa гор, И. Ш. Динамика пузырькового кластера в акустическом поле Акуст. журн. 2005. Vol. 51 (6). Р. 813 821.

31. Насибуллаева Э. Ш.. Ахатов И. Ш. Исследование диффу знойной устойчивости пузырьков в кластере ПМТФ. 2007. Vol. 48 (4). Р. 40 48.

32. Насибуллаева Э. Ш.. Волкова Е. В. Нелинейная динамика пузырька с учетом диффузии газа в акустическом поле ' Обозрение* прикладной и промышленной математики. Vol. 19 (5). 2012. Р. 727.

33. Нигматулии Р. И. Основы механики гетерогенных сред. Москва: Наука. 1978.

34. Основные физические* ечзойства и характеристики печати и нсч^тепродук'шв. [Электронный источник]. URL: http:, www.шт.ш ehern lieft htiiils Base*%20pmpertie*s.cloo. Дата обращения: 27.03.2015.

35. Полянин А. Д. Справочник не) линейным уравнениям ма гематичсч-кой е[ш-зики. Москва: Физматлит. 2001.

36. Скерость звука в реактивных топливах. [Электронный источник]. URL: http: thermaliiifo.nl рпЫ zhielkosti toplivo_i_inaslo bkorost_zvuka_v _rcaktiviiykli_teplivakli 31-1-0-394. Да)а обращения: 27.03.2015.

37. Тихонов А. Н.. Самарский А. А. Уравнения математичеч-кой е[)изики. Москва: Наука. 1977.

38. Точный расчет плотности нес[)юпродук7а. [Электронный исчч)чпик]. URL:

littp: www.potrolmarket.ru l.htm. Дата обращения: 16.10.2014.

39. Флинн Г. Физика акустической кавитации в жидкостях. Физическая акустика. Под ред. У. Мезона. Т.1. Ч. Б. Москва: Мир. 1907.

40. Хайрер Э.. Нёрсетт С.. Ваинер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Москва: Мир, 1990.

41. Akhatov I. S.. Gumerov N. A.. Ohl C.-D. et al. The role of surface tension in stable single-bubble sonolumiiieseence Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78(2). P. 227-230.

42. Akhatov I. S.. Nasibullaeva E. S.. Volkova Y. V.. Gumerov N. A. Dynamics of bubble clusters in acoustic field ,J.Acoustic Soc. Am. 2011. Vol. 130 (4). P. 2403.

43. Akuliehcv V. A. Acoustic cavitation in low-temperature liquids Ulhasonies. 1984. Vol. 24. P. 8-18.

44. Apfel R. E. Sonic effervescence: a tutorial on acoustic cavitation Л. Aeonst. Soc. Am. 1977. Vol. 101. P. 1227-37.

45. Arora M.. Junge L.. Ohl C.-D. Cavitation cluster dynamics irr shock-wave1 lithotripsy: Part 1. Free field Ultrasound Med. Biol. 2005. Vol. 31. P. 827 839.

40. Arora M.. Ohl C.-D.. Lolise D. Effect of nuclei concentration on cavitation cluster dynamics J. Aeoust. Soc. Am. 2007. Vol. 121. P. 3432 3430.

47. Barber B. P.. Ililler R. A.. Lofstedt R. et al. Defining the unknowns of sonolu-mirrescence Phys. Rep. 1997. Vol. 281. P. 05-143.

48. Barber B. P.. Putterman S. J. Observation of synchronous picosecond sonolu-minescence Nature (London). 1991. Vol. 352. P. 318-320.

49. Barber B. P.. Putterman S. J. Light scattering measurements of the repetitive supersonic implosion of a sorroluminescing bubble Phys. Rcw. Lett. 1992. Vol. 09. P. 3839.

50. Barber B. P.. Weninger K.. Lofstedt R.. Puttenrran S. J. Observation of a new phase of solюluшinesee^ncч, at low partial pressure's Phys. Rev. Lett. 1995.

Vol. 74. P. 527G.

51. Barber B. P.. Wu C. C.. Roberts P. H. et al. Sensitivity of soiioluiniiiescenee to experimental parameters Pliys. Rev. Lett. 1994. Vol. 72. P. 1380 1383.

52. Benjamin T. B., Ellis A. T. Self-propulsion of asymmetrically vibrating bubbles J. Fluid Mech. 1990. Vol. 212. P. 65 80.

53. Blake F. G. The onset of cavitation in liquids: Ph.D. thesis ' Acoustics Res. Lab.. Harvard University. 1949.

54. Blake J. R.. Gibson D. C. Cavitation bubbles near boundaries Annu. Rev. Fluid Mech. 1987. Vol. 19. P. 99 123.

55. Borkent B. M.. Dammcr S. M.. Schonhcrr H. et al. Superstability of surface nanobubbles ' Pliys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 204502.

56. Brennen C. E. Cavitation and bubble1 dynamics. New York: Oxford U.P.. 1995.

57. Brenner M. P.. Hilgenfeldt S.. Lohse D. Single-bubble sonoluminosconee Rev. Mod. Pliys. 2002. Vol. 74. P. 425 84.

58. Brenner M. P.. Lohse1 D. Dynamic equilibrium mechanism for surface lianobub-ble stabilization , Pliys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 214505.

59. Butyugina E. V.. Nasibullaeva E. S.. Gumerov N. A.. Akhatov I. S. Multi-scale te'ehniciue for numcTical simulation of dynamics of soluable bubblers Contribution paper of sumnicT workshop "Dynamics of Dispciesc'd systenns: experimental and numerical iese4arch on nano-. micro-. mc^o- and macroscalc\s". June 22 - 28. Ufa: 2014. P. 11.

60. Caupin F.. Herbert E. Cavitation in water: a review C. R. Physitpie1. 2006. Vol. 7. P. 1000-17.

61. Chahine G. L.. Duraiswami R. Dynamical interaction in a nmlti-bubble cloud J. Fluids Engng. 1992. Vol. 114. P. 680 086.

62. Cole K. D.. Beck J. V.. Haji-Shenkh A.. Litkouhi B. Heat Conduction Using Green's Functions. Texas. USA: CRC Press: 2 edition (July 16. 2010). 2010.

63. Cole R. H. UndcTwator Explosions. Princeton: Princeton University Piess. 1948.

64. Crank J. The Mathematics of Diffusion. Oxford: Clarendon Press. 1956.

65. Crank J., Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heatconduction type Math. Proe. Cambridge. 1947. Vol. 43 (1). P. 50 67.

66. Crum L. A. Measurements of the growth of air bubbles by rectified diffusion , ,J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol. 08(1). P. 203-211.

67. Crum L. A.. Hansen G. M. Generalized equations for rectified diffusion J. Acoust. Soc. Am. 1982. Vol. 72(5). P. 1586-1592.

68. Cium L. A.. Mason T. J.. Reisse J. L.. Susliek K. S. Sonoehemistry and Sono-luminescence. Dordrecht: Kluwer. 1999.

69. D'Agostino L.. Brennen C. E. Linearized dynamics of spherical bubble clouds , / J. Fluid Mech. 1989. Vol. 199. P. 155-176.

70. Doinikov A. A. Bubble and Particle Dynamics in Acoustic Fields: Modern Trends and Applications. Kerala. India: Research Signpost. 2005.

71. Eller A.. Flynn H. G. Rectified diffusion during nonlinear pulsations of cavitation bubbles , J. Acoust. Soc. Am. 1965. Vol. 37 (3). P. 493 503.

72. Eller A. I. Damping constants of pulsating bubbles J. Acoust. Soc. Am. 1970. Vol. 47. P. 1469 1470.

73. Eller A. I. Bubble Growth by Diffusion in an llkllz Sound Field ,J. Acoust. Soc. Am. 1972. Vol. 52. P. 1447-1449.

74. Eller A. I. Effects of diffusion on gaseous cavitation bubbles J. Acoust. Soc. Am. 1975. Vol. 57. P. 1374-1379.

75. Feng Z. C.. Leal L. G. Nonlinear bubble dynamics Annu. Rev. Fluid Mech. 1997. Vol. 29. P. 201 43.

70. Flynn H. G. Cavitation dynamics. I. A mathematical formulation J. Acoust. Soc. Am. 1975. Vol. 57(0). P. 1379 1369.

77. Flynn H. G. Physics of acoustic cavitation Physical Acoustics ed \Y P Mason. New York: Academic. 1999. Vol. 1. P. 57-172.

78. Foldy L. L. The multiple scattering of waves. I. General theory of isotropic

scattering by randomly distributed scatterers < Phys. Rev. 1945. Vol. G7. P. 107-119.

79. Fvrillas M. M.. Szeri A. J. Dissolution or growth of soluble spherical oscillating bubbles ' J. Fluid Mecli. 1994. Vol. 277. P. 381-407.

80. Gaitan D. F.. Crurii С. C.. Church С. C., Roy R. A. Sonolumineseenee and bubble dynamics for a single, stable, cavitation bubble Л. Acoust. Soc. Am. 1992. Vol. 91. P. 31G0 3183.

81. Gilmore F. L. The collapse and growth of a spherical babble in a viscouse compressible liquid Californ. Tech. Univ. Hydrodynamics Lab. 1952. Vol. 24(4).

82. Gould R. K. Rectified diffusion in the presence of. and absence of. acoustic streaming ' Л. Acoust. Soc. Am. 1974. Vol. 5G. P. 1740-1746.

83. Gumerov N. A. On self-organization of voids in acoustic cavitation ' Proceedings of the Third International Conference on Multiphase Flow. ICMF '98. Lyon. June 8-12. 1998. Lyon, France: 1998. P. P513_8.

84. Gumerov N. A. Dynamics of Vapor Bubbles in Acoustic Fields , Proceedings of The International Conference on Multiphase Systems. ICMS '2000. Ufa. Russia. June 15-17. 2000. Ufa. Russia: 2000. P. 181 18G.

85. Gumerov N. A. Dynamics of vapor bubbles with nonequilibrium phase1 transitions in isotropic acoustic fields Physics of fluids. 2000. Vol. 12(1). P. 71 88.

86. Gumerov N. A.. Akhatov I. S. Numerical simulation of 3D self-organization of bubbles in acoustic fields Proceedings of the 8th International Symposium on Cavitation. Singapore: 2012.

87. Gumerov N. A.. Akhatov I. S.. Nasibullaeva E. S. et al. Simulations of self-organization of bubbles in acoustic fields in three dimensions J.Acoustic Soc. Am. 2011. Vol. 130 (4). P. 2370.

88. Gumerov N. A.. Akhatov I. S.. Ohl C.-D. et al. Waves of Acoustically Induced Transparency in Bubbly Liquids: Theoretical Prediction and Experimental Validation Proceedings of the ASME 2013 International Mechanical Engineering

Congress & Exposition (IMECE 2013). San Diego. CA. USA: 2013. P. 03200.

89. Gumerov N. A.. Ohl C.-D.. Akhatov I. S. et al. Waves of acoustically induced transparency in bubbly liquids: theory and experiment POMA. 2013. Vol. 19. P. 045012_9.

90. Hammer D.. Frommliold L. Sonoluminescence: how bubbles glow J. Mod. Opt. 2001. Vol. 48. P. 239-77.

91. Hamrock B. J.. Sclnnid S. R.. Jacobson B. (). Fundamentals of Fluid Film Lubrication. 2nd. ed. New York: Marcel-Dekker. 2004.

92. Hatanaka S.. Yasui K.. Kozuka T. et al. Influence of bubble clustering on multibubblc sonolumincscencc , Ultrasonics. 2002. Vol. 40. P. 055-000.

93. Herring C. Theory of pulsation of the gas bubble produced by an underwaler explosion OSRD Report. 1941. Vol. 230.

91. Hilgenfeldt S.. Lohse D.. Brenmer M. P. Phase diagrams for sonoluminescing bubbles Phys. Fluids. 1990. Vol. 8. P. 2808 2820.

95. Ililler R.. Weninger K.. Putterman S. J.. Barber B. P. Effect of noble gas doping in single-bubble sonoluminescence Science. 1994. Vol. 200. P. 248.

90. Hsich D. Y.. Plesset M. S. Theory of rectified diffusion of mass into gas bubbles J. Acoust. Soc. Am. 1901. Vol. 33 (2). P. 200 215.

97. Ishida N.. Inoue T.. Miyahara M.. Higaslhtani K. Nano Bubbles on a Hydrophobic Surface itr Water Observed by Tapping-Mode Atomic Force1 Microscopy Langrrruir. 2000. Vol. 10. P. 0377 0380.

98. Itkulova Y. A.. Abramova O. A.. Gumerov N. A. Boundary element simulations of compressible bubble dynamics in Stokes flow Proceedings of the ASME 2013 International Mechanical Engineering Corrgress & Expositiorr (IMECE 2013). San Diego. CA. USA: 2014.

99. Itkulova Y. A.. Abramova O. A.. Gumerov N. A.. Akhatov I. S. Boundary element simulations of free1 and forcenl bubble oscillations in potential flow Proceedings of the ASME 2014 International Mechanical Engineering Congre\ss k Expositiorr (IMECE 2014). Montreal. Canada: 2014.

100. Keller J. B.. Miksis M. Bubble oscillations of large amplitude , J. Acoust. Soe. Am. 1980. Vol. G8(2). P. 628-633.

101. Knap]) R. T.. Daily J. D.. Hammitt F. G. Cavitation. New York: McGraw-Hill. 1970.

102. Kobelev Y. A.. Ostrovsky L. A. Nonlinear acoustic phenomena due to bubble1 drift in a gasliquid mixture / J. Aeoust. Soc. Am. 1989. Vol. 85. P. G21 G29.

103. Koch P.. Kurz T.. Pailitz U.. Lauterborn W. Bubble1 dynamics in a standing sound field: The bubble habitat , 7 J. Acoust. Soc. Am. 2011. Vol. 130. P. 3370 3378.

104. Kuznetsova Y. A.. Kuznetsov A. P.. Knuclsem C.. Mosekilcle E. Catastrophe theoretic classification e)f nonlinear oscillators / Int. J. Bifurcation Chaos. 2004. Vol. 14. P. 1241-66.

105. Lauterbon W.. Parlitz U.. Holzfuss J. et al. Acoustic Chaos American Institute1 of Physie-s Conference Proceedings. Woodbury, New York: 1996. P. 217-230.

106. Lauterborn W. Investigation of nonlinear oscillations of gas bubbles in liquids , J. Acoust. Soc. Am. 1976. Vol. 59. P. 283 93.

107. Lauteiborn W. Cavitation and Inhomogenienties in Underwater Acoustics. Berlin: Springer. 1980.

108. Lauteiborn W.. Cramer E. Subharmonic route1 to chaos observed in acoustics Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 20. P. 1145 8.

109. Lauterboin W.. Koch A. Holographic- observation of pcriod-doublcHl and chaotic bubble Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 20. P. 1445 8.

110. Lauterborn W.. Kurz T.. Mc'ttin R.. Ohl C.-D. Experimental and theoretical bubble1 dynamics Adv. Chem. Phys. 1999. \'ol. 110. P. 295 380.

111. Lauterborn W.. Parlitz U. Methods of chaos physics and their applications to acoustics J. Acoust. Soc. Am. 1988. Vol. 84. P. 1975-93.

112. Lee ,].. Kentish S.. Ashokkumar M. Effect of Surfactants on the Rate of Giowth of an Air Bubble by Rectified Diffusion J. Phys. Chem. B. 2005. Vol. 109.

P. 14595-14598.

113. Leighton T. G. The Acoustic Bubble. London: Academic. 1994.

114. Leong T.. Wu S.. Kentish S.. Ashokkumar M. Growth of Bubbles by Rectified Diffusion in Aqueous Surfactant Solutions / J. Phys. Chern. C. 2010. Vol. 114. P. 20141-20145.

115. Lczzi A.. Prosperetti A. Bubble dynamics in a compressible liquid. 2.Second-order theory J.Fluid Mech. 1987. Vol. 185. P. 289 321.

110. Lofstedt R.. Barber B. P.. Putterman S. Toward a hydrodynamic theory of soiiolnminesccnco Phys. Fluids A. 1993. Vol. 5. P. 2911 2928.

117. Lofstedt R.. Weninger K., Putterman S.. Barber B. P. Sonoluminescing bubbles and mass diffusion Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 4400 4410.

118. Louisnard 0.. Gomez F. Growth by rectified diffusion of strongly acoustically forced gas bubbles in nearly saturated liquids Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67(32). P. 610-622.

119. Lugli F.. Zerbetto F. An introduction to bubble dynamics Phys. Cherrr. Chem. Phys. 2007. Vol. 9. P. 2447-56.

120. Matlab Documentation: ode45 function. (Electronic Source|. URL: http: www.mathworks.eom help matlab ref ode45.html. Date: 27.03.2015.

121. Meidani A. R. N.. Hasan M. Mathematical and physical modelling of bubble growth dire to ultrasound Applied mathematical modelling. 2004. Vol. 28. P. 333 351.

122. Moiseeva E. F.. Malyshev V. L.. Marvin D. F. et al. Molecular dynamics simulations of nanobubbles formation near tire substrate in a liquid with dissolved gas Proceedings of the ASME 2014 International Mechanical Engineering Congress Exposition (IMECE 2014). Montreal. Canada: 2014. P. 37050.

123. Moiseeva E. F.. Malyshev V. L.. Maryin D. F. et al. FMM GPU accelerated molecular dynamics simulation of phase transitions in water-nitrogen-metal systems Proceedings of the ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress Exposition (IMECE 2012). Houston. Texas. USA: 2012. P. 86246.

124. Morch K. A. Energy considerations on the collapse of cavity cluster Appl. Sci. Res. 1982. Vol. 38. P. 313 321.

125. Morch K. A. The development of cavity clusters in tensile stresses fields Proceedings of the IUTAM symposium on adiabatic waves in liquid-vapor systems. Goettingen. Germany. August 28 - September 1. 1989. Goottingen: Springer-Verlag GmbH: 1990. P. 427-436.

126. Nasibullaeva E. S.. Akhatov I. S. Bubble cluster dynamics in ail acoustic field , J. Aeoust. Soc. Am. 2013. Vol. 133 (6). P. 3727 3738.

127. Nasibullaeva E. S.. Volkova E. V.. Gumerov N. A.. Akhatov I. S. Bubble cluster dynamics in an acoustic field Proceedings of the 8th International Symposium on Cavitation (CAV2012). August 13-16. Singapore: 2012. P. Submission No. 190. 6 pages.

128. Nayfch A. H. Introduction to perturbation techniques. New York: Wiley-Inter-scienee Publication. 1993.

129. Neppiras E. A. Acoustic cavitation Phys. Rep. 1980. Vol. 61. P. 159 251.

130. Nigmatulin R.. Achat ov I.. Va chit ova N.. Laliey J. R. T. The resonant supercompression and sonoluminisccnce of a gas babble* in a liquid-filled flask Cliem. Eng. Comm. 1998. Vol. 168. P. 145 169.

131. Parlitz U.. Englisch V.. Seheffczyk C.. Lauterborn \V. Bifurcation structure of bubble oscillators J. Aeoust. Soc. Am. 1990. Vol. 88. P. 1061 77.

132. Parlitz U.. Mettin R.. Luther S. et al. Spatio-temporal dynamics of acoustic cavitation bubble clouds Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1999. Vol. 357. P. 313 334.

133. Plesset M. S. The* dynamics of cavitation bubbles J. Appl. Mecli. 1949. Vol. 16. P. 277-282.

134. Plesset M. S.. Prosperetti A. Bubble dynamics and cavitation Annu. Rev. Fluid Mecli. 1977. Vol. 9. P. 145 85.

135. Plesset M. S.. Zwik S. A. A nonsteady heat diffusion problem with spherical symmetry J.Appl.Phys. 1952. Vol. 23. P. 95 98.

13G. Prosperetti A. Bubbles , Pliys. Fluids. 2004. Vol. 10. P. 1852 05.

137. Prosperetti A.. Lezzi A. Bubble dynamics in a compressible liquid. I. First-order theory < / J. Fluid Mceli. 1980. Vol. 108. P. 457-478.

138. Puttcrman S. J.. Weninger K. R. Sonoluminescence: How bubbles turn sound into light Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. Vol.32. P. 445-70 3 colour plates.

139. Rayleigh L. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity Phil. Mag. 1917. Vol. 34(200). P. 94-98.

140. Rozenberg L. D. High-Intensity Ultrasonic Fields. New York: Plenum. 1971.

141. Safar M. H. Comment on Papers Concerning Rectified Diffusion of Cavitation Bubbles , J. Acoust. Soe. Am. 1908. Vol. 43. P. 1188 1189.

142. Scheffczyk C.. Parlitz U.. Kurz T. (4 al. Comparison of bifurcation structures of driven dissipativc nonlinear oscillators ' Pliys. Rev. A. 1991. Vol. 43. P. 0495 502.

143. Sile T.. Virbulis J.. Timuhins A. et al. Modelling of Cavitation and Bubble Growth During Ultrasonic Cleaning Process ( Proceedings of International Scientific Colloquium Modelling for Material Processing. Riga. September 10-17. 2010. Riga. Latvia: 2010. P. 329-334.

144. Skinner L. A. Pressure threshold for acoustic cavitation J. Acoust. Soc. Am. 1970. Vol. 47. P. 327 331.

145. Skinner L. A. Acoustically induced gas bubble growth J. Acoust. Soc. Am. 1972. Vol. 51. P. 378 382.

140. Susliek K. S. Ultrasound: Its Chemical. Physical and Biological Effects. New York: VCIl Publishers. 1988.

147. Takahira H.. Akamatsu T.. Fujikawa S. Dynamics of a cluster of bubbles in a liquid (Theoretical analysis) JSME Intern. ,T. Ser. B. 1994. Vol. 37 (2). P. 080-080.

148. Trilling L. The collapse and rebound of a gas bubble J. Appl. Pliys. 1952. Vol. 23. P. 14-17.

149. van Wijngaarden L. Mechanics and Physics of Bubbles in Liquids. Hague: Martinus Nijhoff Publishers. 1982.

150. Volkova E. V.. Nasibullaeva E. S.. Gumeu'ov N. A. Numerical simulations of soluble bubble dynamics in acoustic fields Proceedings of the ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress & Exposition (IMECE 2012). Houston. Texas. USA. November 9-15, 2012. 1 CD ROM, Article 80243. Houston. Texas. USA: 2012. P. 317 323.

151. Walton A. J.. Reynolds G. T. Soiiolumineseonec , Adv. Pliys. 1984. Vol. 33. P. 595-000.

152. Webb I. R., Payne S. J., Coussios C.-C. Effect of temperatuie on rectified diffusion during ultrasound-induced heating J. Acoust. Soc. Am. 2011. Vol. 130 (5). P. 3450-3457.

153. Xi X.. Cegla F.. Mettin R. et al. Collective1 bubble dynamics near a surface in a weak acoustic standing wave1 field , J. Acoust. Soc. Am. 2012. Vol. 132. P. 37-47.

154. Young F. R. Cavitation. London: McGraw-Hill, 1989.

155. Young F. R. Sonoluminoscenec1. Boca Raton: FL: CRC Pivss. 2005.