Динамика электрона в квантовых ямах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Багманов, Андрей Тамерланович

• Багманов, Андрей Тамерланович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Багманов, Андрей Тамерланович

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Обзор

1.1 Квантовые уравнения движения

1.2 Волновые шредингеровские решения

1.3 Гауссовы волновые пакеты

1.4 Квантовые возвраты и автокорреляции

1.5 Квантовые информационные технологии

Глава II. Колебания пакета в одномерной яме

2.1 Переход к безразмерному уравнению Шредингера

2.2 Начальный гауссов пакет с конечной скоростью

2.3 Тригонометрический пакет с начальной скоростью

2.4 Сингулярности и распределение энергий

2.5 Обобщение теоремы Эренфеста, периодические граничные условия

Глава III. Внешние воздействия на волновой пакет электрона

3.1 Движение пакета в стационарных полях

3.2 Квантовый осциллятор с двойной ямой

3.3 Классический резонанс для пространственно-ограниченного осциллятора

3.4 Биения при воздействии одиночным импульсом

3.5 Осциллятор с параметрическим изменением частоты $$

Глава IV. Методы вычислений

4.1 Численное моделирование уравнения Шредингера

4.2 Фурье-спектры решений уравнения Шредингера

4.3 Анализ регулярных решений и хаоса на модели Ресслера

4.4 Алгоритмы вычислений 126 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика электрона в квантовых ямах»

Актуальность работы. Многие проблемы в физике атомов и молекул, конденсированной среды, а также в нанотехнологиях и информатике сводятся к динамике волновых пакетов электрона в квантовых ямах. Квантовая яма с непроницаемыми стенками, гармонический и нелинейный осцилляторы в пространственно-ограниченной системе, классические резонансы, квантовые системы с заданным распределением потенциала на конечном промежутке, заключенном между непроницаемыми стенками, таят множество сюрпризов и невыясненных свойств. В последние годы отмечается существенный рост исследований и публикаций в этих областях. Они мотивируются логикой развития фундаментальной науки, современными "точными" технологиями, расширяющими возможности научного познания, а также техническими приложениями. Разработка квантовых приборов и компьютеров стоит на повестке дня современной науки и техники. Для решения многих проблем необходимы всесторонние знания о динамике электрона в квантовых ямах. Простейшая квантовая яма, рассматриваемая в квантовой механике - прямоугольная "бесконечно-глубокая яма". В учебниках по квантовой механике традиционно рассматриваются лишь стационарные решения уравнения Шредингера для частицы в такой яме. Нестационарные исследования при заданных начальных условиях стали выполняться в последние годы. Они связаны с изучением квантовых возвратов пакета в исходное состояние, основываются на квантовом аналоге теоремы Пуанкаре о возвратах. Другой объект - пространственно-ограниченный гармонический осциллятор. Здесь ветви параболы квадратичного потенциала ограничены стенками непроницаемой ямы. Квантовые системы с двойными ямами и туннелированием между ними могут быть реализованы на основе современных технологий в полупроводниках, они интенсивно исследуются с целью создания простейших наноустройств. Реальные квантовые системы являются ограниченными по размеру. Квантовая яма конечной глубины может быть исследована при помощи ямы с непроницаемыми стенками.

Такой подход рассматривался в литературе. Ограниченные в пространстве квантовые системы с распределенным потенциалом могут быть исследованы с нулевыми граничными условиями на волновую функцию. Исследования квантовых ям со сложным потенциалом требуют применения компьютерных методов. Постановка задач с начальными условиями является актуальной и совершенно необходимой для последовательного изучения квантового движения.

Цели и задачи исследования

1. В последнее десятилетие уделялось заметное внимание волновым пакетам микрочастиц в простых системах: потенциальных ямах или квантовых бильярдах, гармоническому и нелинейному осцилляторах, хаотизации движения. Следует отметить рост числа публикаций, в которых рассматриваются нестационарные уравнения Шредингера и исследуются их решения в различных ситуациях. Однако, теория движения волновых пакетов микрочастицы, например, электрона все еще разработана недостаточно и односторонне.

2. Необходимо исследовать динамические свойства при разных начальных и граничных условиях, стационарных и импульсных внешних воздействиях, основываясь как на решениях уравнения Шредингера для волновых функций, так и для полевых переменных: плотности и скорости вероятностной жидкости, квантового потенциала. Для изучения структурных свойств пакетов при их эволюции в квантовых системах необходимо исследовать пространственно-временные реализации и их Фурье-спектры, энтропию Шеннона, автокорреляционные функции. Знания о локальных значениях необходимо дополнить исследованиями усредненных по пространству динамических переменных как функций времени, провести сравнение с классическими аналогами этих величин. Только комплексный подход, включающий методы нелинейной динамики и вычислительной математики, может дать более полные представления о квантовых волновых закономерностях, а также о способах управления ими.

3. Хотя классическая теорема о возвратах была сформулирована А.Пуанкаре еще в 1890г., квантовый аналог ее обсуждался в научной литературе в 1957г.1, ее роль в квантовой механике стала осознаваться лишь в последние годы. Содержание ее составляют возвраты волновых пакетов к исходной форме (состоянию) через характерные квантовые масштабы времени, а также промежуточные состояния в виде коллапсов, фрагментаций. Здесь следует отметить классические и квантовые временные масштабы этих динамических процессов. Они могут быть выражены через соответствующие частоты. Для изучения роли этих масштабов, необходимо исследовать их проявление в виде Фурье-спектров плотности вероятности, а также для средних значений координаты и скорости - как функций времени. Фурье-спектры для временной эволюции средних значений координаты и скорости позволят увидеть связь мелкомасштабных осцилляций с крупномасштабной модуляцией, т.е. различных типов движения.

4. Наряду с временными реализациями для средних, необходимо исследовать пространственные реализации для плотности вероятности в фиксированные моменты времени, их Фурье-спектры, включающие изучение пространственных характерных масштабов, фрагментацию и другие свойства.

5. Используя теорему Эренфеста в ее исходной формулировке и с учетом ее модификации , исследовать временную эволюцию пространственных средних для координаты и скорости, а также фазовые портреты для них.

6. Исследовать влияние начальной скорости пакета на временную эволюцию как при отсутствии внешнего воздействия на микрочастицу, так и с учетом различных воздействий для простой квантовой системы с непроницаемыми стенками.

7. Рассматривая воздействие в виде одиночного импульса в течение короткого времени на волновой пакет, исследовать генерацию и формирование квантовых состояний в потенциальной яме с непроницаемыми стенками, изучить отклик на такое воздействие для плотности вероятности, а также для средних значений координаты и скорости и их Фурье-спектров.

8. Варьируя формы стационарных потенциалов, представляющих внешнее воздействие на пакет микрочастицы в яме, изучить пространственное динамическое сжатие пакетов в определенные моменты времени, и их последующую фрагментацию.

9. Для серии прямоугольных кратковременных импульсов, соответствующих постоянной классической силе воздействия, исследовать условия для классического резонанса в квантовой системе, представляющей пространственно-ограниченный гармонический осциллятор.

10.Для непрерывного сигнала во времени исследовать параметрические резонансы пространственно-ограниченного осциллятора.

11. Для нелинейного осциллятора с двумя потенциальными ямами исследовать временные осцилляции для средних значений динамических переменных и установить характерные временные масштабы.

Научная новизна диссертации

1. Проведены всесторонние и обширные количественные исследования динамики пакетов в квантовых ямах с ангармоническими потенциалами, они включают расчеты локальных динамических переменных, их пространственных средних, Фурье-спектров реализации, сингулярностей. Такой подход дает наиболее полную картину при заданных начальных условиях.

2. Установлены различные по величине временные масштабы (периоды), обусловленные квантовой рефокусировкой (возвратами) и классическим движением. Для иллюстрации масштабов дано аналитическое точное решение уравнения Шредингера с начальным условием в виде тригонометрического пакета с конечной скоростью, проведен спектральный Фурье-анализ решений.

3. Предложен нелинейный механизм сжатия волновых пакетов при ангармонических потенциальных воздействиях на электрон.

4. Изучены классические резонансы волновой динамики в квантовых ямах для пространственных средних значений координаты и скорости. Для параметрических эффектов исследован резонанс и обратное явление — уменьшение средних значений координат и скорости с течением времени. Рассмотрены импульсные и непрерывные сигналы внешнего воздействия.

5. Исследовано кратковременное импульсное воздействие на начальный волновой пакет в квантовой яме и его последующую эволюцию; проведены расчеты при разных длительностях и интенсивностях одиночного импульса.

6. Обсуждается необходимость корректировки теоремы Эренфеста для исключения возможных парадоксов в пространственно-ограниченных системах, дан пример.

7. Проведены расчеты временных масштабов для квантового осциллятора с двойной ямой при начальном условии в форме узкого тригонометрического пакета, распределенного в одной из ям. На основе Фурье-спектров и реализаций установлены характерные частоты, соответствующие разным временным масштабам.

Защищаемые положения

1. Рефокусировка и сжатие волновых пакетов в квантовой яме при внешних воздействиях;

2. Классические резонансы пространственно-ограниченного квантового осциллятора;

3. Генерация мелкоструктурированных волновых пакетов при воздействии одиночным импульсом;

4. Временные масштабы для квантового осциллятора с двойной ямой Практическая значимость работы. Теоретические исследования и компьютерное моделирование волновой динамики электрона, визуализация расчетов формируют научные представления и базу знаний, необходимую в физике конденсированного состояния, разработках квантовых приборов и в других целях. Разработанный программный продукт может быть использован для последующего исследования теории движения электрона в квантовых ямах, в физике конденсированного состояния, в теории передачи сигналов, а также в учебном процессе.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов, положений и выводов подтверждается внутренней согласованностью всей совокупности данных качественного анализа и численных расчетов, корректным применением апробированных методов вычислительной математики, квантовой механики и физики конденсированного состояния. Апробация. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Научно-практическая конференция и школа-семинар (С.-Петербург, 2004) "Формирование технической политики инновационных наукоемких технологий"; VII, VIII, IX Всероссийские конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" (С.-Петербург, 2003, 2004, 2005); XII Международная научно-методическая конференция "Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образовании и науке" (С.-Петербург, 2005); на Международной конференции "Лазеры. Измерения. Информация" (С.-Петербург, 2003, 2004, 2005); на Международной конференции "Лазеры для медицины, биологии и экологии" (С.-Петербург, 2002); на VII, VIII Международных рабочих совещаниях "Неразрушающий контроль и компьютерное моделирование в науке и технике" (С.-Петербург, 2003, 2004); на семинарах кафедры "Теоретическая физика" С.-Петербургского государственного политехнического университета. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16работах. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 70 наименований, содержит 136 страниц текста, иллюстрируется 85 рисунками. Личный вклад автора

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Багманов, Андрей Тамерланович

Выводы и результаты

В диссертации проведены обширные исследования динамики волновых пакетов электрона при разных формах силового воздействия на конечном промежутке с непроницаемыми границами (бесконечными стенками).

В частном случае, при отсутствии силового воздействия рассматриваемая квантовая система переходит в бесконечно глубокую потенциальную яму. Как известно, сама по себе бесконечная потенциальная яма для свободного движения пакетов между ее стенками представляет фундаментальную модель квантовой механики и является первым приближением квантовых полупроводниковых ям конечной глубины. Даже в этом, простейшем случае изучение динамики волновых пакетов при заданных начальных условиях все еще представляет собой открытую проблему. В диссертации исследованы эволюция начального узкого гауссова пакета с конечной скоростью и начального широкого тригонометрического пакета с начальной "целой" скоростью (в атомных единицах или связанных с конечной шириною ямы). На основе реализаций для плотности вероятности средних значений динамических переменных и их Фурье-спектров изучены полная и частичная рефокусировки (квантовые возвраты), характерные временные масштабы (мелкий и крупный), предложен дополнительный способ анализа временных масштабов. Вблизи узлов волновой функции обсуждается сингулярное поведение кинетической энергии и квантового потенциала Бома. Точные аналитические решения, записанные в виде суммы ряда, для начального тригонометрического пакета сравнивались с решениями уравнения Шредингера, полученными численно. В анализе для средних значений координаты и скорости контролировалось выполнение теоремы Эренфеста; приведен пример, когда требуется ее обобщение.

В более сложных режимах движения, когда вводится силовое воздействие на конечном промежутке с непроницаемыми границами, возникают новые свойства. Для ангармонических потенциалов, ограниченных стенками ямы, возможен эффект сжатия волнового пакета, обусловленный нелинейным механизмом. Он имеет место не только для степенных потенциалов, но и для гиперболического косинуса. Процессы движения сопровождаются фрагментацией.

Для квадратичного потенциала, ограниченного стенками ямы, т.е. пространственно-ограниченного осциллятора, при импульсных воздействиях на волновой пакет можно реализовать резонанс в эксперименте на основе современных полупроводниковых технологий. Параметрические эффекты, выражающиеся в резонансном росте среднего значения плотности тока или, наоборот, в уменьшении его также могут быть изучены на опыте. Ограничение параметрического резонанса по амплитуде и крупномасштабные модуляционные процессы могут быть обусловлены квантовыми возвратами. Проблема рефокусировок (квантовых возвратов) в системах с распределенным потенциалом на конечном промежутке с непроницаемыми границами требует более крупномасштабных расчетов временных процессов. Для нелинейного осциллятора с двойной ямой, заключенного между двумя непроницаемыми стенками, колебания волновых пакетов связаны с явлением туннелирования. При относительно малой величине потенциального минимума и регулярном режиме колебаний временные, разные по величине, масштабы хорошо выражены. Однако с увеличением потенциального минимума характер процессов усложняется: пакет длительное время находится в одной из ям, однако имеет место непрерывное перетекание вероятностной жидкости в другую яму. Воздействие одиночным кратковременным импульсом на начальный волновой пакет приводит к картине биений для плотности вероятности, а также средних значений координат и скорости. Динамические процессы также характеризуются двумя резко отличающимися временными масштабами. Разработанный программный продукт, изучение неавтономных уравнений Ресслера, визуализация многих расчетов могут быть использованы в последующих исследованиях и для учебных целей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Багманов, Андрей Тамерланович, 2005 год

1. P. Bocchieri and A. Loinger, "Quantum Recurrence Theorem", Phys. Rev., V. 107, No 2, p. 337-338, (1957).

2. R. N. Hill, "A paradox involving the quantum mechanical Ehrenfest's theorem", Am. J. Phys., V. 41(5), p. 736-738,(1973).

3. L. de Broglie, An introduction to Study of Wave Mechanics, N. Y. 1930

4. L. de Broglie. Non-linear wave mechanics. A causal interpretation, Amsterdam, London, N. Y. Princeton, 1960, 303p.

5. E. Madelung, "Quanten theorie in hydrodynamischer Form", Zs. Physic, 40, Band. 3./4. Heft, 322-326(1926).

6. D. Bohm, B. J. Hiley and P. N. Caloyeron, "An ontological basis for the quantum theory", Phys. Rep., V. 144, No 6, p. 323-375 (1987).

7. P. R. Holland, The quantum theory of motion, Univ. Press. Cambridge, 1993. 598 p.

8. A. JI. Санин. Квантовая гидродинамика. Издательство СПбГПУ Нестор, 2000

9. Альберт Мессиа. Квантовая механика, т. 1. М.:Наука, 1978. 480 с.

10. P. Holland. Some application of Neter's theorem // Am. J. Phys. V. 72. No 1, (2004)

11. D. A. Bohm, "Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of Hidden Variables", Phys. Rev., V. 85, p. 166-179 (1952).

12. D. F. Styer and others, "Nine formulations of quantum mechanics", Am. J. Phys. V. 70. No 1, p. 288-297, (2001)

13. Д. И. Блохинцев, "Основы квантовой механики", М.: Высш. школа, 1963.

14. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, "Теоеретическая физика", т. III, "Квантовая механика", -М., Наука, 1974.

15. А. А. Соколов, Ю. М. Лоскутов, И. Н. Тернов, "Квантовая механика", М., Учебно -педагогическое издательство, 1962.

16. Л. Шифф, "Квантовая механика" М.: ИЛб 1959.

17. В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган, "Задачи по квантовой механике", М.: Наука, 1992.

18. В. В. Балашов, В. К. Долинов, "Курс квантовой механики", М.: Наука, 1982.

19. В. А. Фок, "Начала квантовой механики", -М.: Наука, 1976.

20. А. Пиппард, "Физика колебаний (квантово механические системы)", - М., Высшая школа, 1989.

21. Marcos Moshinsky, "Diffraction in time", Phys. Rev., V. 88, No 3, p. 625-631 (1952).

22. G. Garsia-Calderon, J. Villavicencio, "Time dependence of the probability density in the transient regime for tunneling", Phys. Rev. A, V. 64,012107 (2001).

23. G. Garsia-Calderon and A. Rubio, "Transient effects and delay time in the dynamics of resonant tunneling", Phys. Rev. A 55, 3361 (1997).

24. G. Garsia-Calderon and R. E. Peierls. Nucl. Phys. A, V. 265, 443 (1976).

25. J. G. Muga and M. Biittiker, "Time dependence of evanescent quantum waves", Phys. Rev. A, V. 62, 02308 (1-13), (2000).

26. J.-Q. Wang, Si-Qi Yuan, Ben-Yuan Gu, and Guo Zhen Yang, "Guided electron waves in couplied deep quantum wells", Phys. Rev. В, V. 44, No 24, 13618 (1991).

27. М. Latka, P. Grigolini, В. J. West, "Classical resonance in the quantum dynamics of the ; driven surface state electron model", Phys. Lett. A 189, p. 145-153 (1994).

28. S. A. Fulling, K. S. Giinturk, "Exploring the prpogator of a particle in a box", Am. J. Phys., V. 71(1), p. 55-63,(2001).

29. Daniel F. Styer, "Quantum revivals versus clasical periodicity in the infinite square well", Am. J. Phys., 69(1), 56-62, (January 2001).

30. M. A. Doncheski, S. Heppelmann, R. W. Robinett, and D. C. Tussey, "Wave packet construction in two-dimensional quantum billiards: Blueprints for the square, equilateral triangle, and circular cases", Am. J. Phys., V. 71(6), 541-547, (June 2003).

31. Julio Gea-Banacloche, "A quantum bouncing ball", Am. J. Phys., V. 67(9), 776-783, (September 1999).

32. Robert Bluhm, V. Alan Kostelecky, James A. Porter, "The evolution and revival structure of localized quantum wave packets", Am. J. Physics., V. 64(7), 944-953, (July 1996).

33. D. S. Rokhsar, "Ehrenfest's theorem and the particle-in-a-box", Am. J. Physics., V. 64(11), 1416-1418, (July 1996).

34. R. W. Robinett, "Visualising the collapse and revival of wave packets in the infinite square well using expectation values", Am. J. Physics., V. 68(5), 410-420, (May 2000).

35. M. Nauenberg, "Autocorrelation function and quantum reccurence of wave packets", J. Phys. В 23, L 385-390 (1990).

36. J. A. del Alamo and С. C. Eugster, Appl. Phys. Lett. 56, 78 (1990).

37. Bandyopadnyay, M. R., Melloch, S. Datta, B. Das, J. A. Cooper, Jr., and M. S. Lundstrom, IEEE Digest of International Electron Devices Metting 86 (IEEE, New York, 1986), p.76

38. N. T. Bagraev, W. Gehlhoff, L. E. Klyachkin, A. M. Malyarenko, A. Naser and V. V. Romanov, "High temperature single-hole silicon transistors", Proc. SPIE, A. I. Melker, Editor, V. 3345, p. 166-174, WA, (1995).

39. N. T. Bagraev, W. Gehlhoff, L. E. Klyachkin, A. M. Malyarenko, L. A. Shelykh. \v Interenference of Ballistic Carriers in Modulated Quantum Wires, Phys. Low-Dim. Struct.,1. V. 1/2, p. 37, (2000 a).

40. Х.-Ю. Штокман. Квантовый хаос. M., Физматлит, 2004.

41. Konstantin К. Likharev and Tord Claeson, "Single electronics", Sci.Am. 266(6), 80-85,(1992).

42. Mark A. Kastner, "Artificial atoms", Phys. Today 46(1), 24-31, (1993).

43. M. Tinkham, "Coulomb blockade and an electron in a mesoscopic box", Am. J. Phys., 64(3), 343-347(1996).

44. К. А. Валиев, А. А. Кокин, "Из итогов XX века: от кванта к квантовым компьютерам. I. Физические основы построения квантового компьютера", Изв. ВУЗов. Электроника, № 4-5,46-52(2000).

45. К. А. Валиев, А. А. Кокин, "Из итогов XX века: от кванта к квантовым компьютерам. II. Квантовая элементная база", Изв. ВУЗов. Электроника, № 6, 3-9(2000).

46. Gerd Leuches, Thomas Beth (Eds). Quantum Information Processing, WILEY-VCH CmbH & Co. KGaA, Weinheim, 327p., 2003.

47. M. Б. Минский. Квантовые измерения и декогеренция.

48. J. A. Stovneng and Е. Н. Hauge, "Time-dependent resonant tunneling of wave packets in the tight-binding model", Phys. Rev. В, V. 44, No 24, 13582-13594, (1991-II).

49. Д. Бом. Квантовая теория. M., Наука, 1965, D. Bohm, Quantum theory, N.Y.: Prentice-Hall (1951).

50. A. L. Sanin, A. T. Bagmanov. Oscillatory motion of a quantum packet in a box with impenetrable walls at arbitrary inintial velocities. Proceed. SPAS. V. 8, 2004.

51. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. T.I. Механика. М., Физматлит, 1958.

52. A. Roy, J. К. Bhattacharjee, Chaos in the quantum double well oscillator: the Ehrenfest wiev revisited, Phys. Lett. A 288, p. 1-3, (2001).

53. С. Л. Соболев. Уравнения математической физики. — М., Наука, 1966.

54. Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М., Мир, 1990.

55. М. Ф. Романов, М. П. Федоров. Математические методы в экологии. — М., «Академия», 2004.

56. П. Берже, И. Помо, К. Видаль. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. «Меркурий-пресс», 2000.

57. A. L. Sanin, А. Т. Bagmanov. Non-autonomous equations of complicated Rossler's model and bifurcation cascades. Proc. of SPIE, 2002, V. 5127, pp. 201-206.

58. О. E. Rossler, Phys. Letters, 57A, 397 (1976).

59. A. J. Lichtenberg, M. A. Lieberman, Regular and Stochastic motion, Springer-Verlag, New-York, 1983.

60. H. В. Карлов, H. А. Кириченко. Колебания, волны, структуры- М., ФИЗМАТЛИТ, 2001.

61. М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков, Ведение в теорию колебаний и волн. М., Наука, 1984.

62. И. А. Белов, В. Н. Емельянов. Разностное моделирование течений газа и жидкости. — Л.: ЛМИ, 1982

63. Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб, «Лань», 2002