Динамика двухатомных систем в одномерных ангармонических ловушках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Ишмухамедов Ильяс Сапабекович

• Ишмухамедов Ильяс Сапабекович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Ишмухамедов Ильяс Сапабекович

Введение

Глава 1. Интегрирование уравнения Шредингера с

неразделяющимися переменными

1.1 Стационарная задача

1.1.1 Задачи на связанные состояния

1.1.2 Потенциал нулевого радиуса

1.1.3 Межатомное взаимодействие

1.2 Нестационарные задачи

1.2.1 Схема Кранка-Николсона

1.2.2 Одномерный осциллятор

1.2.3 Схема расщепления

1.2.4 Двумерный осциллятор

1.3 Выводы

Глава 2. Туннелирование двухатомной системы

2.1 Модель

2.2 Начальное состояние и спектр

2.3 Потенциал нулевого радиуса

2.4 Теория возмущений для энергии связанного состояния

2.5 Комплексный потенциал поглощения

2.6 Распад основного состояния

2.7 Распад возбужденных состояний

2.7.1 Верхняя ветвь первого возбужденного состояния

2.7.2 Нижняя ветвь первого возбужденного состояния

2.8 Оценка погрешности

2.9 Выводы

Глава 3. Туннелирование системы двух взаимодействующих

фермионов

3.1 Экспериментальный метод по локализации атомов

3.2 Модель

3.3 Начальное состояние и спектр

Стр.

3.4 Распад возбужденных состояний

3.4.1 Верхняя ветвь

3.4.2 Нижняя ветвь

3.5 Сравнение с предыдущими результатами

3.6 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальным направлением современной физики являются ультрахолодные атомамы и молекулы в связи с открывающимися здесь уникальными экспериментальными возможностями и новыми интересными приложениями [1]. В частности, обнаруженные недавно [2] геометрические резонансы [3] в ультрахолодном газе цезиевых атомов позволяют управлять межатомным взаимодействием в условиях внешнего запирающего оптического потенциала. В теоретических моделях геометрических резонансов [3], как правило, используется гармоническое приближение для описания взаимодействия плененных атомов с оптической ловушкой. Однако количественное описание и планирование экспериментов по их исследованию потребовали выхода за рамки этого приближения [3]. В частности, уже для интерпретации результатов эксперимента [2] возникла необходимость учета ангармонических эффектов во взаимодействии атомов с удерживающей ловушкой [4, 5].

Если ангармоническими поправками в условиях эксперимента [2] пренебречь нельзя, то эффективный одномерный псевдопотенциал дю(а±/а8)Ь(г) является хорошим приближением в этой задаче, поскольку размер оптической ловушки в поперечном направлении (х,у) намного меньше ее размера в продольном (г) [ ]. Это приближение позволяет значительно упростить расчеты, которые, тем не менее, удовлетворительно согласуются с экспериментом. Особый интерес представляет область вблизи геометрического резонанса, где эффективная одномерная константа связи (а±/а8), определяемая атомной длиной рассеяния в свободном пространстве а8 и поперечным размером оптической ловушки а±, сингулярна д\в(а±/а3) ^ [ ]. В одномерной геометрии возникают и другие эффекты при двухчастичных столкновениях [7, 8]. Так, одной из актуальных задач здесь является количественное описание туннели-рования атомов из одномерной ловушки через ее стенки, аппроксимируемые потенциалом ангармонического осциллятора. Как известно, задача квантового туннелирования возникает при описании и других квантовых процессов, в частности, сверхпроводимости и сверхтекучести [9, 10, 11], реакций деления и синтеза в ядерной физике [12].

Несмотря на многочисленные работы по квантовому туннелированию, начиная с классической работы Г.А. Гамова по альфа-распаду ядер, до кон-

ца неисследованным остается влияние парного взаимодействия в начальном состоянии двухчастичной квантовой системы на процесс ее распада через ограничивающий потенциальный барьер. Так, для описания распада взаимодействующей пары частиц в стандартном квазиклассическом приближении Вентцеля-Краммерса-Бриллюена требуется учет дополнительных поправок. Анализ распада усложняется при увеличении интенсивности парного взаимодействия [13, 14]. Разработано два подхода для решения этого класса задач. Первый подход состоит в решении стационарного уравнения Шредингера с граничным условием содержащим расходящуюся волну на бесконечности. Для примера, упомянем работы [15, 16, 17], в которых используется базис, включающий резонансные состояния. Более естественным, однако, на наш взгляд, является второй подход, исходящий из решения нестационарного уравнения Шредингера. В нем наглядно прослеживается временная динамика плотности распределения квантовых частиц и их туннелирование через потенциальный барьер. Подобный анализ применялся в работах [18, 19].

Неизученной оставалась до недавнего времени задача о туннелировании пары взаимодействующих частиц из их возбужденных состояний через удерживающие потенциальные барьеры ангармонической формы. В диссертации предложена и разработана теоретическая модель, позволяющая исследовать распад двухчастичных квантовых систем как из их основных, так и возбужденных состояниях с учетом между частичных взаимодействий и ангармонических слагаемых в запирающем потенциальном барьере. Эта работа актуальна также в связи экспериментальными исследованиями в Гайдельбергском университете [20, 21, 22], где удалось создать квазиодномерные оптические ловушки, удерживающие заданное число атомов в заданном квантовом состоянии. Эти исследования открывают возможность экспериментального конструирования малочастичных квантовых систем в ограниченной геометрии оптических ловушек и проверки теоретических моделей, описывающих туннелирование квантовых частиц через стенки запирающих ловушек [13, 14, 18].

Цели диссертационной работы

Главная цель диссертационной работы - создание и апробация простой, но перспективной модели, предназначенной для теоретического анализа процессов туннелирования и девозбуждения двухатомной системы в одномерной ангармонической ловушке оптического типа. В рамках модели:

• вычислить спектр связанных состояний двухатомной одномерной системы, плененной в ангармонической ловушке, в зависимости от эффективной

константы связи межатомного взаимодействия и формы ловушки;

•

системы в зависимости от эффективной константы связи межатомного взаимодействия, формы ловушки и заселенности начальных состояний.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Создан программный пакет для численного решения стационарного двухчастичного уравнения Шредингера, описывающего два взаимодействующих атома, плененных в одномерной ангармонической ловушке. Полученные решения этого уравнения (уровни энергии и волновые функции связанных состояний системы) использовались в качестве начальных условий при интегрировании нестационарного уравнения Шредингера, описывающего туннелирование и девозбуждение двухатомной системы, плененной в одномерной ангармонической ловушке;

2. Рассчитана зависимость эффективной константы связи контактного взаимодействия от параметров гауссовою потенциала, моделирующего межатомное взаимодействие;

3. Разработана вычислительная схема для численного интегрирования нестационарного уравнения Шредингера, описывающего динамику туннелиро-вания двух взаимодействующих атомов через стенки одномерной ангармонической ловушки;

4. Разработанные вычислительные схемы были протестированы на примерах с известными решениями. Для стационарного уравнения проведено сравнение с известными точными решениями для двумерного гармонического осциллятора. Для нестационарного уравнения Шредингера проведено сравнение с расчетами других авторов скоростей туннелирования из основного состояния одномерного ангармонического потенциала, аппроксимирующего атомную ловушку в Гайдельбергском университете [20, 21, 22].

Научная новизна

Впервые решена задача о туннелировании двух взаимодействующих атомов из возбужденных состояний удерживающих их одномерных ангармонических ловушек с фиксированными экспериментальными параметрами [2, 20, 21, 22]. В итоге, впервые вычислены скорости туннелирования и девозбуж-дения, временные зависимости заселенностей начальных состояний, плотности

потока вероятности и среднее число частиц, а также спектр энергии связанных состояний в таких двухатомных системах в зависимости от межатомного взаимодействия. Кроме того, впервые выявлены условия для последовательного и парного туннелирования одномерной двухатомной системы через стенки запирающей ловушки ангармонической формы.

Теоретическая и практическая значимость

Исследовательской группой в Гайдельберге (Германия) экспериментально изучаются квантовые системы из взаимодействующих атомов лития-6 в квазиодномерной геометрии оптических ловушек ангармонической формы. Для анализа результатов этих экспериментов [21, 22] использовался развитый в диссертации подход. Он может быть обобщен для анализа и более сложных задач туннелирования: например, для описания распада трехчастичных квантовых систем [23], для задач учитывающих спин частиц [24], а также для задач с более сложной геометрией удерживающих ловушек [25].

Совсем недавно результаты, полученные в диссертации, были использованы в эксперименте в Массачусетском технологическом институте (США) [26] по исследованию возможности создания управляемого квантового регистра из пар фермионных атомов, плененных в квазиодномерных ангармонических ловушках.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту:

1. Создана и апробирована перспективная реалистическая модель для теоретического анализа процессов туннелирования и девозбуждения двухатомной системы в оптической одномерной ангармонической ловушке. Результаты, полученные в рамках этой модели, согласуются с экспериментальными данными по туннелированию ультрахолодных атомов лития-6 и могут использоваться для интерпретации других процессов квантового туннелирования.

2. На основе предложенной модели создан и реализован метод расчета волновых функций и энергий связанных состояний двухчастичной квантовой системы в одномерной ангармонической ловушке и скоростей туннелирования этих состояний через стенки ловушки.

3. Впервые решена задача о туннелировании для системы двух взаимодействующих квантовых частиц из ее низколежащих возбужденных состояний.

4. Вычислены скорости туннелирования и девозбуждения системы двух взаимодействующих атомов из ее низколежащих состояний в зависимости от величины константы связи меж частичного взаимодействия и формы ловуш-

ки. Получено хорошее согласие с имеющимися экспериментальными данными по скоростям распада основного состояния двухатомной системы в ловушках того же типа.

5. Показано, что доминирующим механизмом туннелирования в рассмотренных случаях является последовательное туннелирование атомов из ловушки. Более того, определены условия перехода к механизму одновременного туннелирования пары атомов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика двухатомных систем в одномерных ангармонических ловушках»

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар сектора "Малочастичные системы", ЛТФ, Дубна, (2013), Описание ультрахолодных атомов в одномерной геометрии гармонической ловушки с реалистическим взаимодействием;

2. Семинар сектора "Малочастичные системы", ЛТФ, Дубна, (2014), Ангармонические эффекты в спектре двухатомной системы в одномерной оптической ловушке;

3. Семинар сектора "Малочастичные системы", ЛТФ, Дубна, (2016), Tunneling of two bosonic atoms from a one-dimensional anharmonic trap;

4. The International Workshop on Few-Body Systems, FBS-Dubna-2016, Dubna, Two atomic tunneling dynamics in a waveguide-like trap;

5. The International Conference "Mathematical Modeling and Computational Physics, 2017" (MMCP2017), Dubna, Finite-difference splitting scheme for three-dimensional schroedinger equation, describing tunneling from anharmonic atomic traps;

6. The XXI International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2017), Dubna, Tunneling of two bosonic atoms from a one-dimensional anharmonic trap;

7. Семинар сектора "Малочастичные системы", ЛТФ, Дубна, (2018), Tunneling of two interacting fermions;

8. The XXIII International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2019), Dubna, Tunneling of two interacting atoms from excited states;

9. Семинар Научного отдела теории атомного ядра, ЛТФ ОИЯИ, Дубна, (2019), Теоретическое исследование двухатомных одномерных систем в ангармонических ловушках;

10. Семинар сектора "Малочастичные системы", ЛТФ, Дубна, (2021), Динамика двухатомных систем в одномерных ангармонических ловушках

Степень достоверности

Используемые в диссертации подходы и методы являются апробированными методами интегрирования стационарных и нестационарных уравнений Шредингера применительно к задачам атомной и ядерной физики. В диссертации приводится подробная библиография по использованным методам. Надежность разработанных в диссертации вычислительных схем обеспечивалась сравнением расчетов с результатами экспериментов и имеющимися альтернативными расчетами модельных задач.

Публикации

Результаты диссертации были опубликованы в 5 рецензируемых журналах:

1. И.С. Ишмухамедов, Д.С. Вил иол ли и С.А. Жаугашева, Описание ультрахолодных атомов в одномерной геометрии гармонической ловушки с реалистическим взаимодействием, Письма в ЭЧАЯ, 11, №3(187), 390-400, (2014);

2. И.С. Ишмухамедов, Д.Т. Азнабаев и С.А. Жаугашева, Двухатомная система в одномерной ангармонической ловушке. Энергетический спектр Письма в ЭЧАЯ, 12, №5(196), 1052-1065, (2015);

3. I. S. Ishmukhamedov and V.S. Melezhik, Tunneling of two bosonic atoms from a one-dimensional anharmonic trap, Physical Review A, 95, 062701, (2017);

4. I. S. Ishmukhamedov, A. S. Ishmukhamedov and V.S. Melezhik, Numerical Solution of the Time Dependent 3D Schrodinger Equation Describing Tunneling of Atoms from Anharmonic Traps, EPJ Web of Conferences, 173, 03011, (2018);

5. I. S. Ishmukhamedov and A. S. Ishmukhamedov, Tunneling of two interacting atoms from excited states, Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 109, 24-29, (2019).

Личный вклад автора

Автор диссертации принимал участие в постановке задач диссертации, разработке алгоритмов вычислительных схем и программного пакета для реализаций их решений, анализе результатов и написании статей. Вклад соискателя в результаты диссертации является определяющим.

Структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации состоит из 81 страницы, из которых

72 страницы текста и 38 рисунков. Библиография занимает 6 страниц и содержит 63 ссылки.

и

Глава 1. Интегрирование уравнения Шредингера с неразделяющимися переменными

В данной главе излагаются использованные в диссертации численные методы для решения стационарного и нестационарного уравнений Шредингера, описывающих систему двух взаимодействующих атомов в ангармонических ловушках. Решения стационарных задач необходимы нам для определения волновых функций, которые используются в качестве начальных состояний при решении нестационарного уравнения Шредингера. Решения нестационарного уравнения Шредингера позволяют определять такие динамические величины как заселенность атомов в различных состояниях, потоки вероятностей и скорости распадов.

Используемый метод для решения стационарного уравнения Шредингера состоит из аппроксимации производных конечными разностями высокого порядка и методе обратной итерации для поиска собственных значений и собственных функций исходного уравнения.

Нестационарное уравнение Шредингера решается нами путем использования схемы расщепления [27] и схемы Кранка-Николсона для оператора эволюции. Пространственные производные аппроксимируются конечно-разностными формулами шестого порядка точности.

1.1 Стационарная задача 1.1.1 Задачи на связанные состояния

В диссертации используется гамильтониан вида [28, 29, 30]:

П2 д2 К2 д2

Н = -2т~дх{ - 2т~дх{ + + ^рЫ + Уы(хх - X2), (1.1)

описывающий два атома с массами т и в котором Угар - потенциал взаимодействия атомов с ловушкой, а (х% — х2) - потенциал взаимодействия между

атомами. В остальной части данной главы мы будем использовать единицы Н = т = 1.

Для задачи рассматриваемой в Главе потенциал ловушки Игар имеет вид

где а = -0.0304552 - параметр ангармоничности ловушки, определяемый как коэффициент при первом неисчезающем ангармоническом члене в разложении потенциала оптической решетки по степеням х. Более подробно об этом написано в Главе 2.

В качестве потенциала (хх — х2) мы выбираем функцию в виде гаус-совского типа

где параметры го и Ус задают соответственно радиус и интенсивность взаимодействия между атомами. В работах [ , ] показано, что значение го = 0.1 вполне соответствует короткодействующему взаимодействию между атомами, характерному при низких энергиях.

Производные мы аппроксимируем конечно-разностными формулами: по одной из переменных - формулой второго порядка, а по другой - шестого порядка точности. Аппроксимация производной второго порядка точности сводит исходное уравнение Шредингера с гамильтонианом (1.1) к трехдиагональной системе матричных уравнений, что весьма упрощает ее решение. Недостаток точности схемы второго порядка компенсируется большим числом точек по соответствующей переменной. Для определенности, аппроксимацию производной вторым порядком точности проводим по переменной хх.

В результате конечно-разностных аппроксимаций, получается матричное уравнение:

(1.2)

(1.3)

2Дж?

1

В этом уравнении от числа точек по переменной х2 зависят размерности всех входящих в уравнение матриц:

/—490 270 —27 2 ... 270 —490 270 —27 2 -27 270 -490 270 -27

1

Вх2 180Д^2

0

0 0

0 0 0

V

0

0

0

0

0

(1.5)

... 270 —490У

- матрица обусловленная семиточечной аппроксимацией производной второго порядка по х2; Матрица

(жь41}) 0 0 ... 0 \

№ (жх) =

V

0 0

0

Ж(Ж1,42)) 0 .

0 W(xl,xf)) .

0

0

0 0 0

ж V

(1.6)

где

№(Ж1,Ж2) = Игар^) + Игар(Ж2) + Ц^ (^1 — Ж2),

(1.7)

Дж1 - шаг сетки по координате ж1? Дж2 - шаг сетки по координате ж2, N -число точек сетки по переменной ж2, 1 - единичная матрица, х\ - 2-ая координата переменной ж2. Размерность столбца ф(ж1) также определяется числом точек сетки по х2\

ф (ж0 =

/

ф(ж1,ж21)) ^ ф(ж1,ж22))

ф(ж1,ж

(3)) 2)

ф(ж1,ж2Ж 1))

ф(Ж1 ))

V

/

(1.8)

Уравнение (1.4) является матричным уравнением на собственные значения. Запишем его как

Лф = Е ф.

В качестве примера приведем матрицы для сетки размерностью 5 х 5:

(1.9)

А

(В(х{1))

с о о

\ о

с

б(42))

с о о

0 0 0

с 0 0

В(х13)) с 0

С В(х{4)) с

0 С Щх?)/

ф

/ф Л ф 2 ф 3 ф 4

\ Ф 5

(1.10)

Здесь

В(Х1) = -13 Х2 + Ж (Ж1) + Д^

(1.11)

С =

2Дж?

I.

(1.12)

Задачу (1.9) мы решаем методом обратной итерации со сдвигом. Схема решения такова [32]:

(Л - Е(0)1) $(к) — $

£(к) — Е(0) +

— т (*-1)

к — 1

тпах ^

(1.13)

(ф№| ф(*-!)> ^ — ф

здесь Е (0) - начальное приближения энергии уровня, ф(0) - начальный вектор, а вектор ф(к) нормируется на каждой итерации. Скобками в ( ) обозначен интеграл

( ф (А)| ф (^> — (1X1(1X21 ф (к\хъх2 )|2,

(1.14)

где интегрирование проводится в области |ж11 ^ 10 и |ж2| ^ 10. Для рассматриваемого потенциала ловушки (1.2) этой области вполне достаточно для вычисления нижайших связанных состояний. Искомая собственная функция ф — ф) гамильтониана ( ) и соответствующая энергия уровняв — Е(ктах) находятся в конце итерационного процесса, т.е. на последнем шаге к — ктаХ7 который определяется исходя из требуемой точности расчета.

Первое уравнение в (1.13) решалось методом матричной прогонки. Так, решение ( ) для к-ой итерации имеет вид

1

где г - индекс, обозначающий номер собственного вектора ф ствующий ¿-ой точке сетки координаты х^ Матрицы ^ и Я« выч по формулам

вычисляются

, соответ-

= — С<2(г—1) + В(г) С,

(1.16)

я(г) = б&г—1) + в(г) ф (к—1)(х1)) — бя^1 .

1

(1.17)

Здесь

= В(ж«) = — 2ЪХ2 + Ж(х^) + (Д^ — Е(о)) /. (1.18)

Найденные оценки точности численного расчета для шагов Дж1 = 0.003 и Дж2 = 0.3 составляют доли процента, что вполне достаточно для наших целей.

Одним из первых потенциал вида дельта-функции использовал Э. Ферми при описании рассеяния медленных нейтронов в водородосодержащих веществах [33, 34]. В физике ультрахолодных атомов такой потенциал часто используется в качестве потенциала взаимодействия между атомами [35, 36,

37, 38, 39]. Преимуществом такой аппроксимации является то, что в большинстве случаев задачу рассеяния или связанных состояний можно решить точно. Так, дискретные уровни энергии и соответствующие волновые функции для задачи двух взаимодействующих атомов во внешнем поле гармонического осциллятора имеют явный аналитический вид [36]. В явном виде может быть также получена амплитуда рассеяния двух взаимодействующих атомов в трехмерном потенциале гармонического осциллятора, если анизотропия геометрии запирающего потенциала ограничивает движение атомов вдоль одной из переменных [3, 38].

Использованный нами подход в определении спектра при точечном виде взаимодействия (потенциале вида дельта-функции Дирака) - стандартный [36,

38, 39]. Так, решается задача на связанные состояния с гамильтонианом

1.1.2 Потенциал нулевого радиуса

где gm - константа связи. Точечное взаимодействие в квантовой механике задается краевым условием в нуле. Для этого необходимо уравнение Шредингера с гамильтонианом (1.19) проинтегрировать от — £ до £ в пределе £ — 0+ [38, 39]:

lim [ф (£) — ф (—£)] = 20Шф(0). (1.20)

£—>-0+

Условие (1.20) определяет, как говорят математики, самосопряженное расширение оператора Н. Подробности описаны в [ , , , , ].

Одномерное уравнение

Покажем как нами применялась конечно-разностная схема для численного решения одномерной задачи на связанные состояния для потенциала дельта-функции.

Рассмотрим уравнение Шредингера

Г 1 А2 1

{-2+ 9ЮЬ(Х)\ Ф(Х) — Щ(Х) (1'21)

Аппроксимируем производную конечной разностью второго порядка Ф(х + Д%) - 2ф(х) + ф(х - Дх) 2^

<1:2 Ф(Ж) — - ДУ-^ + °(Дх2)' (1'22)

где Дх - шаг сетки.

При численном интегрировании уравнения (1.21) область интегрирования выбиралась в пределах от -Дх/2 до Дх/2:

- 2[ф' (Дх/2)-ф'(-Дх/2)]+ дп ф(0)

2 Е Дх ^

— ^ [ф(-Дж/2) + 4ф(0) + ф(Дж/2)].

В правой части (1.23) использовалась аппроксимация интеграла по формуле Симпсона, погрешность которой порядка -90 5 Ф(4)(^)? гДе £ " точка на промежутке между - Дх/2 и Дх/2 [45].

Получаемая в результате аппроксимаций (1.22) и (1.23) матрица коэффициентов при искомых значениях функции ф(ж) не является трехдиатональной, что затрудняет решение. Для приведения этой матрицы к трехдиагоналыюму

виду значения функции ф(-Дж/2) и ф(Дж/2), а также производные ф'(Дж/2) и ф'(-Дх/2) представим через значения функции в точках -Дж, 0 и Дх:

^(Дж/2) = ф(0> + + 0(ДХ\

И

ф(-Дж/2) =

ф'(Дж/2) =

2

ф(0) + ф(-Дж)

(1.24)

+ 0(Дх2).

ф(Дж) — ф(0)

Дх

ф(0) — ф(-Дж)

+ 0(Дх2),

(1.25)

ф'(-Дж/2) ^ ^-ц + о(Дх2),

Особенность формул (1.24) и (1.25) состоит в том, что они аппроксимируют значения функции ф(ж) и производные функции ф'(ж) в областях, где производная функции и сама функция определена. Т.е., если, к примеру, берется аппроксимация производной в точке ж = Дж/2, то эта аппроксимация представляется через значения функции ф(ж) в точках, соседних к точке ж = Дж/2, не пересекая точку разрыва ж = 0.

Преобразования (1.24) и (1.25) приводят уравнение (1.23) к уравнению

1

(-Ф(-Дж) + ^ + 9в ) Ф(0) +

Дж

2Дж

ф(Дж)

ЕК , , Л , 5ЕДж , , , ЕДж , , л ,

= 12 ^(-Д*) + ~^^(0) + 12-^(Д®)

(1.26)

В области не включающей начала координат ж = 0, уравнение ( ) выглядит как

1

( 2Дж2)

ф (ж + Дж) = Еф(х) (1.27)

Объединяя уравнения (1.26) и (1.27), мы приходим к задаче на собственные функции и значения

Аф = ЕВ ф, (1.28)

где матрицы А и В имеют вид (па примере матриц размерностью 5 х 5): (

=

\

1 1 0 0 0 \ 1 0 0 0 0

Дх2 2Дх2

1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

2Дх2 Дх2 2Дх2

0 1 Дх + 9 1 0 ; В = 0 Дх 5Дх Дх 0

2Дж 2Дх 12 6 12

0 0 1 1 1 0 0 0 1 0

2Дж2 Дх2 2Дх2

0 0 0 1 1 / 0 0 0 0 1

2Дх2 Дх2

2

Вектор ф представляется как

Ф =

{ФЫ\

ф(Ж2)

ф(жэ)

ФМ

Уф(ж5)У

(1.30)

Уравнение (1.28) мы решали методом обратной итерации со сдвигом. Для этого уравнение (1.28) преобразуется к виду

(А - Е(0)В) $(к+1) = Вф(к),

(1.31)

¡(0)

где Е(0) - начальное значение энергии связанного уровня, а ф(> - начальный вектор, к - индекс итерации, который пробегает значения от 0 до &тах5 где ктах - максимальное число итераций, значение для которого выбирается исходя из требуемой точности решения системы (1.28). После каждой итерации, собственное значение Е вычисляется как

Е = Е(0) +

1

(ф (ВД| ф (*))'

а векторы ф нормируются на единицу.

(1.32)

Двумерное уравнение

Если к потенциалу нулевого радиуса добавить внешнее запирающее поле, то решение соответствующего уравнения Шредингера может быть точным, если потенциал ловушки атомов аппроксимируется изотропным потенциалом гармонического осциллятора. Если, однако, требуется учесть также и ангармонические поправки в потенциале ловушки, то задача значительно усложняется, поскольку переменные уже не разделяются и размерность задачи повышается. В таких случаях уже необходимо применять численные методы.

Рассмотрим случай, когда межатомное взаимодействие ynt(х1 — х2) в (1.1) аппроксимируется потенциалом нулевого радиуса [36]:

Kit (xi — Х2) = дтS(xi — Х2), (1.33)

переменных ж1 и х2 к переменным относительного движения г = (ж1 - ж2)/л/2 и движения центра масс Я = (ж1 + ж2)/л/2- Коэффициент \[2 введен для того, чтобы получить одинаковые коэффициенты для операторов кинетических энергий, [ ]. В переменных г и Я гамильтониан ( ) примет вид

1 г)2 1 Г 2 9

Н = -2 ГР - 2Ж + №(ГЯ) + ?!^ (1'34>

:де

W(г,Я) = 1 (г2 + Я2) + а (г4 + 6г2Я2 + Я4) 22

—

+ — (г2 + Я2) (г4 + 14г2Я2 + Я4) . 5

(1.35)

Я

матричное уравнение

с— Д) + (— 23r++ж6(r)+г (г) (1.зб)

1 г\) (г + Дг) = Ег\) (г),

2Дг 2

где Dд - матрица аналогичная матрице ( ), однако, с шагом ДЯ по переменной Я вместо шara Дх2.

Чтобы учесть вклад дельта-функции проинтегрируем уравнение (1.36)1 по переменной г от — Дг/2 до Дг/2 и получившееся уравнение преобразуем таким образом, чтобы точность производных по г была порядка 0(Дг2), аналогично тому, как это было проделано для одномерной задачи, рассмотренной разделом выше. Опуская детали вычислений, мы получим краевое условие в нуле в виде

(—Дж) + (0) + (Дж)

^Дж Т/ Л \ _5Дж - . ^Дж - ч (i-37)

= Е(—Дж) + Е (0) + Е —г (Дж),

С = 1 ДжD . Дж -W(Дж/2)

= — 2Дж — 24 ■D + 12 ' (1'38)

1Идся такого учета дельта-функции в численной схеме нам была предложена С.И. Виницким и В.И. Коробовым

В —

I

5Дх

Дх 12 у ' 6 V

В области г — 0 мы имеем уравнение:

Я + ^ (^ (Дх/2) + 4Ж (0) ) +

д1 /2.

(1.39)

¿2ф- + ( - 23д + ^(Г) + Д2

)

ф (г)

1

(1.40)

2Дг2

ф (г + Дг) — Еф (г).

Необходимо, чтобы искомая волновая функция была четной по координате г. Для нечетной волновой функции вклад от потенциала дельта-функции будет отсутствовать, поскольку волновая функция равна нулю при г — 0. В итоге мы приходим к матричному уравнению вида

Л ср — Е В ф,

(1.41)

где матрица Л в данном случае (на примере матрицы размерностью 5 х 5) будет такой

Л

/В(Х1) с 0 0 0

С в (Х2 ) с 0 0

0 С в с 0

0 0 с В(Х4) с

0 0 0 с в (Х5))

(1.42)

В

В

(Т 0

0 I

Ах'

0 — I 0 12 1

0

0

5Ах

0 0

0 0

0

0

Ах' 12 '

т 0

0 0

I — / 0

12 1 12 1 0

0 0

0

V

(1.43)

Таким образом, мы приходим к обобщенной задаче на собственные значения, которую мы решали методом обратной итерации со сдвигом по следующей схеме

(Л - Е(0)В) ф(к) — Вф(к-1)

Е(к) — Е(0) +

к — 1,к

тах?

(1.44)

( ф №| ф (к~1)> ф(к+1) — -(к)/^(ф(Л)| -(к)>

1

где Е (0) и ф(0) - начальные приближения для собственного значения и собственного вектора. Искомые собственное значение Е — Е(ктах) и собственная функция ф — ф(ктах) находятся в конце итерационного процесса кт&х, когда достигается достаточная точность данных решений.

1.1.3 Межатомное взаимодействие

+ Уы (г)

ф8С (г) — к2фК (г), (1.45)

Как известно [3, 36], при низких энергиях межатомное взаимодействие для большого круга задач в системе двух атомов можно заменить потенциалом нулевого радиуса, например, дельта-функцией. Более реалистичный подход, однако, требует учета конечного радиуса взаимодействия и по этой причине мы использовали межатомный потенциал взаимодействия в виде гауссовского распределения (1.3).

Мы рассматриваем случай, когда предполагается, что радиус взаимодействия атомов значительно меньше ширины ловушки внешнего потенциала [3, 46]. В этом приближении для описания межатомных столкновений достаточно рассмотреть одномерное уравнение Шредингера по относительной координате г — х1 - х2 в отсутствии внешнего поля:

(к2

где к - волновое число. В пределе низких энергий к — л/2Е ^ 0, параметр г0, определяющий радиус межатомного взаимодействия, является величиной значительно меньшей, чем другие характеристические размеры системы. Так, если мы предполагаем для следующих задач учитывать потенциал ловушки, то в области минимума потенциала оптической ловушки, последний аппроксимируется потенциалом гармонического осциллятора. Волновая функция потенциала гармонического осциллятора уже при г — 5 близка к функции ехр {-2г2}, т.е. г — 5 примерно определяет границу области, в которой рассматривается квантовая система. Следовательно, значение г0 — 0.1 вполне достаточно, чтобы считать межатомное взаимодействие короткодействующим. Такое взаимодействие принято использовать в физике ультрахолодных атомов [18, 28, 29, 47].

Мы рассматриваем уравнение (1.45) с целью нахождения связи параметров потенциала ( ) с длиной рассеяния йщ - величиной, наиболее

универсально описывающей межатомное взаимодействие. При низких энергиях наблюдаемые величины преимущественно зависят лишь от длины рассеяния и практически не зависят от конкретного вида потенциала взаимодействия между атомами [35]. Для того, чтобы найти связь параметров потенциала взаимодействия (1.3) с длиной рассеяния ащ необходимо решить уравнение (1.45) с учетом краевого условия

гЫ'Г

г—»±00

» сое(А;|г| + А(к)),

(1.46)

где А (к) - фаза рассеяния. Длина рассеяния определяется как

аё(А(к))

ащ = Нт

к

(1.47)

В одномерном случае вместо длины рассеяния ащ используется константа связи контактного потенциала [3, 18, 36]

2

9ю =

ащ

а.

Полученная в итоге численного решения (1.45), с учетом (1.46), зависимость константы связи дщ от параметра Ус при фиксированном г о = 0.1 представлена на Рис. 1.1. В расчетах нами рассматривается диапазон значений Ус'- —64 < Ус < 53, который соответствует — 8 < дщ < +оо.

200

-100

1 1 г 100 200

300

V.

Рисунок 1.1 Зависимость константы связи контактного взаимодействиядщ от глубины Ус потенциала межатомного взаимодействия (1.3) при фиксированном

радиусе взаимодействия г о = 0.1.

1.2 Нестационарные задачи

1.2.1 Схема Кранка-Николсона

Решение нестационарного уравнения Шредингера

д

г—ф(х,г) — Нф(х,г) (1.49)

Д

ется равенством

ф(х,г + Дг) — ехр {-г Дг н } ф(х,г). (1.50)

Оператор эволюции в формуле (1.50) представим в виде

г л ^ Г Дtн 1 Г Дгн 1

ехр {-гДЬН} — ехр < -г—-— > ехр < -г—-— > , (1.51)

что приводит нас к уравнению

ехр |гДн| ф(х,г + Д£) — ехр |-гДн | ). (1.52)

Д

два члена. Тогда для (1.52) имеем

+ Дн^ ф(х,г + Дг) — - Дн^ ф(х,г). (1.53) Полученный таким образом оператор эволюции

и (г + Дь ) — + Дн^ ^ 1 - гДи^ (1.54)

унитарен:

и (г + Дь )+и (г + Дг ) — 1. (1.55) Аппроксимация оператора эволюции формулой

ехр {-гДгН} — + НД^ ^ 1 - НД£^ (1.56)

носит название метода Кранка-Никодсона.

Для примера рассмотрим одномерный гамильтониан

1 д2

Н = - 2 Ж + ^ (*>,

в котором производную аппроксимируем конечно-разностной формулой шесто-14) порядка точности

д2 1 (

= 18САН " 2(^> + 270ф^х(^> - 490^)

+ 270^^-1 (¿> - 27-фг_2(£) + 2—^(¿Л + 0(А^6>,

где Аж - шаг по переменной х, а —¿(¿> = "ф(жг,£> - значение функции — (х,Ь> в некоторой точке х = х^ Сетка по перемеиной х разбивается па равные участки ж € [х1,хм], где N - число точек по данной переменной. Подставив ( ) в (1.53), получим

■72^ (2-+1 - 27фД1 + 270—Д1) + + г % (

1 + а % I 490__УГ

1 + 1 2 360Дж2 + Уг

п+1

+

(^270ф-+11 - 27-ф:-1 + = 720ДЬ (2—+з - 27—+2 + 270^-+^

— + 720Д2 (270Ф5-! - 27—-2 + 2—_з) ,

(1.59)

1 о Д* 490 + у 1 ь 2 360Дх2 + Уг

где — = — (жг,£п> - значение фун кции — (х,Ь> в точке в некий момент времени То же самое относится и к V™. Нами решается задача с начальным условием, где нам известно значение функции —в заданный начальный момент времени £ = ¿0. Волновая функция в последующий момент времени £ вычисляется с учетом значения волновой функции в предыдущий момент времени — (х^^Ъ - А£>. Таким образом, правая часть в уравнении ( ) известна и мы сталкиваемся с системой линейных уравнений с ленточной структурой коэффициентов при неизвестных. Решение такой системы удобно находить методом прогонки, который давно известен в вычислительной математике.

1.2.2 Одномерный осциллятор

Оценим точность решения (1.56) с учетом (1.59) на примере задачи одномерного осциллятора

1 В2 "1

Н _ - V2

для основного состояния, для которого мы выберем волновую функцию в виде [48]:

_ 0) - п-1/4„-# ехр /Ъ2 + „„^а0о-™

Фехас^ _ 0) _ п-1/4е-" ехр | --х2 + а0хе- е-2** - | , (1.61)

где ао - произвольная константа, которую мы положим равной единице, ао — 1.

В работе [48] рассматривается аналитический метод по решению нестационарного уравнения Шредингера (1.49) для нестационарного гамильтониана Н(Ь). Решение представляется в виде

ф(*) _ Р(1о1 )ф(*о) _

1 + Г

т=1

Ф(£ о), (1-62)

где операторы V и С 1 определены формулами

уф(£) _ -Н(г)ф(г), (1.63)

и

С~1 ф(^) _ у ф(т)^т. (1.64)

При численных расчетах для небольших временных шагов АЪ _ £ - ¿0 операторы Р (пропагаторы) могут быть аппроксимированы конечно-разностными методами. Порядок аппроксимации пропагатора соответствует порядку аппрок-

А

данного оператора. Т.е. точность решения представляется в виде

Ф(*) « Рп(и,г)ф(го) + 0(АГ+1), (1.65)

где Рп обозначает пропагатор п-го порядка и порядок точности определяется абсолютной погрешностью, которая не превосходит \0(А1п+1)\.

Оператор С 1 может быть аппроксимирован в виде ряда

г 2д ¿3д2 , чД+1 дД-11

1----1----... + (-1Г+1

о ~ о I Ш-2 ~ V /

сн -

2дг 3! дъ2 ' у я\дгЙ-1

Д лк

&=1 !

(1.66)

где С — ^ (С0 = 1). Используя (1.66) можно аппроксимировать действие операторов в ( ) для п-го порядка точности в виде

т

(с-^у — ПСй1„,Р)К (1-67)

-Iп Р=1

где Я(п,р) — п — р +1 и оператор произведения задается в стандартном виде ь

П А^ — А1А2 ... А^—1АВ итоге получим конечный результат для пропага-з=1

п

п т г п—р+1 г.

Р,г(0,() —1 + £П £ ( —1)'+1 11

ш=1 р=1 &=1

Р

У. (1.68)

р^) — 1 + -н (¿). (1.69)

Р

ь2 ч ¿2

Р2(0,*) — 1 + ^н (г) — -н'(1) + ^ н2(г). (1.70)

Р

t 12 /3 12 Рз(0^) — 1 + -н (г) — —н '(£) + -н"(() + ^н2(г)

/3 ,3 ,3

(1.71)

Для сравнения наших расчетов, мы, как и в [48], использовали конечно-разностную схему второго порядка для пространственной производной и используя временной шаг ДЪ — 0.025. Для оценки погрешности мы вычисляли разность тах |"феха<л — "Ф ОДе "Ф " волновая функция, вычисленная нашим методом. График, где сравниваются результаты наших расчетов с результатами расчетов по формулам (1.69)-(1.71) [48] изображен на Рис. 1.2. Из Рис.1.2 видно то, что результаты по схеме ( ) при шаге Дх — 0.25 совпадают с результа-

Р3

шага точность расчетов улучшается.

тах1^асг?И

10 1 102 103 10-4

7 1 7 1 ' | »

' / —■

.____ _

/ уГ __ \1/ у'' ----- . «к» *

I/ У 1 • ' ' / [■ ' —-р 1 .....Р 2 ......Р3 -Дх=0.25 _ ---Дх=0.125 ; ----Дх=0.0625 :

0 1

3 4 5 6 1

Рисунок 1.2 Сравнение методов. Кривые, вычисленные по схеме Кранка-Николсона ( ) в случае трех пространственных шагов Ах7 и по формулам из

работы [48].

1.2.3 Схема расщепления

Опишем схему расщепления оператора эволюции применительно к двумерному временному уравнению Шредингера [27]

г-—-= Нф(х1,х2,г), (1.72)

где гамильтониан Н(хх,х2) имеет вид

Н = Щ + Н2 + УЫ (X! - Х2), (1.73)

1 д2

Н, = - 2 ^ + ), 3 = 1,2. (1.74)

гамильтонианы соответствующие отдельным частицам во внешнем поле Кгар(ж.?) а Уы,(Х1 — х2) - потенциал взаимодействия между частицами (1.3).

Наличие потенциала взаимодействия не позволяет в точном вх1де факто-ризовать оператор эволюции

и (г + Д^) = ехр {—ШЯ} . (1.75)

Для поиска аппроксимации действия оператора (1.75) применим представление

в котором

С — А + В + 2[А,В] + ^[А,В],В] + ¿[[В^А] + ..., (1.77)

[ А, В ] — А В — В •А. (1.78)

Если теперь мы, исходя из уравнения (1.72), положим

А — —г А^Щ + н2), В — —г ДЪ Уы, (1.79)

то по формуле (1.76) получим, что соотношение

еВ — еА+В, (180)

А В

порядка 0(ДЪ2), где ДЪ - шаг по переменной

Данную точность можно улучшить учтя следующие члены разложения

ехр {—гДЬ (н1 + н2)} ехр { —г%УЫ} — ехр {С} — ехр | —гДЬ (н1 + н2) — — ^г ( (н1 + н2) • Уы — Уы • (н1 + н2) ) |

+0(Д£3) (1.81)

Далее умножим слева оператором ехр { —г^тУ-ги} и получим

ехр | —г%УЫ \ ехр {С} — ехр {Б}

Г 2 л Л ^ (1.82)

Д Д

— ехр < —г—Уы + С — г —[Уы,С + — Г

С

ка 0(ДЪ3), получим

Б — —гАУЫ — Ш (н1 + н2) — гДУы Д 2 Д 2

— + н2) • У^ + ^Упь (н + н2) + ^(-¿3)

—1 Г / А/ Ч (1.83)

— г— { Уы • ( —г— (н1 + н2) + О —2) )

— (—гДуш — гДЬ (н1 + + 0(А*2^ • .

В выражении ( ) члены порядка 0(At2) сокращаются, что приводит к

D = -iAt + (Ях + Н2)} . (1.84)

В итоге, мы приходим к результату

exp {-iAt^Vhlt + (Нх + Н2)^ =

exp j -iexp {-iAtHx} exp {-iAtH2} exp j -iA"Kit j

+ 0({At):i), (1.85)

где был использован тот факт, что операторы Ях и Н2 коммутируют между собой и потому

exp {-iAt (Нх + Н2)} = exp {-iAtHx} exp {-iAtH2} . (1.86)

Отметим работы [49, 50] в которых была развита схема расщепления применительно к столкновениям ультрахолодных атомов в волноводах.

Поскольку оператор Vint диагоналей, то диагональны и операторы в ( ), содержащие данный потенциал Vint:

exp j-i^Уы(xx - Ж2) j Mxx,X2,t) = exp j-i^Mnt^(x\,x32,t),(1.87)

где индексы ¿и j y переменных жх и х2 обозначают координаты дискретных сеток хх G [2,...] и х2 G [ж2,ж2,...] по данным переменным.

Действие операторов exp {-iAtHx} и exp {-iAtH2} мы аппроксимируем формулой Кранка-Николсона (1.56).

Итак, эволюция волновой функции аппроксимируется формулой

+ At) = exp |-i"2"Kit(^x - ^jexp {-iAtHx}

x exp {-iAtH2} exp j-iA"Mnt(xx - Ж2) j ^(xx,X2,t) (1. + 0((Atf).

1.2.4 Двумерный осциллятор

У

потенциал гармонического осциллятора

Для анализа эффективности используемого нами метода интегрирования временного уравнения Шредингера, мы полагали межатомный потенциал Vnt равным нулю, чтобы сравнить результаты численного расчета с решением задачи квантового двумерного осциллятора, для которой имеется точное решение.

Сравним максимальное отклонение вычисленной волновой функции от точной волновой функции max |—exact — "Ф| (Рис. 1.3, (а)). Уровни энергии двумерного осциллятора определяются формулой

Сравнение численного расчета с точным решением мы выполнили для двукрат-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ишмухамедов Ильяс Сапабекович, 2021 год

Список литературы

[1] С. Chin, R. Grimm, P.S. Julienne and E. Tiesinga, Feshbach Resonances in Ultracold Gases, Reviews of Modern Physics 82, 1225 (2010).

[2] E. Haller, M. J. Mark, R. Hart, J. G. Danzl, L. Reichsollner, V. Melezhik, P. Schmelcher, and H.-C. Nagerl, Confinement-induced resonances in low-dimensional quantum, systems, Physical Review Letters 104, 153203 (2010).

[3] M. Olshanii, Atomic Scattering in the Presence of an External Confinement and a Gas of Impenetrable Bosons, Physical Review Letters 81, 938 (1998).

[4] S. Sala, P.-I. Schneider, and A. Saenz, Inelastic Confinement-Induced Resonances in Low-Dimensional Quantum Systems, Physical Review Letters 109, 073201 (2012).

[5] S.-G. Peng, H. Hu, X.-J. Liu and P.D. Drummond, Confinement-Induced Resonances in Anharmonic Waveguides, Physical Review A 84, 043619 (2011).

[6] Z. Idziaszek and T. Calarco, Analytical solutions for the dynamics of two trapped interacting ultracold atoms, Physical Review A, 74, 022712 (2006).

[7] M.A. Cazalilla, R. Citro, T. Giamarchi, E. Orignac and M. Rigol, One dimensional bosons: From condensed matter systems to ultracold gases, Reviews of Modern Physics 83, 4, 1405-1466 (2011).

[8] M. Girardeau, Relationship between Systems of Impenetrable Bosons and Fermions in One Dimension, Journal of Mathematical Physics (N.Y.) 1, 516 (1960).

[9] A. J. Leggett, Quantum Liquids, 1st ed. (Oxford University Press, New York, 2006).

[10] M. Rontani and L. J. Sham, Novel Superfluids, Vol. 2 (Oxford University Press, New York, 2013); arXiv:1301.1726.

[11] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Physical Review 108, 1175 (1957).

[12] T. Maruyama, T. Oishi, K. Hagino, and H. Sagawa, Time-dependent approach to many-particle tunneling in one dimension. Physical Review C 86, 044301 (2012).

[13] M. Rontani, Tunneling theory of two interacting atoms in a trap, Physical Review A 108, 115302 (2012).

[14] M. Rontani, Pair tunneling of two atoms out of a trap, Physical Review A 88, 043633 (2013).

[15] R. Lundmark, C. Forssen, and J. Rotureau, Tunneling theory for tunable open quantum systems of ultracold atoms in one-dimensional traps, Physical Review A 91, 041601(R) (2015).

[16] P. M. Krassovitskiy and F. M. Pen'kov, Contribution of resonance tunneling of molecule to physical observables, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 47, 225210 (2014).

[17] A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar, V. L. Derbov, A. Gözdz and P. M. Krassovitskiy, Metastable states of a composite system tunneling through repulsive barriers, Theoretical and Mathematical Physics 186, 21 (2016).

[18] S. E. Gharashi and D. Blume, Tunneling dynamics of two interacting one-dimensional particles, Physical Review A 92, 033629 (2015).

[19] A. U. J. Lode, A. I. Streltsov, O. E. Alon, H.-D. Meyer, and L. S. Cederbaum, Exact Decay and Tunnelling Dynamics of Interacting Few-Boson Systems, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics42, 044018 (2009).

[20] F. Serwane, G. Zürn, T. Lompe, T.B. Ottenstein, A.N. Wenz, S. Jochim, Deterministic preparation of a tunable few-fermion system, Science 332, 336 (2011).

[21] G. Zürn, F. Serwane, T. Lompe, A. N. Wenz, M. G. Ries, J. E. Bohn, and S. Jochim, Fermionization of Two Distinguishable Fermions, Physical Review Letters 108, 075303 (2012).

[22] G. Zürn, A. N. Wenz, S. Murmann, A. Bergschneider, T. Lompe, and S. Jochim, Pairing in Few-Fermion Systems with Attractive Interactions, Physical Review Letters 111, 175302 (2013).

[23] P. M. Preiss, J. H. Becher, R. Klemt, V. Klinkhamer, A. Bergschneider, N. Defenu, and S. Jochim, High-Contrast Interference of Ultracold Fermions., Physical Review Letters 122, 143602 (2019).

[24] A. Bergschneider, V. M. Klinkhamer, J. H. Becher, R. Klemt, G. Ziirn, P. M. Preiss, and S. Jochim, Spin-resolved single-atom, imaging of6Li in free space, Physical Review A 97, 063613 (2018).

[25] Q. Guan, V. Klinkhamer, R. Klemt, J. H. Becher, A. Bergschneider, P. M. Preiss, S. Jochim, and D. Blume, Density Oscillations Induced by Individual Ultracold Two-Body Collisions, Physical Review Letters 122, 083401 (2019).

[26] T. Hartke, B. Oreg, N. Jia, and M. Zwierlein, (2021), arXiv:2103.13992.

[27] G.I. Marchuk, Methods of Numerical Mathematics (Springer-Verlag, New York, 1975), Sec. 4.3.3.

[28] I. S. Ishmukhamedov, D. T. Aznabayev, and S. A. Zhaugasheva, Two-body atomic system in a one-dimensional anharmonic trap: The energy spectrum, Physics of Particles and Nuclei Letters 12, 680 (2015).

[29] I. S. Ishmukhamedov and V. S. Melezhik, Tunneling of two bosonic atoms from a one-dimensional anharmonic trap, Physical Review A 95, 062701 (2017).

[30] I. S. Ishmukhamedov and A. S. Ishmukhamedov, Tunneling of two interacting atoms from excited, states, Physica E: Low-dimensional systems and Nanostructers 109, 24-29 (2019).

[31] I. S. Ishmukhamedov, D. S. Valiolda, and S. A. Zhaugasheva, Description of ultracold atoms in a one-dimensional geometry of a harmonic trap with a realistic interaction, Physics of Particles and Nuclei Letters 11, 238 (2014).

[32] H. H. Калиткин, Численные методы (Наука, Москва, 1978).

[33] Е. Fermi, Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate, Ric. Sci, vol. 7, 13^52, (1936). Русский перевод: Ферми Э., Научны,с труды, т. 1., 741 781 (Наука, Москва, 1971)

[34] Ю. Н. Демков и В. Н. Островский, Метод потенциалов нулевого радиуса в am,ом,ной физике (изд. Ленинградского университета, Ленинград, 1975)

[35] К. Huang, Statistical Mechanics (Wiley, New York, 1987).

[36] T. Busch, B. Englert, K. Rzazewski, and M. Wilkens, Two cold atoms in a harmonic trap, Foundations of Physics 28, 549 (1998).

[37] A. J. Leggett, Вose-Einstein condensation in the alkali gases: some fundamental concepts, Reviews of Modern Physics, 73, 307 (2001).

[38] V. Dunjko, M. G. Moore, T. Bergeman, and M. Olshanii, Confinement-Induced Resonances, Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics, 60, 461-510 (2011).

[39] G. E. Astrakharchik, Quantum monte carlo study of ultracold gases, PhD Thesis, Universita degli Studi di Trento (2004).

[40] А. И. Базь, Я. Б. Зельдович и А. М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике (изд. 2-е, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1971).

[41] Ф. А. Березин и Л. Д. Фаддеев, Замечание об уравнении шредингера с сингулярным потенциалом\ Доклады Академии наук СССР 137, №5, 1011 (1961).

[42] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden, Solvable models in quantum, mechanics (2nd edition, American mathematical society, Providence, Rhode island, 2005).

[43] P. Seba, The generalized point interaction in one dimension, Czechoslovak Journal of Physics В 36, 667 (1986).

[44] P. Seba, A remark about the point interaction in one dimension, Annalen der Physik, 7, 323 (1987).

[45] К. E. Atkinson, An introduction to numerical analysis (2nd ed., John Wiley & Sons, 1978).

[46] E. Tiesinga, C. J. Williams, F. H. Mies, P. S. Julienne, Interacting Atoms Under Strong Quantum Confinement, Physical Review A 61, 063416 (2000).

[47] J.P. Kestner, L.M. Duan, Anharmonicity-induced resonances for ultracold atoms and their detection, New Journal of Physics, 12 (5), 043619 (2010).

[48] I. Gonoskov and M. Marklund, Single-step propagators for calculation of time evolution in quantum systems with arbitrary interactions, Computer Physics Communications 202, 211-215 (2016).

[49] V. S. Melezhik, J.I. Kim and P. Schmelcher, Wave Packet Dynamical Analysis of Ultracold Scattering in Cylindrical Waveguides, Physical Review A 76, 053611 (2007).

[50] V. S. Melezhik, Mathematical Modeling of Ultracold Few-Body Processes in Atomic Traps, European Physical Journal Web of Conference 108, 01008 (2016).

[51] G. Gamow, Z. Phys. 51, 204 (1928); 52, 510 (1928).

[52] R. Grimm, M. Weidemiiller, and Y. B. Ovchinnikov, Optical dipole traps for neutral atoms, Advances in atomic, molecular, and optical physics, 42, 95 (2000).

[53] I. Bloch, J. Dalibard, and W. Zwerger, Many-body physics with ultracold gasess, Reviews of Modern Physics 80, 885 (2008).

[54] Л. П. Питаевский, Конденсаты Возе-Эйнштейна в поле лазерного излучения, Успехи физических наук 176, №4, 345 (2006).

[55] S. Sala and A. Saenz, Theory of inelastic confinement-induced resonances due to the coupling of center-оf-mass and relative motion, Physical Review A 94, 022713 (2016).

[56] S. Grishkevich and A. Saenz, Theoretical description of two ultracold atoms in a single site of a three-dimensional optical lattice using realistic interatomic interaction potentials, Physical Review A 80, 013403 (2009).

[57] S. A. Gurvitz, P. B. Semmes, W. Nazarewicz, and T. Vertse, Modified two-potential approach to tunneling problems, Physical Review A 80, 042705 (2004).

[58] J. P. Dahl and W. P. Schleich, State operator, constants of the motion, and Wigner functions: The two-dimensional isotropic harmonic oscillator, Physical Review A 79, 024101 (2009).

[59] U. V. Riss and H.-D. Meyer, Calculation of resonance energies and widths using the complex absorbing potential method, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 26, 4503 (1993).

[60] J. L. Krause, K. J. Schafer, and K. C. Kulander, Calculation of photoemission from atoms subject to intense laser fields, Physical Review A 45, 4998 (1992).

[61] G. G. Balint-Kurti and A. Vibok, Complex absorbing potentials in time dependent quantum dynamics, Numerical Grid Methods and Their Application to Schrodinger's Equation, Springer, Dordrecht, 195-205 (1993).

[62] V. O. Nesterenko, A. N. Novikov, and E. Suraud, Transport of the Repulsive Bose-Einstein Condensate in a Double-Well Trap: Interaction Impact and Relation to the Josephson Effect, Laser Physics 24, 125501 (2014).

[63] G. Ziirn, Few-fermion systems in one dimension, PhD Thesis, Heidelberg, Germany (2012).