Динамика адронов с двумя тяжелыми кварками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.23, кандидат физико-математических наук Ковальский, Алексей Эдуардович

• Ковальский, Алексей Эдуардович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ковальский, Алексей Эдуардович

2 Распады и время ?кизни Бс-мезона в правилах сумм К Х Д

2.2 Трехточечные правила сумм для 5с-мезона

2.3 Численные результаты для формфакторов и полулептонных ширин

2.4 Соотношения симметрии

2.5 Нелептонные распады

2.6 Обсуждение времен жизни тяжелых адронов

2.7

Заключение

2.8

Приложение А

2.9

Приложение Б

3 Правила сумм для барионов с двумя тялселыми кварками

3.1 Барионные токи

3.2 Описание метода

3.3 Вычисление спектральных плотностей

3.4 Аномальные размерности барионных токов

3.5 Численные оценки

3.6 Обсуждение

4 Фрагментационный механизм образования двалсды тяжелых барионов

4.2 Функция фрагментации в ведущем порядке

4.3 Поперечный импульс

4.4 Излучение жесткого глюона

4.5 Интегральные вероятности фрагментации

4.6

Заключение

4.7

Приложение

5

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика адронов с двумя тяжелыми кварками»

Актуальность темы. После прецизионных исследований нейтрального промежуточного Z-бозона на LEP (CERN) и открытия t-кварка во FNAL изучение электрослабых взаимодействий в секторе тяжелых кварков — одна из актуальнейших проблем в физике элементарных частиц, так как в рамках стандартной модели [1] именно в таких исследованиях может быть получена полная картина эффектов, связанных с необратимостью времени при энергиях ниже масштаба нарушения электрослабой симметрии. Сравнительный анализ процессов распада адронов, содержащих тяжелые кварки, с нарушениями комбинированной СР-четности по отношению к инверсии заряда (С) и зеркального отражения пространства (?) становится сейчас доступен для достаточно точных измерений благодаря вводу в строй специализированных установок Belle (КЕК) и ВаВаг (SLAC), наряду с модернизированными детекторами CDF и DO во FNAL. Результаты таких экспериментов, вероятно, позволят добавить существенное недостающее звено в стандартную модель взаимодействий — полностью описать заряженные токи трех поколений кварков [2], что представляет собой важнейшую проблему, стоящую в одном ряду с наблюдением скалярных частиц Хиггса, которые обеспечивают механизм нарушения электрослабой симметрии, и исследования токов нейтрино.Задача прецизионного изучения электрослабых свойств тяжелых кварков поднимает глубокую теоретическую проблему — описание динамики сильных взаимодействий кварков, обусловливающих образование связанных состояний-адронов: мезонов и барионов, так как наблюдаемые характеристики, в частности, редкие распады с эффектами нарушения СР-симметрии относятся именно к связанным состояниям и необходимо иметь четкие и надежные представления о связи этих характеристик непосредственно с параметрами взаимодействий тяжелых кварков. При этом тонкие эффекты электрослабой физики могут быть выделены лишь при высокоточном описании доминирующих вкладов квантовой хромодинамики (КХД). По сути мы имеем здесь дело с общей проблемой описания конфайнмента кварков в КХД, которая продуктивно может исследоваться не только в спектроскопии и процессах образования и распадов экзотических гибридных и глюобольных состояний [3], но и при изучении характеристик адронов с тяжелыми кварками. На практике измеряемые величины асимметрий распадов тяжелых адронов и т.п. выражаются в виде функций от характеристик, скажем, заряженных токов тяжелых кварков, причем эти функции параметрически зависят от адронных матричных элементов неких кварковых операторов, которые часто не могут быть определены непосредственно из широкого набора разносторонних экспериментальных данных, так что необходим детальный теоретический анализ подобных матричных элементов в КХД. Чем полнее изучаемый набор связанных состояний тяжелых кварков, тем шире становится область вариации условий, в которых на тяжелые кварки действуют силы КХД, и тем совершеннее должны становиться теоретические методы описания адронов, содержащих тяжелые кварки, для того чтобы получать согласованное описание различных кварковых систем. В этом плане, как нам кажется, новое поле деятельности — это барионы, содержащие два тяжелых кварка. Интересной и актуальной представляется задача теоретического предсказания их характеристик. Такие барионы естественным образом продолжают ряд долгоживущих тяжелых адронов как с одним тяжелым кварком (мезоны D, В и барионы Лс, Sci ^о ^с Ль), так и с двумя тяжелыми кварками (мезон Вс) и могут иметь по характеру сильных взаимодействий схожие черты с тяжелыми кваркониями ее и bb. С практической точки зрения следует ожидать экспериментального наблюдения дваждытяжелых барионов в современных экспериментах на адронных коллайдерах высокой светимости (Tevatron, LHC), так как их выход должен быть сравним с выходом дваждытяжелого мезона, содержащего кварки разного аромата, Вс-мсзона', а методы регистрации редких распадов тяжелых частиц в последнее время достигли большой эффективности благодаря развитию техники вершинных детекторов, что и было удачно продемонстрировано при первом экспериментальном наблюдении Вс-мезона коллаборацией CDF [4].Основные цели работы. Целью диссертации является изучение следуюп1;их проблем.1. Исследование распадов Вс-мезона с помощью правил сумм. Оценка его времени жизни.2. Вычисление масс и барионных констант дваждытяжелых барионов на основе двухточечных правил сумм NRQCD.3. Исследование фрагментационного механизма рождения дваждытяжелых барионов.Содерлсание работы Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, показаны научная новизна проводимых исследований и их практическая ценность, а также кратко представлены содержание работы и ее апробация на конференциях и семинарах.В Главе 1 с помощью правил сумм КХД исследованы распады и произведена оценка времени жизни Вс-мезона.В Главе 2 на основе двухточечных правил сумм NRQCD вычислены массы дваждытяжелых барионов и барионные константы соответствующих кварковых токов.В Главе 3 функция фрагментации векторной частицы (дикварка, состоящего из двух тяжелых кварков) в возможные связанные S-волновые состояния с тяжелым антикварком вычислена в ведущем порядке теории возмущений КХД для процессов высоких энергий при больших поперечных импульсах при различном поведении аномального магнитного момента.2 Распады и время лсизни Вс-мезона в правилах сумм К Х Д 2.1 Введение Для лучшего понимания и точного измерения электрослабый свойств тяжелых кварков, необходима как можно большая коллекция наблюдений адронов, содержащих тяжелые кварки. Новым объектом для таких исследований является дважды тяжелый долгоживущий Вс-мезон, который недавно впервые наблюдался CDF коллаборацией [4].Спектроскопия этого мезона схожа со спектроскопией чармония и боттомония, так как он состоит из двух нерелятивистских тяжелых кварков, поэтому к В с мезону применим подход NRQCD (нерелятивистская квантовая хромодинамика) [6]. Современные ^Обзор физики Вс-мезонов см. в [5]. предсказания спектра масс be уровней получены в работе [7] в потенциальных моделях и вычислениях на решетке. Расположение уровней возбуждений схоже с наблюдавшимися спектрами возбуждений в для чармония и боттомония. Однако, отличительной чертой Вс мезона является отсутствие аннигиляции в легкие кварки, глюоны и лептоны, что означает, что все возбужденные состояния распадаются в нижележащие состояния, благодаря излучению фотонов и пионных пар. Хотя измеренное значение массы Вс мезона имеет большую неопределенность Мв, = 6.40 ± 0.39 ± 0.13 ГэВ, оно согласуется с теоретическими предсказаниями.Механизм образования Вс мезона был изучен в [8]. Самым простым случаем является е''"е-аннигиляция, для которой получены универсальные функции фрагментации в S-, Р- и D- волновые состояния на основе факторизации жесткого образования кварков и поел еду юш;ей мягкой адронизации, которая надежно описывается потенциальными моделями. При адронных соударениях фрагментационный режим имеет место при поперечных импульсах рт ^ "^ Вс? поэтому при рт тв^ должны быть учтены неведущие члены по 1/рт или высшие твисты. Они могут быть вычислены на основе факторизационного подхода с аккуратным учетом всех диаграмм в данном Qs-порядке, 0{oig).Нефрагментационные вклады являются доминирующими при рт гпв^ [8].Измеренное время жизни Вс мезона т[Вс] = 0.46+2:{| ± 0.03 ПС, согласуется с оценками полученными как на основе операторного разложения с применением NRQCD для получения адронных матричных элементов [10, 11, 12], так и на основе потенциальных кварковых моделей, где суммируются вклады доминирующих эксклюзивных мод для вычисления полной ширины Вс мезона [13, 14): тоРЕ,рм[Вс] = 0.55 ± 0.15 ПС, К настоящему моменту распады Вс мезона на основе правил сумм КХД изучались в работах [15, 16, 17, 18]. Авторы [15, 16] получили результаты для формфакторов, которые приблизительно в 3 раза меньше чем оценки в потенциальных моделей, а полулептонные и адронные ширины Вс мезона оказались на порядок меньше чем ширины, полученные в методе операторного разложения. Причина такого разногласия была указана в [17] и изучалась в работе [18]: в правилах сумм для тяжелого кваркония необходимо учитывать Кулоноподобные поправки вида ots/v, соответствующие сумме лестничных диаграмм, где as/v не является малым параметром, так как тяжелые кварки в тяжелом кварконии движутся нерелятивистски г; <^ 1. Кулоновская перенормировка вершины кварк-кварконий увеличивает оценки правил сумм КХД для формфакторов распадов В^ * Ф{'Пс)1'^1^, где начальный и конечный мезоны являются тяжелыми кваркониями.В приближении NRQCD при моменте отдачи близком к нулю получены соотношения симметрии для формфакторов полулептонных распадов Бс—мезона [20, 18]. В точном пределе при г^х = г;2, где T;I,2 обозначает 4-х скорости начального и конечного мезонов, авторы [20] получили одно соотношение симметрии между формфакторами. В работе [18] был рассмотрен мягкий предел ui • ^г —^ 1 при Vi Ф V2, и были получены 4 обобщенных соотношения симметрии для переходов Вс —* ф{'Г1с), включая соотношение из [20].Кроме того, был учтен вклад глюонного конденсата как в приближении NRQCD, так и в полной КХД, что улучшило сходимость метода. в данной главе с помощью метода правил сумм исследуются распады Вс—мезона, обусловленные распадами с-кварка в s-кварк. При этом учитываются Кулоноподобные поправки вида а^/у для тяжелого кваркония в начальном состоянии. При полулептонных распадах в конечном состоянии преобладают псевдоскалярный В^ и векторный В* мезоны, поэтому необходимо знание их лептонных констант, которые определяют нормировку формфакторов в правилах сумм. Для этого были пересмотрены двухточечные правила сумм для В мезонов с включением вклада произведения кваркового и глюонного конденсатов в дополнение к кварковому, глюонному, и смешанному конденсатам, которые использовались в предыдущих анализах в правилах сумм. Продемонстрирована важная роль этого члена для обеспечения сходимости метода. Учет зависимости лептонной константы JB,, полученной в двухточечных правилах сумм, и трехточечных корреляторов от пороговой энергии Ее адронного континуума 6s системы приводит к стабильности формфакторов по отношению к изменению Ее, что говорит о сходимости метода.Спиновая симметрия ведущих членов в лагранжианах HQET (эффективная теория тяжелых кварков) [21] для адронов с одним тяжелым кварком (здесь Si*^) и NRQCD [6] для дважды тяжелых мезонов (здесь В^ приводит к соотношениям симметрии между формфакторами полулептонных Вс —> Bs распадов. Получено два обобщенных соотношения симметрии в мягком пределе Vy • V2 —*• 1: одно соотношение в дополнение к полученному ранее в [20]. Найденные соотношения находятся в хорошем согласии (с точностью лучше, чем 10%) с результатами вычислений в правилах сумм, что указывает на то, что вклады неведущих 1/тд-членов достаточно малы.Получены численные оценки полулептонных ширин Вс—мезона, на основе гипотезы о факторизации [22] оценены ширины адронных мод. Суммированием основных эксклюзивных мод сделана оценка времени жизни Вс—мезона, которое согласуется с экспериментальными данными и с предсказаниями операторного разложения и кварковой моделей. Обсуждается предпочтительный выбор нормировочного масштаба в нелептонном лагранжиане для очарованного кварка и представлено соответствующая ему полная ширина Вс—мезона. Указывается, что в правилах сумм КХД в данном порядке по ag, неопределенность в значениях масс тяжелых кварков гораздо меньше чем в значениях масс, используемых в методе операторного разложения. Этот факт ведет к более определенному предсказанию времени жизни Вс—мезона.Данная глава дисертации организована следующим образом: вторая часть посвящена общей формулировке трехточечных правил сумм для распадов Вс—мезона с учетом Кулоноподобных поправок. Анализ двухточечных правил сумм для лептонных констант мезонов с одним тяжелым кварком представлен в третьей части, где также показана сходимость трехточечных правил сумм по отношению к пороговой энергии континуума системы тяжелого и легкого кварков. Даны оценки полулептонных формфакторов распадов Вс —* Вв • Получены соотношения между формфакторами полулептонных распадов, следующие из спиновой симметрии эффективных теорий тяжелых кварков в мягком пределе при нулевой отдаче. Пятая часть содержит описание вычислений ширин мод нелептонных распадов и оценки времени жизни Вс—мезона.Обсуждению оптимальной оценки времени жизни тяжелых адронов посвящена шестая часть главы. В заключении кратко приводятся основные результаты работы.

Заключение диссертации по теме «Физика высоких энергий», Ковальский, Алексей Эдуардович

5 Заключение

В Диссертации были исследованы различные задачи, связанные с динамикой адронов с двумя тяжелыми кварками.

В трехточечных правилах сумм вычислены формфакторы полулептонных распадов В+ —* Ba(B*)l+i/i с учетом кулоновских а5/г;-поправок для тяжелого кваркония. Получены обобщенные соотношения между формфакторами при отдаче близкой к нулю, обусловленные спиновой симметрией HQET/NRQCD. На основе факторизационной гипотезы изучены нелептонные распады Д.-мезона. Суммированием основных эксклюзивных мод для распадов с-кварка, и используя предыдущий анализ для распадов Ь-кварка в правилах сумм QCD и NRQCD, оценено время жизни 2?с-мезона.

На основе двухточечных правил сумм NRQCD вычислены массы дваждытяжелых барионов и барионные константы соответствующих кварковых токов. При этом учтены кулоноподобные поправки, связанные с системой дваждытяжелого дикварка и вклад непертурбативных членов, определяемых кварковым, глюонным, смешанным конденсатами и произведением кваркового и глюонного конденсатов. Введение ненулевой массы легкого кварка нарушает факторизацию барионного и дикваркового корреляторов уже на пертурбативном уровне и обеспечивает лучшую сходимость правил сумм. Полученная разность масс барионов со странным и с легким кварком равна Мц — = 100 ± 10 MeV и практически не зависит от состава дваждытяжелого дикварка. Отношение барионных констант |^п|2/|^н|2 равно 1.3 ±0.2, что означает нарушение SU(3)-симметрии для дваждытяжелых барионов.

Функция фрагментации векторной частицы (дикварка с двумя тяжелыми кварками) в возможные связанные S-волновые состояния с тяжелым антикварком вычислена в ведущем порядке теории возмущений КХД для процессов высоких энергий при больших поперечных импульсах при различном поведении аномального магнитного момента. Выведены однопетлевые уравнения для эволюции моментов функции фрагментации по q2 из-за излучения векторной частицей жестких глюонов. Получены интегральные вероятности фрагментации. Вычислено распределение связанного состояния по поперечному импульсу относительно оси фрагментации в скейлинговом пределе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ковальский, Алексей Эдуардович, 2004 год

1. Weinberg S Phys. Rev. Lett. 19 1264 (1967); Salam A in Proc. 8-th Nobel Symp. (Stokholm, 1968) p. 367; Glashow S L, Iliopoulos J, Maiani I Phys. Rev. D 2 1285 (1970)

2. Stone S "Conference Summary Beauty 2000", hep-ph/0012162; Rosner J L "CP Violation in В Decays", hep-ph/0011355; Faccioli P "CKM matrix: the 'over-consistent' picture of the unitarity triangle", hep-ph/0011269

3. Chetyrkin К G, Narison S Phys. Lett. В 485 145 (2000) и ссылки в этой статье; Gershtein S S, Likhoded А К, Prokoshkin Yu D Z. Phys. С 24 305 (1984)

4. Abe F. et al. CDF Collaboration // Phys. Rev. Lett. 1998. V.81. P. 2432., Phys. Rev. 1998. V. D58. P. 112004.

5. Gershtein S S et al., Talk given at 4th International Workshop "Progress in Heavy Quark Physics"; Герштейн С С и др. УФН 165 3 (1995) Phys. Usp. 38 1 (1995)]

6. Bodwin G.T., Braaten E., Lepage G.P. // Phys. Rev. 1995. V. D51. P. 1125. Mannel Т., Schuller G.A. // Z. Phys. 1995. V. C67. P. 159.

7. Eichten E., Quigg C. // Phys. Rev. 1994. V. D49. P. 5845. Gershtein S.S. et al. // Phys. Rev. 1995. V. D51. P. 3613.

8. Chang C.-H., Chen Y.-Q. // Phys. Rev. 1992. V. D46. P.3845.; Phys. Rev. 1994. V. D50. P.6013(E).

9. Braaten E., Cheung K., Yuan T.C. // Phys. Rev. 1993. V. D48. P. 4230. Kiselev V.V., Likhoded A.K., Shevlyagin M.V. // Z. Phys. 1994. V. C63. P.77. Yuan T.C. // Phys. Rev. 1994. V. D50. P. 5664. Cheung K., Yuan T.C.// Phys. Rev. 1996. V. D53. P. 3591.

10. Киселев B.B., Ковальский А.Э. ЯФ 63 1640 (2000) Phys. Atom. Nucl. 63 1640 (2000)]

11. Bigi I. // Phys. Lett. 1996. V. B371. P. 105.

12. Beneke M., Buchalla G. // Phys. Rev. 1995. V. D53. P. 4991.

13. Onishchenko A.I. // hep-ph/9912424],

14. Lusignoli M., Masetti M. // Z. Phys. 1991. V. C51. P. 549.,

15. Anisimov A.Yu., Narodetskii I.M., Semay C., Silvestre-Bra В. // Phys.Lett. 1999. V. B452. P. 129. hep-ph/9812514.

16. Gershtein S.S. et al. preprint IHEP 98-22. hep-ph/9803433].

17. Colangelo P., Nardulli G., Paver N. // Z.Phys. 1993. V. C57. P. 43.

18. Bagan E. et al. // Z. Phys. 1994. V. C64. P. 57.

19. Kiselev V.V., Tkabladze A.V. // Phys.Rev. 1993 V. D48. P. 5208 (1993).

20. Kiselev V.V., Likhoded A.K., Onishchenko A.I. // Nucl. Phys. 2000. V. В 569. P.473, hep-ph/9905359].

21. Kiselev V.V., Kovalsky A.E., Likhoded A.K. Nucl. Phys. В 585 353 (2000)

22. Jenkins E., Luke M., Manohar A.V., and Savage M.J. // Nucl. Phys. 1993. V. B390. P. 463.

23. Neubert M. // Phys. Rep. 1994. V 245. P. 259.

24. Dugan M. and Grinstein B. // Phys. Lett. 1991. V. B255. P. 583. Shifman M.A. // Nucl. Phys. 1992. V. B388. P. 346.

25. Blok В., Shifman M. // Nucl. Phys. 1993. V. B389. P. 534.

26. Shifman M.A., Vainshtein A.I., Zakharov V.I. // Nucl. Phys. 1979. V. B147. P. 385 Reinders L.J., Rubinstein H.R., Yazaki S. // Phys. Rep. 1985. V. 127. P. 1 Novikov V.A. et al. // Phys. Rep. 1978. V. 41C. P. 1.

27. Narison S. // Phys. Lett. 1988. V. B210. P. 238.

28. Kiselev V.V., Tkabladze A.V. // Sov. J. Nucl. Phys. 1989. V. 50. P. 1063. Aliev T.M., Yilmaz O. // Nuovo Cimento 1992. V. 105A. P. 827. Reinshagen S., Ruckl R. preprints CERN-TH.6879/93, MPI-Ph/93-88 1993. Chabab M. // Phys. Lett. 1994. V. B325. P. 205.

29. Kiselev V.V. // Int. J. Mod. Phys. 1993. V. All. P. 3689, Nucl. Phys. 1993. V. B406. P.340.

30. Beneke M., hep-ph/9911490]. Hoang A.H., [hep-ph/9905550].

31. Melnikov K., Yelkhovsky A. // Phys. Rev. 1999. V. D59. P. 114009.

32. Neubert M. // Phys. Rev. 1992. V. D45. P. 2451.

33. Shankar R // Phys. Rev. 1977. V. D15. P. 755.

34. Narison S. // Phys. Lett. 1994. V. B322. P. 247.

35. Kiselev V.V., Onishchenko A.I., hep-ph 9909337. to appear in Nucl. Phys. B.

36. Gershtein S.S., Kiselev V.V., Likhoded A.K., Onishchenko A.I. // Heavy Ion Phys. 1999. P. 133., hep-ph/9811212.1.llouch L., Lin C.J.hep-ph/9912322.

37. Braun V.M. hep-ph/9911206.

38. Neubert M. // Phys. Rev. 1992. V. D46. P. 1076.

39. Bargiotti M. et al. hep-ph/0001293.

40. Kiselev V.V. // Mod. Phys. Lett. 1995. V. A10. P. 1049. hep-ph/9504313].

41. Caso C. et al. // Eur. Phys. J. 1998. V. C3. P. 1.

42. Buchalla G., Buras A.J., Lautenbacher M.E. // Rev. Mod. Phys. 1996. V. 68. P. 1125.

43. Neubert M. preprint CERN-TH-98-2. 1998. Invited talk at International Europhysics Conference on High-Energy Physics (HEP 97), Jerusalem, Israel, Aug. 1997, In Jerusalem 1997, High energy physics, pp. 243-268 hep-ph/9801269].

44. Voloshin M.B., preprint TPI-MINN-99-40-T (1999) hep-ph/9908455], preprint TPI-MINN-99-07-T (1999) [hep-ph/9901445].

45. Berezhnoy A.V., Kiselev V.V., Likhoded A.K. hep-ph/9905555].

46. Bellini G., Bigi I., Dornan P.J. // Phys.Rept. 1997. V. 289. P. 1.

47. W. Buchmuller, R. Ruckl, D. Wyler, Phys. Lett. 1987. V. B191. P. 442.

48. V.V. Kiselev, Phys. Rev. 1998. V. D58. P. 054008; V.V. Kiselev, Phys.Atom.Nucl. 1999. V. 62. P. 300; B.B. Киселев, ЯФ. 1999. T.62. стр. 335.

49. E. Braaten, S. Fleming, Т. C. Yuan, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1997. V. 46. P. 197.

50. A. Martin, Phys. Lett. 1980. V. 93B. P. 338.

51. W. Buchmuller, С. H. H. Туе, Phys. Rev. 1981. V. D24. P. 132.

52. E. Braaten, Т. C. Yuan, Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 1673;

53. E. Braaten, K. Cheung, Т. C. Yuan, Phys. Rev. 1993. V. D48.P. 4230; E. Braaten, K. Cheung, Т. C. Yuan, Phys. Rev. 1993. V. D48.P. 5049.

54. R. L. Jaffe, L. Randall, Nucl. Phys. 1994. V. B415. P. 79.

55. Bagan E, Chabab M, Narison S Phys. Lett. В 306 350 (1993); Bagan E et al. Z. Phys. С 64 57 (1994)

56. Kiselev V V, Onishchenko A I "Two-loop anomalous dimensions for currents of baryons with two heavy quarks in NRQCD", hep-ph/9810283

57. Groote S, Korner J G, Yakovlev О I Phys. Rev. D 54 3447 (1996)52. Смилга А ЯФ 35 473 (1982)

58. Kiselev V V, Kovalsky A E Phys. Rev. D 64 014002 (2001)

59. Kiselev V V, Onishchenko A I Nucl. Phys. В 581 432 (2000)

60. Kiselev V.V., Kovalsky A.E., Onishchenko A.I. Phys. Rev. D 64 054009 (2001)

61. Cutkosky RE J. Math. Phys. 1 429 (1960)

62. Beneke M Phys. Rep. 317 1 (1999)

63. Beneke M, Signer A "The bottom MS quark mass from sum rules at next-to-next-to-leading order", hep-ph/9906475

64. Hoang A H Phys. Rev. D 61 034005 (2000)

65. Melnikov K, Yelkhovsky A Phys. Rev. D 59 114009 (1999)

66. Ovchinnikov A A, Pivovarov A A Phys. Lett. В 163 231 (1985)

67. Buchmtiller W, Туе S H, Phys. Rev. D 24 132 (1981)