Динамическое деформирование упругих сред с учетом их микроструктуры и времени релаксации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Просветов, Вячеслав Иванович

• Просветов, Вячеслав Иванович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Просветов, Вячеслав Иванович

Содержание

Стр.

Введение

Глава 1. Основные законы механики сплошной среды с учетом характерного линейного размера представительного объема среды и инерциальных свойств материала

1.1. Процедура осреднения физических характеристик деформаций, скоростей деформаций, напряжений и моментных напряжений сплошной среды с учетом характерного линейного размера к ее микроструктуры

1.2. Учет инерциальных свойств материала при расчете полных производных по времени и тензора скоростей деформации

1.3. Уравнения равновесия сплошной среды с учетом характерного представительного размера среды и инерциальных свойств материала

1.4. Безразмерный вид основных соотношений механики сплошной среды с учетом размера микроструктуры и времени релаксации

1.5. Замыкание математической модели сплошной среды с учетом микроструктуры и времени релаксации

1.6. Модель вязкого сжимаемого газа учетом характерного размера микроструктуры и времени релаксации и ее сравнение с существующими квазигазодинамическими моделями

1.7. Энергетические соотношения на примере течения идеальной

несжимаемой жидкости вдоль линии тока

Глава 2. Поведение сплошных сред в тонких переходных слоях с учетом конечности представительных элементов и времени релаксации

2.1. Основные соотношения механики сплошной среды с учетом

характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации в переходном слое

2.2. Нулевое приближение для переходного слоя по малым безразмерным комплексам Кнудсена и Струхаля

2.3. Первое приближение для переходного слоя по малым безразмерным комплексам Кнудсена и Струхаля

2.4. О существовании разрывов в переходном слое

Глава 3. Распространение упругих волн с учетом характерного

представительного размера среды и времени релаксации

3.1. Математическая модель распространения упругих волн с учетом характерного размера микроструктуры и времени релаксации

3.2. Распространения гармонических колебаний в неограниченном пространстве

3.3. Плоские гармонические волны в упругой среде с учетом характерного размера микроструктуры и времени релаксации

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическое деформирование упругих сред с учетом их микроструктуры и времени релаксации»

Введение

Актуальность темы обусловлена влиянием микроструктуры и времени релаксации на характер напряженно-деформированного состояния материалов и протекания волновых процессов в них. Микроструктура материала и время релаксации существенно влияет на поведение упругого материала в областях больших градиентов напряжений и деформаций, характерных для пограничного слоя и в окрестности фронта ударных волн, а также на распространение упругих волн в различных материалах.

Упругие волны являются высокоэффективным инструментом исследования твердых тел, практически не внося при этом искажения в происходящие там процессы [70, 168]. Выявление волновых эффектов, связанных с микроструктурой и временем релаксации, позволит использовать их для совершенствования методов контроля и диагностики выпускаемой продукции, конструирования материалов с заданными свойствами звукоизоляции, а также появлению новых методов исследования материалов различной природы [76].

Развитие математического моделирования непосредственно связано с построением новых математических моделей с учетом дополнительных характеристик объектов, уточнения и разработок новых форм анализа существующих моделей, использованием новых численных алгоритмов, разработкой эффективных программных комплексов. В связи с этим следует отметить, что модели, построенные с учетом микроструктуры и времени релаксации, включают в себя дополнительные диссипативные эффекты, что приводит к возможности построения устойчивых явных конечно-разностных схем [29, 46, 69, 127, 138, 157]. В современных условиях, когда происходит активное использование многоядерных процессоров и распределенных вычислений, этот фактор может стать решающим при выборе модели описания деформирования сплошной среды [181, 191, 219].

Можно выделить три основных направления исследований внутренних взаимодействий между структурными элементами: континуальный, статистический и структурно-феноменологический [158].

В рамках статистического подхода были получены уравнения Больцмана (Ludwig Boltzman, 1844-1906), описывающие поведение функции распределения частиц моноатомарного газа с бинарными столкновениями. Впоследствии С. Чепмен и Д. Энског предложили асимптотический метод решения уравнений Больцмана, основанный на поиске решения в виде формального асимптотического ряда по степеням малого положительного параметра - числа Кнудсена. В первом приближении по числу Кнудсена данный метод приводит к уравнениям Навье-Стокса, следующие приближения приводят к уравнениям с более высоким порядком пространственных производных, что вызывает существенные трудности при их численном решении [66]. В научной литературе подобные уравнения, включающие третьи пространственные производные, носят название уравнения Барнетта.

В отличие от статистического подхода структурно-феноменологический направление основано на пересмотре основных гипотез механики сплошных сред. Оно занимает промежуточное положение между классическим описанием сплошных сред и статистической физикой. Здесь следует отметить работы А. М. Кривцова [93-95], И. А. Кунина [106], Б .Е. Победря [131-133], А. К. Эрингена [190, 201] и др.

В теории упругости получил широкое распространение подход, основанный на введение в представительный бесконечно малый объем дополнительных степеней свободы (ротационных, осцилляционных или способностей к микродеформации). В результате чего появилась возможность учитывать внутреннюю структуру (микроструктуру) реальных материалов (зернистость, волокнистость и т.д.). Первоначально данный подход был предложен в 1909 [198] году путем учета ротационных степеней свободы, и впоследствии получил название континуум Коссера. В 1911 году

5

была опубликована работа Леру [206], в которой происходил учет микродеформации. Бесконечно малого представительного объема. Особый интерес к исследованию неклассических континуумов возник в 50-е - 60-е годы ввиду широкого внедрения композиционных материалов. В эти годы были выполнены работы В. Т. Койтера [91], Р. Д. Миндлина [119, 208], В. Новацкого [122, 210], Е. Рейснера [212], Л. И. Седова [158-161] и др. Особое место в дальнейшем развитии данного подхода занимают исследования распространения различных видов волн в таких континуумах [42, 98-100]. В настоящее время данное направление активно развивается в работах отечественных и зарубежных авторов [59, 110, 213].

Учет микроструктуры материала также возможен за счет уточнения основных кинематических характеристик сплошной среды. Данный подход предложен в работах Н. Д. Вервейко совместно с П. П. Сумцом, С. А. Шашкиной, М. И. Быковой [22, 23, 27, 28, 31, 184].

Помимо попыток создания моделей, учитывающих конечность представительного размера реально существующих материалов, в 60-е годы XX века под руководством Абрахама Робинсона возникла дисциплина под названием нестандартный анализ. В нестандартном анализе реализуется идея наличия бесконечно малых величин, отличных от нуля, что соответствует физическому представлению о структуре материи. Впоследствии данный подход был апробирован при решении задач теории упругости и гидродинамики [57, 171].

Введение элементарного объема также ставит вопрос о применимости методов механики сплошных сред при исследовании наноструктур с использованием совместного подходов Лагранжа и Эйлера [5] в периодических средах [8]. Некоторые исследователи считают, что процесс расчета механических характеристик должен проходить в рамках методов молекулярной механики [51].

В газовой динамике широкое распространение получили системы квазигазо- и гидродинамических уравнений, формально отличающие от

6

уравнений Навье-Стокса дополнительными слагаемыми, включающими малый параметр и старшие производные. В восьмидесятые годы под руководством Б. Н. Четверушкина [180-183], Т. Г. Елизаровой [65, 67] начались исследования моделей, отличающихся от классических уравнений Навье-Стокса дополнительной процедурой пространственно-временного осреднения для определения основных физических характеристик среды. В настоящее время данное направление активно развивается, как в теоретическом плане [44, 80, 164, 185-187], так и в практическом [61, 62, 68].

Учет характерного размера микроструктуры и времени релаксации обычно необходим в динамических задачах механики деформируемого твердого тела. В связи с этим следует отметить работы Г. И. Быковцева [24], А. А. Буренина [18, 20], В. И. Ряжских [153, 154], И. А. Викторова, Ю. М. Мяснянкина, А. Д. Чернышева [19], Н. Д. Вервейко [30] и др. Характерный размер микроструктуры вносит существенный вклад в описание процессов в задачах теории оболочек, где один из характерных размеров системы достаточно мал. В этом направлении следует отметить работы Т. Д. Семыкиной, В. А. Козлова [89, 90] и др.

В настоящее время в зарубежной и отечественной литературе активно ведутся исследования, направленные на учет дополнительных физических характеристик реально существующих сред [111]. Следует отметить, что до конца не решен вопрос о границах применимости того или иного метода исследования для конкретной практической задачи.

При моделировании современных материалов возникает необходимость в расширении существующих классических моделей. Выбор характеристик состояний вещества - серьезная математическая проблема, а их количественное измерение с помощью эксперимента является трудновыполнимой задачей [81]. В связи с этим всегда следует избегать чрезмерных усложнений на этапе формирования модели, чтобы впоследствии не столкнутся с существенными математическими

сложностями и отсутствием экспериментально подтвержденных значений заявленных физических параметров.

Предложенный в диссертационной работе подход базируется на классическом подходе Эйлера, используемый при описании неупругих сред [72, 73, 123], сплошной среды в виде непрерывного поля осредненных физических характеристик. Для проведения процедуры осреднения представительный объем должен обладать определенными размерами, причем при его уменьшении погрешность вычисления осредненных характеристик будет возрастать. Применительно к волновой динамике данный подход был детально изучен А. Г. Куликовским [101-105].

Следует отметить, что вопрос о конечности представительного объема и наличия времени релаксации косвенно возникает в численно-аналитических подходах, основанных на совместном использовании описания Эйлера и Лагранжа деформирования сплошной среды. К таковым относятся метод крупных частиц, предложенный Ф. Харлоу в 1955 г. [12], а также различные сеточные методы [53, 175]. Если взглянуть на данный вопрос более шире, то очевидной станет взаимосвязь предложенного подхода с численными методами увеличения устойчивости конечно-разностных схем, такими, как искусственная вязкость, введение времени запаздывания (установления) физических параметров среды и т.д.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследование является выявление влияния характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации на процессы деформирования и течения материала.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Построение кинематических и силовых характеристик представительного элемента сплошной среды с учетом характерного линейного размера микроструктуры.

2. Учет инерциальных свойств и времени релаксации в уравнениях сохранения механики сплошных сред.

3. Построение основных уравнений механики сплошной среды с учетом микроструктуры и времени релаксации.

4. Построение основных соотношений в переходных слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации.

5. Исследование распространения упругих гармонических волн в неограниченной среде с учетом ее микроструктуры и времени релаксации.

Область исследования. Исследование соответствует п.2 «Теория моделей деформируемых тел с простой и сложной структурой», п. 5 «Теория упругости, пластичности и ползучести» области исследования паспорта специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела».

Методы исследования. Проведенные в данной диссертационной работе исследования основаны на классических подходах механики сплошных сред построения математических моделей деформируемых сред, методах аналитического исследования систем сингулярно возмущенных уравнений в частных производных, а также методе малого параметра и использовании элементов стандартного программного обеспечения.

Основные положения и результаты работы, выносимые на защиту.

1. Тензоры деформации и скорости деформации, отнесенные к центру масс представительного объема, учитывающие микроструктуру и время релаксации.

2. Уравнения механики сплошных сред, учитывающие конечность представительного элемента и время установления среды, приводящее к уточнению полных материальных производных от характеристик среды.

3. Соотношения в переходных слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации.

4. Уточненная скорость распространения гармонических упругих волн и интенсивности их затухания за счет учета параметра микроструктуры и времени релаксации.

Научная новизна.

1. Построены тензоры деформации и скорости деформации, отнесенные к центру масс представительного объема и учитывающие микроструктуру и время релаксации. Полученные тензоры отличаются от классических наличием слагаемых, содержащих параметры характерного линейного размера к и времени релаксации т.

2. Построены уравнения механики сплошных сред, учитывающие конечность линейного представительного элемента среды и уточнение полных производных от характеристик среды. Учет дополнительных параметров приводит к появлению слагаемых, содержащих производные более высокого порядка с малыми параметрами, что делает систему уравнений в частных производных сингулярно возмущенной и требует дополнительных граничных и начальных условий.

3. Построены соотношения в слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации, характерных для пограничного слоя или в окрестности фронта ударных волн.

4. Уточнена скорость распространения гармонических упругих волн и интенсивность их затухания за счет учета параметра микроструктуры и времени релаксации. Учет дополнительных параметров приводит к уменьшению скорости распространений гармонических упругих волн.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при расчете распространения упругих волн в различных материалах с учетом их микроструктуры и времени релаксации.

Полученные математические модели можно использовать для построения устойчивых явных конечно-разностных схем в задачах, где существуют зоны резкого изменения параметров состояния среды.

Выявленная взаимосвязь между временем релаксации, размером микроструктуры и скоростью распространения упругих гармонических волн может быть использована при выборе физических параметров композитных материалов с необходимыми свойствами звукопоглощения и виброзащиты.

Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XXXXII Всероссийском симпозиуме по механике и процессам управления (г. Миасс 2012г.); на международных конференциях «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж 2009-2011гг.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2011г.); Международной молодежной конференции «Прикладная математика, управление и информатика» (г. Белгород 2012 г.).

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений механики сплошных сред, теории упругости, правильностью применения математического аппарата теории уравнений в частных производных, а также применением общеизвестных методов механики сплошных сред. Научные результаты, полученные в предлагаемой диссертационной работе, подтверждаются экспериментальными данными по распространению гармонических упругих волн в материалах различной природы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано двенадцать печатных работ, из них три в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.

Личный вклад автора. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 221 наименования. Материал изложен на 112 страницах машинописного текста и содержит 14 рисунков и 5 таблиц.

Глава 1. Основные законы механики сплошной среды с учетом характерного линейного размера представительного объема среды и инерциальных свойств материала

1.1. Процедура осреднения физических характеристик деформаций, скоростей деформаций, напряжений и моментных напряжений сплошной среды с учетом характерного линейного размера к ее

микроструктуры

В механике сплошных сред одним из основных понятий является бесконечно малый объем, который ввиду произвольной делимости материи и неразличимости отдельных частиц лежит в основе гипотезы сплошности изучаемых объектов. Однако данный микрообъем имеет конечную величину и должен характеризовать весь материал в целом в рамках представления механики сплошных сред. Таким образом, отдельная молекула материала не характеризует его макроскопические свойства, а лишь определенный пакет молекул, обладающих определенной структурой, характерной всему объекту, может быть выбран в качестве представительного объема. Его конкретный размер определяется заданным уровнем точности определения реологических соотношений исследуемой среды.

Задача заполнения произвольного объекта элементарными объемами без наложения и пустот является нетривиальной и на данный момент не имеет решения. Для сред, рассматриваемых в механике сплошных как классические, вследствие их простоты может быть использован кубический элементарный объем. Если обратить внимание на среды с периодической структурой, свойственной, прежде всего, композитным материалам, возможны другие варианты представительных объемов.

Выберем в качестве системы отсчета наблюдателя декартову систему координат хх,х2,х3 и рассмотрим в точке м{хх,х2,хъ) области среды в

некоторый момент времени г представительный объем характерным размером 2к (рис. 1.1)

V среды с

Координаты точек в элементарном объеме:

М = (х1;х2;х})\

М,+ = (х, + Ипп;х2 + кпп\хъ + Ипи); = (х, - кпп\х2 - кпп\хъ - кпи);

(1.1)

Мп+ = (х, + /ш21;х2 +кп22,хъ +Ип23); М„_ = (х, -кпп\х2 -кп22\хъ -/ш23);

МШ+ =(*! +Ли31;х2 + /ш32;х3 + Лл33); Мш_ = (х, -/ш31;х2 -Ы32;х3 -кпъъ)

Рассмотрим в точке Л/(х,,х2,х3) в момент времени / следующие характеристики среды, при этом будем использовать подход Эйлера:

- ковариантные производные ец = , где uJ - компоненты вектора перемещений;

- ковариантные производные ец = , где vJ - компоненты вектора скоростей перемещений;

- напряжения сгу;

- моментные напряжения: тц.

Впоследствии будем рассматривать данные характеристики как непрерывные функции в центре масс. Учтем пространственно распределенный характер исследуемых величин путем разложения их в ряд по малому параметру к в точках представительного объема.

Для полного тензора деформаций на &-тых противоположных гранях будут справедливы следующие разложения в ряд Тейлора с точностью до третьего слагаемого: де„

£у\м еч\м +

( 1\ 1 аЧ

(-¿К +

д£„

£„ =£„\ +

9\м Ч\М дх,

м

м

Ыы +

2 8х,дх

1 зЧ

/(.V 1 5Ч

Л-Щ Пк,Пкт +■

М

6 дх,дхтдхп

м

2 дх,дхп

■ к пы"ы +

1 д\

м

6 дх1дхтдхп

■кЪпк1пыпкп +••• >

м

где к = 1,11, III - противоположные грани элементарного представительного объема, пы - направляющие косинусы.

Аналогично для полного тензора скоростей деформации на &-тых противоположных гранях будут справедливы следующие разложения с точностью до третьего слагаемого:

де„

е.л-к = е„

и «\м дХ1 де„

( и\ 1 д2еу

м

2 дх,дхт

I т

{-Ь)1пипы +

1 д\

м

6 дх,дхтдхп

{-И)3 п^п^п^ + ...

м

е = е \ ч--

Ч\м "\М 0х1

• Ли« +

1

м

2 дх ¡дхп

'Ъ "иПкт +

1 З3*

М

■Ь ПыПктПкп +-

М

6 дх,дхтдх„

I т п

Следовательно, среднее значение матрицы ковариантных производных перемещений и скоростей перемещений для двух противоположных граней элементарного представительного объема представляет собой следующее выражение:

£и +£ч \-к

= £„\ +

1 д\

м

1Пм 2дх,дх 1 52е

■к пк,пкт +...

м

и

е„\*к +е„ I

_ у\м У\М _с ___

" 2 2 дх,дх

м

Произведем осреднение полного тензора деформаций и скоростей

деформаций по всем граням элементарного представительного куба:

15

2>.

к—\ М

1 ^ д2е„

М 3 'Лм 6tidx,dx„

м

1

+ — 6

д2е..

дххдх2

{пипх2+п2хп22+ппп32)+

д2е.,

м

дххдхъ

2 ill,

h nkinkm +••• = £„\ +-А£е„\ -к + ... « У1л/ g w 1А/

(япи13 + п2хп23 +и31«33)

м

■h¿ +

+ ■

i av

6 дх2дхъ

м

(пх2пхз + п22п23 + ni2n33)- h2 + ...

з__

Z

е".

t=i м

м 3

» М С

м б

м

'•М м g у

1

+ — 6

Э2е„

дххдх2

{пххпх2 + п2Хп22 + пъхпг2) +

д2е„

м

дххдхъ

("|1И13 +И2»Л23 +Я31иээ)

м

■h2 +

+

1 д\

6 йс2йх:3

(пх2пхз +п22п2Ъ +пЪ2пгг)-Н2 +...

м

Так как выбранные системы координат являются декартовыми, для них

можно ввести матрицу поворота вектора, записанную через углы Эйлера:

'cos a cos р cos a sin Р sin ^ - sin a eos у cos a sin р eos у + sin a sin ул М{а,р,у)= sin« cos Р sin a sin р sin у + cos a cos у sin a sin р cos у — cos a sin у - sin Р COS Р sin у COS Р cos у

Из которой следует, чтоипл12 +«2i"22 + из1"з2 -+«21^23 +пъ\пъг =0, пх2пхъ + п22п2Ъ + пъ2пъъ = 0 .

Из полученного соотношения следует, что для объемной деформации и

g

скорости объемной деформации е = -у будут верны следующие равенства:

м з

м■ — е\ +-Y- Q2s

Ш с. í—t

6 к=х дх,дхп

■tfWkm + - = *L +-A*L •h2 +...

М г \М

М

(1.2)

*=1 М

= е

м

м

д2е

6 к=х дх,дхп

м

= el +-Ае .. -/г

\м ^ i м

(1.3)

Таким образом, соотношения (1.2) и (1.3) определяет уточненный тензор объемной деформации и скорости объемной деформации с учетом характерного размера к представительного объема ЛУ.

Для тензора напряжений на А>тых противоположных гранях (I, II, III гранях) будут справедливы следующие разложения с точностью до третьего слагаемого. При этом будем учитывать, что главные части напряжений совпадают по модулю, но на противоположных площадках элементарного объема имеют разный знак:

да,.

=сг„ +-

+

Ч\ и У\ и

1

•И/ +

1 54

м

2 дх,дхп

•Ь пыпы +

1

м

6 дх,дхтдхп

м

¿К)

м

дх,

•{-ИУпк,пктпкп+...

• (- Ь)пы +-——-

2 дх,дхп

•(-Л)2пыпкт +

м

м

6 дх,дхтдхп

Следовательно, значение тензора напряжений для двух противоположных граней элементарного представительного объема в центральной точке представляет собой следующее выражение:

= сг„ +* + с„ -* — 2

м

IМ V IМ

дС7„

дх,

•Лии +

1 зЧ,

(

= 2-

дх,

1 32<т

сг +--

6 дх„дх

У г 2

/

М

6 дх,дхтдхп

м

м

Найдем компоненты главного вектора в центральной точке представительного объема М = (хх;х2;х3), используя аналогичные рассуждения, что и при выводе уточненной объемной деформации:

IX

■ Акгп„. 2.2

-к]

к=1

дх.

1 5Ч

+---п П.П^

у 2 дх дх кт

т п

■ Ьпк, • 4/г пк}

м

С

дх,

• 8/Г +...

Следовательно, в разложение главного вектора вошли слагаемые второго порядка по И, обусловленные рассмотрением представительного объема АУ с линейным размером к.

Для тензора моментных напряжений на &-тых противоположных гранях будут справедливы следующие разложения с точностью до третьего слагаемого. При этом будем учитывать, что главные части моментных напряжений совпадают по модулю, но на противоположных площадках элементарного объема имеют разный знак:

дт„

т„\*к = т„\ +

Пм и дх1

■ К/ +

1 д2т„

м

2 дх,дхп

•Ь пк,пкт +

1 д3т„

и

6 дх,дхтдх„

м

т„\-к

={~тл

¿(-»О

м+ дх,

{-к)пш +

м

2 дх,дхп

{-Н)2пк,пкт +

м

+ ■

1

6 дх,дхтдхп

м

Следовательно, среднее значение тензора моментных напряжений для двух противоположных граней элементарного элементарного объема представляет собой следующее выражение:

т.

* = т„ + т„ -* = 2 и м

дт„

дх,

■ кпк! +

1 д3тц

= 2А

дх,

, 1 д2ти

т н----п п^п

2 дх„дх„

кт кп

V

м

6 дх,дхтдх„

м

м

Момент в центральной точке от моментных напряжений вычисляется следующим образом:

-4И2пк1 г

Мот{ту) - ш

дх,

т„ + —Ат„ -Л2 + ...

V 6 V

8/23

В связи с тем, что пары сил, возникшие в результате действия касательных напряжений, имеют одинаковые знаки перед первой производной в разложении ряда Тейлора, момент от их действия имеет следующий вид:

Мот(сгц ), =

+ ■

1 зЧ

2 дх,дхт

I т

к ПЫПкт

М

Г

• 4/г • к = ецк •

1

л

<х. + — Дсг,, •/?+... V ^ У

•4/г3

где е к - символ Леви-Чивиты.

Найдем величину главного момента в центральной точке представительного объема М = {хх-,х2\х3), возникшего за счет моментных напряжений и пары сил.

Мот1 = Мот{тц)1 + Мот(сгц), =

дх,

\

т„ + —Ат„ -к2 +...

и 6 V

8/г3 +

+ £

у к

М

+ -До\. -И +...

" Л

I м

•4/г3

Таким образом, главный момент системы включает в себя моментные напряжения и пары сил касательных напряжений с учетом дополнительных слагаемых порядка к2.

В результате уточнения матрицы ковариантных производных, напряжений и моментных напряжений среды с учетом характерного размера Ъ. ее микроструктуры были получены уточненные параметры представительного объема сплошной среды, характеризующий ее микроструктуру с точностью до третьего слагаемого в разложении тензоров. - объемная деформация:

I 1 I 7=1

= е1 + —Де -к +о(И ) м \м ^ \м 4 у

(1.4)

главный вектор:

Уес, =

дх,

1 А 1.2

•8 къ +о{къ)

(1.5)

- главный момент:

г

Мот, =

дх,

т„ + —Ат„ •И2

у 6 V

\ г

3

8/г' +£

ук

сг . I + — Дсг,| •И

IМ

М

•4 Л3+о(й3) (1.6)

Полученные уточненные характеристики (1.4-1.6) используются для подстановки в основные соотношения механики сплошных сред.

В отличие от классической модели механики сплошной среды уточненные объемная деформация, главный вектор и главный момент системы содержат слагаемые второго порядка по к с большим порядком производных.

1.2. Учет инерциальных свойств материала при расчете полных производных по времени и тензора скоростей деформации

Поскольку представительный объем не может быть нулевым, то требуется определенное время для того, чтобы система пришла в равновесие и стала удовлетворять основным законам механики сплошной среды.

Время релаксации т или время установления параметров в представительном объеме АУ можно учесть при формулировке второго закона Ньютона движения материальной частицы объемом АУ, которая в момент времени характеризуется плотностью р, давлением р или тензором напряжений <Ту и движется со скоростью V, а через время релаксации (время установления) г эта же частица принимает другие значения плотности, напряжений и скорости движения. Таким образом, можно сравнивать параметры представительного элемента (частицы) только в дискретные моменты времени с временным промежутком г. Переход от дискретных по времени функций V, р, <Уу к непрерывным можно осуществлять, разложив в ряд Тейлора значения параметров в момент времени (¿+г) по времени релаксации т, и удерживать в этом разложении величины до первого порядка по т. Такой подход приводит к повышению производных по времени в выражении для ускорения представительного элемента, но эти добавки имеют порядок г и при переходе к абсолютно твердому телу с бесконечно малым т—»0 временам релаксации добавочные слагаемые пропадают, и тем самым отсутствует противоречие закону движения Ньютона для абсолютно твердого тела.

Данная аналогия может быть распространена на различные материалы, в том числе газ и жидкость. Существенным отличием будет продолжительность времени установления. Так для большинства газов время установления будет значительно больше, чем у жидкостей, а у них в свою очередь больше, чем у твердого тела.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Просветов, Вячеслав Иванович, 2013 год

Список использованных источников

1. Акивис, М. А. Тензорное исчисление / М. А. Акивис, В. В. Гольдберг. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. - 1969. - 351 с.

2. Александрова, Н. И. Аппроксимация граничных условий в задачах гидроупругости / Н. И. Александрова // Математическое моделирование. -1991.-том 3-№ 12.-е. 3-12.

3. Алешкевич, В. А. Колебания и волны. Лекции (Университетский курс общей физики) / В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев. - М.: Физический факультет МГУ, 2001. - 144 с.

4. Амензаде, Ю. А. Теория упругости. Учебник для университетов / Ю. А. Аменадзе. - 3-е доп. - М.: высшая школа, 1976. - 272 с.

5. Андрианов, С. А. Метод описания связей между эйлеровой сеткой и лагранжевыми объектами / С. А. Андрианов // Математическое моделирование. -2012. - т. 24. -№ 8. - С. 97-108.

6. Бабкин, А. В. Основы механики сплошных сред: Учебник для втузов // А. В. Бабкин, В. В. Селиванов В. В. - 2-е изд., испр. в 3 томах. - Т. 1 - М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2004. - 376 с.

7. Бахвалов, Н. С. Осреднение процессов в периодических средах / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

8. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - 5-е изд. - М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 636 с.

9. Бахолдин, И. Б. Бездиссипативные разрывы в механике сплошной среды / И. Б. Бахолдин. - М.: Физматлит, 2004. - 320 с.

Ю.Белл, Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел / Дж. Ф. Белл. - ч. 1. - М.: Наука, 1984. - 597 с.

П.Белл, Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел / Дж. Ф. Белл. - ч. 2. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

12.Белоцерковский, О. М. Метод крупных частиц в газовой динамике /

90

О. М. Белоцерковский, Ю. М. Давыдов. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 392 с.

13.Биркгоф, Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. / Г. Биркгоф - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 244 с.

14.Бленд, Д. Нелинейная динамическая теория упругости: Пер. с англ. / Д. Бленд. - М.: Мир, 1972. - 184 с.

15.Блехман, И. И. Вибрационная механика / И. И. Блехман. -М.:Физматлит, 1994. - 400 с.

16.Бобылев, А. В. Взаимосвязь свойств симметрии уравнений динамики, кинетической теории газов и гидродинамики / А. В. Бобылев, Н. X. Ибрагимов // Математическое моделирование. - 1989. - т. 1 - № 3 - с. 100109.

17.Бреховский, JI. М. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / JI. М. Бреховский, В. В. Гончаров. - М.: Наука, 1982.-335 с.

18.Буренин, А. А. Об условиях существования поверхностей разрывов необратимых деформаций в упругопластических средах / A.A. Буренин, О.В. Дудко, К.Т. Семенов // ПМТФ. - 2009. - Т.50. - №5. - С. 176-185.

19.Буренин, А. А. Ударные волны в изотропном упругом пространстве / А. А. Буренин, А. Д. Чернышев // ПММ. - 1978. - Т.42. - вып.4 - С.711-717.

20.Буренин, А. А. Эволюционное уравнение для волновых процессов формоизменения / А. А. Буренин, В. Е. Рагозина, Ю. Е. Иванова // Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. -2009. - вып. 4 - ч.2 - с. 14-24.

21.Бхатнагар, П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах / П. Бхатнагар. - М.: Мир, 1983. - 134 с.

22.Быкова, М. И. Влияние микроструктуры материала стержня на его устойчивость / М. И. Быкова, Н. Д. Вервейко, С. А. Шашкина // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева Механика предельного состояния. - 2008. - №2 - с. 24-27.

23. Быкова, М. И. Течение и деформирование материалов однородной микроструктуры: монография / М. И. Быкова , Н. Д. Вервейко, П. П. Сумец, С. А. Шашкина. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010.- 192 с.

24.Быковцев, А. Г. О преломлении ударных волн чистого сдвига в упруго-пластическое полупространство / А.Г. Быковцев // ПММ. - 1989. -Т.53. - вып.2. - С.309-318.

25.Ван-Дайк, М. Альбом течений жидкости и газа / М. Ван-Дайк. - М.: Мир, 1986.- 180 с.

26.Великович, A. JI. Физика ударных волн в газах и плазме / А. Л. Великович, М. А. Либерман. - М.: Наука, 1987. - 295 с.

27.Вервейко, Н. Д. Влияние микроструктуры упругого материала на его деформирования / Н. Д. Вервейко, С. А. Шашкина // Вестник СамГУ. -Естественная серия. - 2009. - №4(70) - с. 101-113.

28.Вервейко, Н. Д. Влияние однородной микроструктуры материалы на его деформирование и течение / Н. Д. Вервейко, А. А. Воронков, М. И. Быкова// Вестник ВГУ, Серия: Физика, математика. - 2005. - № 2. - с. 111118.

29. Вервейко, Н. Д. Влияние характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации на переходные процессы в тонких слоях / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. - 2013. - № 2. - с. 141-147.

30.Вервейко, Н. Д. К устойчивости явной однородной конечно-разностной схемы плоского нестационарного течения вязкого сжимаемого газа с учетом микроструктуры / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. - 2009. - № 1. - с. 70-74.

31. Вервейко, Н. Д. Лучевая теория упруговязкопластических волн и волн гидроудара / Н. Д. Вервейко. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 1997. - 204 с.

32.Вервейко, Н. Д. Математическая модель течения высокоскоростного газа с микроструктурой / Н. Д. Вервейко, П. П. Сумец // Вестник ВГУ, Серия: Физика, математика. - 2008. - № 2. - с. 92-96.

33. Вервейко, Н. Д. Математическое моделирование поведения сплошной среды с учетом микроструктуры и времени релаксации / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Механика и процессы управления. Том 1. -Материалы XXXXII Всероссийского симпозиума. - М.: РАН, 2012. - С. 111122.

34.Вервейко, Н. Д. О построении одной квазимодели механики сплошной среды / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010. - с. 94-96. (нет оригинала)

35.Вервейко, Н. Д. Расчет влияния микроструктуры жидкости и времени релаксации на ее течение вдоль линии тока средствами MathCad Prime 1.0 / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов //Теоретическая и прикладная механика. - Выпуск 27. - Минск: БИТУ, 2012. - С. 155 -160.

36. Вервейко, Н. Д. Учет микроструктуры материала и его инерциальных свойств в моделях механики сплошной среды / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII». - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. - с. 39-41.

37.Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. - изд. 4-е - М.: Наука, 1981. - 512 с.

38.Владимиров, В. С. Уравнения математической физики: Учебник для вузов / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. - 2-е изд., стереотип. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.

39.Волкова, А. Т. Расчет прочности металлов с учетом различного сопротивления элементов микроструктуры отрыву и сколу / А. Т. Волкова // Труды четвёртой Всероссийской научной конференции с международным участием (29-31 мая 2007 г.). Часть 1, Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций, матем. моделирование и краев, задачи. - Самара: СамГТУ, 2007 - с. 65-68.

40.Ворович, И. И. Функциональный анализ и его приложение в механике сплошной среды / И. И. Ворович, Л. П. Лебедев. - М.: Вузовская книга, 2000. - 320 с.

41.Галактионов, В. А. Уравнения нелинейной дисперсии третьего порядка: ударные волны, волны разрежения и разрушения / В. А. Галактионов, С. И. Похожаев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - т.48 - №10 - С. 1819-1846.

42.Галин, Г. Я. Об ударных волнах в средах с произвольным уравнение состояния / Г. Я. Галин //ДАН СССР. - 1958. - т. 119 - С. 1106-1109.

43.Галкин, В. А. Теория функциональных решений квазилинейных систем законов сохранения и ее приложения / В.А. Галкин //Тр. семинара им. И.Г. Петровского. - М.: Изд-во МГУ, 1997. - Вып. 20. - С. 23-47.

44.Гасилов, В. А. О некоторых свойствах дифференциальных и разностных уравнений квазигазодинамического типа / В. А. Гасилов, В. И. Маслянкин, И. П. Симонович // Математическое моделирование. - 1989. -т.1. -№10. - С. 142.

45. Герасименко, Е. А. Лучевые разложения в изучении закономерностей распространения неплоских ударных волн / Е. А. Герасименко, В. Е. Рагозина // Известия Саратовского университета. Естественнонаучная серия. - 2006. - вып. 6 - ч.1 - с. 94-113.

46.Гильманов, А. Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики / А. Н. Гильманов. - М.: Наука. ФИЗМАТ ЛИТ, 2000. - 248 с.

47. Годунов, С. К. Проблема обобщенного решения в теории квазилинейных уравнений и в газовой динамике / С. К. Годунов // УМН. -1962. т. 17-С. 147-158.

48. Годунов, С. К. Симметрические гиперболические уравнения нелинейной теории упругости / С. К. Годунов, И. М. Пешков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - т. 48. - № 6. -С. 1034-1055.

49.Годунов, С. К. Элементы механики сплошной среды / С. К. Годунов. -М.: Наука, 1978.-303 с.

50.Годунов, С. К. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения / С. К. Годунов. - Новосибирск: Научная книга, 1998. - 280 с.

51.Головнева, Е. И. Особенности применения методов механики сплошных сред для описания наноструктур / Е. И. Головнева, И.Ф. Головнев, В.М. Фомин // Физическая мезомеханика. - 2005. - №5. - С. 47-54.

52.Граур, И. А. Разностные схемы расщепления для решения уравнений Эйлера, построенные на основе квазигазодинамических уравнений / И. А. Граур // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - т. 44. - №1. - 166-178.

53.Григорьев, Ю. Н. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках / Ю. Н. Григорьев, В. А. Вшивков, М. П. Федорчук. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2004. - 360 с.

54.Гринченко, В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко. - Киев: Наук. Дума, 1981. - 284 с.

55.Гришин, А. М. Об одном методе решения некоторых трехмерных уравнений в частных производных / А. М. Гришин, Якимов А. С. // Вычислительные технологии. - 2000. - т.5 - № 5 - с. 38-52.

56.Гузь, А. Н. Дифракция упругих волн / А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, М.А. Черевко. - Киев: Наук. Думка, 1978. - 308 с.

57. Девис, М. Прикладной нестандартный анализ / М. Девис. - М.: Мир, 1980.-236 с.

58.Демидов, С. П. Теория упругости: Учебник для вузов / С. П. Демидов. - М.: Высшая школа, 1979. - 432 с.

59.Димитриенко, Ю. И. Многомасштабное моделирование упругих композиционных материалов / Ю. И. Димитриенко, А. П. Соколов // Математическое моделирование - 2012. - т. 24. - № 5. - С. 3-20.

60.Дородницин, Л. В. Неотражающие граничные условия и их приложение к дозвуковой динамике / Л. В. Дородницин // Математическое моделирование. - 2006. - т. 18. - №5. - С. 49 - 62.

61. Дородницын, Л. В. Аппроксимации квазигазодинамической системы уравнений, приводящие к явным алгоритмам // Математическое моделирование. - 2006. - т. 18. - № 4. - с. 77 - 88.

62.Дородницын, Л. В. Об одной неявной схеме для моделирования дозвукового течения газа / Л. В. Дородницын, Б. Н. Четверушкин // Математическое моделирование. - 1997. - т. 9. - № 5. - с. 108 - 118.

63.Егоров, Ю. Э. Применение метода масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязких газов и газовых смесей в соплах Лаваля / Ю. Э. Егоров, М. X Стрелец, М. Л. Шур // Математическое моделирование. - 1990. - том 2 - № 10. - с. 3 - 12.

64.Елизарова, Т. Г. Квазигазодинамические уравнения для течений газа с внешними источниками тепла / Т. Г. Елизарова, А. А. Хохлов // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. - 2007. - № 3 - с. 10-13.

65.Елизарова, Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. Лекции по математическим моделям и численным методам в динамике газа и жидкости / Т. Г. Елизарова. - М.: Научный мир, 2007.-350 с.

66.Елизарова, Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и численное моделирование течений вязкого газа / Т. Г. Елизарова, М. Е. Соколова, Ю. В. Шеретов // Журнал вывчислительной математики и математической физики. - 2005. - т.45. - №3 - с. 545 - 556.

67.Елизарова, Т. Г. Лекции. Математические модели и численные методы в динамике жидкости и газа. Подходы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений / Т. Г. Елизарова. - М.: Физический факультет МГУ, 2005. - 224 с.

68.Елизарова, Т. Г. Численный алгоритм расчета сверхзвуковых течений, основанный на квазигазодинамических уравнениях / Т. Г. Елизарова, М. Е. Соколова // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. - 2004. - № 1-е. 10-15.

69.Елизарова, Т.Г. Диссипативные слагаемые в квазигазодинамических уравнениях и их влияние на поле течения в ударной волне / Т.Г. Елизарова, М.Е. Соколова // Вестник Московского университета, серия 3. Физика. Астрономия. - 2001. - 5. - С. 19-22.

70. Ерофеев, В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой / В. И. Ерофеев. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. - 328 с.

71.Жарков, В. Н. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах / В. Н. Жарков, В.А. Калинин. - М.: Наука, 1968. -312 с.

72.Жилин, П. А. Математическая теория неупругих сред / П.А. Жилин // Успехи механики. - 2003. - Т. 2. - №4. - С. 3-36.

73.Жилин, П. А. Основные уравнения теории неупругих сред. / П. А. Жилин // Сб.: Тр. XVIII летней школы «Актуальные проблемы механики». -С.-Пб., 2001.-е. 14-58.

74.Жилин, П. А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики / П. А. Жилин. - СПб.: Питер, 2003. - 340 с.

75.Зайцев, В. В. Моделирование нелинейных колебаний упругой системы при гистерезисе и релаксации / В. В. Зайцев // Математическое моделирование. - 1994. - т. 6. - №2. - с. 75-82.

76.Зайцев, В. Ю. «Неклассические» проявления микроструктурно-обусловленной нелинейности: новые возможности для акустической

диагностики / В. Ю. Зайцев, В. Е. Назаров, В. И. Таланов // Успехи физических наук. - 2006. - т. 176. - №1 - С. 97-102.

77. Захаров, Е. В, Уравнения математической физики: учеб. для студ. высш. учеб. заведений / Е. В. Захаров, И. В. Дмитриева, С. И. Орлик. - М.: Издательский центр «Академия», 2010. - 320 с.

78.Зельдович, Я. Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. - М.: Наука, 1966.-675 с.

79.3лотник, А. А. Квазигазодинамическая система уравнений с более общими уравнениями состояния / A.A. Злотник // Докл. РАН. - 2010. - Т. 431, №5.-С. 605-609.

80. Злотник, А. А. О построении квазигазодинамических систем уравнений и баротропной системы с потенциальной массовой силой / А. А. Злотник // Математическое моделирование. - 2012. - т. 24 — № 4. - С. 65-79.

81.Иванова, Е. А. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете моментных взаимодействий на микроуровне / Е.А. Иванова, A.M. Кривцов, Н.Ф. Морозов // Прикладная математика и механика. - 2007. - т. 71 - № 4. - С. 595-615.

82.Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды: Учебник / А. А. Ильюшин. - 3-е изд. - М.: Издательство МГУ, 1990. - 310 с.

83.Иродов, И. Е. Волновые процессы. Основные законы. / И. Е. Иродов. - М.: Лаборатория знаний, 1999. - 256 с.

84.Карлов, Н. В. Колебания, волны, структуры / Н.В. Карлов, H.A. Кириченко. - М.: Физматлит, 2003. - 496 с.

85.Карташев, А. П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 288 с.

86.Клайн, С. Дж. Подобие и приближённые методы / С. Клейн. - М.: Мир, 1968.-304 с.

87.Кобылкин, И. Ф. Ударные и детонационные волны. Методы исследования / И. Ф. Кобылкин и др. - 2-е изд., переаб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 376 с.

88.Коган, М. Н. Динамика разреженного газа / М. Н. Коган. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 440 с.

89.Козлов, В. А. Полная статико-геометрическая аналогия теории оболочек / В. А. Козлов, В. А. Ковалев // Вестник Самарского государственного университета. - 2007 - т. 9 - №1 - С. 188-194.

90.Козлов, В. А. Теория тонких гладких оболочек как двумерного континуума в пространстве / В. А. Козлов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010. - с. 183-187.

91.Койтер, В. Т. Моментные напряжения в теории упругости / В. Т. Койтер // Механика. Сб. пер. - 1965. - №3. - С. 89-112.

92.Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике / Дж. Коул. - М.: Мир, 1972. - 274 с.

93.Кривцов, А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой / А. М. Кривцов. - М.: Физматлит, 2007 - 304с.

94.Кривцов, A.M. К теории сред с микроструктурой / A.M. Кривцов // Труды СПбГТУ. - 1992. - №443. - С. 9-17.

95.Кривцов, A.M. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела / A.M. Кривцов, Н.В. Кривцова // Дальневосточный математический журнал. - 2002. - Т. 3. - №2. - С. 254-276.

96.Кузнецов, А. П. Нелинейные колебания: Учеб. пособие для вузов / А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Н. М. Рыскин. - М.: Издательство физико-математической литературы, 2002. - 292 с.

97.Кулеш, М. А. Волновая динамика упругих сред: методический материал к спецкурсу «Дополнительные главы теории упругости» / М. А. Кулеш, И. Н. Шардаков. - Пермь: Издательство Пермского университета, 2007. - 60 с.

98.Кулеш, М. А. Волны в упругой среде Коссера / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Математическое моделирование систем и процессов. - 2008. - № 16. - с. 64-75.

99.Кулеш, М. А. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера / М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2007. - № 4. - С. 100-113.

100. Кулеш, М. А. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера / М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков // Прикладная механика и техническая физика. - 2005. - Т. 46. - № 4. - С. 116-124.

101. Куликовский, А. Г. Классические и неклассические разрывы и их структуры в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией / А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова // Современные проблемы математики. - Вып. 7 - М.: МИАН, 2007.- 150 с.

102. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А.Ю. Семенов. - М.: Физматлит, 2001. - 608 с.

103. Куликовский, А. Г. Математические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова, А. П. Чугайнова // Лекционные курсы НОЦ. Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). - Вып. 16 - М.: МИАН, 2010.-122 с.

104. Куликовский, А. Г. Моделирование влияния мелкомасштабных дисперсионных процессов в сплошной среде на формирование крупномасштабных явлений / А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова // Журнал

вычислительной математики и математической физики. - 2004. - т. 44. - № 6. -с. 1119-1126.

105. Куликовский, А. Г. Нелинейные волны в упругих средах // А. Г. Куликовский, Е. И. Свешникова. - М.: Московский лицей, 1998. - 412 с.

106. Кунин, И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. / И. А. Кунин. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1975. - 416 с.

107. Ладыженская, О. А. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существование и гладкость / О. А. Ладыженская // Успехи мат. наук. - 2003. - Т. 58, Вып 2. - С. 45-78.

108. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика в Х-ти томах. Т. VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 736 с.

109. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика в Х-ти томах. Т. VII Теория упругости: Учеб. пособие / Л. Д. Ландау, Т. Ф. Лифшиц. - 4-е изд., испр. и доп. - М.:Наука, 1987. - 248 с.

110. Леонов, А. В. Нахождение определяющих соотношений несимметричной теории упругости путем осреднения неоднородного упругого материала / А. В. Леонов // Вестник ТГТУ. - 2010. - Т. 16. - № 3. -С. 625-631.

111. Лобода, О.С. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла / О.С. Лобода, A.M. Кривцов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - №4. - 2005. - С. 27^-1.

112. Лойцянский, Л. Г. Ламинарный пограничный слой / Л. Г. Лойцянский. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1952. - 479 с.

113. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов / Л. Г. Лойцянский. - 7-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

114. Лурье, А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье - М., Наука, 1980.-512 с.

115. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 939 с.

116. Мак-Коннел, А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике / А. Дж. Мак-Коннел. - М.: Главное издательство физико-математической литературы. - 1963. - 411 с.

117. Мартинсон, Л. К. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов / Л. К. Мартинсон, Ю.И. Малов. - 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. - 368 с.

118. Микер Т. Волновое распространение в протяжных цилиндрах и пластинках / Т. Микер, А. Мейтцлер // Физическая акустика под редакцией У. Мэзона. Том 1. Метод и приборы ультразвуковых исследований. - Часть А. -М.: Мир, 1966.-с. 181-187.

119. Миндлин, Р. Д. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости / Р. Д. Миндлин, Г. Ф. Тирстен // Механика. Сб. пер. -1964.-№4.-С. 80-114.

120. Мясников, В.П. Геометрическая модель внутренних самоуравновешенных напряжений в твердых телах / В. П. Мясников, М.А. Гузев // Докл. РАН. - 2001. - Т. 380. - №5. - С. 1-3.

121. Найфэ А. X. Введение в метод возмущений / А. X. Найфэ. -М.:Мир, 1984.-535 с.

122. Новацкий, В. Теория упругости: Пер. с пол. / В. Новацкий. - М.: Мир, 1975.-872 с.

123. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости / В. В. Новожилов. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 208 с.

124. Новожилов, И. В. Методы формирования приближенных математических моделей движения / И. В. Новожилов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2005. - т. 11. - № 7. - с. 5-9.

125. Новожилов, И. В. Об уточнении предельных моделей механики / И. В. Новожилов // Нелинейная механика. - М.: Физматлит, 2001. - С. 174191.

126. Овсянников, Jl. В. Лекции по основам газовой динамики / Л. В. Овсянников. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -336 с.

127. Павлов, А. Н. Разностные схемы с кинетически-согласованной искусственной вязкостью для решения уравнений Навье-Стокса на криволинейных ортогональных сетках / А. Н. Павлов, А. С. Чайка, Четверушкин Б. Н. // Математическое моделирование. - 1993. - том 5 - № 4. -с. 57-75.

128. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний: Учеб. пособие для вузов / Я. Г. Пановко. - 3-е изд., переаб. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1991. - 256 с.

129. Пирумов, У. Г. Газовая динамика сопел / У. Г. Пирумов, Г. С. Росляков. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990. - 368 с.

130. Пирумов, У. Г. Качественный анализ некоторых эволюционных задач газовой динамики / У. Г. Пирумов // Математическое моделирование. -1999.-т. 11. - № 2. - с. 5-32.

131. Победря, Б. Е. Модели механики сплошных сред. / Б. Е. Победря // Фундаментальная и прикладная математика. - 1997. - т. 3 - № 1. - с. 93 -127.

132. Победря, Б. Е. Элементы структурной механики деформируемого твердого тела / Б. Е. Победря // Математическое моделирование систем и процессов. - 1996. - № 4. - с. 66-73.

133. Победря, Б.Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды / Б.Е. Победря // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. - 2005. - № 1. - С. 54-59.

134. Полянин, А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.

135. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

136. Полянин, А. Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 432 с.

137. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. - изд. 4-е - М.: Наука, 1974. - 331 с.

138. Попов, И. В. Конечно-разностный метод решения трехмерных уравнений газовой динамики с введением адаптивной искусственной вязкости / И. В. Попов, И. В. Фрязинов // Математическое моделирование. -2011.-т. 23. -№ 3. - С. 89-100.

139. Праслов, В. В. Многочлены / В. В. Праслов. - 3-е изд., исправленное. - М.: МЦНМО, 2003. - 336 с.

140. Просветов, В. И. Влияние времени релаксации на поведение кинетической энергии представительного элемента идеальной несжимаемой жидкости вдоль линии тока / В. И. Просветов // Прикладная математика, управление и информатика: сборник трудов Междунар. молодеж. конф., Белгород, 3-5 октября 2012 г.: в 2 т. - Т. 1. - Белгород: ИД «Белгород», 2012. -С. 234-236.

141. Просветов, В. И. К устойчивости явной однородной конечно-разностной схемы плоского нестационарного течения вязкого сжимаемого газа / В. И. Просветов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Ч. 2: сборник трудов международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. - с. 132-134.

142. Просветов, В. И. Математические модели механики сплошной среды с учетом микроструктуры материала / В. И. Просветов // Труды молодых ученых: секция математика. - 2010. - В. 1-2 - с. 26-27.

143. Просветов, В. И. Поведение материалов в тонких переходных слоях с учетом конечности представительных элементов и времени

релаксации/ В. И. Просветов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. — с. 325-328.

144. Просветов, В. И. Распространение упругих волн с учетом характерного размера микроструктуры и времени релаксации / В. И. Просветов // Труды молодых ученых: секция математика. - 2011. - Выпуск 1 -2-е. 12-17.

145. Путеводитель Прандтля по гидроаэродинамике. - М.: МИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2007. - 776 с.

146. Пухначев, В. В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса / В. В. Пухначев // Успехи механики. - 2006. - № 1. - С. 6-76.

147. Рабинович, М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецкой. - М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2000. - 560 с.

148. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974. - 744 с.

149. Рагозина, В. Е. Эволюционное уравнение поперечных ударных волн в твердом теле / В. Е. Рагозина, Ю. Е. Иванова // Дальневосточный математический журнал. -2013.-т. 13- № 1. - С. 116-126.

150. Рейнер, М. Реология / М. Рейнер. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 224 с.

151. Рогова, Б. В. Обзор моделей вязких внутренних течений / Б. В. Рогова, И. А. Соколова // Математическое моделирование. - 2002. - т. 14 -№1. - с. 41-72.

152. Роменский, Е. И. О моделировании эффекта трансформации частот упругих волн / Е. И. Роменский, А. Д. Садыков. - Сибирский журнал индустриальной математики. - 2010. - т. XIII. - № 3. - С. 117-125.

105

153. Рижских, В. И. Динамика фильтр-адсорбционного процесса очистки мелкодисперсионных взвесей с растворяющей твердой фазой / В. И. Ряжских, О. А. Семенихин, Д. А. Горьковенко // Известия высших учебных заведений. Серия: Химия и химическая технология. - 2007. - т. 50. - № 2. - С. 70-72.

154. Ряжских, В. И. Кинетика распределения примесей между твердой и жидкой фазами дисперсионной среды в процессе фронтальной кристаллизации / В. И. Ряжских и др. // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - т. 5. - № 12. - С. 249256.

155. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. - 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 320 с.

156. Самарский, А. А. Разностные методы задач газовой динамики: Учеб. пособие для вузов / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. - 3-е изд., доп. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1992. -424 с.

157. Самарский, А. А. Устойчивость разностных схем / A.A. Самарский, А. В. Гулин. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. - 416 с.

158. Седов, Л. И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред / Л. И. Седов // Успехи математических наук. - 1965. - т. XX. -вып 5(125).-с. 121-180.

159. Седов, Л. И. Механика сплошных сред. Том 1 / Л. И. Седов. - М. Наука, 1970.-492 с.

160. Седов, Л. И. Механика сплошных сред. Том 2 / Л. И. Седов. - М. Наука, 1970.-568 с.

161. Седов, Л. И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы / Л. И. Седов // ПММ. - 1968. - Т. 32. - № 5. - С. 771 - 785.

162. Соболев, С. Л. Уравнения математической физики / С. Л. Соболев. - 4-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. - 1966. - 443 с.

163. Сокольников, И. С. Тензорный анализ. Теория и применение в геометрии и в механике сплошных сред / И. С. Сокольников - М.: Наука, 1971.-376 с.

164. Ступоченко, Е. В. Релаксационные процессы в ударных волнах / Е. В. Ступоченко, С. А. Лосев, А. И. Осипов. - М.: Наука, 1965. - 484 с.

165. Труэлл, Р. Ультразвуковые методы в физике твердого тела / Р. Труэлл, Ч. Эльбаум, Б. Чик. - М.: Мир. 1972. - 307 с.

166. Тихомиров, Д. В. Тензорно-индексное представление квазигазодинамической системы и разностная аппроксимация / Д.В. Тихомиров // Вестник Московского университета, серия 3. Физика. Астрономия. - 2006. - 1. - С. 31-35.

167. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - 7-ое издание - М.: Наука, 1977. - 735 с.

168. Треффц, Е. Математическая теория упругости / перевод с немецкого, под редакцией проф. А. И. Лурье / Е. Треффц. - Москва-Ленинград: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. -172 с.

169. Тупчиев, В. А. Глобальная разрешимость задачи Коши для системы нелинейной упругости / В. А. Тупчиев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1997. - т. 37. - № 9. - с. 1094-1104.

170. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.-622 с.

171. Успенский, В. А. Что такое нестандартный анализ? / В. А. Успенский - М.: Наука, 1987. - 128 с.

172. Фикера, Г. Теоремы существования в теории упругости: пер. с англ. / Г. Фикера - М.: Мир, 1974. - 160 с.

173. Филоненко-Бородич, М. М. Теория упругости / М. М. Филонеико-Бородич. - М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1959. - 364 с.

174. Хан, X. Теория упругости: основы линейной теории и ее применения: Пер. с нем. / X. Хан. - М.: Мир, 1988. - 344 с.

175. Харлоу, Ф. Численные методы частиц в ячейках для задач гидродинамики / Ф. Харлоу. - М.: Мир, 1967. - 383 с.

176. Христианович, С. А. Прикладная газовая динамика / С. А. Христианович и др. - М.: ЦАГИ, 1948. - 145 с.

177. Чернов, JI. А. Волны в случайно-неоднородных средах / JI.A. Чернов. - М.: Наука, 1975.- 172 с.

178. Черный, Г. Г. Газовая динамика: Учебник для университетов и втузов / Г. Г. Черный. - М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 424 с.

179. Черняк, В. Г. Механика сплошных сред: Учеб. пособ.: для вузов. / В. Г. Черняк - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 352 с.

180. Четверушкин, Б. Н. Квазигазодинамическая система уравнений и уравнение Навье-Стокса/ Б. Н. Четверушкин, К. Н. Иванова, Н. Г. Чурбанова // Математическое моделирование. - 2004. - т. 16 - №4 - с. 98-104.

181. Четверушкин, Б. Н. Кинетические схемы и высокопроизводительные многопроцессорные вычисления в газовой динамике / Б. Н. Четверушкин // Вычислительные технологии. - 2002. - т.7. -№6. - с. 65-89.

182. Четверушкин, Б. Н. Минимальные размеры в задачах механики сплошной среды / Б. Н. Четверушкин // Математическое моделирование. -2005.-т. 17-№4-с. 27-39.

183. Четверушкин, Б. Н. Пределы детализации и формулировка моделей уравнений сплошных сред / Б. Н. Четверушкин // Математическое моделирование. - 2012. - т. 24. - № 11 - С. 33-52.

184. Шашкина, С. А. Формулировка задачи теории упругости для материалов с микроструктурой / С. А. Шашкина // Математические модели и операторные уравнения: сб. науч. тр. - Воронеж, 2005. - Т. 3. - С. 81-86.

185. Шеретов, Ю. В. О свойствах решений квазигидродинамических уравнений в баротропном приближении / Ю. В. Шеретов // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. - 2009. - т. 14 - с. 5-19.

186. Шеретов, Ю.В. О единственности решений одной диссипативной системы гидродинамического типа / Ю.В. Шеретов // Математическое моделирование. - 1994. - Т. 6, № 10. - С. 35-45.

187. Шеретов, Ю.В. Об общих точных решениях уравнений Навье-Стокса, Эйлера и квазигазодинамических уравнений / Ю. В. Шеретов // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. - 2010. - т. 17 - с. 41-59.

188. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974. - 711 с.

189. Шуликовский, В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении / В. И. Шуликовский. - М.: Главное издательство физико-математической литературы. - 1963. - 540 с.

190. Эринген, А. К. Теория микрополярной упругости / А. К. Эринген // Разрушение. - 1975. - Т. 2. - С. 646-751.

191. Abraham, F. F. Simulating materials failure by using up to one billion atoms and the world's fastest computer / F. F. Abraham, R. Walkup, H. Gao // Work-hardening. Proceedings of National Academy of Sciences (USA). - 2002. -V. 99. - №9. - P. 5783-5787.

192. Ansorge, R. Mathematical models of fluid dynamics / R. Ansorge, T. Sonar. - Second, Updater Edition - WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2009. - 227 p.

193. Ball, J. M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity / J. M. Ball //Arch. Rational Mech. and Analys. - 1977. - V. 63. - P. 337-403.

194. Baskes, M. I. The status role of modeling and simulation in materials science and engineering / M. I. Baskes // Current Opinion in Solid State & Mater. Sc. - 1999. - V. 4. - №3. - P. 273-277.

195. Belyaev, A. K. Comparative study of various approaches to stochastic elastic wave propagation / A. K. Belyaev // Acta Meccanica. - 1997. - V. 125. -№1-4.-P. 3-16.

196. Bigoni, D. Analytical Derivation of Cosserat Moduli via Homogenization of Heterogeneous Elastic Materials / D. Bigoni, W.J. Drugan // Journal of Applied Mechanics. - 2007. - Vol. 74. - P. 741-753.

197. Chevrier, P. Spall fracture: Mechanical and microstructural aspects / P. Chevrier, J.R. Klepaczko // Engineering Fracture Mechanics. - 1999. - V. 63. -№3. - P. 273-294.

198. Cosserat, E. et F. Theorie des Corps Deformables / E. et F. Cosserat -Paris. Librarie Scientifique A. Hermann et Fils.,1909.

199. David, J. Fundamentals and Application of ultrasonic waves / J. David, N. Cheeke. - CRCPress LLC, 2002. - 450 p.

200. Ebinger, T. Modeling macroscopic extended continua with the aid of numerical homogenization schemes / T. Ebinger, H. Steeb, S. Diebles // Comput. Mater. Sci. - 2005. - Vol. 32. - 337-347.

201. Eringen, A.C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundation and Solids / A.C. Eringen. - Springer-Verlag New York, 1998. - 319 p.

202. Evans, M. W. The particle-in-cell method for hydrodynamic calculations / M. W. Evans, F. H. Harlow. - Los Alamos Scientific Lab. Rept. №LA-2139. - Los Alamos, 1957.

203. Forest, S. Elastoviscoplastic constitutive frameworks for generalized continua / S. Forest, R. Sievert // Acta Mech. - 2003. - Vol. 160. - P. 71-111.

204. Forest, S. Homogenization Methods and the Mechanics of Generalized Continua. Part 2 / S. Forest // Theoretical and Applied Mechanics. -2002. - Vol. 28-29. - P. 113-143.

205. Kardiadakis, G. Microflows and nanoflows / G. Kardiadakis, A. Beskok, N. Aluru // Fundamentals and simulation. - Springer, 2005. - 817 p.

206. Le Roux Etitude eometrique de la torsion et de la flexion / Le Roux // Ann. Scient de L'Ecole Normale Sup. - Paris, 1911. - V. 28.

207. Lomdahl, P. S. Molecular dynamics of very large systems / P. S. Lomdahl, D. M. Beazley, S. J. Zhou // Radiation Effects and Defects in Solids. -1997.-V. 142.-№1-4.-P. 1-7.

208. Mindlin, R. D. Influence of Couple-Stress on Stress Concentration / R. D. Mindlin // Exp. Mech. - 1963. - V. 3. - P. 1-7.

209. Monaghan, J. J. Particle methods for hydrodynamics / J. J. Monaghan // Comp. Phys. Rep. - 1985. - №. 3. - P. 71-124.

210. Nowacki, W. Couple-Stresses in the Theory of Thermoelasticity / W. Nowacki // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. Sc. Techn. - 1966. - V. 14. - P. 505-512.

211. Prosvetov, V. I. Modeling of flow of medium with homogeneous microstructure / V. I. Prosvetov, P. P. Sumets, N. D. Verveyko // International journal of mathematical models and methods in applied sciences. - 2011. - V. 5. -1.3.-pp. 508-516.

212. Reisssner, E. On Kinematics and Statics in Finite-Strain Force and Moment Stress Elasticity / E. Reisssner // Stud. Appl. Math. - 1973. - V. 52. - P. 97-101.

213. Roderic, L. Experimental Methods for Study of Cosserat Elastic Solids and other Generalized Elastic Continua / Roderic Lakes : ed. H. Muhlhaus, J. Wiley // Continuum Models for Materials with Micro-Structure. - 1995. - No. 1. -P. 1-22.

214. Schwartz, L.M. Vibrational modes in granular materials / L.M. Schwartz, D.L. Johnson, S. Feng// Physical Review Letters. - 1984. - Vol. 52. - № 10.-P. 831-834.

215. Sone, Y. Continuum gas dynamics in the light of kinetic theory and new features of rarefied gas flows / Y. Sone // 20th Int. Symp. on Rarefied Gas

Dynamics, Proceedings - Ed. by C. Shen, Peking University Press, Beijing, China. -1997.-P. 3-24.

216. Thompson, K.W. Time-dependent boundary conditions for hyperbolic systems / K.W. Thompson // J. Comput. Phys. - 1990. - V. 89. - №2. - P. 439461.

217. Thornton, C. Numerical simulations of deviatoric shear deformation ofgranular media / C. Thornton //Geotechnique. - 2000. - V. 50. - P. 43-53.

218. Tuckerman, M. E. Understanding modern molecular dynamics: Techniques and applications / M. E. Tuckerman, G. J. Martyna // J. Phys. Chem. B. -2000. - V. 104.-№2.-P. 159-178.

219. Vashishta, P. Million atom molecular dynamics simulations of materials on parallel computers / P. Vashishta et al. // Current Opinion in Solid State & Mater. Sc. - 1996. - V. 1. - №6. - P. 853-863.

220. Von Neumann, J. A method for numerical calculations of hydrodynamic shocks / J. Von Neumann, R. D. Richtmyer // J. Appl. Phys. - 1950. - V. 21. -№ 3. - P. 232-237.

221. Zhou, S. J. A nonlinear-discrete model of dynamic fracture instability / S. J. Zhou et al. // Phys. Letters A. - 1997. - V. 232. - №3-4. - P. 183-188.