Динамический изгиб жестко-пластических круглых и кольцевых пластинок и цилиндрических оболочек и оптимальное расположение дополнительных опор к ним тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Оленев, Геннадий Михайлович

• Оленев, Геннадий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Оленев, Геннадий Михайлович

Содержание

Введение

Глава I Деформация круглых и кольцевых пластинок в случае условия текучести в виде квадрата и оптимизация расположения дополнительных опор к круглым пластинкам J

§ I.I. Основные предположения динамического поведения жёстко-пластических круглых и кольцевых пластинок

§ 1.2. Динамика заделанной по краю круглой пластинки IG

§ 1.3. Динамический изгиб заделанной по внутреннему и свободно опертой либо заделанной по внешнему краю кольцевой пластинки

§ 1.4. Деформация заделанной по внутреннему и свободной по внешнему краю кольцевой пластинки

§ I.b. Оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам в случае условия текучести в виде квадрата J

Глава II 0 динамическом изгибе круглых и кольцевых пластинок в случае условия текучести Треска и оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам

§ 2.1. О динамике заделанной по краю круглой пластинки

§ 2.2. Динамический изгиб заделанной по внутреннему и свободно опертой по внешнему краю кольцевой пластинки

§ 2.3. Деформация заделанной по внутреннему и ■ внешнему краям кольцевой пластинки при импульсном нагружении

§ 2.4. Оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам в случае условия текучести Треска

Глава III Динамика жёстко-пластических цилиндрических оболочек и оптимизация расположения дополнительных опор к ним

§ 3.1. Основные соотношения динамического поведения жёстко-пластических цилиндрических оболочек

§ 3.2. Деформация жёстко заделанной с обоих концов оболочки

§ 3.3. Динамика жёстко заделанной с одного и свободной с другого конца оболочки

§ 3.4. Динамический изгиб жёстко заделанной с одного и свободно опертой с другого конца короткой цилиндрической оболочки

§ З.о. Оптимальное расположение дополнительных опор к цилиндрической оболочке

3.5.1. Численные результаты задачи оптимального расположения дополнительной опоры 92 3.0.2. Об оптимальном расположении нескольких дополнительных опор к цилиндрической оболочке

§ 3.6. Применение метода модальных движений к задаче оптимального расположения дополнительной опоры к заделанной с одного и свободной с другого конца цилиндрической оболочке

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамический изгиб жестко-пластических круглых и кольцевых пластинок и цилиндрических оболочек и оптимальное расположение дополнительных опор к ним»

Тонкостенные конструкции в виде пластинок и оболочек находят самое широкое применение в разнообразных областях современной техники. При этом конструкции часто подвергаются динамическим нагрузкам. При проектировании таких конструкций нередко возникают проблемы оптимизации. Кроме того, в современных конструкциях могут иметь место пластические деформации. Вследствие этого необходимо решаяъ задачи с учётом приведённых выше факторов.

Для расчёта конструкций на кратковременные интенсивные нагрузки, при которых проявляются в основном пластические свойства материала, наибольшее применение находят методы, основанные на модели жёстко-пластического тела [9, II, 36, 49]. Эта модель описывает пластические свойства конструкций в наиболее чистом виде, пренебрегая упругими деформациями. При этом материал остаётся недеформированным, пока напряжение в каком-нибудь из его элементов не достигнет предельной величины, после чего наступает пластическое течение. В большинстве известных исследований конструкции подвергаются динамической нагрузке с зависящей от координат и времени интенсивностью; менее изучено поведение конструкций при импульсной нагрузке, когда задаётся то или иное начальное поле скоростей прогибов.

Вопросы оптимизации пластических конструкций при динамической нагрузке естественно базируются на задачах динамического поведения соответствующих конструкций. Довольно полная библиография работ по динамике жёстко-пластических конструкций приведена в монографиях В.Ольшака, З.мруза, П.Пежины [47], Х.Л.Рах-матулина, Ю.А.Демьянова [оО], а также в обзорных работах В.Н.Ма-залова, Ю.В.пемировского [34] и Г.С.Шапиро [б8].

Теоремы об определении верхней и нижней оценок предельных статических нагрузок доказаны А.А.Гвоздевым [3]. Ему же принадлежит решение первых задач о динамическом изгибе балок и пластин. Динамика жёстко-пластических балок рассматривалась, например, в работах [8, 10, 54, 55, 72, 81].

Теория динамического изгиба жёстко-пластических круглых пластин, использующая закон течения, который связывает определённым образом поля напряжений и скоростей прогибов в пластинке, была предложена Г.Гопкинсом и В.Драгером [4]. Отметим также работы А.Ванга и Г.Гопкинса [2] и А.Ванга [98], в первой из которых рассматривалась деформация заделанной по краю круглой пластинки при импульсной нагрузке, а во второй рассматривалась аналогичная задала для свободно опертой по краю круглой пластинки. Динамика кольцевых пластин изучалась в работе Г.С.Шапиро [67], где рассматривалась защемлённая по внутреннему краю кольцевая пластинка с подвергнутым удару внешним краем. Кольцевая пластинка, свободно опёртая по внешнему краю, подверженная нагрузке прямоугольного типа, была объектом изучения в работе З.Ыруза [90], при этом на внутренний край пластинки действует перерезывающая сила.

В работе А.Флоренса [62] при некотором начальном поле скоростей даётся три решения для определения остаточного прогиба края кольцевой пластинки, заделанной по внутреннему и свободной по внешнему краю. Х.Эггарвал и К!. Эблоу [71] рассматривали задачу деформирования заделанной или свободно опертой по внешнему и свободной по внутреннему краю кольцевой пластинки при равномерно распределённом импульсном нагружении. Отметим, что в этой работе не выполняется требование равенства радиального изгибающего момента своему предельному значению на шарнирной окружности. В работе А.Т.Спиридонова [о7] предпринята попытка описать деформацию кольцевой пластинки с защемлёнными краями под действием равномерно распределённой импульсной нагрузки.

А.Флоренсом [63] изучена задача о поведении защемлённой круглой пластинки под действием равномерно распределённого давления. Деформация закреплённой по обоим краям кольцевой пластинки под действием динамической нагрузки изучена В.Н.Мазаловым [32]. Изгиб опертой по внешнему и свободной по внутреннему краю кольцевой пластинки в случае невозрастающего по времени равномерно распределённого давления исследовался в работе В.Н.Маза-лова и Ю.В.Немировского [89]. Движение защемлённой по внутреннему и свободной по внешнему краю кольцевой пластинки под действием нагрузки прямоугольного типа рассматривалось В.К.Костриком и О.ЛДизгуновым [16]. Случай локального динамического нагруже-ния круглых жёстко-пластических пластин рассматривался П.А.Кузиным, З.Н.Кузиной, Г.С.Шапиро [19], Н.А.Форсман [64], М.Конрой [73] и А.Флоренсом [76].

Вопрос о влиянии формы кривой нагрузка-время на остаточные прогибы исследовался Р.М.йазингом [35], К.Янгдалем [69, 70] , П.Пежиной [93].

Динамическое поведение пластин при больших прогибах изучалось Н.Джонсом [7, 80], А.Д.Судомоевым [39], Х.Липпманом [об].

Динамика конструктивно неоднородных пластин рассматривалась в работах И.А.Кийко, А.Т.Спиридонова [12, 13], й.Леллепа [21], Ю.Р.Лепика [24], Ю.П.Листровой, Ы.А.Рудиса, Т.Д.Семыкиной [28], В.Н.Мазалова, Ю.В.Немировского [33, 88], В.Н.Мазалова [30, 31], Ю.В.Немировского [38].

Предельные кривые для цилиндрической оболочки были получены Д.Друккером [74] и Ф.Ходжем [77] (см. § 3.1 настоящей работы), однако наиболее плодотворным оказалось условие текучести, предложенное Ф.Ходжем в работе [78], в которой исследовано динамическое поведение защемлённой с обоих концов цилиндрической оболочки при нагрузке прямоугольного типа. Эту предельную кривую

Ф.Ходжа [78] использовали Г.Исон и Р.Шилд [75], рассмотревшие динамическое нагружение бесконечно длинной цилиндрической оболочки сосредоточенным кольцевым и распределённым поисковым давлением. Р.Оуэне и П.Саймондс [48] изучили пластическую деформацию свободного кольца под действием сосредоточенной динамической нагрузки. Отметим также относящуюся к тому же периоду времени работу Ф.Ходжа [79], в которой устанавливается чувствительность остаточных прогибов оболочки к форме равновеликих импульсов.

В работах П.Л.Кузина [17, 18] изучается поведение как заделанной, так и свободно опертой по краям цилиндрической оболочки под действием сосредоточенного кольцевого давления, причём рассматривается два вида изменения нагрузки во времени: прямоугольный импульс и импульс, сообщающий сечению постоянную скорость. П.А.Кузиным и Г.С.Шапиро [20] для того же вида нагружения дано полное исследование движения полубесконечной цилиндрической оболочки со свободным краем.

Л.Н.Спорыхин и Н.Д.Хомяков [h8] изучили динамический изгиб цилиндрической оболочки под действием давления, равномерно распределённого на некотором участке длины, который расположен стм-метрично относительно середины оболочки, обобщив тем самым решение ФоХоджа [78]. Ь работе С.М.Колесникова и В.К.Кострика [io] рассмотрено поведение цилиндрической оболочки, защемлённой с одного и свободной с другого конца, под действием нагрузки прямоугольного типа.

Ю.Кирс [14] изучил динамику цилиндрической оболочки при больших прогибах в случае равномерно распределённой нагрузки прямоугольного типа.

В работах Ю.В.Немировского и В.Н.Мазалова [87, 92] исследовано динамическое поведение подкреплённых цилиндрических оболочек.

Как отмечается в обзоре В.М.Мазалова и Ю.Б.Немировского [34] 1975 года, случаи импульсного нагружения цилиндрической оболочки в литературе фактически не были изучены. Количество исследований по импульсному нагружению круглых и кольцевых пластинок значительно меньше, чем работ по динамическому нагружению, когда конструкция в течение некоторого промежутка времени подвергнута давлению. Этим объясняется, что в данной работе рассматриваются конструкции, подвергнутые импульсному нагружению.

В настоящее время имеется довольно много работ по оптимизации упругих конструкций. Этой проблеме посвящены монографии [i, 5, б, 29, 46, 51, 52, 61]. Вопросы оптимизации дискретных упруго-пластических систем в случае статической нагрузки рассматривались в монографии [бб].

Проблемы оптимизации неупругих тонкостенных конструкций при динамических воздействиях рассматриваются в монографии Ю.Лепика [27] и в его же обзорной статье [26]. Пятая глава монографии Ю.Лепика посвящена исследованию возможности уменьшения податливости конструкций при помощи дополнительных опор.

В случае статических нагрузок условия оптимальности расположения дополнительных опор выведены З.Мрузом и Г.Рожваны [91,95] для упругого и нелинейно-упругого и В.Прагером и Г.Рожваны [94] для жёстко-пластического материала. Примеры применения этих условий можно найти также в монографии Г.Рожваны [53]. В работе Ю.Лепика [83] условия оптимальности выводятся для статической нагрузки при помощи методов теории оптимального управления в случае довольно общего минимизируемого функционала. Весьма общая постановка задачи имеется в работе Д.Шеланга и З.Мруза [97].

Результаты, полученные для статических задач, были обобщены Ю.Лепиком [25, 84] на случай динамического нагружения при помощи метода модальных движений, а в работе автора [39] на примере упругой балки, закреплённой с помощью двух опор, оценивалась точность этого метода для различных начальных полей скоростей движения. В работе Ю.Лепика [8о] с помощью методов теории оптимального управления с распределёнными параметрами было получено интегральное условие оптимального расположения дополнительной опоры к жёстко-пластической балке. При этом задаётся некоторое начальное поле скоростей и задача решается в точной постановке.

Я.Леллепом [22] было определено оптимальное расположение дополнительной опоры к жёстко-пластической защемлённой с одного и шарнирно закреплённой с другого конца балке, подверженной импульсному нагружению. Эта же задача с помощью вариационных методов теории оптимального управления исследовалась Я.Леллепом в [23]. В его же работе [82] эта задача обобщалась на случай нескольких опор. Ю.Лепиком [27, § 21] решена задача определения оптимального расположения симметричных опор, на которых закреплена жёстко-пластическая балка, подвергнутая импульсному нагружению. Даётся как точное решение, так и решение методом модальных движений, при этом отмечается, что этот метод в случае данной задачи даёт довольно высокую точность.

Данная работа посвящена задачам деформирования импульсно нагруженных жёстко-пластических конструкций и определению оптимального расположения дополнительных опор к различным образом закреплённым жёстко-пластическим круглым пластинкам и цилиндрическим оболочкам, подверженным равномерному импульсному нагружению.При этом оптимальным считается такое расположение дополнительных опор, при котором достигается минимум максимального остаточного прогиба для всей конструкции.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Оленев, Геннадий Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получен ряд результатов по динамическому изгибу жёстко-пластических круглых и кольцевых пластинок и цилиндрических оболочек и по определению оптимального расположения дополнительных опор к импульсно нагруженным круглым пластинкам и цилиндрическим оболочкам. Эти результаты сводятся к следующему :

1. Описана динамика заделанной жёстко-пластической круглой пластинки при импульсном нагружении в случае условия текучести в виде квадрата; найден остаточный прогиб пластинки.

2. Исследовано динамическое поведение заделанной по внутреннему краю жёстко-пластической кольцевой пластинки, подверженной импульсному нагружению в случае условия текучести в виде квадрата; внешний край пластинки при этом может быть а) жёстко заделан; б) свободно оперт; в) свободен; получены и численно проинтегрированы системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений относительно параметров движения пластинки.

3. Описано деформирование импульсно нагруженной заделанной по внутреннему и свободно опертой либо заделанной по внешнему краю кольцевой пластинки в случае условия текучести Треска; получающиеся при этом системы нелинейных дифференциальных уравнений относительно параметров движения пластинки интегрируются численно.

4. Найдено аналитическое решение задачи динамического деформирования заделанной с обоих концов жёстко-пластической цилиндрической оболочки произвольной конечной длины, а также заделанной с одного и шарнирно закреплённой с другого конца короткой цилиндрической оболочки в случае импульсного нагру-жения; в этих задачах приводятся формулы для максимального остаточного прогиба оболочки, о. Изучена динамика заделанной с одного и свободной с другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочки при импульсном нагружении; полученная при этом система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений для первой фазы движения исследована аналитически с целью определения промежутков изменения характерного параметра оболочки, для каждого из которых выполняется определённая последовательность механизмов движения; системы дифференциальных уравнений относительно параметров движения оболочки частично решаются аналитически, а частично интегрируются численно, о. На базе найденных аналитически максимальных остаточных прогибов соответствующих конструкций и на основе полученных систем дифференциальных уравнений относительно параметров движения конструкций при помощи ЭВМ находится оптимальное расположение дополнительной опоры к а) импульсно нагруженной жёстко-пластической круглой пластинке, край которой может быть свободно оперт, жёстко заделан или свободен, а условие текучести берется в виде квадрата; б) свободно опертой либо жёстко заделанной по краю круглой пластинке при импульсном нагружении в случае условия текучести Треска; в) заделанной с одного и свободной ш другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочке, подверженной импульсному нагружению; в этом случае при увеличении характерного параметра оболочки оптимальная дополнительная опора смещается ближе к свободному концу; при этом приводятся также коэффициенты экономии, представляющие собой отношение максимального остаточного прогиба при оптимальном расположении дополнительной опоры к соответствующему прогибу при координате дополнительной опоры, равной в случае круглой пластинки половине её радиуса, а в случае цилиндрической оболочки - половине её длины; аналитически находится оптимальное расположение дополнительной опоры к импульсно нагруженной заделанной с одного и шарнир-но закреплённой с другого конца жёстко-пластической короткой цилиндрической оболочке; приведено также решение аналогичной задачи в случае нескольких дополнительных опор с короткими расстояниями между ними в случае, когда концы цилиндрической оболочки либо оба заделаны, либо оба шарнирно закреплены, либо один конец заделан, а другой шарнирно закреплён.

7. Задача определения оптимального расположения дополнительной опоры к импульсно нагруженной заделанной с одного и свободной с другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочке решена также методом модальных движений; этот метод даёт достаточно хорошую точность лишь в случае коротких оболочек.

8. Полученные результаты могут быть применимы при определении оптимального расположения дополнительных опор к импульсно нагруженным пластическим тонкостенным конструкциям.

ПРИЛОЖЕН 'Л Е

Рис. I.I

П

6 F а m

Ч 0 \

-4 с Е D

Рис. 1.2

Рис. 1.6 г-г i i

-Но -a-j-я- v-j— v-j~J—j ~з э ~q а * а)54 ил u/* * о гг 'оиа: s * р) у сзл о

0.4 ? ^ = 0.4252

0.3 — \

0.2 - \л?>

0.1 I I \ / I I 2.= 0.-195i

0 0.04 0.08 0.12 0 Ав 0.2 х

Рис. 2.3

0.08 0.12 0.16

0.4703 Г m (fo А m GM) n

Рис. 3.1 а

Рис. 3.1 6 m в A

G n ч о \

С F D

Рис. 3.1 в

Рис. 3.7 л,^ т

1 I

If t

Рис. 3.8 W

5 № Ч(Г) О

WiX)

Рис. 3.10

Рис. 3.14

Рис. 3.16 В м

Mo

-N0 0 -Mo N0 N F D

Рис. 3.18

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Оленев, Геннадий Михайлович, 1984 год

1. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел.- М.: Наука,1980.- 256 с.

2. Ванг А., Гопкинс Г. О пластической деформации заделаннойпо краю круглой пластинки под действием импульсивной нагрузки.- Сб. перев. и обз. ин.пер. лит-ры. Механика, 1955, № 3(31), с. 123-137.

3. Гвоздев А.А. Расчёт несущей способности конструкций пометоду предельного равновесия.- М.: Стройиздат, 1949.280 с.

4. Гопкинс Г., Прагер В. Динамика пластической круглой пластинки.- Сб.перев. и обз. ин.пер. лит-ры. Механика,1955, № 3(31), с. II2-122.

5. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам.- Киев:Наукова думка, 1975.- 294 с.

6. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация стержней по спектру собственных значений.- Киев: Наукова думка, 1979.212 с.

7. Джонс Н. Импульсное нагружение свободно опертой круговойжёстко-пластической пластины.- Прикл.мех. Тр. Амер. об-ва инж.-мех., сер.Е, 1968, т.35,$ I, с. 66-73.

8. Дикович И. Л. Динамика упруго-пластических балок.- Л-д:1. Судпромгиз, 1962.- 292 с.

9. Ерхов г/1.И. Теория идеально пластических тел и конструкций.- М.: Наука, 1978.- 352 с.

10. Иванов Г.В., Немировский Ю.В., Работнов Ю.Н. Динамикажёстко-пластической системы перекрестных связей,- Изв. ЛН GCCP. ОТН. Механика и машиностроение, 1953, № 2, с. 51-57.

11. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности.- М.: Наука,1966.- 232 с.

12. Кире Ю. Большие прогибы жёстко-пластических цилиндрическихоболочек при ударной нагрузке.- Уч.зап. Тартуского ун-та, 1971, вып. 277, с. 247-257.

13. Колесников С.М., Кострик В.К. Поведение жёстко-пластической цилиндрической оболочки под действием импульса внешнего давления.- Прикл. мех., 1975, т. II,. вып. 7, с. 63-69.

14. Кострик В.К., Лизгунов О.Л. Движение кольцевой пластинкипод действием динамической нагрузки.- Предст. Омским политехи, ин-том. Деп. в 1981 г. № 1329-81 Деп., 14 с.

15. Кузин П.А. О динамическом изгибе жёстко-пластической цилиндрической оболочки.- Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1962, }Ь 6, с. 88-94.

16. Кузин П.А. О динамике жёстко-пластической цилиндрическойоболочки конечной длины.- Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, № 2, с. 105—115.

17. Кузин П.А., Кузина З.Н., Шапиро Г.С. О действии локальнойдинамической нагрузки на свободно опертутэ жёстко-идеально-пластическую пластинку.- Изв. Ml СССР. Мех.тв. тела, 1959, № 2, с. 73-82.

18. Кузин П.А., Шапиро Г.С. О влиянии свободного края на динамический изгиб жёстко-пластической цилиндрической оболочки.- Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 3, с. 84-94.

19. Леллеп Я. Импульсивное нагружение круглых пластин, материал которых имеет различные пределы текучести при растяжении и сжатии.- Уч. зап. Тартуского ун-та, I971,вып. 281, с. 261-259.

20. Леллеп Я. Оптимальное расположение дополнительной опорыдля импульсивно нагруженной пластической балки.- Уч. зап.Тартуского ун-та, 1979, вып. 487, с. 52-57.

21. Леллеп Я. Об условиях оптимальности расположения дополнительной опоры.- Уч.зап. Тартуского ун-та, 1981, вып. 564, с. 41-50.

22. Лепик 10.Р. Одна динамическая задача теории пластинок.

23. Тр. Ин-та физики и астрономии АН ЭССР, 1952, вып. 19, с. 25-34.

24. Лепик Ю. Оптимальное проектирование неупругих балок сдополнительными опорами в случае динамического натружения.- Уч.зап. Тартуского ун-та, 1977, вып. 430, с. 132-143.

25. Лепик Ю.Р. Оптимальное проектирование неупругих конструкций при динамических воздействиях.- Прикл.мех., 1981, т. 17, № 9, с. 3-20.

26. Лепик 10. Оптимальное проектирование неупругих конструкций в случае динамического нагружения.- Таллин: Валгус, 1982.- 196 с.

27. Листрова Ю.П., РудисМ.А., Семыкина Т.Д. 0 динамическом деформировании круглых перфорированных пластин.-Прикл. мех., 1969, т. о, вып. 10, с. Но—119.

28. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики.- М.: Наука, 1975.- 480 с.

29. Мазалов В.Н. Динамическое поведение круглых подкреплённых пластин.- В кн.: Модель жёстко-пластического тела в теории пластин и оболочек. Материалы летней школы /Тарту, 1969/: Тез.докл. Тарту: изд-во Тартуского ун-та, 1969, с. 21.

30. Мазалов В.Н. 0 динамике конструктивно-неоднородныхкруглых пластин,- Сб. научн. тр. Динамика сплошной среды, 1972, вып. II, с. 58-73.

31. Мазалов В.Н. Динамический изгиб кольцевых жёсткопластических пластин с неподвижными круговыми контурами.- Сб. научн. тр. Динамика сплошной среды, 1973, вып. 14, с. 57-66.

32. Мазалов В.Н., Немировский Ю.В. Динамика тонкостенных пластических конструкций.- В кн.: Механика. Проблемы динамики упруго-пластических сред. М., 1975, № 5, с. 155-247.

33. Мазинг Р.И. Влияние формы импульсов на прогибы круглойпластинки.- Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, I960, № 6, с. 143-146.

34. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жёсткопластическихсред.- М.: Наука, 1981.- 208 с.

35. Мруз 3., Лепик Ю.Р. Оптимальное проектирование конструкций при импульсном нагружении.- Механика полимеров, 1977, J? 6, с. 1021-10:28.

36. Оленев Г. Оптимальное располо?кение опор к упругой балкев случае импульсного нагружения.- Уч. зап. Тартуского ун-та, 1981, вып. 564, с. 51-56.

37. Тартуского ун-та, 1982, с. 62-63.

38. Оленев Г. Оптимальное расположение дополнительной опорык жёстко-пластической короткой цилиндрической оболочке при импульсном нагружении.- В кн.: 350 лет математики в Тартуском ун-те: Тез.докл. Тарту: изд-во Тартуского ун-та, 1982, с. I0I-I06.

39. Оленев Г. Деформация жёстко-пластической цилиндрическойоболочки при импульсной нагрузке.- Уч. зап. Тартуского ун-та, 1982, вып. 627, с. 57-65.

40. Оленев Г. Об оптимальном расположении нескольких дополнительных опор к жёстко-пластической цилиндрической оболочке при импульсном нагружении.- Уч.зал. Тартуского ун-та, 1982, вып. 627, с. 66-71.

41. Оленев Г. Оптимальное расположение дополнительных опор кжёстко-пластическим круглым пластинкам в случае импульсного нагружения.- Уч.зап. Тартуского ун-та, 1983, вып. 659, с. 30-41.

42. Оленев Г. Об оптимальном расположении дополнительной опоры к жёстко-пластической цилиндрической оболочке при импульсном нагружении.- Уч.зап. Тартуского ун-та, 1983, вып. 659, с. 42-51.

43. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций.- М.:1. Мир, 1981.- 280 с.

44. Ольшак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности.- М.: Мир, 1964.- 244 с.

45. Оуэне Р., Саймондс II. Пластические деформации свободногокольца под действием сосредоточенной динамической нагрузки.- Сб.перев. и обз.ин.пер. лит-ры. Механика,1956,5(59), с. 98-1II.

46. Прагер Б., Ходи Ф.Г. Теория идеально пластических тел,1. М.: ИЛ, 1956.- 400 с.

47. Рахматулин Х.Л., Демьянов Ю.Л. Прочность при интенсивныхкратковременных нагрузках.- М.: Физматгиз, 1961.- 400 с.

48. Рожваны Д.М. Оптимальное проектирование изгибаемых систем,- М.: Стройиздат, 1980.- 316 с.

49. Саймондс П. Характеристики динамической нагрузки при пластическом изгибе брусьев.- Сб.перев. и обз. ин. пер. лит-ры. Механика, 1954, 1Г° 5(27), с. I58-I7I.

50. Саймондс П. Большие пластические деформации стержней поддействием нагрузки взрывного типа.- Сб. перев. и обз. ин. пер. лит-ры. Механика, 1956, № 4(38), с. 90-108.

51. Саймондс П. Динамика неупругих конструкций.- М.: Мир,1982.- 224 с.

52. Спиридонов А.Т. Деформация неупругой кольцевой пластиныпод действием распределённой импульсной нагрузки.- На-учн. тр. Всес. заоч. машиностр. ин-та, 1975, т. 33, с. 75-78.

53. Спорыхин А.Н., Хомяков Н.Д. 0 динамическом изгибе жёстко-пластической цилиндрической оболочки под действиемраспределённого давления.- Сб.научи,тр. фак. прикл. мат. и мех. Воронежского ун-та, 1971, вып. I, с. 7G-84.

54. Тамуж В.Г1. Об одном минимальном принципе в динамике жёстко-пластического тела.- Прикл. мат. и мех., 1962,т. 26, № 4, с. 715-722.

55. Троицкий В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел.1. М.: Наука, 1982.- 432 с.

56. Флоренс А. Кольцевая пластинка под действием поперечноголинейного импульса.- Ракетная техника и космонавтика, 1965, № 9, с. 202-211.

57. Флоренс А. Поведение защемлённой круговой жёстко-пластической пластинки под действием взрывного давления.-Прикл. мех. Тр. Амер. об-ва инж.-мех., сер. Е, 1966, т. 33, 2, с. 11-16.

58. Ходж Ф.Г. Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций.- М.: Машгиз, 1963.- 380 с.

59. Чирас А. А. Математические модели анализа и оптимизацииупругопластических систем.- Вильнюс: Мокслас, 1982.112 с.

60. Шапиро Г.С. Удар по кольцевой жёстко-пластической пластинке.- Прикл. мат. и мех., 1959, т. 23, № I, с. 172-175.

61. Янгдаль К. Корреляционные параметры для исключения формы кривой нагрузка-время на динамические пластические перемещения.- Прикл. мех. Тр. Амер. об-ва инж.-мех., сер. Е, 1970, т. 37, $ 3, с. I72-I8I.

62. Янгдаль К. Влияние формы импульса на окончательные пластические деформации круглой пластинки.- Сб. перев. и обз. ин. пер. литеры. Механика, 1972, № 2(132), с. 137-150.

63. Aggarwal H.R., Ablow С.М. Plastic bending of an annularplate by uniform impulse.- Int. J. Non-Linear Mech., 1971, vol. 6, N° 1, p. 69-80.

64. Conroy M.P. Plastic-rigid analysis of long beams undertransverse impact loading.- J. Appl. Mech., 1952, vol. 19, Ш 3, p. 465-470.

65. Conroy M.F. Rigid-plastic analysis of a simply supportedcircular plate due to dynamic circular loading.- J.Franklin Inst., 1969, vol. 288, № 2, p. 121-135.

66. Drucker D.C. Limit analysis of cylindrical shells underaxially-symmetric loading.- In: b?oc. of the First Midwest Conference on Solid Mechanics, 1953» P* 158-163»

67. Eason G., Shield R.T. Dynamic loading of rigid-plasticcylindrical shells.- J. Mech. and Phys. Solids, 1956, vol. 4, Ж 2, p. 53-71.

68. Jones. N. Finite deflections of a simply supported rigid-plastic annular plate loaded dynamically.- Int. J. Solids Structures, 1968, vol. 4, p. 593-603.

69. Lee E.H., Symonds P.S. Large plastic deformations of beamsunder transverse impact.- J.Appl. Mech., 1952, vol. 19, N£ 3, p. 308-315-.

70. Lellep J. Optymalizacja polozenia podpor belki sztywno-plastycznea obci^znej impulsem pr^dkosci.- Mech.teoret. i stos., 1978, 16, NS 4, s. 573-582.

71. Lepik (J. On optimal design of rigid-plastic beams withadditional supports in the case of impulsive loading.-Int. J. Non-Linear Mechanics, 1981,vol.16,Ш 1, p. 19-26.

72. Lippmann H. Kinetics of the axisymmetric rigid-plasticmembrane subject to initial impact.- Int. J. Mech.Sci., 1974-, vol. 16, Ж 5, p. 297-303.

73. Mazalov V.N., Nemirovsky Yu. V. The dynamic behaviour ofcylindrical shells reinforced by ring ribs II.Shells of finite length.- Int. J. Solids Structures, 1971, vol. 7, p. 111-123.

74. Mazalov V.N., Nemirovsby Yu.V. Dynamical bending of circular piece-wise nonhomogeneous plates.- Arch. Mech. Stos., 1973, vol. 25, Na 3, p. 4-69-4-90.

75. Mazalov V.N., Nemirovsky Yu.V. Dynamical bending of rigid-plastic annular plates.- Int. J. Non-Linear Mech., 1976, vol. 11, N£1, p. 25-4-0.

76. Mroz Z. Plastic deformations of annular plates under dynamic loads.- Arch. Mech. Stos., 1958, vol. 10, №= 4-, p. 4-99-516.

77. Mroz Z., Rozvany G.I.N. Optimal design of structures withvariable support conditions.- J.Optimiz.Theory Appl.,1975, vol. 15, № 1, p. 85-101.

78. Nemirovsky Yu.V., Mazalov Y.N. Dynamic behaviour of cylindrical shells strengthened, with ring ribs. Part I. Infinitely long shell.- Int. J. Solids Structures,1969, vol. 5, P. 817-852.

79. Perzyna P. dynamic load carrying capacity of a circularplate.- Arch. Mech. Stos., 1958, vol. 10, N£ 5, p. 635-647.

80. Pcager W., Rozvany G.I.N. Plastic design of beams: optimal locations of supports and steps in yield moment.-Int. J. Mech. Sci., 1975, vol. 17, N£ 10, p. 627-631.

81. Ranganatham B.Y., Subba K.S. Limit analysis of annularslabs.- Int. J. Mech. Sci., 1972, vol. 14, Ш 10, p. 693-699.

82. Wang A.J. The permanent deflection of a plastic plate under blast loading.- J. Appl. Mech., 1955, vol. 22, N£3, P. 375-376.