Динамические и синхронизационные свойства магнитных вихревых наноосцилляторов. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Белановский Анатолий Дмитриевич

• Белановский Анатолий Дмитриевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Белановский Анатолий Дмитриевич

Благодарности

Введение

Глава 1. Спинтроника и наномагнетизм

1.1 Основные принципы спинтроники

1.2 Электронный транспорт в магнитных наноструктурах

1.3 Гигантское магнитосопротивление

1.4 Резисторная модель

1.5 Полуклассическая и квантово-механическая теории спин-зависимого транспорта

1.6 Туннельное магнитосопротивление

1.6.1 Спиновый вращающий момент

1.7 Основные принципы наномагнетизма

1.8 Характерные длины в магнетизме

1.9 Магнитный вихрь

1.10 Смещение магнитного вихря из центра

1.11 Модель одиночного вихря

1.12 Двухвихревое приближение

1.13 Влияние размеров магнитной структуры на основное вихревое состояние

1.14 Микромагнетизм и уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта

1.14.1 Обменная энергия

1.14.2 Магнитостатическая энергия

1.14.3 Энергия магнитокристаллической анизотропии

1.14.4 Уравнение динамики магнитного момента

1.14.5 Динамика намагниченности под действием спинового вращающего момента

1.15 Микромагнитное моделирование

1.16 Спин-трансферные наноосцилляторы

1.17 Движение вихря под действием спин-поляризованного тока и уравнение Тиля

1.18 Синхронизация СТНО

Глава 2. Синхронизация вихревых спинтрансферных

наноосцилляторов

2.1 Введение

2.2 Синхронизация двух дипольно связанных вихревых СТНО с одинаковыми диаметрами

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Результаты

2.3 Синхронизация двух дипольно связанных СТНО с разными диаметрами

2.3.1 Постановка задачи

2.3.2 Результаты

Глава 3. Синхронизация двух дипольно связанных СТНО с

разными топологическими параметрами

3.1 Теоретическая модель и микромагнитное моделирование

3.2 Экспериментальные результаты синхронизации дипольно связанных СТНО

Глава 4. Обобщенная модель динамики магнитного вихря

4.1 Введение

4.2 Лагранжиан, Гамильтониан и фазово-пространственный Лагранжиан

4.3 Площадь на единичной сфере

4.4 Лагранжиан магнитной системы

4.5 Сокращенная схема для магнитного наноосциллятора

4.6 Случай магнитного вихря

4.7 Проверка модели действия-фазы на примере кругового цилиндра

4.8 Вычисление коэффициентов для уравнения динамики вихря в случае эллиптической наноточки

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Уравнение Тиля для связных СТНО в

полярных координатах

Приложение Б. Линеаризованные уравнения Тиля для двух

идентичных осцилляторов

Приложение В. Получение уравнения Адлера из уравнений

Тиля для СТНО с разными диаметрами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические и синхронизационные свойства магнитных вихревых наноосцилляторов.»

Введение

В последнее время металлические многослойные структуры стали занимать одну из ключевых позиций в современных технологиях благодаря их маг-нитоэлектронным свойствам. Одним из таких свойств является эффект спин-зависимого электронного транспорта, который существенно проявляется при уменьшении структур до наномасштабных размеров и позволяет управлять намагниченностью при помощи спин-поляризованного тока. В основе этого явления лежит понятие спина электрона, который может влиять на ориентацию магнитных моментов в материале. Возможность использования, помимо электрического заряда электрона, его спина для управления ориентацией намагниченности в металле привела к возникновению новой области в наноэлектронике, которая стала называться спинтроникой.

Спинтроника берет свое начало с открытия в 1988 г. гигантского магнито-сопротивления (ГМС) Альбертом Фертом [1] и Питером Грюнбергом [2]. Они заметили, что в структурах с чередующимися слоями магнитных и немагнитных материалов возможно изменение сопротивления на 50% в зависимости от взаимной ориентации намагниченности в магнитных слоях. За это открытие Ферт и Грюнберг удостоились Нобелевской премии в 2007 г. На основе эффекта ГМС сейчас разработаны магнитные сенсоры и практически все современные жесткие диски.

Дальнейшее изучение эффекта ГМС привело к тому, что Паркин и др. [3] заметили, что обменная связь осциллирует как функция от толщины немагнитной прослойки, а в 1996 г. независимо друг от друга Слончевский [4] и Берже [5] предсказали возможность контролировать намагниченность в ферромагнетике при помощи спин-поляризованного тока. Данный эффект впоследствии назвали эффектом переноса спина (spin-torque transfer STT). Спин-поляризованный ток возникает, когда электроны проводимости проходят через ферроманитный слой, а затем туннелируют через немагнитный барьер в следующий ферромагнитный слой, причем спины электронов быстро начинают переориентироваться согласно намагниченности второго слоя. Вследствие сохранения спинового углового момента, изменение спина электронов проводимости вызывает осцилляцию намагниченности во втором магнитном слое. Данное явление возникает до

тех пор, пока толщина немагнитной прослойки не превышает длину спиновой диффузии. Первые экспериментальные результаты, подтверждающие эффект переноса спина были получены в группе Цоя [6]

Использование эффекта переноса спина для управления намагниченностью и ГМС для детектирования изменения сопротивления привело к идее создания целого ряда новых наноустройств: магниторезистивная оперативной память (МИАМ), которая может заменить существующую сейчас на рынке полупроводниковую память, генераторы микроволновых колебаний, детекторы переменного электромагнитного поля, биосенсоры.

Одна из первых ячеек МИАМ состояла из двух магнитных слоев, разделенных немагнитной прослойкой. Ориентация намагниченности одного магнетика остается постоянной (такой слой обычно называется фиксированным или опорным), а направление намагниченности другого слоя (свободного) меняется под действием, которое можно создавать при помощи токовых шин. Простейшим методом считывания информации в такой памяти является измерение сопротивления, которое благодаря эффекту ГМС является максимальным, когда вектора намагниченности обоих слоев антипараллельны и минимальным при параллельной конфигурации намагниченностей. Таким образом, бит информации определяется ориентацией магнитного момента относительно опорного слоя. Важнейшими преимуществами МИАМ над полупроводниковой памятью являются ее энергонезависимость, высокая скорость доступа (1-10 нс), радиационная стойкость, большая надежность (более 1015 циклов записи), масштабируемость до 10 нм.

Помимо МИАМ, упомянутые выше трехслойные структуры можно использовать в качестве генераторов микроволнового излучения. В такой системе благодаря эффекту переноса спина можно добиться прецессии намагниченности в свободном слое, а благодаря явлению ГМС — осцилляции сопротивления. Данное устройство получило название спин-трансферный нано-осциллятор (СТНО). СТНО имеют ряд преимуществ над существующими полупроводниковыми генераторами микроволновых излучений: малые физические размеры, широкий диапазон подстраиваемых частот, а также узкая ширина спектральной линии [7]. Размеры одного такого устройства составляют 100 нм (менее 100 микрометров для массива из 1000 элементов) [8]. Эксперименты показали, что СТНО функционирует в диапазоне частот от 50 МГц до 10 ГГц, а теоретически

были предсказаны пределы частот от десятка МГц до 100 ГГц [9; 10]. Также можно отметить такие преимущества, как низкое рабочее напряжение (<1 В), радиационная устойчивость и интегрируемость с КМОП. Однако на сегодняшний день СТНО имеет низкую выходную мощность, порядка нескольких пи-коватт [11], когда как для индустрии требуется мощность порядка нескольких микроватт. Эту задачу частично удалось решить заменой металлической немагнитной прослойки на диэлектрик (сначала АЮЖ, а в дальнейшем на М§0). В результате эффекта туннельного магнитосопротивления (ТМС) разница сопротивлений в параллельном и антипараллельном состоянии может увеличиться на 100% и более, что улучшает мощностные характеристики устройства. Туннельные структуры дали прирост в мощности порядка нановатта, но из-за того, что туннельный ток, протекающий через барьер, оказался сильно неоднородным, переключение намагниченности в свободном слое также стало происходить неоднородно, что привело к расширению линии. Одним из решений данной проблемы было использование вихревого распределения намагниченности в свободном слое. В работе Эиззаих и др. [12] было показано, что такой генератор может выдавать максимальную мощность 5 нВатт с шириной линии 5 МГц. Дальнейшим улучшением характеристик СТНО явялется синхронизация нескольких осцилляторов, в результате чего когерентный сигнал с общей частотой будет иметь большую мощность [13—15] чем изолированный СТНО.

Изучение СТНО также является важной фундаментальной задачей в области динамики нелинейных систем, фактически СТНО является автоосциллятором с сильной нелинейностью, т.к. частота его колебаний зависит от амплитуды прецессии вектора намагниченности. В связи с этим могут возникнуть такие интересные явления, как хаотические режимы, дробная синхронизация и бифуркация.

Целью данной работы является численное исследование и теоретическое описание синхронизации вихревых спин-трансферных нано-осцилляторов возникающем вследствие магнитодипольного взаимодействия. Вычисление энергии взаимодействия и времени синхронизации для случая магнитных наноточек с одинаковыми диаметрами. Получение диаграммы синхронизации и критических расстояний для случая разных диаметров. Изучение влияния топологических параметров магнитного вихря на синхронизацию и определение оптимальной конфигурации.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести численные расчеты динамики двух связанных вихревых осцилляторов с одинаковыми диаметрами. На основе результатов моделирования провести анализ при помощи уравнения Тиля и вычислить энергию связи осцилляторов.

2. Провести расчеты динамики двух связанных вихревых осцилляторов с разными диаметрами. Получить диаграмму синхронизации (языки Арнольда).

3. Провести расчеты динамики двух связанных вихревых осцилляторов с разными топологическими параметрами. На основе полученных данных определить, какая из конфигураций является наиболее эффективной для синхронизации.

Научная новизна:

1. Впервые было проведено численное исследование динамики связных вихрей. Получен коэффициент связи, энергия связи и время синхронизации.

2. Впервые была численно исследована динамика магнитостатически связных вихрей в цилиндрах с разными диаметрами. Была получена фазовая диаграмма синхронизации.

3. Впервые было численно исследовано влияние топологических параметров вихря (хиральность, полярность) на синхронизацию СТНО.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы являются основой для расчета синхронизации ансамблей СТНО с разными параметрами для создания генераторов микроволнового излучения, а также систем для нейроморфных вычислений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Существует возможность синхронизации посредством взаимного маг-нитостатического взаимодействия двух вихревых спин-трансферных нано-осцилляторов (СТНО), как с одинаковыми, и с разными размерами и топологическими параметрами.

2. Существует критическое расстояние между СТНО, меньше которого время синхронизации не зависит от расстояния.

3. При взаимодействии двух спин-трансферных наноосцилляторов (СТНО) с разными диаметрами критическое расстояние между ними (Lcr), при котором происходит переход от синхронизированного состояния к десинхронизированному, зависит от относительной разности диаметров этих осцилляторов AD/D0. При малых значениях относительной разности диаметров этих осцилляторов AD/D0 фазовая диаграмма может быть описана уравнением типа Адлера.

4. Топологические параметры связных магнитных вихрей (полярность, хиральность) влияют на их динамику. Наиболее подходящей конфигурацией для эффективной синхронизации вихрей является конфигурация с антипараллельными полярностями, т.е., когда они вращаются в противоположных направлениях, в таком случае энергия взаимодействия вихрей больше в три раза, чем для случая с одинаковыми полярностями.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. Synchronization of two spin transfer vortex oscillators through magnetostatic interaction, Donostia International Conference on Nanoscaled Magnetism and Applications, A. D. Belanovsky, N. Locatelli, P. N. Skirdkov, F. Abreu Araujo, J.Grollier, K. A. Zvezdin, V. Cros, and A. K. Zvezdin, September 9-13, 2013, San Sebastian, Spain

2. Efficient synchronization of dipolarly coupled vortex-based spin transfer oscillator. N. Locatelli, A. Hamadeh , F. Abreu Araujo , R. Lebrun , A.D. Belanovsky , V.V. Naletov, J. Grollier , G. de Loubens, K.A. Zvezdin, M. Munoz, O. Klein and V. Cros, MMM/Intermag Jan 2016

3. Optimizing the synchronization properties of dipolarly coupled spintransfer vortex oscillators. F. Abreu Araujo, N. Locatelli, A.D. Belanovsky, A. Hamadeh, R. Lebrun, G. de Loubens, O. Klein, P.N. Skirdkov, K.A. Zvezdin, J. Grollier, A.K. Zvezdin and V. Cros, MMM/Intermag Jan 2016

Личный вклад. Все представленные в диссертации результаты получены автором лично или при непосредственном его участии. Использованные расчетные программы, реализующие обработку данных моделирования магнитной динамики для их использования в уравнении Тиля, были созданы автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 4 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 140 страниц, включая 52 рисунка и 6 таблиц. Список литературы содержит 104 наименования.

Глава 1. Спинтроника и наномагнетизм

1.1 Основные принципы спинтроники

Спиновая электроника возникла как направление благодаря экспериментальным исследованиям рассеивания электронов, которое обусловлено взаимодействием спина заряженной частицы с ее орбитальным моментом, которое было теоретически предсказано в работах Ф. Н. Мотта [16]. Альберт Ферт смог экспериментально показать спин-зависимые свойства электронов проводимости в многослойных ферромагнитных пленках, а П. Грюнберг в 1986 году открыл обменное взаимодействие антиферромагнитного характера в плёнках Fe/Cr. Благодаря данным исследованиям независимо друг от друга А. Ферт [1] и П. Грюнберг [2] открыли эффект ГМС, за что удостоились Нобелевской премии в 2007 г. Первое применение эффекта ГМС появилось менее чем через десять лет после его открытия, и одним из самых важных приложений было улучшение чувствительности считывающих головок в жестких дисках.

Для стандартной электроники основной величиной описания взаимодействия электрона с внешними полями является его заряд. Спинтроника — это область в наноэлетронике, непосредственно связанная помимо заряда электрона с его собственным вращающим моментом, т.е. спином.

Спинтроника также связана с важными фундаментальными открытиями и исследованиями в области физики конденсированного состояния, с такими как эффект переноса спина (STT) [4—6; 17], туннельное магнитосопротивле-ние (ТМС) [18—22], эффект Рашбы [23; 24], спиновый эффект Холла [25; 26] и многое другое.

1.2 Электронный транспорт в магнитных наноструктурах

Ферромагнитные свойства в переходных металлах вызваны частичной занятостью 3^ энергетической зоны, тем самым создавая неравновесное значение

электронов со спиновым состоянием «вверх» и «вниз». Еще задолго до открытия ГМС Ф.Н. Мотт исследовал рассеивание электронов, обусловленное взаимодействием спина заряженной частицы с ее орбитальным моментом [16]. В своих работах по спиновому рассеянию Мотт объяснил электрическую проводимость в металлах, используя модель двух длинных независимых каналов, по которым движутся электроны со спином «вверх» и «вниз». Электрическое сопротивление, в основном, регулируется длиной свободного пробега Lmfp (= vpт, где vp — скорость Ферми, а г — время спиновой релаксации), которая характеризуется процесс электронного рассеяния, при этом должно быть соблюдено условие ^mfp ^ Lsf, где Lsf — длина спиновой диффузии, типичные значения которой лежат в диапазоне нескольких нм и мкм. Когда данное условие соблюдено, электроны со спином «вверх» и «вниз» могут быть рассмотрены независимо. Обе длины Lmfp и Lsf могут быть связаны между собой, используем следующее выражение:

Lsf = \J Xsf ^mfp/3, (1.1)

где Xsf = vpTsf так называемая спин-флип длина [27].

Согласно теории Друде, проводимость пропорциональна длине свободного пробега:

е2

& Drude = ~Т ^mfp5 (1.2)

h

где a^rude — проводимость Друде, кр - Ферми-импульс. Здесь мы не указываем индексы направления спина, подразумевая, что все вышеупомянутые значения в общем случае спин-зависимы. Формула Друде верна только для свободных электронов, но ее можно использовать для качественного описания спин-зависимой проводимости.

Как видно из формулы (1.2), проводимость пропорциональна площади сечения поверхности Ферми ~ , данная величина характеризует количество электронов, которые вносят вклад в проводимость. Средняя длина свободного пробега зависит от скорости Ферми и времени релаксации, которое можно получить из золотого правила Ферми:

9-w

т-1 = Т ^„Х^), (1.3)

где (У^са1) - среднеквадратичное значение потенциала рассеяния, п(ер) - плотность электронного состояния на уровне Ферми для соответствующего спина. Ферми импульс кр и скорость Ферми ур для ферромагнетиков имеют разные величины для электронов со спином «вверх» и «вниз». Плотность состояния также определяется спин-поляризованной зонной структурой.

Потенциал рассеяния определяется разными дефектами материала, примесями или колебанием решетки в металле и хотя в реальных многослойных структурах присутствует множество разных дефектов, вклад потенциала рассеяния достаточно мал. Это объясняется тем, что в формуле для времени релаксации (1.3) потенциал рассеяния имеет среднеквадратичное значение, а различные типы центров рассеяния делают данное значение почти независимым от направления спина. В таких условиях спин-поляризованная зонная структура вносит доминирующий вклад в зависимость длины свободного пробега от направления спина.

1.3 Гигантское магнитосопротивление

В металлических многослойных структурах, когда намагниченности соседних слоев меняют свое направление относительно друг друга под действием внешнего магнитного поля, меняется электрическое сопротивление системы. Данное явление было названо гигантским магнитосопротивлением. Этот эффект возникает в результате спин-зависимого транспорта электронов в металлах магнетиках. А. Ферт и П. Грюнберг изучали эффекты, связанные с электрическим сопротивлением структур, включающих в себя ферромагнитные и неферромагнитные материалы. В частности, А. Ферт занимался проводимостью многослойных плёнок, а П. Грюнберг в 1986 году открыл обменное взаимодействие антиферромагнитного характера в плёнках Ре/Сг[12]. В работе, в которой было заявлено об открытии эффекта, исследовалось магнитосопротивление (001)Ее/(001)Сг сверхрешёток. В этом эксперименте на объёмноцентри-рованную кубическую решётку (001)СаАэ в высоком вакууме наносились слои железа и хрома при температуре подложки около 20° С. При толщине слоёв железа в 3 нм и варьировании толщины немагнитной прослойки из хрома меж-

Рисунок 1.1 — ГМС, экспериментальные результаты Альбера Ферта и Петера Грюнберга (1988 год): изменение сопротивления Fe/Cr сверхрешёток при температуре 4,2 К при приложении внешнего магнитного поля напряжённостью H. Внешнее поле и ток направлены вдоль оси [110]. Справа стрелкой указано наибольшее достигнутое изменение в процентах. Hs — поле

насыщения [1]

ду ними от 0.9 до 3 нм увеличение толщины прослоек хрома в сверхрешётке ослабляло антиферромагнитную связь между слоями железа и поле размагничивания. Последнее также уменьшалось при увеличении температуры от 4.2 К до комнатной. Изменение толщины немагнитных прослоек приводило к существенному уменьшению остаточной намагниченности в петле гистерезиса. Была показана сильная зависимость сопротивления образца (изменение до 80 %) от величины внешнего магнитного поля при температуре 4.2 К (см. Рис. 1.1). В статье А. Ферта 1988 [1] года новый эффект был назван гигантским магнитосо-противлением, чтобы подчеркнуть его значительную величину по сравнению с анизотропным магнитосопротивлением.

Рассмотрим явление ГМС на простом примере магнитных сверхрешеток (Рис. 1.2). Сверхрешетку можно представить в виде трехслойной структуры Ферромагнетик/Немагнетик/Ферромагнетик (Р/К/Р). Характеристики магнитной упорядоченности различны в сверхрешётках с ферромагнитным (ФСР)

[Рис. 1.2 левый столбец] и антиферромагнитным (АСР) [Рис. 1.2 правый столбец] взаимодействием между слоями. В первой — направления намагниченности в различных ферромагнитных слоях в отсутствие приложенного поля одинаковы, во второй — противоположные направления чередуются. Различают две геометрии: в первой ток — течет перпендикулярно слоям сверхрешетки, а электроды расположены по разные её стороны — такую структуру принято называть CPP-geometry (Current Perpendicular to the Plane), во втором варианте ток распространяется вдоль слоев сверхрешетки, — в таком случае электроды расположены на одной стороне всей структуры, в данном случае структура называется CIP (Current In Plane).

Рисунок 1.2 — Различные конфигурации магнитной упорядоченности в сверхрешетке. В ферромагнитной структуре направления намагниченности в различных ферромагнитных слоях в отсутствие приложенного поля одинаковы, в антиферромагнитной противоположные направления чередуются. Различают две геометрии: в первой — ток течет перпендикулярно слоям сверхрешетки, а электроды расположены по разные её стороны, такую

структуру принято называть CPP-geometry (Current Perpendicular to the Plane), во втором варианте ток распространяется вдоль слоев сверхрешетки, в таком случае электроды расположены на одной стороне всей структуры, в данном случае структура называется CIP (Current In Plane).

В обеих геометриях, распространяясь через ФСР, электроны с антипараллельным направлением спина по отношению к намагниченности решётки практически не будут рассеиваться, а электроны со спином, сонаправленным с намагниченностью слоёв, будут испытывать рассеяние. При прохождении АСР рассеиваться будут электроны с любым направлением спинов; акты рассеяния для каждого отдельно выбранного электрона будут иметь место при прохождении слоя с намагниченностью, сонаправленной его спину. Так как величина сопротивления образца возрастает с ростом количества актов рассеяния, сопротивление АСР будет выше, чем ФСР.

В таких структурах, которые еще называют спиновыми вентилями, маг-нитосопротивление зависит от угла в между намагниченностью в свободном и зафиксированном слое. Непрерывное изменение данного угла можно получить при помощи приложения вращающегося поля магнитного поля, которое вращает намагниченность в свободном слое, но не изменяет направление намагниченности в опорном слое. Такой эксперимент был продемонстрирован в работе Дини и др. [28]. Было обнаружено, что общее магнитосопротивление состоит из анизотропного магнитосопротивления (АМС), которое меняется как квадрат косинуса угла между вращающейся намагниченностью и направлением тока, а также гигантского магнитосопротивления. Исключив вклад АМС, Дини и др. нашли, что эффект ГМС линейно зависит от cos в и феноменологически описывается формулой

п

R = RP + (Rap — Rp)sin2 ^, (1.4)

где Rp, Rap-сопротивление ФСР и АСР, — ж < 0 < ж [29]. Данная формула подтверждается в более точных полуклассических и квантовомеханических моделях.

1.4 Резисторная модель

Для простого математического описания ГМС можно воспользоваться ре-зисторной моделью. Пусть сопротивление на единицу площади для основного и неосновного направления спина будут равны р^ и р^. Сопротивление для фер-

ромагнитных слоев и немагнитного слоя спейсера будет равно:

= Рмм Лкм + , (1-5)

где рмм и - удельное сопротивление и толщина немагнитного слоя, а ¿рм - толщина ферромагнитных слоев.

Если количество четырехслойных сверхрешеток равно N, то для параллельной и антипараллельной конфигурации сопротивление принимает вид:

= ^ (I«)

Rap = . (1.7)

Тогда коэффициент ГМС выражается простой формулой:

= — = Rap - Rp = (Rl - Rt) (1 8) R Rp

Используя выражение (1.5), можно получить:

^ =_(^12_, (1.9)

R 4(а + pdNM/dFM)(1 + pdNM/dFM)'

где p = рмм/Р"[ и параметр спиновой асимметрии задан как а = р^/р^. Видно, что эффект ГМС существенно зависит от параметра спиновой асимметрии а. Для заданного параметра а ГМС возрастает с уменьшением pd^M/dpM, поэтому для получения высоких значений эффекта ГМС необходимо иметь низкое сопротивление немагнитной прослойки. Также ГМС уменьшается монотонно, как функция от толщины немагнитного слоя, а при больших толщинах, как 1/dNM. Такие зависимости падения ГМС от толщины спейсера были подтверждены экспериментально, но на самом деле они имеют более сложную форму.

1.5 Полуклассическая и квантово-механическая теории спин-зависимого транспорта

Одним из способов объяснения эффекта ГМС является полуклассическая теория Больцмана, которая основывается на описании движения электронов во внешнем поле [30]. Центральной величиной в данной теории является статистическая функция /к(г,£), которая определена как количество электронов с заданным радиус-вектором г и волновым вектором к в момент времени t. При помощи уравнения Больцмана можно получить выражение проводимости для каждого спинового канала.

Следующим подходом к описанию ГМС является квантово-механические методы. Существует несколько формулировок теории спин-зависимого электронного транспорта: теория Кубо [31], Ландауэра [32] и Келдыша [33]. Формализм Кубо рассматривает электронный транспорт в неупорядоченных металлических системах с линейным откликом на приложенное электрическое поле. В подходе Ландауэра описывается проводимость с точки зрения прохождения электронов через проводник между двумя электродами. Наконец, подход Келдыша в рамках неравновесных функций Грина является более общим в описании квантового транспорта в присутствии диссипативных взаимодействий. Краткое описание и применение этих подходов к теории ГМС изложено в [34].

1.6 Туннельное магнитосопротивление

Изучение туннельного магнитосопротивления (ТМР) стало важным этапом в развитии спинтроники. ТМР наблюдается в структурах с туннельным магнитным переходом (ТМП). Такие переходы образуются между двумя ферромагнитными электродами, когда их электрическое сопротивление отличается для случаев с параллельной и антипараллельной ориентацией магнитных моментов.

Эффект был открыт в 1975 году Жюльером в Ре/Се-О/Оо-переходах при температуре 4.2 К и составлял 14% [18]. В 1991 г. Т. Миядзаки провел экспери-

мент в ТМП при комнатной температуре и обнаружил эффект в 2.7%. Позже, в 1994 г., Миядзаки обнаружил, что в переходах Fe/Al203/Fe составляет 18% [19], а в экспериментах Дж. Мудера над CoFe и Co эффект был 11.8% [20]. На то время самым высоким показателем изменения сопротивления при комнатной температуре был 70% в переходах с диэлектриком на основе оксида алюминия.

1,200

1,000

g 800 о

2 600 &

н 400 200

0 1

-300 -200 -100 0 100 200 300

External field (Oe)

Рисунок 1.3 — Высокое значение туннельного магнитосопротивления TMR = (ДШах - Rmin)/Rmm для магнитного стэка (Co25Fe75)soB20 (4 нм) MgO (2.1 nm)/(Co25Fe75)80B20 (4.3 нм), отожженных при 475°C после выращивания и измеренного при комнатной температуре (закрашенные окружности) и при

5 К (открытые окружности).

В 2001 г. Батлер и Матон независимо друг от друга теоретически предсказали, что, используя железо как ферромагнетик, а оксид магния как диэлектрик, туннельное магнитосопротивление может достичь тысячи процентов [21; 22]. В тот же год Боуэн и др. первыми провели эксперимент со значительными показателями ТМС в переходах на основе MgO Fe/Mg0/FeCo(001) [35]. В 2004 году Паркин и Юаса достигли отметки более чем 200% при комнатной

температуре [36; 37]. В 2009 г. в ТМП СоРеБ/М§0/СоРеБ изменение магнито-сопротивления составляло 600% при комнатной температуре и 1100% при 4.2 К [38] (см. Рис. 1.3).

Структура ТМП обычно состоит из двух тонких ферромагнитных слоев и заключенным между ними слое диэлектрика или полупроводника, как показано на Рис. 1.4. При включенном напряжении (10-100 шУ) через барьер те-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белановский Анатолий Дмитриевич, 2017 год

Список литературы

1. M. N. Baibich, J. M. Broto, A. Fert, F. Nguyen Van Dau, and F. Petroff. Giant Magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr Magnetic Snperlattices // Phys. Rev. Lett. — 1988. — Т. 61. — С. 2472—2475.

2. G. Binasch, P. Grünberg, F. Saurenbach, and W. Zinn. Enhanced magnetoresistance in layered magnetic structures with antiferromagnetic interlayer exchange // Phys. Rev. B. — 1989. — Т. 39. — С. 4828—4830.

3. S. S. P. Parkin, N. More, and K. P. Roche. Oscillations in Exchange Coupling and Magnetoresistance in Metallic Superlattice Structures: Co/Ru, Co/Cr, and Fe/Cr // Phys. Rev. Lett. — 1989. — Т. 64. — С. 2304.

4. J.C. Slonczewski. Current-driven excitation of magnetic multilayers //J. Magn. Magn. Mater. — 1996. — Т. 159. — С. L1.

5. L. Berger. Emission of spin waves by a magnetic multilayer traversed by a current // Phys. Rev. B. — 1996. — Т. 54. — С. 9353—9358.

6. M. Tsoi, A.G.M. Jansen, J. Bass, W.C. Chiang, M. Seck, V. Tsoi, P. Wyder. Excitation of a Magnetic Multilayer by an Electric Current // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Т. 80. — С. 4281.

7. W. H. Rippard, M. R. Pufall, and S. E. Russek. Comparison of frequency, linewidth, and output power in measurements of spin-transfer nanocontact oscillators // Phys. Rev. B. — 2006. — Т. 74. — С. 224409.

8. R. Buhrman, D. Ralph, B. Rippard, T. Silva, S. Russek, S. Wolf, A. Lichtenberger, R. Ii, and B. Deaver. High-frequency spin-based devices for nanoscale signal processing // Technical Report. — 2009.

9. S. Das Sarma. Spintronics // Am. Sci. — 2001.

10. A. Wickenen, C. Fazi, B. Huebschman, R. Kaul, A. Perella, W. Rippard, and M. Pufall. Spin torque nano oscillators as potential terahertz (THz) communication devices // Technical Report, DTIC Document. — 2009.

11. S. I. Kiselev, J. C. Sankey, I. N. Krivorotov, N. C. Emley, R. J. Schoelkopf, R. A. Buhrman and D. C. Ralph. Microwave oscillations of a nanomagnet driven by a spin-polarized current // Nature. — 2003. — T. 425. — C. 380— 383.

12. Dussaux A, Georges B, Grollier J, Cros V, Khvalkovskiy AV, Fukushima A, Konoto M, Kubota H, Yakushiji K, Yuasa S, Zvezdin K. A., Ando K, Fert A. Large microwave generation from current-driven magnetic vortex oscillators in magnetic tunnel junctions // Nat. Comm. — 2010. — T. 1. — C. 1006.

13. J. Grollier, V. Cros, and A. Fert. Synchronization of spin-transfer oscillators driven by stimulated microwave currents // Phys. Rev. B. — 2006. — T. 73. — 060409(R).

14. S. Kaka, M. Puffall, W. Rippard, T. Silva, S. Russek, and J. Katine. Mutual phase-locking of microwave spin torque nano-oscillators // Nature. — 2005. — T. 437. — C. 389—392.

15. J. Persson, Y. Zhou, and J. Akerman. Mutual phase-locking of microwave spin torque nano-oscillators //J. Appl. Phys. — 2007. — T. 101. — 09A503.

16. N. F. Mott. The Resistance and Thermoelectric Properties of the Transition Metals // Proc. R. Soc. — 1936. — T. 156. — C. 368—382.

17. K.L. Metlov and K.Yu. Guslienko. Stability of magnetic vortex in soft magnetic nano-sized circular cylinder //J. Magn. Magn. Mater. — 2002. — T. 1015. — C. 242—245.

18. M. Julliere. Tunneling between ferromagnetic films // Phys. Lett. — 1975. — T. 54A. — C. 225—226.

19. T. Miyazaki and N. Tezuka. Giant magnetic tunneling effect in Fe/Al2O3/Fe junction // J. Magn. Magn. Mater. — 1995. — T. 139. — C. L231—L234.

20. J. S. Moodera, Lisa R. Kinder, Terrilyn M. Wong, and R. Meservey. Large Magnetoresistance at Room Temperature in Ferromagnetic Thin Film Tunnel Junctions // Phys. Rev. Lett. — 1995. — T. 74. — C. 3273—3276.

21. W. H. Butler, X.-G. Zhang, T. C. Schulthess, and J. M. MacLaren. Spin-dependent tunneling conductance of Fe/MgO/Fe sandwiches // Phys. Rev. B. — 2001. — T. 63. — C. 054416.

22. J. Mathon and A. Umerski. Theory of tunneling magnetoresistance of an epitaxial Fe/Mg0/Fe(001) junction // Phys. Rev. B. — 2001. — Т. 63. — С. 220403.

23. E.I. Rashba and V.I. Sheka. Symmetry of energy bands in crystals of wurtzite type: II. Symmetry of bands including spin-orbit interaction // Fiz. Tverd. Tela: Collected Papers. — 1959. — Т. 2 — С. 162—76.

24. E.I. Rashba. Symmetry of bands in wurzite-type crystals. I. Symmetry of bands disregarding spin-orbit interaction // Sov. Phys. Solid. State. — 1959. — Т. 1. — С. 368.

25. D'Yakonov, M. I. and PerelV. I. Possibility of Orienting Electron Spins with Current // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 1971. — Т. 13. — С. 467.

26. D'Yakonov, M. I. and Perel', V. I. Current-induced spin orientation of electrons in semiconductors // Physics Letters A. — 1971. — Т. 35. — С. 459— 460.

27. Jack Bass, William P Pratt Jr. Spin-diffusion lengths in metals and alloys, and spin-flipping at metal/metal interfaces: an experimentalist's critical review // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2007. — Т. 19. — С. 183201.

28. Giant magnetoresistive in soft ferromagnetic multilayers / Dieny, B. and Speriosu, V. S. and Parkin, S. S. P. and Gurney, B. A. and Wilhoit, D. R. and Mauri, D. // Phys. Rev. B. — 1991. — Т. 43. — С. 1297—1300.

29. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Гигантское магне-тосопротивление. — 2013. — URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93% D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%BE% D0%B5_%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0% BE%D1%81%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0% B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.

30. N. W. Ashcroft and N. D. Mermin. Solid State Physics. — Sunders, Philadelphia, PA, 1976.

31. R. Kubo. Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems //J. Phys. Soc. Jpn. — 1957. — Т. 12. — С. 570—586.

32. R. Landauer. Spatial Variation of Currents and Fields Due to Localized Scatterers in Metallic Conduction //J. Phys. Soc. Jpn. — 1957. — Т. 1. — С. 223.

33. L. V. Keldysh. Diagram technique for nonequilibrium processes // Sov. Phys. JETP 20. — 1965. — Т. 20. — С. 1018—1026.

34. E. Y. Tsymbal, I. Zutic. Handbook of Spin Transport and Magnetism. — Chapman, Hall/CRC, 2011.

35. M. Bowen, V. Cros, F. Petroff, A. Fert, C. Martinez Boubeta, J. L. Costa-Kramer,, J. V. Anguita, A. Cebollada, F. Briones, J. M. de Teresa, L. Morello n, M. R. Ibarra, F. Guell, F. Peiro, and A. Cornet. Large magnetoresistance in Fe/Mg0/FeCo(001) epitaxial tunnel junctions on GaAs(001) // Appl. Phys. Lett. — 2001. — Т. 79. — С. 1655.

36. S Yuasa, T Nagahama, A Fukushima, Y Suzuki, and K Ando. Giant room-temperature magnetoresistance in single-crystal Fe/MgO/Fe magnetic tunnel junctions // Nat. Mat. — 2004. — Т. 3. — С. 868—871.

37. Stuart S. P. Parkin, Christian Kaiser, Alex Panchula, Philip M. Rice, Brian Hughes, Mahesh Samant and See-Hun Yang. Giant tunnelling magnetoresistance at room temperature with MgO (100) tunnel barriers // Nature Materials. — 2004. — Т. 3. — С. 862—867.

38. S. Ikeda, J. Hayakawa, Y. Ashizawa, Y.M. Lee, K. Miura, H. Hasegawa, M. Tsunoda, F. Matsukura and H. Ohno. Tunnel magnetoresistance of 604 % at 300 K by suppression of Ta diffusion in CoFeB/MgO/CoFeB pseudo-spin-valves annealed at high temperature // Appl. Phys. Lett. — 2008. — Т. 93. — С. 082508.

39. Current-Driven Magnetization Reversal and Spin-Wave Excitations in Co /Cu /Co Pillars / Katine, J. A. and Albert, F. J. and Buhrman, R. A. and Myers, E. B. and Ralph, D. C. // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Т. 84, вып. 14. — С. 3149—3152.

40. J. Grollier, V. Cros, A. Hamzic, J. M. George, H. Jaffre s, A. Fert, G. Faini, J. Ben Youssef, and H. Legall // Appl. Phys. Lett. — 2001. — T. 78. — C. 3663.

41. C. Chappert, A. Fert, F. Nguyen Van Dau. The emergence of spin electronics in data storage // Nature Materials. — 2007. — T. 6. — C. 813—823.

42. J. Hayakawa, S. Ikeda, Y. M. Lee, R. Sasaki, T. Meguro, F. Matsukura, H. Takahashi, and H. Ohno. Current-Induced Magnetization Switching in MgO Barrier Based Magnetic Tunnel Junctions with CoFeB/Ru/CoFeB Synthetic Ferrimagnetic Free Layer // Japanese Journal of Applied Physics. — 2006. — T. 45. — C. L1057.

43. K. Y. Guslienko. Magnetic vortex state stability, reversal and dynamics in restricted geometries // Journal of Nanoscience and Nanotechnology. — 2008. — T. 8. — C. 2745.

44. A. M. Kosevich, B. A. Ivanov, and A. S. Kovalev. Magnetic solitons // Physics Reports. — 1990. — T. 117.

45. N. A. Usov, S. E. Peschany. Magnetization curling in a fine cylindrical particle // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1993. — T. 118. — C. L290.

46. E. Feldtkeller, H. Thomas. Struktur und energie von blochlinien in dünnen ferromagnetischen schichten // Physik der kondensierten Materie. — 1965. — T. 4. — C. 8.

47. R. Höllinger, A. Killinger, and U. Krey. Statics and fast dynamics of nanomagnets with vortex structure // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2003. — T. 261. — C. 178.

48. Yuri Gaididei, and Volodymyr P. Kravchuk, and Denis D. Sheka. Magnetic vortex dynamics induced by an electrical current // International Journal of Quantum Chemistry. — 2010. — T. 110. — C. 83—97.

49. R. P. Cowburn, D. K. Koltsov, A. O. Adeyeye, M. E. Welland, D. M. Tricker. Single-Domain Circular Nanomagnets // Phys. Rev. Lett. — 1999. — T. 83. — C. 1042.

50. C. A. Ross, M. Hwang, M. Shima, J. Y. Cheng, M. Farhoud, T. A. Savas, H. I. Smith, W. Schwarzacher, F. M. Ross, M. Redjdal, F. B. Humphrey. Single-Domain Circular Nanomagnets // Phys. Rev. B. — 2002. — Т. 65. — С. 144417.

51. K. Y. Guslienko, K. S. Buchanan, S. D. Bader, and V. Novosad. Dynamics of coupled vortices in layered magnetic nanodots // Appl. Phys. Lett. — 2005. — Т. 86. — С. 223112.

52. K. L. Metlov, K. Y. Guslienko. Quasiuniform magnetization state in soft ferromagnetic nanocylinders // Phys. Rev. B. — 2004. — Т. 70. — С. 052406.

53. K. Y. Guslienko and V. Novosad. Vortex state stability in soft magnetic cylindrical nanodots //J. Appl. Phys. — 2004. — Т. 96. — С. 4451.

54. L. Landau and E. Lifshitz. Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodie // Phys. Z. Sowjet. — 1935. — Т. 8. — С. 153.

55. Brown, William Fuller, Jr. Micromagnetics. — New York: Wiley, 1963.

56. C. Kittel // Reviews of Modern Physics. — 1949. — Т. 21. — С. 541.

57. T.L. Gilbert. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials // IEEE Transactions on Magnetics. — 2004. — Т. 40. — С. 3443 —3449.

58. А.В. Хвальковский. Магнитные свойства и транспорт спин поляризованных электронов в магнитных наноструктурах с доменными границами : Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / А.В. Хвальковский. — Институт Общей Физики им. А.М. Прохорова РАН, Москва, 2006.

59. К.А. Звездин. Моделирование физических процессов в магнитных наноструктурах : Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / К.А. Звездин. — Институт Общей Физики им. А.М. Прохорова РАН, Москва, 2001.

60. M. Tsoi, A. G. M. Jansen, J. Bass, W.-C. Chiang, V. Tsoi and P. Wyder. Generation and detection of phase-coherent current-driven magnons in magnetic multilayers // Nature. — 2000. — Т. 406. — С. 46—48.

61. W. H. Rippard, M. R. Pufall, S. Kaka, T. J. Silva, and S. E. Russek. Injection Locking and Phase Control of Spin Transfer Nano-oscillators // Phys. Rev. Lett. — 2005. — T. 95. — C. 067203.

62. Klaus D. Sattler. Handbook of Nanophysics: Functional Nanomaterial. — CRC Press, 2010. — C. 38-1 —38-24.

63. A. A. Thiele. Steady-state motion of magnetic domains // Phys. Rev. Lett. — 1973. — T. 30. — C. 230.

64. A. A. Thiele. Applications of the gyrocoupling vector and dissipation dyadic in the dynamics of magnetic domains // Applied Physics. — 1974. — T. 45. — C. 377.

65. Pikovsky, A., Rosenblum, M., and Kurths, J. Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences. — Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

66. V. S. Tiberkevich, A. N. Slavin, E. Bankowski, and G. Gerhart. Phase-locking and frustration in an array of nonlinear spin-torque nano-oscillators // Appl. Phys. Lett. — 2009. — T. 95. — C. 262505.

67. B. Georges, J. Grollier, V. Cros, and A. Fert. Impact of the electrical connection of spin transfer nano-oscillators on their synchronization: an analytical study // Appl. Phys. Lett. — 2008. — T. 92. — C. 232504.

68. X. Chen and R. H. Victora. Phase locking of spin-torque oscillators by spin-wave interactions // Phys. Rev. B. — 2009. — T. 79. — C. 180402.

69. A. Ruotolo, V. Cros, B. Georges, A. Dussaux, J. Grollier, C. Deranlot, R. Guillemet, K. Bouzehouane, S. Fusil, and A. Fert. Phase-locking of magnetic vortices mediated by antivortices // Nat. Nano. — 2009. — T. 4. — C. 528.

70. D. V. Berkov. Synchronization of spin-torque-driven nano-oscillators for point contacts on a quasi-one-dimensional nanowire: Micromagnetic simulations // Phys. Rev. B. — 2013. — T. 87. — C. 014406.

71. A. D. Belanovsky, N. Locatelli, P. N. Skirdkov, F. Abreu Araujo, J. Grollier, K. A. Zvezdin, V. Cros, and A. K. Zvezdin. Phase locking dynamics of dipolarly coupled vortex-based spin transfer oscillators // Phys. Rev. B. — 2012. — T. 85. — 100409(R).

72. J. Shibata, K. Shigeto, and Y. Otani. Dynamics of magnetostatically coupled vortices in magnetic nanodisks // Phys. Rev. B. — 2003. — T. 67. — C. 224404.

73. A. Vogel, A. Drews, T. Kamionka, M. Bolte, and G. Meier. Influence of dipolar interaction on vortex dynamics in arrays of ferromagnetic disks // Phys. Rev. Lett. — 2010. — T. 105. — C. 037201.

74. A. A. Awad, G. R. Aranda, D. Dieleman, K. Y. Guslienko, G. N. Kakazei,

B. A. Ivanov, and F. G. Aliev // Appl. Phys. Lett. — 2010. — T. 97. —

C. 132501.

75. S. Barman, T. Kimura, Y. Fukuma and Y.Otani //J. Phys. D. — 2010. — T. 43. — C. 422001.

76. H. Jung, Y.-S. Yu, K.-S. Lee, M.-Y. Im, P. Fischer, L. Bocklage, A. Vogel, M. Bolte, G. Meier, and S.-K. Kim // Appl. Phys. Lett. — 2010. — T. 97. — C. 222502.

77. A. D. Belanovsky, N. Locatelli, P. N. Skirdkov, F. Abreu Araujo, K. A. Zvezdin, J. Grollier, V. Cros, and A. K. Zvezdin. Numerical and analytical investigation of the synchronization of dipolarly coupled vortex spin-torque nano-oscillators // Appl. Phys. Lett. — 2013. — T. 103. — C. 122405.

78. Y. Zhou and J. Akerman. Perpendicular spin torque promotes synchronization of magnetic tunnel junction based spin torque oscillators // Appl. Phys. Lett. — 2009. — T. 94. — C. 112503.

79. A. N. Slavin and V. S. Tiberkevich. Nonlinear self-phase-locking effect in an array of current-driven magnetic nanocontacts // Phys. Rev. B. — 2005. — T. 72. — C. 092407.

80. A. N. Slavin and V. S. Tiberkevich. Theory of mutual phase locking of spin-torque nanosized oscillators // Phys. Rev. B. — 2006. — T. 74. — C. 104401.

81. S. Urazhdin, P. Tabor, V. S. Tiberkevich, and A. Slavin. Fractional synchronization of spin-torque nano-oscillators // Phys. Rev. Lett. — 2010. — T. 105. — C. 104101.

82. N. Locatelli, V. Cros, J. Grollier. Spin-torque building blocks // Nature Materials. — 2014. — T. 13. — C. 11—20.

83. Nicolas Locatelli, Adrien F. Vincent, Alice Mizrahi, Joseph S. Friedman, Damir Vodenicarevic, Joo-Von Kim, Jacques-Olivier Klein, Weisheng Zhao, Julie Grollier, and Damien Querlioz. Spintronic Devices as Key Elements for Energy-Efficient Neuroinspired Architectures // IEEE Trans. Magn. — 2015.

84. Y. Zhou, V. S. Tiberkevich, G. Consolo, E. Iacocca, B. Azzerboni, A. N. Slavin, and J. Akerman. Oscillatory transient regime in the forced dynamics of a nonlinear auto oscillator // Phys. Rev. B. — 2010. — Т. 82. — С. 012408.

85. F. B. Mancoff, N. D. Rizzo, B. N. Engel, S. Tehrani. Phase-locking in double-point-contact spin-transfer devices // Nature. — 2005. — Т. 437. — С. 393— 395.

86. V. S. Tiberkevich, A. N. Slavin, E. Bankowski, and G. Gerhart. Phase locking of vortex-based spin-torque nanocontact oscillators by antivortices // Appl. Phys. Lett. — 2013. — Т. 102. — С. 052403.

87. R. Adler // IRE. — 1946. — Т. 34. — С. 351.

88. A. V. Khvalkovskiy, J. Grollier, A. Dussaux, K. A. Zvezdin, and V. Cros. Vortex oscillations induced by spin-polarized current in a magnetic nanopillar: analytical versus micromagnetic calculations // Phys. Rev. B. — 2009. — Т. 80. — С. 140401.

89. A. Khvalkovskiy, A. Slavin, J. Grollier, K. Zvezdin, and K. Guslienko. Critical velocity for the vortex core reversal in perpendicular bias magnetic field // Appl. Phys. Lett. — 2010. — Т. 96. — С. 022504.

90. N. Locatelli, V. V. Naletov, J. Grollier, G. De Loubens, V. Cros, C. Deranlot, C. Ulysse, G. Faini, O. Klein, A. Fert. Dynamics of two coupled vortices in a spin valve nanopillar excited by spin transfer torque // Appl. Phys. Lett. — 2011. — Т. 98. — С. 062501.

91. S. Sugimoto, Y. Fukuma, S. Kasai, T. Kimura, A. Barman, and Y. C. Otani. Dynamics of coupled vortices in a pair of ferromagnetic disks // Phys. Rev. Lett. — 2011. — Т. 106. — С. 197203.

92. W. Scholz, K. Y. Guslienko, V. Novosad, D. Suessa, T. Schrefla, R. W. Chantrell, and J. Fidlera. Transition from single-domain to vortex state in soft magnetic cylindrical nanodots //J. Magn. Magn. Mater. — 2003. — Т. 266. — С. 155.

93. A.A. Thiele. Steady-state motion of magnetic domains // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Т. 30. — С. 230.

94. K. Y. Guslienko, X. F. Han, D. J. Keavney, R. Divan, and S. D. Bader. Magnetic Vortex Core Dynamics in Cylindrical Ferromagnetic Dots // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Т. 96. — С. 067205.

95. B. A. Ivanov and C. E. Zaspel. Excitation of Spin Dynamics by Spin-Polarized Current in Vortex State Magnetic Disks // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Т. 99. — С. 247208.

96. Oksana V. Sukhostavets, Julian M. Gonzalez, and Konstantin Y. Guslienko. Magnetic Vortex Excitation Frequencies and Eigenmodes in a Pair of Coupled Circular Dots // Appl. Phys. Express. — 2011. — Т. 4. — С. 065003.

97. J. Shibata, K. Shigeto, and Y. Otani. Dynamics of magnetostatically coupled vortices in magnetic nanodisks // Phys. Rev. B. — 2003. — Т. 67. — С. 224404.

98. V. I. Arnold // Chaos. — 1991. — Т. 1. — С. 20—24.

99. A. Dussaux, A. V. Khvalkovskiy, P. Bortolotti, J. Grollier, V. Cros, and A. Fert. Field dependence of spin-transfer-induced vortex dynamics in the nonlinear regime // Phys. Rev. B. — 2012. — Т. 86. — С. 014402.

100. K. Guslienko, B. Ivanov, V. Novosad, Y. Otani, H. Shima, and K. Fukamichi. Eigenfrequencies of vortex state excitations in magnetic submicron-size disks //J. Appl. Phys. — 2002. — Т. 91. — С. 8037.

101. F. Abreu Araujo, M. Darques, K. A. Zvezdin, A. V. Khvalkovskiy, N. Locatelli, K. Bouzehouane, V. Cros, and L. Piraux. Microwave signal emission in spin-torque vortex oscillators in metallic nanowires: Experimental measurements and micromagnetic numerical study // Phys. Rev. B. — 2012. — Т. 86. — С. 064424.

102. G. de Loubens, A. Riegler, B. Pigeau, F. Lochner, F. Boust, K. Y. Guslienko, H. Hurdequint, L. W. Molenkamp, G. Schmidt, A. N. Slavin, V. S. Tiberkevich, N. Vukadinovic, and O. Klein. Bistability of Vortex Core Dynamics in a Single Perpendicularly Magnetized Nanodisk // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Т. 102. — С. 177602.

103. Ivan Lisenkov, Vasyl Tyberkevych, Sergey Nikitov, and Andrei Slavin. Theoretical formalism for collective spin-wave edge excitations in arrays of dipolarly interacting magnetic nanodots // Phys. Rev. B. — 2016. — Т. 93, вып. 21. — С. 214441.

104. Oleksandr Dzyapko, Ivan Lisenkov, Patrik Nowik-Boltyk, Vladislav E. Demidov, Sergej O. Demokritov, Benny Koene, Andrei Kirilyuk, Theo Rasing, Vasyl Tiberkevich, and Andrei Slavin. Magnon-magnon interactions in a room-temperature magnonic Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. B. — 2017. — Т. 96, вып. 6. — С. 064438.

1.1 ГМС, экспериментальные результаты Альбера Ферта и Петера Грюнберга (1988 год): изменение сопротивления Fe/Cr сверхрешёток при температуре 4,2 К при приложении внешнего магнитного поля напряжённостью H. Внешнее поле и ток направлены вдоль оси [110]. Справа стрелкой указано наибольшее достигнутое изменение в процентах. Hs — поле насыщения [1].............................. 16

1.2 Различные конфигурации магнитной упорядоченности в сверхрешетке. В ферромагнитной структуре направления намагниченности в различных ферромагнитных слоях в отсутствие приложенного поля одинаковы, в антиферромагнитной противоположные направления чередуются. Различают две геометрии: в первой — ток течет перпендикулярно слоям сверхрешетки, а электроды расположены по разные её стороны, такую структуру принято называть CPP-geometry (Current Perpendicular to the Plane), во втором варианте ток распространяется вдоль слоев сверхрешетки, в таком случае электроды расположены на одной стороне всей структуры, в данном случае структура называется

CIP (Current In Plane).......................... 17

1.3 Высокое значение туннельного магнитосопротивления TMR = (R max ^min)/^min для магнитного стэка (Co25Fe75)8oB2o (4 нм) MgO (2.1 nm)/(C025Fe75)soB2o (4.3 нм), отожженных при 475°C после выращивания и измеренного при комнатной температуре (закрашенные окружности) и при 5 К (открытые окружности)......................... 21

1.4 Схемотехническое представление структуры туннельного перехода. Величина туннельного тока зависит от количества доступных начальных и конечных состояний спинового канала. Поэтому сопротивление зависит от взаимного направления намагниченностей в магнитных слоях................. 22

1.5 Принцип работы эффекта переноса спина для типичного случая трехслойной структуры Со(РМ^ / Си / Со(РМ2). Ток й электронов, текущий от левого конца к правому приобретает через слой РМ1 (предположим, что данный слой тонкий и работает как поляризатор) средний спиновый момент, направленный вдоль намагниченности слоя РМ2. Для того чтобы суммарный угловой момент сохранился, поперечный спиновый угловой момент сокращается, тем самым создавая вращающий момент, стремящийся направить намагниченность вдоль слоя РМ1 [41]........................... 24

1.6 Принцип работы магниторезистивной памяти произвольного доступа, основанной на эффекте переноса спина (ЯТТ-МИЛМ). Запись происходит благодаря эффекту переноса спина, а бит информации представляется как взаимная ориентация намагниченности в обоих слоях[41].................. 26

1.7 Схематическое представление распределения намагниченности в случаях: а) стенки Блоха, Ь) стенки Нееля. В результате конкуренции разных взаимодействий в магните образуются области, в которых ориентация вектора намагниченности определенным образом повернута или сдвинута относительно направлений соответствующего вектора в соседних доменах. Граница между магнитными доменами называют доменной

стенкой.................................. 29

1.8 Вихревое распределение намагниченности. Часть, в которой распределение намагниченности выходит из плоскости ху, называется ядром вихря........................ 31

1.9 а) Единичный вектор намагниченности ш = М/Мв, представленный в сферических координатах в заданной точке т(г,в) в магнитной наноточке. Ь) Радиус вектор X(р,р>) смещенного вихря, заданный в полярных координатах....... 32

1.10 Профиль ^-компоненты намагниченности вихря (тг). Пунктирные линии соответствуют аналитическим моделям: (1) Усова [45], (2) Фельдкеллера [46], (3) Холлингера [47] (4) и модели преобразования Фурье. Сплошные линии соответствуют данным моделирования (5) микромагнитного на пакете ООММР для пермалоевого диска с диаметром 2Я = 200 нм и толщиной

Ь = 20 нм (аспектное соотношение ¡3 = 0.1); (6) дискретная симуляция 8ЬЛ81 с ¡3 = 0.1. Рисунок взят из статьи Гайдидея и др. [48] .................................. 33

1.11 Магнитная фазовая диаграмма цилиндрической наноточки с радиусом Я и толщиной Ь. Три состояния являются стабильными для данной геометрии: вихревое (верхняя часть), однодоменное состояние (при уменьшении толщины) и перпендикулярно намагниченной (при уменьшении радиуса). Сплошные линии соответствуют равновесной энергии. Пунктирная линия соответствует равновесному радиусу ядра

вихря. Ьр — обменная длина [43]................... 35

1.12 а) Иллюстрация действия различных вращающих моментов на намагниченность. Ь) Переключение магнитной структуры под действием спин-поляризованного тока. Получено численным решением ур. (1.47) в приближении макроспин........... 41

1.13 Графический интерфейс микромагнитного пакета БртРМ .... 42

1.14 а) Структура Спин-Трансферного Наноосциллятора с

однородным свободным слоем. Здесь изображена конфигурация

с так называемым синтетическим антиферромагнетиком, который является детектором ГМС. Ь) Мощность излучения СТНО с однородным свободным слоем [62] с) Мощность

излучения вихревого СТНО [12].................... 45

1.15 Схематическое изображение действующих на магнитный вихрь

сил [12].................................. 47

1.16 а) Общий сигнал от обоих контактов, ток через контакт В

меняется в пределах от 7 мА до 12 мА, а через контакт А ток фиксированный и равен 8 мА. Цветом обозначена интенсивность спектра в логарифмическом масштабе. Ь) Спектр, соответствующий зеленой вертикальной линии при токе 8.65 мА. Стрелками показано движение пиков с увеличением тока через контакт В. с) Спектр, соответствующий пурпурной вертикальной линии при токе 9.5 мА. Стрелками показано движение пиков с увеличением тока через контакт ^ Спектр, соответствующий зеленой вертикальной линии при токе 11.5 мА. е) Ширина линии общего выходного сигнала 1.16.......... 48

2.1 Схематическое представление изучаемой системы. Два наностолбика, состоящие из свободного слоя с вихревым распределением намагниченности, немагнитной прослойки и фиксированного слоя. Красные стрелки показывают направление намагниченности в поляризаторе. Оба наностолбика имеют диаметр И = 2Я = 200 нм, а расстояние между краями дисков обозначено за Ь. Радиус векторы Х1 и Х2 определяют позицию ядра вихря относительно центра первого и

второго диска соответственно..................... 52

2.2 Микромагнитное моделирование для Ь = 50 нм. а) Радиусы движения ядер Х1 и Х2, Ь) разность фаз ф как функция от времени, с) увеличенное изображение функции для диапазона времен, где было произведено приближение к выражению (2.1)............................. 53

2.3 Микромагнитное моделирование. Разность фаз ф как функция от времени Ь для разных расстояний Ь = 100 (а), 200 (Ь) и 500

нм (с)................................... 54

2.4 Абсолютное значение энергии взаимодействия как функция от расстояния И12 = 2Я + Ь, полученная из моделирования (синие квадратные точки) и из макро-дипольного приближения (красная линия). Вставка: Время синхронизации 1/т как функция о расстояния И12 (фиолетовая линия)........... 57

2.5 Схематическое представление изучаемой системы. Два наностолбика, состоящие из свободного слоя с вихревым распределением намагниченности, немагнитной прослойки и фиксированного слоя. Диаметры столбиков обозначены как

= А) ± АЛ/2, где И0 = 2До = 200 нм, а АИ = - В2 -разность диаметров. Толщина свободного слоя - К =15 нм. Расстояние между краями дисков обозначено латинской буквой Ь. Ток течет перпендикулярно плоскости дисков с плотностью 3 = 7 х 106 А/см2. Красные стрелки в нижнем слое показывают направление намагниченности в поляризаторе............ 59

2.6 Результаты микромагнитных расчетов. а) Радиус орбиты ядра вихря как функция от времени для системы с параметрами Их = 202.5 нм, И2 = 197.5 нм, Ь = 600 нм. Ь) Разность фаз между радиус векторами центров вихрей как функция от времени для системы Их = 202.5 нм, И2 = 197.5 нм, Ь = 600 нм. с) Изменение спектра колебаний х - компоненты намагниченности в результате сближения наностолбиков друг к другу. Диаметры дисков составляют Их = 210 нм, В2 = 190 нм. . 60

2.7 Слева — схематическое изображение языка Арнольда, зона синхронизации закрашена фиолетовым цветом. Справа — зависимость наблюдаемой частоты от частоты внешнего воздействия (при постоянной амплитуде).............. 61

2.8 Языки Арнольда, полученные при помощи разных подходов: микромагнитное моделирование (синяя линия с квадратами), численное решение уравнений Тиля (зеленая линия с треугольниками), а также решение, полученное из уравнений

Тиля при условии АИ/И0 ^ 1, которое является Адлеровским. . 62

2.9 Зависимость радиуса орбиты вращения ядра вихря от диаметра дисков, полученная микромагнитным моделированием, в случае изолированного СТНО (фиолетовая линия с точками) и дипольно связанных дисков (голубая линия с квадратиками). Также на этом графике представлена эта же зависимость, полученная при помощи численного решения уравнения Тиля. . . 64

3.1 Схематическое изображение изучаемой системы для каждой конфигурации магнитного вихря. Ядра вихрей изображены закрашенными зелеными окружностями. Позиция ядра вихря дана в полярных координатах, т.е. (X1,<р1) и (Х2,р2) соответственно. Синие стрелки — движение вихря с полярностью +1, красные — с полярностью —1........... 66

3.2 Иллюстрация направления тока для случая а) Рс и Ь) ЛРс, показывающая параллельное и последовательное соединение соответственно ............................. 66

3.3 Эволюция дипольной энергии двух взаимодействующих магнитных вихрей с одинаковыми частотами. Синяя кривая соответствует случаю одинаковых полярностей (Рс); красная кривая — случаю противоположных полярностей (ЛРс). Пунктирные линии соответствуют средним значениям энергии . . 69

3.4 Схематическое представление синхронизованной динамики для конфигурации Рс, т.е. когда Р1 = Р2.................. 70

3.5 Схематическое представление синхронизованной динамики для конфигурации ЛРс, т.е. когда Р1 = —Р2................ 70

3.6 Радиус орбиты вихря (синие и красные кривые) и разность фаз

— {Р2 сумма фаз + р2, полученные при помощи микромагнитного моделирования для случаев (а) Рс1 и (Ь) ЛРс1 соответственно и расстоянием между СТНО в 50 нм. Как показано сверху, хиральность (С) противоположна полю

Эрстеда (ОН) в обоих дисках (С/ОН............. 72

3.7 Радиус орбиты вихря (синие и красные кривые) и разность фаз

— {Р2 сумма фаз + р2, полученные при помощи микромагнитного моделирования для случаев (а) ЛРс2, когда хиральность (С) сонаправлена с полем Эрстеда (ОН) в обоих дисках (С/ОНи (Ь) ЛРс3, когда поле в левом (правом) противоположно направлено (сонаправлено) хиральности вихря С/ОН(С/ОН[ТТ]), соответственно, расстоянием между

СТНО в 50 нм.............................. 74

3.8 Иллюстрация распределения намагниченности в плоскости двух осциллирующих вихрей. Внешняя часть (серая) представляет квазистатическое распределение намагниченности [внешняя часть; г < Х0]. Пунктирная линия показывает орбиту вихря

г = Хо................................... 75

3.9 Численный расчет дипольной энергии Wfua двух взаимодействующих синхронизированных вихрей, полученных из микромагнитных расчетов для Ь = 50 нм при рассмотрении только внутренней части распределения (см. Рис 3.8). Синяя пунктирная линия показывает эволюцию сфазированных осциллирующих вихрей (с параллельными полярностями, т.е. конфигурация Рс1); случай с антифазой представлен красной линией (ЛРс1 случай). Пунктирные прямые представляют соответствующее значение средней величины энергии взаимодействия............................. 76

3.10 Зависимость абсолютного значения энергии Шщ от расстояния между СТНО (^12 = 2Л + V): для случая с параллельными (антипараллельными) полярностями, полученная при использовании макродипольного приближения и уравнения Тиля [квадраты (кружки)], а также для численного диполь-дипольного подсчета внутренней части диска (см. Рис 3.8) 77

3.11 Зависимость абсолютного значения энергии Wint от расстояния между СТНО (^12 = 2Л + V): для случая с параллельными (антипараллельными) полярностями, полученная при помощи численного диполь-дипольного подсчета для всего объема (внутренняя и внешняя части) [закрашенные треугольники (не закрашенные треугольники)] ..................... 78

3.12 Два спиновых вентиля с диаметрами 2Я = 200 нм и расстоянием между краями цилиндров Ь =100 нм. Каждый наностолбик состоит из №Ее(15 нм)/Си(8 нм)/№Ее(4 нм) слоев (№Ее=№81Еех9). Вихрь представлен в каждом слое №Ее с толщиной 15 нм. Ток инжектирован в параллельном соединении через каждый столбик......................... 80

3.13 (а) Спектральная карта мощности как функция от измеренного поля для образца #1, в случае, когда вихри имеют противоположные полярности вихрей. Инжектируемый ток через два наностолбика равен = 50 мА. Вставка показывает эволюцию частот как функцию от поля для синхронизированных осцилляторов и их предсказанную линейную зависимость. Спектр, полученный при (Ь) 0.5 кЭ и (с)

0.7 кЭ. Перед (с) и после (Ь) возникает синхронизация...... 81

3.14 (а) Спектральная карта мощности как функция от измеренного поля для образца #2 в случае, когда вихри имеют противоположные полярности вихрей (а) и когда вихри обладают одинаковыми полярностями (Ь). Инжектируемый ток через два наностолбика равен = 35 мА.............. 83

4.1 Безразмерная мощность осцилляций как функция от плотности тока (см. формулу (4.22)).......................101

4.2 Зависимость частоты от мощности..................101

4.3 как функция от мощности....................102

4.4 Зависимость С от мощности р....................102

4.5 Среднее значение компонент диссипационного тензора как функция от р. Данные результаты показывают, что диссипационный тензор зависит от радиуса орбиты вихря, когда как в работах [88; 89], было показано, что данное значение постоянно с радиусом ......................... 103

4.6 ^-факторы как функция от р, т.к. мы провели моделирование

для перпендикулярного поляризатора Б^ = Б^ = 0........103

4.7 Диаграмма синхронизации к внешнему высокочастотному полю с амплитудой 0.01 мТ и внешней частотой ше для плотности тока а) 3.5 х 1010 А/м2 и Ь) 4 х 1010 Л/м2. (ф) - собственная частота вращения ядра вихря.....................104

4.8 Безразмерная мощность осцилляций как функция от плотности тока (см. формулу (4.22)).......................105

4.9 Зависимость частоты от мощности..................106

4.10 как функция от мощности....................107

4.11 Зависимость С от мощности р....................108

4.12 Среднее значение компонент диссипационного тензора как функция от р...............................109

4.13 ^-факторы как функция от р, т.к. мы провели моделирование

для перпендикулярного поляризатора = = 0........110

1 Справочные магнитные параметры для переходных металлов:

точка Кюри Тс и намагниченность насыщения при низких температурах М0............................ 28

2 Значения частоты разности фаз время синхронизации т и конечного значения радиуса орбиты центров вихрей Х0 при разных расстояниях Ь......................... 54

3 Критические расстояния, при которых происходит переход от синхронизации к десинхронизации для различных отношений диаметров. Х01 и Х02 - величина предельной орбиты вращения ядра для первого и второго диска, /{, /2 - частота выходного сигнала для изолированного СТНО, /12 - частота двух синхронизованных СТНО........................ 60

4 Рассматриваемые конфигурации с соответствующими знаками параметров вихрей (С^Р^) и знаком направления плотности

тока (Т^................................. 67

5 Численные значения параметров, полученных из микромагнитного моделирования: / — общая частота осцилляций Х01 (Х02) радиус орбиты для левого (правого)

вихря, а Ф — параметр расфазировки................ 73

6 Численные значения параметров, полученных после комбинированного микромагнитного моделирования и подхода, основанного на уравнениях Тиля, примененных для конфигураций Рс1 и ЛРс1. В последней колонке указаны значения средней энергии, вычисленной по формуле (3.10) .... 73

Уравнение Тиля для связных СТНО в полярных координатах

Запишем уравнение Тиля в векторной форме для двух связных осцилля-

торов:

С = —2-кр

С (е, х X 1,2) — МХ)Х1,2 — А,2Х 1,2 — ¥3тт — = 0,

(А.1)

гироконстанта, где р полярность ядра;

удерживающая сила задана как к(Х1,2) = ш01,2С + ат^р), ^1,2 - радиусы дисков, гиротропная частота ¡х>01,2 = -у^МВН/Я1,2; затухание - £>1,2 = ащ^Р, ^1,2 = ^ + 3, где 10 = ;

Спинтрансферная сила в общем случае ¥$тт 1,2 = ъ^атМак (ег х Х1,2) = к1,2 (Х1,2 х ех) с амплитудой = ЬРТ1,2/(2\е\кМ3), где Р-поляризация спина, плотность тока, инжектированного через каждый осциллятор; Энергия взаимодействия Р^ = — д(Ь)Х2,1.

Для начала запишем вектора Х^2 и Х 1,2 в полярных координатах

Х1,2 =

Х1,2 соб(р1,2) Х1,2 ЫП(<Р1,2) 0

Х1,2 СОв((р1,2) — Х122Ф 1,2 ^((¿1,2) Х 1,2 = ^1,2 8т(^1,2) + Х12Ф 1,2 СОв(^1,2)

0

Для того чтобы представить уравнение (А.1) в угловых координатах в удобном для нас виде, домножим это уравнение скалярно, а затем векторно на Х

1,2:

1. Скалярное произведение

(е^ х Х 1,2) Х12 = —Х\;1ф 1,2

Х 1,2Х1,2 = ^1,2^1,2 (Х12 х ег) Х12 = 0 ДХ2,1Х1,2 = МХ1Х2 С03(<Р1 — ф2)

2. Векторное произведение

1,2 ) х Х1,2 = —^1,2^^ 1,2е

е 2 х Х

Х 1,2 х Х12 = —Х^ф 1,2ег

(Х12 х ег) х Х12 = Х^ех

д(Х2,1 х Х12) = Т^Х1Х2 Б1П(<Р1 — Р2)ег

В итоге получаем:

— = ащср 1 - — + -— 81П(^1 - ^2) (А.2)

ф 1 = -^(Х1) - агц^ - С08(^1 - ^2) (А.3) X 2 к2

— = 2 - - ^^ ЙШ^ - Р2) (А.4)

Ф2 = -^(Х2) - 0^2^ - ^^ С0Й(^1 - ^2) (А.5)

А 2 ^ А 2

Линеаризованные уравнения Тиля для двух идентичных

осцилляторов

Пусть к1 = к2 = к, 771 = щ = т]0 и ф = - <р2 (также учтем то, что функция к(Х1;2) = и0(1 + аХ°2/Я2, Я - радиус диска). Вычтем уравнение (А.2) из (А.4) и уравнение (А.3) из (А.5):

Х\ Х2

X Хо

+ ^ (^т + ^ I я1пф

ф = ш0а

х2-х1

Я2

ац

(Б.1)

£ - - Ш - с»-' (Б.2)

X'

В момент начала синхронизации радиусы орбиты ядер почти равны друг другу, поэтому мы можем записать Х1;2 = Х0(1 ±е), здесь £ = (Х1 -Х2)/(Х1 + Х2) ^ 1, а Х0 = (Х1 + Х2)/2 (величину предельного радиуса вращения можно получить благодаря микромагнитному моделированию, в нашем случае для диаметра диска И = 200 нм Х0 = 60 нм). В таком случае

Х-\ Х2

—--2 = 2е

Х1 Х2

Х'2 + Х1 Х1 Х'2 Хс2 X

=2

---= -4е.

Х1 Х2

(Б.3) (Б.4) (Б.5)

Подставляя (Б.3)-(Б.5) в (Б.1) и (Б.2), получаем:

£ = 2аг)0(р, - ш0аг°)£ + ¡1ф ф = 4(Д - ш0аг0)£ - 2ащ£ьф.

(Б.6) (Б.7)

Получение уравнения Адлера из уравнений Тиля для СТНО с

разными диаметрами

Как уже было отмечено в параграфе 2.3, уравнение Адлера можно получить только при очень маленькой разнице диаметров (AD/D0 < 0.05). Выпишем основные приближения:

1. Условие AD/D0 ^ 1 позволяет нам разложить в ряд Тейлора до второго порядка точности следующие слагаемые: к1,2(Х1,2) = к1,2(Х1,2)/G «

шо(1 Т AD/2D0) + uoaX2h2/R02(1 Т 3AD/2Do), ^1,2 « Щ ± AD/4D0,

где гиротропная частота для диска с радиусом R0 = 100 нм, а ^о = 11n + § - коэффициент затухания.

2. Предположим, что на предельном цикле радиусы орбит ядер обоих вихрей почти не отличаются от их среднего значения, поэтому мы можем записать Х1,2 = Х0(1 ± е), where Х0 = (Х1 + Х2)/2 = 60 нм (данное значение было получено микромагнитным расчетом при небольшой разнице диаметров D0 = 200 нм), а £ = (Х1 — Х2)/(Х1 + Х2) ^ 1 . Данное предположение было подтверждено микромагнитными расчетами.

3. Синхронизация СТНО с маленькой разницей между диаметрами происходит на больших расстояниях (> 400 nm), на таких дистанциях взаимодействие довольно слабое, из чего следует, что д ^ Guoar0), где r0 = X0/R0 [наши расчеты показали, что при L > 400 нм д ~ 10—4 эрг/см2 и Gu0ar1 ~ 0.1 эрг/см2].

Далее, как в приложении Б, вычтем уравнение (А.2) из (А.4) и уравнение (А.3) из (А.5), а также сложим (А.3) и (А.5), обозначив сумму фаз как Ф = + р2, получим:

2е = + 1 а^^Ф + 2^ sin ф (В.1)

4 U0 G

ф = 4(^ cos ф — a^0r0^ s — 2еащ + ol+ ^0(1 + 3аг^) (В.2)

VG / 2U0 О0

Ф = —2и0 — 2аш0г1^11 — 3е+ 2ац0её — 2£ cos ф, (В.3)

Затем применим два условия ё = 0, при Ь ^ то, а также д ^ Сш0аг°, находим:

¿ф _ 1 + аг0 АИ 2ц ^ d¿ 2щ И0 Сат]0