Динамические и асимптотические свойства низкоразмерных топологических солитонов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Гани Вахид Абдулович

• Гани Вахид Абдулович
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Гани Вахид Абдулович

1.2 Модель ф6

1.3 Модель ф8

1.4 Модель двойной синус-Гордон

1.5 Sinh-деформация модели ф4

1.6 Заключение к первой главе

2 Мультикинк процессы

2.1 Введение

ф6

2.3 Энергетика и конечные состояния в двойном синус-Гордоне

ф8

2.5 Заключение ко второй главе

3 Несколько точных результатов и асимптотики

3.1 Введение

ф8

3.3 Полиномиальные модели с двумя вакуумами

3.4 Трансформационные свойства асимптотик

3.5 Доменная стенка со скалярным триплетом

3.6 Заключение к третьей главе

4 Степенные асимптотики и динамика

4.1 Введение

4.2 Дальнодействие и процессы рассеяния

4.3 Асимптотические оценки для сил взаимодействия

4.4 Заключение к четвертой главе

Заключение

Приложения

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Введение

Сведения о теме исследования, соискателе и диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические и асимптотические свойства низкоразмерных топологических солитонов»

Актуальность темы исследования

Киык представляет собой полевую конфигурацию, интерполирующую между двумя состояниями, отвечающими минимумам самодействия поля (потенциала теоретико-полевой модели). При этом кинк имеет наименьшую возможную энергию среди всех конфигураций, соединяющих эти два минимума. С другой стороны, в силу нетривиальной топологии кинк всегда является устойчивым, т.е. не может эволюционировать в тривиальную полевую конфигурацию, отвечающую минимуму потенциала, реализованному во всем пространстве. Эти фундаментальные свойства кинковых решений обусловливают их широкое применение в приложениях в физике высоких энергий, космологии, физике конденсированного состояния вещества. Известным примером является плоская доменная стенка, т.е. граница раздела доменов с разными вакуумными значениями поля в пространстве размерности (2 + 1) или (3 + 1), представляющая собой кинковую конфигурацию в направлении, перпендикулярном к ней [8]. Поэтому, в частности, вопрос об изучении взаимодействий доменных стенок между собой сводится к рассмотрению динамики соответствующих кинковых решений.

Было показано [48], что в тонких пленках некоторых магнитных материалов, таких как железо-иттриевый гранат У3^б2(^б04)з, изменение размеров доменов происходит за счет перемещения границ из-за образования в них кинковых деформаций. Бегущие и взаимодействующие между собой кинки возникают в гра-феновой наноленте узком длинном образце двумерного материала, сжатом с боков [ ]. Кинки, обнаруженные в [ ], хорошо описывались моделью ф4, тем не менее наблюдалась некоторая их асимметрия, что является указанием на необходимость привлечения для моделирования кинковой деформации таких моделей, как ф6 или ф8. Для тематического жидкого кристалла 4-п-метоксибензилиден-п-бути л анилин, помещенного между стеклянными подложками с проводящим

покрытием из Бп02) столкновение дислокаций в протяженном дефекте на качественном уровне хорошо описывалось двухсолитонным решением [50,51].

Кинковые решения возможны в моделях, привлекаемых при описании фазовых переходов, а также их последовательностей. В частности, последовательные сегнетоэластический при 285 К и сегнетоэлектрический при 460 К переходы в кристаллах ЫЫ Н4Б04 [ , ]. Флюксоны в джозефсоновских контактах (например, на основе трехслойных структур ЫЬ — А1/А10х — ЫЬ) ведут себя подобно солитонам [73]. Движущиеся кинки модели двойной синус-Гордон моделируют процесс распространения выравнивания электрических дипольных моментов звеньев пьезоэлектрического полимера поливинилиденфторид (—СН2 — СГ2—)п с большим п [ ].

На момент начала исследований, положенных в основу настоящей диссертации, ответы на многие важные вопросы о кинках отсутствовали. Кинк-антикинк столкновения в модели двойной синус-Гордон впервые обсуждались в статьях 1986 года [130,131]. Однако зависимость критической скорости (разделяющей режимы захвата и отскока кинка и антикинка, см. раздел 1.1 диссертации) от параметра модели требовала уточнения. Более точная зависимость получена в соответствующем разделе 1.4 главы 1. Кроме того, изучение столкновений

4

нескольких кипков и аптикипков, ранее выполненное лишь для моделей ф и синус-Гордон, было проведено для моделей ф6, ф8 и двойной синус-Гордон, результаты изложены в главе 2.

Теоретико-полевые модели с полиномиальными потенциалами степеней восемь и выше возникают при описании изоструктурных фазовых переходов, при изучении процессов кристаллизации хиральных белков [69], используются для

описания феноменологии фазовых переходов в высокопьезоэлектрических пе-

ф8

ковые решения были почти не изучены на момент начала исследований, изложенных в соответствующих разделах всех четырех глав диссертации.

Для получения солитонных решений применяется эффективный метод метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) [79]. Однако если нелинейная модель не допускает представление Лакса (как это и происходит в случае моделей,

рассмотренных в диссертации), то для получения солитонных (кинковых) решений приходится прибегать к другим методам. Интегрирование нелинейного уравнения Клейна-Гордона для большинства нелинейностей не позволяет получить кинковое решение в виде явной зависимости поля от координаты. Результаты, изложенные в главе 3 диссертации, позволили продвинуться в получении

ф8

анализировано точное решение в модели с действительным скалярным полем и связанным с ним триплетом скалярных полей. До этого аналогичное решение было найдено лишь численно [280], что сильно затрудняло его анализ и использование.

Процедура деформации теоретико полевой модели, используемая с начала 2000-х, является мощным инструментом для получения новых моделей вместе с их топологическими и нетопологическими солитонами [182]. Надлежащим выбором деформирующей функции можно существенно изменить модель и, следовательно, привнести новую физику. При применении процедуры деформации с использованием строго монотонной деформирующей функции теоретико-полевая модель деформируется таким образом, что можно управлять амплитудой кинка (т.е. расстоянием между соседними вакуумами модели) и его пространственным масштабом без изменения общей топологии конфигурации. Несмотря на многократное успешное применение процедуры деформации, многие важные аспекты оставались до последнего времени неизученными. В частности, не было ясности относительно трансформационных свойств асимптотик кинков в связи со свойствами деформирующей функции. Кроме того, асимптотические свойства потенциала, определяющего спектр малых возбуждений кинка в линейном приближении, а также изменения этих свойств при деформациях теоретико-полевой модели, не были исследованы. Имевшийся пробел восполняют результаты, изложенные в разделе 3.4 третьей главы диссертации.

Асимптотическое поведение кинкового решения является важной характеристикой, определяющей динамику кинк-кинк и кинк-антикинк взаимодействий.

ф4

имеют экспоненциальные асимптотики. В то же время в связи с упомянуты-

ми выше приложениями в последнее десятилетие резко вырос интерес к более сложным моделям, допускающим решения в виде кинков со степенными асимптотиками [66,67]. До появления результатов, изложенных в главе 4 диссертации, динамические свойства кинков со степенными асимптотиками изучены не были, несмотря на востребованность подобных исследований.

Таким образом, актуальность работы определяется, с одной стороны, востребованностью кинковых решений для приложений, а с другой недостаточной на момент начала исследований, положенных в основу диссертации, изученностью динамических и асимптотических свойств таких солитонов.

Степень разработанности темы исследования

ф4

годов прошлого века. У истоков этого направления стояли советские физики

А.Е. Кудрявцев, Б.С. Гетманов, В.Г. Маханьков и др. [91 93]. Через несколько

лет появились работы зарубежных исследователей по взаимодействиям кинков ф4

Изучение свойств кинковых решений в контексте процедуры деформации теоретико-полевой модели происходит с начала 2000-х годов [178,182,208].

Степенному асимптотическому поведению кинков серьезное внимание стало уделяться в последние 5-7 лет. Были изучены и более экзотические ситуации: случай компактного носителя топологического солитона [205], случай асимптотики типа степенной башни [200], суперэкспоненциалыюй [201] и суперсуперэкс-попепциальной асимптотики [202].

Поиск точных решений интересовал специалистов давно. Что касается кинковых решений в моделях с одним или несколькими скалярными полями, то, помимо процедуры деформации, были разработаны и другие методы. Например, метод пробных орбит [2,232] и др. [229,231,245].

Наконец, изучение динамики кинков со степенными асимптотиками новое направление, бурно развивающееся в последние несколько лет [129,191,281,282, 285,288,304].

Цель и задачи диссертационной работы

Целью диссертации является описание динамики уединенных волн (кинков и антикинков), выявление и анализ сложной феноменологии в столкновениях кинков, получение точных кинковых решений в моделях с одним или несколькими полями, изучение трансформационных свойств асимптотик кинков относительно деформаций модели, а также исследование процессов рассеяния кинков со степенными асимптотиками, разработка и валидация асимптотического метода оценки сил взаимодействия таких кинков.

В рамках представленных в диссертации исследований решены следующие основные задачи:

1. Метод коллективной координаты применен к кинк-кинк и кинк-антикинк

ф6

ленного решения уравнения движения, установлены границы применимости метода коллективной координаты.

ф8

кинк-антикинк столкновений. Показано, что причиной появления окон разлета является резонансный обмен энергией между трансляционной и вибрационной модами кинка.

3. Исследованы процессы рассеяния кинков модели двойной синус-Гордон, получена зависимость критической скорости от параметра модели. Показано появление осциллирующих структур (осциллонов) в конечном состоянии.

ф4

ей бшЬ. ф. Изучено рассеяние кинков полученной модели, обнаружены резонансные явления. Проанализировано поведение осциллонов в конечном состоянии, способных образовывать связанное состояние с различным временем жизни.

ф6

тикинков в одной точке. Выполнен подбор начальных положений и ско-

ростей, обеспечивающий максимизацию плотностей энергии и градиентов поля в области столкновения.

6. Исследованы процессы столкновения нескольких кинков в модели двойной синус-Гордон. Получены зависимости плотностей энергии от параметра модели, изучено разнообразие осциллирующих структур в конечных состояниях.

ф8

личные конечные состояния в столкновениях двух, трех и четырех кинков (антикинков). Обнаружено рождение кинк-антикинк пар в столкновениях осциллонов.

8. Показано, что задача нахождения явных формул для кинковых решений в

8

ф8

ли сводится к решению алгебраических уравнений степени три и выше. В некоторых случаях решения найдены, исследованы их спектры возбуждений. В более общих случаях получены асимптотики кинков.

9. Для семейства моделей с полиномиальными потенциалами с двумя вакуу-мами найдены кинковые решения, изучены их свойства.

10. Изучены трансформационные свойства асимптотик кинков при деформации теоретико-полевой модели. Показано, что процедура деформации может быть применена в случае кинков, известных в неявном виде. Установлена универсальность асимптотического поведения потенциала линеаризованной задачи о возмущениях кинка, имеющего степенную асимптотику.

11. Получено точное аналитическое решение в виде плоской доменной стенки с локализованным на ней триплетом скалярных полей. Изучены свойства найденного решения.

ф8

тотики. Изучено влияние степенных асимптотик на динамику кинк-анти-кинк системы. Проанализированы резонансные явления в кинк-антикинк

столкновениях.

13. Выполнены асимптотические оценки сил кинк-кинк и кинк-антикинк взаимодействия в моделях ф2п+4 с п > 2, произведено сравнение теоретических оценок с результатами численных экспериментов.

Научная новизна

• Впервые выполнено детальное сопоставление результатов применения метода коллективной координаты к кинк-кинк и кинк-антикинк взаимодей-

6 ф6

ф8

а также резонансные явления в кинк-антикинк столкновениях.

• В модели двойной синус-Гордон серия локальных максимумов зависимости критической скорости от параметра модели обнаружена впервые.

• Впервые обнаружены и изучены резонансные явления в рассеянии кинков

ф4

осциллонов в конечном состоянии.

ф6

двойной синус-Гордон с анализом плотностей энергии и градиентов поля, а также с изучением конечных состояний.

ф8

и проанализированы конечные состояния.

ф8

тырьмя вакуумами при некоторых значениях констант предложен впервые.

• Впервые получены кинковые решения для семейства моделей с полиномиальными потенциалами с двумя вакуумами.

• Впервые изучены трансформационные свойства асимптотик кинков при деформации теоретико-полевой модели.

• Решение в виде плоской доменной стенки с локализованным на ней триплетом скалярных полей аналитически получено и исследовано впервые.

ф8

асимптотики, впервые изучено влияние степенных асимптотик на динамику кинк-антикинк системы и проанализированы резонансные явления в кинк-антикинк столкновениях.

• Впервые получены асимптотические оценки сил кинк-кинк и кинк-анти-кинк взаимодействия в моделях ф2п+4 с п > 2.

Теоретическая и практическая значимость

Изучение свойств топологических солитонов является важным для многочисленных физических приложений [8,33,67,311]. Поскольку кинковые решения возникают при описании многих объектов и явлений в физике высоких энергий, космологии, физике конденсированного состояния, то получение новой информации об их свойствах является необходимостью как для дальнейших теоретических исследований, так и с точки зрения практических применений. В частности, в работе [311] показано, что модель с потенциалом восьмой степени представляет интерес для космологии. Рассмотрена возможность появления второго вакуума в потенциале поля Хиггса, рассчитаны поправки для конечной температуры и показано, что за обычным электрослабым фазовым переходом второго рода следует фазовый переход первого рода, который может вызвать ускоренное расширение Вселенной на более поздних временах. Такой потенциал содержит кинковые решения, которые, в свою очередь, могут играть решающую роль в реконструкции глобальной формы потенциала в экспериментах на коллайдерах.

Обнаружение и анализ резонансных явлений в кинк-антикинк рассеянии важны в контексте теоретического анализа связи локализованных возбуждений кин-ка (в том числе коллективных возбуждений системы "кинк • антикинк" как целого [127,304], а также так называемых квазинормальных мод [109,304]) с наличием и структурой окон разлета либо квазирезонансных пиков [6,133]. С

точки зрения практических приложений взаимодействие кинков и антикинков как с образованием связанных состояний, так и с последующим разлетом актуально, например, для приложений в физике конденсированного состояния вещества (кинковые деформации в графеновой наноленте [61], дефекты в жидких кристаллах [50,51] и т.д. [66]).

Что касается точных решений, то их получение всегда имеет большое значение, так как открывает перспективы использования найденных решений как для дальнейших теоретических построений [2], так и для практических применений в различных приложениях.

Изучение асимптотических свойств топологических солитонов, а также получение информации о трансформационных свойствах асимптотик при деформациях теоретико-полевых моделей необходимо, в частности, для теоретического понимания и практического применения динамических свойств солитонов в различных контекстах [8].

Динамика кинков, обладающих дальнодействием, существенным образом отличается от ситуаций без дальнодействия, поэтому большое теоретическое и практическое значение имеет анализ последствий дальнодействия [127,191], а также разработка методик проведения численных экспериментов по кинк-кинк и кинк-антикинк рассеянию при наличии дальнодействия [129,191].

Асимптотические оценки сил кинк-кинк и кинк-антикинк взаимодействия при наличии степенной асимптотики кинка, полученные в диссертации, являются серьезным продвижением к пониманию динамики солитонов с дальнодействием.

Методы исследования

Для изучения кинк-антикинк столкновений и мультикинк процессов использовались различные проверенные и устойчивые численные методы решения нелинейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа.

Для получения спектра малых локализованных возбуждений кинка в линейном приближении решалась соответствующая задача Штурма Лиувилля чис-

ф4

лизованных возбуждений кинка сводится к решению стационарного уравнения Шредингера с модифицированным потенциалом Пешль Теллера, для которого все состояния дискретного спектра можно найти точно. Кроме того, нулевая мода л 106014) кинка находится тривиально. Для поиска вибрационных мод кин-ков моделей, обсуждаемых в диссертации, использовались численные методы, в частности, применялся "метод стрельбы" [90].

Кинковые решения в явном виде в модели ф8 с четырьмя вакуумами получены из алгебраических уравнений третьей и четвертой степени, для решения которых применялись методы Кардано и Феррари.

Анализ асимптотического поведения кинков, изучение изменений асимптотик при деформациях теоретико-полевой модели, а также оценки сил кинк-кинк и кинк-антикинк взаимодействий выполнялись с использованием аппроксимаций и асимптотических оценок.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Установленные границы применимости метода коллективной координаты с

одной степенью свободы к описанию кинк-антикинк и кинк-кинк взаимо-

« 6 действии в модели ф .

ф8

моды кинка с резонансными явлениями в кинк-антикинк рассеянии. Обнаруженное рождение кинк-антикинк пар в столкновениях осциллонов.

3. Наличие серии локальных максимумов зависимости критической начальной скорости в рассеянии кинков от параметра модели двойной синус-Гордон.

ф4

нансные явления в кинк-антикинк рассеянии, а также появление осциллонов, способных образовывать связанные состояния.

5. Экспериментальное обоснование возможности создания областей с повышенными плотностями энергии в столкновениях нескольких кинков и анти-

ф6

6. Кинковые решения в модели ф8 с четырьмя вакуумами, в семействе моделей с полиномиальными потенциалами с двумя вакуумами, а также в модели с действительным скалярным полем и связанным с ним триплетом скалярных полей.

7. Экспериментальное обнаружение и теоретическое описание резонансных яв-

8

ф8

тотиками.

8. Асимптотические оценки сил кинк-кинк и кинк-антикинк взаимодействий в моделях ф2п+4 с п > 2 в случае кинков со степенными асимптотиками.

Достоверность научных положений, результатов и выводов

Применялись современные и общепризнанные методы аналитического и численного исследования свойств решений типа уединенных волн нелинейных теоретико-полевых моделей (в частности, аналитические методы нахождения кин-ковых решений [2], а также исследования их асимптотического поведения, численные схемы решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и нахождения собственных значений и собственных функций задачи Штурма Лиувилля [90]).

Все полученные результаты прошли верификацию: применялись альтернативные методы, исследовались частные и предельные случаи и т.д. Применяемые методы воспроизводят известные в литературе (и признанные научным сообществом достоверными) результаты во всех случаях, когда такое сравнение производилось. Кроме того, изложенные в диссертации результаты были представлены и получили признание на российских и международных научных конференциях, обсуждались на научных семинарах.

Личный вклад соискателя

Вклад соискателя в полученные результаты является определяющим: все основные результаты получены автором лично, численные расчеты проведены ли-

бо автором лично, либо по формулам, предложенным автором, выбор численных методов также осуществлялся автором. Содержание диссертации и положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Публикации по теме диссертации

По теме диссертации опубликовано 28 печатных работ в период с 2014 по 2022 год, в том числе 18 статей в рецензируемых научных журналах 1-го квартиля1, рекомендованных ВАК и включенных в библиографические и реферативные базы данных рецензируемой научной литературы "Scopus" и llWeb of Science", а также 10 статей в сборниках трудов международных конференций.

Статьи в рецензируемых журналах:

1. P. A. Blinov, Т. V. Gani, A. A. Malnev, V. A. Gani, V. В. Sherstyukov, Kinks in higher-order polynomial models, Chaos, Solitons and Fractals 165, 112805 (2022); ИФ-9.922.

2. V. A. Gani, A. Gorina, I. Perapechka, Ya. Shnir, Remarks on sine-Gordon kink fermion system: localized modes and scattering., Eur. Phys. J. С 82, 757 (2022); ИФ-4.991.

3. P. A. Blinov, Т. V. Gani, V. A. Gani, Deformations of kink tails, Ann. Phys. 437, 168739 (2022); ИФ-3.036.

4. V. A. Gani, A. Moradi Marjaneh, K. Javidan, Exotic final states in the ф8 multi-kink collisions, Eur. Phys. J. С 81, 1124 (2021); ИФ-4.991.

5. E. Belendryasova, V. A. Gani, K. G. Zloshchastiev, Kink solutions in logarithmic scalar field theory: Excitation spectra, scattering, and decay of bion.% Phys. Lett. В 823, 136776 (2021); ИФ-4.95.

1 Квартили в год выхода публикации согласно данным ресурса www.scimagojr.com. актуальным на конец

2022 года, а если публикация вышла в 2022 году, то учитывается квартиль 2021 года: импакт-факторы (ИФ) журналов за 2021 год взяты в конце 2022 года с официальных сайтов.

6. I. C. Christov, R. J. Decker, A. Demirkaya, V. A. Gaiii, P. G. Kevrekidis, A. Saxena, Kink-antikink collisions and multi-bounce resonance windows in higher-order field theories, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 97, 105748 (2021); MO—4.186.

7. A. Askari, A. Moradi Marjaneh, Zh. G. Rakhmatullina, M. Ebrahimi-Loushab, D. Saadatmand, V. A. Gani, P. G. Kevrekidis, S. V. Dmitriev, Collision of kinks free of the Peierls Nabarro barrier in the regime of strong discreteness, Chaos, Solitons and Fractals 138, 109854 (2020); HQ-9.922.

8. V. A. Gani, A. Moradi Marjaneh, P. A. Blinov, Explicit kinks in higher-order field theories, Phys. Rev. D 101, 125017 (2020); HQ-5.407.

9. V. A. Gani, A. Moradi Marjaneh, D. Saadatmand, Multi-kink scattering in the double sine-Gordon model, Eur. Phys. J. C 79, 620 (2019); HO-4.991.

10. I. C. Christov, R. J. Decker, A. Demirkaya, V. A. Gani, P. G. Kevrekidis, A. Khare, A. Saxena, Kink-kink and kink-antikink interactions with long-range tails, Phys. Rev. Lett. 122, 171601 (2019); HO-9.185.

11. E. Belendryasova, V. A. Gani, Scattering of the p8 kinks with power-law asym-ptotics, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 67, 414 (2019); HO—4.186.

12. I. C. Christov, R. J. Decker, A. Demirkaya, V. A. Gani, P. G. Kevrekidis, R. V. Radomskiy, Long-range interactions of kinks, Phys. Rev. D 99, 016010 (2019); HO-5.407.

13. V. A. Gani, A. Moradi Marjaneh, A. Askari, E. Belendryasova, D. Saadatmand, Scattering of the double sine-Gordon kinks, Eur. Phys. J. C 78, 345 (2018); HO-4.991.

14. D. Bazeia, E. Belendryasova, V. A. Gani, Scattering of kinks of the sink-deformed p4 model, ; HO=4.991.

15. A. Moradi Marjaneh, V. A. Gani, D. Saadatmand, S. V. Dmitriev, K. Javidan, Multi-kink collisions in the model, J. High Energy Phys. 2017 (07), 028 (2017); H<D—6.379.

16. V. A. Gani, М. A. Lizunova, R. V. Radomskiy, Scalar triplet on a domain wall: an exact solution, J. High Energy Phys. 2016 (04), 043 (2016); ИФ-6.379.

17. V. A. Gani, V. Lensky, M. A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1 11)-dimensional ф8 model, ; ИФ=6.379.

18. V. A. Gani, A. E. Kudryavtsev, M. A. Lizunova, Kink interactions in the (1 /1)-dimensional ф6 model, ; ИФ=5.407.

Статьи в сборниках трудов конференций:

1. P. A. Blinov, Т. V. Gani, V. A. Gani, Domain wall thickness and deformations of the field model, J. Phys.: Conf. Ser. 1690, 012085 (2020).

2. P. A. Blinov, V. A. Gani, A. Moradi Marjaneh, From thin to thick domain walls:

ф8

3. V. A. Gani, Vibrations of thick domain walls: How to avoid no-go theorem, J. Phys.: Conf. Ser. 1690, 012095 (2020).

4. E. Belendryasova, V. A. Gani, A. Moradi Marjaneh, D. Saadatmand, A. Askari, A new look at the double sine-Gordon kink-antikink scattering J. Phys.: Conf. Ser. 1205, 012007 (2019).

5. E. Belendryasova, V. A. Gani, K. G. Zloshchastiev, Kinks in the relativistic model with logarithmic nonlinearity, J. Phys.: Conf. Ser. 1390, 012082 (2019).

ф8

J. Phys.: Conf. Ser. 934, 012059 (2017).

7. D. Bazeia, E. Belendryasova, V. A. Gani, Scattering of kinks in a non-polynomial, model,, J. Phys.: Conf. Ser. 934, 012032 (2017).

8. R. V. Radomskiy, E. V. Mrozovskaya, V. A. Gani, I. C. Christov, Topological defects with power-law tails, J. Phys.: Conf. Ser. 798, 012087 (2017).

9. V. A. Gani, M. A. Lizunova, R. V. Radomskiy, Scalar triplet on a domain wall,, J. Phys.: Conf. Ser. 675, 012020 (2016).

10. V. A. Gani, V. Lensky, M. A. Lizunova, E. V. Mrozovskaya, Excitation spectra of solitary waves in scalar field models with polynomial self-interaction^ J. Phys.: Conf. Ser. 675, 012019 (2016).

Апробация результатов

Научные результаты, выносимые на защиту, докладывались на конференциях и семинарах:

1. The 6th International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2022), г. Москва, НИЯУ МИФИ, ноябрь 2022 г.

2. Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики НИЯУ МИФИ, г. Москва, 14 октября 2022 г.

3. 64-я Всероссийская научная конференция МФТИ, г. Долгопрудный, Московская обл., ноябрь 2021 г.

4. VI Всероссийский научный форум "Наука будущего наука молодых", г. Москва, ноябрь 2021 г.

5. The 5th International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2020), г. Москва, НИЯУ МИФИ, октябрь 2020 г.

6. SIAM Conference on Applications of Dynamical Systems (DS19), Snowbird, Utah, USA, май 2019 г.

7. Dynamics Days 2019, Northwestern University, Illinois, USA, январь 2019 г.

8. Предновогодний семинар НИЦ КИ ИТЭФ, г. Москва, 26 декабря 2018 г.

9. The 4th International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2018), г. Москва, НИЯУ МИФИ, октябрь 2018 г.

10. The 7th International Conference "Problems of Mathematical Physics and Mathematical Modelling", г. Москва, НИЯУ МИФИ, июнь 2018 г.

11. Мемориальная сессия памяти Льва Борисовича Окуня в рамках Молодежной конференции по теоретической и экспериментальной физике, г. Москва, НИЦ КИ - ИТЭФ, 22 ноября 2017 г.

12. Молодежная конференция по теоретической и экспериментальной физике, г. Москва, НИЦ КИ — ИТЭФ, ноябрь 2017 г.

13. The 3rd International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2017), г. Москва, НИЯУ МИФИ, октябрь 2017 г.

14. The 2nd International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2016), г. Москва, НИЯУ МИФИ, октябрь 2016 г.

15. The 6th International Conference "Problems of Mathematical Physics and Mathematical Modelling", г. Москва, НИЯУ МИФИ, май 2016 г.

16. 50-я Зимняя школа ПИЯФ, пос. Рощино, Ленинградская обл., март 2016 г.

17. 19-я Московская международная школа физики (44-я Зимняя школа ИТЭФ), г. Серпухов, Московская обл., февраль 2016 г.

18. II Конференция молодых ученых и специалистов "КМУС-2015", ПИЯФ НИЦ КИ, г. Гатчина, Ленинградская обл., ноябрь 2015 г.

19. International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2015), г. Москва, НИЯУ МИФИ, октябрь 2015 г.

20. Международная школа "Теоретические проблемы физики фундаментальных взаимодействий", г. Санкт-Петербург, июль 2015 г.

21. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов - 2015", г. Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, апрель 2015 г.

22. Конференция "Молодые ученые России - 2015", г. Москва, апрель 2015 г.;

23. 18-я Московская международная школа физики (43-я Зимняя школа ИТЭФ), Московская обл., февраль 2015 г.

24. Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2015, г. Москва, НИЯУ МИФИ, февраль 2015 г.

25. Межинститутская молодежная конференция "Физика элементарных частиц и космология", г. Москва, ИЯИ РАН, ноябрь 2014 г.

26. XII Курчатовская молодежная научная школа, г. Москва, НИЦ КИ, октябрь 2014 г.

27. III Международная молодежная научная школа-конференция "Современные проблемы физики и технологий", г. Москва, НИЯУ МИФИ, апрель 2014 г.

28. 17-я Московская международная школа физики (42-я Зимняя школа ИТЭФ), Московская обл., февраль 2014 г.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Гани Вахид Абдулович, 2023 год

Литература

1. Mermin N. D. The topological theory of defects in ordered media j j Rev. Mod. Phys. 51, 591 (1979).

2. Раджараман P. Солитоны, и инстантоны, в квантовой теории поля: Москва: Мир, 1985 [Перевод издания: Rajaraman R. Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field, Theory Amsterdam: North Holland Publishing Company, 1982].

3. Рожков С. С. Топология, ммогообразия, и гомотопия: основные понятия, и приложения, к моделям п-поля, // УФН, т. 149, № 2, с. 259 (1986).1

4. Brandenberger R. Н. Topological, defects and, structure formation j j Int. J. Mod. Phys. A 9, 2117 (1994).

5. Поликарпов M. 14. Фракталы,, топологические дефекты, и, невылетание в решеточных калибровочных теориях // УФН, т. 165, № 6, с. 627 (1995).

6. Белова Т. 14., Кудрявцев А. Е. Солитоны, и, их взаимодействия в классической, теории, поля // УФН, т. 167, № 4, с. 377 (1997).

7. Ру баков В. А. Классические 'калибр о в очны,е поля. Москва: Эдиториал УРСС, 1999.

8. Vilenkin A., Shellard Е. P. S. Cosmic Strings and, Other Topological Defects. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

9. Rajantie A. Formation of topological defects in gauge field theories j j Int. J. Mod. Phys. A 17, 1 (2002).

10. Manton N., Sutcliffe P. Topological Solitons. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

11. Vachaspati T. Kinks and, Domain Walls: An Introduction to Classical and, Quantum Solitons. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.

1на сайте УФН указан другой помор выпуска: 6. См. https://iifri.nl/ni/articlos/1986

12. Протогенов А. П. Узлы, и, зацепления распределений параметров порядка в сильно коррелированных системах УФН, т. 176, № 7, с. 689 (2006).

13. Пятаков А. П. и др. Микромагнетизм и топологические дефекты, в магнитоэлектрических средах // УФН, т. 185, № 10, с. 1077 (2015).

14. Тео J. С. Y., Hughes Т. L. Topological, Defects in Symmetry-Protected Topological, Phases // Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 8, 211 (2017).

15. Shnir Y. M. Topological, and Non-Topological, Solitons in Scalar Field, Theories.

Cambridge: Cambridge University Press, 2018.

16. Арансон 14. С. Топологические дефекты, в активных мс.идких кристаллах / / УФН, т. 189, № 9, с. 955 (2019).

17. Smalyukh I. I. Review: knots and other new topological, effects in liquid crystals and colloids // Rep. Prog. Phys. 83, 106601 (2020).

18. Finkelstein D. Kinks // J. Math. Phys. 7, 1218 (1966).

19. Finkelstein D., Rubinstein J. Connection between Spin, Statistics, and Kinks j j J. Math. Phys. 9, 1762 (1968).

20. Arafune J., Freund P. G. O., Goebel C. J. Topology of Higgs fields / / J. Math. Phys. 16, 433 (1975).

21. Зельдович Я. Б., Кобзарев 14. К)., Окунь Л. Б. Космологические следствия спонтанного нарушения, дискретной, симметрии,// ЖЭТФ, т. 67, № 1, с. 3 (1974).

22. Kibble Т. W. В. Topology of cosmic domains and, strings // J. Phys. A: Math. Gen. 9, 1387 (1976).

23. Linde A. D. Phase transitions in gauge theories and, cosmology // Rep. Prog. Phys. 42, 389 (1979).

24. Kibble T. W. B. Some implications of a, cosmological, phase transition // Phys. Rep. 67, 183 (1980).

25. Vilenkin A. Gravitational field of vacuum, domain walls and strings // Phys. Rev. D 23, 852 (1981).

26. Sikivie P. Axions, Domain Walls, and the Early Universe j j Phys. Rev. Lett. 48, 1156 (1982).

27. Vilenkin A. Gravitational field of vacuum domain walls j j Phys. Lett. B 133, 177 (1983).

28. Ipser J., Sikivie P. Gravitationally repulsive domain wall j j Phys. Rev. D 30, 712 (1984).

29. Vilenkin A. Cosmic strings and domain walls j j Phys. Rep. 121, 263 (1985).

30. Press W. H., Ryden B. S., Spergel D. N. Dynamical Evolution of Domain Walls in an Expanding Universe j j Astrophys. J. 347, 590 (1989).

31. Gelmini G. B., Gleiser M., Kolb E. W. Cosmology of biased discrete symmetry breaking // Phys. Rev. D 39, 1558 (1989).

32. Kawano L. Evolution of domain walls in the early Universe j j Phys. Rev. D 41, 1013 (1990).

33. Durrer R. Topological, defects in cosmology j j New Astron. Rev. 43, 111 (1999).

34. Dolgov A. D., Godunov S. I., Rudenko A. S. Domain Walls and MatterAntimatter Domains in the Early Universe j j EPJ Web Conf. 158, 05001 (2017).

35. Dolgov A. D., Godunov S. I., Rudenko A. S. Domain Walls in the Early Universe and Generation of Matter and Antimatter Domains j j EPJ Web Conf. 182, 02048 (2018).

36. Dolgov A. D., Godunov S. I., Rudenko A. S. Evolution of thick domain walls in inflationary and p = wp universe //

[arXiv: 1711.04704].

37. Dai D.-C., Minie D., Stojkovie D. Interaction of cosmological domain walls with large classical objects, like planets and satellites, and the flyby anomaly j j J. High Energy Phys. 2022 (03), 207 (2022) [arXiv:2105.01894].

38. Aizu К. Possible Species of Ferromagnetic, Ferroelectric, and Ferroelastic Crystals // Phys. Rev. В 2, 754 (1970).

39. Van Aken В. B. et al. Observation of ferrotoroidic domains // Nature 449, 702 (2007).

40. Wadhawan V. K. Introduction to Ferroic Materials. London: CRC Press, 2014.

41. Wang J. (editor). Multiferroic materials: properties, techniques, and applications.

Boca Raton: CRC Press, 2016.

42. Schmid H. Multi-ferroic magnetoelectrics // Ferroelectrics 162, 317 (1994).

43. Fiebig M. et al. The evolution of multiferroics jj Nat. Rev. Mater. 1, 16046 (2016).

44. Jia C.-L. et al. Atomic-scale study of electric dipoles near charged and uncharged domain walls in ferroelectric films j j Nature Mater. 7, 57 (2008).

45. Jia C.-L. et al. Direct observation of continuous electric dipole rotation in flux-closure domains in ferroelectric Pb(Zr, Ti)O3 //

46. Gonnissen J. et al. Direct Observation of Ferroelectric Domain Walls mL3NbO3: Wall-Meanders, Kinks, and Local Electric Charges j j Adv. Funct. Mater. 26, 7599 (2016).

47. Nataf G. F. et al. Domain-wall engineering and topological defects in ferroelectric and ferroelastic materials // Nat. Rev. Phys. 2, 634 (2020).

48. Buijnsters F. J., Fasolino A., Katsnelson M. I. Motion of domain walls and the dynamics of kinks in the magnetic Peierls potential j j Phys. Rev. Lett. 113, 217202 (2014) [arXiv: 1407 .7754].

49. Lu G. et al. Wall-wall and kink-kink interactions in ferroelastic materials j j Phys. Rev. В 106, 144105 (2022).

50. Дедеь В. А. и др. Кипк-аптикипк взаимодействие в линейном дефекте электроконвективной структуры, нелттика, // Письма ь ЖЭТФ, т. 109, № 2, с. 84 (2019).

51. Делев В. А. и др. Сложмая динамика каскада кинк-антикинковых взаимодействий в линейном, дефекте электроконвективной структуры, неммтика // Письма в ЖЭТФ, т. 110, № 9, с. 607 (2019).

52. Sukumaran S., Ranganath G. S. Dynamics of kinks in smectic-C liquid crystals in periodically varying external fields j j Phys. Rev. E 56, 1791 (1997).

53. Рожков С. С. Теория смектических жидких кристаллов типа, С: кинки, вихри, монополи и, периодические структуры, // ЖЭТФ, т. 103, № 2, с. 476 (1993).

54. Fitzgerald S. P. Kink pair production and, dislocation motion// Sci. Rep. 6, 39708 (2016).

55. Swinburne T. D. et al. Theory and, simulation of the diffusion of kinks on dislocations in bcc metals // Phys. Rev. В 87, 064108 (2013) [arXiv: 1210 .8327].

56. Swinburne T. D., Marinica M.-C. Unsupervised, calculation of free energy barriers in large crystalline systems // Phys. Rev. Lett. 120, 135503 (2018).

57. Swinburne T. D., Dudarev S. L. Kink-limited, Orowan strengthening explains the brittle to ductile transition of irradiated, and, unirradiated, bcc metals j j Phys. Rev. Mater. 2, 073608 (2018); Erratum: нее [58].

58. Swinburne T. D., Dudarev S. L. Erratum: Kink-limited, Orowan strengthening explains the brittle to ductile transition of irradiated, and, unirradiated, bcc metals [Phys. Rev. Materials 2, 073608 (2018)] // Phys. Rev. Mater. 2, 109901 (2018).

59. Boleininger M. et al. Statistical mechanics of kinks on a, gliding screw dislocation // Phys. Rev. Res. 2, 043254 (2020) [arXiv:2005.13336].

60. Ghafarollahi A., Curtin W. A. Theory of kink migration in dilute BCC alloys // Acta Mater. 215, 117078 (2021).

61. Yamaletdinov R. D., Slipko V. A., Pershin Y. V. Kinks and, antikinks of buckled, graphene: A testing ground for the ф4 field model //

(2017) [arXiv: 1705.10684].

62. Yamaletdinov R. D., Romaiiczukiewicz Т., Pershin Y. V. Manipulating graphene kinks through positive and negative radiation pressure effects / / Carbon 141, 253 (2019) [arXiv: 1804.09219].

63. Nguyen D. C., Yamaletdinov R. D., Pershin Y. V. Influence of a constriction on the motion of graphene kinks j/ Phys. Rev. В 103, 224312 (2021) [arXiv: 2102.08144].

64. Nguyen D. C., Pershin Y. V. Shift Register for Graphene Kinks j/ Phys. Rev. Applied 18, 034002 (2022).

65. Баимова Ю. А. и др. Скорости звука и плотности фононных состояний в однородно дефорлтрованно.м, плоском, листе графема // ФТТ, т. 54, № 4, с. 813 (2012).

66. Khare A., Christov I. С., Saxena A. Successive phase transitions and, kink solutions in ф87 ф™, and ф12 field theories //

[arXiv: 1402.6766].

67. Kevrekidis P. G., Cuevas-Maraver J. (eds.). ф4 model: Past, present and, future. Cham: Springer, 2019.

68. Lohe M. A. Soliton structures in P (ф)2 11

69. Boulbitch A. A. Crystallization of proteins accompanied, by formation of a, cylindrical, surface j j Phys. Rev. E 56, 3395 (1997).

70. Vanderbilt D., Cohen M. H. Monoclinic and, triclinic phases in higher-order Devonshire theory j j Phys. Rev. В 63, 094108 (2001) [arXiv: cond-mat/0009337].

71. Sergienko I. A., Gufan Yu. M., Urazhdin S. Phenomenological, theory of phase transitions in highly piezoelectric perovskites // Phys. Rev. В 65, 144104 (2002) [arXiv: cond-mat/0109396].

72. Josephson B. D. Possible new effects in superconductive tunnelling j j Phys. Lett. 1, 251 (1962).

73. Ustinov A. V. Solitons in Josephson junctions // Physica D 123, 315 (1998).

74. Scott A. C., Chu F. Y. F., Reible S. A. Magnetic-flux propagation on a, Josephson transmission line j j J. Appl. Phys. 47, 3272 (1976).

75. Gardner C. S. et al. Method for Solving the Korteweg-deVries Equation j j Phys. Rev. Lett. 19, 1095 (1967).

76. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves j j Comm. Pure Appl. Math. 21, 467 (1968).

77. Ablowitz M. J. et al. Method for Solving the Sine-Gordon Equation j j Phys. Rev. Lett. 30, 1262 (1973).

78. Zakharov V. E., Shabat A. B. A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. I j j Funct. Anal. Its Appl. 8, 226 (1974).

79. Захаров В. E., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория со-литонов: метод обратной задачи. Москва: Наука, 1980.

80. Ablowitz М., Segur Н. Solitons and the Inverse Scattering Transform Philadelphia: SIAM, 1981.

81. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Галтлътонов подход в теории солитонов.

Москва: Наука, 1986.

82. Дубровский В. Г. Элементарное введение в метод обратной задачи и теорию солитонов. Новосибирск: НГТУ, 1997.

83. Уизем Дж. Линейные и нелинейны,е волны,. Москва: Мир, 1977 [Перевод издания: Whitham G. В. Linear and nonlinear waves. New York London

Sydney Toronto: John Wiley & Sons, 1974].

84. Costabile G. et al. Exact solutions of the sine-Gordon equation describing oscillations in a long (but finite) Josephson junction j j Appl. Phys. Lett. 32, 587 (1978).

85. Bishop A. R., Krumhansl J. A., Trullinger S. E. Solitons in condensed matter: A paradigm j j Physica D 1, 1 (1980).

86. Богомольный E. Б. Устойчивость классических решений// ЯФ, т. 24, с. 861 (1976).

87. Prasad М. К., Sommerfield С. М. Exact Classical Solution for the 4 Hooft Monopole and the Julia-Zee Dyon // Phys. Rev. Lett. 35, 760 (1975).

88. Ishmukhamedov I., Ishmukhamedov A., Melezhik V. Numerical solution of the time dependent 3D Schrodinger equation describing tunneling of atoms from anharmonic traps // EPJ Web. Conf. 173, 03011 (2018).

89. Shadmehri S., Saeidian S., Melezhik V. S. 2D nondirect product discrete variable representation for Schrodinger equation with nonseparable angular variables j j J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 53, 085001 (2020).

90. Izaac J., Wang J. Computational, Quantum Mechanics. Cham: Springer, 2018.

91. Кудрявцев A. E. О солитоноподобных решениях для, скалярного поля, Хиггса // Письма ь ЖЭТФ, т. 22, № 3, с. 178 (1975).

92. Makhankov V. G. Dynamics of classical, solitons (in non-integrable systems) // Phys. Rep. 35, 1 (1978).

ф42

// Письма в ЖЭТФ, т. 24, № 5, с. 323 (1976).

94. Aubry S. A unified, approach to the interpretation of displacive and, order-disorder systems. II. Displacive systems // J. Chem. Phys. 64, 3392 (1976).

95. Ablowitz M. J., Kruskal M. D., Ladik J. F. Solitary wave collisions // SIAM J. Appl. Math. 36, 428 (1979).

ф4

Prog. Theor. Phys. 61, 1550 (1979).

97. Moshir M. Soliton-antisoliton scattering and capture in A04 theory // B 185, 318 (1981).

98. Wingate C. A. Numerical search, for a 04 breather mode // 43, 120 (1983).

99. Campbell D. K., Schonfeld J. F., Wingate C. A. Resonance structure in kink-antikink, interactions in p4 theory //

100. Peyrard M., Campbell D. K. Kink-antikink interactions in a, modified, sine-Gordon model j j Physiea D 9, 33 (1983).

101. Belova T. I., Kudryavtsev A. E. Quasi-periodic orbits in the scalar classical A04 field theory // Physiea D 32, 18 (1988).

102. Anninos P., Oliveira S., Matzner R. A. Fractal structure in the scalar A(02 — 1)2 theory // Phys. Rev. D 44, 1147 (1991).

103. Goodman R. H., Haberman R. Kink-Antikink Collisions in the 04 Equation: The n-Bounce Resonance and the Separatrix Map //

4, 1195 (2005).

104. Goodman R. H., Haberman R. Chaotic Scattering and, the n-Bounce Resonance in Solitary-Wave Interactions // Phys. Rev. Lett. 98, 104103 (2007).

105. Weigel H. Kink-antikink scattering in p4 and models // 482, 012045 (2014) [arXiv: 1309.6607].

106. Takyi I., Weigel H. Collective coordinates in one-dimensional soliton models revisited, // Phys. Rev. D 94, 085008 (2016) [arXiv: 1609.06833].

107. Dorey P. et al. Boundary scattering in the 04 model // 2017 (05), 107 (2017) [arXiv: 1508.02329].

108. Moradi Marjaneh A. et al. High energy density in the collision of N kinks in the 04 model //

[arXiv: 1605.09767].

109. Dorey P., Romaiiczukiewicz T. Resonant kink antikink scattering through quasinormal modes // Phys. Lett. В 779, 117 (2018) [arXiv: 1712.10235].

110. Adam C., Romanczukiewicz T., Wereszczynski A. The ф4 model with the BPS preserving defect j j J. High Energy Phys. 2019 (03), 131 (2019) [arXiv: 1812.04007].

111. Adam C. et al. Kink-antikink scattering in the ф4 model without static intersoliton forces // Phys. Rev. D 101, 105021 (2020) [arXiv : 1909.06901].

112. Yan H. et al. Kink-antikink collision in a Lorentz-violating ф4 model // Lett. В 807, 135542 (2020) [arXiv:2004.13329].

113. Mohammadi M., Dehghani R. Kink-Antikink Collisions in the Periodic ф4 Model //

[arXiv: 2005.11398].

114. Mohammadi M., Momeni E. Scattering of kinks in the Вф4 model // Solitons and Fractals 165, 112834 (2022) [arXiv:2207.00655].

115. Alonso-Izquierdo A., Nieto L. M., Queiroga-Nunes J. Scattering between wobbling kinks // Phys. Rev. D 103, 045003 (2021) [arXiv: 2007.15517].

116. Alonso-Izquierdo A., Nieto L. M., Queiroga-Nunes J. Asymmetric scattering between kinks and, wobblers j j Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulât. 107, 106183 (2022) [arXiv:2109.13904].

117. Mantón N. S. et al. Kink moduli, spaces: Collective coordinates reconsidered, j j Phys. Rev. D 103, 025024 (2021) [arXiv:2008.01026].

118. Mantón N. S. et al. Collective Coordinate Model of Kink-Antikink Collisions in

ф4

119. Adam C. et al. Relativistic moduli, space for kink collisions j j Phys. Rev. D 105, 065012 (2022) [arXiv:2111.06790].

120. Фдюгге 3. Задачи no квантовой механике. Том 1. Москва: Мир, 1974.

121. Dorey P. et al. Kink-antikink collisions in the ф6 model// 091602 (2011) [arXiv: 1101.5951].

122. Gani V. A., Kudryavtsev A. E., Lizunova M. A. Kink interactions in the (1 /1)-dimensional ф6 model // [ ].

123. Adam C. et al. Multikink scattering in the ф6 model revisited // 106, 125003 (2022) [arXiv:2209.08849].

ф6

Phys. Rev. D 106, 105027 (2022) [arXiv : 2209.11479].

125. Gani V. A., Lensky V., Lizunova M. A. Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional ф8 model //

[arXiv: 1506.02313].

126. Gani V. A. et al. Excitation spectra of solitary waves in scalar field models with polynomial self-interaction // J. Phys.: Conf. Ser. 675, 012019 (2016) [arXiv: 1602.02636].

ф8

asymptotics // Commun. Nonlinear Sei. Numer. Simulât. 67, 414 (2019) [arXiv: 1708.00403].

ф8

// J. Phys.: Conf. Ser. 934, 012059 (2017) [arXiv: 1712 .02846].

129. Christov I. C. et al. Kink-antikink collisions and, multi-bounce resonance windows in higher-order field theories // Commun. Nonlinear Sei. Numer. Simulât. 97, 105748 (2021) [arXiv:2005.00154].

130. Campbell D. K., Peyrard M. Solitary wave collisions revisited, // Physiea D 18, 47 (1986).

131. Campbell D. K., Peyrard M., Sodano P. Kink-antikink interactions in the double sine-Gordon equation // Physiea D 19, 165 (1986).

132. Malomed B. A. Dynamics and kinetics of solitons in the driven damped double sine-Gordon equation // Phys. Lett. A 136, 395 (1989).

133. Gani V. A., Kudryavtsev A. E. Kink-antikink interactions in the double sine-Gordon equation and the problem of resonance frequencies / / Phys. Rev. E 60, 3305 (1999) [arXiv: cond-mat/9809015],

134. Gani V. A. et al. Scattering of the double sine-Gordon kinks j j Eur. Phys. J. C 78, 345 (2018) [arXiv: 1711.01918].

135. Belendryasova E. et al. A new look at the double sine-Gordon kink-antikink scattering // J. Phys.: Conf. Ser. 1205, 012007 (2019) [arXiv: 1810.00667].

136. Gani V. A., Moradi Marjaneh A., Saadatmand D. Multi-kink scattering in the double sine-Gordon model / / Eur. Phys. J. C 79, 620 (2019) [arXiv: 1901.07966].

137. Bazeia D., Belendryasova E., Gani V. A. Scattering of kinks in a non-polynomial, model, ¡j J. Phys.: Conf. Ser. 934, 012032 (2017) [arXiv: 1711.07788].

138. Bazeia D., Belendryasova E., Gani V. A. Scattering of kinks of the sinh-deformed / model// [ ].

139. Simas F. C. et al. Suppression of two-bounce windows in kink-antikink collisions // J. High Energy Phys. 2016 (09), 104 (2016) [arXiv: 1605.05344].

140. Bazeia D. et al. Oscillons in hyperbolic models // Phys. Lett. B 803, 135291 (2020) [arXiv: 1911.03352].

141. Gomes A. R. et al. False vacuum decay in kink scattering // J. High Energy Phys. 2018 (10), 192 (2018) [arXiv: 1805 .00991].

142. Bazeia D. et al. Kink scattering in a hybrid model // Phys. Lett. B 793, 26 (2019) [arXiv: 1805.07017].

143. Bazeia D. et al. Kink scattering in hyperbolic models // Int. J. Mod. Phys. A 34, 1950200 (2019) [arXiv: 1902.04041].

144. Bazeia D., Gomes A. R., Simas F. C. Semi-compactness and multiple oscillating pulses in kink scattering // Eur. Phys. J. С 81, 532 (2021) [arXiv: 2011.11157].

145. Yan H. Kink scattering in a Lorentz-violating ф6 model // 14001 (2022) [arXiv:2110.13381].

146. Takyi I. et al. Scattering of kinks in noncanonical sine-Gordon Model j j Turk. J. Phys. 46, 37 (2022) [arXiv:2111.01051].

147. Sasada T. Behavior of а ф4 soliton in the presence of an impurity // A 75, 5 (1979).

148. Kivshar Yu. S., Fei Z., Vázquez L. Resonant soliton-impurity interactions j j Phys. Rev. Lett. 67, 1177 (1991).

149. Kudryavtsev A. E. On the problem of soliton impurity interaction // Preprint INS-912 (1992) [Institute for nuclear study, University of Tokyo, Tanashi, Tokyo 188, Japan],

150. Fei Z., Kivshar Yu. S., Vázquez L. Resonant kink-impurity interactions in the Ф4 model//

151. Белова Т. И., Кудрявцев А. Е. О взаимодейсвии солитона с примесью в теории Лф2 //

152. Екомасов Е. Г. и др. Нелинейная динамика кипков уравнения синус-Гордона при наличии локализованной пространственной модуляции параметров системы // Вестник Башкирского университета, т. 17, № 2, с. 84 (2012).

153. Гумеров А. М. и др. Трансформация солитопов уравнения синус-Гордона в моделях с переменными коэффициентами и затуханием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 55, № 4, с. 631 (2015).

154. Ekomasov Е. G., Gumerov А. М., Murtazin R. R. Interaction of sine-Gordon solitons in the model with attracting impurities // Math. Meth. Appl. Sci. 40, 6178 (2017).

155. Ekomasov E. G. et al. Multisoliton Dynamics in the Sine-Gordon Model with Two Point Impurities // Braz. J. Phys. 48, 576 (2018).

156. Adam C., Wereszczynski A. BPS property and its breaking in 1 11 dimensions // Phys. Rev. D 98, 116001 (2018) [arXiv: 1809.01667].

157. Adam C. et al. Solvable self-dual impurity models // J. High Energy Phys. 2019 (07), 150 (2019) [arXiv: 1905.06080].

158. Adam C., Queiruga J. M., Wereszczynski A. BPS soliton-impurity models and supersymmetry j j J. High Energy Phys. 2019 (07), 164 (2019) [arXiv: 1901.04501].

159. Lizunova M. et al. Emergence of oscillons in kink-impurity interactions j j J. Phys. A: Math. Theor. 54, 315701 (2021) [arXiv:2012.07281].

160. Lizunova M. A. et al. Kinks and realistic impurity models in (pA-theory // J. Mod. Phys. В 36, 2250042 (2022) [arXiv: 2007.04747].

161. Ekomasov E. G., Nazarov V. N., Samsonov K. Y. Changing the Dynamic Parameters of Localized Breather and Soliton Waves in the Sine-Gordon Model with Extended Impurity, External Force, and Decay in the Autoresonance Mode // Rus. J. Nonlin. Dyn. 18, 217 (2022).

162. Hoseinmardi S., Riazi N. Inelastic collision of kinks and antikinks in the system // Int. J. Mod. Phys. A 25, 3261 (2010).

163. Goatham S. W. 06 kink; scattering 11 (2012).

164. Гани В. А., Кудрявцев A. E. О столкновениях дом,енных стенок в одной суперсимметричной модели j j ЯФ, т. 64, № 11, с. 2130 (2001) [препринт ИТЭФ-15 (1999), arXiv:hep-th/9904209; препринт ИТЭФ-44 (1999), arXiv: hep-th/9912211].

165. Baron H. E., Luchini G., Zakrzewski W. J. Collective coordinate approximation to the scattering of solitons in the (1 11) dimensional NLS model j j J. Phys. A: Math. Theor. 47, 265201 (2014) [arXiv: 1308.4072].

166. Demirkaya A. et al. Kink dynamics in a parametric system: a model with controllably many internal modes j j J. High Energy Phys. 2017 (12), 071 (2017) [arXiv: 1706.01193].

167. Burzlaff J., Zakrzewski W. J. CP2 soliton scattering: The collective coordinate approximation j j Nonlinearity 11, 1311 (1998) [arXiv :hep-th/9711026].

168. Desposito M. A. et al. Mobility of Bloch walls via the collective coordinate method // Phys. Rev. В 62, 919 (2000) [arXiv: cond-mat/9902330],

169. Javidan K. Collective coordinate variable for soliton-potential system in sine-Gordon model, j j J. Math. Phys. 51, 112902 (2010) [arXiv: 0910.3058].

170. Saadatmand D., Javidan K. Collective-Coordinate Analysis of Inhomogeneous Nonlinear Klein Gordon Field Theory j j Braz. J. Phys. 43, 48 (2013) [arXiv: 1109.4922].

171. Екомасов E. Г., Гумеров A. M., Кудрявцев P. В. О возможности, наблюдения резонансного взаимодействия кинков уравнения синус-Гордона с локализованным,и волнами в реальных физических систем,ах j j Письма в ЖЭТФ, т. 101, № 12, с. 935 (2015).

172. Baron Н. Е., Zakrzewski W. J. Collective coordinate approximation to the scattering of solitons in modified, NLS and, sine-Gordon models/j J. High Energy Phys. 2016 (06), 185 (2016) [arXiv: 1411.3620].

173. Weigel H. Collective Coordinate Methods and Their Applicability to ф4 Models j j arXiv: 1809.03772 (2018) [глава в книге [67]].

174. Adam С. et al. Spectral Walls in Soliton Collisions j j Phys. Rev. Lett. 122, 241601 (2019) [arXiv: 1903.12100].

175. Kevrekidis P. G., Goodman R. H. Four Decades of Kink Interactions in Nonlinear Klein-Gordon Models: A Crucial, Typo, Recent Developments and, the Challenges Ahead, // arXiv: 1909 .03128 (2019).

176. Pereira C. F. S. et al. Some novel considerations about the collective coordinates approximation for the scattering of kinks //

075701 (2021) [arXiv:2004.00571].

177. Cartwright M., Gottwald G. A. Collective coordinate framework to study solitary waves in stochastically perturbed Korteweg de Vries equations / / Phys. Rev. E 104, 024201 (2021) [arXiv:2104.04619].

178. Bazeia D. et al. Deformed defects for scalar fields with polynomial, interactions // Phys. Rev. D 73, 105008 (2006) [arXiv:hep-th/0605127],

179. Bazeia D. et al. Novel, results for kinklike structures and, their connections to quantum mechanics // Ann. Phys. 395, 275 (2018) [arXiv: 1806 .07216].

180. Gani V. A., Moradi Marjaneh A., Blinov P. A. Explicit kinks in higher-order field theories // Phys. Rev. D 101, 125017 (2020) [arXiv:2002.09981].

181. Blinov P. A., Gani V. A., Moradi Marjaneh A. From thin to thick domain walls: An example of the / model //

[arXiv:2012.12711].

182. Bazeia D., Losano L., Malbouisson J. M. C. Deformed, defects / / Phys. Rev. D 66, 101701 (2002) [arXiv :hep-th/0209027].

183. Leung K. M. Path-integral approach to the statistical, mechanics of soldions // Phys. Rev. B 26, 226 (1982).

184. Belendryasova E., Gani V. A., Zloshchastiev K. G. Kinks in the relativistic model with logarithmic nonlinearity // J. Phys.: Conf. Ser. 1390, 012082 (2019) [arXiv: 2001.02265].

185. Belendryasova E., Gani V. A., Zloshchastiev K. G. Kink solutions in logarithmic scalar field theory: Excitation spectra, scattering, and, decay of bions j j Phys. Lett. B 823, 136776 (2021) [arXiv:2111.09096].

186. Dmitriev S. V., Kevrekidis P. G., Kivshar Y. S. Radia,tionless energy exchange in three-soliton collisions// Phys. Rev. E 78, 046604 (2008) [arXiv:0806 .1152].

187. Saadatmand D., Dmitriev S. V., Kevrekidis P. G. High energy density in multi-soliton collisions // Phys. Rev. D 92, 056005 (2015) [arXiv: 1506.01389].

188. Moradi Marjaneh A. et al. Extreme values of elastic strain and, energy in sine-Gordon multi-kink collisions j j Eur. Phys. J. B 91, 22 (2018) [arXiv: 1710.10159].

189. Moradi Marjaneh A. et al. Multi-kink collisions in the model j j Energy Phys. 2017 (07), 028 (2017) [arXiv: 1704.08353].

190. Gani V. A., Moradi Marjaneh A., Javidan K. Exotic final states in the multi-kink; collisions ¡j Eur. Phys. J. C 81, 1124 (2021) [arXiv:2106.06399].

191. Christov I. G. et al. Long-range interactions of kinks // Phys. Rev. D 99, 016010

(2019) [arXiv: 1810.03590].

192. Simas F. G. et al. Solitary oscillations and, multiple antikink-kink pairs in the double sine-Gordon model j j J. High Energy Phys. 2020 (12), 143 (2020) [arXiv: 2007.12318].

193. Bazeia D. et al. Oscillons in hyperbolic models j j Phys. Lett. B 803, 135291

(2020) [arXiv: 1911.03352].

194. Naha Nzoupe F., Dikandé A. M., Tehawoua C. Kink-antikink scattering-induced, breathing bound states and oscillons in a parametrized model //

Lett. A 36, 2150015 (2021) [arXiv:2012.02470].

195. Romaiiezukiewiez T., Shnir Y. Oscillons in the presence of external potential j j J. High Energy Phys. 2018 (01), 101 (2018) [arXiv: 1706.09234].

196. Romanezukiewiez T., Shnir Ya. Oscillon resonances and, creation of kinks in particle collisions // Phys. Rev. Lett. 105, 081601 (2010) [arXiv: 1002 .4484].

197. Romanezukiewiez T. Creation of kink and, antikink pairs forced, by radiationj j J. Phys. A: Math. Gen. 39, 3479 (2006) [arXiv:hep-th/0501066],

198. Khare A., Saxena A. Family of potentials with power law kink tails j j J. Phys. A: Math. Theor. 52, 365401 (2019) [arXiv: 1810.12907].

199. Bazeia D., Menezes R., Moreira D. C. Analytical study of kinklike structures with polynomial tails // J. Phys. Commun. 2, 055019 (2018) [arXiv: 1805 .09369].

200. Khare A., Saxena A. Wide class of logarithmic potentials with power-tower kink tails H J. Phys. A: Math. Theor. 53, 315201 (2020) [arXiv: 1909.11904].

201. Kumar P., Khare A., Saxena A. A minimal nonlinearity logarithmic potential: Kinks with super-exponential profiles // Int. J. Mod. Phys. B 35, 2150114 (2021) [arXiv: 1908.04978].

202. Khare A., Saxena A. Logarithmic potential with super-super-exponential kink profiles and tails jj Phys. Scr. 95, 075205 (2019) [arXiv: 1910.06507].

203. Bazeia D. et al. Compactlike kinks and, vortices in generalized, models j j Phys. Rev. D 81, 125016 (2010) [arXiv: 1004.3710].

204. Bazeia D., Losano L., Menezes R. New results on compact structures // Phys. Lett. B 731, 293 (2014) [arXiv: 1402.6617].

205. Bazeia D. et al. From kinks to compactons j j Phys. Lett. B 736, 515 (2014) [arXiv: 1407.3478].

206. Bazeia D. et al. Compact structures in standard, field theory j j EPL 107, 61001 (2014) [arXiv: 1404.2493].

207. Hahne F. M., Klimas P. Compact kink and, its interaction with compact oscillons // J. High Energy Phys. 2022 (09), 100 (2022) [arXiv : 2207.07064].

208. Almeida C. A. et al. New results for deformed, defects j j Phys. Rev. D 69, 067702 (2004) [arXiv:hep-th/0405238],

209. Bazeia D., Losano L. Deformed, defects with applications to braneworlds// Phys. Rev. D 73, 025016 (2006) [arXiv:hep-th/0511193],

210. Bazeia D. et al. New family of sine-Gordon models j j EPL 87, 21001 (2009) [arXiv: 0906.2849].

211. Bazeia D. et al. Multi-sine-Gordon models // Eur. Phys. J. C 71, 1767 (2011) [arXiv: 1104.0376].

212. Bazeia D. et al. Construction of new scalar field models from the standard 04 theory // Phys. Scr. 87, 045101 (2013) [arXiv: 1302.6032].

213. de Brito G. P., de Souza Dutra A. Multikink solutions and, deformed, defects // Ann. Phys. 351, 620 (2014) [arXiv: 1406.1764].

214. Bazeia D., Losano L., Santos J. R. L. Kinklike structures in scalar fi,eld, theories: From one-field to two-field models j j Phys. Lett. A 377, 1615 (2013) [arXiv: 1304.6904].

215. Andrews M. et al. Distinguishing k-defects from their canonical twins // Rev. D 82, 105006 (2010) [arXiv: 1007.3438].

216. Bazeia D. et al. Twinlike models in scalar fi,eld, theories j j Phys. Rev. D 84, 045010 (2011) [arXiv: 1105 .5111].

217. Adam C., Queiruga J. M. Algebraic construction of twinlike models j j Phys. Rev. D 84, 105028 (2011) [arXiv: 1109.4159].

218. Bazeia D., Menezes R. New results on twinlike models: Different field theories sharing the same extended, solutions j j Phys. Rev. D 84, 125018 (2011) [arXiv: 1111.1318].

219. Adam C., Queiruga J. M. Twinlike models with identical linear fluctuation spectra, ¡j Phys. Rev. D 85, 025019 (2012) [arXiv: 1112.0328].

220. Bazeia D., da Hora E., Menezes R. Twinlike models for self-dual Maxwell-Higgs theories // Phys. Rev. D 85, 045005 (2012) [arXiv: 1111.6542].

221. Bazeia D., Dantas J. D. Presence of twinlike models in cosmology j j Phys. Rev. D 85, 067303 (2012) [arXiv: 1202.5978].

222. Bazeia D., Lobâo Jr. A. S., Menezes R. Twinlike models for kinks and, compactons in flat and, warped, spacetime j j Phys. Rev. D 86, 125021 (2012) [arXiv: 1210.6874].

223. Bazeia D. et al. First-order formalism for twinlike models with several real scalar fields // Eur. Phys. J. С 74, 2755 (2014) [arXiv: 1312.1198].

224. Gomes A. R. et al. Kink-antikink collisions for twin models j j Phys. Rev. D 90, 065022 (2014) [arXiv: 1312.7519].

225. Zhong Y., Liu Y.-X. Matching the linear spectra of twinlike defects j j Class. Quantum Gravity 32, 165002 (2015) [arXiv: 1408.6416].

226. Casana R., Cavaleante A., da Нога E. Self-dual configurations in Abelian Higgs models with k-generalized gauge field dynamics //

(12), 051 (2016) [arXiv: 1509.04654].

227. Bazeia D., Marques M. A., Menezes R. Twinlike models for kinks, vortices, and monopoles // Phys. Rev. D 96, 025010 (2017) [arXiv: 1702 .00879].

228. Zhong Y., Fu C.-E, Liu Y.-X. Cosmological twinlike models with multi scalar fields Ц Sri. China Phys. Meeh. Astron. 61, 90411 (2018) [arXiv: 1604.06857].

229. Ленский В. А., Гани В. А., Кудрявцев A. E. О до,м,енпы,х стенках, несущих U(1)-зарлд // ЖЭТФ, т. 120, № 4(10), с. 778 (2001) [ ].

230. Gani V. A. et al. Study of stability of a charged topological, soliton in the system of two interacting scalar fields // Ж. вычисд. матем. и матем. физ., т. 44, с. 2069 (2004) [arXiv:0710.2975].

231. Katsura Н. Composite-kink solutions of coupled, nonlinear wave equations // Phys. Rev. D 89, 085019 (2014) [arXiv: 1312.4263]

232. Rajaraman R. Solitons of Coupled, Scalar Field, Theories in Two Dimensions 11 Phys. Rev. Lett. 42, 200 (1979).

233. Wang K. F., Liu J.-M., Ren Z. F. Multiferroicity: the coupling between magnetic and, polarization orders 11 Adv. Phys. 58(4), 321 (2009) [arXiv: 0908.0662].

234. Tokunaga Y. et al. Composite domain walls in a, multiferroic perovskite ferrite II Nature Mater. 8, 558 (2009).

235. Bazeia D., dos Santos M. J., Ribeiro R. F. Solitons in systems of coupled scalar fields H Phys. Lett. A 208, 84 (1995) [arXiv:hep-th/0311265],

236. Bazeia D. et al. Soliton stability in systems of two real scalar fields j j J. Phys. A: Math. Gen. 30, 8157 (1997) [arXiv:hep-th/9705224],

237. Bazeia D. et al. Topological defects and the trial orbit method j j Mod. Phys. Lett. A 17, 1945 (2002) [arXiv:hep-th/0205305],

238. Afonso V. I. et al. Orbit-based, deformation procedure for two-fi,eld, models j j Phys. Rev. D 76, 025010 (2007) [arXiv:0704.2424].

239. Gomes A. R., Bazeia D. Extended, solutions via, the trial orbit method, for two-field models // Phys. Scr. 79, 055005 (2009) [arXiv:0905.0093].

240. Alonso Izquierdo A. Kink dynamics in a, system of two coupled, scalar fields in two space-time dimensions j j Physica D 365, 12 (2018) [arXiv: 1711.08784].

241. Alonso Izquierdo A. Reflection, transmutation, annihilation, and, resonance in two-component kink collisions j j Phys. Rev. D 97, 045016 (2018) [arXiv: 1711.10034].

242. Alonso Izquierdo A. Kink dynamics in the MSTB Model j j Phys. Scr. 94, 085302 (2019) [arXiv: 1804.05605].

243. Alonso Izquierdo A. Asymmetric kink scattering in a, two-component scalar fi,eld, theory model j j Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 75, 200 (2019) [arXiv: 1901.03089].

244. Alonso Izquierdo A., Gonzalez Leon M. A., Mateos Guilarte J. The Kink variety in systems of two coupled, scalar fields in two space-time dimensions// Phys. Rev. D 65, 085012 (2002) [arXiv:hep-th/0201200],

245. Alonso Izquierdo A. et al. New Models for Two Real Scalar Fields and, Their Kink-Like Solutions j j Adv. in High Energy Phys. 2013, 183295 (2013) [arXiv: 1308.2724].

246. Shifman M. A., Voloshin M. B. Degenerate domain wall solutions in swpersymmetrie theories j j Phys. Rev. D 57, 2590 (1998) [arXiv :hep-th/9709137],

247. Shifman M. A. Degeneracy and, continuous deformations of su/persymmetric domain walls j j Phys. Rev. D 57, 1258 (1998) [arXiv :hep-th/9708060],

248. Montonen C. On soldions with an Abelian charge in scalar field theories: (I) Classical theory and, Bohr-Sommerfeld, quantization j j Nucl. Phys. B 112, 349 (1976).

249. Jaekiw R., Rebbi C. Soldions with fermion number 1/2 j j Phys. Rev. D 13, 3398 (1976).

250. Gibbons G., Maeda K. I., Takamizu Y. I. Fermions on colliding brunes j j Phys. Lett. B 647, 1 (2007) [arXiv:hep-th/0610286],

251. Chu Y.-Z., Vaehaspati T. Fermions on one or fewer kinks j j Phys. Rev. D 77, 025006 (2008) [arXiv:0709.3668].

252. Liu Y.-X. et al. Fermions on thick brunes in the background, of sine-Gordon kinks // Phys. Rev. D 78, 065025 (2008) [arXiv:0804.4553].

253. Brihaye Y., Delsate T. Remarks on bell-shaped, lumps: Stability and, fermionic modes ¡j Phys. Rev. D 78, 025014 (2008) [arXiv:0803.1458].

254. Gani V. A., Ksenzov V. G., Kudryavtsev A. E. Example of a, s elf-consistent solution for a, fermion on domain wall j j 5I<D, t. 73, e. 1940 (2010) [arXiv: 1001.3305].

255. Gani V. A., Ksenzov V. G., Kudryavtsev A. E. Stable branches of a, solution for a, fermion on domain wall j j 5IQ, t. 74, e. 797 (2011) [arXiv : 1009.4370].

256. Charmehi F., Gousheh S. S. Massive .Jaekiw Rebbi, model j j Nucl. Phys. B 883, 256 (2014) [arXiv: 1404.4263].

257. Amado A., Mohammadi A. Coupled, fermion kink system in Jaekiw Rebbi, model // Eur. Phys. J. C 77, 465 (2017) [arXiv: 1406.1459].

258. Bazeia D., Mohammadi A. Fermionic bound states in distinct kinklike backgrounds // Eur. Phys. J. C 77, 203 (2017) [arXiv: 1702.00891].

259. Bazeia D., Mohammadi A., Moreira D. C. Fermion bound, states in geometrically deformed, backgrounds // Chin. Phys. C 43, 013101 (2019) [arXiv: 1706.04406].

260. Klimashonok V., Perapechka I., Shnir Ya. Fermions on kinks revisited, j j Phys. Rev. D 100, 105003 (2019) [arXiv: 1909.12736].

261. Amado A., Mohammadi A. A 06 soliton with a long-range tail // C 80, 576 (2020) [arXiv: 1906 .08803].

262. Perapechka I., Shnir Ya. Kinks bounded, by fermions j j Phys. Rev. D 101, 021701 (2020) [arXiv:1910.09866].

263. Campos J. G. F., Mohammadi A. Fermion transfer in the 04 model with a, ha,lf-BPS preserving impurity j j Phys. Rev. D 102, 045003 (2020) [arXiv: 2004.08413].

264. Campos J. G. F., Mohammadi A. Fermions on wobbling kinks: normal versus quasinormal modes j j J. High Energy Phys. 2021 (09), 103 (2021) [arXiv: 2106.04712].

265. Campos J. G. F., Mohammadi A. Kink-antikink collision in the super symmetric 04 model // [ ].

266. Gani V. A. et al. Remarks on sine-Gordon kink fermion system: localized, modes and, scattering ! ! Eur. Phys. J. C 82, 757 (2022) [arXiv : 2205.13437].

267. Bazeia D., Campos J. G. F., Mohammadi A. Resonance mediated, by fermions in kink-antikink collisions j j J. High Energy Phys. 2022 (12), 085 (2022) [arXiv: 2208.13261].

268. Campos J. G. F. et al. Fermionic spectral walls in kink collisions j j J. High Energy Phys. 2023 (01), 071 (2023) [arXiv:2211.07754].

269. Jennings P., Sutcliffe P. The dynamics of domain wall Skyrmions j j J. Phys. A: Math. Theor. 46, 465401 (2013) [arXiv : 1305.2869].

270. Nitta M. Josephson vortices and the Atiyah-Manton construction// Phys. Rev. D 86, 125004 (2012) [arXiv: 1207 .6958].

271. Nitta M. Correspondence between Skyrmions in 2 I1 and 3 11 dimensions // Phys. Rev. D 87, 025013 (2013) [arXiv: 1210.2233].

272. Nitta M. Matryoshka Skyrmions // Nucl. Phys. B 872, 62 (2013) [arXiv: 1211.4916].

273. Kobayashi M., Nitta M. Sine-Gordon kinks on a domain wall ring jj Phys. Rev. D 87, 085003 (2013) [arXiv: 1302.0989].

274. Gudnason S. B., Nitta M. Domain wall Skyrmions / / Phys. Rev. D 89, 085022 (2014) [arXiv: 1403.1245].

275. Blinov P. A. et al. Kinks in higher-order polynomial models j j Chaos, Solitons and Fractals 165, 112805 (2022) [arXiv:2211.08240],

276. Blinov P. A., Gani T. V., Gani V. A. Deformations of kink tails / / Ann. Phys. 437, 168739 (2022) [arXiv:2008.13159].

277. Blinov P. A., Gani T. V., Gani V. A. Domain wall thickness and deformations of the field model// J. Phys.: Conf. Ser. 1690, 012085 (2020) [arXiv:2012.12709].

278. Gani V. A., Lizunova M. A., Radomskiy R. V. Scalar triplet on a domain wall: an exact solution // J. High Energy Phys. 2016 (04), 043 (2016) [arXiv: 1601.07954].

279. Gani V. A., Lizunova M. A., Radomskiy R. V. Scalar triplet on a domain wall // J. Phys.: Conf. Ser. 675, 012020 (2016) [arXiv: 1602 .04446].

280. Kurianovych E., Shifman M. Non-Abelian moduli on domain walls // Int. J. Mod. Phys. A 29, 1450193 (2014) [arXiv: 1407.7144].

281. Radomskiy R. V. et al. Topological, defects with power-law tails // J. Phys.: Conf. Ser. 798, 012097 (2017) [arXiv: 1611.05634].

282. Christov I. С. et al. Kink-Kink and Kink-Antikink Interactions with Long-Range Tails Ц Phys. Rev. Lett. 122, 171601 (2019) [arXiv: 1811.07872].

283. Петросова M. А., Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. Алгебраическая запись полиномов Бернштейна на симметричном отрезке и связанные с ней комбинаторны,е соотношения // Вдадикавк. мат. жури., т. 21, № 3, с. 62 (2019).

284. Feinsilver P., Kocik J. Krawtchouk; Polynomials and Krawtchouk; Matrices in Baeza-Yates R. et al. (eds.) Recent Advances in Applied Probability. Boston: Springer, 2005, p. 115 141.

285. Manton N. S. Forces between kinks and antikinks with long-range tails / / J. Phys. A: Math. Theor. 52, 065401 (2019) [arXiv: 1810.03557].

286. Bazeia D., Losano L., Olmo G. J. Novel connection between lump-like structures and quantum mechanics j j Eur. Phys. J. Plus 133, 251 (2018) [arXiv: 1806.00346].

287. d'Ornellas P. Forces between kinks in ф8 theory // (2020) [arXiv:2001.10744].

288. Campos J. G. F., Mohammadi A. Interaction between kinks and antikinks with double long-range tails// Phys. Lett. В 818, 136361 (2021) [arXiv:2006.01956].

289. Hanany A., Tong D. Vortices, instantons and branes // J. High Energy Phys. 2003 (07), 037 (2003) [arXiv:hep-th/0306150],

290. Auzzi R. et al. Nonabelian superconductors: vortices and confinement in N = 2 SQCD // Nucl. Phys. В 673, 187 (2003) [arXiv:hep-th/0307287],

291. Shifman M., Yung A. Non-Abelian string junctions as confined, monopoles // Phys. Rev. D 70, 045004 (2004) [arXiv:hep-th/0403149],

292. Hanany A., Tong D. Vortex strings and, four-dimensional, gauge dynamics // J. High Energy Phys. 2004 (04), 066 (2004) [arXiv:hep-th/0403158],

293. Lilley M. et al. Non-Abelian bosonic currents in cosmic strings // Phys. Rev. D 82, 023510 (2010) [arXiv: 1003.4601].

294. Shifman M., Yung A. Abrikosov-Nielsen-Olesen String with Non-Abelian Moduli and, Spin-Orbit Interactions // Phys. Rev. Lett. 110, 201602 (2013) [arXiv: 1303.7010].

295. Shifman M. Simple models with non-Abelian moduli, on topological defects / / Phys. Rev. D 87, 025025 (2013) [arXiv: 1212.4823].

296. Monin S., Shifman M., Yung A. Non-Abelian string of a, finite length j j Phys. Rev. D 92, 025011 (2015) [arXiv: 1505 .07797].

297. Monin S., Shifman M. Degeneracy between Abelian and, non-Abelian strings // Int. J. Mod. Phys. A 29, 1450105 (2014) [arXiv: 1309.4527].

298. Gorsky A., Mikhailov V. Non-Abelian strings in a, dense matter j j Phys. Rev. D 76, 105008 (2007) [arXiv:0707.2304].

299. Nitta M., Shifman M., Vinci W. Non-Abelian quasigapless modes localized, on mass vortices in superfluid 3He-B //

[arXiv: 1301.3544].

300. Shifman M., Yung A. Supersymmetric solitons / / Rev. Mod. Phys. 79, 1139 (2007) [arXiv: hep-th/0703267],

301. Tong D. TASI Lectures on Solitons // arXiv:hep-th/0509216 (2005).

302. Konishi K. The Magnetic Monopole Seventy-Five Years Later j j Lect. Notes Phys. 737, 471 (2008) [arXiv:hep-th/0702102],

303. Saxena A., Christov I. C., Khare A. Higher-order field theories: 067 and beyond, j j arXiv: 1806.06693 (2018) [rjiaßa b Kimre [67]].

304. Gani V. A. Vibrations of thick domain walls: How to avoid, no-go theorem // J. Phys.: Conf. Ser. 1690, 012095 (2020) [arXiv: 2012.14298].

305. Gomes A. R., Menezes R., Oliveira J. C. R. E. Highly interactive kink solutions // Phys. Rev. D 86, 025008 (2012) [arXiv: 1208.4747].

306. Mantón N. S. An effective Lagrangian for soldions // Nucí. Phys. B 150, 397 (1979).

307. Kevrekidis P. G., Khare A., Saxena A. Solitary wave interactions in dispersive equations using Mantoris approach j j Phys. Rev. E 70, 057603 (2004) [arXiv :nlin/0410045],

308. Rajaraman R. Inter soliton forces in weak-coupling quantum, field theories j j Phys. Rev. D 15, 2866 (1977).

309. González J. A., Estrada-Sarlabous J. Kinks in systems with degenerate critical points ¡¡ Phys. Lett. A 140, 189 (1989).

310. Mello B. A. et al. Topological defects with long-range interactions j j Phys. Lett. A 244, 277 (1998).

311. Greenwood E. et al. Electroweak vacua, collider phenomenology, and, possible connection with dark energy j j Phys. Rev. D 79, 103003 (2009) [arXiv: 0810.5343].