Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Демченко, Максим Николаевич

• Демченко, Максим Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Демченко, Максим Николаевич

Введение

Обратные задачи электродинамики.

Главный результат.

Краткое содержание по

главам

1 Геометрия и функциональные пространства

1.1 Векторные операции.

1.2 Эйконал, полугеодезические координаты, выкройка

1.3 Функциональные пространства

2 Модель динамической системы Максвелла

2.1 Динамическая система Максвелла.

2.2 Модель динамической системы Максвелла.

3 Восстановление риманова многообразия по граничным данным

3.1 Управление с части границы.

3.2 Задача с объемными источниками.

3.3 Восстановление риманова многообразия.

4 Преобразование Мт

4.1 Оператор Кт.

4.2 Оператор Мт.

4.3 Послойное представление Мт.

4.4 Оператор Максвелла на поперечных полях.

5 Обратная задача в области

5.1 Изображения волн.

5.2 Восстановление скорости.

5.3 Проекторы на Ые{^1т[х\) при г —» 0.

5.4 Восстановление е, ц.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла»

Обратные задачи электродинамики

Распространение электромагнитных волн в среде описывается системой Максвелла rot п = е—- + ае + 7, rot е = —и-—. (1) dt dt w

Здесь e(x,t), h(x,t), j(x,t) - векторные поля в 1R3 (соответственно электрическое, магнитное поле и плотность тока), х £ К3, t £ Ж., г(х) и fj,(x) — диэлектрическая и магнитная проницаемости, <т(х) - проводимость среды. Рассмотрим задачу, связанную с системой (1), в пространственной области Г2 С К3, t > 0. Предположим, что j = 0, известны значения ей h в начальный момент времени t = 0, а также заданы значения касательной составляющей е на dQ при всех временах t > 0. При определенных требованиях на эти данные, а также на область ft и коэффициенты е, ц, а, такая задача имеет ровно одно решение [23].

Задача остается корректной, если мы задаем на <9Г2 касательную составляющую магнитного поля; однако, если мы зафиксируем касательные составляющие ей h одновременно, задача станет переопределенной, поскольку между значениями е и h на границе есть зависимость, которая определяется характеристиками среды в области. Именно эта зависимость служит данными обратной задачи: требуется определить коэффициенты е, ¡1, а, когда для достаточно широкого набора решений прямой задачи известны значения касательных составляющих на <90 электрического и магнитного полей. Такого рода обратные задачи называются динамическими.

Во многих работах по обратной задаче электродинамики предполагается гармоническая зависимость поля от времени. В этом случае можно перейти от системы (1) к стационарной системе Максвелла: rot Н = —icu (е + г-) Е, rot Е = шцН. (2)

Здесь Е и Н определены в некоторой области С К3 и не зависят от времени. Частота ш > 0 выбирается так, чтобы система (2) имела единственное решение {Е, Н} с любой заданной касательной составляющей поля Е на 30. Данными обратной задачи является отображение где v - внешняя нормаль к границе, х - векторное произведение в!3. В работе [9] рассматривалась линеаризация этой задачи в предположении, что искомые коэффициенты слабо отличаются от известных функций. Получены соответствующие оценки ошибок. В работе [10] показано, что отображение Л определяет е, н и а единственным образом при следующих предположениях

• Q С М3 — ограниченная область с границей класса С1'1 и связным дополнением К3 \ О;

• £,//,<7 6 С3(М3);

• существуют константы ет, цт > 0, и £м, Им, такие что ет < е{х) < sM, fj-m < н(х) ^ Им, о < сг(:г) < ам при х е Г2;

• при ^el3\Q выполнено е{х) = е0, ц(х) = цо, сг = О, где е'о, /'о известные положительные константы.

Среди различных вариантов постановки обратной задачи можно выделить постановки, обладающие свойством локальности, или оптимальные по времени. Предположим, что электромагнитное поле, измеряемое на границе, индуцировано источниками, расположенными вне исследуемой области Q. Поскольку скорость распространения электромагнитных волн конечна, волны от внешних источников за промежуток времени [О, Т] покрывают, вообще говоря, только часть области Q, а именно, приграничный слой оптической толщины Т, который мы обозначим QT. Простые кинематические соображения приводят к тому, что граничные значения поля в промежутке времени [0, 2Т] не зависят от характеристик среды в fi \ . Отсюда и вытекает оптимальная по времени постановка обратной задачи: по значениям поля на границе в промежутке времени [О, 2Т\ определить свойства среды в Q7 .

Типичная обратная задача геоэлектрики рассматривается в работах [14], [17]. Пространство Е3 разбивается на полупространства:

Е3 := {х е Е3|ж3 < 0}, К® := {х Е Е3 | х3 > 0}, и предполагается, что в коэффициенты е, /х, а имеют разрыв на плоскости {хз = 0} (так моделируется граница воздух-земля). Рассматриваются поля е и Л, удовлетворяющие системе (1) в М'1 и Е5], начальным условиям е = /г = 0, г < 0, и условиям на границе раздела

Ь-э 1хз=о+ -Ь,3 \хз=о- = з = 1,2, ез I хз=о+ — ^ 113=о— =0, 7 = 1,2 д3 — заданные функции). В качестве данных граничных измерений рассматриваются значения касательной составляющей электрического поля на границе р3(хг,х2,г) := е3 1^3=0-1-, 7 = 1,2, отвечающего различным д3. В обратной задаче предполагается, что известны коэффициенты е, /х, а в Е1, а в Е+ коэффициенты ц. а постоянны. Требуется найти в в Е+.

В работе [14] в предположении, что е, /х, а - аналитические функции по переменным х\, х2 и обладают конечной гладкостью по переменной х3, в локальной постановке доказана единственность решения этой (переопределенной) обратной задачи и устойчивость решения.

Одним из подходов к решению многомерных обратных задач является метод граничного управления (ВС-метод). (Под многомерными задачами мы понимаем задачи, в которых не предполагается никакой симметрии, позволяющей снизить размерность, и никакой априорной информации о неизвестных коэффициентах). ВС-метод, впервые анонсированный в заметке [4], успешно применялся к обратным задачам акустики, электродинамики, теории упругости (одномерный вариант), импеданс-ной томографии [6]. Имея в своей основе связь обратных задач с задачами граничного управления, ВС-метод использует результаты из разных областей математики: геометрии, асимптотических методов (распространения сингулярностей), теории управления и функционального анализа. В последнее время в рамках этого подхода разрабатывается связь обратных задач с теорией С*-алгебр и некоммутативной геометрией. Общей чертой различных вариантов применения ВС-метода к динамическим и спектральным обратным задачам является построение по обратным данным модели рассматриваемой динамической системы, состоящей из гильбертовых пространств и операторов.

Применению ВС-метода к обратной задаче электродинамики посвящены работы [1], [2], [7], [8]. В работе [2] решена задача оптимального по времени восстановления скорости с = м-1/2 (3) в регулярной зоне — области регулярности полугеодезических координат с базой на границе. Вопрос о раздельном восстановлении £ и ц не рассматривался. В работе [1] система Максвелла перенесена на трехмерное риманово многообразие с краем (е = ц = 1) и решена задача восстановления приграничного слоя как риманова многообразия по граничным измерениям. Как ив [2], этот результат получен в регулярной зоне.

В отличие от [1], [2] в работах [7], [8] рассматривается неоптимальная по времени постановка обратной задачи: в качестве данных требуются граничные измерения на промежутке времени [0,2Т1], где 2Т, - оптический диаметр исследуемой среды. В [8] рассматривается обратная задача на трехмерном римановом многообразии с тензорными е, ц, со следующим ограничением: волновой импеданс должен быть скалярным. В этих предположениях восстанавливается многообразие с римановой структурой и волновым импедансом.

Главный результат

Мы рассматриваем обратную задачу для системы Максвелла на связном компактном ориентированном гладком римановом 3-многообразии с краем. Это многообразие мы будем обозначать а его внутреннюю часть -П. Предполагается, что край дП имеет одну компоненту связности, проводимость среды а равна нулю, а диэлектрическая и магнитная проницаемости — гладкие положительные в Г2 скалярные функции. В качестве прямой задачи мы рассматриваем следующую начально-краевую задачу в пространственно-временном цилиндре Г2 х [О, Т], Т > 0: е( = е1гсЛ к, = —//1го1 е, (х, ¿) е П х (0, Т), е |{=о= Л Ь=о = 0, е<? |апх[о,т] = /• (4)

Здесь е, И - векторные поля в Г2, зависящие от времени t € [0,Т], / — касательное поле на дП (также зависящее от времени), которое мы будем называть управлением, (•)& — касательная составляющая вектора на границе. При определенных требованиях на / существует единственное решение {е, К}. Данными обратной задачи служит оператор реакции / -¡/ х /г |зпх[о,т] и - единичная внутренняя нормаль к границе), описывающий отклик системы на различные управления.

Рассматриваются два варианта обратной задачи. В первом предполагается, что е = 11 — 1, и требуется восстановить по оператору реакции В?Т приграничный слой Пт. Во втором варианте П будет заданной областью в М3, а е, /г — неизвестными функциями. По граничным измерениям на промежутке времени [0, 2Т] восстанавливаются коэффициенты в приграничном слое оптической толщины Т.

Действуя в рамках ВС-метода, мы перенесем результат [1], где рассматривалась задача в регулярной зоне риманова многообразия, на случай, когда может быть шире регулярной зоны (то есть Т произвольно). Для этого мы воспользуемся схемой, с помощью которой в работе [6] была решена обратная задача для волнового уравнения. В случае евклидовой области мы также обобщим результат [2] на случай произвольного Т и усилим его единственностью восстановления г и /г. Однако, помимо требований гладкости, мы накладываем на область Пт и функцию с ограничение геометрического характера (см. Условие 1). Перед тем, как доказать единственность ей//, мы докажем единственность с, в общих чертах следуя схеме работ [1], [2]. Основная трудность здесь заключается в адаптации использованных ранее конструкций к случаю произвольного Т (особенно это касается преобразования Мт, которому посвящена глава 4).

Краткое содержание по главам

В главе 1 даны вводные сведения. В разделе 1.1 определены некоторые векторные операции на многообразии. В разделе 1.2 определена оптическая метрика и функция эйконала, полугеодезические координаты на многообразии с базой на границе и выкройка. В разделе 1.3 введены пространства векторных полей, необходимые для описания электромагнитного поля и изображений.

В главе 2 обсуждаются свойства системы Максвелла, необходимые нам для решения обратной задачи. В разделе 2.1 дано описание системы Максвелла с точки зрения теории управления, сформулирован главный результат (Теоремы 1, 2), введена связывающая форма, сформулировано свойство приближенной управляемости; также описана система Максвелла с магнитным управлением. В разделе 2.2 описана модель динамической системы Максвелла, которая может быть построена по данным обратной задачи.

Глава 3 посвящена решению обратной задачи на римановом многообразии. В разделе 3.1 сформулировано свойство приближенной управляемости для управлений, действующих на фиксированной части границы. В разделе 3.2 описан способ получения модельных копий подпространств электрических полей, сосредоточенных в шаре с центром в произвольной точке х е В разделе 3.3 описана процедура построения изометрической копии многообразия по данным обратной задачи.

В главе 4 описан оператор Мт, необходимый для решения обратной задачи в евклидовой области. В разделе 4.1 введен вспомогательный оператор Кт. Определение Мт дано в разделе 4.2. Там же доказана его частичная изометричность и сплетающие свойства. В разделе 4.3 выводится формула послойного действия Мт. В разделе 4.4 получена формула для композиции (М^Г)*, необходимая для последующего восстановления с, /1.

В главе 5 доказывается единственность восстановления е, /г в евклидовой области по данным (2.2). В разделе 5.1 вводится понятие изображений волн, приводится амплитудная формула (Лемма 11) и описывается как с ее помощью строятся изображения по обратным данным. В разделе 5.2 строится псевдодифференциальный оператор 7^', из главного символа которого извлекается оптическая метрика, а затем и скорость. В разделе 5.3 описывается поведение ортогональных проекторов на подпространства электрических полей, сосредоточенных в шаре с центром в произвольной точке х 6 Г2Т, при стремлении радиуса шара к нулю; этот результат используется в разделе 5.4 для завершения доказательства Теоремы 2.

В Приложение вынесены доказательства некоторых утверждений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Демченко, Максим Николаевич, 2011 год

1. М.И. Белишев, В.М. Исаков, J1.H. Пестов, В. А. Шарафутдинов, К реконструкции метрики по внешним электромагнитным измерениям, Докл. РАН, 2000, 372(3), 298-300.

2. М.И. Белишев, А.К. Гласман, Динамическая обратная задача для системы Максвелла: восстановление скорости в регулярной зоне (ВС-метод), Алгебра и анализ, 2000, 12(2), 279-316.

3. М.И. Белишев, Об унитарном преобразовании в пространстве ¿2(П;М3), связанном с разложением Вейля, Зап. научн. семин. ПО-МИ, 2001, 275, 25-40.

4. М.И. Белишев, Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения, Докл. АН СССР, 1987, 297, 524-527.

5. М.И. Белишев, А.С. Благовещенский, Динамические обратные задачи теории волн, Изд-во СПбГУ, СПб, 1999.

6. M.I.Belishev, Recent progress in the boundary control method, Inverse Problems 2007, 23(5), R1-R67.

7. М.И. Белишев, В.М. Исаков, К единственности восстановления параметров системы Максвелла по динамическим граничным данным, Зап. научн. семин. ПОМИ, 2002, 285, 15-32.

8. Y. Kurylev, М. Lassas, Е. Somersalo, Maxwell's equations with a polarization independent wave velocity: Direct and inverse problems, Journal de Mathematique Pures et Appliquees, 2006, 86(3), 237-270.

9. E. Somersalo, D. Isaacson, M. Cheney, A linearized inverse boundary value problem for Maxwell's equations, J. Comput. Appl. Math. 1992, 42, 123-136.

10. Ola P., Paivarinta L., Somersalo E., An inverse boundary value problem in electrodynamics, Duke Math. J. 1993, 70, 617-653.

11. М.Н. Демченко, О частично изометрическом преобразовании соле-ноидалъных векторных полей, Зап. научн. семин. ПОМИ, 2009, 370, 22-43.

12. M.I. Belishev, M.N. Demchenko, Time-optimal reconstruction of Riemannian manifold via boundary electromagnetic measurements, J. Inv. Ill-Posed Problems, 2011, 19, 167-188.

13. М.Н. Демченко, Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла, Алгебра и анализ, 2011, 23(6), 31-78.

14. В.Г. Романов, Т.П. Пухначева, Теорема устойчивости решения задачи определения коэффициентов системы уравнений Максвелла, Условно корректные задачи, Сб. научных трудов под редакцией М.М.Лаврентьева, Новосибирск, 1988.

15. Lasiecka I., Triggiani R., Recent advances in regularity of second-order hyperbolic mixed problems, and applications, in Dynamics Reported: Expositions Dynamical Systems (N.S.), 1994, 3, 104-158.

16. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк, L-i-теория оператора Максвелла в произвольных областях, Успехи мат. наук, 1987, 42(6), 61-76.

17. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. Наука, М. 1991.

18. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. Научный мир, М. 2005.

19. Ю.Д. Бураго, В.А. Залгаллер. Введение в риманову геометрию, Наука, СПб, 1994.

20. Ю.Д. Бураго, В.А. Залгаллер. Геометрические неравенства, Л., Наука, 1980.

21. Adams R.A., Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.

22. Sohr H., The Navier-Stokes Equations: an Elementary Functional Analytic Approach, Birkhauser, Berlin, 2001.

23. Leis R., Initial Boundary Value Problems in Mathematical Physics, B. G. Teubner Gmbh, Stuttgart, 1986.

24. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, М.: Мир, 1972.

25. M. Eller, V. Isakov, G. Nakamura and D. Tataru, Uniqueness and stability in the Cauchy problem for Maxwell and elasticity systems, Studies in Mathematics and its Applications 31, Ed. D. Cioranescu, J.-L. Lions., Amsterdam: North-Holland, 2002.

26. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1: Теория распределений и анализ Фурье, М.:Мир, 1986.