Динамическая обратная задача для системы типа Ламе (BC-метод) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Фоменко Владимир Геннадиевич

• Фоменко Владимир Геннадиевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Фоменко Владимир Геннадиевич

1.1.1 Метрики

1.1.2 Регулярная зона

1.1.3 Шапочки

1.1.4 Области влияния

1.2 Функции и поля

2 Система типа Ламе

2.1 Система Ламе

2.1.1 Начально-краевая задача

2.1.2 Конечность области влияния

2.1.3 Динамическая система Ламе

2.1.4 Управляемость

2.2 Система типа Ламе

2.2.1 Система ат

2.2.2 Оператор реакции

2.2.3 Постановка обратной задачи

2.2.4 Подсистема аТ

2.2.5 Подсистема а'т

2.2.6 Связь траекторий

2.3 Разделение шапочек

2.3.1 Шапочки в подсистемах

2.3.2 Шапочки в системе ат

3 Обратная задача

3.1 Отображение Пт

3.1.1 Полугеодезические координаты

3.1.2 Восстановление скорости по тензору к

3.1.3 Представление полей

3.1.4 Параллельный перенос

3.1.5 Отображение п

3.1.6 Оператор Пт

3.2 Изображения

3.2.1 Проектирование в пространстве потенциальных полей

3.2.2 Оператор Кальдерона

3.2.3 Оператор Л

3.2.4 Поперечный градиент и поперечная дивергенция

3.2.5 ^^-преобразование

3.2.6 Акустическая подсистема а^ Оператор Ух

3.2.7 Оператор Мт(Ук¿1у)(ЯТ)*

3.2.8 Оператор изображения 1Т

3.2.9 Оператор 1Т (У к ¿\у)(!т )*

3.3 Динамика

3.3.1 Прямая Задача. Оператор управления

3.3.2 Управляемость

3.3.3 Разрывы в прямой задаче

3-3.4 Двойственная система

3.3.5 Оператор реакции /Я,Т системы аТ

3-3.6 Разрывы в двойственной системе

3.4 Связывающий оператор

3.5 Восстановление скоростей

4 Локализация волн в шапочках и восстановление быстрой скорости

ат

ат

ат

4.0.4 Модельные шапочки

4.0.5 Время пробега быстрых волн от точки границы до точки области 78 4.0.6 Восстановление быстрой скорости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая обратная задача для системы типа Ламе (BC-метод)»

Введение

Актуальность темы исследований. Распространение упругих волн в изотропной неоднородной среде описывается системой уравнений Ламе с переменными коэффициентами. Обратная задача заключается в нахождении этих коэффициентов или их комбинаций по известной информации на границе. Можно выделить три основные постановки обратной задачи. В кинематической постановке роль данных играет время пробега волн между точками границы, в спектральной — спектр соответствующего дифференциального оператора и граничные значения собственных функций, в динэг" мической постановке задаются амплитуды волновых полей на границе.

Исследования многомерных обратных задач для уравнении в частных производи ых были начаты М.М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым [1]. A.C. Алексеев предложил решение обратной задачи теории упругости (задачи Лэмба) в спектральной постановке, если плотность и параметры Ламе зависят только от одной пространственной переменной [2]. Та же задача, но в динамической постановке, решена

A.C. Благовещенским [3]. Методы, предложенные В. Г. Романовым [4, 5, 6] при доказательстве теорем существования и единственности решения обратных задач, были развиты и продолжены Ю. Е. Аниконовым, А. Л. Бухгеймом, С. И. Кабанихиным,

B. Г. Яхно и др. [7, 8, 9]. С. И. Кабанихин также предложил подход к построению численных алгоритмов решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений на основе проекционного метода [10].

Обратная задача для изотропной системы Ламе рассматривалась в работах В. М. Исакова, G. Nakamura, М. Yamamoto и др. [11, 12, 13]. L. Rachele доказала единственность восстановления скоростей продольных и поперечных волн по динами-

ческим граничным данным (оператору реакции) [14]. Важные результаты ^ связанные с управляемостью системы Ламе, получены М.И. Белишевым и I. Ьаз1еска [15].

Диссертация посвящена решению обратной задачи восстановления скоростей продольных и поперечных волн в системе типа Ламе по известному оператору реакции. Скорости восстанавливаются в приграничной (регулярной) зоне; решение обратной задачи является оптимальным по времени: глубина восстановления пропорциональна времени наблюдения. Задача представляет теоретический интерес и имеет приложения в теории упругости и геофизике.

Цель работы. Пусть П С К3 есть ограниченная область с гладкой1 границей Г. В П заданы гладкие положительные функции ^ и к := А + 2^ (А и ^ — коэффициенты Ламе). Фиксируем Т Е (0, ж) и рассмотрим начально-краевую задачу:

Соответствующую динамическую систему назовём системой типа Ламе и обозначим символом аТ. К3-значная функция / = f (т Е Е [0, Т]) называется граничным управлением,. Она описывает смещения точек границы, инициирующие волновой процесс в П. Решение и = и?(х,Ь) (волна) ееть К3-значная функция, описывающая смещения точек среды в П. Для гладких управлений, аннулирующихся вблизи Ь = 0, задача аТ имеет единственное классическое гладкое решение и = и?(х,Ь).

Функции ср = у/к, с3 = ^/Д (с3 < ср) имеют смысл скоростей продольной (быстрой) и поперечной (медленнной) ВОЛН. Скорости определяют две конформно -евклидовых метрики (здесь и ниже а = р,в):

где ¡¿х\ евклидов элемент длины в К3. Через та(х,у) обозначим расстояния в этих метриках, а через

декаду, применительно к поверхностям, функциям, полям и т.д., гладкий означает С~-гладкий

Пи = Ук&у и — го1 цгоЬ и и\г=о = щ\г=о = 0 и = !

в П х (0,Т), в П,

на Г х [0,Т].

(0.0.1)

Па := {х Е П | та(х, Г) <г} , г> 0

— метрические окрестности границы (приграничные слои толщины г). Из соотнотпв-ния скоростей следует тр(х,у) < т3(х,у), П С Пгр для любых х,у Е П (х = у).

Точке х Е П сопоставим множества 7а(х) := Е Г | та(х,^) = та(х, Г)} ближайших точек границы. Как известно, при достаточно малом г > 0 для любо го х Е Пга каждое из множеств 7а(х) состоит из одной точки, а система полугеодезических (лучевых) координат с базой Г регулярна в Пга. Пусть Т^ суть точные верхние грани тех г, при которых такая регулярность имеет место. При граничные слои ПТа мы нэзывэ/-ем регулярными зонами соответствующих метрик. Определим Тщ := тт{Тре&,Т^е£} и общую регулярную зону Пт^ := П^8.

С системой ат связан оператор реакции ЯТ:

RTf := Nuf на Г х [0,T], (0.0.2)

где N — соответствующий системе оператор Неймана. Оператор реакции описывает отклик системы на действие управлений и играет роль данных обратной задачи.

Целью работы является решение динамической обратной задачи для системы типа Ламе. По оператору реакции R , заданному при фиксированном T > 0, и известным функциям на границе оа\Г, ^Ст|р — внешняя единичная нормаль к Г а = p,s) требуется определить скорости волн: cp в областп и cs в области П^ Такая постановка адекватна свойству конечности области влияния данных. Задача решается при дополнительном предположении T < Treg, т.е. в регулярной зоне. Методы исследований. Для решения обратной задачи для системы типа Ламе используются результаты теории управления, геометрии, теории операторов и асимптотических методов в теории распространения волн. Ключевым является ВС-метод (Boundary Control method; М.И. Б 6ЛИТП6В, 1986), основанный на связи обратных задач с теорией граничного управления. Отметим, что обратная задача для системы типа Ламе в оптимальной по времени постановке была впервые решена (Белишев, 2007) с использованием разделения управлений на два класса: управления из первого

ps

Научная новизна. Основные результаты диссертации; которые выносятся им зэлци-ту. являются новыми и состоят в следующем:

1. В динамической системе типа Ламе проведен анализ структуры достижимых множеств и установлено, что в областях специального вида (шапочках) на концах р-лучей локализуются только потенциальные поля, а на концах s-лучей — только соленоди-дальные поля.

2. На основе ВС-метода разработана схема оптимального по времени нахождения ско-ростеи быстрых и медленных волн в системе типа Ламе по динамическим граничным дан н ы м (оператору реакции). Она не использует специального разделения управлений на два класса — управлений, инициирующих только рволны или только s-волны соответственно. В силу этого, как мы полагаем и надеемся, предложенная схема может оказаться применимой в задаче для полной системы Ламе, где такое разделение заведомо невозможно.

3. Предложен новый способ нахождения быстрой скорости в системе типа Ламе по динамическим граничным данным, использующий локализацию волн на концах р- и s-лучей. Процедура решения является адекватной версией ВС-метода, оптимальна по времени и также не использует специального разделения управлений.

Достоверность результатов. Все полученные результаты обоснованы строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Исследования, проведенные в настоящей работе, перспективны для численного решения обратной задачи для системы типа Ламе и могут послужить основой для решения обратной задачи для полной системы Ламе.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре лаборатории динамики упругих сред физического факультета СПбГУ (руководитель Б. М. Каштан), на семинаре по теории дифракции и распространению волн в ПОМП им. В. А. Стеклова РАН (руководитель В.М. Бабич), на семинаре кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ (руководитель Т. А. Суслина) и на двух международных конференциях: "Проблемы Геокосмоса"(С.-Петербург, 20-24 сент., 2010 г.), "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, Академгородок, 8-13 окт., 2013 г.).

Личный вклад автора. Результаты работы, относящиеся к анализу структуры достижимых множеств системы типа Ламе, получены автором совместно с М. И. Белишевым, все остальные — самостоятельно.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации представлены в двух публикациях [17] и [18] в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и в статье [19] в научном журнале, входящим в базу данных РИНЦ:

1. М. И. Белишев, В. Г. Фоменко. О достижимых множествах динамической системы типа Ламе.// Проблемы математического анализа, 2013. Вып. 70, с. 57-70. Перевод: Journal of Mathematical Sciences, V. 191 (2013), No. 2, P. 162-177.

2. В. Г. Фоменко. Динамическая обратная задача для системы типа Ламе (ВС-метод).// Записки научных семинаров ПОМП, 2014, 426, 218-259.

3. В. Г. Фоменко. Оператор реакции системы Ламэ.// Сложные системы и процессы, 2010, 1(17), 13-18;

а также в тезисах докладов [20] и [21] международных конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 86 страниц с 4 рисунками. Список литературы содержит 41 наименование.

В первой главе изложены вводные сведения, касающиеся геометрии и используемых функциональных пространств. В разделе 1.1 определены метрики, регулярные зоны, шапочки и области влияния. В разделе 1.2 введены необходимые пространства функций и векторных полей.

Вторая глава посвящена системе типа Ламе. В разделе 2.1 рассматривается прямая начально-краевая задача для полного уравнения Ламе, определены внутреннее, внешнее пространства и достижимые множества динамической системы Ламе. Обсуждается свойство приближённой граничной управляемости. В разделе 2.2 рассматривается система типа Ламе ат. Вводится оператор реакции RT. Поставлена обратная задача восстановления быстрой и медленной скоростей в соответствующих регулярных

зонах по оператору реакции Я2Т. Описываются акустическая и максвелловская подсистемы аТ и а'Т; обсуждаются их свойства. В разделе 2.3 проведён анализ структуры достижимых множеств системы аТ и доказана теорема 2.3.1 о разделении шапочек.

В третьей главе приведено решение обратной задачи для системы типа Ламе. В разделе 3.1 определяются полугеодезические координаты с базой на границе и выкройка многообразия; вводятся пространства продольных и поперечных полей. Описывается параллельный перенос в быстрой метрике и оператор ПТ, переводящий продольные поля в области в поля на выкройке, нормальные к границе. В разделе 3.2 рассматривается проектирование в пространстве потенциальных полей и вводится ЫТ -преобразование, переводящее соленоид ал ьные поля в продольные. Определяется оператор изображения и устанавливается структура оператора (Ук ¿.1у)(ТТ)* (теорема 3.2.2). В разделе 3.3 рассматривается векторная акустическая подсистема а'Т■ Изучаются разрывы в прямой задаче, двойственная система и её свойства. Вво-

1~>Т —Т

дится оператор реакции 1\,± системы ар и показывается, что он определяется оператором реакции ЯТ системы аТ (формула 3.3.27). Установлена амплитудная формула, связывающая разрывы волн в двойственной системе с изображением на выкройке (лемма 3.3.2). В разделе 3.4 вводится оператор СТ, связывающий скалярные произведения внешнего и внутреннего пространств системы ар . В разделе 3.5 предыдущие рассмотрения подытожены в виде общей схемой решения обратной задачи (теорема 3.5.1).

В четвёртой главе излагается альтернативная схема восстановления быстрой скорости (в регулярной зоне) в системе типа Ламе. Используется локализация волн на концах р- и в-лучей и теорема 2.3.1 о разделении шапочек. Определяется понятие

аТ

щая время пробега быстрых волн от точки границы до точки области. В конце главы приведена схема восстановления быстрой скорости по оператору реакции Я2Т.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Глава 1

Геометрия и пространства функций

1.1 Геометрия

1.1.1 Метрики

Пусть П С R3 есть ограниченная область с гладкой1 границей Г. В П заданы две гладкие функции (скорости) ca = ca(x) (а = p,s), такие, что 0 < cs < cp. Они определяют в П

dsl := , (1.1.1)

c2

ca

где \в,х\ евклидов элемент длины в К . Через та(х,у) обозначим расстояния в этих метриках. Величины Т* := тах та( ■, Г) назовем временами заполнения. Для подмножества А С П определим его метрические окрестности

Па [А] := {х Е П^а (х,А) <г} , г> 0 (1.1.2)

и обозначим через Па := Па [Г] окрестности границы (приграничные СЛОИ толщины г). Из соотношения скоростей следует тр(х,у) < т3(х,у), П[А] С Пр[А] для любых х,у Е П (х = у), А С П и г > 0. Термин "времена заполнения" мотивирован равенствами Т* = Ш {г > 0 | Па = П}.

1напомним, что всюду в работе, применительно к поверхностям, функциям, полям и т.д., гладкий

означает С ^-гладкий

Для А С П определим эквидистантные поверхности

Га[А]:= {х Е П|та(х,А) = г} , г > 0 и обозначим через Га := Га[Г] э к в ид истант ы границы.

1.1.2 Регулярная зона

Точке х Е П сопоставим множества 7а(х) := Е Г 1 та(х,^) = та(х, Г)} ближайших точек границы. Как известно, при достаточно малом г > 0 для любо го х Е Па каждое из множеств уа (х) состоит из одной точки, а система полугеодезических (лучевых) координат с базой Г регулярна в Пга. Пусть ТаГе^ суть точные верхние грани тех г, при которых такая регулярность имеет место. Приграничные слои мы называем

регулярным,и зонами соответствующих метрик.

Определим Тге& := тт{Тре®, Т];щ} и общую регулярную зону П^8 := П^8. Все дальнейшие рассмотрения мы проводим в этой общей регулярной зоне.

1.1.3 Шапочки

Пусть а С Г есть (малое) замкнутое подмножество с гладкой границей. Как пример, укажем "круги" Вга[7] := Е Г \ та(У,^) ^ г} с малым г > 0.

Фиксируем положительное Т < Та и (малое) £ > 0. Шапочками мы называем множества вида

"ТЛа] := (Щ \П— П "ПОИ. (1.1.3)

Для любой из метрик их типичный вид в регулярной зоне (при Т < Тге®) иллюстри-

а

и т.д. Пунктиром указаны "вертикальные" лучи (геодезические метрики (1.1.1)), исходящие из точек а внутрь П по нормали к Г). Сама шапочка затенена.

Шапочки инструмент решения ряда обратных задач: см. [22, 23, 24, 25]. Их

Т

Рис. 1.1: Шапочка

1.1.4 Области влияния

В дальнейшем переменная t ^ 0 играет роль времени. Фиксируем T > 0 и обозначим через

QT :=П х (0,T) С R4 , Ет := Г х [0,T]

пространственно-временной цилиндр и его боковую поверхность. Для точки (xo,to) Е QT = П х [0,T] определим конусы влияния

Kl[(xo,to)] := |(x,t) Е QT \ Та(x,Xo) ^ t — to} .

Для B С QT подобласть

KT[B] := U KT[(xo,to)] (1.1.4)

(xo,to)eB

н аз ы в ается B

Из определения легко следует, что

KT [KT [B]] = KT [B]. (1.1.5)

QT

характеристические поверхности ха(x,t) = const, определяемые известными уравнениями (dXt)2 — ca \Vx\2 = 0 . Выбрав а С Г, обозначим

ST := а х [0, T] .

Из определений видно, что сечение ^ = £ области влияния Кт[Е^] совпадает с £-окрестностью а в П

(х е П | (х,£) е КТЕ]} = ПЩ, 0 < £ ^ Т. (1.1.6)

Определим подмножества

~Та [а] := ЕТ П КаЕ] (1.1.7) боковой поверхности цилиндра. Отметим соотношения

Кта [Нта [а]] = ка[ЕТ] , (1.1.8)

легко следующие из определений и свойства (1.1.5).

На иллюстрации (рисунок 1.2): множеству а соответствует отрезок {7, 8}; части Е'т боковой поверхности Ет соответствует четырехугольник {7, 8, 3, 2}; окрестность П^[а] ограничена контуром {1, 2, 3, 4, 5, 6,1} контур {1, 7, 8, 4, 3, 2,1} ограничивает множество [а] на Ет.

Рис. 1.2: Области влияния

С системой Ламе будет связана пара метрик вида (1.1.1), определяемых скоростями волновых мод ср и с3, причем ср > с3 всюду в П. На рисунке 1.3 (За) показана картина окрестностей в регулярной зоне. Шапочки шТ'£ [а] и ш'т'£[а] затенены. Пара метрик определяет подобласть в п вида

ЛТЛа] := (х е П | (х,Т) е КТ[НТ[а]]} Э ПТ[а] (1.1.9)

(на рисунке 1.3 (За) ограничена контуром {1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9,10,1}). Её часть [а] в динамике соответствует зоне, в которой присутствуют так называемые боковые волны (указана штриховкой). При достаточно малом е эта часть отделена от шапочки ш'т'е[а] положительным расстоянием.

Рисунок 1.3 (ЗЬ) иллюстрирует геометрию областей влияния для пары метрик. Области [а] и [а] ограничены контурами {1, 7, 8, 6, 5,4, 3, 2,1} и {2, 7, 8, 5, 4, 3, 2} соответственно.

1.2 Функции и поля

Рассматриваются следующие множества вещественных числовых и векторных (к. -значных ) фуиций. Последние называем полями. Пространство Н. Основную роль играет пространство полей

Н := ЫП; К3)

со скалярным произведением

(у,ь)н := ^ у(х) • ь(х) ¿х ; п

где " •" — стандартное скалярное произведение в К3. Для измеримого А С П определим подпространство

Н[А] := {у еН | вирру С А} .

Через Н:(П) обозначим соболевское иространство Ж21(П) с нормой

1/2

1Н|я1(п) := II (и2(х) + |Ум(х)|2) йх

V-2'

\П

d3

Вектор a Е R3 в точке границы раскладывается в сумму

a = av + a$ = av v + a$, (1.2.1)

где v — евклидова внешняя единичная нормаль к Г av = a ■ v\ av суть нормальная и касательная компоненты. Этому разложению мы сопоставляем запись

a = Г 1 . (1.2.2)

\ae J

В пространстве H выделим подпространства:

1. соленоидалъных полей

J := {у ЕН\ div у = 0вП,уи = ^аГ} (1.2.3)

(операция div понимается в смысле распределений); множество гладких полей J П C™ (П; R3) плотно в J;

2. потенциальных полей

д := {к ЕН\ к = Ч'ф, Ф Е Н *(П)}; (1.2.4)

множество гладких полей д П С^ (П; К3) плотно в д.

Подпространства Л и д, состоящие го полей, локализованных в А, обозначаем, соответственно, Л [А] и д [А].

Справедливо равенство (разложение Вейля):

н = л®д

(см., например, [26, 27, 28]).

Пространство Т?. Определим пространство Т? := Ь2(ТТ; К3) со скалярным произведением

(¡,9)тт := У /(1,1) ■ 9(1,1) &Г ¿Ь, где ¿Г - евклидов элемент площади на Г. Класс гладких полей Мт := {/ Е С^(ТТ; К3) \ 8ирр / С Г х (0,Т]}

плотен в ТТ. Отметим, что поля из Мт аннулируются вблизи Ь = 0. Подмножеству В С ТТ сопоставим подпространство

ТТ[В] := {/ ЕТТ \ 8прр / С В} ,

содержащее плотное множество гладких полей Мт[В] := Мт П Тт[В]. Введём скалярное и векторное пространства

Т? := Ь2(ТТ), Т? := {/ Е ТТ \ (и ■ /)\г = 0} .

Их подпространства Т?[В] (а = р, з) состоят го элементов с носителями в В; обозначим

МТа [В]:= МТ ПТТ[В] (1.2.5)

суть гладкие функции и поля, аннулирующиеся вблизи Ь = 0. В соответствии с (1.2.2), запишем:

Т Т = 1ТрТ

Глава 2

Система типа Ламе

2Л Система Ламе

2.1.1 Начально-краевая задача

Пусть П С R3 - ограниченная область с гладкой границей Г. Уравнение Ламе описыва-

П

в декартовых координатах оно имеет вид (i = 1, 2, 3):

л дЛ ^^ д/ f dui Ouk\

p(ui)tt = (л +I) dxdlvu + /Aui + dxdlvu + kL dxk [dxk + dxj ; (2-L1)

с гладкими коэффициентами p(x) > 0 l(x) > 0 3Л^) + 2/(x) > 0 в П. Решение u = (ui,u2,u3) Е R3 является функцией (x,t); x = (xi,x2,x3) Е П, t — время.

Как показано в [19], в инвариантной (бескоординатной) форме уравнение Ламе может быть записано в виде

putt = Lu ; (2.1.2)

L := V^ + 2/)div — rot / rot + 2([V/ х rot] + [V/ х rot]* + H^ — q) (2.1.3)

где оператор [...]* — сопряженный по Лагранжу, H^ — оператор умножения на матрицу-функцию вторых производных (H^)ik = dd.QXk, q — оператор умножения на функцию q = А/.

Фиксируем T Е (0, то) и рассмотрим начально-краевую задачу

putt = Lu в QT (2.1.4)

u\t=o = ut|t=0 = 0 вП (2.1.5)

u = f на ET. (2.1.6)

R3-3Ha4Hafl Функция f = f (7, t) называется граничным управлением, (Дирихле). Она описывает смещения точек границы, инициирующие волновой процесс в П. Решение u = uf (x,t) (волна) есть К3-значная функция, описывающая смещения точек среды в П. Для управлений класса MT задача (2.1.4)—(2.1.6) имеет единственное классическое гладкое решение uf.

Отображение f м ^непрерывно из FT в L2 ((0, T); L2(n; R3)) [15]. Следовательно, оно расширяется с M.1 на управления из F1 по непрерывности. Под (обощенным)

решением задачи (2.1.4)—(2.1.6) для управлений этого класса мы подразумеваем образ f

2.1.2 Конечность области влияния

Функции

(х

Cp := ( — , . . ,

Р J VP

Ср —) , С* :=1 Р

(ср > с*) имеют смысл скоростей продольной (быстрой) и поперечной (медленн-ной) мод соответственно.

Скорости определяют две конформно-евклидовых метрики йт2 := \dc\_ (а = р,3) в п_ Каждая из них задает свои расстояния, окрестности,

са

геодезические, области влияния и т.д.

Уравнение Ламе является гиперболическим и имеет два семейства характеристик Ха(х,Ь) = еопв! в ОТ, определяемых уравнениями (^Х^)2 _ с2а |2 = 0 . По гиперболичности задачи (2.1.4)—(2.1.6) имеем известное соотношение

вирр и С КТ [вирр /] , (2.1.7)

о котором и говорят как о принципе конечности области влияния. Оно показывает, что волны в системе Ламе распространяются со скоростью, не превышающей скорости быстрой моды ср.

Пусть а С Г и пусть / Е ТТ[Е^], т.е. управление / действует с а. С учётом (1.1.6) из соотношения (2.1.7) следует

вирр П (■ ,Ь) С Пр [а], 0 . (2.1.8)

2.1.3 Динамическая система Ламе

Здесь и далее мы рассматриваем задачу (2.1.4)—(2.1.6) как динамическую систему обозначаемую через аТ, и снабжаем её атрибутами теории управления — пространствами и операторами.

Пространство управлений а

Решение П интерпретируется как траектория системы, а п^ (■ ,Ь) — её состояние в момент времени ¿. Пространство Н := Ь2,Р(П; К3) со скалярным произведением1 (п,у)н = /п п(х) ■ ь(х) р(х)&х называется внутренней. По свойству ^-регулярности решений (см. конец раздела 2.1.1) все волны П (■ ,Ь) суть его элементы.

Согласно (2.1.8), соотношение / Е ТТ[Е?] влечёт П(■ ,Ь) Е Н[Пр[а]] при всех 0 < Ь ^ Т, т.е. вся траектория П системы аТ те покидает подпространства Н[П?[а]].

2.1.4 Управляемость

В системе аТ множество состояний (волн)

и[ЕТ] := {П(■ ,Т) \ / ЕМТ[ЕТ]}

называется достижимым (с части границы а за время Ь = Т). Согласно (2.1.8) имеем вложение

и [ЕТ ] С Н[П? [а]], а С Г, Т> 0 . (2.1.9)

1Мы используем тот же символ Н, что и в разделе 1.2, чтобы не перегружать обозначения. В дальнейшем, в системе типа Ламе будет р = 1. Обозначение НА] имеет прежний смысл: см. раздел 1.2

Свойства достижимых множеств и характер вложений типа (2.1.9) суть центральные вопросы теории граничного управления. Приведём результат такого рода, установленный в [15] с использованием фундаментальной теоремы о единственности продолжения решения уравнения Ламе через нехарактеристическую поверхность [12].

Пусть Хптесть (ортогональный) проектор в Н на Н[ПТ[а]]. Его действие сводится к срезке векторных полей на подобласть ПТ[а]:

{у в ПТ[а] ,

. (2.1.10)

0 в П\ПТ[а]

Справедливо соотношение

ХптМ иЕ] = Н[П* [а]] , а С Г, Т > 0 (2.1.11)

Н

Из (2.1.11) следует, что любое векторное поле у е Ь2 р (ПТ[а]; К3), локализованное в подобласти, захваченной медленной модой, может быть аппроксимировано (с любой точностью) волной и?(• ,Т) при надлежащем выборе управления / е МТ[Е^]. В теории управления это свойство трактуется как приближенная локальная граничная управляемость системы аТ.

К финальному моменту Ь = Т волны, инициированные управлениями / е ТТ[ЕТ], заполняют "быструю" область ПТ[а], содержащую "медленную" подобласть ПТ[а]. Соотношение (2.1.11), грубо говоря, означает, что форма волны и?(• ,Т) в ПТ[а] может быть любой. В то же время, это заведомо не так в подобласти ПТ[а]\ПТ[а]. Какое-либо эффективное описание частей и?(• ,Т) в ПТ[а]\ПТ[а] до сих пор не найдено. Именно это обстоятельство приводит к трудностям в обратной задаче (см. [22]) и вынуждает нас перейти к упрощенной модели системы (2.1.4)—(2.1.6) — системе типа Лам,е. В этой модели требуемое описание будет получено и использовано.

2.2 Система типа Ламе

2.2.1 Система aT

Удерживая в (2.1.4)—(2.1.3) старшие (по порядку дифференцирования) члены и полагая р =1, приходим к системе типа Ламе

utt = Vxdiv u — rot ¡rot u в QT (2.2.1)

u\t=o = ut\t=o = 0 bQ (2.2.2)

и = f на ET, (2.2.3)

к := A + 2^. Ее обозначим прежним символом aT. Как нетрудно показать, свойства регулярности решений у задачи (2.2.1) (2.2.3) те же, что и в (2.1.4)—(2.1.6). Кроме того, аналогично (2.1.7) имеем

supp uf С KT[supp f]. (2.2.4)

Все атрибуты динамической системы, — внешнее и внутреннее пространства, их подпространства и прочее, — у систем Ламе и типа Ламе одни и те же. Отметим лишь, что теперь внутреннее пространство есть H = L2 (Q; R3). Характер управляемости систем одинаков: соотношение (2.1.11) остаётся в силе.

2.2.2 Оператор реакции

Обозначим через Hk (Q) векторные соболевские классы с нормой

1/2

а„.| |2

\Ы\ы*(п) := I £ \\D au\\H

Ha полях класса H2(Q) введем оператор

L := Vxdiv — rot ¡rot

а ,

д1 -и, 3

2Dan := dal——д^з—' D°u := U \®\ := J2i= i ai (аг — целые неотрицательные числа)

определяющий эволюцию системы Интегрированием по частям для гладких и и V устанавливается равенство (формула Грина)

(Lu, v)H — (u, Lv),

>H V") ^ )H ~

г

dr

к div u \ ( vv \ ( uv \ ( к div v ц rot u x vl \ve I UJ \ ц rot v x vt

= (Nu, ЩЫг-R3) — (Du,Nv)L2(г.R3);

мы воспользовались соглашением о записи (1.2.1)—(1.2.2) и обозначили

(uv\ I к div u \

I , Nu := I I на Г. (2.2.5)

uJ \ ц rot u x v I

Соответствие "вход - выход" в динамической системе aT описывается оператором реакции RT: FT ^ F^^m RT = MT :

RTf := Nuf на ET, (2.2.6)

где N - оператор (Неймана), определяемый второй формулой в (2.2.5). Действие RT

(f v \

f=

W

записи (1.2.1)—(1.2.2), можно представить в виде [16] 3:

T (к div uf \ T /

RTf := I I на ET. (2.2.7)

\ ц rot uf x v I

В [16] установлено, что

KerRT = 0, RanRT = MT . (2.2.8)

Оператор реакции адекватен информации, которой располагает внешний наблюдатель, проводящий измерения на границе и изучающий систему по её отклику на воздействие управлений.

2.2.3 Постановка обратной задачи

Здля полной системы Ламе вид оператора реакции в подобной записи установлен в [19]

Постановка динамической обратной задачи такова. По оператору реакции Я2Т, заданному при фиксированном Т > 0 требуется определить скорости волн: ср в области ПТ и с8 в области П.

Тот факт, что в постановке используется К2Т (а не ЯТ), адекватен свойству конечности области влияния данных [16, 30, 31]. С физической точки зрения, удвоение времени наблюдения имеет ту же причину, что и в эхолокации. Волна, инициированная в момент Ь = 0 на границе и зондирующая среду, продвигается вглубь П с конечной

ТТ отраженные волны, возвращающиеся (с той же скоростью) к границе и несущие информацию о среде. Волны, отраженные от неоднородностеи, наиболее удаленных от границы, успеют вернуться к ней не раньше, чем через 2Т единиц времени. Поэтому, для получения информации о всем слое, временной интервал наблюдений на границе, в течение которого регистрируются отраженные волны, должен быть не меньше, чем [0, 2Т].

Задача будет решена при дополнительном предположении Т < Тге®, т.е. в регулярной зоне.

2.2.4 Подсистема а

т

В системе типа Ламе, в отличие от общего случая, естественным образом выделяются две подсистемы — акустическая и максвелловская. Рассмотрим скалярную начально-краевую задачу

Фи = ср аф ф\г=0 = фг\г=0 = 0

ф = д

в ЯТ в П на ЕТ

(2.2.9) (2.2.10) (2.2.11)

где ср := \[к. При управлениях класса Мр (1.2.5) она имеет единственное классическое гладкое решение ф = ф9(х,Ь). Соответствие д м ф9заданное на М'Т, непрерывно из Ь2(ЕТ) в С ([0,Т]; ¿2(П)), что позволяет определить (обобщённое) решение

для д £ = Ь2(Т.Т) и установить его существование и единственность [30]

Соответствующую динамическую систему назовем акустической и обозначим ар. Её внешнее и внутреннее пространства суть Тр и Нр := Ь2(П).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фоменко Владимир Геннадиевич, 2016 год

Литература

[1] М. М. Лаврентьев, В. Г. Васильев, В. Г. Романов. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосиб.: Наука, 1969.

[2] А. С. Алексеев. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. Изв. АН СССР: сер. Геофиз., 11 (1962), 1514-1531.

[3] А. С. Благовещенский. Об обратной задаче теории распространения сейсмических ВОЛН. Проблемы мат. физики. Л.: ЛГУ, 1 (1966), 68—81.

[4] В. Г. Романов. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосиб.: Наука, 1972.

[5] В. Г. Романов. Обратные 3 ад ач и дл я дифференциальных уравнений. Новосиб.: НГУ, 1973.

[6] В. Г. Романов. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

[7] В. Г. Яхно. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосиб.: Наука, 1990.

[8] А. С. Алексеев (ред.) Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосиб.: Наука, 1984.

[9] С. И. Кабанихин. Обратные и некорректные задачи. Новосиб.: Сиб. научн. изд-во, 2009.

[10] С. И. Кабанихин. Проекционный метод решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосиб.: Наука, 1984, 55-59.

[11] М. Ikehata, G. Nakamura, М. Yamamoto. Uniqueness in inverse problems for the isotropic Lame system. J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 5 (1998), (¡27 (¡92.

[12] M. Eller, V. Isakov, G. Nakamura, D. Tataru. Uniqueness and stability in the Cauchy problem for Maxwell's and elasticity systems. Nonlinear PDE and Applications, Eds. D.Cioranescu, J-L. Lions, College de France Seminar, 14, 329-349. Studies in Mathematics and its applications, 31, North-Holland, Elsevier Science, 2002.

[13] V. Isakov, J.-N. Wang, M. Yamamoto. An inverse problems for a dynamical Lame system with residual stress. SI AM J. Math. Anal., 39 (2007), 1328-1343.

[14] L. Eachele. An inverse problem in elastodynamics: uniqueness of the wave speeds in the interior. J. Differential Equations, 162 (2000), No. 2, 300 325.

[15] M. I. Belishev, I. Lasiecka. The dynamical Lame system: regularity of solutions, boundary controllability and boundary data continuation. J. ESAIM: Control, Optimisation and Calculues of Variations, 8 (2002), 143-167.

[16] M. I. Belishev. Dynamical inverse problem for a Lame type system. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 14 (2006), No 8, 751-766.

[17] M. И. Белишев, В. Г. Фоменко. О достижимых множествах динамической системы типа Ламе. Проблемы математического анализа, 70 (2013), 57-70.

Перевод: Journal of Mathematical Sciences, 191 (2013), No. 2, 162-177.

[18] В. Г. Фоменко. Динамическая обратная задача для системы типа Ламе (ВС-метод). Записки научных семинаров ПОМП, 426 (2014), 218-259.

[19] В. Г. Фоменко. Оператор реакции системы Ламэ. Складт систем,и i процеси, 1(17) (2010), 13-18.

[20] В. Г. Фоменко. ВС-method for Lame system. Book of abstracts of the 8th international conference "Problems of Geocosmos", S.-Petersburg, 2010, 166-167.

[21] В. Г. Фоменко. Динамическая обратная задача для системы типа Ламе. Сборник тезисов V-й международной молодёжной научной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" , Новосибирск, Академгородок, 2013, с. 98.

[22] М. I. Belishev. Recent progress in the boundary control method. Inverse Problems, 23 (2007), No 5, 1 67.

[23] M. II. Б елитттев. О реконструкции риманова многообразия по граничным данным: теория и план численного эксперимента. Записки научных семинаров ПОМП. 380 (2010), 8-30.

Перевод: Journal of Mathematical Sciences, 175 (2011), No. 6, 623-636.

[24] M. II. Б елитттев. Определение расстояний до виртуального источника по динамическим граничным данным. Записки научных семинаров ПОМП. 393 (2011), 29-45.

Перевод: Journal of Mathematical Sciences, 185 (2012), No 4, 526-535.

[25] M.I. Belishev, M.N. Demchenko. Time-optimal reconstruction of Riemannian manifold via boundary electromagnetic measurements. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 19 (2011), No. 2, 167-188.

[26] Э. Б. Быховский, H. В. Смирнов. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа. Труды Мат. ин-та АН СССР, 59 (1960), 5-36.

[27] О. А. Ладыженская. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

[28] О. А. Ладыженская, В. А. Солонннков. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задачи магнитогидродинамики. Записки Научных Семинаров ЛОМИ, 38 (1973), 46-93.

Перевод: J. Soviet Math., 8 (1977), 384-422.

[29] M. I. Belishev. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the ВС method). Inverse Problems, 13 (1997), No 5, 1-45.

[30] M. II. Б 6литп6в, А. С. Благовещенский. Динамические обратные задачи теории волн. СПб.: СПбГУ, 1999.

[31] M. II. Б 6литп6в, А. К. Гласман. Динамическая обратная задача для системы Максвелла: восстановление скорости в регулярной зоне (ВС-метод). Алгебра и анализ, 12:2 (2000), 131-187.

[32] М. Eller. Symmetric hyperbolic systems with boundary conditions that do not satisfy the Kreiss^Sakamoto condition. Applicationes Mathematicae, 35 (2008), 323-333.

[33] M. II. Б 6литп6в. Об унитарном преобразовании в пространстве связанном с разложением Вейля. Записки Научных Семинаров ПОМП. 275 (2001), 25-40.

[34] М. И. Белишев, А. К. Гласман. К проектированию в пространстве соленоидаль-ных векторных полей.

Записки Научных Семинаров ПОМП. 257 (1999), 16-43.

[35] J. Sylvester, G. Uhlmann. Inverse boundary value problems at the boundary -continuous dependence. Communications on Pure and Applied Mathematics, 41 (1988) 197-219.

[36] J. Lee, G. Uhlmann. Determining anisotropic realanalytic conductivities by boundary measurements. Communications on Pure and Applied Mathematics, 42 (1989), 10971112.

[37] B.M. Бабич, B.C. Б

улды рев. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

[38] Б. Р. Вайнберг. Асимптотические методы в уравнениях матемаической физики. М.: МГУ, 1982.

[39] М. И. Б 6лит116в, А. П. Качалов. Операторный интеграл в многомерной спектральной обратной задаче. Записки Научных Семина,ров ПОМП. 215 (1994), 9-37.

[40] М. Н. Демченко. Динамическая трёхмерная обратная задача для системы Макс-в6л л дь. Алгебра и анализ, 23:6 (2011), 32 79.

[41] М. Ш. Бирман, М.З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: ЛГУ, 1980.