Динамическая эволюция неиерархических кратных звезд тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Рубинов, Алексей Вадимович

• Рубинов, Алексей Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рубинов, Алексей Вадимович

Введение.

1 Численное моделирование динамической эволюции неиерархических кратных звезд

1.1 Метод цепочной регуляризации.

1.2 Стабилизация тесных двойных систем.

1.3 Уходы звезд из системы и слияния.

1.4 Динамика неиерархических кратных систем с учетом звездного ветра, динамического трения звезд о межзвездную среду, а также внешних гравитационных полей

1.5 Динамика неиерархических кратных звездных систем с учетом приливного взаимодействия между компонентами.

1.6 Задание начальных условий.:'-.

2 Результаты моделирования

2.1 Распределение по состояниям

2.2 Характеристики формирующихся двойных систем.

2.3 Характеристики формирующихся устойчивых тройных систем.

2.4 Характеристики уходящих звезд.

2.5 Зависимость динамической эволюции от начального вириального коэффициента, наличия выделенного направления вращения и формы системы.

2.5.1 Распределение по состояниям.

2.5.2 Параметры двойных систем.

2.5.3 Параметры тройных систем.

2.5.4 Уходящие одиночные и двойные звезды

2.6 Влияние начального размера системы на ее динамическую эволюцию

2.7 Влияние продолжительности интегрирования на результаты динамической эволюции неиерархических кратных звезд.

2.8 О возможности формирования устойчивых четверных систем в результате динамической эволюции неиерархических кратных звезд.

3 Влияние дополнительных эффектов на динамику молодых кратных звезд

3.1 Динамическая эволюция неиерархических кратных звезд с учетом динамического трения и звездного ветра.

3.2 Влияние внешних гравитационных полей на динамическую эволюцию неиерархических кратных систем.

3.3 Влияние приливного взаимодействия компонентов на динамику неиерархических кратных звезд.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая эволюция неиерархических кратных звезд»

Исследование формирования и эволюции звездных систем является одной из важнейших проблем современной астрономии. В окрестности Солнца наблюдаются одиночные звезды, двойные, тройные системы, а также системы большей кратности. Как образовались такие системы, и почему звезды образуют группы с разным количеством объектов?

Известно, что звезды образуются в результате фрагментации ядер родительских облаков. Наблюдения областей звездообразования и молодых звезд типа Т Таип позволяют сделать вывод, что, по-видимому, большая часть звезд образуется в составе малых групп (см. например, работу [48] и ссылки в ней). Численные эксперименты показывают, что изотермический коллапс ядер молекулярных облаков может приводить к образованию двух и более фрагментов ([19], [41], [64]). К сожалению, численные эксперименты по фрагментации с высоким разрешением требуют очень больших затрат компьютерного времени. По этой причине в большинстве работ моделирование завершается в тот момент, когда образуются плотные конденсации, масса которых составляет несколько процентов массы ядра облака. Только немногие численные эксперименты с высоким разрешением проводились до состояния, когда в результате аккреции почти вся масса ядра сосредоточена в фрагментах ([22], [41]). Авторы показывают, что орбитальные параметры формирующихся в результате фрагментации неиерархических кратных систем непредсказуемы в силу очень сложного поведения фрагментов на стадии аккреции. Кроме того, число параметров, характеризующих начальное состояние ядра облака, довольно велико. Поэтому на сегодняшний день невозможно получить исчерпывающую информацию о кратных системах, формирующихся в результате фрагментации. Не установлена связь между глобальными характеристиками облака и глобальными характеристиками формирующихся в нем групп звезд. Тем не менее, численные эксперименты свидетельствуют, что характерные размеры таких систем составляют порядка 100 а.е. Диапазон значений числа звезд N в системах, а также их орбитальных параметров довольно широк. После окончания стадии аккреции молодые звездные системы будут распадаться. В результате этого процесса могут образовываться двойные и устойчивые кратные системы.

Приведенная гипотеза образования двойных и тройных звезд, а также систем большей кратности, не является единственной. Возможно образование таких систем в результате уходов из скоплений. Также фрагментация облака может непосредственно приводить к образованию двойной или устойчивой кратной системы.

Исследование динамической эволюции неиерархических кратных звездных систем представляет интерес также с точки зрения изучения эволюции рассеянных звездных скоплений. Результаты численного моделирования процесса образования рассеянных звездных скоплений [21] позволяют предположить, что одним из возможных сценариев их образования является иерархическая фрагментация молекулярного облака. В этом случае протозвезды распределены в облаке неоднородно. Они образуют группы небольшой кратности, содержащие от нескольких до нескольких десятков звезд. В дальнейшем группы сливаются друг с другом, и за время порядка 105 лет образуется единое скопление. Локальная плотность звезд р10С (в пределах объема, в котором содержатся 10 ближайших звезд для выделенной звезды) на стадии образования групп звезд согласно оценкам [21] в среднем составляет ~ 105 пк-3, а ее максимальные значения ~ 107 - 108 пк-3. Это соответствует размерам групп ~ 102 - 104 а.е. Численное моделирование динамической эволюции неиерархических кратных систем показывает, что характерное время их полураспада меньше (в случае тесных групп) или сравнимо (в случае широких групп) с временем образования единого скопления за счет слияний групп. Эти оценки позволяют предположить, что будут происходить слияния как непроэволюционировавших групп, так и групп, динамическая эволюция которых близка к завершению. Таким образом, результаты исследований динамики групп звезд малой кратности имеют приложение при изучении процесса образования рассеянных звездных скоплений.

Гипотеза о формировании наблюдаемых широких двойных и кратных звезд в результате распада систем малой кратности была выдвинута в конце 60-х годов в работе [11]. Согласно этой гипотезе характерные размеры таких систем должны составлять 100 - 1000 а.е., а их формирование происходит в результате фрагментации молекулярных облаков. Автор [И] провел ряд численных экспериментов, показавших возможность образования наблюдаемых звезд в результате распада систем малой кратности. Вычисления для того времени были слишком трудоемкими, и количество рассмотренных вариантов оказалось недостаточным для детального исследования динамической эволюции систем малой кратности.

В 60-е - 70-е годы многие авторы при помощи численного моделирования довольно подробно исследовали динамическую эволюцию тройных систем (см., например, [1], [3], [53], [60]). Распад систем большей кратности рассматривался значительно реже и для меньшего числа вариантов начальных условий ([И], [34], [35]). Тем не менее основные закономерности динамики систем небольшой кратности были установлены:

• Характерные времена жизни систем, за которые первоначальные системы распадутся до устойчивых конфигураций, составляют несколько десятков начальных времен пересечения.

• Сближения между звездами перераспределяют энергию системы таким образом, что некоторые звезды (как правило, самые легкие) могут уходить из системы.

• Динамическая эволюция завершается, как правило, формированием двойной системы, состоящей в большинстве случаев из двух наиболее массивных звезд первоначальной системы («dynamical biasing»).

• Тесные двойные системы образуются редко.

• Устойчивость систем высокой кратности достигается за счет сильной иерархии.

Развитие вычислительной техники и методов интегрирования привело к тому, что в начале 90-х годов появилось много работ, посвященных детальному исследованию задачи трех тел (см. например, [13], [14], [30]). Однако, только некоторые авторы останавливались на изучении распада систем, число звезд в которых больше трех. В работе [55] были исследованы распределения по финальным состояниям, а также характеристики двойных звезд, формирующихся при распаде неиерархических кратных систем, состоящих из N — 3,4,5 компонентов для нескольких начальных спектров масс. Можно выделить несколько работ, посвященных изучению характеристик одиночных звезд, выбрасываемых из системы в процессе ее эволюции ([40], [54]). В них авторы рассматривают довольно широкий диапазон начальных условий неиерархических кратных систем.

В работе [58] углы взаимного наклона между орбитами внутренних и внешних двойных, отношения их периодов и отношения масс компонентов в устойчивых тройных системах, полученных в результате динамической эволюции малых групп для широкого диапазона начальных параметров, сравниваются с аналогичными данными для наблюдаемых устойчивых тройных систем. Следует также отметить работу [56], в которой авторы исследуют характеристики двойных коричневых карликов, образующихся при распаде неиерархических кратных систем (JV = 3 — 10) и сравнивают их с данными наблюдений.

В работах [26], [27] исследована динамическая эволюция неиерархических прото-звездных систем на ранних этапах стадии аккреции. В этом случае основная масса облака сосредоточена не в звездах, а в газовой составляющей. Наличие газовой составляющей приводит к аккреции газа на протозвезды и динамическому трению про-тозвезд о межзвездную среду. Прослеживание эволюции облака вплоть до окончания стадии аккреции требует больших вычислительных затрат, поэтому количество рассмотренных вариантов начальных условий невелико. Несмотря на это, в указанной работе проведен статистический анализ распределения по финальным состояниям, а также параметров формирующихся одиночных, двойных, тройных и четверных звезд.

Следует отметить работы, посвященные моделированию динамической эволюции молодых звездных скоплений, включающих в себя большое число звезд N > 100 (например, [42], [43]). Однако результаты этих работ неприменимы к исследованию динамики неиерархических систем малой кратности, поскольку число звезд в них намного меньше, чем в скоплениях.

Таким образом, детальное изучение динамической эволюции неиерархических кратных звездных систем, в которых 5 < N < 20, является актуальной задачей современной звездной динамики.

Определяющую роль в процессе динамической эволюции молодых звездных систем играет гравитационное взаимодействие компонентов. Однако, помимо гравитации, на динамику молодых кратных звезд могут оказывать влияние и другие эффекты. Молодые звездные системы погружены в довольно плотные газовые облака, поэтому их динамическая эволюция может быть подвержена влиянию динамического трения звезд о газовую среду. Кроме того, молодые звезды могут довольно интенсивно терять массу за счет звездного ветра. В литературе встречаются работы, посвященные моделированию динамики тройных систем с учетом этих факторов (см., например, [51]). При моделировании систем, состоящих из большего числа звезд такие эффекты, как правило, не учитываются. При моделировании динамической эволюции звездных систем необходимо также учитывать возможные слияния звезд. Методика учета звездного ветра и столкновений звезд предложена в работе [62], однако для исследования неиерархических кратных звезд она не была применена. При численном интегрировании газодинамических уравнений в работах [26], [27] учитывалось влияние динамического трения и аккреции на динамику групп звезд, однако, трудоемкость таких вычислений приводит к малому числу рассмотренных вариантов начальных условий. Также не до конца понятно, как изменятся характеристики образующихся устойчивых конфигураций под влиянием аккреции и динамического трения о межзвездную среду по сравнению с чисто гравитационной задачей.

На динамическую эволюцию неиерархических кратных звезд также оказывают влияние внешние гравитационные поля (регулярное поле Галактики, поле соседней кратной системы), компоненты кратной системы при тесных сближениях также подвергаются приливной деформации. Интересно исследовать зависимость динамической эволюции неиерархических кратных систем от перечисленных выше факторов.

Важной задачей является сравнение орбитальных параметров продуктов распада неиерархических кратных звезд с характеристиками наблюдаемых широких двойных, тройных и кратных звезд, а также модельной функции кратности звезд с наблюдаемой. Первые сравнения такого рода делались в работах [11], [34] и [35]. Малое число рассмотренных вариантов начальных условий и наблюдательных данных позволило сделать только качественный вывод о возможности образования широких двойных и кратных систем путем динамической эволюции неиерархических кратных звезд. По этим же причинам функция кратности звезд и орбитальные параметры продуктов динамической эволюции были оценены довольно грубо. В работах [55], [58] проведено более детальное сравнение характеристик двойных и тройных систем, формирующихся в ходе моделирования, с параметрами наблюдаемых двойных и тройных звезд. Актуальной задачей является сравнение результатов моделирования с учетом ряда дополнительных факторов (слияний звезд, звездного ветра, динамического трения, внешних гравитационных полей и приливного взаимодействия) с наблюдательными данными. Также важной задачей является сопоставление полученных результатов с работами других авторов по численному моделированию динамической эволюции кратных звезд.

Цели работы.

• Получение регуляризованных уравнений движения задачи N тел с учетом внешнего регулярного поля Галактики, звездного ветра, динамического трения звезд о межзвездную среду, приливного взаимодействия компонентов.

• Разработка программ, реализующих численное решение уравнений движения задачи N тел с учетом дополнительных факторов, описанных выше.

• Исследование распределений по состояниям на момент окончания интегрирования и характеристик продуктов динамической эволюции неиерархических кратных звездных систем.

• Изучение влияния вариации глобальных параметров неиерархической системы на результаты ее динамической эволюции.

• Исследование влияния внешних гравитационных полей соседней неиерархической системы и Галактики, слияний звезд, звездного ветра, динамического трения и приливного взаимодействия компонентов системы на характеристики продуктов динамической эволюции.

• Сравнение полученных результатов с результатами исследований, выполненных с использованием численного интегрирования газодинамических уравнений.

• Сравнение характеристик одиночных, двойных и кратных звезд с наблюдательными данными по широким двойным и тройным, а также одиночным звездам типа Т Таи.

Научная новизна.

• Получены регуляризованные уравнения движения задачи N тел с учетом приливного взаимодействия между компонентами в рамках модели слабого трения. В случае кратных сближений учитывается приливное взаимодействие всех сближающихся компонентов.

• Написана программа, моделирующая динамическую эволюцию неиерархических кратных звезд с учетом ряда дополнительных факторов: слияний звезд, динамического трения о межзвездную среду, потери массы звездами в виде звездного ветра, внешних гравитационных полей, приливного взаимодействия между звездами.

• Проведено детальное исследование динамической эволюции неиерархических кратных звезд на основе однородного статистического материала. Исследовано влияние слияний, потери массы звездами за счет звездного ветра, динамического трения, внешних гравитационных полей и приливного взаимодействия между компонентами системы на ее динамическую эволюцию.

• Получены оценки вероятности образования и орбитальных параметров четверных систем. Оценена доля четверных систем, устойчивых к приливным ударам со стороны ГМО.

• Исследованы распределение по состояниям и орбитальные параметры образующихся систем в зависимости от продолжительности интегрирования.

• Произведено сравнение полученных результатов с результатами моделирования, основанного на численном интегрировании газодинамических уравнений. Сделан вывод о том, что результаты в целом согласуются.

Научная и практическая ценность.

Разработан комплекс программ, который можно эффективно использовать для численного моделирования динамической эволюции звездных систем с числом компонентов 3 ^ N ^ 20. При этом имеется возможность проводить численное моделирование в рамках чисто гравитационной задачи, с учетом слияний звезд, потери массы в виде звездного ветра, динамического трения, приливного взаимодействия между компонентами, а также влияния внешних гравитационных полей. Разработан пакет программ обработки результатов численного моделирования.

Подтверждена возможность образования широких двойных, тройных и четверных систем, а также звезд - «бегунов» в результате динамического распада неиерархических систем малой кратности. Определены границы применимости гипотезы о происхождении двойных и кратных звезд в результате динамического распада неиерархических систем в пространстве орбитальных параметров.

Выделены дополнительные факторы, наиболее существенно влияющие на динамическую эволюцию неиерархических кратных звезд: это слияния звезд и гравитационные поля близких групп звезд. Регулярное поле Галактики на динамику систем с характерным средним размером R ^ 1000 а.е., расположенных в плоскости Галактики на расстоянии около 8 кпк от ее центра, практически не влияет. Динамическое трение и потерю массы звездами в виде звездного ветра следует учитывать только в случае очень больших значений плотности межзвездной среды и темпа потери массы. Приливное взаимодействие влияет на результат динамической эволюции только в тесных системах.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• Семинары СПбГУ по небесной механике и звездной динамике.

• «Stellar Dynamics: from classic to modern», международная конференция, Санкт-Петербург, 21-27 августа 2000 г.

• «Физика космоса». 30-я международная студенческая научная конференция, Екатеринбург, 29 января - 2 февраля 2001 г.

• «XIII National Conference of Yugoslav Astronomers», международная конференция, Белград, 17-20 октября 2002 г.

• «Физика космоса». 32-я международная студенческая научная конференция. Екатеринбург, 3-7 февраля, 2003 г.

• «Order and Chaos in Stellar and Planetary Systems», международная конференция, Санкт-Петербург, 17-24 августа 2003 г.

• «Всероссийская Астрономическая конференция 2004», всероссийская конференция, Москва, 3-10 июня 2004 г.

• «Few-Body Problem: Theory and Computer Simulations», международная конференция, Турку, 4-9 июля 2005 г.

• «Астрономия 2006: традиции, настоящее и будущее», всероссийская конференция с международным участием, Санкт-Петербург, 26 - 29 июня 2006 г.

Краткое содержание работы.

Первая глава посвящена описанию методики, использованной при моделировании динамической эволюции неиерархических кратных звезд. В разделе 1.1 описывается метод цепочной регуляризации двойных и кратных сближений звезд. Записываются регуляризованные уравнения движения с учетом дополнительных сил, действующих на тела системы. Второй раздел посвящен проблеме стабилизации тесных двойных систем. Приведены стабилизированные регуляризованные уравнения движения в случае произвольного числа тесных двойных систем. В разделе 1.3 обсуждается вопрос об уходах одиночных и двойных звезд из системы. Для таких систем предложены критерии ухода. Обсуждаются возможные столкновения и слияния звезд. Для учета слияний предложено использовать критерий слияния звезд, полученный на основе результатов численного моделирования столкновений звезд [16], [17]. В разделе 1.4 речь идет о возможности влияния на динамическую эволюцию систем потери массы в виде звездного ветра, динамического трения звезд о межзвездную среду, а также внешних гравитационных полей. Приведены соответствующие формулы. В разделе 1.5 обсуждается вопрос приливного взаимодействия между звездами в неиерархических кратных системах в рамках модели слабого трения. Предложены формулы для учета приливного взаимодействия между произвольным числом звезд в регуляризованных уравнениях движения. В разделе 1.6 рассматриваются алгоритмы задания начальных условий для модельных систем.

Вторая глава диссертации содержит результаты численного моделирования динамической эволюции неиерархических кратных звезд. Рассматриваются системы, в которых гравитационное притяжение компонентов играет определяющую роль в эволюции системы. Учитываются возможные уходы одиночных и двойных звезд из первоначальной системы, а также слияния звезд. Анализируются характеристики системы в целом и подсистем звезд на момент окончания интегрирования. В разделе 2.1 исследовано распределение систем по финальным состояниям. Фиксировались следующие финальные состояния: две одиночных звезды, финальная двойная, устойчивая тройная система, неустойчивая тройная система (по критерию устойчивости Голубева [5], см. также [6]), система кратности, большей чем три. Представлена зависимость распределения по финальным состояниям от количества звезд в начальной системе. Динамическая эволюция молодых кратных звезд примерно в половине случаев заканчивается образованием финальной двойной системы. Также довольно высока вероятность образования устойчивой тройной системы (10 % - 15%). Увеличение количества звезд в первоначальной системе замедляет динамическую эволюцию. Системы, состоящие в начальный момент из звезд равных масс, в среднем эволюционируют медленнее, чем системы, состоящие из компонентов неравных масс.

В разделе 2.2 исследованы орбитальные параметры формирующихся двойных звезд в зависимости от числа звезд в первоначальной системе. Большие полуоси двойных составляют от нескольких сотых до нескольких единиц средних начальных размеров системы. Распределение эксцентриситетов формирующихся двойных в целом согласуется с законом /(е) = 2е. В состав финальных двойных входят, как правило, наиболее массивные звезды системы, а уходящие двойные образованы более легкими звездами («dynamical biasing»). С ростом числа звезд в начальной системе финальные двойные в среднем становятся теснее.

Параграф 2.3 посвящен орбитальным параметрам устойчивых тройных систем. Образующиеся тройные системы обладают довольно сильной иерархией. Среднее отношение больших полуосей орбит внутренней и внешней двойных составляет примерно 1:20. Эксцентриситеты внешних двойных в среднем меньше эксцентриситетов внутренних двойных. Преобладают устойчивые тройные системы с прямыми движениями.

В четвертом разделе рассмотрены кинематические характеристики уходящих одиночных и двойных звезд. Скорости одиночных уходящих звезд составляют от нескольких км/с до нескольких десятков км/с. Скорости центров масс уходящих двойных систем, как правило, не превышают нескольких км/с. Скорости уходящих звезд в среднем увеличиваются с ростом числа тел в первоначальной системе.

Влияние начального вириального коэффициента, наличия в системе выделенного направления вращения и начальной формы системы на динамику кратной звездной системы как целого и формирующихся в ней подсистем рассмотрено в разделе 2.5. Динамическая эволюция систем, находящихся в начальный момент в состоянии вириального равновесия, в среднем протекает медленнее, чем в сжимающихся или расширяющихся системах. Системы, в которых в начальный момент присутствует систематическое вращение (т.е. система вращается как целое), эволюционируют медленнее систем, в которых начальное вращение случайно. Сплюснутые системы в среднем распадаются быстрее, чем сферические. В сплюснутых системах финальные двойные в среднем шире, чем в сферических. При увеличении вириального коэффициента средние значения больших полуосей финальных двойных, выраженные в физической системе единиц, увеличиваются. В сплюснутых системах несколько увеличивается доля двойных с вытянутыми орбитами. Увеличение отношения кинетической энергии вращения системы к модулю ее потенциальной энергии в сплюснутых системах приводит к уменьшению степени иерархии в устойчивых тройных системах. При увеличении вириального коэффициента скорости уходящих звезд в среднем уменьшаются.

В разделе 2.6 исследовано влияние начального размера системы на ее динамическую эволюцию. Уменьшение среднего начального размера системы приводит к некоторому увеличению доли двойных с вытянутыми орбитами. Также при этом усиливается тенденция к преобладанию эксцентриситетов внутренних двойных в устойчивых тройных системах над эксцентриситетами внешних. Уменьшение начального размера системы способствует увеличению средних скоростей ухода одиночных и двойных звезд из системы.

В разделе 2.7 представлены результаты моделирования динамической эволюции системы в зависимости от момента окончания вычислений. На более поздних стадиях динамической эволюции системы в среднем образуются более широкие двойные, чем на раниих. Одиночные и двойные звезды, уходящие из системы на поздних стадиях ее динамической эволюции, уносят меньшее количество кинетической энергии, чем звезды, уходящие на ранних стадиях. Уменьшение кинетической энергии сопровождается уменьшением скоростей звезд. Большинство одиночных звезд уходит из системы на протяжении первых 100 средних начальных времен пересечения системы.

В разделе 2.8 обсуждаются возможность формирования четверных систем в результате динамической эволюции неиерархических кратных звезд и орбитальные характеристики этих систем. Вероятность образования четверных систем в случае начального числа звезд N — 6 составляет 8 % - 9 %. Большинство таких систем обладает структурой 2+1+1. Примерно 25 % - 30 % таких систем неустойчивы по отношению к приливным ударам со стороны гигантских молекулярных облаков (ГМО). Устойчивость внешней двойной по отношению к приливным ударам со стороны ГМО не гарантирует ограниченность движений в четверных системах. Анализ их орбитальных параметров позволяет предположить, что нарушение их устойчивости более вероятно в результате взаимодействия внешней двойной с промежуточной двойной, чем в результате взаимодействия внутренней двойной с промежуточной двойной.

Глава 3 посвящена исследованию влияния ряда дополнительных факторов на динамическую эволюцию неиерархических кратных систем. В разделе 3.1 приведены результаты моделирования динамики систем с учетом динамического трения звезд о межзвездную среду и потери массы звездами в виде звездного ветра. Также рассматривается влияние слияний звезд и совместное влияние динамического трения и слияний звезд на динамическую эволюцию систем. Производится сравнение с системами, в которых слияния не учитывались. Динамика молодых кратных звезд слабо зависит от влияния динамического трения и потери массы в виде звездного ветра даже в случае сильно завышенных значений указанных параметров. В случае нереально высоких значений плотности межзвездной среды за счет динамического трения в не очень тесных системах (средний начальный размер Я = 100 а.е.) эволюция ускоряется. Звездный ветер в широких системах приводит к увеличению средних значений больших полуосей финальных двойных, а также внешних и внутренних двойных в устойчивых тройных системах. Динамическое трение в тесных системах может приводить как к увеличению, так и к уменьшению средних значений скоростей уходящих одиночных звезд. Результат зависит от плотности межзвездной среды и средних скоростей звезд в системе. Слияния звезд в тесных системах замедляют динамическую эволюцию. Они приводят к увеличению средних значений больших полуосей финальных двойных и устойчивых тройных систем. Динамическое трение и слияния в тесных системах уменьшают долю систем с вытянутыми орбитами в финальных двойных и внутренних двойных в устойчивых тройных. При этом увеличивается доля финальных двойных, а также внутренних и внешних двойных с компонентами, сильно различающимися по массе. Действие обоих факторов приводит к увеличению доли тройных систем с прямыми движениями.

В разделе 3.2 представлены результаты исследования влияния внешних гравитационных полей (поля соседней неиерархической кратной системы и регулярного поля

Галактики) на динамику системы. Регулярное поле Галактики практически не влияет на динамику групп с характерным размером Л ^ 1000 а.е., расположенных в плоскости Галактики на расстоянии около 8 кпк от ее центра. Влияние соседних групп звезд более существенно и приводит к ускорению динамической эволюции систем. Также оно приводит к образованию в среднем более широких двойных звезд и внешних двойных в устойчивых тройных системах. Эксцентриситеты внешних двойных при этом в среднем уменьшаются. Одиночные звезды, уходящие из систем, подверженных сильному влиянию внешних гравитационных полей, в среднем уносят большие доли кинетической энергии и обладают большими скоростями, чем в случае изолированных систем. При этом массы уходящих звезд в среднем увеличиваются.

В разделе 3.3 обсуждается влияние приливного взаимодействия между компонентами системы на ее динамическую эволюцию. Скорость динамической эволюции в системах без учета слияний и приливного взаимодействия между компонентами в среднем выше, чем в системах, в которых учитываются слияния и приливы. Эти факторы приводят к увеличению средних и медианных значений больших полуосей финальных двойных. При этом уменьшается доля подсистем с вытянутыми орбитами: двойных звезд, а также внутренних и внешних двойных в устойчивых тройных системах. Распределения углов между векторами осевого и орбитального угловых моментов для двойных и устойчивых тройных систем согласуются со случайным распределением. Ротационные скорости более массивных компонентов устойчивых тройных при учете слияний и приливов в среднем ниже скоростей вращения звезд главной последовательности (ГП) соответствующих масс. Скорости осевого вращения уходящих одиночных звезд в среднем выше скоростей звезд ГП соответствующих масс. Приливное взаимодействие приводит в среднем к увеличению скоростей ухода одиночных звезд.

В главе 4 производится сравнение результатов моделирования, полученных в диссертации, с данными численных экспериментов, имеющимися в литературе. Кроме того, результаты моделирования сравниваются с данными наблюдений широких двойных и кратных звезд в окрестности Солнца, а также одиночных звезд типа Т Таи. Модельная функция кратности звезд в целом согласуется с наблюдаемой. Орбитальные параметры образующихся двойных систем в целом согласуются с параметрами наблюдаемых широких двойных. Распределение отношения масс компонентов формирующихся двойных при начальном спектре масс Солпитера согласуется с распределением для наблюдаемых двойных, если исключить из последнего «пик близнецов». Появление этого пика, по-видимому, вызвано спецификой совместного образования звезд в составе двойной системы и особенностями аккреции вещества протозвездного облака на компоненты системы.

Средние и медианные значения эксцентриситетов внутренних и внешних двойных в устойчивых тройных системах, образующихся в результате распада неиерархических кратных звезд, несколько превосходят аналогичные значения для наблюдаемых тройных. Средние и медианные значения отношений периодов внутренних и внешних двойных в наблюдаемых тройных сравнимы с этими величинами для модельных систем. Орбиты как модельных, так и наблюдаемых систем, как правило, некомпланарны. При этом средние и медианные значения угла наклона г между векторами орбитальных моментов внутренних и внешних двойных в наблюдаемых системах близки к 90° и несколько больше, чем в случае модельных систем. Тем не менее, оба распределения обладают асимметрией в сторону прямых движений по сравнению с распределением, соответствующим случайной ориентации векторов. Распределения отношений масс компонентов внутренних двойных в тройных системах для модельных и наблюдаемых систем сходны по форме, если исключить из наблюдаемого распределения «пик близнецов». Форма распределения отношения масс компонентов внешних двойных сходна с формой наблюдаемого распределения. При этом средние и медианные значения отношений масс двойных в модельных системах меньше, чем в наблюдаемых. Существование молодых звезд - "бегунов" можно объяснить уходами одиночных звезд в процессе динамической эволюции молодых неиерархических систем малой кратности.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Разработка и программная реализация алгоритмов численного решения регу-ляризованных уравнений гравитационной задачи N тел с учетом ряда дополнительных эффектов (слияния компонентов, динамическое трение, потеря массы, приливное взаимодействие компонентов, внешние гравитационные поля).

2. Распределения по финальным состояниям продуктов динамической эволюции групп звезд и характеристики одиночных, двойных, а также устойчивых кратных звезд, образующихся в результате распада неиерархических кратных звезд, для различных вариантов выбора начальных условий.

3. Оценка воздействия ряда дополнительных факторов на динамику кратных звезд и выделение наиболее существенных из них.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Rubinov А. V., Petrova A.V., Orlov V.V., Dynamics of young multiple stars. Stellar dynamics: from classic to modern. Eds. L.P. Ossipkov, I.I. Nikiforov. St. Petersburg Univ. Press, 2001, P. 54 - 59.

2. Рубинов A.B., Петрова А.В., Орлов В.В., Динамическая эволюция кратных звезд. Астрономический журнал, 2002, т. 79, N 11, с. 1044 - 1056.

3. Rubinov A.V., Petrova A.V., Orlov V.V., Dynamics of Multiple Stars. Publications of the Astronomical Observatory of Belgrade, 2003, V. 75, P. 17 - 25.

4. Рубинов А.В., Динамическая эволюция кратных звезд. Влияние начальных параметров системы. Астрономический журнал, 2004, т. 81, N 1, с. 50 - 57.

5. Rubinov A., Petrova A., Orlov V., Statistical Laws in Chaotic Dynamics of Multiple Stars. ASP Conference Series, 2004, V. 316, P. 86 - 92.

6. Рубинов А.В., Петрова А.В., Орлов В.В., Влияние звездного ветра, динамического трения и слияний звезд на динамическую эволюцию кратных звезд. Письма в Астрономический журнал, 2005, т. 30, N 12, с. 936 - 945.

7. A. Rubinov, Tidal Interactions in N-body simulations, Annales Universitatis Turkuensis, Series 1A, 2006, V. 358, P. 74 -78.

Личный вклад автора.

Во всех совместных работах реализация методов численного моделирования и численные расчеты выполнены автором. Анализ и обсуждение полученных результатов производились совместно с соавторами.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Рубинов, Алексей Вадимович

Результаты исследования распределения формирующихся систем по состояниям в зависимости от отношения а кинетической энергии случайных движений к потенциальной энергии системы на момент времени t = 300ГСГ приведены в таблице 12. В ней сохранена структура таблицы 3. Выделим свойства динамической эволюции неиерархических систем, устойчивые к выбору начальных условий. Видно, что, как правило, динамическая эволюция заканчивается образованием финальной двойной системы. Довольно высока вероятность образования устойчивой тройной системы (5 - 20 %). Не все неиерархические системы завершают динамическую эволюцию за 300 начальных времен пересечения, что иллюстрирует последний столбец таблицы.

Динамическая эволюция систем, находящихся в начальный момент времени в состоянии вириального равновесия (а — 0.5; Р = 0), в среднем протекает медленнее, чем эволюция сжимающихся или расширяющихся систем. Эта тенденция сильнее проявляется в случае разных масс звезд.

Следует подчеркнуть, что под увеличением скорости динамической эволюции подразумевается уменьшение промежутка времени, за который система распадается, выраженного в единицах среднего времени пересечения, а не в физических единицах. В физических единицах при увеличении начального вириального коэффициента увеличится и среднее время, необходимое для распада системы.

4.3 Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертационной работе.

4.3.1 Распределения по финальным состояниям и параметры неиерархических кратных звезд

• Динамическая эволюция молодых кратных звезд примерно в половине случаев заканчивается образованием финальной двойной системы. Вероятность формирования устойчивой тройной системы тоже высока и составляет 10 - 15 %.

• Вероятность образования иерархических четверных систем в случае начального числа звезд N = 6 составляет 8 - 9 %. При этом подавляющее большинство таких систем обладает структурой (2+1+1).

• Примерно 25 - 30 % формирующихся четверных систем со структурой (2+1+1) неустойчивы по отношению к приливным ударам со стороны ГМО. Устойчивость по отношению к приливным ударам со стороны ГМО не гарантирует ограниченность движений в четверных системах. Анализ их орбитальных параметров позволяет предположить, что нарушение их устойчивости более вероятно в результате взаимодействия удаленного компонента внешней двойной с компонентом промежуточной двойной, чем в результате взаимодействия внутренней двойной с этим компонентом.

• Системы, состоящие в начальный момент из звезд равных масс, в среднем эволюционируют медленнее, чем в случае неравных масс звезд.

• Динамическая эволюция систем, находящихся в начальный момент в состоянии вириального равновесия, в среднем протекает медленнее, чем в сжимающихся или расширяющихся системах. Наличие в системе систематического вращения замедляет ее динамическую эволюцию. При этом сплюснутые системы распадаются в среднем быстрее, чем сферические.

4.3.2 Характеристики двойных звезд

• Большие полуоси формирующихся двойных составляют от нескольких сотых до нескольких единиц средних начальных размеров системы.

• При увеличении отношения кинетической энергии случайных движений и энергии вращения системы к модулю ее потенциальной энергии средние значения больших полуосей образующихся двойных, выраженные в физических единицах, увеличиваются. В сплюснутых системах финальные двойные в среднем шире, чем в сферических.

• На поздних стадиях динамической эволюции неиерархических кратных звезд в среднем образуются более широкие двойные системы, чем на ранних стадиях.

• Распределение эксцентриситетов формирующихся двойных в целом согласуется с законом /(е) = 2е.

• В сплюснутых системах несколько увеличивается доля двойных с вытянутыми орбитами, Такая же тенденция наблюдается при уменьшении среднего размера начальной системы.

• В состав финальных двойных входят, как правило, более массивные звезды первоначальной системы, а уходящие двойные образованы более легкими звездами.

• С ростом N двойные системы в среднем становятся теснее. 4.3.3 Параметры устойчивых тройных звезд

• Образующиеся устойчивые тройные системы обладают довольно сильной иерархией. Среднее отношение полуосей орбит внешней и внутренней двойных составляет примерно 20:1. При увеличении отношения кинетической энергии вращения системы к модулю потенциальной энергии в сплюснутых системах степень иерархии устойчивых тройных систем в среднем уменьшается.

• Эксцентриситеты внешних двойных в среднем меньше эксцентриситетов внутренних. Эта тенденция усиливается при уменьшении размера начальной системы.

• Преобладают устойчивые тройные системы с прямыми движениями. Орбиты двойных, как правило, некомпланарны.

4.3.4 Параметры уходящих звезд

• Скорости уходящих одиночных звезд увеличиваются с ростом числа тел в системе и с уменьшением ее начального размера. Они составляют от нескольких км/с до нескольких десятков км/с. Большинство одиночных звезд уходит из системы на протяжении 100 начальных времен пересечения системы с момента начала интегрирования. При увеличении отношения кинетической энергии звезд к модулю потенциальной энергии системы скорости уходящих звезд в среднем уменьшаются. Увеличение времени пребывания одиночных звезд в системе в среднем приводит к уменьшению скоростей их ухода и к уменьшению кинетической энергии, уносимой ими.

4.3.5 Влияние дополнительных факторов на динамику систем

• Динамическое трение и потеря массы звездами в виде звездного ветра слабо влияют на динамику молодых кратных звезд даже в том случае, когда их величины сильно завышены.

• В случае нереально высоких значений плотности межзвездной среды и темпа потери массы звездами наблюдаются следующие тенденции:

• В широких системах звездный ветер замедляет динамическую эволюцию. В не очень тесных системах (средний начальный размер системы 11=100 а.е.) динамическое трение ускоряет динамическую эволюцию.

• В широких системах звездный ветер приводит к увеличению средних значений больших полуосей финальных двойных, а также внешних и внутренних двойных в устойчивых тройных системах.

• Динамическое трение в тесных системах может приводить как к увеличению, так и к уменьшению средних значений скоростей уходящих одиночных звезд. Результат зависит от плотности межзвездной среды и средних скоростей звезд в системе.

• Слияния звезд в тесных системах замедляют динамическую эволюцию.

• Слияния приводят к увеличению средних значений больших полуосей финальных двойных и устойчивых тройных систем. Динамическое трение и слияния в тесных системах уменьшают долю систем с вытянутыми орбитами в финальных двойных и внутренних двойных в устойчивых тройных звездах. Эти эффекты увеличивают долю финальных двойных, а также внутренних и внешних двойных с компонентами, сильно различающимися по массе. При этом увеличивается доля тройных систем с прямыми движениями.

Присутствие внешнего гравитационного поля приводит к ускорению динамической эволюции систем. Влияние гравитационных полей соседних групп звезд более существенно, чем влияние регулярного поля Галактики, которое на динамику групп звезд с характерным размером Я < 1000 а.е. практически не влияет.

Влияние гравитационного поля соседних групп приводит к образованию в среднем более широких двойных звезд и внешних двойных в устойчивых тройных системах, чем в случае изолированных систем. Эксцентриситеты внешних двойных при этом в среднем уменьшаются.

Одиночные звезды, уходящие из систем, подверженных сильному влиянию внешних гравитационных полей, уносят большие доли кинетической энергии и обладают большими скоростями, чем в случае изолированных систем. Массы уходящих звезд при этом в среднем увеличиваются.

Скорость динамической эволюции в системах без слияний и приливного взаимодействия между компонентами в среднем выше, чем в системах, в которых возможны слияния и приливы.

Слияния и приливы приводят к увеличению средних и медианных значений больших полуосей финальных двойных. При этом уменьшается доля двойных звезд с большими эксцентриситетами, а также внутренних и внешних двойных с вытянутыми орбитами в устойчивых тройных системах. Распределения углов между векторами осевого и орбитального угловых моментов для двойных и устойчивых тройных систем согласуются со случайным распределением.

Ротационные скорости более массивных компонентов устойчивых тройных при учете слияний и приливов в среднем ниже скоростей вращения звезд ГП соответствующих масс. Скорости осевого вращения уходящих одиночных звезд в среднем выше скоростей звезд ГП соответствующих масс. Приливное взаимодействие приводит в среднем к увеличению скоростей ухода одиночных звезд.

Модельная функция кратности звезд в целом согласуется с наблюдаемой в окрестности Солнца.

Орбитальные параметры образующихся двойных систем в целом согласуются с параметрами наблюдаемых широких двойных. Распределение отношения масс компонентов для формирующихся двойных при начальном спектре масс Солпи-тера согласуется с распределением для наблюдаемых двойных, если исключить из последнего «пик близнецов».

Средние и медианные значения эксцентриситетов внутренних и внешних двойных в устойчивых тройных системах, образующихся в результате распада неиерархических кратных звезд, несколько превосходят аналогичные значения для наблюдаемых тройных. Средние и медианные значения отношений периодов внутренних и внешних двойных в наблюдаемых тройных сравнимы с этими величинами для модельных систем. Орбиты как модельных, так и наблюдаемых систем, как правило, некомпланарны. При этом средние и медианные значения угла наклона г между векторами орбитальных моментов внутренних и внешних двойных в наблюдаемых системах в пределах ошибок согласуются с этими величинами для модельных систем. Оба распределения обладают асимметрией в сторону прямых движений по сравнению с распределением, соответствующим случайной ориентации векторов. Распределения отношений масс компонентов внутренних двойных для модельных и наблюдаемых систем сходны по форме, если из наблюдаемого распределения исключить «пик близнецов». Форма распределения отношения масс компонентов внешних двойных сходна с формой наблюдаемого распределения. При этом средние и медианные значения отношений масс двойных в модельных системах меньше, чем в наблюдаемых.

Существование молодых звезд - «бегунов» можно объяснить уходами одиночных звезд в процессе динамической эволюции молодых систем малой кратности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рубинов, Алексей Вадимович, 2007 год

1. Агекян Т.А., Аносова Ж.П., Исследование динамики тройных систем методом статистических испытаний. 1. АЖ, 44, 1261, 1967

2. Амбарцумян В.А., К статистике двойных звезд. АЖ, 14, 207, 1937

3. Аносова Ж.П., Исследование динамики тройных систем методом статистических испытаний. III. Случай различных масс компонентов. Астрофизика, 5, 161,1969

4. Аносова Ж.П., Орлов В.В., Динамическая эволюция тройных систем в трехмерном пространстве. Системы с компонентами равных масс. АЖ, 63, 643, 1986

5. Голубев В.Г., Об областях невозможности движений в задаче трех тел. Доклады АН СССР, 174, 767, 1967

6. Голубев В.Г., Гребенников Е.А., Проблема трех тел в небесной механике. Изд. МГУ, 1985

7. Орлов В.В., Титов O.A., Статистика популяции ближайших звезд. АЖ, 71, 525,1994

8. Сурдин В.Г., Рождение звезд. УРСС, Москва, 1997

9. Токовинин A.A., О распределении эксцентриситетов орбит широких визуально-двойных звезд. ПАЖ, 24, 217, 1998

10. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г., Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Москва, Мир, 199011. van Albada Т., Numerical integrations of the N-body problem. Bull. Astr. Inst. Neth., 19, 479, 1968

11. Allen C., Santillan A., An improved model of the galactic mass distribution for orbit computations. RMxAA, 22, 255, 1991

12. Anosova J.P., Orlov V.V., Main features of dynamical escape from three-dimensional triple systems. CMDA, 59, 327, 1994

13. Anosova J.P., Orlov V.V., Aarseth S.J., Initial Conditions and Dynamics of Triple Systems. CMDA, 60, 365, 1994

14. Bate M.R., Burkert A., Resolution requirements for smoothed particle hydrodynamics calculations with self-gravity. MNRAS, 288, 1060, 1997

15. Benz W., Hills J.G., Three-dimensional hydrodynamical simulations of stellar collisions. I Equal-mass main-sequence stars. ApJ, 323, 614, 1987

16. Benz W., Hills J.G., Three-dimensional hydrodynamical simulations of colliding stars . Ill Collisions and tidal captures of unequal-mass main-sequence stars. ApJ, 389, 546, 1992

17. Binney J., Tremaine S., Galactic Dynamics. Princeton Univ. Press, Princeton, 1987

18. Boss A.P., Collapse and fragmentation of molecular cloud cores. I Moderately centrally condensed cores. ApJ, 410, 157, 1993

19. Boss A.P., Collapse and Fragmentation of Molecular Cloud Cores. IV. Oblate Clouds and Small Cluster Formation. ApJ, 468, 231, 1996

20. Bonnell I.A., Bate M.R., Vine S.G., The hierarchical formation of a stellar cluster. MNRAS, 343, 413, 2003

21. Burkert A., Bodenheimer P., Fragmentation in a centrally condensed protostar. MNRAS, 280, 1190, 1996

22. Burkert A., Bate M.R., Bodenheimer P., Protostellar fragmentation in a power-law density distribution. MNRAS, 289, 497, 1997

23. Burkert A., Klessen R.S., Bodenheimer P., Fragmentation in molecular clouds and protostars. In: The Orion Complex Revisited, Eds. A. Burkert, M. McCaughrean (ASP: San Francisco), In Press

24. Chandrasekhar S., Dynamical Friction. I. General Considerations: the Coefficient of Dynamical Friction. ApJ, 97, 255, 1943

25. Delgado-Donate E.J., Clarke C.J., Bate M.R., Accretion and dynamical interactions in small-N star-forming clusters: N=5. MNRAS, 342, 926, 2003

26. Delgado-Donate E.J., Clarke C.J., Bate M.R., Hodgkin S.T., On the properties of young multiple stars. MNRAS, 351, 617, 2004

27. Duquennoy A., Mayor M., Multiplicity among solar-type stars in the solar neighbourhood. II Distribution of the orbital elements in an unbiased sample. A&A, 248, 485, 1991

28. Eggenberger A., Halbwachs J.-L., Udry S., Mayor M., Statistical properties of an unbiased sample of F7-K binaries: towards the long-period systems. RMxAA, 21, 28,2004

29. Eggleton P., Kiseleva L., An Empirical Condition for Stability of Hierarchical Triple Systems. ApJ, 455, 640, 1995

30. Elmegreen B.G., Falgarone E., A Fractal Origin for the Mass Spectrum of Interstellar Clouds. ApJ, 471, 816, 1996

31. Fischer D.A., Marcy G.W., Multiplicity among M dwarfs. ApJ, 396, 178, 1992

32. Halbwachs J.-L., Mayor M., Udry S., Arenou F., Statistical properties of solar-type close binaries. RMxAA, 21, 20, 2004

33. Harrington R.S., The Dynamical Decay of Unstable 4-Body Systems. CM, 9, 465, 1974

34. Harrington R.S., Production of triple stars by the dynamical decay of small stellar systems. AJ, 80, 1081, 1975

35. Hartmann L., Hewett R., Stahler S., Mathieu R.D., Rotational and radial velocities of T Tauri stars. ApJ, 309, 275, 1986

36. Heacox W.D., Statistical dynamics of solar-like binaries. AJ, 115, 325, 1998

37. Hut P., Tidal evolution in close binary systems. A&A, 99, 126, 1981

38. Joergens V., Improved kinematics for brown dwarfs and very low-mass stars in Chamaeleon I and a discussion of brown dwarf formation. A&A, 448, 655, 2006

39. Kiseleva L., Colin J., Dauphole B., Eggleton P., High-velocity stars from decay of small stellar systems. MNRAS, 301, 759, 1998

40. Klessen R.S., Burkert A., Bate M.R., Fragmentation of Molecular Clouds: The Initial Phase of a Stellar Cluster. ApJ, 501, L205, 1998

41. Kroupa P., Star cluster evolution, dynamical age estimation and the kinematical signature of star formation. MNRAS, 277, 1522, 1995

42. Kroupa P., On the binary properties and the spatial and kinematical distribution of young stars. MNRAS, 298, 231, 1998

43. Kustaanheimo P., Stiefel E., Perturbation Theory of Kepler Motion Based on Spinor Regularization. J. Reine Angew. Math., 218, 204, 1965

44. Mikkola S., Aarseth S.J., An implementation of N-body chain regularization. CM-DA, 57, 439, 1993

45. Mikkola S., Aarseth S.J., A Slow-down Treatment for Close Binaries. CMDA, 64, 197, 1996

46. Tokovinin A.A., Multiple Star Catalog. http://vizier.u-strasbg.fr/viz-bin/VizieR?-source=J/A+AS/124/75

47. Larson R.B., Implications of Binary Properties for Theories of Star Formation. In: Proceedings of IAU Symp. 200, 93, Eds. H. Zinnecker and R.D. Mathieu (Potsdam), 2001

48. Monaghan J. J., A statistical theory of the disruption of three-body systems. I Low angular momentum. MNRAS, 176, 63, 1976

49. Neuhauser R., Sterzik M.F., Torres G., Martin E.L., Weak-line T Tauri stars south of Taurus. A&A, 299, L13,1995

50. Orlov V.V., Petrova A.V., Ivanova N.S., The effect of stellar wind on the stability of triple systems. MNRAS, 281, 1326, 1996

51. Salpeter E.E., The Luminosity Function and Stellar Evolution. ApJ, 121, 161, 1955

52. Standish E.M., The Dynamical Evolution of Triple Star Systems. A&A, 21, 185, 1972

53. Sterzik M.F., Durisen R.H., Escape of T Tauri stars from young stellar systems. A&A, 304, L9, 1995

54. Sterzik M.F., Durisen R.H., The dynamic decay of young few-body stellar systems. I. The effect of a mass spectrum for N = 3, 4, and 5. A&A, 339, 95, 1998

55. Sterzik M.F., Durisen R.H., Imprints of dynamical interactions on brown dwarf pairing statistics and kinematics. A&A, 400, 1031, 2003

56. Sterzik M.F., Schmitt J.H.M.M., Young Cool Stars in the Solar Neighborhood. AJ, 114, 1673, 1997

57. Sterzik M.F., Tokovinin A.A., Relative orientation of orbits in triple stars. A&A, 384, 1030, 2002

58. Sterzik M.F., Alcala J.M., Neuhauser R., Schmitt J.H.M.M., The spatial distribution of X-ray selected T-Tauri stars. I. Orion. A&A, 297, 418, 1995

59. Szebehely V., Mass Effects in the Problem of Three Bodies. CM, 6, 84, 1972

60. Szebehely V., Zare K., Stability of classical triplets and of their hierarchy. A&A, 58, 145, 1977

61. Tout C.A., Aarseth S.J., Pols O.R., Eggleton P., Rapid binary star evolution for N-body simulations and population synthesis. MNRAS, 291, 732, 1997

62. Tokovinin A.A., Statistics of multiple stars: some clues to formation mechanisms. In: Proceedings of IAU Symp. 200, 84, Eds. H. Zinnecker and R.D. Mathieu (Potsdam), 2001

63. Valtoneri M.J., Mass Ratios in Wide Binary Stars. ApJ, 485, 785, 1997

64. Zahn J.-P., Tidal friction in close binary stars. A&A, 57, 383, 1977