Дифракция упругих волн на неоднородных анизотропных телах сферической формы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Бригадирова, Татьяна Евгеньевна

• Бригадирова, Татьяна Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бригадирова, Татьяна Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ И АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЕ.

1.1. Современное состояние вопроса.

1.2. Геометрия задачи и уравнения движения сред.

1.3. Постановка внутренних и внешних задач о дифракции упругих волн на неоднородной толстостенной сфере.

1.4. Представление решения в виде рядов по угловой координате.

ГЛАВА 2. ДИФРАКЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ УПРУГИХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЕ.

2.1. Граничные функции влияния в сферической системе координат.

2.2. Сведение гармонической задачи к краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.3. Радиальные колебания неоднородной трансверсально изотропной толстостенной сферы в упругой среде под действием гармонической нагрузки.

2.4. Примеры решения задач о дифракции гармонических волн на неоднородном сферическом включении.

ГЛАВА 3. ДИФРАКЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЕ.

3.1. Поверхностные функции влияния для упругой однородной изотропной среды.

3.2. Функции влияния для акустической среды.

3.3. Начально-краевая задача для системы уравнений первого порядка нестационарной динамики неоднородного включения.

3.4. Конечно-разностная схема для системы уравнений, разрешающая нестационарную задачу.

3.5. Радиальные колебания неоднородной трансверсально изотропной сферы в акустической среде.

3.6. Внешние задачи о дифракции нестационарных волн на неоднородном трансверсально изотропном включении.

3.7. Внутренние задачи дифракции для неоднородного включения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифракция упругих волн на неоднородных анизотропных телах сферической формы»

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам элементов конструкций, уменьшению их веса и размеров, что приводит к необходимости создания новых методов расчета, наиболее полно и адекватно учитывающих свойства реальных материалов. За последние годы это обстоятельство заметно усилило внимание исследователей к динамическим задачам теории упругости неоднородных тел.

Неоднородность упругих свойств материала часто возникает на этапе формирования тела, например при кристаллизации отливки вследствие различных температурных условий отливаемого изделия и переменной структуры, получаемой в разных областях отливки. Такого же типа естественная неоднородность имеет место в грунтах и горных породах. Неоднородность свойств также имеет место благодаря особенностям технологических процессов получения соответствующих изделий и полуфабрикатов, в том числе, из-за различной упрочняющей технологии (термическая, химико-термическая и другие виды обработок). В процессе эксплуатации элементов конструкции структурная неоднородность свойств может появиться под влиянием окружающей среды (воздействие активных жидкостей и газов, термическое влияние, радиационное облучение и т. п.).

Необходимо отметить, что все реальные материалы обладают определенной структурной неоднородностью (дефекты и неправильности кристаллической решетки, поликристаллическая структура технических металлов и сплавов, молекулярная и надмолекулярная структура полимерных материалов и т. п.). Однако при феноменологическом подходе к изучению механики сплошной среды [64, 41] используют модель макроскопически однородной среды. В дальнейшем будем рассматривать линейно упругие тела с непрерывной неоднородностью, под которыми понимаются материалы, характеризуемые зависимостью от пространственной координаты определяющих свойства среды параметров, осредненных по области, большой по сравнению с размерами структурных областей.

Линейная теория упругости неоднородных тел основана на использовании закона Гука, в котором компоненты тензора упругих постоянных являются функциями координат точек тела [54, 53, 81]. При этом различают кусочно-однородные тела, у которых указанные функции являются кусочно-постоянными, и упругие тела с непрерывной неоднородностью. Задачи второго класса в настоящее время являются наименее исследованными, так как с математической точки зрения они сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных) с переменными коэффициентами. Согласно установившейся терминологии, среды такого типа называют функционально - градиентными [2].

В настоящее время достаточное большое количество работ посвящено решению статических задач неоднородной теории упругости [54, 53, 81, 63, 31, 32]. Однако большинство процессов взаимодействия упругих сред носят динамический характер. Поэтому разработка методов решения как гармонических, так и нестационарных динамических задач неоднородной теории упругости, к которым относятся и задачи о дифракции акустических и упругих волн является актуальной. Целями диссертационной работы являются:

1. Постановка задач о дифракции гармонических и нестационарных акустических и упругих волн на неоднородном трансверсально изотропном сферическом включении, материал которого обладает радиальным типом неоднородности.

2. Разработка численно-аналитических методов решения задач дифракции гармонических волн на неоднородном включении при различных контактных условиях на поверхностях сопряжения сплошных сред.

3. Построение аналитических решений задач стационарной и нестационарной динамики для неоднородной трансверсально изотропной сферы со степенным законом изменения жесткостных параметров материала, помещенной в однородную упругую или акустическую среды.

4. Сведение задачи о дифракции нестационарных волн на неоднородном сферическом включении к начально-краевой задаче для системы уравнений в частных производных с граничным оператором интегрального вида типа свертки с использованием аппарата граничных функций влияния. Создание конечно-разностной схемы интегрирования этой начально-краевой задачи.

5. Решение внешних и внутренних задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере.

Научную новизну работы составляют:

1. Разработка численно-аналитических методов решения задач о дифракции упругих и акустических волн на неоднородных трансверсально изотропных включениях сферической формы.

2. Использование граничных функций влияния в сферической системе координат в нестационарных задачах о взаимодействии упругих и акустических сред с анизотропным неоднородными включениями сферической формы.

3. Алгоритмы и результаты решения динамических задач о дифракции упругих и акустических волн на анизотропных сферических включениях.

Практическая ценность диссертации состоит в возможности использования результатов работы для качественного и количественного исследования сложных волновых явлений, возникающих в неоднородных анизотропных средах. Они могут служить основой для получения новых структурно-неоднородных материалов с указанными свойствами.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется использованием корректных математических моделей для сред, выбором апробированных методов решения краевых и начально-краевых задач уравнений математической физики, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов, сравнением полученных результатов с известными аналитическими решениями.

По теме диссертации имеется 13 публикаций, в том числе 8 статей [10, 11,12,15,16,17,19,20].

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Бригадирова, Татьяна Евгеньевна

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Дана математическая постановка внешних и внутренних, стационарных и нестационарных осесимметричных задач о дифракции упругих и акустических волн на упругой неоднородной сферически трансверсально изотропной сфере, окруженной, а также заполненной однородными упругими изотропными средами.

2. Построены поверхностные функции влияния для однородной изотропной упругой и акустической сред, содержащей полость, а также для упругого шара, как в случае гармонического воздействия, так и при нестационарной нагрузке.

3. Предложен и реализован метод решения дифракционных задач, основанный на использовании функций влияния и сведении их к краевой и начально-краевой задаче для систем ОДУ и уравнений в частных производных.

4. Разработана конечно-разностная схема интегрирования начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка с граничным оператором интегрального типа по времени.

5. Получены аналитические решения для радиальных колебаний полого неоднородного сферического включения, жесткостные параметры которого меняются по степенному закону, помещенного в упругую или акустическую среду. Решение получено, как для гармонического, так и нестационарного воздействия.

6. Получены решения новых внешних и внутренних задач о дифракции гармонических и нестационарных упругих и акустических волн на неоднородной трансверсально изотропной упругой сфере.

7. Проанализировано влияние анизотропии и неоднородности на развитие волнового процесса в сферическом включении при действии внутренней упругой сферической волны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бригадирова, Татьяна Евгеньевна, 2007 год

1. Агошков В.И. Методы решения задач математической физики. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

2. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. -М.: Наука, 1989. 343 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.

4. Беркович В.Н. Некоторые математические вопросы смешанных задач динамики неоднородной клиновидной среды. // .Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. - №4. - С. 1518.

5. Беркович В.Н. Нестационарная смешанная задача динамики неоднородно упругой клиновидной среды. // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2005. - №3. - С. 14-20.

6. Бреховских Л.М., Година О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.-412 с.

7. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред: В приложении к теории волн. М.:Наука, 1982. - 335 с.

8. Бригадирова Т.Е. Решение задачи о рассеянии упругой волны неоднородным шаром методом конечных элементов. // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т9. Вып.2 -Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 16 - 22.

9. Бригадирова Т.Е., Медведский A.JI. Дифракция гармонических упругих волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. - Т. 12, №4.-С. 530-540.

10. Бригадирова Т.Е., Медведский A.JI. Дифракция нестационарной акустической волны на неоднородной трансверсально-изотропной полой сфере. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. - Т. 13,№1.-С. 119-130.

11. Васильев В.В., Протасов В. Д. Композиционные материалы. Справочник. -М.: Машиностроение, 1990. 512 с.

12. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Т.1 М.: Иностранная литература, 1949. - 789 с.

13. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарноевзаимодействие деформируемых тел с окружающей средой. // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: Изд. ВИНИТИ, 1983. -Т.15. С. 69-148.

14. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

15. Герасимов А.В., Кректулева Р.А. Модель деформирования и разрушения многокомпонентной пористой упругопластической среды с непрерывным изменением физико-механических характеристик. // Проблемы прочности. 1999. - №2. - С. 139-150.

16. Горшков А.Г., Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. М.: Наука, 2000.-214 с.

17. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с.

18. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М.: Наука, 1990. - 264 с.

19. Гофман М. Н., Космодамианский А. С., Урбанский Р. Е. Установившиеся колебания неоднородной многослойной сферы. // Докл. АН УССР. 1991.-№ 4.-С. 37-41.

20. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. — Л.: Судостроение, 1976. 200 с.

21. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных, неоднородных оболочек. (Обзор). // Прикл. мех. (Киев), 1997. Т.ЗЗ. -№11. -С. 3-37.

22. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Задачи теории упругости неоднородного тела. Киев.: Наук, думка., 1991. -216 с.

23. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Методы расчета оболочек. Т.5. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек. Киев: Наукова думка, 1982.-399 с.

24. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. -Киев: Наукова думка, 1978. 303 с.

25. Данциг Дж. Линейное программирование его обобщения и применения. М.: Прогресс, 1968. 600 с.

26. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971. - 288 с.

27. Добринский В. И., Лисин А. М., Воронина Т. А. Исследование свойств сейсмического излучателя в сферически-неоднородной среде. // Тр. ВЦ СО РАН. Сер. Мат. моделир. в геофиз. 1993. - № 2. - С. 15-24.

28. Дьяконов В. Maple 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 608 с.

29. Жерняк Г. Ф. К задаче рассеяния упругих волн в "пространственно неоднородной среде. // Геол. и геофиз. -1987. № 5. - С. 106-115.

30. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М: Наука, 1980. - 352 с.

31. Илюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Московск. унта, 1990.-310 с.

32. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. -М.: Изд-во Московск. ун-та, 1992. 208 с.

33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976. -576 с.

34. Киселев А.П. Точечные источники колебаний в слабо анизотропной1 упругой среде. // Докл. АН СССР. 1988. -Т. 300, № 4. - С. 824-826.

35. Коваленко Г.П. К задаче дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле. // Акустический журнал. 1987. - Т.ЗЗ, №6.-С. 1060-1063.

36. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.:Наука, 1968. - 720с.

37. Кудрявцев В.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1989, Т.2-584 с.

38. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений.

39. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 608 с.

40. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексной переменной. -М.: Мир, 1991, 504 с.

41. Ларин Н. В. Дифракция сферических звуковых волн на неоднородной термоупругой сферической оболочке. // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. 2003. - № 2. - С. 115-128.

42. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоских звуковых волн на неоднородном термоупругом сферическом слое // Оборонная техника. -2001.-№11-12.-С. 45-48.

43. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука. 1977,416 с.

44. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1976.-386 с.

45. Марченко В. А. Динамика неоднородных пологих сферических оболочек: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. / Самар. гос. архит.-строит. акад. Самара, 2000. - 19 с.

46. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наук. Думка, 1989. - 272 с.

47. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.:Изд. иностр. лит., 1960. - 886 с.

48. Новацкий В. Теория упругости. М.:Мир, 1975. - 872 с.

49. Норри Д., Ж. Де Фриз Введение в метод конечных элементов Пер. с англ.-М.: Мир, 1981.-304 с.

50. Поручиков В.Б Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.-328 с.

51. Приходько В.Ю., Тютекин В.В. О собственных частотах и формах колебаний радиально-слоистых упругих тел // Прикл. механика. -1987. Т.23, №6. - С. 9-14.

52. Родионова Г. А., Скобельцын С. А. Рассеяние звука вращающейся жидкой сферой. // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. -2003.-№2.-С. 197-202.

53. Саркисян B.C. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. Ереван: Изд-воЕреванского ун-та, 1976. - 310 с.

54. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1976. - 576 с.

55. Селезов И.Т., Яковлев В.В. Дифракция волн на симметричных неоднородностях. Киев: Наук, думка, 1978. - 145с.

56. Сеницкий Ю.Э. Нестационарная динамическая задача для неоднородных анизотропных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек. // Прикл. пробл. прочн. и пластич. -1991. -№ 49. -С. 63-72.

57. Сеницкий Ю. Э. Обратные задачи динамики для неоднородных анизотропных цилиндра, сферы и стержня. // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев.: Будивельник, 1984. - Вып. 45.-С. 27-32.

58. Сеницкий Ю. Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при действии произвольной радиально-симметричной динамической нагрузки. // Прикладная механика. 1978. - Т. 14, № 5. -С. 9-15.

59. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном анизотропном цилиндрическом слое. // Тул. политехи, ин-т. Тула, 1990. С. 8.

60. Скобелицын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный плоский слой // Акустический журнал. 1990. - Т.36, №5. - С. 740-744.

61. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем. '// Акустический журнал. 1995. - Т. 41, № 6. - С. 917-923.

62. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем. // Акустический журнал. -1995.-Т. 41, № 1.-С. 134-138.

63. Скучик Е. Основы акустики, Т.2. М.:Мир, 1976. - 542 с.

64. Справочник по специальным функциям. / Под. ред. Абрамовича М., Стиган И. М.:Наука, 1979. - 830 с.

65. Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.: Под общей редакцией В.В. Васильева, Ю.М. Тарнапольского. М.: Машиностроение, 1990.-512 с.

66. Толоконников Л. А., Устинова Е. А. Дифракция цилиндрических и сферических звуковых волн на неоднородной сфере. // Прикл. мех. (Киев). -1987. -Т. 23, № 7. С. 87-91.

67. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. -73 с.

68. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. -90 с.

69. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC.Nastran for Windows. М.: ДМК Пресс, 2004. - 704 с.

70. Шульга И.А. Собственные колебания трансверсально-изотропный полой сферы // Прикл. механика. 1980. - Т. 16, №12. - С. 108-111.

71. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids, Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973.-436 p.

72. Abd-Alla A.M., Abd-Alla A.N., Zeidan N.A. Transient thermal stresses in spherically orthotropic elastic medium with spherical cavity. J Appl Math and Comput. 1999. - Vol. 105. - P. 232-252.

73. De Sasadhar. Dynamic vibrations and stresses in a circular annulus of non-isotropic elastic material // Pure and Appl. Geophus. 1972. - Vol.93, №1. - P.68-72.

74. Ding H.J., Wang H.M., Chen W.Q. Analytical thermo-elasodynamic solutions for a nonhomogeneous transversely isotropic hollow sphere. // Archive of Applied Mechanics. 2002. - Vol.72. - P. 545-553.

75. Chen W.Q, Wang X, Ding H.J. Free vibration of a fluid-filled hollowsphere of a functionally graded material with spherical isotropy. // J Acoust Soc Am.- 1999.-Vol. 106.-P. 2588-2594.

76. Ghosh A. K., Agrawal M. K. Radial vibrations of spheres. // J. Sound and Vibr. 1994. - Vol. 171, № 3, -P. 315-322.

77. Han X., Liu G.R., Xi Z.C., Lam K.Y. Transient waves in a functionally graded cylinder // International Journal of Solids and Structures. 2001. -Vol. 38.-P. 3021-3037.

78. Mukhopadhyay J. Radial vibration of an inhomogeneous spherical shell of aelotropic material with variable density // Rev. roum. sci. techn. Ser. mec. appl. 1986. - Vol.31, №1. - P.71-75.