Дифракция электромагнитных волн на узких щелях и малых отверстиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат наук Фридберг, Пинхос Шаевич

• Фридберг, Пинхос Шаевич
• кандидат наук
• 1973

Оглавление диссертации кандидат наук Фридберг, Пинхос Шаевич

ВВЕДЕН К Е..................... 9

§ I* Классификация узких щелей. , * * > * . 4 * * * . - . ю

§ 2. Об интегральном уравнении теории узких сильноизлучающих щелей

§ 3, Приближение экспоненциально узкой щели

§ Вариационные методы ............ * . . .. '¿О

§5. Теория дифракции на мал он отверстии........ .

КРАТКОЕ ОЙЙрАШЯ ШШЧЙНКЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ......... ¿3

ГЛАВА I. ТЗОРШ ЗГЗКИХ СИЛЬНОЙ ЗЛУ ЧАС 1101Х

§ 6. Функции Грлна электрического поля и входной адыитано

объема через отверстие ......... ...... 27

§7. Вывод интегрального уравнения для напряжения на узкой ¡цели...................... 51

5 8, Входные адыитаноы простых объемов через узкув щель 57

§ 9. Методы решения интегрального уравнения для напряжения на узкой щзля.................. 50

§ 10. Диафрагла в бесконечном многоходовое волноводе. „ , 36

§ II. Излучение из узкой поперечной щели ь поверхности

кругового цилиндра ............ ..... 75

§ 12. Диафрагма в полубесконечной многоходовом волноводе 35

§ 1Ъ. Дисперсионные свойства цепочки резонаторов с узкими щелями.....................102

Стр.

¿ Лриме^знке гар'лациокногз тцынп^гщ ¡Изййгера к расчету

щелевих ш<>лновсдно-резонаторных устройств......П4

Г Л А Б A. a. üüIGP.Íii Уолла GJLAHMШ ?ЧАЮ¡иЦX ЩЦйА

§ 15. 3a:íon распределения олеэдфи^ейкого поля на узко;: щели 136

¿ ló. Примеры устройств с узк^ыи слаШязл у ^а ю^ши щелйШ* .

Г Л ABA Ш. ГШ ЮЦЖ СТИШКИ В ДОЛЕВЫХ ЗАДАЧАХ

¿ 17. ffia&R оильноизлуищ^ая щель в стенке конечной толщины Í48

¿ 18, слабоязлучающая 1:елв в стенке конечной толцинь 162

¿ 1У. cné|i си úüü&e свбй^Д'Еа :ирш окольно го волновода, нагруженного на л оду пространство ч^рез уз кущ щель в стенке конечной толщины ............... 168

глава ху. штя Д/^РАЛШ НА лкотв^жм.

¿ ¿0. Двусторонней ои^нк;* йн®еграл|ных характеристик раёсейгаш...................192

§ 21. д ип ол ь но е :í: рио лл к и е Pü лея -i¿андёл^А tuü a- ¿¡ s т е.....204-

§ 22. Расчет верхних и шшшх границ коэффициентов поляризуемости » . ......................208

§ 23. Поляризуемость круглого сйгьерстия при найкчкм близко-

распсложенного параллельного экрана .......... 218

о A a Ji г i ¿ i ;t J ....................¿23

ЛИТЕРАТУРА.....................229

СЛИСОК ОСНОяШхл ОДЗЭНАЧДШ

£ - временная зависимость

и /Ч ~ диэлектрическая и магнитная проницаемость среды 10 « ] £0/ - волновой ад ми тане среды, ^ =

Со 1 о

- длина водны в неограниченной среде, к - и = Зт, Н^ и К^ - функции Бесселя, Неймана, Ханкеля первого рода

и Макдональда

К и Е - эллиптические интегралы первого и второго рода, Л и - ж основной и дополнительный модули

£ 00 - целая часть числа X £ =2-5 - ¿¿нозлтель Немана

^ - знак "больше л«бо норадка" с/э - знак пропорциональности г - радиус-вектор п - Енеиняя нормаль к поверхности, 1 - единичный тензор второго ранга В - тензорное произведение векторов А и В с[у и аь ~ элементы объема и площади

ЗКх)

Эх

Зх

к -а.

Б работе использована с^екма единиц Сй, цитирование формул, полученных другими авторами, производится в принятых здесь обозначениях.

Нумерация формул (рисунков) следующая: номер параграфа, точка, номер формулы (рисунка). Аналогичным образом нумеруются сноски, на которые имеются ссылки в дальнейшем азяон&нии.

В2 м ¿н а Е

Одна из основных задач высокочастотной электродинамики мояет быть сформулирована в следующем виде;

созданное приходящей из бесконечности волной» Требуется найти

Если не накладывать никаких ограничений на геометрию устройства» то решение поставленной задачи сводится к численному интегрированию векторных уравнений Максвелла.

Б большинстве случаев, однако, отверстие связывает два простых (канонических) объема, так что исходную задачу удается сформулиро-

вать на языке интегральных уравнений , При этом достигается весьма существенное ее упрощение: отыскание вектора электрического поля в объеме заменяется отысканием его касательной компоненты на поверхности отверстия, поскольку, однако, при произвольных линейных размерах отверстия реаение этого уравнения не представляется возможным, настоящая работа посвящена изучение двух предельных случаев:

* й!сли сочленение обладает аксиальной либо трансляционной симметрией, то исходная векторная задача сводится к двумерной скалярной. Некоторые йз этих двумерных задач (открытый конец плоского или круглого волновода * емкостная или индуктивная диафрагма в прямоугольном волноводе и т.д.) могут быть строго решены методами теории функций комплексного переменного (ме-

и Шестопалова ] .

В нашей работе никаких требований на симметрию сочленения не накладывается.

возникшее в резуль

1) узкой щели (у- « \ , а - ширина щели* ^ - характерный раз-

и

мер в задаче) тл

2) малого отверстия ( » И ~ макс дуальный линейный раз-

А

мер отверстия)*

Актуальность доставленной задачи очевидна: узкие цели м малые отверстая являются наиболее распространенными элементами связи в таких СЕЧ-устройствах, как направленные отзетвитеди, согласующие диафрагмы, резонансные волномеры, щелевые антенны и т.д.

4исло статей, прямо или косвенно связанных с рассматриваемой темой, превышает 500. Подавляющее большинство этих статеи,естественно, содер->шт либо несущественную модификацию, либо численную реализацию широко известно методов. Во Введен и л мы дадим подробней анализ лишь основополагающих работ.

$ I. ¿ласск^икация у|кнх; щелей

Введем на щели ортогональную систему координат и, , чг с единичными ортами аи , (рис, 1,1).

Величина апертурного поля (а, значит, и поток мощности через щель) существенно зависит как от угла, под которым ось щели Пересе-

ьсает линии возбувдаодего поверхностного электрического тока ,

тан и от свойств функции , иными словами, - от соотношения

компонент Бозбуадасщего ноля на оси щели. Учитывая сказанное, мы будем называть щель сильноизлучающей, если

&Л) mах 1 3%,iOl * | Э!Чо,тЛ\

и u V

и слабоизлучащвй при нарушении этого условия.

Наибольший практический интерес представляют, естественно, силыюиэлучающие щели. Лз всего многообразия елабоналучающих щелей применение находят щели, ось которое совпадает с одной из линий возбуждающего тока.

§ ¿. Об интегральном уравнений теории узких сильнопалучающих щелей *

В предположении, что

а) на щели мо;шо пренебречь продольной компонентой электрического поля по сравнению с поперечной и

б,) распределение электрического пол» поперек щели совпадает с распределениеы поля в зазоре ширины d между двумя раэно-

* Исторически пеовым было сформулировано уравнение дли тока в

ls-si , $

10] >. , Леонто-

тонком вибраторе (Халлен L 1 , Леонтович и Левин

ITT Г?'

В силу принципа двойственности ^четолвкорс г .

вич 11 , Фелъд Jyравнение для напряжения на узкой щели, прорезанной в неограниченном плоском экране нулевой толщины, имеет тот же вид, что и уравнение для тока в "дополнительной" ленте. Впоследствии Левиным г^] была построена единая теория металлических и щелевых антенн - "единая ъ tow смысле, что и структура окончательных уравнении и метод их получения одинаковы для металлических и щелевых антенн". Б дальнейшем, однако, мы ограничимся рассмотрением лишь щелевых задач.

*

именно заряженными полуплоскостями Фельд свел зекторное интегральное уравнение для касательной

компоненты электрического поля на щели к скалярному интегродиффе-ренцианъндау уравнении

(2.1) ÍVlv)-*f {?ÍV,ir

dtt ж Я

для "безразмерного" (истинное равно £oI0V ) напряжения V . Здесь

£F[V,ir] - однородный функционал напряжения, 10 - амплитуда возбуждающего тока,

hiv) - закон его распределения. Важно подчеркнуть,

что это уравнение не содержит малого параметра, поскольку из требо-Н

вания j- « 1 еще не вытекает, что и а « \

Оба предположения, а значлт, л само уравнение (2.1) несправедливы в области иорндка d, у концов щели. Однако, оказалось, что роль этих областей в формировании распределения напряжения может быть описана граничными условиями;

(2.2) Vio) - V(E) - 0 ,

Функционал eF[V,tf*] имеет на концах щели иеинтегрируемую осо-

^ к

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифракция электромагнитных волн на узких щелях и малых отверстиях»

бенность

* Тем самым предполагается, что главные радиусы кривизны поверхности, в которой прорезана щель, велики но сравнению с с1 , а ось щели расположена далеко (на расстояниях, много больших <1 ) от возможных изломов этой повэрхкости и других металлических тел.

* *

Леонтович и Левин утверждают, что "природа этой особенности чисто электростатическая", "¿Зсли концы вибратора закруглены, то эта особенность, естественно, исчезает". На наш взгляд, появление столь сильной особенности в функциоййле ¿Г связано не с физиков задачи, а с несправедливостью предположений а) и б) в зоне порядка с1 у концов щели. Сказанное означает, что изменение геометрии концов в этой зоне в принципе не может быть учтено в рамках уравнения (2.1).

dVlo)

dV V

и

m V- »-i

dtr £ - v

л сожалению, этот весьма принципиальный фант не нашел своего отра-женил ни в одноИ из известных нам работ ло теории щелей .

Однако, нам не известны задачи, в которых могла бы появиться необходимость непосредственного вычисления функционала ¿F . для доказательства мы воспользуемся функцией Грина G оператора и сведем интегродифференциальное уравнение Ск интегральному уравне-

* *

нию второго рода :

Sin кЕ

C2.4J V | FÍV,*]*i^

V

Oí,

ч

г [ V,хг] - > 1 к 91Л к? .

Возникающий при л'о^ функционал Р^Ц'] исчезает на концах интервала ] и, как мы покажем далее, через него выражаются все имеющие физический смысл величины, легко также видеть, что роасние уравнения (2.4-) убывает у концов щ=ли по "лине/ному", а не по "корневому" за« кону, как этого требует "условия на ребре11 .

Лная форма за яке и уравнения для напряжения на узкой щели предложена Стивенсоном [л Батсоноы * Она получила Р] название "линеаризованного" уравнения Хэллсна. Важно, однако, подчеркнуть, что упомянутое уравнение не имеет стандартного вида, поскольку содержит лнтеграл

* Более того, наг: иеизвесты работы, в которых содержался бы явный вид функционала Я" хотя бы для простейшего щелевого устройства .

**Здесь и ниже мы пользуемся обозначениями: I I

Ци- УМ-УМ ,

Л Ы-у'

о

который ограничен при лтабоы т лишь благодаря наллчию разности

Ш-Ш) ■

§ 3. Приближение зкспопегщиалъко узкой щели

Лри решении уравнения (2.1) авторы работ -15-18$ 21-28]

налагают на ширину щели дополнительное весьма жесткое ограничение! а именно: щель считается не узкой 1 , но ^ I ), а экспо-

ненциально узкой (с<<< \ ). Такое предположение позволяет использовать аппарат теории возмущений.

А. ¿ели сочленяемые объемы нзрезонансны, то решение ищется в виде ряда до степеням малого параметра ос :

сзл) *

Ьдесь и далее под решением мы буде.: понимать его первое неисчезающее по ос приближение. Лодстановка (3.1) в (2.1) ведет к системе дифференциальных уравнении

¿и - о .

(з.г;

¿и, - .

В рассматриваемом случае экспоненциально узкой щели фигурирующий в (2*4} параметр ^ приобретает глубокий физический смысл; его величина характеризует степень относительной расстройки щели и генератора. Если «1 ("слаборасстроенная" щель), то закон распределения напряжения не зависит от закона распределения возбуждающего тока:

(з,з) U (v) = Aj ,

ijtvï »StUUjU , Kj - > j - целое число.

Амплитуда А^ находится, t:aie обычно,из условия ортогональности полученного решении ¿с правой части уравнения ¡второго приближения:

(з л) A.--iIMLL. у, = {?[бГ1г],^) •

Мнимая часть величины Kj пропорциональна потерям ка излучение, а реальная - разности энергии электрического и магнитного поля, локализованной е окрестности щели, йсли ("сильгорасстроенная" щель), то уравнение первого приближения имеет лишь тривиальное решение U= 0 и

(3.5)

В последнем случае закон распределения напряжения существенно зависит от закона распределения возбуждающего тока. Поскольку сдвиг фаз мевд напряжением и возбу^давщим током равен ^-/й , то такая щель не излучает в первом приближения по параметру ¡/^ .

Сув1ественяый недостаток описанного метода решения состоит в том, что он не дает* для / единого аналитического выражения, пригодного при любом значении параметра ^ *

Фельд попытайся обойти эту трудность. Идея предложенно-

го им метода весьма фкэичла: щель а реальном устройстве заменяется отрезком закороченной на концах длинно»; лини;? с эквивалентными поте-

Лсютчение представляет случаи, когда (Ь^)-О (например,

вследствие симметрии.). Такое специальное возбуждение не мояет вызвать j -ми щелевой резонанс, в силу чего формула (3.5) остается справедливо;: лъ/. любом значении * . й дальнейшем

предполагается, что -

рями. Однако, надданное Фельдо* выражение для комплексной постоянной распространения атой линии непригодно для численник расчетов, поскольку содержит расходящийся интеграл

[ V, 1г] , 31п к, ЫпкИ* 0 .

Наибольший практический интерес представляет, естественно, случай близких волнобух чисел к и к. {15тк1? 1 << 1 ). При этом пара-

н

иетр ^ мо^ет принимать любое значение. Подстазлня разложение в уравнение (2.на ¿дел

(5.7) УЫ-АЦЦМ , А ф = -1 )). •

1 У| * (-04

Таким образон, если волновые числа щели л генератора близки, то распределение напряжения практически синусоидально, а его амплитуда существенно зависит от величины параметра расстройки. .Сак и следовало ожидать, в предельных случаях слабо- и сильнорасстроеяноМ щели полученное выражение переход/т в ^3-5) и ¿¡ели выбрать

(3.8) !- £- .♦¿■в^-д, ,

J J

то

(3.9)

и имеет место щелево;! резонанс. Знак поправки зависит от геометрии устройства; в частности, она мо>^т равняться нулю. Дри уменьшении ос резонансная кривая | А (д) I общается, перемещаясь к началу координат.

Е. Цусть теперь те же объемы связаны через /V экспоненциально узких щелей. Напряжения на них удовлетворяют системе интегро-

v *

дифференциальных уравнений

N

(з.ю) 4УДЬ« f ¿Aikw}* r*N

и нулевьш граничным уеловину. Отсюда и до конца этого параграфа индексы г и VI нумеруют величины, связанные с г-он и n-ой щелями. Система (ЗЛО) справедлива лишь яри условии, что минимальное расстояние мелду двумя соседними щелями много больше их ширины.

Фелвд предлагает решать систему (3.IÜ) методом теории возмущений, то есть разлагать напряжение на а-ой щели в ряд по ее малому параметру Ы , Совершенно ясно, что такой метод решения допустим лить в той случае, когда параметр расстройки каадой щели подчиняется одному из условий: 1«! либо ^А - Лоэтому представляет интерес найти общее решение (3.10), пригодное при любом наборе параметров ^ . Ъ наиболее важном случае, когда волновые числа всех щелей близки к волновому числу генератора, напряжение на каждой щели практически синусоидально;

(3.II) УДО = Ajh, ) ' J - целые числа.

Амплитуды удовлетворяет системе линейных алгебраичес-

кие уравнение N

(3.12)

n-t

где

1 = I , i) •

щ

Эта система уравнении справедлива и для узких щелей.

¿a к и следовало ожидать, при /V = 1 полученный нами результат совпадает с (3.7).

бели система состоит только из сильнорасстроенных щелей (все \\ I У> Í ), м Í3.I2) распадается ^поскольку для любых г и yi

tj ! rsj { ) на отдельные уравнения и для любого п имеем: i i-Vn 1

.....\„) ~ 4Ла-

Таким образом, сллънорасстроенные щелк в первой приближении по параметру /% электродинамически не взаимодействуют.

Se ли зе система состоит ив настроенных и слаборасстроенных щелей* (все ¡^ ( í \ ), то относительно амплитуд An(^.....

ничего заранее сказать нельзя и необходимо решать (.3,12)-

В. Рассмотрим теперь случай, когда один из сочленяемых объемов-оеэснатор. Ясли (Л = i - t - Q - кратно выроненное

волновое число замкнутого резонатора), то резонатор ничем принципиально не отличается от нерезонансного объема и решение уравнения (2.1) можно, как и ранее, искать в виде ряда по степеням малого параметра с* , Специфические свойства резонатора начинают проявляться, когда ¿ мало. Ь этом случае

и непосредственное прляенение теории ьозыущенлй недопустимо. На этот факт впервые обратил внимание ¿ельд Р5' , предложив формальный математический прием, позволяющий обойти эту трудность. ¿Затеи одно-

*В случае уногопелввоП систзмы нельзя ввести понятия " л-ой настроенной щели", поскольку может оказаться (аа счет интерференции;, что о . Применяемая же классификация

основана на значения параметра

временно Галопов и Левин И , Ахиезер и Любарский

[261

построили

теорию возмущений, учитывавшую упомянутуе специфику. Их идея весьма физична: из функционала Зг[\/,1г] £ явном виде выделяются резонансные члены, которые выносятся в уравнение первого приближения. Последнее определяет вещественные волновое члела к = ко(1- резонатора со щелью, а при |д-й(«1й| (резонансное возбуждение) - также и закон распределения напряжения. Его амплитуда находится, как обычно, из условия ортогональности полученного решения к правой части уравнения второго приближения, ^сли ^ | Д ] (нерезонансное возбуждение), то напряжение полностью определяется уравнением второго приближения, ^десь уместно заметить, что теория возмущений не дает для напряжения единого аналитического выражения, пригодного при любом малом Д

Степень расстройки цели относительно резонатора мы характеризуем параметром

(3.15) р = ,

Поскольку при произвольном решение уравнения (2.1) не представляется возможным, Гаяонов г7] ограничилсн рассмотрением двух предельных случаев: ненастроенной и настроенной ) щели, Б первом из них а ела 4 что не противоречит исходному предположению , го второе - и необходимо требовать в* «с 4 - условия более жесткого, чем экспоненциальная узость.

Важно подчеркнуть, что ьо всех работах, посвященных теории экспоненциально узких щелем, стенка предполагалась бесконечно гонкой. Физически ясно, что такое предположение ыоде!? бать оправдано лишь в случае "тонкой" {с1 , 1 - толщина) стенки,

1\ Щели, реально применяемые в устройствах сантиметрового диапазона, являются узкими, а толщина стенки 1 сравнима, как правило, с их шириной .

В свете сказаиного естественным является постановка следующих задач:

1) создание общего метода выделения особенности (но и и щ ) ядра и отыскания функционала Г [ ;

2) разработка метода решения интегрального уравнения для напряжения на узкой щели;

3) выяснение пределов пр^лзнимости теории экспоненциально узких щелей;

Ч-) создание методов учета конечной толщины стенки.

^ Ц-. Вариационные методы

В большинстве задач ннттрес предо тазляет не само напряжение на щели, а вычисляемые на его осноье различные линейные функционалы, сопоставимые с результатом физического эксперимента: элементы матриц рассеяния, импсдансоь, ад^лтанссв л т.д. .[слользуя уравнение

(2.1), эти функционалы всегда мо^но лреобразовать к виду, стационарному относительно малых вариаций пробного напряжения U Еблиэи истинного V .

Лусть, например, нас .интересует величина интеграла

Сол) i = (v.t) <

где h (tí) - заданная функция, а Ш - напряжение, созданное воз-буздонием к (от) . Лерепишем теперь уравнение (2.Í) в более компактной форме

(4.2) áv-h , vW-чш-о

"" т*

и обозначим через V(v) напряженке, отвечающее возбужению k (У) .

Введем в рассмотрение класс функций, исчезающих на концах

интервала [o,L] и обеспечивающих кояечность свертки (иди) ,

А

II & & .На функциях этого класса интегральный оператор с/? удовлетворяет соотношению симметрии

(4.3) (и.4и)= М^) , и,В,

в силу чего величина

<*Л) 1|и,и\-(и,к) + [и,к)-(иди)

обладает указанной стационарностью, функционалы типа называют

иногда * энергетическим и" г"3* .

В широко известных работах Р"*"' наряду с (4,4) приводится аыплитудно-неэнеисимый функционал Свингера Р**1

т»,и гп (ил)(ОЛ)

(4.5) I и,и I —дГТ--

(ММО

Оба представления рассматриваются независимо и даже утверждается РЧ, что "функционал Н.5) ддет результаты, обладающие более широкой применимостью; поэтому его следует предпочитать функционалу (4,4)",

На самок деле (4.3) является частным следствием Дейст-

вительно, в силу одноиодности граничных условий (и только поэтому!)

/V

вместе с пробными пункциями 11 ,1/ допустимыми являются (1У Д1) ; а , а - произвольные числа. ¿и:^си?уя \1 и Ьт т из условия

(4.6) rlaU.SU}-Л 1|аи,аО| -О

: ' оа. 1

найдем "оптимальные" значения амплитуд

(иЯ (иЖ)

1/1х подстановка в (4,4) приводит прямо к . Таким образом, вариационны и принцип Свингера следует рассматривать как первую ступень реализации "энергетического" метода. Обратное же, неверно: нельзя, постулировав (4.5), вывести (4,4), ибо у них разная степень общности

Обобщение этих результатов на случай уравнения с неоднородными граничными условиями будет приведено в четвертой главе.

ГГри использовании вариационного принципа остается открытым вопрос, в каком приближении но параметру щ справедливы полученные результаты. Точность последних существенно зависит от того, насколько хорошо "угаданы" пробные функции.

§ 5. Теория дифракции на налом отверстии

Пусть теперь объемы и связаны через малое (С « Л §

отверстие произвольной форыы. Если:

. *

а) отверстие расположено далеко от изломов поверхности и

б) возбуждающее поле |Ь , н | слабо меняется в его пределах, то, как показали Рэлей р5! , Мандельштам Р°] и Ьете

(3?

, оно

полностью характеризуется эквивалентным;] довольными моментами

Р - *

М = -и0 гп* Н

р

г

Здесь р и т - форм-факторы, связанные с решением аналоговых электро- и яагнпростатических задач, и называемые соответственно коэффициентом электрической л тензором магнитной поляризуемости, Замкнутые выражения этйх величин мо^о получить Р®] лишь для эллиптического отверстия в уединенном бесконечном экране, а для апертур более сложной формы приходиться прибегать к эксперименту ,

* На расстояниях , Такому же неравенству должны удовлет-

ворять и главные радиусы Кривизны в месте прореэания отверстия.

н <

То есть | н>)| »

В ,

Й

В свете сказанного естественным является постанови следующих двух задач:

IJ создание ^в рамках дипользои теории) приближенных методов расчета коэффициентов поляризуемости отверстия произвольной форму;

1) развитие теории на случай, когда нарушены условия а) и б), лежащие в основе дилольного приближения.

КРАТКОЕ ОПИСАНИЙ ШЛУЧ^ННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

I, Лервая глава посвящена теории узких садьноизлучающих щелей.

В § 6 введено понятие тензора входного адаитанса объема через отверстие, с его помощь» сформулировано векторное интегральное уравнение для касательной компоненты электрического поля на отверстии, связывающем два произвольных объема.

В § 7 дается вывод интсгродифференциального уравнения для напряжения на узкоЛ щели» Зго принципиальное отличие от вывода, предложенного Фельдоч t Стивенсоном р^] и Ватсоноы 1 , состоит в том, что он позволяет охватить также случаи щели, прорезанной вблизи (на расстояниях поредка d ) изломов поверхности.

Б § 8 развивается общи!: метод выделения особенности ^по и. и и! ) из поперечно-поперечной компоненты тензора входного адшитанса простого объема. При ÜTQ& независящая от ишеречных координат часть входного адилтанса имеет вид

o/f(v, v') тf зе ,

Í, .. V (П ~

m

где Í - известные коэффициенты, возрастающие с ростом как

m

^mW - закон распределения т-оу. собственной функции объема на оси щели. Ь toíí se параграфе приводятся явные вы-

ражснин коэффициентов дли ряда простая объемов, в стенке ко-

торых прорезана узкая сильноизлучающая щель.

В § 9 излагается м^тод решения уравнения для напряжения на узкой сильноизлучающей щели, j^ro идея состоит а сведении исходного лнхегродифференциального уравнения к интегральному уравнению второго рода, а последнего - к бесконечной системе линейных алгебраических уравнении дли элементов матрицы рассеяния устройства. Затем эта бесконечная система "урезается" и решается на ЭВМ.

На прошение на узко» ^ела цо^но такае найти при помощи обобщенного метода наведенных М* : если положить t

7Г

то исходное интегроди||(ференцнальсое уравнение можно свести к системе линейных уравнений порядка Л/ . Последняя, однако, существенно отличается от полученной нами что каждый ее матричный элемент есть бесконечный ряд, а физический смысл коэффициентов V^ не столь прозрачен.

В параграфах 10-15 содержится подробный расчет ряда нетривиальных щелевых устройств. Имевшиеся та:: численные результаты иллюстрируют пределы применимости теории экспоненциально узких щелей.

Параграф 14 лосвн^зн прииенению вариационного принципа ¡Свингера J* к анализу класса волневодно-резонаторных устройств с узкими поперечными щелями. Выбор такого класса связан с тем, что матрица рассеяния любого устройства оказывается автоматически унитарной при произвольном распределении пробного напряжения. Знание унитарной матрица рассеяния позволило conocíaв,ать каждому устройству его эквивалентную схему и ввести строгое понятие составного элемента эквивалентной схемы, соответствующего кэ?*дому сочленяемых объемов. Дано применение метода составных эквивалентных схел к анализу многощеле-ъых устройств.

2. Вторая глава лоевнцена теории узких слабоизлучающих устройств

В § 15 получены явные выражения для обеих компонент электричес-

кого поля на щели, прорезанной здоль одной из линий возбуждающего поверхностного тока, ilpи этом показано, что такая щель нарушает его распределение ли^ь в узкой полосе порядка ширины щели*

в <j 16 дан полны.: расчет некоторых устройств со слабоязлучающими щелями.

3. Третья глава посвящена разработке общего метода учета толщины стенки в щелевых задачах электродинамики.

Б $ I? рассматривается задача дифракции электромагнитной волны на узкой сильноизлучащей если ширины dL , прорезанной в стенке конечной толщины t « Л . показано, что с точностью до членов порядка

интегральные характеристики рассеяния этой щели совпадают с

соответствующими характерно тикал и для щел ширины

в бесконечно тонкой стенке. Поскольку при J- t \ функция Т(У<0

d

экспоненциально убывает, толщина стенки весьма сильно влияет на упомянутые характеристики.

В § 18 показано, что решение задачи дифракции электромагнитной волны на узкой слабойзлучающей щели в бесконечно тонкой стенке 15j автоматически решает и задачу о щели в стенке толщины t « > , Так, например, если в элементах матрицы рассеяния, относящихся к разным объемам, заменить ci на d = d* , а л одному объему - d на d+=* d А/+ ( Vd) f то придем к матрице рассеяния щелевого устройства со стенками толщины t

Лараграф 19 посвящен решении дисперсионного уравнения задачи о прямоугольном волноводе, нагруженном на полупространство через узкущ продольную щель в экране произвольной толщины* Лсследованы свойства различных (кваэиетатическоЙ, полноводных, щелевых и волноводно-щеле-вых) мод.

ч-. Четвертая глава посвящена теории дифракция на малых отворотил: В § 20 рассматривается задача дифракции электромагнитной волны на малом { D « 'Х ) отверстии. В отлично от широко известных работ Рз-

лея-Мандельштама-Бете V * \ ш не требуем постоянства воэбудакь щего тока в пределах отверстия Л малости размеров последнего а сравнении с радиусами кривизны поверхности. Сформулированы вариационные принципу приьадящле к двусторонним оценкам любого линейного функционала от апертурного электрического поля* Такой подход позволяет изучать у Строева, в которых отверстие расположено вблизи изломов поверхности.

liapürpu^ 21 лоовнщен дилольниау приближении, одесь сформулирована стационарные функционалы, приводящий к двусторонним вариационные оно и кап коэффициента электрической и диаго^льных элементов тензора магнитной поляризуемости отверстия произвольной >1ормы в бесконечное элране нулевое толщины.

В 5 22 содзрзитея числегаая реализаций упомянутых фуккционалов в случае нетривиальной задача о прямоугольном отверстии,

В ^ 23 наедены коэ1сициен'?у поляризуемости круглого отверстия при наличии близкорасположенного параллельного экрана, в §§ 22, 23 приведен ряд нобых изол лриметрических и асимптотических формул и указаны границы их ир.шавшостл.

ГЛАВА I. ТЖРШ УЗШ С&ШЮИаДУЧАЮЩХ ЩМ

§ 6, Функции Грина электрического поля и входной адыптанс объема через отверстие

(6.1)

Рассмотрим некий (конечный или бесконечны:^ объем 17 » ограниченный бесконечно тонкой идеально проводящей поверхностью S . Уравнения Максвелла для стационарного режима и однородной срсды имеют вид

-rot Н Н - К ,

rot Н =- ¡-70К Е + I .

diu Ё ^ «U I ,

, сlixr К *

- —

Легочниками электромагнитного подл являются сторонние

электрические токи I и магнитные токи К . Они аналогичны соответственно источникам тока л напряжения в теории цепей.

Исключая одно поле;;, придам к волновым уравнениям К1) I = - 1*вк Т - rot к amdeU^I ,

(6.2)

В дальне«^ем предполагается* что сбвелные источник на поверхности

отсутствуй?. В таком случае должны выполняться следующие граничные условия (ГУ) :

(6.3}

nx Е - о divE = о

Г

S .

Заметим« что солено«дальность вектора аа границе зще не означает его соленоидальности во всем объеме ] .

Введем теперь в рассмотрение тензорную функцию Грина электрического ноля» подчинив ее уравнению

£6.4) и) G -

однородным ГУ на металле

п* G « о ¿urG = о

ч

г &

S

и условиям излучения (для неограниченного объема)*

Чтобы уяснить себе смысл G , рассмотрим различные случаи воз-буздения поля в объзмз

т . ¿ели возбуждение производится объемным вихревым электрическим током I , то

(6.6) F(r) =-UQK Uv'E(K,r')-Т(П r

Отсюда видно, что G можно интерпретировать как импеданс

между точками Г и Р , ибо эта величина дает электрическое поле в точке г | порожденное единичным током в точке .

¿¡¡ели jsts возбзгзщение производится магнитным током К , то

ЩП §#) - W f re-iT,

Яусть ток J^ существует в малой часть; объема, причем точка к лежит зне ее. Тогда, вычисляя магнитное поле и интегрируя по частям, получим

Здесь оператор дейстзует налево при дифференцировании, но умно-жаетоя в указанном порядке как вектор* допустим теперь, что ток К носит поверхностный характер и течет по малой единичной площадке около точки г' с нормалью v' . Тогда, построив также малую площадку около точки наблюдения г , найдем

(6.9) - 1?'-. где

(6.10) 7(v,v'|r,f) V. [?«"S(r,r')x r].V.

Величину v'* K(f»r*) «одно интерпретировать как ЗДС источника напряжения, включенного на площалкс около г* , Величина v* Н(?) есть ток, индуцируемые на металлической площадке с внешей нормальщ у около г . Доэтому 7(v,v'¡r„r') есть волновой а дм и та не мелду точками (точнее площадками} F и „ Используя симметрию функции Грина, мои*о показать, что золновой адмитанс обладает той же симметрией:

^(^v'l^r-) (Г, vi f', г)\

крест означает транспонирование тензора.

Если в поверхности S прорезана апертура t на которой задана касательная компонента электрического поли Е , то

(6.U) У-Й(г)= , f^V.

А

Эта формула тоже легко истолковывается. Точки г' на отверстии аналогичны внешним каналам цепк и ^6.11} совершенно аналогична формуле теории цепей, вырезающей ток в како¿i-либо ветвп при подключении ис^ точ никое напряжения к внешним каналам. Ксли обе точки "г иг' лека т на А , то v = и , v иу и ^(u^n'jr аналогична матрице ^непыего а^днтанеи многоканальиика. Эта аналогия еще более подчеркивается формулой

(6Л2) | '

А К

выракающеН поток энергии через отверстие. Последняя вполне аналогия« на мощности

ÍÓ.I3) ± 1 у* у и

¿ I_ ^m 'mu т

псглощаемо-í нагрузкой с матрица/ а^итансов Vmn ( подсоединенной к источникам напряжения . i-Haii-i словами, когда ? и г' лс*ат на отьсрстн.;,

можно понимать как входной адмитанс объема через это отверстие. К той же интерпретации моги о придти и другим путем, Л с еде прореза-ния апертуру объем Т^ IX оказывается нагруженным на некиЬ объем Ifc . iу желаем учзсть наличке нагрузка в виде зф^ективадах ГУ для первого объема ло доено тому, кг:: зто денется с помощью ГУ Леонто-нищ api: нагруяенип на сяабологло^ающую стеилу (на идеально проводящей стьнке ГГ х Е - О т чи молно понижать как закорачивание) ¿ели точка г знут?>: обт^ц нагрузка, то

(6.13) - Us'П (.5.Й-1 ?,?')-Е(П .

А

где п есть иооош,. ад^лтанс объема U, . Устремим теперь точку 'г.

на погерлность л заметны, чю сад ¿ходят только тангенциальное составляющие поля, непрерывные пр.: перехода череа А т Поэтому в (о.15) Е к И можно считать полни и ь первое объеме вблизи Л Иначе говоря, (о-15> становится 17, учитываккцим наличие объема нагрузки. В это:: смысле оно полностью аналогично ГУ Леонт<$ич% отличаясь от него своим ^¿о^аль^к характером.

Отсюда немедленно следует и нт тральное уравнение

(б

,16) [ds'l^tW+f.íV'lj-Eí^^S'íO *

для касательной компонента апертурного электрического поля* Здесь и есть входные адагитансы сочленяемых объемов, а

(6.I7J

- ток, наведенный на металлизированном отверстие волной, падающей в объем 1j¡ . для единственности решения к Этому уравнению необходимо * добавить ГУ на контуре отверстия Г :

се.т - о *

Боукаип И И ¿teRKCHSp [201 показали, что вблизи бесконечно тонкой металлической кромки

с6Л9) о ^ > Е,^ • '

Где и касательная ■■ нормальная (к кромке) компоненты апор-

ту рного поля, $ - расстояние от кромки до точки, в которой наблюдается поле.

§ 7. ¿ывод лнтетрального уравнения для напряжения на узкой щели

Пусть объемы 17, и связаны через узкую сильно излучающую щель* Предположим, то линейные разиеры объемов, главные радиусы кривизны поверхности в место прор-эзанш щел- и радиусы изгиба ее осевой линии велики по сравнению с d .В таком случае

* Необходимость постановка 17 диктуется тем, что на самом деле уравнение (6Л5) является лсевдоинтегральньш t^l . ¡1ри его выводе мы незаконно внесли операцию дифференцирования (вычисление Н через Е ; см. (6.6) ) под знак лнтеграла* Однако, зта операция не ьедет к расходимости величин, сопоставимых с результатом физического эксперимента, поскольку последние всегда являются матричными элементами типа (6.12)*

(7.L) max I E (o,uO| ^ глах I £ (o,v)I

■i 1 ü 1 ir 1 v

и модно пренебречь* После этого векторное уравнение

v

(6.16) превращается в скалярное:

<Чг

(7.2)

da'

сЬ'Ц 9 (tt^íuf^lE Kvó - H^(uiv),

l í1uu 4 í*buí¿. j li v

O

Здесь к нике все рассуждения относительно компонент апертучного электрического поля справедливы на щели всюду, за исключением малой зоны порядка d у ее концов* В силу сказанного, при вычислении всех величин, характеризущнх узкую щель, мы должны отбрасывать члены, исчезающие при —G .

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фридберг, Пинхос Шаевич, 1973 год

ь - а

так чгю при л = о ¡цель иокет быть заметаллизирована, Б зтол специальном*"4^ случае интеграл "перекрытия™ а Ф о , а ортогоналъЕЮсть

о тщ

достигается за счет обращения в нуль амплитуды напряжении.

б) настроенная ¡цель ^ I (М « 1 , ю есть \ =! \ - « \ )

ка

Б этон случае (12.¡27) —- --4- + 0(0

Б^пкЬ ¿-о т '

и уравнение первого приближения и^еет вид;

иг.гв) и т N - ——гт (¥.* а^) г '

< Сь111')

где

Нетривиальное решение а то го уравнении су^естьует только при

(12.30) ***** *ДтГ+ *

¿ели предположить* что X ^ 1 , то для справедливости теории должно вилол1Шться аесьаа жесткое условие

Однако, в обычных йриизра:£ X мало* » так что неравенство достаточно хорошо выполняемся для экспоненциально узкой щели.

* 12.1 цЦ0НИЫ| ^пример, верхнюю границу X . Учитывая, что

е

полу чип

о * * шнаг < м« * •

1аким образов, ёслл ъсе размеры резонатора сравнимы, то

4

У действительно пало.

101

Б случае резонансного гозб^здания, то есть при 1«1д

напряженна синус овально;

(12.31)

а ого амплитуда

!/[„ М = V М^) ,

цг.зг;

А'" = чШ*

\йЬ }

и.»

1

!п

1 Л. - Л

При вычислении А-т в коэффициенте £

<+-Н"Г

следует запенить

та

ка

иг,зз)

2 \2С/

/ 5 Д — 8 ^тп

] + - + — -- -я

2Л Д

где

[12-34)

" Ч* /_

=

л » 1

(«л

есть о точностью до численного множителя функция Грина оператора

0 удаленным резонансным членсм.

¿1з форму ли (12.32) йгдно, что мшсслмуы ре зела ноной кривой

1 А Г (д) I смещен относительно точна па величину

^ ж а

2 Пип^-и

02.35)

Л' - ос

X' . X

Г- I

1 + ^ 6

Отсюда и до гажца пункта й) под Д следует понимать 5 либо Д.

Сравнивая Ц2.3С) и придем к соотношению

й

означающему, что при уменьшении « скорость сжатия резонансной кривой примерно в Vраз больше, чел скорость ее перемещения к началу координат.

В случае нерезонанского возбуждения, то есть прл ^ 1&I *

Напряжение равно

™ VIi* , х г -

(12.37.) (jir) =-iér Нпг) —-r^TT—- - ^- 1

** jm * jtr vas / д[л-5) - i ï

где

(12.38) w. (тг)=—-, Г эр~ Гэеи +

^ u^) m * (И1 rm Й*т>

Г . г

m JMi. m*n

H

Ра с смотр ад, как и ранее, структуру V/'m(v) в мало*: (по сравнению с ¡ûj ) окрестности точки л-0 , Б общем случае ц Ф m л согласно (12.37)

(12.39) - V«

Таким образом, при д-о на щели существует конечное напряжение*но меньшее ^ябо мал ; см. на смысл Г) , чем было бы б

v jm

случае замени резонатора либым нер «а она не ныл объемом. Легко проверить» что

(12.40) • - 0 ,

то есть распределение ийпря^еаа на щели ортогонально к распределению резонирующей модк. Bii.iso, однако, заметить, что при Д-^0 амплитуда напряжения практически не меняется, а ортогональность дости-

К \

гается за счет исчезновения интеграла "перекрытия" (W-m * Зеж )

ji

В частности, если на щ^ли функция знакопостоянна, то itf^w

меняет знак.

ilpH ^-m напряжение

цг.ш

W[m M

-—--- С*

Мд-S) J

H 5 точке й-о

щель ыожет быть эьыеталлпзииована* В зтои специальном — случае интеграл "перекрытия" , а ортогональность обеспечивается благодаря лечезновению амплитуды напряжения.

Для получения рассеяния в (12.9) следует эанен::ть

на соответствующее выражение. Легко проверять, что

<хы» -

в то вреин, как

(12.43) •

û. Лерездем телерь к оСсузд^ыию результатов численного счета. Б теории экспоненциально узких щелей наибольший интерео представляют формулы резонансного виэбу.*дснин, .юэтоау необход:шо винснить ;ix погрешность ь зависнуости от величины параметра . В рамках этой теорий ответ на а ос те зленный вопрос ^олет быть (в принципе) получен в результате вычисления второго прибл/лония. Лри такой воз-

можности не ¿«естся, поэтому ык сравни результаты численного счета. Последний велся при а_ £00, & = i-O, xü- 50, ь= I к N= 60. Значения остальных параметров указаны на соответствующих рисунках.

i la р::с. 12. Z приведены резонансные кривые резонатора с ненастроенной щелью, а на рис. í'¿*5 - с настроенной. Лоскольку , то в точке напряжение равно нуля, itaií и должно быть.

fia рис. 12.5 аналогичные кривые построены для случая .

Однако, несмотря на узость щела, api: А» О амплитуда напряжения мала. Этот ¿акт связан с тем, что сель "короткая" (по сравнению с

На более "дл-шныс" целях лпа* jVK(W|^> о чей свидетельствуют графики на рис, Í2.6. Поскольку резонирующая мода знакопостоянна на щели» то напряжение меняет 3¡iaK,

В случае ненастроенной щеги (ipi~ i ) аогрейшость формулы (12,17) йолно характеризовать функцией

(хг.м) £ W - —г"гт '

ви числен и oí: при

(I2,45J U - £И * ¿Щ - Цу^У*

Такой выбор л обеспечивает при „иобо^ с* ы а кс до а явность -J в е-

ti ^

ществеяность Um(V2^ - Не рис. 12.7 показаны графики и

д(<х) * Как и следовало ожвдать, при S о

(12.46) mod М Пк 1 , аг^ 0 ,

3 случае настроенное г^лн (J 5 I « i ) пс аналогии введен функцию

(12.47) ---г- '

Jm vf„(%)

fíe графики при

Д - Д+(рО * - + X t 5"= о

показаны на piio. L¿.b.

Из при веден гаас гра^шш можно сделать ¿ыеод» что при ^ ~ 1 резонансные свойства щелл ¿: резонатора проявляйтся слабо, э погрешность формул теории йкспонеяцлальао ¿зк^х щелеи - велика.

С » S3 л 9 , m:i , , &Û , <* - О, 8 2) , n = i f

Рис. 12.S. í - mod V* (V2} f 2 -argV'(%) , B{V'} I

с = sä, 29 , , %ШЬ , * 01 - Нй = , t .

д'=0, 227 Ю'2

Рис. 12-4

Д-fO

-2

t* mod , I- ara V4e/2 ) ,

£ mod ü^y i î

С = 37,80 , - 3 , "X =50, £ - 20 , с* - 0,36g (d=2) , ^

Рис,12.5. mo4V4(%), 2-argV'(e/2)?

1'- modUÄ)?

Рис. 12.7. с = Ъ73ао , , t-20 ,

Рис. 12,$. С-Ы^о , m,О , U 25, Х0=50 t jâ-l , j- \ñ

§ 13. Дисае^иопные с^олохьа цепочка резонаторов

с узкими щелями

А. Рассмотрим пер-одическую структуру - цепочку резонаторов с уэкэди щелями (р-;с. 13 Л).

Напряжение на ¡£еяо.-. ;илслрованно£ удовлетворяет язвестно-

одюфодкои.у лнтегродл^сронцлальнаму уралненж

из.« — 2

л нулевым граничким усло^инц. ¿дссь (13-2) Ь=Ь(к)

- искомый закон дисперсии ьюд в цепочке, еР и 2 - линейные функционалы напряжения. 05раца,4 оператор ¿С , сведьл (13Л) к интегральному уравнена второго рода;

(13.5) . И(У,»НЗ-

* Если созКс = о , то (13Л) описывает■ собственные колебания двух резонаторов, связанна через одиночную цель.

¡Сачостаенннк анализ уравнения (13.1) в приближении экспоненциально узкой щели содержится в работах . Б этой параграфе аы обобщай предложенный ранее (п. £ ^ Э) метод отыскания налряаеядя на узкой щели, свнзыэащел резонатор с нерезонаноньш объемон, на случай цепочки резонаторов, лы сравним также полученные численные результаты с соответствующим результатами, найденными на базе теории экспоненциально узких щеде^ и вариационного метода.

Поскольку мы ограничились рассмотрением щелей, прорезанных вдоль одное; из координатных линяй естественной системы координат »то функционалы Ь и 2 имеют влд:

ИМ-гЕСдК -

цз.+;

Здесь эегМ - закон распределения г-о'/, парциальной, моды неэозыу-щенного резонатора на оси цели» ^ а 2г - известные коэффициенты* Первый из них возрастает начиная с Ir i ~ ка ) с ростом ir] как , а второй - убывает быстрее* чем ехр|-зг^М)

Величина

(13.5) Crí = (V, ЭЕг,)

пропорцилналъна ампллтуде возбуждаемой ъ резонаторе парциальной моды. Танин образом, напряжение на узкой целл

(13.6) V—-fj Cf(ír- ^qfshe)^», í

Г V

а коэффициенты Lr удовлетворяю* бесконечной системе однородных линейных уравнений

г

получающейся после под с та н oí к:-' (£3.6) в (13.3).

При некое число*"'1 коэффициентов £ , ¡?г

возрастает как и^) • Следовательно! на оси к располо-

жено бесконечное множество точек к, я к^ , в которых выражение (13.6) теряет сво*. смысл, появление эт.ис "резонансов" связано не с фиалкой задачи, а со способом ее математического описания (использование функций Грдна двух "конечных" обьеиа^ - отрезка закороченной на концах длинной линии без потерь и невосмущенного резонатора}, Соответствующе предельные переходы были рассмотрены в § Э*

Условие разрешимости бесконечной системы однородных уравнений С13.7) ведет к искомому дисперсионному уравнению

(13.8) оЫ: | - ггсо$Кс)^гг,| = 0 .

Его строгое реасн.:е наы неизвестно* Для отыскания п риб л иженно-го ргаениа в Ос оконечной суш с 113.4) следует сохранить /У^ка членов переитя й системе линейных уравнений порядка А/ . Условие ее разрешимости ведет к диспсрслонному уравнению

(13.9) 2({г-ггсо5кс)дгр,'| =0 , г,,'<Н

^сли половить, нйя ото делается в обобщенном методе наведенных

мда I75] ,

(£3.10)

5 -1

то придем к дисперсионному уравнению

(13.11) ¿А

О , 5

Последнее суще ста енио отличается от те н, что каждый элемент

детерминанта есть бесконечный ряд, а физическиЛ снусл коэффициентов

V не столь прозрачен. Заметим еще, что левая часть уравнения (13*9 &

есть Длиной етеШни /V относительно cos he . ^го степень (но н-: _ракг детерминанта!) ^оено существенно аоназать, есла учесть экспоненциальное убывание коэффициентов . Этого, однако, в лряицэт-й'ё нельзя сделать с полиномов ЦЗЛ1).

Ь качестве примера рассмотрим цепочку, доказанную на рифШЛа.

а) | > \)0 » d ч"далекая" стенка).

(13,12)

Коэффициенты f_ даются формулой (8.32),

2 Г

ч

го

CL& \ К shac 'го

ч

+ 2 —

ПЯ

L— Q S^Q с

П*1 *гг\ f>n

Я

а согласно (6.28) и ;7Л0)

(13.13)

iX

iK

li

*й ж 1

iu-U

&

б) ~ cl ("близкая" стенка).

КозффицйёШты f Й | даются формуламл (8.32) л (13.12), ес-

г г

ли в них положить le = о , а согласно (8*30) к (7.10)

-jo

(I3.X4J

ос

-* = *-£«■ г • 2

JT

1

гдо

% ^

I -- да +

[Ш —

щ

Фигурирующая здесь функция должна выбираться из двумерной

электростатической Задачи, йзобращенной на рис. 7.16. При помощи методов теории ¿ункщ-и комдле Ясного пери ценного находим

(13.16) =

!*ж*

я

подставляя (13-16) в (13.15) и янтегр^руря по и , получим Таким образом, ъ случае "блазког;" стенки

а*

1

Сравнивая (ГЗЛЗ) я (13Л7), видим» что наличие "близкой" стенки существенно (почти вдвое) уменьшает параметр * ,

Б, Рассмотрим теперь тст же пример в приближении экспоненциально уакои щели. Лр*; этом мы характеризуй-. степень "расстройки" щели относительно резонатора параметров 51п ко£ . Поскольку при произвольном [1 решение уравнения ИЗ Л) не представляется воздой-ньем, Ахиеэер и Любарский Р^] ограничились изучением двух ;1рсдельных случаев: 1 р 1 ^ \ я 1|М«1 * В первое из них по цепочке возможно независимое распространение ::од двух типов - резона торной и щелевой, но второй? - дгух связанных резонаторно-щеяевых мод.

Приведем здесь (опуская промеж?точнее выкладка) расчетные формулы дли напряжения на дели л закона дисперсии мод в цепочке, предполагая, что

ееть двукратно яыро:?:д. ннсо ч/;:лс, -уп.-;чающее -

модам невозмущейного резонатора.

а) (резонаторная иода};

(13.18) -

л

9

К = К,

т

(ХЗЛ91 к - I-

Е [о 1 СО

1 л п аЬс кя К* 1

О ^ О-

$) I ~ \ (плавая мода):

(13.20) VI») - 4-и >

ой

(13.21) к = [^-2гсо5кс] (а^

1 (4« 1 1 то есть 1М « I (резонаторно-щелевые моды):

ИЗ.22)

(13.23) К^Н'Т *

Отсюда видно, что для резона торной :: гселевой ыоды ширина полосы пропускания пропорциональна <* , что не противоречит исходкому требованию <*<< ^ . Ь сдучае ¿¿е резоваторно-щелевой моды она пропорциональна х/с<Х . лредяоложать, что X — \ , то для справедливости те ори: дол^чо выполняться весьма жесткое условие ЛГ « * . Однако, в обычных примерах X. мало так что неравенство достаточно хорошо выполняетсл для экспоненциально узкой щели.

На основе уравнения (13.1) длц величины соьЬс можно постро-[73]

ить I "{ однородный функционал

(13,24) СОЗЬС -

-(ми)

стационарны.: относительно аи-щх варнацай напряжения вблизи истинного. Точность получаемых при это.-.; результатов существенно зависит от выбора пробной фуакции И . В работе предлагается брать в качестве таковой распределение напряжения на экспоненциально узкой щели. В на-

аеи задаче для мод всех трех типов

(15.¿5)

UM ОЭ g«,

m

и, следовательно

U3.26) СО s ii с

Dx 1

Перейдеи теперь к обсуждению чл сланных результатов. В рамках теории возмущений погрешность формул (13.1В)~(13.23) моает б*ть {в принципе) оценена путей вычисления второго приближении. Однако, при oL^d такс;; о юности не имеется, поэтому мы сравним результаты численного счота. Последний велся длн д^ух наборов индексов шпъ] =1011, ¿012 при Q = 23, ê = 10, С =15, - % , У0 -и N = 40. Значения остальных параметров указаны на соответствующих рисунках.

Эти расчеты показали, что для I z с*^ о, 7 как относительное среднеквадратичное отклонение £унлций (13.6) и (13.25), так :а погрешность формулы иЗ.26) не превосходит 0,06. При m- 2 последняя величина достигает и,2.

[[а рис. 13.2, 3 достроены дасыорсиошше кравые цепочки резонаторов с узкими целями. .Шеыщкеся тан лунятирныс кривые получены путем формального примеиеная фораул теории экспоненциально узких щелей* лз графиков на рzc. 13видно, что истинные полосы пропускания, соответствуете аде левый и резонаторным модам, не перекрываются. Однако, полоск 2/t , s отлнчле от полос 2, 3, не удовлетвиряют этому условию.

* Для щелевой либо рЗЗОЯЙТОрИ0-Р1СДСТ!0;: МОДЫ jïl^il к согласно (5.5J ~ (ir) , как л должно быть.

Графики на рис. 13.4, 5 деат зависимость лалуалрииы полосы пропускания ог « . оаыетим, что на рас. 13.5 не показано слиянии кривых I, 2 и 1% 2% поскольку оно происходит лишь При ot-ж 0,001,

Дркведешшз графики Позволяют судить о пределах применимости теории экспоненциально узких щелей.

Ьс

Рис. 13.г. Дисйерс/ониые кривые щелочки п|я £ = = 0,7 (¿1= 0,80);

К*) и 2^3) - полосы пропускания первой (второй) щелевой и

реаснаторной мод; I =-0.6 6

о

ш.

Рис. 13.3. Дисперсионные крлвив цепочки при 1^,76, = 0,7;

[ и I - полосы пропускания двух резонаторно-щелевых мс

ып к.А.I = - о,ог .

Рис. 15.4. Графикл заЕКсюности подуаиирдйы полосы процускания первой целевой (I) и первой резоааторнои иол оч ^ ; £ = 1Ь.

Ш.

Рис. 13.5, График зависимости полуширины полосы ге р о л у с tea н m д ьух роз она тор но-ще левых иод от а ; £ = 14, 76 -

§ 14. Лрлменение вариационного принципа Liu:лгера к расчет zb левах во лнов одно-резон а торных устройств

А, Рассмотрим класс золшБодно-резозаторных устройств, который может быть образован яз следуете четырех элементов: бесконечного W полубесконечного волноводов с поперечными щелями на широкой стенке (рис. 8.1 il рис. л оду бе с конечного волновода л резонаторе! с поперечными целями в торце (рис, 8.3 и рис, У0 - ^ Прёдпблояии, что все элемент Я-чеют одинаковую ширину о. и смещение щели , а к < ^ = ^д (н волноводе uozot распространяться лл^ь основная H - мода, ъ резонаторе могут резонировать только H]os - йоды, $= Г, ¿, ... ). некоторые из устро/ств этого класса вместе со свопу а эквивалентными схемами изображены '¡а рас. 14.1. Фигурирующая на них величина

сил; YUbf-r ' "^И'^Г

есть "безразмерный"* еолиозеи аднптанс H - линии, а

Yc(0 = i Y(ê) cfej кис

- входной ады;;танс коротко за у key то г о отрезка Н10- линии длины с . Сосредоточенны^ параметр

Yj -^Bj * J • 6, s

характеризует энергию реактивных ^ï.e. блщ-них, нераспространяюж-ея ) поле,:» локализованных б окрестности щели, ьдесь л низзе индекс j указывает лишь на то, что данный ¿шрамегр Bj относится к ^-полисному сочленению ^на рис. Ï4.I6 и р/с. 14.1г в^ллчикы , разу* Истинный реьен 7oY * используемые в дальнейшем адмитан-сы - беэраа^ерны.

1 а)

1 о-

VIM

1 О--

УД)

1 о-

m)

1 О-

-о 2

Y(ÈJ

-о 2

Í// ФУ

y----

e=----

9

-í'o-

-О i

^ rS

m) ! !y; v¡ i y(u

i о-ь--к-о a

о

г)

Ш)

4 о-

Y№J

1 о-

-о ъ'

ш

-о ъ

—О 1

т)

—О 2

îV

-О i

ш

2 О

t'o

YCW

1 о-

О

-о 5

-о К'

Щ)

-о 4

9)

Рис. 14.£-

меетсн, различный Следует заметить, ч$ё Y и У(й) иогут бытв

•J

определены л.ыъ с точностью до некого постоянного йножтелй§ поэтому, б обычно jlpiirifítoi;

[75]

■^opLie записи фигурируют параметры, нормированные te волновому адиитанож одной из дййии, то есть

№,) Щ) 4(6,1 Vt6a)

Наличие в КаЩоЙ из эквивалентных exev: только одного сосредоточенного параметра объясняется, конечно, те.-i, что щель - узкая и поперечная (по отйойению к направлению распространения волнь.-), а стенка, в которой она прорезана, - бесконечно тонкая. Так, напри-мёр* если предположить, что на рис. Л^Лв ^ (но d<* \ )> то в эквивалентной схе^е тролнпка появятся два дополнительных параметра у' (пунктир на рис. 14. £в J. Фяеачееки очевидно, что с умёньшеШ-ем ^g Кй!й|еятра±;ия поли у щелл растет, то есть Y^ о , когда Ш ш о . Яа 3TOií основании Y' отброшено.

в(

В выражении (14.3) аи поетавиял перед ышшой единицей знак минус неслучайно: в такой Еалисп Р = cl вез Bj > О , то есть щель является Íh пост ной* . действительно, при все устрой-

ства однородна вдоль оси х . Эта однородность, как нетрудно показать, ведет к тоиу, что лри падение Нл_- {¿оды в любо** иа каналов не возникает компоненты электрического поля Е^ . Поэтому при (Ncl полное поле удобно опфывафа суперпозицией ТЕ кш - иод (ил:-:

LE1n - йод в другое тердинологик f/'l), причем Т Ё*10= Нго * Нерас-

* ,

Напомни.1/, что В^ пропорционально (с положительньш яозффици-ек т о^ ) ра а нос ти - 3 эле ифри ч е скоп и ш г ни тной эк е ргм й, накопленной з близ них, нера спрос траня^щнлен полях . В зависимости от знака зтоп разности различают е^коешью ( Эе > Эи) и индуктивные (Эе<Эь) щели, причем это деление производит®! с точки зрения запасён шщ энергш| а не с точки -зрения частотной зависимости.

пр ос т ра ня ющк е с я ( n > о ) ¡¿ оды та ко г о ти л а ею т ад ы л та ¡Iс

щко с хного x¿ра KT upa.

Определим теперь при ломощн вариационного принципа Шьингерз элементы матриц рассеяния и с оср^о точенное параметры устройств рассматриваемого класса. НёШОннлм (cü. ¿ что з стационарный

функционал I {U,U }= Sp<i{ входят ¿ве пробные фущсцаф Up u IT

;шеющие с.уысл напряжений на цьлн яр л падении Н - йоды в каналы р к соответственно,

Олерфяка хзучаевых здесь соЧЛоненлй как раз И состоит в £он» что -независимо от du^epoü р и q стдого * выполняется соотношений

Cil^l l)pU) w U^W .

В силу сказанного, дли вычислении всех элементов матрицы рассеяния данного сочленения необходимо задать лишь одно пробное напряжение

и .

Б. Рассмотрим, например, тропик ъ плоскости Е {pt:c* 14. ilyOTf в канал I падает Н - нодь единичной мощности. Напряжение на щели удовлетворяет уравнении

* Лбе интегральные уравнена длн л стонных напряжении V и V

Г 1

могут отличи ться численными мнокз тел ям и в правых частях. Заметад попутно, что ее л,; бы сочленяемые Волноводы имели разную ширину, то нpz произвольных р и q совпадение формы V- и V. , вообще говоря* яе w&fó бы места.

сил) |5с1Т'[7|(«||^')*7,(М».»')]УИ т -

Здесь Ц 'а - уеред^Йшюао (см. при покопщ элсктроста-

тичсокоИ функций ¿£ц.) входные аднятанёы Йёсконачйрго и лолуо'ес-ксмечьего волноводов, Учитывая (4,5), элеыейт матрицы рассеяния

можн! представать в ваде функционала

V*.?) «{и,?}- —--

г£

(и. I )г

стыдяонарного относительно ¿¿алых вариации пробного напряжения и около истинного V ; ^" = Тщ ^ . ¿з эквивалентной сх^мы, показанной на рис. 14.Хв, нетрудно получать

(IV. К) $

Сравнивая с (14.8), находнь:

Вь - В^М + *

ДрпчеЙ для В^М и В I*,) вместо ^"(6) следует подсин влять

г-* ( V, V') и Iт-4-,V '^ соответственно* Легко показать, что

точно такое Ее в&реяенле сосредоточенного параметра У6 ш получили бы, проведя подобные зняйадки длн любого другого элемента матрицы рассеяния тройника*

Аналогично но^но рассыотреть л другие сочленения данного класса. Существенным будет то, что каядым сосредоточенный параметр распадется на Djüüv двух чаете::, каждая на которых будет зависеть от геометрил только одного элемента.

Полученный результат дает возможноеть для рассматриваемого класса сочленений ввести строгое понятие составного элемента эквивалентно.. схеии, со ответе ткущего:

а; бесконечному волноводу с узко- поперечной щелью на широкой стеккс (рис» 2а J,

б) полу бесконечному Еолноьоду с у зной поперечной щелью в торце vp;:c* 14,26J,

ьJ л одубе с&о вечному волноводу с узкой полочной щельн на широкой станке (рис, 1¿s; ),