Дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Аль-Хассани Мудхар Аббас Маджид

• Аль-Хассани Мудхар Аббас Маджид
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Аль-Хассани Мудхар Аббас Маджид

§1. Общая характеристика работы.....................................................................4

§2. Краткое содержание диссертации................................................................9

Глава I. Дифференцируемые отображения аффинных и проективных Рп пространств

Введение................................................................................................30

§1. Аналитический аппарат.................................................................................32

§2. Отображение У^ : С>я Р„..........................................................................35

§3. Отображение У1т п: Р„ (т < п)..................................................................40

§4. Отображение V,,' „: С>т Рп (т > п)..................................................................48

§5. Отображение Ут2п :С>т ->Р*.......................................................................55

§6. Характеристические направления в точке .............................................57

Глава II. Поля инвариантных геометрических образов дифференцируемого отображения аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар

проективного пространства

Введение...............................................................................................64

§1. Аналитический аппарат...............................................................................65

§2. Геометрическая интерпретация отображений п, Уш2п и ..............................66

§3. Случай т < п..........................................................................................67

§4. Случай т > п.....................................................................................................73

§5. Поля гиперконусов с: 0т и центроаффинных преобразований......................83

§6. Поля гиперконусов с (2т и с: С)т.......................................................92

Глава III. Связности дифференцируемого отображения аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства

Введение...............................................................................................96

§1. Аналитический аппарат.................................................................................97

§2. Поля геометрических образов на базе С2т (т<п)..............................................99

§3. Базовые инвариантные связности расслоения Пт 2п....................................................104

Глава IV. Дифференцируемое отображение ранга г аффинного пространства С2т в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства

Рл (г < min(m, п))

Введение..............................................................................................117

§1. Аналитический аппарат................................................................................119

(Г)

§2. Отображение Vlm>n..................................................................................120

§3. Отображение v\n..................................................................................129

§4. Отображение /}": Qm М2"...........................................................................135

(r)i

§5. Характеристические направления в в r-плоскости в случае отображения Vnn.......138

§6. Заключение..........................................................................................142

Список литературы..................................................................................143

Публикации по теме диссертации................................................................152

Введение §1. Общая характеристика работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства»

1.1. Актуальность темы

Диссертация посвящена решению некоторых задач дифференцируемого отображения т -мерного аффинного пространства Qm в многообразие М2" всех невырожденных нуль-пар л-мерного проективного пространства Рл. 1.1.1. Как известно [24], [34], [107] и [108] дифференциально-геометрические структуры на погруженных многообразиях играют существенную роль при исследовании внутренней геометрии этих многообразий.

В соответствии с [36] к внутренней геометрии погруженного многообразия относятся все геометрические и аналитические конструкции, которые формулируются в терминах геометрических объектов, охваченных компонентами внутреннего фундаментального геометрического погруженного многообразия. При этом, как указывается в [36, с. 349] всякое поле локальных геометрических объектов погруженного многообразия, охваченное одним из полей его фундаментальных объектов, является полем, инвариантно присоединённым к этому многообразию.

С развитием новых методов дифференциально-геометрических исследований и в особенности метода Г.Ф. Лаптева [36] происходит расширение объектов исследований по указанным структурам. В соответствии с [46, с. 275] и [24] дифференциально-геометрической структурой на дифференцируемом многообразии Мп называется заданное на этом многообразии поле геометрического объекта, присоединённого к некоторой группе Ли G. Этот геометрической объект называется структурным объектом дифференциально-геометрической структуры, причем всякая G -структура является дифференциально-геометрической структурой. Следует отметить, что всякое оснащенное многообразие так же относится к многообразиям с заданным полем дифференциально-геометрической структуры. Современное положение теории оснащенных многообразий, включенных в общую теорию G -структур и в теорию пространств со связностью, достаточно подробно изложено Столяровым А. В. в [86]. Здесь же отмечается, что геометрия оснащенных многообразий практически неисчерпаема.

1.1.2. Не менее важной проблемой в теории дифференциально-геометрических структур является проблема изучения этих структур для дифференцируемых отображений. Достаточно полный обзор работ по теории дифференцируемых отображений приведен в [81] и [83]. При этом в обзоре [81] приведены работы по дифференциальной геометрии точечных отображений пространств равной размерности (проективных, аффинных, евклидовых). Несколько работ, посвященных отображениям плоскостей, в двадцатые годы 20 века отражено в книге [115]. Дальнейшее развитие исследований точечных отображений пространств преимущественно связано с характеристическими направлениями, рассмотренными Борувкой в [110]. Локальные свойства кремоновых отображений отражены в статье [120]. Значительное расширение точечных отображений с конца сороковых годов 20 столетия происходит благодаря фундаментальным работам Чеха [112] - [114] и [94] - [101]. С 1957г дальнейшее развитие точечных отображений получило благодаря работам итальянских, чехословацких и румынских геометров, отражённым в обзорах [81] - [83]. Интересные результаты в этом направлении получены, например, в работах [121] и [122]. В библиографии, приведенной Щвецем в [119], отражены работы по точечным отображениям, вышедшие до 1959г. Среди отечественных работ по указанным отображениям особое место занимают интересные результаты, полученные А. П. Норденом в [56] - [58], Рыжковым В. В. и его учениками [23], [81] - [84], [13] - [17], [74] и [75], [66] и [67], Базылевым В. Т. [9]. Следует отметить интересные работы Б. А. Андереева [4] и [5], В. И. Грачевой [19], Дмтриевой Т.В. (Зудиной Т. В.) [20] - [22], Шелехова А. М. и Лазаревой В. Б. [106].

1.1.3. Наряду с точечными отображениями пространств изучаются так же и двойственные отображения точечного пространства в пространства линейных подпространств. Такие отображения рассматривались Сегре [116] и [117], Бартолотги [109] и Сперанца [118]. К этим отображениям относится и статья [32].

Следует заметить, что в текущем столетии появляются не много работ по точечным и двойственным дифференцируемым отображениям пространств. К таким работам можно отнести работы [20] - [22] и [32].

Во всех отмеченных статьях по дифференцируемым отображениям пространств не рассматривались точечные отображения пространств в многообразия невырожденных нуль-пар проективных пространств. В связи с этим возникает необходимость изучения дифференцируемого отображения

*

К;п: (г* -> м2«

аффинного пространства размерности т в 2п -мерное многообразие М2" всех невырожденных нуль-пар, ассоциированное с п-мерным проективным пространством Р„. Интерес к этому отображению объясняется еще и ниже следующими соображениями.

1) С отображением /„2" всегда ассоциируются точечное Ухтп и двойственное (тангенциальное) Ут2п отображения пространств и Р„.

2) Многообразие М2", ассоциированное с пространством Рп, представляет несомненный интерес с геометрической точке зрения, поскольку в этом пространстве с учетом принципа двойственности любой геометрический результат, имеющий место для точек, будет иметь место и для гиперплоскостей пространства Р„, не проходящих через соответствующие точки.

3) С многообразием М2" инвариантным образом ассоциируются хорошо известные в литературе аффинные связности, которые можно использовать для дополнительной геометрической интерпретации полей геометрических образов, определяемых компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения /т2л в смысле [39] и [36].

4) Выбор аффинного пространства в отображении /т2" ->М2" обосновывается в соответствии с [73, §82, с. 369] тем, что оно может быть принято за касательное пространство в текущей точке некоторого дифференцируемого многообразия размерности т.

1.2. Цель работы

Целью диссертации является решение следующих задач:

1. Доказать, что в общем случае при точечном отображении VI п: 0.т —> Р„ и

тангенциальном отображении УщП'-0.т—>Р,* инвариантным образом определяется отображение /т2" :(2т —>М2" =РпхРп*. Здесь Р* - сопряженное или двойственное к пространству Рп в смысле [59, §18, с. 63 - 64].

2. Провести геометрическую классификацию отображений /т2" при всех возможных значениях чисел т и п (т < п, т > п: т < 2п, т > 2п), т.е. выяснить поведение в общем

случай полей инвариантных геометрических образов, определяемых компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения f*n при указанных значениях m и п.

м

3. Провести аналитическую и геометрическую классификацию отображений „,

(О (г)

rç, и ранга /-<min(/«,H) при указанных значениях m и п. Здесь г - ранг основных

матриц размера тхп из компонент соответствующих внутренних фундаментальных геометрических объектов первого порядка указанных отображений.

1.3. Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Проведена в общем случае достаточно полная геометрическая и аналитическая классификация отображений f*n при всех возможных значениях чисел m и п.

M (г), (D,

2. Доказано существование отображений Vmn, V~n и fm" ранга г < min(/?2,n) с

указанием соответствующих геометрических характеристик.

3. Доказана новая геометрическая интерпретация характеристических направлений отображений Vlmn и Ут2„ при всех /•, удовлетворяющих условиям l<r<min(m,n).

В диссертации приведены доказательства всех основных предложений, сформулированных в виде теорем.

1.4. Научные положения, выносимые на защиту

1. Точечное п : Qm —> Р„ и тангенциальное Vm2n : Qm —> Р;* отображения в общем

случае инвариантным образом индуцируют отображение /m2n :Qm —>М2" при всех допустимых значениях m и п.

2. Новая геометрическая интерпретация характеристических направлений отображений Vn' п и Ут2„ при всех допустимых значениях m и п.

3. Аналитическая и геометрическая характеристика классификации отображения

при всех допустимых значениях m и п с помощью полей инвариантных геометрических образов и инвариантных ассоциированных связностей.

(Г), H (Г)2

4. Классификация отображений V„n, Vm"n и fm" ранга r<min(m,«) при всех указанных значениях m иле доказательством геометрических характеристик, теорем

существования и геометрическим построением отображений /т~" .

1.5. Основные методы исследования

В диссертации используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований:

1. Метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [36].

2. Метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [33] и [93].

3. Метод канонизации подвижного репера погруженного многообразия Н. М. Остиану [62].

4. Некоторые фрагменты метода нормализации А. П. Нордена [60].

Использование указанных методов позволило ввести в рассмотрение те геометрические факты, которые связны с дифференциальными окрестностями образующих элементов исследуемых многообразий до третьего порядка включительно. Все рассмотрения проводятся с локальной точки зрения. При этом встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми. Заметим, что результаты по геометрии отображений /т2" :Qm —>М2" получены с применением фактов дифференциально-геометрических исследований в смысле Г. Ф. Лаптева [39].

1.6. Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при геометрическом и аналитическом изучении дифференцируемых отображений многообразий, оснащенных полями некоторых линейных структур.

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в спецкурсах для студентов и научных работах для аспирантов по геометрии дифференцируемых отображений погруженных многообразий.

1.7. Апробация

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. На международной научно-практической конференции «Наука в современном информационном обществе» (Москва, Россия), 2013г.

2. На VIII всероссийском смотре-конкурсе научных и творческих работ иностранных студентов и аспирантов вузов (Томск, Россия), 2014г.

3. На научном семинаре кафедры высшей математики Томского политехнического университета (2010 - 2014 г.г.).

4. На геометрическом семинаре им. Н.Г. Туганова при кафедре геометрии Томского государственного университета (2014 г.).

1.8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в 8 работах [123] - [130], пять из которых опубликованы в журнале «Известия Томского политехнического университета», включенного в список ВАКа.

1.9. Вклад автора в разработку избранных проблем

Диссертация является самостоятельным исследованиям автора. В семи опубликованных в соавторстве работ результаты получены в основном самим автором.

1.10. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 153 страниц, а список литературы содержит 122 наименования.

§2. Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, представлена цель исследования, научная новизна, практическая значимость, положения, выносимые на защиту, апробация результатов работы, структура и объем диссертации. 2.1. В первой главе изучаются точечные и тангенциальные дифференцируемые отображения т -мерных аффинных (Зт и л-мерных проективных Рл и Рл* пространств, с которыми инвариантным образом ассоциируется дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие всех невырожденных нуль-пар проективного пространства М2" =РЛхР*.

2.1.1. В §1 аффинное пространство С?т и проективное пространство Рп относятся к подвижному аффинному = ,ёа)(а = \,т) и проективному Р={А,} (1 = 0,п) реперам с соответствующими деривационными формулами и структурными уравнениями. В этом же параграфе приводятся следующие дифференцируемые отображения, изучающиеся в данной главе:

1) Точечное отображение п : С2т —> Рп, которое каждой точке Ве 0_т в проективном пространстве Рл сопоставляет вполне определенную точку А0 е Рл.

2) Тангенциальное отображение : С>т —> Ря*, которое каждой точке Ве 0.т сопоставляет в Р* вполне определенную гиперплоскость Ъп_1 = (А1,А2,...,Ап) С2Рп, не проходящей через аналитическую точку А0, соответствующую геометрической точке

V

Здесь символ = (Х1,...,Х1) означает (5-1)-мерную плоскость ((5-1)-плоскость) пространства Ря, проходящую через линейно независимые аналитические точки (или псевдовекторы в смысле [59, §17, с. 59 - 60]), отвечающие соответствующим геометрическим точкам Х1,...,Х5 пространства Ря.

3) Отображение /т2" :<Зт —>М2" = {А0,ЬЯ_,}, Ья_,, которое каждой точке Ве 0_т

сопоставляет вполне определенную невырожденную нуль-пару {Д^Ь^} 2п -мерного

многообразия М2", ассоциированного с пространством Ря.

Выводятся дифференциальные уравнения каждого отображения 1) - 3), которым удовлетворяют компоненты соответствующих внутренних фундаментальных

геометрических объектов Г,т иП (т = 1,3) первого и второго порядков в смысле Г.Ф.

Лаптева [37] и [39].

В данном параграфе отмечается, что при т и п, удовлетворяющих каждому из соотношений (ш = п, т < п, т > п), решаются следующие задачи. Показать, что

1) С отображением У^ п инвариантным образом ассоциируются отображения УДл и /ш2".

2) С отображением УШ2Я инвариантным образом ассоциируются отображения Ухтп и /т2". 2.1.2. В §2 решается указанная задача 1 в случае т = п.

Точке Ве в соответствующем при отображении Уп'п: 0Л —> Ря проективном пространстве Рп сопоставим гиперплоскость узД,. Тогда каждой точке Ве(±п и соответствующей гиперплоскости у сРл отвечает гиперплоскость ия_, (у) = {и = (в,Ёа)иа е I VI(и)е у} а(2п.

Характеристикой СЬ{(ип_,(у)}1, этой гиперплоскости вдоль направления уе С)„, т.е. пересечением ия_,(у) со своей бесконечно-близкой первого порядка будет (п - 2) -плоскость ия_2(_у,у) с:С)я. Обозначим ип_,(.у,уД) - пучок гиперплоскостей в С)я, проходящих через ив_, (у) и пучок гиперквадрик

Qll (уЛ) = {»е(±п I V е ипЧ (у; у; X)} с д..

Тогда каждой гиперплоскости у сРп, соответствующей точке отвечает в

Р„ гиперконус К2_,(;у) второго порядка с вершиной в точке Д - образ асимптотического гиперконуса К2_,(;у)с1С)п гиперквадрик (З^Су;^). Следовательно, полярой направления геР„, отвечающего точке Ве относительно будет

гиперплоскость, которую обозначим у. В итоге каждой точке 7б г, соответствует пучок проективных преобразований П(Я, г) пространстве Ря такой, что у является неподвижной при всех П(Л, г).

Оказывается, что на каждой прямой ге Р существует по одной точке С7(г), не совпадающей с которой след преобразования П(Л,г) нулевой независимо от Л.

Поэтому точке В е в проективном пространстве Рп отвечает гиперплоскость Ь„_,; А0 (£ Ьп_!, проходящая через точки С(г) всех направлений г.

Таким образом, в случае т = п имеют место следующая теорема

- С каждым невырожденным отображением Уп'п в общем случае инвариантным

образом ассоциируется отображение УП2П: —> Р* а, следовательно, и отображение

/„2п:<Зп->М2\ М2п = {Л0;ЬИ_,}, 2.1.3. §3 посвящен решению аналогичных параграфу 2 задач для отображения

Ут,п: Фт ~^ (т <ПУ В этом случае отображение Ухтп является инъе1сгивным отображением, с которым инвариантным образом ассоциируется невырожденное отображение Ухтт —>Ьт. Здесь Ьт - касательная т -плоскость Ьт к т -поверхности 5т={Л0}т в текущей точке Л0, соответствующей точке Ве при отображении У1 :0 ->Р.

Каждой точке В е в соответствующем пространстве Рп сопоставляется оснащающая (нормальная) (п-т) -плоскость ?1п_т Г)Ьт = А0, Р^_т II Ьт = Р„) в

точке Л0б8т сР„.

Символом Ьл_т_, обозначается (п-т-1) -плоскость в отвечающая точке Ве(£т и являющаяся линейной полярой точки А0 относительно фокусной алгебраической поверхности (п-т) -плоскости Рп'_т в смысле [1].

Каждой гиперплоскости у е Рп, проходящей через (п — т) -плоскость Р1п_т с: Р„, отвечающей точке В е С)т, в пространстве Рл отвечает гиперконус К2_,(у)сРп второго порядка с вершиной в точке Д,. Этот гиперконус К2_,(у) пересекается с Ьт по конусу К^ОО- Обозначим у= Ьт_^Ьт линейное подпространство, которое полярно

сопряжено некоторому направлением г е Ьт, относительно конуса К2(у) с Ьи. Тогда каждой точке ге г отвечает пучок проективных преобразований П(Л,,г) т-плоскости Ьш в себя, для которых (ш -1) -плоскость у с=Ьт неподвижна. Следовательно, точке Ве(±т в ш-плоскости Ьш с=Рп отвечает (т -1)-плоскость

Оказывается, что каждой нормальной (и - т) -плоскости Р„'_т, соответствующей точке Ве(^т, с отображением У^п —>РП (т<п) инвариантным образом ассоциируются отображения:

М2"={Л0,Ь„_,}, Ьи_, =ЬтЧ иЬп_ш_[ В §3 определенным аналитическим и геометрическим образом по аналогии с [25] и [26] показывается, что каждой точке Ве(^т в пространстве Рп отвечает конечное

число нормальных (и - т) -плоскостей Рп'_т. Поэтому справедлива теорема

„ _ „, . п „ т(т + 3) - С каждым отображением Утп:->Рп в случае т <п, т + 2<п<---

конечным числом способов ассоциируется отображение /т2".

2.1.4. В §4 данной главы выше указанная задача 1 решается для отображения Кп '• (¿т р« в случае (т > п).

Обозначим - (т - п) -плоскость в , проходящую через точку Ве(^т, которая представляет собой совокупность всех направлений и = (В,га)и" е принадлежащих ядру отображения У^п. Эта (т - п) -плоскость определяет голономное распределение Д'т<т_п: В —> , вдоль интегральных кривых которого, описываемых точкой В, точка Д е Рп, соответствующая точке Ве при отображении У^п, является неподвижной. Оказывается, что каждая (т — п +1) -плоскость

при отображении У^п : (Зт —> Р„ (т > п) переходит в некоторое направление д: = (Д,Д)а-'еРй.

Точке £ е в соответствующем проективном пространстве Рп сопоставляется гиперплоскость Ьи_, (х) э Д. Тогда каждой точке этой гиперплоскости отвечает

(ш - и-1)-мерный конус (х) с второго порядка с вершиной в точке

Этот конус представляет собой совокупность всех направлений в касательных к интегральным кривым распределения Л'т_п в точке вдоль которых Г('п_и и

бесконечно близкая к ней первого порядка при отображении Уп'п принадлежат

Ьп_, (х) с Рп. Рассмотрим множество всех гиперплоскостей Ьл_, (а) с Р„, которым в аффинном пространстве отвечают вырожденные гиперконусы О^_п_, (х) по крайней мере с прямолинейными вершинами, проходящими через точку Ве(^т. Оказывается, что множество {Ьл_, (а)} образует в точке Ве гиперконус К"'_""(=РП класса т — п с вершиной А0 е Ря, который определяется при т > п, удовлетворяющих неравенствам

т — 2>2, пй0п-п)(т-п + 3)

2

Каждой точке ВеО_т в проективном пространстве Рп сопоставляется система ^(х) из п линейно независимых направлений в точке А0 е Рп:

а-,. = (А0, А.)а/ , с1е1[х/] ф 0, (г,} = 1,п). Эта система Ч*(х) называется основной относительно гиперконуса с Ря,

отвечающего точке если каждое направление х1 е ^(а) является линейным

полюсом (полюсом порядка п-1 в смысле [26, с. 1317,1318]) соответствующей гиперплоскости (/^ у) относительно К™~" с=Ри (г -ф у), проходящей через все остальные направления этой системы.

Оказывается, что точке Ве (}т в соответствующем проективном пространстве Рп

в общем случае отвечает конечное число (основных) направлений Ц е Р„, проходящих через точку А0 и принадлежащих основной системе Ч^х) .

Таким образом, в соответствии с [6] в каждой точке ВЕ(±т в проективном пространстве Рп инвариантным образом определена линейная п -сеть из прямых Ц. Обозначим Г°'_п+1 з и Г^, з - линейные подпространства, являющиеся прообразами при отображении „ основных прямых Ц1 е Р„ и отвечающих им гиперплоскостей сРп (а{ =1 ,/г). Тогда в аффинном пространстве при каждом фиксированном ах - \,п определяется гиперраспределение [65]:

А°т,т-1: в -» С, (я, = 1, и , я, - фиксировано). Оказывается, что на каждой прямой Ц1 е Ри, отвечающей точке Be Qm, в общем случае существуют п — 1 фокусов Yb (bi = 1, п) вдоль фокальных направлений, касательных в точке Be Qm к интегральным кривым распределения .

В соответствии с [6] и [111] замечаем, что в точке Be Qm на каждой прямой Ц е Pn (j = l,n) существует по одной точке Gy., которая является гармоническим полюсом точки \ е Рп относительно соответствующих фокусов на этой прямой. Поэтому каждой точке Be Qm в пространстве Ря отвечает гиперплоскость Ьи_! э Gj (j = l,n), причем Л0ёРп. Следовательно, в §4 справедлива следующая теорема.

- С отображением : Qm —> Р„ при т и п, удовлетворяющих неравенствам

_ (т - п)(т — п +1)

т>п,т-п>2,п< ----,

2

инвариантным образом ассоциируются отображения:

2.1.5. В §5 главы 1 решается задача 2 аналогично как для решений задача 1 с использованием принципом двойственности между точками и гиперплоскостями в проективном пространстве Рп.

Доказывается следующая теорема

- С каждым отображением V*n в общем случае инвариантным образом ассоциируется

отображение Vn'n а, следовательно, и отображение /п2".

2.1.6. В заключительном §6 главы 1 доказывается теорема

- Направление v = (B,Ea)v° е Qm будет характеристическим направлением (первого типа) в смысле [84] и [110] тогда и только тогда, когда его образ z=Vlmnv при отображении Kl>n :Qffl —>РЯ: невырожденном в случае т = п (невырожденном ассоциированном отображении V{mm :Qm —>Lm в случае т<п) при центропроективите П(г) пространства Рп (т-плоскости Lm) в себя является неподвижным.

Пользуясь принципом двойственности между точками и гиперплоскостями в проективном пространстве, получается справедливость следующей теоремы. - Направление v = (B,£a)va е Qn будет характеристическим направлением (второго типа) тогда и только тогда, когда его образ |сРл при невырожденном тангенциальном отображении V2n : Qn —> Р„* является неподвижной гиперплоскостью при проективитете П(|).

В этом же параграфе делается вывод о том, что для детального изучения отображений Vit'ln и Vm2n следует подвергнуть детальному анализу отображение /т2", инвариантно возникающему при рассмотрении этих отображений.

2.2. Вторая глава посвящена изучению основных полей геометрических образов дифференцируемого отображения /т2": Qm —> М2", которые определяются компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта этого отображения в смысле Г.Ф. Лаптева [39]. В данной главе проводится классификация отображений /,2" по размерностям т и п, удовлетворяющих каждому из следующих соотношений: 1) ш < п ; 2) п < т <2п\ 3) т > 2п > п.

Геометрическая интерпретация этой классификации обеспечивается полями указанных геометрических образов.

2.2.1. В §1 отмечается, что основным объектом рассмотрения в главе 2 является отображение /т2": Qm —»М2", с которым инвариантным образом ассоциируются точечное отображение V^ п: Qm -» Рп и тангенциальное отображение Ут2„ : Qm —> Pj.

В §2 уточняется, что направление t=(B,Ha)ta eQm, касательное к кривой k(t), описываемой точкой В, при отображении перейдет в направление

Т(Д,), =(Д), Д)л-', касательное к линии (Д,),. При тангенциальном отображении направление te Qm перейдет в Ch(Ln_,), с Рп - характеристику гиперплоскости Ln_, с Рп вдоль кривой k(t). Поэтому при отображении /т2" имеем:

т(A0x=f^t, сь(hnj,=f:"t.

2.2.2. В §3 детально анализируется случай п>т>2. Рассматривается гиперконус 0.1-1 = {и = (ВЛа)иа е С*. I /и2п ие [СЬО-..,). и А0]}с1(±т,

В случае т = п этот гиперконус уже рассматривался в §2 глава 1. Оказывается, что при т = п каждой точке Бе в соответствующим проективном пространстве Р„

отвечают следующие гиперконусы с вершиной в точке А0 второго порядка и второго

класса, соответственно:

Каждой из этих гиперконусов в общем случае не имеет по крайней мере прямолинейной вершины, проходящей через точку Д. Гиперконусы <з2_, и с[п 22

огибают друг друга. В этом же параграфе 2 в случае т<п возникают линейные подпространства: Ьт - касательная т -плоскость к т -поверхности 8т={Д}т в точке

Д и Ь*пш1= П СЬ(Ь„ [),, отвечающие точке 5еОт. Поэтому (и-т) -плоскость

Рл.и = Д и Ь*л.т., с Рп является оснащающей (п - т) -плоскостью к 8т в точке Д -нормалью первого рода, а нормалью второго рода является (т -1) -плоскость Ьт_, = Ьт П Ьл_,. Следовательно, т -поверхность 8т с Р„ оказывается нормализованной в смысле А. П. Нордена [55].

2.2.3. §4 посвящен геометрической интерпретации случая т>п. Доказаны следующие теоремы:

- В пространстве С)т при т > п инвариантным образом определяются голономные распределения: А'т т_п: В , А; т_п: В Т2т_п.

Здесь (т - п) -плоскость Г,„_П(Г2_П) в (Зш представляет собой совокупность всех направлений и = (В,ёа)иа е , вдоль которых при сюръективном отображении К!,„ (У1,п) соответствующая точка Д (гиперплоскость Ьп_,) в проективном пространстве Рл неподвижна.

- Сюръективное отображение У(Лп {Ут2п}, ассоциированное с отображением /т": М2я, в случае т < п {в случае т > п } каждую (т- п +1) -плоскость в С2т:

С,1+1(Ю = (СП,8Й>Я' { (и) = (Г2_„,8Й1)и"' } переводит в направление д: = (А0,Д)А^ и"' { в (н-2)-плоскость Хп2 =СЬ(Ьп_1)ц}.

- Гиперконус С22_! а0.т (т = 2п) в каждой точке Ве является в общем случае невырожденным, т.е. не имеет по крайней мере прямолинейной вершины, проходящей через точку В, причем я-плоскости Г^ и Г2 принадлежат этому гиперконусу .

- Гиперконус О2 _1 С>„, в случае т>2п в каждой точке Ве(±т является вырожденным, т.е. его вершиной служит (т-2п)-плоскость Гт_2п с <Зт, проходящая через точку Ве(^т.

- Гиперконус С?2 с (Зт в точке В е 0.т в общем случае при п<т< 2 п является невырожденным, т.е. в общем случае не имеет по крайней мере прямолинейной вершины, проходящей через точку В.

- Каждой точке в общем случае при п<т< 2 п инвариантным образом отвечают в пространстве (2т следующие линейные подпространства (плоскости соответствующих размерностей):

1°. (т - п) -плоскость Г2_п представляет собой совокупность всех таких направлений ие(±т, вдоль которых при отображении /т2": —> М2п гиперплоскость с Рп является неподвижной.

2°. 2(т - п) -плоскость Г23(ш_п) = Г2_„ 1)1^,.

3°. п -плоскость Гл4 полярно сопряжена 2(ш — п) -плоскости Г23(т_п) относительно гиперконуса О^сС^.

4°. (2п-т) -плоскость Г2п_ш полярно сопряжена (т - ;г)-плоскости Г1т_п относительно конуса П Г„4.

Оказывается, что оснащающей плоскостью [41] инволютивного распределения Д'т,т-„ ->С-« (2П>т) является п-плоскость Г' = (В,£,,...,£„) = Гт2_„ иГ25я_т .

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аль-Хассани Мудхар Аббас Маджид, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга г // Известия вузов. Математика -1957. -№1.- С. 9-19.

2. Акивис М.А. Об одном класс тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АНСССР. - 1962. - Т. 146. - №3. - С. 515 - 518.

3. Акивис М.А., Гольдберг В.В., Чакмазян A.B. Индуцированные связности на многообразиях в пространствах с фундаментальными группами // Известия вузов. Математика - 2004. - №10. - С. 3 - 18.

4. Андреев Б.А. Характеристические направления соответствия между точечным пространством и пространством пары (p,q) // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Меж вуз. темат. сб. научн. Тр. / Калинингр. Ун-т, -Калининград. - 1975. - Вып. 6. - С. 5 - 18.

5. Андреев Б.А. К геометрии дифференцируемого отображения /:Рт —>Р„ (т>п) // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Меж вуз. темат. сб. научн. Тр. / Калинингр. Ун-т, - Калининград. - 1987. - Вып. 18. - С. 5 - 9.

6. Базылев В.Т. О многомерных сетях и их преобразованиях // Институт науч. Информации АНСССР. Итоги науки. Геометрия. - Москва, 1963. - С. 138 - 164.

7. Базылев В.Т. К геометрии плоских многомерных сетей // Учен. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. - 1965, - № 243. - С. 29 - 37.

8. Базылев В.Т. Многомерные поверхности, сети и дифференцируемые отображения пространств. // Уч. Зап. Моск. Гор. пед. ин-т. им. В.И. Ленина, - 1970, т.1, - № 374, -С. 28-40.

9. Базылев В.Т. К геометрии дифференцируемых отображений евклидовых пространств. Уч. Зап. Моск. Гор. пед. ин-т. им. В.И. Ленина, - 1970, т.1, - № 374, - С. 41-51.

10. Базылев В. Т. Сети на многообразиях. // Тр. геометр, семинара. Всесюзн. Ин-т науч. и техн. Информ., - 1974, т. 6, - С. 189 - 205.

11. Базылев В. Т. Об одном замечательном классе сетей. // В сб. проблемы Геометрии , (Итоги науки и техники. - Том 7, - М. - 1975, - С. 105 - 116.

12. Белова О.О. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием Грассмана и пространством центрированных плоскостей // Фунд. и прикл. матем. - 2008. - Т.14. № 2. - С.29 - 67.

13.Болодурин B.C. К теории точечных соответствий между гиперповерхностями проективных пространств. // Успехи мат. наук, - 1968, т. 23, -№ 1, с.214.

14.Болодурин B.C. О некоторых свойствах точечных соответствий между гиперповерхностями проективных пространств. // Изв. вузов. Матем. (Изв. высш. Учебн. Заведений, Математика) - 1969, - № 2, - С. 3 - 13.

15.Болодурин B.C. О точечных соответствиях между гиперповерхностями проективных пространств // Тр. геометр, семинара. ВИНИТИ - Т. 2, - М. - 1969, - С. 55 - 79.

16.Болодурин B.C. О проективно-дифференциальных свойствах точечных соответствий между тремя гиперповерхностями. // Известия вузов. Математика, - 2012, - № 12, -С.16-29.

17.Болодурин B.C. О свойствах точечных соответствий между тремя многомерными поверхностями проективных пространств // Известия вузов. Математика, - 2013, - № 9, - С.З - 15.

18.Гейдельман P.M. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах // Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки и техника ВИНИТИ АН СССР) - М.: ВИНИТИ, 1967. - С. 323 - 374.

19. Грачева В.И. О некоторых случаях дифференцируемых отображений евклидовых пространств. // Известия вузов. Математика (Изв. высш. учебн. заведений. Математика), - 1970, - № 11, - С. 22 - 30.

20.Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Эквиаффинные отображения псевдоримановых многообразий / Зудина Т.В., Степанов С. Е. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн.Тр. - Калининград: Изд-во КГУ, -2004 - Вып. 35, - С.48 - 55.

21. Дмитриева Т.В. (Зудина Т.В.) Об одном классе эквиаффинных отображений / Зудина Т.В., Степанов С. Е.// Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. - Калининград: Изд-во РГУ им.И. Канта, - 2004. - Вып. 36, -С.43-49.

22.Дмитриева T.B. (Зудина T.B.) О классификации эквиобъемных отображений псевдоримановых многообразий / Зудина Т.В., Степанов С. Е.// Известия вузов. Математика (Изв. высш. учебн. заведений. Математика), - 2006, - № 8, - С. 19 - 28.

23.Драгнев М.В. О некоторых классах соответствий между проективными пространствами // Сб. научн. работ аспирантов. Ун-т дружбы народов им. Патриса Лумумбы. фак. физ. - мат. и естеств. наук., - 1970, - Вып. 7, - С. 26 - 40.

24.Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. Тр. геом. сем. - 1979. - Т. 9. - С. 5 - 246.

25.Ивлев Е.Т. О многообразии Е{0,п-т,т) в «-мерном проективном пространстве Р„ (т>2, п<т(т+1)) // Сибирский математический журнал. - 1967. - T.VIII. - №5. - С. 1143-1155.

26.Ивлев Е.Т. О многообразии £(L,Lm,L?+1) в и-мерном проективном пространстве Р„ (ш>п) // Сибирский математический журнал. - 1967. - Т.8. - №6. - С. 1307 - 1320.

27.Ивлев Е.Т. О тангенциально-вырожденных расслоениях Р„„„ // Дифференциальная геометрия многообразий фигур / Межвузовский темат. сб. научн. трудов. -Калининград: Калининградский университет 1982. - Вып 15. - С. 32 - 37.

28.Ивлев Е.Т., Лучинин A.A. Отображение аффинного пространства в многообразие гиперконусов другого пространства // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т.317. - №2. - С. 5 - 8.

29.Ивлев Е.Т., Лучинин A.A. Отображение аффинных и евклидовых пространств // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т.317. - №2. -С. 8 - 14.

30.Ивлев Е.Т., Рожкова О.В., Ефремова О.Н. Об инвариантных связностях многообразия пар двойственных линейных подпространств в многомерном эквиаффинном пространстве // Известия Томского политехнического университета. - 2000. - Т.303 (3). - №2. - С. 185- 194.

31.Ивлев Е.Т., Тыртый-оол Н.М., Бразевич М.В. О некоторых геометрических образах многообразий пар двойственных линейных подпространств в многомерном проективном пространстве // Матем. сб. - Вып. 1, - Томск, - 1974. - С.68 - 91.

32.Ивлев Е.Т., Молдованова Е. А. О дифференцируемых отображениях аффинных пространств в многообразия т -плоскостей в многомерном евклидовом пространстве // Известия вузов. Математика, - 2009, -№11,- С.24 - 42.

33.Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения // Изд-во МГУ, - 1962, - 237с.

34.Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // -М., МПГУ.- 2003. -495с.

35. Кондакова Э.М., Ивлев Е.Т. О некоторых геометрических объектах я-семейства невырожденных нуль-пар в Р„. // Тр. Томск. Ун-та, - 1972, 212, - С. 87 - 95.

36. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. - М, - 1953, - Т. 2. - С. 275 - 382.

37. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // В сб. «Геометрия. 1963. Итоги науки ВИНИТИ.АНСССР». М., 1965, 5 - 64.

38. Лаптев Г.Ф. Распределения касательных элементов // Труды геометрического семинара / Ин-т научн. информ. АНСССР. - М., - 1971..- Т. 3, - С. 29 - 48.

39. Лаптев Г.Ф. К инвариантной аналитической теории дифференцируемых отображений // Тр. Геом. Семинара - М., - 1974. - Т.6 - С. 37 - 42.

40.Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения ш-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности I // Труды геометрического семинара. - М., -1971.-Т. 3,-С. 49-94.

41. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. О распределениях ш-мерных линейных элементов в 11-мерном проективном пространстве // ВИНИТИ АНСССР, - М., - 1971, - 16 е., -№3683-71 Деп.

42.Лумисте Ю.Г. Однородные расслоения со связностью и их погружения // АНСССР. ВИНИТИ, геом. сем., 1., - М. - 1966. - С.191 - 237.

43.Лумисте 10. Г. Связности в однородных расслоениях. // Матем. сб., - 1966, 69, - С. 419-454.

44.Лумисте Ю.Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Учен. Записка Тарбуск. Ун-та. - 1966. - Вып. 177. - С.6.

45.Лумисте Ю.Г. Теория связностей в расслоенных пространствах // Алгебра. Топология. Геометрия. - 1969 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АНСССР). - М., -1971.-С.123- 168.

46.Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // В сб. Алгебра. Топология. Геометрия , (Итоги науки и техники). - Т. 13, - М. - 1975, - С. 273 - 340.

47.Лумисте Ю.Г. Распределения на однородных пространствах // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. / ВИНИТИ АНСССР. - М., - 1977. - Т.8 - С.5 - 24.

48. Малаховский В. С. Многообразия алгебраических элементов в «-мерном проективном пространстве // Тр. Томского ун-та. Изд-во Томского ун-та, - 1963, 168, -С. 28-42.

49. Малаховский В. С. О многообразиях алгебраических фигур // Геометрич. сб. / Томск, гос. ун-та. - Томск, - 1965. - Вып. 9. - С. 5 - 14.

50. Малаховский B.C. Дифференциальная геометрия многообразий фигуры пар фигур в однородном пространстве // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ АНСССР, -1969.-Т. 2,-С. 179-206.

51. Малаховский B.C. К геометрии касательно оснащенных подмногообразий // Известия вузов. Математика. - 1972. - №9. - С. 54 - 65.

52. Малаховский B.C. Некоторые проблемы дифференциальной геометрии многообразий квадрик // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. Темат. сб. научн. Тр./ Калинингр. ун-та. - 1994. - Вып. - С. 64 - 70.

53.Манина Н.И., Султанов А.Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения второго порядка со связностью горизонтального лифта // Известия вузов. Математика. - 2011. - №.9, - С.62 - 69.

54.Масленков А.Е. Двумерные распределения в пятимерном проективном пространстве // Томск, политехи, ин-т. Томск, - 1979. 20 с. - Библиогр.: 10 назв. - Дек. В ВИНИТИ. 9. 12, 79. №2231-79: Деп.

55.Норден А. П. Обобщение основной теоремы теории нормализации.// Известия вузов. Математика, - 1966, - № 2, - С.9 - 19.

56.Норден А. П. О внутренней геометрии непрерывного точечного соответствия на плоскости. Докл. АНСССР, - 1948, 61, - №3, - С. 445 - 448.

57.Норден А. П. Конформная интерпретация пространства Вейля. //Матем. сб., - 1949, 24 (66).

58. Норден А. П. Теория поверхностей биаффинного пространства. // Уч. Зап. Казанск. Ун-та, - 1954, 114, - кн.2, - С. 13 - 38.

59. Норден А. П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, - 1976, - С.432.

60. Норден А. П. Теория композиций. // «В сб.» Проблемы Геометрии , 10 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АНСССР, - М., - 1978, - С. 117 - 145.

61,Омельян О.М., Шевченко Ю.И. Редукция объекта центропроективной связности и тензора аффинного кручения на распределении плоскостей // Математические заметки. - 2008. - Т.84. - Вып 1. - С.99 - 107.

62. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math, pures et appl. (RNR). - 1962. - №2. - P. 231 - 240.

63. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства. // Труды геометрического семинара. - Т. 1, - М„ ВИНИТИ АНСССР, - 1966, - С. 239 -264.

64. Остиану Н.М. Распределения /«-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности II. // Труды геометрического семинара. - Т. 3, ВИНИТИ АНСССР, - 1971, С. 95 - 114.

65. Остиану Н.М. Распределения гиперплоскостных элементов в проективном пространстве.// Труды геометрического семинара. - Т. 4, - М., ВИНИТИ АНСССР, -1973,-С. 71-120.

66.Павлюченко 10. В., Рыжков В. В. Об изгибании точечных соответствий между проективными пространствами // Тр. Геометр, семинара. - М. - 1969. - Т.2. - С. 263 -275.

67. Павлюченко Ю.В. О характеристической системе точечных соответствий // Тр. геом. сем. - М., 1971. - Т.З. - С. 221 -233.

68.Попов Ю.И. К теории оснащенной гиперполосы в многомерном проективном пространстве // Учен, заметки Моск. Гос. Педаг. Ин-та. В. И. Ленина. - 1970, - Вып. 374.-T. 1.-С. 102-117.

69. Попов Ю.И. Гиперполосы многомерного проективного пространства с общим основанием // Учен, заметки Моск. Гос. Педаг. Ин-та. В. И. Ленина. - 1970, - Вып. 374.-T. 1.-С. 118-129.

70. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства / Калинингр. ун-та. Сиб: Изд-во Сиб. Ун-та, - 1992. - 172 с.

71. Попов Ю.И. О двойственных трёхсоставных распределениях // Калинингр. гос. ун-т., 2004. - 17 с. - Деп. В ВИНИТИ 26.01. - 2004, - №.131 - 2004.

72.Попов Ю.И., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос.// Учебное пособие./ Калинингр. ун-та. - Калининград, - 1992. - 80 с.

73.Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.// М.: Наука, - 1967. - С. 664.

74. Романов В.И. О некоторых отображениях евклидовых пространств. // Тр. Ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы, - 1967, - 21, - С. 55 - 68.

75.Романов В.И. К дифференциальной геометрии точечных соответствий между евклидовыми пространствами. // Укр. геом. сб., - 1970, - Вып. 8, - С. 120 - 124.

76. Рыбников А.К. О пространствах аффинной связности без кручения 1ш класса // Успеха магических наук, 17: 2 (104), (1962), - С. 196 - 200.

77. Рыбников А.К. Аффинные связности, индуцированные на многомерных поверхностях аффинного пространства. // Труды геом. семинара, 6 (1974), - С. 135 -156.

78. Рыбников А.К. Об аффинных связностях второго порядка // Математические заметки, 29: 2 (1981), - С. 279 - 290.

79. Рыбников А.К. О пространствах аффинной связности без кручения 1ш класса // Математический сборник, - 1962. - Т. 58 (100) - №4, - С. 423 - 438.

80. Рыбников А.К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Известия Вузов. Математика. - 1983. - №1. - С. 73 - 80.

81. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Геометрия. Москва, - 1965. - С. 65 - 107.

82.Рыжков В. В. Об одном классе соответствий между аффинными пространствами.// Тр. Томского ун-та, - 1965, 181, - С. 19 - 23.

83. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. - Москва, - 1971. -С. 153 - 174.

84.Рыжков В. В. Характеристические направления точечного отображения Р,„ в Р„. // Труды геометр, семинара. - М. - Т. 3, - М. - 1971, С. 235 - 242.

85. Столяров A.B. Проективно-дифференциальная геометрия гиперполосного распределения ш-мерных линейных элементов. В сб. «Проблемы геометрии» (Итоги науки и техники), - Т. 7, - М. - 1975, - С. 117 - 151.

86. Столяров A.B. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография // Чебоксары: Изд-во Чувашский гос. пед. Институт, - 1994. - 290 с.

87. Столяров A.B. Пространство проективно-метрической связности // Известия вузов. Математика. - 2003. - №11. - С. 70 - 76.

88. Столяров A.B. Пространство аффинной связности // Известия вузов. Математика. -2006. -№11. -С. 42-54.

89. Столяров A.B. Пространство аффинно-метрической связности // Известия вузов. Математика. - 2007. - №9. - С. 71 - 82.

90. Столяров A.B. Связности на аналитической гиперповерхности в проективно-метрическом пространстве // Ученые Зак. Казанского гос. ун-та. Сер. Фаз. - Матем. Науки, - Т.151, - №4, - Изд-во Казанского ун-та, Казань, - 2009, - С.160 - 170.

91. Султанов А.Я. Продолжение тензорных полей и связностей в расслоении Вейля // Известия вузов. Математика. - 1999. - №.9, - С. 64 - 72.

92. Султанов А.Я. Голоморфные аффинные векторные поля на расслоениях Вейля // Математические, заметки. - 2012. - 91. - № 6. - С.896 - 899.

93. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М. -Л.: ГИТТЛ. - 1948. - 432с.

94. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами.1. // Чехосл. матем. ж., - 1952, 2, - №1, - С. 91 - 107.

95. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами.П. // Чехосл. матем. ж., - 1952, 2, - №1, - С. 109 - 123.

96. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами!!! // Чехосл. матем. ж., - 1952, 2, - №2, - С. 125 - 148.

97. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя простраиствамиЛУ. // Чехосл. матем. ж., - 1952, 2, - №2, - С. 149 - 166.

98. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами.У // Чехосл. матем. ж., - 1952, 2, - №2, - С. 167 - 188.

99. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами.У! // Чехосл. матем. ж., - 1953,2, - №4, - С. 297 - 331.

100. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами.VII. // Чехосл. матем. ж., - 1953, 3, - №2, - С. 123 - 137.

101. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами.VIII // Чехосл. матем. ж., - 1954, 4, - №2, - С. 143 - 174.

102. Шевченко Ю.И. Об оснащении Картана. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: межвуз. темат. сб. научн. Тр. / Калинингр. Ун-т. - 1983. - Вып. 14.-С. 107-110.

103. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных многообразий. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: межвуз. темат. сб. научн. Тр. / Калинингр. Ун-т. - 1994. - Вып. 25. - С. 110 - 121.

104. Шевченко Ю.И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - 2006. - №37. -С.179 - 187.

105. Шевченко Ю.И. Вырождение плоскостной аффинной связности Столярова. // Фундамент, и прикл. матем. - 2010. - Т. 16. - №2. - С.29 - 67.

106. Шелехов А.М., Лазарева В.Б. О геометрической интерпретации инвариантного оснащения точечного соответствия трех прямых // Известия вузов. Сер. мат. - 1984. -№.9,-С. 43-47.

107. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Алгебра. Топология. Геометрия. 1967 ( Итоги науки и техники ВИНИТИ АНСССР). - М.: ВИНИТИ, - 1974. - Т. 11. - С. 153 - 207.

108. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Алгебра. Топология. Геометрия. 1967 ( Итоги науки и техники ВИНИТИ АНСССР). - М.: ВИНИТИ, - 1969. - С. 127 - 188.

109. Bortolotti Е. Sulla geometría proiettiva differenziale delle trasformazioni dualiatiche // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., - 1938, 28, - C. 224 - 230.

110. Boruvka O. Sur les correspondances analytiques enter plans projectifs. I, II. // Spisy prfrodoved. Fak- Brne. - 1926.27. - 72. 85.

111. Casanova. La notion de pole harmonique // Rev. math. spec. - 1955. - T. 65, - №6. -P. 437-440.

112. Cech E. Géométrie projective différentielle des correspondances entre deux espaces I // Cas. pest. mat. a fys., 1949, 74, 32 - 46.

113. Cech E. Géométrie projective différentielle des correspondances entre deux espaces II // Cas. pëst. mat. a fys., - 1950, 75, - 123 - 136.

114. Cech E. Géométrie projective différentielle des correspondances entre deux espaces 1П // Cas. pëst. mat. a fys., - 1950, 75, - 137 - 158.

115. Fubini G., Cech E. Introduction à la géométrie projective différentielle des surfaces, Paris, Gauthier-Villars, 1931.

116. Segre B. Corrispodenze analitiche e trasformazioni cremoniane. // Univ. E Politecn. Torino Rend. Sem. Mat., - 1949, 8, - 49 - 55.

117. Segre B. Some properties of differentiable varieties and transformations. // Springer. Berlin - Gôttingen, - 1957.

118. Speranza F. Sunerficie anolonome e corrispondenze dualistiche // Atti Accad. Naz. Lincei Rend Cl. Sci. Fis. Mat. e natur., - 1961, 30, - №4, - 479 - 486.

119. Svec A. Sur les correspondances enter deux espaces. // Bibliographie. Comment, math. Univ. Carolinae, - 1960, 1, - №2, - 23 - 37.

120. Villa M. Transformations ponctudles et transformations crèmonitnnes. // Collog. De topologie et geom.- différentielle, - Strasbourg, - 1952, - №8, - 6 pp.

121. Vrànceanu G.G. Sur les correspondances entre deux plans proectifs. // Bull math. Soc. sci. et phys. RPR, - 1958, 2, - №2, - 225 - 236.

122. Vrànceanu G.G. Transformations ponctuelles À connexion projective constante. // Rev. Math. Pures et app. (RPR), - 1959,4, - 157 - 160.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

123. Аль-Хассани М.А. Связности аффинного расслоения многообразия невырожденных нуль-пар проективного пространства / М.А. Аль-Хассани // Том. политехи, ун-т. - Томск, 2013. - 50 е.: ил.- Библиогр.: 37 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ.- №288. - В 2013 от 18 октябрь. - 3.03 п.л.

124. Аль-Хассани М.А. Поля инвариантных геометрических образов дифференцируемого отображения аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства / М.А. Аль-Хассани // Том. политехи, ун-т. - Томск, 2013. - 47 е.: ил. - Библиогр.: 17 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 08.08.2013, № 236 - в 2013. - 2.85 п.л.

125. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение ранга г аффинного Qm и проективного Р„ пространств / М.А. Аль-Хассани, A.A. Лучинин // Известия Томского политехнического университета. - 2014. - Т.324. - № 2. - С. 35 - 39. - 0.15 п.л.

126. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение аффинного Q„ и проективного Р„ пространств / М.А. Аль-Хассани, Е.А. Молдованова // Известия Томского политехнического университета - 2013. - Т.323 - № 2 - С. 28 - 32. - 0.15 п.л.

127. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства / М.А. Аль-Хассани, Е.А. Молдованова // Материалы международной научно-практической конференции «Наука в современном информационном обществе». - Москва. - Том.2. - 2013. - С. 158 - 160. - 0.09 п.л.

128. Аль-Хассани М.А. Отображение аффинного пространства в многообразие нуль-пар проективного пространства / М.А. Аль-Хассани, Е.А. Молдованова // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Т.322. - № 2 - С. 24 - 28. - 0.15 п.л.

129. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение аффинного Q,„ и проективного Р„ пространств (т>п) / Е.Т. Ивлев, М.А. Аль-Хассани, A.A. Лучинин // Известия Томского политехнического университета. - 2014. - Т.324. - №2. - С.47 -51.-0.1 п.л.

130. Аль-Хассани М.А. Дифференцируемое отображение аффинного Q,„ и проективного Р„ пространств (т<п) / Е.Т. Ивлев, М.А. Аль-Хассани, A.A. Лучинин // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Т.323. - №2. - С. 16 -20.-0.1 п.л.