Декомпозиция моделей многотемповых управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Семенова, Марина Михайловна

• Семенова, Марина Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенова, Марина Михайловна

Введение

1 Декомпозиция двухтемповых систем

1.1 Линейные модели.

1.1.1 Декомпозиция.

1.1.2 Управляемость.

1.1.3 Наблюдаемость.'.

1.2 Нелинейные модели.

1.2.1 Декомпозиция задач устойчивости

1.2.2 Декомпозиция задач управляемости

1.2.3 Управляемость. ф 1.2.4 Наблюдаемость.

1.2.5 Стабилизируемость. 1.3 Однозвенный манипулятор с упругим сочленением.

1.3.1 Уравнения движения.

1.3.2 Декомпозиция модели манипулятора.

1.3.3 Управляемость.

1.3.4 Наблюдаемость.

1.3.5 Составное управление.

2 Декомпозиция многотемповых систем

2.1 Линейные модели.

2.1.1 Декомпозиция задач управляемости

2.1.2 Управляемость. 2.2 Нелинейные модели.

2.2.1 Декомпозиция задач устойчивости

2.2.2 Декомпозиция задач управляемости 2.2.3 Управляемость.

2.3 Некоторые приложения.

2.3.1 Энергосистема из двух разнотипных станций.

2.3.2 Декомпозиция модели слабоуправляемой системы

2.3.3 Многомерная модель управления непрерывным технологическим комплексом.

2.3.4 Гироскопический стабилизатор

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Декомпозиция моделей многотемповых управляемых систем»

Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений интенсивно развивается и ее методы активно применяются для решения задач из различных областей естествознания и техники. Это объясняется широким спектром приложений таких систем: гидродинамика, электроэнергетика, радиотехника, динамика полета, экономика и др. Сингулярно возмущенные системы могут быть получены естественным путем не только при моделировании, но и при исследовании объектов, которые совершают одновременно медленные и быстрые движения. Движение систем твердых тел представляет собой сложную композицию быстрых и медленных движений.

В теории автоматического управления модели, описываемые системами сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений возникают практически всегда. Примерами могут служить гироскопические, электромеханические и другие системы. В случае гироскопических систем имеют место быстрые — нутационные и медленные — прецессионные колебания, в случае электромеханических систем роль быстрых переменных играют переменные, описывающие электрические колебания, а медленных — переменные, описывающие механическую часть.

Настоящая работа посвящена изучению свойств сингулярно возмущенных систем — управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизируемость. Исследование проводится на основе декомпозиции математических моделей, отображающих свойства систем. Декомпозиция является одним из основных приемов для изучения сложных систем и состоит в расщеплении исходной задачи на ряд независимых задач меньшей размерности. Декомпозиция сингулярно возмущенных систем подразумевает частотное разделение движений на быстрые и медленные.

Сингулярно возмущенными называются системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, т. е. системы вида х = f{x,y,e), £У = где х Е R", у £ Rm, t G К, £ — малый положительный параметр, точкой обозначается дифференцирование по t. Сингулярно возмущенные системы с управлением — это системы вида х = f(x,y,u,e), еу = д(х,у,и,е), где и 6 Rr — вектор управляющих воздействий.

Исследованию сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящены работы [6] - [11], [14], [17], [21], [22], [25], [26], [28], [29], [31], [32], [34], [41], [46],

48] - [50], [53], [78] - [83], [87], [90] - [92], [94], [96] - [98], [100] - [103], [107], [108], [112], [120], [121], [125]. Задачи управления с сингулярными возмущениями рассматривались в работах [1], [12], [13], [15], [16], [20], [23], [24], [37] - [39], [47], [51], [52], [78], [79], [86], [93], [99] - [102], [104] - [106], [109], [111], [114] - [119], [122] - [129], [131], [132]. Основы теории сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений и ее методов заложены в трудах А. Н. Тихонова [82], [83]; А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова [8], [9]; А. И. Климушева, H. Н. Красовского [31]; В. Р. Вазова [7]; J1. С. Понтрягина [53], [54]; H. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, О. Б. Лыковой [6], [46]; Е. Ф. Мищенко, H. X. Розова [48]; К. И. Чернышова [90]; J. Н. Chow [100]; R. Е. O'Malley [121]. В частности, вопросу декомпозиции линейных сингулярно возмущенных систем посвящены работы Е. Н. Abed [92]; L. Anderson [94]; P. V. Kokotovic [101]; В. Avramovic [95]; R. E. O'Malley, R. L. Anderson [121]. Среди отечественных исследователей изучению сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящены работы Е. И. Геращенко, С. М. Геращенко [20]; С. А. Кащенко [29]; Н. В. Воропаевой, В. А. Соболева, В. В. Стрыгина, К. И. Чернышова [5], [17], [78], [80], [81]; А. А. Перво-званского, В. Г. Гайцгори [52]. Метод асимптотических разложений освещен в работах

A. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [8], [9], [И]; F. Hoppensteadt [107], [108]; В. Р. Вазова [7]. Применение метода асимптотических разложений проиллюстрировано, например, в работах А. Б. Васильевой, М. Г. Дмитриева [12]; H. Н. Моисеева [49]; И. В. Новожилова [50]; А. А. Первозванского, В. Г. Гайцгори [52]; В. М. Гольдштейна, Ю. В. Михеева,

B. А. Соболева, Э. М. Фридман [21], [47]; P. V. Kokotovic, R. Е. O'Malley, P. Sannuti, V. R. Saksena, J. O'Reilly [118], [127]. Основы теории интегральных многообразий заложены в работах H. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [6]. Применение этого метода раскрыто, например, в работах Ю. А. Митропольского, О. Б. Лыковой [46]; P. V. Kokotovic [115] - [117] и других авторов. Метод сингулярных возмущений использован в трудах В. Porter [124] для синтеза регуляторов, стабилизирующих систему по принципу обратной связи. Приложения этого метода проиллюстрированы в книге

A. А. Первозванского и В. Г. Гайцгори [52]. P. V. Kokotovic, A. H. Haddad [116], а также J. Н. Chow [102] исследовали управляемость линейных автономных двухтемповых систем. Е. Н. Abed в своих работах [91] - [93] изучал такие свойства линейных автономных сингулярно возмущенных систем с несколькими малыми параметрами, как асимптотическая устойчивость и управляемость, сильная и слабая управляемость. D-управляемость и сильная D-управляемость таких систем изучена в работе X. Kekang, W. Zhenguan [111]. Управляемость некоторых линейных автономных разнотемповых систем и множества достижимости для них были изучены в работах М. Г. Дмитриева [23]; Г. А. Куриной [38], [39]. Расщепляющее преобразование для линейных неавтономных трехтемповых и многотемповых систем было построено, например, в работах Н. К. Khalil и P. V. Kokotovic [114], G. S. Ladde и D. D. Siljak [120], E. H. Abed [92],

B. А. Соболева, В. В. Стрыгина [81]. Управляемость линейных неавтономных сингулярно возмущенных систем исследовалась в работах P. Sannuti [128], P. V. Kokotovic и А. Н. Haddad [116]. Наблюдаемость линейных сингулярно возмущенных систем исследована в книге P. V. Kokotovic [117], а также в работах D. Cobb [104], S. H. Javid [109], J. O'Reilly [122].

Для нелинейных двухтемповых систем вопросы устойчивости с использованием функции Ляпунова квадратичного типа рассмотрены следующими авторами — А. И. Кли-мушевым и H. Н. Красовским [31], F. Hoppensteadt [107], J. H. Chow [100], A. Saberi и

H. КЬаЫ [126]. Расщепляющее преобразование для нелинейных сингулярно возмущенных систем без управления можно найти в работах Н. В. Воропаевой и В. А. Соболева [17], [130]. Управляемость некоторых сингулярно возмущенных систем была изучена Р. ЗаптШ [129]. Декомпозиция и управляемость систем, описывающих движение ма-нипуляционных роботов и некоторых механических и электрических объектов, освещены в работах Е. П. Кубышкина и М. Ю. Гарнихиной [19]; В. И. Матюхина [43], [44]; Е. С. Пятницкого, Н. В. Дунской [55] - [59].

Однако, в вышеуказанных работах в достаточной степени не изучены многотемповые системы и их свойства: во-первых, не описана общая методика понижения размерности моделей многотемповых управляемых систем; во-вторых, не исследованы свойства управляемости и наблюдаемости многотемповых систем.

Актуальность настоящей работы определяется возможностью понижения размерности моделей управляемых многотемповых систем и связана с развитием задач исследования таких свойств систем как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и стаби-лизируемость. Модели, исследованные в работе — энергосистема из двух разнотипных электростанций, однозвенный манипулятор с упругим сочленением, непрерывный технологический комплекс, силовой гироскопический стабилизатор, имеют практическую ценность.

Целью работы является: понижение размерности моделей управляемых многотемповых систем; получение достаточных условий управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабилизируемое™ таких систем; получение достаточных условий устойчивости энергетической системы из двух разнотипных электростанций; получение достаточных условий локальной управляемости и локальной наблюдаемости вблизи нуля однозвенного манипулятора с упругим сочленением; получение достаточных условий стабилизируемое™ силового гироскопического стабилизатора; получение достаточных условий управляемости непрерывного технологического комплекса.

Объектом исследования в данной работе являются модели, которые описываются сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений. Предметом исследования данной диссертационной работы являются основные свойства управляемых многотемповых систем — управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизируемость.

К основным методам исследования относятся методы теории математического моделирования; метод декомпозиции, основанный на теории интегральных многообразий быстрых и медленных движений, асимптотические методы, метод пространства состояний, численные методы решений дифференциальных уравнений, асимптотические и геометрические методы анализа.

В числе информационных источников диссертационной работы использованы, во-первых, научные источники в виде данных и сведений из книг, журналов, сборников трудов научных конференций и семинаров, во-вторых, результаты собственных расчетов. Научная новизна работы состоит в следующем:

I. Предложен алгоритм понижения размерности моделей нелинейных многотемповых управляемых систем.

2. Проведена декомпозиция моделей управляемых многотемповых систем.

3. Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости сингулярно возмущенных систем.

4. Получены достаточные условия устойчивости энергетической системы, состоящей из двух разнотипных электростанций.

5. Получены достаточные условия локальной управляемости и локальной наблюдаемости однозвенного манипулятора с упругим сочленением.

6. Получены достаточные условия стабилизируемости силового гироскопического стабилизатора.

7. Получены достаточные условия управляемости непрерывного технологического комплекса.

Практическая значимость работы заключается в применении полученных в ней достаточных условий для исследования на наличие свойств управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабилизируемости моделей следующих многотемповых систем: энергосистемы из двух электростанций, однозвенного манипулятора, гироскопического стабилизатора, непрерывного технологического комплекса.

Апробация результатов, полученных в настоящей диссертационной работе, осуществлялась на различных научных конференциях: Воронежский зимний симпозиум "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", г. Воронеж (январь, 2000г.); VII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование", г. Дубна (январь, 2000г.); Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения- XI", г. Воронеж (май, 2000г.); Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление", г. Самара (июнь, 2000г.; июль, 2001г.; июнь, 2004г.; июнь, 2005г.); Первый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Сочи (октябрь, 2000г.); Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, г. Йошкар-Ола (декабрь, 2001г.); VII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", г. Москва (май, 2002г.); Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара (май, 2004г.); VIII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", г. Москва (июнь, 2004г.).

Результаты исследований опубликованы в 15 печатных работах [63] - [77]. В первой главе рассматриваются двухтемповые управляемые системы и изучаются такие их свойства как управляемость, наблюдаемость и стабилизируемость. Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости однозвенного манипулятора с упругим сочленением, проведено численное моделирование движения данного манипулятора.

Во второй главе анализируются многотемповые управляемые системы. Изучены математические модели следующих систем: энергетической системы из двух разнотипных электростанций, силового гироскопического стабилизатора, технологического комплекса непрерывного действия. Для этих систем на основе декомпозиции исследуются свойства управляемости, наблюдаемости, устойчивости и стабилизируемости.

Полученные результаты позволяют проводить исследование моделей технических и экономических систем на наличие таких свойств как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и стабилизируемость, которые являются основными условиями работоспособности системы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Семенова, Марина Михайловна

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Предложен алгоритм расщепления моделей управляемых нелинейных многотемповых систем. Рассмотрен случай понижения размерности моделей систем, линейных по быстрым переменным.

2. Проведена декомпозиция моделей управляемых сингулярно возмущенных систем.

3. Получены достаточные условия управляемости и наблюдаемости многотемповых систем.

4. Изучен случай, когда наличие свойств управляемости и наблюдаемости данной системы определяется наличием этих свойств у системы к-ого приближения данной системы.

5. Исследована задача устойчивости систем, описываемых сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями второго порядка. Получены условия, при выполнении которых задача устойчивости исходной системы сводится к задаче устойчивости на медленном интегральном многообразии.

6. Получены достаточные условия устойчивости энергетической системы, состоящей из двух ГЭС.

7. Получены достаточные условия управляемости технологическим комплексом, состоящим из агрегатов непрерывного действия.

8. Рассмотрена задача прецессионного движения силового гироскопического стабилизатора. Исследованы свойства управляемости, устойчивости и стабилизируемости этой системы вблизи начала координат.

9. Исследованы свойства локальной управляемости и локальной наблюдаемости вблизи начала координат, а также проведено численное моделирование движения однозвенного манипулятора с упругим сочленением.

Полученные результаты позволяют проводить исследование основных свойств работоспособности технических систем, динамика которых представляет собой сложную композицию быстрых и медленных движений.

Заключение

В настоящей работе проведено исследование моделей систем, описываемых сингулярно возмущенными системами дифференциальных уравнений и изучены такие их свойства, как управляемость, наблюдаемость, устойчивость и стабилизируемость. Решен ряд прикладных задач с использованием метода декомпозиции, основанного на теории интегральных многообразий, асимптотических методов и методов математической теории управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенова, Марина Михайловна, 2006 год

1. Акуленко Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления/ Л. Д. Аку-ленко; М.: Наука, 1987. — 368 с.

2. Афанасьев В. Н. Математическая теория конструирования систем управления/ В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов; М.: Высшая школа, 1989. — 488 с.

3. Барис Я. С. Исследование ограниченных решений линейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий/ Я. С. Барис, В. И. Фод-чук// Украинский математический журнал. — 1969. — Т. 21, N0. 3. — С. 287 -300.

4. Барис Я. С. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий/ Я. С. Барис, В. И. Фод-чук// Укр. матем. журн. 1970. - Т. 22, N0. 1. - С. 3 - 11.

5. Богатырев С. В. Разделение быстрых и медленных движений в задачах динамики систем твердых тел и гироскопов/ С. В. Богатырев, В. А. Соболев// Прикладная математика и механика (ПММ). — 1988. — Т. 52, N0. 1. — С. 47 54.

6. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний/ Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский; М.: Наука, 1974. — 503 с.

7. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений/ В. Вазов; М.: Мир, 1968. — 464 с.

8. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной/ А. Б. Васильева// Успехи математических наук. — 1963. — Т. 18, N0. 3. С. 15 - 86.

9. Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных систем/ А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов; М.: Наука, 1973. — 272 с.

10. Васильева А. Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях/ А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов; М.: Изд-во МГУ, 1978. 106 с.

11. И. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений/ А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов; М.: Высшая школа, 1990. — 208 с.

12. Васильева А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления/

13. A. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев. — Итоги науки и техники. Сер. "Математический анализ". Т. 20. М.: ВИНИТИ. - 1982. - С. 3 - 78.

14. Викторов Б. В. Особенности поведения систем управления с резко отличными темпами составляющих движения/ Б. В. Викторов// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — N0. 5. — С. 190 195.

15. Волосов В. М. К вопросу о дифференциальных уравнениях с малым параметром при старшей производной/ В. М. Волосов// Доклады АН СССР. — 1950. — Т. 73, N0. 5. С. 873 - 876.

16. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем/ А. А. Воронов; М.: Наука, 1985. — 351 с.

17. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость/ А. А. Воронов; М.: Наука, 1979. 336 с.

18. Воропаева Н. В. Конструктивный метод расщепления нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем/ Н. В. Воропаева, В. А. Соболев// Дифферент уравнения. 1995. - Т. 31, N0. 4. - С. 569 - 578.

19. Габасов Р. Качественная теория оптимальных процессов/ Р. Габасов, Ф. М. Кириллова; М.: Наука, 1971. — 508 с.

20. Геращенко Е. И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем/ Е. И. Геращенко, С. М. Геращенко; М.: Наука, 1975. — 295 с.

21. Гольдштейн В. М. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем/

22. B. М. Гольдштейн, В. А. Соболев; Новосибирск: Ин-т математики АН СССР, Сибирское отделение, 1989. — 153 с.

23. Градштейн И. С. Применение теории устойчивости А. М. Ляпунова к теории дифференциальных уравнений с малыми множителями/ И. С. Градштейн// Математический сборник. 1953. - Т. 32(74), N0. 2. - С. 263 - 286.

24. Дмитриев М. Г. Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления/ М. Г. Дмитриев// Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, N0. 10. С. 1693 - 1698.

25. Дмитриев М. Г. Использование прямой схемы для решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления с сингулярным возмущением/ М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина, X. О. Овезов// Известия РАН. Теория и системы управления. — 1996. N0. 4. - С. 62 - 68.

26. Забрейко П. П. Принцип сведения для метода последовательных приближений и инвариантные многообразия/ П. П. Забрейко, Н. М. Исаков// Сибирский математический журнал. 1979. - Т. 20, N0. 3. - С. 539 - 547.

27. Задирака К. В. Исследование сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений/ К. В. Задирака. — Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. 2. — Киев: Изд-во АН УССР. — 1963. — С. 205 -212.

28. Калман Р. Очерки по математической теории систем/ Р. Калман, П. Фалб, М. Ар-биб; М.: Мир, 1971. 400 с.

29. Картвелишвили Н. А. Идеализация сложных динамических систем/ Н. А. Карт-велишвили, Ю. И. Галактионов; М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. — 272 с.

30. Кащенко С. А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием/ С. А. Кащенко// Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, N0. 10. С. 1343 - 1355.

31. Квакернаак X. Линейные оптимальные системы управления/ X. Квакернаак, Р. Сиван; М.: Мир, 1977. 652 с.

32. Климушев А. И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных/ А. И. Климушев, Н. Н. Красовский// ПММ. 1961. - Т. 25, N0. 4. - С. 680 - 694.

33. Кобрин А. И. Применение теории сингулярно возмущенных уравнений для исследования гироскопических систем/ А. И. Кобрин, Ю. Г. Мартыненко// Докл. АН СССР. 1976. - Т. 230, N0. 1. - С. 52 - 55.

34. Ковалев А. М. Критерий управляемости и достаточные условия стабилизируемое™ динамических систем/ А. М. Ковалев// ПММ. —1995. — Т. 59, вып. 3. — Москва, 1995. С. 401 - 409.

35. Кононенко Л. И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий / Л. И. Кононенко, В. А. Соболев// Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35, N0. 6. - С. 1264 - 1268.

36. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа/ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко; М.: Наука, 1975. — 511 с.

37. Красовский Н. Н. Теория управления движением/ Н. Н. Красовский; М.: Наука, 1968. 476 с.

38. Крейн С. Г. О сингулярных возмущениях в задачах оптимального управления/ С. Г. Крейн, Г. А. Курина. — Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. — М.: Наука. — 1981. — С. 170 178.

39. Курина Г. А. О полной управляемости одного класса линейных сингулярно возмущенных систем/ Г. А. Курина// Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, N0. 8. С. 1444 - 1446.

40. Курина Г. А. О полной управляемости разнотемповых сингулярно возмущенных систем/ Г. А. Курина// Математические заметки. — 1992. — Т. 52, N0. 6. — С. 56-61.

41. Ли Э. Б. Основы теории оптимального управления/ Э. Б. Ли, Л. Маркус; М.: Наука, 1972. 576 с.

42. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений/ С. А. Ломов; М.: Наука, 1981. 398 с.

43. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения/ А. М. Ляпунов; М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1950. — 472 с.

44. Матюхин В. И. Универсальные законы управления механическими системами/ В. И. Матюхин; М.: МАКС Пресс, 2001. 252 с.

45. Матюхин В. И. Устойчивость движения манипулятора при постоянно действующих возмущениях/ В. И. Матюхин// Автоматика и телемеханика. — 1994. — N0. И. С. 124-134.

46. Меркин Д. Р. Гироскопические системы/ Д. Р. Меркин; М.: Наука, 1956. — 299 с.

47. Митропольский Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике/ Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова; М.: Наука, 1973. — 512 с.

48. Михеев Ю. В. Асимптотический анализ цифровых систем управления/ Ю. В. Михеев, В. А. Соболев, Э. М. Фридман// Автоматика и телемеханика. — 1988. — N0. 5. С. 83-88.

49. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания/ Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов; М.: Наука, 1975. — 247 с.

50. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики/ Н. Н. Моисеев; М.: Наука, 1981. 400 с.

51. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления/ А. А. Первозван-ский; М.: Наука, 1986. 616 с.

52. Первозванский А. А. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация/ А. А. Первозванский, В. Г. Гайцгори; М.: Наука, 1979. — 344 с.

53. Понтрягин Jl. С. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных/ Л. С. Понтрягин// Известия АН СССР. Сер. "Математическая". 1957. - Т. 21, No. 5. - С. 605 -626.

54. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов/ Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко; М.: Наука, 1976. — 392 с.

55. Пятницкий Е. С. Критерий полной управляемости классов механических систем с ограниченными управлениями/ Е. С. Пятницкий// Прикладная математика и механика. 1996. - Т. 60, No. 5. - Москва, 1996. - С. 707 - 718.

56. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими и электрическими объектами на принципе декомпозиции I/ Е. С. Пятницкий// Автоматика и телемеханика. — 1989. — No. 1. — С. 87 97.

57. Пятницкий Е. С. Синтез иерархических систем управления механическими и электрическими объектами на принципе декомпозиции II/ Е. С. Пятницкий// Автоматика и телемеханика. — 1989. — No. 2. — С. 57 70.

58. Пятницкий Е. С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных объектов управления/ Е. С. Пятницкий// Автоматика и телемеханика. — 1993. No. 7. - С. 19 - 37.

59. Пятницкий Е. С. Стабилизация управляемых механических и электромеханических систем/ Е. С. Пятницкий, Н. В. Дунская// Автоматика и телемеханика. — 1988. No. 12. - С. 40 - 51.

60. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление/ Я. Н. Ройтенберг; М.: Наука, 1978.- 552 с.

61. Ройтенберг Я. Н. Гироскопы/ Я. Н. Ройтенберг; М.: Наука, 1975. — 592 с.

62. Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных/ В. В. Румянцев, А. С. Озиранер; М.: Наука, 1987. — 253 с.

63. Семенова М. М. Управляемость многотемповых систем/ М. М. Семенова// Нелинейное моделирование и управление: Материалы Международного семинара, Самара, 26-30 июня, 2000. Самара, 2000. - С. 105 - 106.

64. Семенова М. М. Управляемость нелинейных сингулярно возмущенных систем/ М. М. Семенова// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2000.

65. Т. 7, вып. 2. — Москва. Научное изд-во: Теория вероятностей и ее применение (ТВП), 2000. С. 413-414.

66. Семенова М. М. Декомпозиция задачи управляемости линейных многотемповых систем/ М. М. Семенова// Вестник у четно-экономического факультета. — 2000. — Вып. 2. — Самара: Изд-во Самарской государственной экономической академии, 2000. С. 208 - 216.

67. Семенова М. М. Понижение порядка системы в одной модели управления/ М. М. Семенова// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001.

68. Т. 8, вып. 2. — Москва. Научное изд-во: Теория вероятностей и ее применение (ТВП), 2001. С. 682.

69. Семенова М. М. Декомпозиция многотемповых моделей управляемых систем/ М. М. Семенова// Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. — 2002. — N0. 4(26). — Самара: изд-во "Самарский университет", 2002. С. 13 - 22.

70. Семенова М. М. Декомпозиция многотемповых моделей линейных систем/ М. М. Семенова// Нелинейное моделирование и управление: тезисы докладовмеждународного семинара, Самара, 22 25 июня, 2004. — Самара, 2004. — С. 47 - 48.

71. Семенова М. М. Управляемость и наблюдаемость манипуляторов с упругим сочленением/ М. М. Семенова// Сибирский журнал индустриальной математики.2004. — Т. VII, N0. 1(17). — Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 2004. — С. 109-113.

72. Семенова М. М. Декомпозиция систем с несколькими временными масштабами/ М. М. Семенова// Мехатроника, автоматизация, управление. —2004. — N0. 8. — М.: Изд-во "Новые технологии", 2004. — С. б 11.

73. Соболев В. А. Интегральные многообразия, сингулярные возмущения и оптимальное управление/ В. А. Соболев// Украинский математический журнал. — 1987.- Т. 39, N0. 1. С. 111 - 116.

74. Соболев В. А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления/ В. А. Соболев// Автоматика и телемеханика. — 1991. — N0. 2. С. 53 - 64.

75. Соболев В. А. Сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение с фред-гольмовым оператором при производной/ В. А. Соболев, К. И. Чернышов// Дифферент уравнения. 1989. - Т. 25, N0. 2. - С. 247 - 258.

76. Стрыгин В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий/ В. В. Стрыгин, В. А. Соболев; М.: Наука, 1988. 256 с.

77. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных/ А. Н. Тихонов// Математический сборник. — 1952. — Т. 31, N0. 3. С. 575 - 586.

78. Тихонов А. Н. Дифференциальные уравнения/ А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников; М.: Наука, 1985. — 231 с.

79. Филатов А. Н. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний/ А. Н. Филатов, Л. В. Шарова; М.: Наука, 1976.

80. Формальский А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами/ А. М. Формальский; М.: Наука, 1974. — 368 с.

81. Хапаев М. М. Условия управляемости сингулярно возмущенных систем, содержащих сингулярные управления/ М. М. Хапаев// Доклады АН СССР. — 1991. — Т. 320, N0. 2. С. 300 - 302.

82. Чанг К. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи: Теория и приложения/ К. Чанг, Ф. Хауэс; М.: Мир, 1988. 247 с.

83. Черноусько Ф. Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления/ Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановский. — Итоги науки и техники. Серия "Математический анализ". Т. 20. М.: ВИНИТИ. - 1977. - С. 101 - 166.

84. Черноусько Ф. JI. Оптимальное управление при случайных возмущениях/ Ф. JI. Черноусько, В. Б. Колмановский; М.: Наука, 1978. — 351 с.

85. Чернышов К. И. Метод стандартного расщепления сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений/ К. И. Чернышов// Доклады АН СССР. — 1990. — Т. 311, No. 6. С. 1311 - 1316.

86. Abed Е. Н. Multiparameter singular perturbation problems: Iterative expansion and asymptotic stability/ E. H. Abed// System and Control Lett. — 1985. — No. 5. — P. 279 282.

87. Abed E. H. Decomposition and stability of multiparameter singular perturbation problems/ E. H. Abed// IEEE Automat. Contr. 1986. - V. 31, No. 10. - P. 925 -933.

88. Abed E. H. Controllability of multiparameter singularly perturbed systems/ E. H. Abed, R. I. SilvarMadriz// ISR Technical Reports for 1988, TR 88-73. 1988.- Vol. VIII, No. 10. P. 137 - 140.

89. Anderson L. Decomposition of two-time-scale linear systems/ L. Anderson// Proc. JACC, 1978. P. 153 - 163.

90. Avramovic B. Area decomposition of electromechanical models of power systems/ B. Avramovic, P. V. Kokotovic, J. R. Winkelman, J. H. Chow// Automatica. — 1980.- No. 16. P. 637 - 648.

91. Campbell S. L. Singular perturbation of avtonomous linear systems/ S. L. Campbell, N. J. Rose// SIAM J. Math. anal. -1979. No. 10. - P. 542 - 551.

92. Chang K. W. Singular perturbations of initial value problems over finite interval/ K. W. Chang, W. A. Coppel// Arch. rat. mech. anal. 1969. - No. 32. - P. 268 -280.

93. Chen С. C. A simple criterion for global stabilizability of a class of nonlinear singularly perturbed systems/ С. C. Chen, J. G. Hsien// Int. J. control. —1994. — No. 59. — P. 583 591.

94. Chen С. C. Criterion for global exponential stabilisability of a class of nonlinear control systems via integral manifold approach/ С. C. Chen// IEE Proc.-Control Theory Appl. Vol. 147, No. 3, May 2000. 2000. - P. 330 - 336.

95. Chow J. H. Asymptotic stability of a class of nonlinear singularly perturbed systems/ J. H. Chow// J. Franklin inst. 1978. - No. 306. - P. 275 - 278.

96. Chow J. H. Eigenvalue placement in two-time-scale systems/ J. H. Chow, P. V. Kokotovic// Proc. IFAC Symp. on large scale systems/ Udine, Italy, 1976. — P. 321 -326.

97. Chow J. H. Preservation of controllability in linear time invariant perturbed systems/ J. H. Chow// Int. J. control. 1977. - No. 25. - P. 697 - 704.

98. Dragan V. Uniform controllability for systems with two-time-scales/ V. Dragan, A. Ha-lanay// Rev. roum. math, purres et appl. 1992. - V. 37, No. 8. - P. 673 - 681.

99. O'Reilly J. Full order observers for a class of singularly perturbed linear time varying systems/ J. O'Reilly// Int. J. control. 1979. - No. 30. - P. 745 - 756.

100. Suzuki M. Stabilizing feedback controllers for singularly perturbed linear constant systems/ M. Suzuki, M. Miura// IEEE Trans, autom. control. — 1976. — No. 21. — P. 123 124.