Деформирование полупространства с неоднородным упругим покрытием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кренев, Леонид Иванович

• Кренев, Леонид Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кренев, Леонид Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ПО ГЛУБИНЕ ОСНОВАНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ.

§1.1 Постановка граничной задачи для непрерывно-неоднородного по глубине полупространства при заданных на его поверхности усилиях.

§1.2 Построение фундаментального решения для неоднородного по глубине полупространства.

§1.3. Численный анализ фундаментального решения для некоторых характерных видов неоднородности.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПО ГЛУБИНЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА.

§2.1 Постановка задачи о внедрении выпуклого штампа в неоднородное по глубине полупространство.

§2.2 Приближенное решение задачи о внедрении выпуклого штампа в непрерывно-неоднородное по глубине полупространство.

§2.2.1. Свойства парных интегральных уравнений задачи

§2.2.2.Приближенное аналитическое решение парного интегрального уравнения задачи.

§2.3. Численный анализ решения задачи о внедрении параболического штампа в неоднородное основание.

§2.3.1.Оценка точности приближенного аналитического решения.

§2.3.2.Численный анализ напряженно-деформированного состояния неоднородного слоя при индентировании.

ГЛАВА 3. ОЦЕНКА УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕОДНОРОДНЫХ

ПОКРЫТИЙ МЕТОДОМ ИНДЕНТИРОВАНИЯ.

§3.1 Определение понятия жесткости неоднородного покрытия.

Зависимость жесткости от параметров слоя и индентора.

§3.2 Учет условий реального эксперимента по индентированию.

§3.2.1 Учет деформируемости штампа

§3.2.2 Определение условий проведения неразрушающих испытаний неоднородных покрытий

§3.3 Определение механических характеристик неоднородного покрытия по результатам индентирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Деформирование полупространства с неоднородным упругим покрытием»

В диссертации рассматривается осесимметричное упругое деформирование неоднородного основания, состоящего из покрытия, (представляющего из себя упругий, непрерывно-неоднородный по толщине слой), сцепленного с подложкой в виде упругого однородного изотропного полупространства. Упругие свойства покрытия изменяются как произвольные непрерывные функции по глубине. Далее будем называть неоднородное основание также неоднородным полупространством, полагая что упругие характеристики его непрерывно изменяются по глубине в приповерхностном слое, а затем стабилизируются. С поверхности основание загружено произвольной осесимметричной, распределенной внутри круга, нормальной нагрузкой, которая может быть задана или определяется как решение некоторой контактной задачи.

Изменение механических свойств по глубине в приповерхностном слое присуще многим материалам и конструкциям (основаниям, фундаментам, дорожным покрытиям и т.п.). Это вызвано как технологией их создания, так и условиями эксплуатации. В том случае, когда зона контакта сопоставима с толщиной неоднородного слоя, а различие упругих свойств подложки и покрытия достаточно велики, пренебрежение эффектом неоднородности может приводить к серьезным ошибкам в моделировании процесса деформирования основания и в определении упругих свойств неоднородного слоя.

В настоящее время большое развитие получили технологии создания тонких покрытий и пленок, состав которых, а значит, механические и физические характеристики, непрерывно изменяются по глубине, что позволяет увеличить срок эксплуатации изделий и придать им новые свойства. Подобные технологии применяются в машиностроении, энергетике, электронике, компьютерной и военно-космической технике, биотехнологии, обеспечивают прорыв в ведущих областях человеческой деятельности, и являются в Германии, США, Японии и других развитых странах, приоритетным направлением 2001-2010 г.г. с прогрессирующим увеличением государственного финансирования.

Несмотря на сверхмалые толщины тонких покрытий, законы их механического поведения хорошо описываются в рамках теории упругости. Основным методом контроля механических характеристик системы подложка-покрытие является индентирование (внедрение в поверхность испытываемого материала штампа и чрезвычайно точная фиксация связи между приложенной к нему силой и вызванным этой силой смещением). Приборы для проведения этих исследований для тонких покрытий довольно редки (в России только 1 ) и дороги (=100 000$). С этим связана высокая стоимость и длительность испытаний новых материалов и изделий непосредственно на стендах. Необходимость систематизации результатов испытаний поддерживает и сегодня интерес к решению задач контактного взаимодействия в случае, когда упругие свойства материала являются переменными. На сайтах компаний-производителей инденторов [www.hysitron.com, www.mts.com] представлены постоянно обновляющиеся работы исследователей, посвященные последним достижениям в области определения свойств различных неоднородных по глубине материалов. В ведущих научных журналах публикуются сотни статей по технологии получения тонких покрытий с заданными свойствами и исследованию их механических характеристик (упругость, твердость, адгезия)[65-67,69-78,81-102].

Исследование напряженно-деформированного состояния тонкого неоднородного покрытия сцепленного с однородной подложкой и определение по результатам индентирования механических характеристик системы покрытие-подложка является одной из целей данной работы.

Изучение процесса взаимодействия твердых деформируемых тел является предметом механики контактного взаимодействия, основы которой были заложены более 100 лет назад Генрихом Герцем [37, 80]. На примере контакта 2 стеклянных линз он показал, что эллипсоидальное распределение контактных давлений вызывает во взаимодействующих телах упругие перемещения, согласующиеся с областью контакта. Свои выводы Герц сделал, полагая, что характерные размеры зоны контакта малы по сравнению с размерами тел и с радиусами кривизны их поверхностей. При этом он считал тела линейно упругими, изотропными, однородными, гладкими и, соответственно, пренебрегал влиянием трения скольжения в зоне контакта.

Дальнейшее развитие теории контактного взаимодействия шло в направлении отказа от налагаемых классической теорией Герца ограничений. В настоящей работе рассматривается случай контакта , при котором упругие свойства основания непрерывно изменяются в пределах приповерхностного слоя конечной глубины и размер зоны контакта соизмерим с толщиной неоднородного слоя.

Систематическое исследование проблемы определения напряженно-деформированного состояния неоднородных по глубине (многослойных) оснований началось в 60 - 70 годах прошлого века, что нашло свое отражение в библиографическом указателе Г.Б.Колчина, Э.А.Фавермана [39]. При этом большое внимание исследователей привлекала проблема контакта неоднородных упругих тел (в частности, задачи о вдавливании штампа в полосу или слой, тела со сложной геометрией). Общепризнанны успехи советской и российской школы механики в этом направлении.

Следует отметить, что несмотря на обилие публикаций по теории упругих неоднородных сред, число публикаций, посвященных контактным задачам и даже основным краевым задачам в общей постановке не так уж велико, в большинстве случаев рассматривались некоторые частные законы неоднородности. Большинство работ затрагивают различные аспекты смешанных задач теории упругости для многослойных оснований и составных сред.

Разумеется исследовать процесс деформирования неоднородного по глубине основания при воздействии произвольной осесимметричной вертикальной нагрузки можно и с помощью МКЭ. Но здесь остаются открытыми вопросы точности и скорость решения на ЭВМ на несколько порядков меньше, чем при применении методов рассмотренных в данной работе.

Исследованию смешанных задач также посвящено большое количество работ, предложен широкий ряд методов их решения.

Решение контактных задач для сред с произвольным законом неоднородности по глубине двухсторонним асимптотическим методом было построено в работах Айзиковича С.М. [5-10] и Айзиковича С.М. и Александрова В.М. [9-13,21]. Суть метода состоит в том, что трансформанта ядра интегрального уравнения, к которому сводится задача, и ее аппроксимация находятся численно. После того, как структура трансформанты ядра интегрального уравнения определена, она аппроксимируется выражением специального вида. Решение интегрального уравнения с аппроксимированным ядром строится аналитически. Это дает возможность получить решение в виде, удобном для аналитического исследования различных эффектов, связанных с неоднородностью. Кроме того, эта аппроксимация позволяет найти решение задачи для достаточно широкого класса законов неоднородности.

Динамические задачи для слоя с неоднородными по глубине свойствами рассматривались в работах И.В.Ананьева, В.А.Бабешко [26], И.В.Ананьева, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой [27]. В основе метода лежит численное построение интегрального уравнения динамической контактной задачи, для которой устанавливаются теоремы единственности и разрешимости. Методом факторизации это интегральное уравнение сводится к уравнению Фредгольма 2-го рода.

На основании сделанного обзора следует сделать следующие выводы.

К настоящему времени важные в теоретическом и практическом отношениях контактные задачи в общей постановке для непрерывно-неоднородных сред изучены недостаточно. Это связано с тем, что эти задачи для непрерывно-неоднородного слоя являются одними из наиболее сложных в математическом отношении краевыми задачами математической физики.

Указанные задачи даже в простейшей постановке являются ключевыми, так как методы их решения можно применить к исследованию более сложных контактных задач, а полученные результаты количественного и качественного характера способствуют выработке более полных представлений об особенностях деформирования упругих непрерывно-неоднородных сред.

С учетом вышесказанного целью настоящей диссертации является:

1. Корректная постановка и исследование процесса упругого деформирования неоднородного слоя лежащего на упругом основании (однородном полупространстве) при произвольном непрерывном законе изменения по глубине упругих свойств покрытия.

2. Изучение влияния различных видов неоднородности на характер распределения контактных давлений, определение связи между действующей силой и осадкой выпуклого штампа. Построение приближенного замкнутого аналитического решения и изучение его точности.

3. Исследование напряженно-деформированного состояния покрытия в зависимости от свойств подложки и анализ вида опасных зон.

4. Разработка математически обоснованной методики проведения эксперимента по определению механических свойств тонких упругих неоднородных по глубине покрытий на основе стандартных штамповых испытаний.

5. Исследование проблемы определения характера изменения упругих характеристик неоднородного слоя по глубине, при воздействии с поверхности. Определение функции жесткости или эффективного модуля Юнга неоднородного полупространства, зависящего от характерного размера зоны контакта и связанного с изменением свойств основания по глубине.

6. Разработка программного комплекса для исследования процесса индентирования штампами неоднородных покрытий, накопления результатов расчетов и графического их представления.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 102 наименований. Работа содержит 129 страниц, 58 рисунков, 3 приложения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кренев, Леонид Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе поставлены граничные задачи теории упругости, возникающие при исследование процесса деформирования неоднородного слоя лежащего на упругом основании (однородном полупространстве) при воздействии с поверхности. Получено обобщение численно-аналитического метода построения их решения, позволяющее находить поля смещений, деформаций и напряжений в приповерхностном слое.

Изучено влияние различных видов неоднородности на характер распределения контактных давлений, определена связь между действующей силой и осадкой выпуклого штампа. Получена оценка точности приближенного замкнутого аналитического решения.

Исследовано напряженно-деформированного состояние покрытия в зависимости от свойств подложки и проанализирована форма опасных зон.

Обоснована методика проведения эксперимента по определению механических свойств тонких упругих неоднородных по глубине покрытий на основе стандартных штамповых испытаний.

Исследована проблема определения характера изменения упругих характеристик неоднородного слоя по глубине при воздействии с поверхности. Дано определение жесткости или эффективного модуля Юнга неоднородного полупространства, зависящего от характерного размера зоны контакта и связанного с изменением свойств основания по глубине.

Разработан программный комплекс для исследования процесса индентирования штампами различной формы неоднородных покрытий, накопления результатов расчетов и графического их представления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кренев, Леонид Иванович, 2003 год

1. Развитие теории контактных задач в СССР. М. Наука. 1976. 493 с.

2. Механика контактных взаимодействий (под ред. Воровича И.И., Александрова В.М.) М. ФИЗМАТЛИТ. 2001. 672 с.

3. Нанотехнология в ближайшем десятилетии. Прогноз направления исследований.Под ред, Роко М., Вильяме Р.С., Аливисатос П. М. Мир. 2002

4. Абрамович М. Стиган И. Справочник по специальным функциям. М. Наука. 1979. 832 с.

5. Айзикович С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред // ПММ. 1982. Т. 46. № 1. С. 148-158.

6. Айзикович С.М. Контактные задачи теории упругости для полупространства и полуплоскости, неоднородных по глубине. //Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 1983. С. 121-131.

7. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при малых значениях параметра. // Докл.АН СССР. 1990. Т. 313, № 1.С. 48-52.

8. Айзикович С.М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений при больших значениях параметра. // Докл.АН СССР. 1991, Т. 319. №5. С. 1037-1041.

9. Айзикович С.М. Двухсторонний асимптотический метод решения контактных задач "Механика контактных взаимодействий" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 20-29.

10. Ю.Айзикович С.М. Статические контактные задачи для неоднородного по глубине основания "Механика контактных взаимодействий" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 199-213.

11. Айзикович С.М., Александров В.М. О свойствах функций податливости, соответствующих слоистому и непрерывно-неоднородному полупространству // ДАН СССР. 1982. Т. 266. № 1. С. 40-43.

12. Айзикович С.М., Александров В.М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство. // Изв. АН СССР. МТТ. 1984, N2, С.73-82.

13. Айзикович С.М., Александров В.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для полупространства и полуплоскости, неоднородных по глубине. // Изв.АН Арм.ССР. Механика. 1986. Т. 39. № 3. С. 13-28.

14. Айзикович С.М., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Асимптотическое решение задачи о внедрении сферы в неоднородное по глубине полупространство. //Изв. АН СССР. МТТ. 2000. № 5. С. 107-117.

15. Александров В.М. О решении одного класса парных уравнений. //Докл.АН СССР. 1973. Т. 210. № 1. С. 55-58.

16. Александров В.М., Белоконь А.В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических упругих тел //ПММ. 1967. Т. 31. вып. 4.

17. Александров В.М., Белоконь А.В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений, встречающихся при изучении смешанных задач математической физики для областей с цилиндрическими границами //ПММ. 1968. Т. 32. вып. 3. С. 401-413.

18. Александров В.М., Ворович И.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины //ПММ. 1960. Т. 24. вып. 2. С. 323-333.

19. Александров В.М., Калкер Д.Д., Пожарский Д.А. К расчету напряжений в осесимметричной контактной задаче для двухслойного основания. //Изв. АН СССР. МТТ. 2000. № 5. С. 118-130.

20. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М. Наука. 1986. 336 с.

21. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М. Машиностроение, 1986. 176 с.

22. Александров В.М., Сметанин Б.И. Об одном эффективном методе решения неклассических смешанных задач теории упругости //ПММ. 1971. Т. 35. вып. 1.С. 80-87.

23. Ананьев И.В., Бабешко В.А. Колебания штампа на слое с переменными по глубине характеристиками // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 1. С. 6469.

24. Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волн вибрирующим штампом в среде с неоднородными начальными напряжениями //ПММ. 1983. Т. 47. вып. 3. С. 483-489.

25. Аргатов И.И. Асимптотическое решение контактной задачи с полунеизвестной границей области контакта. //ПММ. 2000. Т. 64, вып. З.С. 462-467.

26. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матриц Грина для стратифицированного упругого полупространства //Журнал вычислительной математики и матем. физики. 1987. Т. 27. № 1.С. 93-101.

27. Бородачев А.Н., Дудинский В.И. Контактная задача для упругого полупространства с переменным коэффициентом Пуассона. // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 86-91.

28. Булычев С.И., Алехин В.П. Испытание материалов непрерывным вдавливанием индентора. М. Машиностроение, 1990. 224 с.

29. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М. Наука, 1974. 456с.

30. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М. Наука, 1979. 320с.

31. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины //ПММ. 1959. Т. 23. вып.З.

32. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости .М. Наука. 1980. 304 с.

33. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Физматгиз, 1962. 1100 с.

34. Джонсон K.JI. Механика контактного взаимодействия. М. Мир. 1989. 509 с.

35. Коган Б.И. Напряжения и деформации в покрытиях с непрерывно меняющимся модулем упругости //Труды Харьковского автомоб.-дор. инст-та. 1957. вып. 19. С. 53-66.

36. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородного тела. Кишинев. Штиинца. 1987. 166 с.

37. Кузнецов Е.А. Деформирование неоднородного полупространства при давлении круглого цилиндрического штампа. // Проблемы прочности. № И. 1983. С. 30-37.

38. Кузнецов Е.А. О взаимосвязи некоторых контактных характеристик с переменными упругими свойствами сопряженных тел. //Трение и износ, 1983. Т.4. № 2. С. 238-248.

39. Кузнецов Е.А. К решению контактных задач для неоднородного полупространства при давлении на него круглого цилиндрического штампа. // Прикл. мех. 1984. Т. 20, № 8. С. 24-33.

40. Кузнецов Е.А. Распределение напряжений на поверхности неоднородного полупространства при давлении на него кругового штампа. // Трение и износ. 1984. Т. 5. № 6. С. 1085-1094.

41. Кузнецов Е.А. Давление круглого цилиндра на полупространство с переменным по глубине коэффициентом Пуассона. // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 1.С. 73-86.

42. Кузнецов Е.А., Гороховский Г.А. Напряженное состояние неоднородного полупространства с переменным по глубине коэффициентом Пуассона при действии на него сосредоточенной силы. //Трение и износ. 1984. Т. 5. № 5. С. 806-816.

43. Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Решение граничных задач теории упругости для многослойных оснований // В сб.: Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетровск. 1978. вып. 1. 64 е., вып. 2. 68 с.

44. Лурье А.И. Теория упругости. М. Наука. 1970. 824 с.

45. Марковец М. П. Определение механических свойств металлов по твердости. М. Машиностроение. 1979. 191 с.

46. Никишин B.C. Статические контактные задачи для многослойных оснований. "Механика контактных взаимодействий" М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. С. 199-213.

47. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи теории упругости для многослойных сред. М. Наука. 1973.

48. Попов Г.Я. Контактная задача теории упругости при наличии круговой области контакта. // ПММ. 1962. Т. 26, вып. 1. С. 207-216.

49. Приварников А.К., Ламзюк В.Д. Упругие многослойные основания. // 4.1. Днепропетровский ун-т. Днепропетровск. 1985. 162 с. (рук.деп. в ВИНИТИ 23.12.85, №8789-В).

50. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М. Наука. 1983. 752 с.

51. Рвачев В.Л., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев. Наукова думка. 1985. 176 с.

52. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л. Наука. 1977. 220 с.

53. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Serova N.A.Determination of elasic properties of functional-graded nanostructured coatings.//4-th International Conference on Nanostructured Materials. Stockholm, Sveden. June 14-19 1998. Book of Abstracts. P. 419

54. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Serova N.A. Non-Destructive Determination of Mechanical Properties of Non-Homogeneous Coatings. //7-th European Conference on Non-Destructive Testing and Exhibition. Copenhagen, Denmark. May 26-29 1998. P. 1063-1069

55. Aizikovich S.M., Krenev L.I.,Trubchik I.S. Approximate analytical solutions of the contact problems forcontinuously non-homogeneous elastic coatings // (publish in Proceedings) 434 EUROMECH Colloquium, Moscow, May, 2124,2002. P.9.

56. Aizikovich S.M., Krenev L.I.,'Trubchik I.S. Mathematically based determination of mechanical properties of coating-substrate structures by nanoindentation method // (publish in Proceedings) 434 EUROMECH Colloquium, Moscow, May, 21-24, 2002. P.10.

57. Anderson I.A.,Collins I.F. Plane strain stress distributions in discrete and blended coated solids under normal and sliding contact. // Wear. 1995. Vol. 185. P. 23-33.

58. Awojobi A.O. On the hyperbolic variation of elastic modulus in a non-homogeneous stratum // Intern. J. Solids Struct. 1976. Vol. 2. No. 11. P. 639-748.

59. Brown P.T., Gibson R.E. Surface settlement of a finite elastic layer whose modulus increases linearly with depth // Intern. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1979. Vol. 3. No. l.P. 33-47.

60. Burmister D.M. The General Theory of Stresses and Displacements in Layered System //J.Appl.Phys. 1945. Vol. 16. P. 89-94; 126-127; 296-302.

61. Chen W.T. Computation of Stresses and Displacements in a Layered Elastic Medium. // Int. J. Engng. Sci. 1971. Vol. 9. P. 775-800.

62. David J. Unger and Elias C. Aifantis. The asymptotic solution of gradient elasticity for mode III. // International Journal of Fracture. 1995. Vol. 71. P. 27-32.

63. Dhaliwall R.S., Singh B.M. On the theory of elasticity of a non-homogeneous medium //Journ. Elasticity. 1978. Vol. 8. No. 2. P. 211-219.

64. Dub S.N. Curves of elasto-plastic deformation of thin coatings obtained in depth-sensing indentation experiments. // MRS Symposium proceedings. 1998. Vol. 505. P. 223-228.

65. E1-Sherbiney M.G.D., Hailing J. The Hertzian Contact of Surfaces Covered with Metallic Films // Wear. 1976. Vol.40, No 3. P. 325-337.

66. Fougere G.E., Riester L., Ferber M., Weertman J.R., Siegel R.W. Young's modulus of nanocrystalline Fe measured by nanoindentation. //Materials Science and Endgineering. 1995. Vol. A204. P. 1-6.

67. Giannakopoulos A.E., Suresh S. Indentation of solids with gradients in elastic properties: Part I. Point force.Part II. Axisymmetric indentors. // Int. J. Solids Structures. 1997. Vol.34. No 19. P. 2357-2428.

68. Gibson R.E., Brown P.T., and Andrews K.R.F. Some results concerning displacements in a non-homogeneous elastic layer Z.Angew. // Math, und Phys. 1971. Vol. 22. No. 5. P. 855-868

69. Gladwell G.M.L. On Some Contact Problems in Plane Elasticity Theory. //Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. June 1976. Vol. E43. No 2. P. 263-267

70. Gupta P.K., Walowit J.A., Finkin E.F. Stress Distributions in Plane Strain Layered Elastic Solids Subjected to Arbitrary Boundary Loading, // ASME Journal of Lubrication Technology. 1973. Vol. 95. P. 427-433.

71. Hainsworth S.V., Chandler H.W. Analysis of nanoindentation load-displacement loading curves. //J. Mater. Res. Aug. 1996. Vol. 11. No. 8. P. 1987-1995.

72. Johnson G.R., Epstein H.I., Cristiano P. Stiffness coefficients for layered media // Proc. Amer Soc. Civil. Engrs. Journ. Struct. Div. 1974. Vol. 100 No. 7. P. 1537-1542.

73. Komvopoulos K. Elastic-Plastic Finite Element Analysis of Indented Layered Media. //ASME Journal of Tribology. 1989. Vol. 111. P. 430-439.

74. Lim Y.Y. and Chaudhri M.M., Enomoto Y. Accurate determination of the mechanical properties of thin aluminum fims deposited on sapphire flats using nanoindentations. // J.Mater. Res. Jun 1999. Vol. 14, No. 6. P. 2314-2327.

75. Lu C.J., Bogy D., Kaleko R. Nanoindentation Hardness Tests Using a Point Contact Microscope. // Journal of Tribology. January 1994. Vol. 116, P. 175-180.

76. MarshalI D.B., Evans A.G. Measurement of adherence of residually stressed thin films by indentation.i. Mechanics of interface delamination. //J.Appl.Phys.15 November 1984. Vol 56 No 10. P. 2632-2638.

77. Mohrbacher H., Blanpain В., Celis J.P., Roos J.R., Stals L., Van Stappen M. Oxidational wear of TiN coatings on tool steel and nitrided tool steel in unlubricated fretting. //Wear. 1995. Vol. 188. P. 130-137.

78. Pharr G.M., Bolshakov A., Tsui T.Y. and Hay Jack C. Nanoindentation of soft films and hard substrates: experiments and finite element simulations. //MRS Synp. Proceedings. Fall 1997.

79. Pharr G.M., Oliver W.C. Measurement of Thin Film Mechanical Properties Using Nanoindentation. // MRS BULLETIN. July 1992. P. 28-33

80. Rother В., Dietrich D.A. A new valuation of the classical hardness definition and consequences for mechanical characterizations of thin films. //Surface and Coatings Technology.1995. Vol. 74-75. P. 614-617.

81. Stibson R.E., Brown P.T., Anderews K.R.F. Some results concerning displacements in non-homogeneous elastic layer // Z.angew.Math.und Phys. 1971. Vol. 22. No. 5. P. 855-866

82. Stiehler R.D., Decker G.E and Bullman G.W. Determination of hardness and modulus of rubber with spherical indentors. // Rubber Chemistry and technology. 1975. Vol. 52. P. 255-262.

83. Suresh S., Giannakopoulos A.E., Alcala J. Spherical indentation of compositionally graded materials: theory and Experiments. // Acta mater. 1997.Vol. 45. No 4. P. 1307--1321.

84. Tsui T.Y., Oliver W.C., Pharr G.M. Influences of stress on the measurement of mechanical properties using nanoidentation: Part I. Experimental studies in an aluminum alloy. // J. Mater. Res. Mar 1996. Vol. 11. No. 3. P. 752759.

85. Vetters H., Hirsch Т., Stock H.R. und Mayr P. Dunne Hartstoffschichten prufen. // Materialprufung. 1993. Vol. 35 No 4. P. 90-97.

86. Vingsbo Olof, Hogmark Sture, Jonsson Bo, and Ingermarsson Anders. Indexation Hardness of Surface-Coated Materials. // Microindentation Techniques in materials science. 1986. P. 257-271.

87. Zeng K., Breder K. and Rowcliffe D.J. The hertzian stress field and formation of cone cracks-I. // Theoretical approach. Acta mater. 1992. Vol. 40, No. 10. P. 2595-2600.

88. Zeng K., Breder K. and Rowcliffe D.J. The hertzian stress field and formation of cone cracks-II. // Determination of fracture toughness. 1992. Vol. 40, No. 10. P. 2595-2600.

89. Zeng K., Breder K. and Rowcliffe D.J, Herrstrom C. Elastic modulus determined by Hertzian indentation. // Journal of materials science. 1992. Vol. 27. P. 3789-3792.