Деформирование и устойчивость пластин и оболочек наноразмерной толщины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Каштанова, Станислава Викторовна

• Каштанова, Станислава Викторовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Каштанова, Станислава Викторовна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ОЦЕНКЕ МОДУЛЯ ЮНГА АСБЕСТОВЫХ НАНОТРУБОК

1.1 Введение

1.2 Описание эксперимента

1.3 Теоретический анализ. Модель балки

1.4 Применение неклассический теорий оболочек

1.5 Численные расчеты

1.6 Заключение

ГЛАВА 2. ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭФФЕКТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи

2.3 Решение

2.4 Численные расчеты

2.5 Заключение

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВОЙ ВСТАВКОЙ ИЗ ДРУГОГО МАТЕРИАЛА

3.1 Вывод напряжений в задаче о пластине со вставкой

3. 2 Численные результаты

3.3 Постановка задачи об устойчивости пластины со вставкой

3. 4 Численные результаты

3.5 Заключение

Литература

Приложение 1

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Деформирование и устойчивость пластин и оболочек наноразмерной толщины»

ВВЕДЕНИЕ.

В настоящее время учеными активно обсуждаются вопросы наномеханики и нанотехнологий. Нанотехнологии (НТ) нельзя упрощенно связывать лишь с масштабами объектов, как это иногда делают, определяя характерные или минимальные размеры структурных элементов системы. Основные характеристики и функциональные свойства достаточно малых систем начинают зависеть от размера частиц - эффект, который нельзя наблюдать в объемных материалах или у более крупных частиц. При переходе к нанообъектам и нановеществам наблюдается связи между их размерами и физико-химическими свойствами. Например, «миниатюрные полупроводниковые компоненты меньше некоторой критической величины ведут себя совсем не так, как их более крупные аналоги, так как электрические токи в таких объектах могут протекать только в некоторых изолированных областях, а значения тока могут возрастать при росте напряжения ступенчато, а не непрерывно» [59]. В связи с влиянием характерного измерения размеров на функциональность компонентов и их свойства У. Хартманн в своей книге «Очарование нанотехнологиий» [59] приводит следующее определение:

«Специфические функциональные параметры в НТ достигаются путем связи между соответствующими свойствами уменьшением характерных структурных размеров в тех случаях, когда размеры объектов (по крайней мере, в двух измерениях) не превышают значения 100 нм.»

Тот факт, что достаточно мелкие частицы различных веществ обладают свойствами, зачастую совершенно непохожими на свойства этих веществ в объемной фазе, был известен (во всяком случае, эмпирически) ученым и технологам очень давно. Популярный пример - знаменитые римские рубиновые кубки Ликурга в Британском музее, которые меняют свой цвет в зависимости от освещения. В стекло римляне добавляли сверхмалые частицы золота и серебра. Здесь нельзя говорить о НТ в строгом смысле

3

этого понятия. Специалисты расходятся во мнении по поводу осмысленности этого процесса: знали ли стеклодувы о связи размера частиц и эффектом рассеивания света?

Еще в 1959 г. Ричард Фейнман, лауреат Нобелевской премии, в своей речи перед американским физическим обществом рассказал о последствиях безграничной миниатюризации с позиций теоретической физики, проанализировав возможности изменения масштабов электрических схем, электромеханических приборов и возможности записи, сжатия и хранения информации, однако тогда эти идеи казались невероятными. Понятие «нанотехнологии» было введено японцем Норио Танигучи в 1974 г., а сегодня мы видим, что многие идеи знаменитого американского ученого воплощены в математических расчетах и практических применениях.

Есть два типа построения нанотсруктуры (рис. 1):

Рис.1. Характерные размеры объектов, создаваемых с помощью методик, обозначаемых «сверху-вниз» (top-down) и «снизу-вверх» (bottom-up). Область перекрывания методик соответствует типичным размерам синтеза и функционирования биологических наноструктур [59].

1940 1960 I960 2000 2020

Год

- методика типа сверху-вниз, т.е. постепенное уменьшение размеров от макро- через микро- до нанообласти;

- методик типа снизу-вверх, т.е. атомарный или молекулярный синтез и наращивание все более крупных и усложняющихся структур.

На сегодняшний день в области генных технологий и супермолекулярной химии ученым удается синтезировать наноструктуры, но не удается создавать их с одинаковой, точно заданной функциональностью. С другой стороны, как отмечается в [59], «подобное «производство» не только не противоречит законам природы, но и реально осуществляется в биологических системах, где постоянно синтезируются в больших количествах сложнейшие «наномашины», функциональность которых обусловлена параметрами и размерами, приведенными в определении. В качестве типичного примера действия биологических механизмов можно рассмотреть размножение вирусов, протекающее в природе подобно отлично отлаженному массовому производству, действующее совершенно безошибочно и, естественно, без вмешательства человека».

Но чтобы контролировать структурные параметры в масштабах до нескольких нанометров используют методику типа сверху-вниз, основой которой является непрерывное уменьшение до микрометров размеров образца разными методами: механической или химической полировкой поверхности, постепенным изменением условий тепловой и механической обработки и т.д. Т.е., «в сфере существующих технологий доминируют методы сверху-вниз, а в отдельных сферах используются методики снизу-вверх» [59]. Несмотря на предположение, что фундаментальные свойства не изменяются при уменьшении размеров при использовании методики типа сверху-вниз, оказалось, что изменение масштабов объектов приводит к существенным изменениям.

Различают три главных аспекта миниатюризации, влияющие на свойства наноструктур настолько сильно, что исходные критерии их проектирования могут терять всякий смысл [59]:

• «В нанотехнологиях особую ценность приобретают свойства материала на поверхности структуры, поскольку в некоторых случаях весь объект может быть представлен в виде особой «поверхности». При этом поверхностные области материала по своим свойствам начинают существенно отличаться от физико-механических характеристик внутри материала.

• Определенные параметры какого-то материала или компонента настолько уменьшены, что их возможности уже не реализуются в рамках предложенного принципа функционирования.

• Квантовые закономерности на новых масштабах могут проявляться а такой степени, что «исчезают» сами явления, необходимые для использования в предлагаемых устройствах или материалах.»

Вышеперечисленные пределы уменьшения размеров почти всегда играют большую роль при использовании модели типа «сверху-вниз» и требуют смены концепций в отношении принципов функционирования объектов и структур. И, так как при миниатюризации свойства могут качественно меняться, то это может стать источником новых возможностей. Для моделей типа снизу-вверх не всегда существенно, каким образом была получена та или иная наноструктура.

Считается, что для систем с размерами более 10 нм, справедливы классические законы физики [17,18,42,43,4]. Дальнейшее уменьшение масштабов структур и явлений требует учета квантово-механических эффектов и связанных с ними особенностей. В статье [42] показано, что при числе атомарных слоев более 8 изгибная жесткость материала перестает зависеть от межатомарных связей и стремится к значению классической теории упругости.

Ввиду высокого отношения площади к объему образца возникает ряд новых свойств, которым обладают наноструктурные объемные материалы.

Среди переходных форм между нанокристаллами и неупорядоченными наноструктурными материалами следует упомянуть наноструктурные многослойный материалы, в которых переход от крайне неупорядоченной поликристалической структуры к некоторой наноструктуре происходит на уровне всего одного слоя. Но количественно определить изменения в толщине слоя очень трудно. Также следует учитывать, что общие свойства набора частиц зависят от их взаимодействия друг с другом, а это дает дополнительные возможности для регулирования или изменения их свойств [25,9,17,42].

Вообще говоря, свойства наноматериалов можно формально подразделить на механические, химические, биологические, электронные, магнитные, оптические и термические [59].

Аналитические методы.

Первым этапом точного количественного описания трехмерной геометрии нанообъекта с достаточной точностью является комплексное измерение параметров его структуры. Второй этап - определение требуемых функциональных свойств данной структуры (ее механических и оптических свойств, электропроводимости, химического состава и т.д.). Описание геометрических или функциональных свойств исследуемой структуры осуществляется соответствующими приборами или зондами: зондом «провоцируют» воздействия и вызывают «реакцию» образца, что позволяет исследовать его физико-химические свойства (рис. 2).

Механическая нагрузка

Электрические ► поля

Магнитные поля ж

** Г?

Акустические волны

Фотоны

Нейтральные частицы

Теплота

Заряженные частицы

Рис.2. Основа любого анализа - реакция образца на внешние воздействия в виде освещения, магнитных полей, механических нагрузок и т.п. Реакция выражается в изменении свойств, излучении фотонов (электромагнитных волн), изменении температуры и т.п. Выбранная комбинация регистрируемых реакций образца на внешние воздействия определяет выбор соответствующего

Безусловно, вмешательство зондом или прибором вносит изменение свойств образца вследствие физического взаимодействия исследуемого образца с прибором, а «в предельных случаях это взаимодействие может иметь даже разрушительный характер, например, при анализе биологического объекта не с помощью низкоэнергетических фотонов видимого света, а высокоэнергетических фотонов жесткого рентгеновского излучения, уничтожающих любые биологические структуры» [59].

В случаях, когда при проведении эксперимента с помощью зондовой микроскопии взаимодействие между зондом и образцом не является деструктивным, может получиться достаточно точное изображение объекта. При манипуляциях зондом с образцом следует различать, являются ли взаимодействия обратимыми или необратимыми.

В 1981 году в лаборатории IBM в Цюрихе был создан первый сканирующий туннельный микроскоп (СТМ), обеспечивающий возможности исследования структур, имеющих размеры порядка нанометров и даже меньше, который стал отправной точкой новых методов в микроскопии. Развитие этой области привело к таким приборам как сканирующие атомно-силовые микроскопы (САСМ) и так называемые оптические сканирующие микроскопы ближнего поля (СМБП), в основе которых лежит единый физический подход, а именно «построчное» движение локального зонда над поверхностью образца, позволяющее с нанометровой точностью получать информацию о структуре [59].

Методы изготовления наноструктур.

Стандартных процедур для создания трехмерных молекулярных структур не существует, совершенствуют уже известные структурные методы и их комбинации. Стоит отметить, что методика типа снизу-вверх не имеет практических применений при изготовлении целостных наноструктур [59].

Большое значение приобретает численное моделирование различных нанопроцессов, т.к. современные методы позволяют описывать очень сложное функциональное поведение разных структур и их свойства, и в отличие от экспериментальных работ, математическому аппарату доступна область структуры любой размерности. Применение.

НТ не стоят на месте, каждый день идет развитие инновационных проектов в этой области, некоторые из которых можно отметить:

-- непрерывный и незаметный контроль за важными для здоровья функциями организма;

-- информационные, коммуникативные и развлекательные приборы личного пользования с расширенными мультимедийными функциями (вплоть до создания индивидуальной виртуальной среды);

-- безопасное и точное распознавание различных биометрических признаков;

-- обеспечение повышенной безопасности автотранспорта за счет внедрения полного контроля состояния на дорогах;

-- обеспечение безопасности и электронного оснащения среды обитания;

-- создание простых и надежных связей между человеком и техническими устройствами.

Целью данной работы является анализ применения методов классической континуальной механики к нанообъектам, получение аналитических решений, сравнение с решениями, полученными методом конечных элементов и экспериментальными данными.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе строится теоретическая модель, описывающая эксперименты по определению модуля Юнга асбестовых нанотрубок, как свободно опертых балок по теории Кирхгофа-Бернулли-Лява и по теории Тимошенко-Рейсснера. Далее, ввиду слоистой структуры асбеста, рассматривается применение классических и неклассических теорий многослойных оболочек для определения модуля Юнга, проводится сравнение решений, полученных по различным теориям и решением, полученным методами конечных элементов в пакете в ANSYS.

Во второй главе рассматривается два случая влияния поверхностных эффектов на устойчивость растягиваемой бесконечной пластины с отверстием (на границе отверстия и вдоль всей пластины), качественное сравнение этих случаев и сравнение с экспериментом.

Третья глава посвящена изучению потери устойчивости бесконечной пластины с круговой вставкой из другого материала, влиянию модулей упругости вставки на потерю устойчивости и сравнению качественных

результатов с моделированием в программе ANSYS.

10

Результаты, выносимые на защиту.

1. Построена наиболее подходящая теоретическая модель для нахождения модуля Юнга асбестовых нанотрубок, полученного экспериментальным путем, а именно рассмотрена балка с незакрепленными концами по теории Бернулли-Кирхгофа-Лява и по теории Тимошенко-Рейсснера.

2. Построена более усложненная модель, использующая неклассические теории многослойных оболочек (Палия-Спиро и Родионовой-Титаева-Черныха), проведен сравнительный анализ с данными, полученными при решение в ANSYS.

3. Решены задачи об устойчивости при растяжении бесконечной тонкой пластины с круговым отверстием, с учетом поверхностных эффектов на границе круга и с учетом поверхностных эффектов, усредненных вдоль всей поверхности пластины. Проведен сравнительный анализ численных расчетов в Maple.

4. Решена задача об устойчивости при одноосном растяжении бесконечной пластины с круговой вставкой, проведен анализ влияния модулей упругости вставки на значение растягивающей силы, при которой происходит потери устойчивости плоской формы равновесия. Проведено сравнение результатов, полученных при помощи математического пакета Maple с результатами той же задачи, полученными методом конечных элементов в пакете ANSYS.

Апробация работы.

Постановка задачи, методы решений и результаты обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• II Всероссийская конференция, ММПСН-2009, Многомасштабное

моделирование процессов и структур в нанотехнологиях, 27-29 мая

2009 г., Москва, Московский инженерно-физический институт.

11

• XVIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, 7-10 октября 2009 г.

• Семинар «Компьютерные методы в механике сплошной среды», ПГУПС, Санкт-Петербург, 10 ноября 2009

• Международная конференция по механики «VI Поляховские чтения», Санкт-Петербург, 31 января-03 февраля 2012 г.

• 8th European Solid Mechanics Conference, Graz, Austria, July 9-14 2012

• 19th European Conference on Fracture, Kazan, August 26-31 2012

• 28th Nordic Seminar on Computational Mechanics, Tallinn, Estonia, October 22-23, 2015

• на семинарах кафедры Теории упругости СПбГУ

• Семинар «Компьютерные методы в механике сплошной среды», ПГУПС, Санкт-Петербург, 20 декабря 2016

Список публикаций. По теме диссертации опубликованы 7 статей и 9 тезисов в сборниках тезисов конференций, в том числе пять работ в журналах, рецензируемых ВАК и входящих в базу данных Scopus. Большинство работ выполнены с соавторами, где Морозову Н.Ф. и Бауэр С.М. принадлежит постановка задач, консультации, а также анализ результатов, Ермакову А.М. и Семенову Б.Н. построение моделей методом МКЭ в пакете ANSYS, Анкудинову А.В. и Няпшаеву И.А. постановка эксперимента, описанного в I главе, Грекову М.А. существенный вклад в аналитическую часть и обсуждение результатов II главы. Обработка экспериментов, аналитические выкладки, построение графиков, реализация программ в пакете Maple, сравнение полученных результатов сделано Каштановой С.В.

Список публикаций в журналах, рецензируемых ВАК и входящих в базу данных Scopus:

1. Бауэр С.М., Ермаков A.M., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф.

Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных нанотрубок. // Вестн. С.Петербург. ун-та. Сер.1. вып.1, 2011. с. 22-30.

2. S.M. Bauer, A.M. Ermakov, S.V. Kashtanova, N.F. Morozov. Evaluation of the Mechanical Parameters of Nanotubes by Means of Nonclassical Theories of Shells. Springer, 2011 Advanced Structured Materials, Volume 15, pp.519-530.

3. Бауэр С.М., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. Об устойчивости пластины наноразмерной толщины, ослабленной круговым отверстием. ДАН 458, 2, 158 (2014).

4. Bauer S. M., Kashtanova S. V., Morozov N. F., Semenov B. N. Stability of a Nanoscale-Thickness Plate Weakened by a Circular Hole // Doklady Physics, 2014, V.59,9, pp. 416-418

5. Бауэр С.М., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. Потеря устойчивости пластины с круговой вставкой при одноосном растяжении // Вестн. С.-Петербург. ун-та, принята к публикации 20 декабря 2016 г.

Список публикаций в других изданиях и тезисах конференций:

1. Анкудинов А.В., Каштанова С.В., Кумзеров Ю.А., Морозов Н.Ф.. Исследование механических свойств асбестовых нанотрубок // Сб. тезисов, II Всероссийская конференция, ММПСН-2009, Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях, Москва: МИФИ, 2009, стр. 195

2. Анкудинов А.В., Бауэр С.М., Каштанова ОВ., Морозов Н.Ф., Няпшаев И.А. Исследование механической жесткости уединенных асбестовых нанотрубок // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009, стр. 7-9.

3. Каштанова С.В. Механические свойства асбестовых нанотрубок // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды», 2009-2010, стр.75-79

4. Анкудинов А.В., Бауэр С.М., Ермаков А.М., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф. О механических параметрах асбестовых нанотрубок // XIV Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 19-24 июня 2010 г., тезисы докладов

5. Ankudinov A.V., Nyapshaev I.A., Bauer S.M., Kashtanova S.V., Morozov N.F. Mechanical testing of individual asbestos nanotubes ..//18th ECF

6. Греков М., Еремеев В. Каштанова С., Морозов Н., Язовская А. Прикладные задачи наномеханики. // XV Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 4-7 декабря 2011 г., тезисы докладов

7. Каштанова С.В., Морозов Н.Ф. О потере плоской формы устойчивости нанопластин. // Международная научная конференция «VI Поляховские чтения». Тезисы докладов. Изд-во СПбГУ. 2012. С.230

8. Kashtanova S.V., Morozov N.F. Influence of Surface Stress on Stability of Nanoscale Plate with a Circular Hole // Thesis on 8th European Solid Mechanics Conference in Graz, Austria, 2012

9. Grekov M.A., Morozov N.F., Kashtanova S. V., Yazovskaya A.A. Effect of a Surface Stress on Strength and Stability of a Plate with a Circular Hole // Book Abstr. XIX Europe Conference on Fracture. Kazan, 2012

10. Бауэр С.М., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. Устойчивость пластины с наноразмерным отверстием при учете полной системы поверхностных сил. Сборник трудов 2-ой Всероссийской научной конференции «Механика наноструктурированных материалов и систем», Москва, 17-19 декабря 2013

11 Kashtanova S. V. Stability of Infinite Plate With Circular Elastic Inclusion, 28th Nordic Seminar on Computational Mechanics, 2015 (abstract).

ГЛАВА 1.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ОЦЕНКЕ МОДУЛЯ ЮНГА АСБЕСТОВЫХ НАНОТРУБОК

1.1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время предпринимаются активные попытки применения использования классической механики к нанообъектам, которые могут проявлять исключительные свойства по сравнению с обычными, однородными на наноскопической уровне объектами [40,24].

Это сильно мотивирует эксперименты по определению с помощью сканирующей зондовой микроскопии (СЗМ) механических свойств отдельных нанообъектов, таких как: одномерные углеродные нанотрубки [12], двумерные листы графена [3], наностержни различных материалов [9], металлические наночастицы [5]. В тоже время, для моделирования свойств нанообъектов удобны хорошо разработанные, традиционные методы классической механики. Важно, однако, определить границы применения различных методов. Например, в [42,43] теоретически показано, что при числе атомарных слоев больше 10 изгибная жесткость двумерного монокристалла приближается к значению, используемому в теории классической упругости. Экспериментальная верификация этого утверждения до сих пор не проводилась. Кроме размерных эффектов следует учитывать также анизотропию нанообъектов (возможность сдвига или даже проскальзывания слоев, в частности, многостенных нанотрубок). В частности деформации анизотропных объектов можно описывать в рамках подхода Тимошенко-Рейснера (ТР) [36], который, как показано в [58], часто существенно уточняет классическую теорию Бернулли-Кирхгофа-Лява (БКЛ) для изотропных тел. В данной работе анализируются данные, полученные с помощью СЗМ, и на основе этих данных определяются механические характеристики нанотрубок природного хризотилового асбеста и проводится анализ результатов в рамках подхода ТР.

15

Во второй половине ХХ века произошел принципиальный и качественный скачок в исследованиях поверхности различных природных объектов на наноуровне. Были созданы инструменты, позволяющие изучать морфологию рельефа, различные другие свойства поверхности как проводящих, так и непроводящих веществ с разрешением вплоть до атомарного, а именно сканирующая зондовая микроскопия и ее главный подраздел - атомно-силовая микроскопия [2,1]. В настоящий момент атомно-силовая микроскопия (АСМ) стала одним из основных инструментов нанотехнологии. Разработанные АСМ методы позволяют не только изучать, но и манипулировать образцами на наноуровне. [60]

1.2. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА.

Работа проводилась в сотрудничестве с Физико-Техническом институте имени Йоффе. Все экспериментальные данные получены в ФТИ под руководством д.ф.-м.н. Анкундинова А.В. Полное описание экспериментов и способов их проведения описаны в [60] и [25].

Основной принцип работы АСМ заключается в «ощупывании»

(зондировании) поверхности микроскопическим острием [47]. Варьируя

материал острия и метод ощупывания, можно кроме рельефа оценивать

разнообразные другие свойства поверхности. Острие расположено на

кончике мягкой консольной балки, так что при касании поверхности или

возникновении притяжения за счет сил Ван-дер-Ваальса или, например,

магнитных, балка будет изгибаться. Такие балки с острием на конце

называются АСМ-зондами или кантилеверами и в настоящий момент

производятся промышленно. Изгиб зонда отражает направление и величину

силы, действующей на него со стороны поверхности. Лишь некоторые

величины, такие как высота рельефа твердого образца или локальный

потенциал, не требуют точного знания возникающих сил. Точность

большинства измеряемых при помощи АСМ величин, например высота

16

мягкого образца, модуль Юнга и др., напрямую зависят от информации о геометрии зонда, силе взаимодействия, а также от точности и адекватности теоретического анализа выбранного для интерпретации сигнала [60].

Силы, действующие на зонд, можно измерять разными способами, соответственно, выделяют разные режимы работы микроскопа. В статическом, контактном, режиме [47] сила пропорциональна статическому отклонению зонда от нейтрального положения. АСМ в этом режиме получает изображение рельефа, перемещая зонд вдоль поверхности так, чтобы суммарная нормальная сила, действующая на зонд, была постоянной. При увеличении силы зонд поднимается над поверхностью за счет обратной связи, при уменьшении - опускается. В динамическом, полуконтактном, режиме [20] зонд вынужденно колеблется на частоте, близкой к свободному резонансу. При приближении к поверхности зонд начинает стучать по ней. Чем больше будет падать амплитуда, тем сильнее зонд стучит по поверхности образца.

Статический режим является количественным, однако при сканировании возникают неконтролируемые силы трения, разрушающие образец. Связь изгиба зонда с расстоянием до поверхности отражает локальную жесткость образца, что позволяет исследовать локальные механические свойства. На этом принципе основана трехточечная АСМ-методика [4]. Суть ее заключается в анализе механического отклика системы, сформированной из нанообъекта. Такими системами, хорошо изученными в рамках теории упругости, являются балки, закрепленные в двух точках. Практическим аналогом модели оказываются наномостики из нанотрубок на пористой подложке. Результаты анализа сильно зависят от условий закрепления наномостика на подложке. Обычно без всяких экспериментальных доказательств наномостик считают защемленной с обоих концов балкой.

Игнорируется при этом другой крайний случай - наномостика с

опертыми концами, в результате значение модуля Юнга может оказаться

17

заниженным в четыре раза. Анализ условий закрепления наномостика в большинстве работ не проводится, что негативно влияет на уровень достоверности результатов трехточечной АСМ-методики [60].

Другой АСМ-режим, полуконтактный, принято относить к неразрушающим режимам, но он не является количественным. Для него до сих пор не создана полноценная аналитическая теория, позволяющая контролировать силу удара зонда о поверхность образца.

Существует ряд проблем, которые снижают количественный уровень АСМ-исследований нанообъектов, такие как: паразитный эффект плуга; неизвестные условия закрепления наномостика на подложке; временные затраты на поиск наномостиков на образце; неточность позиционирования сканера; отсутствие полноценной теории полуконтактного режима, необходимой для количественных АСМ-измерений; ошибки в калибровке жесткости.

Одним из узких мест трехточечной методики является эффект плуга, возникающий из-за конструктивных особенностей микроскопа. Чтобы обеспечить безопасный подвод острия к образцу, зонд обычно располагается под углом ~20° к поверхности образца. В результате при изгибе во время контакта с поверхностью балка испытывает дополнительное смещение кончика острия в горизонтальной плоскости образца относительно начального положения. При исследовании наномостика это может приводить к срыву острия зонда с объекта и искажению данных силовых кривых. Для исключения этого паразитного эффекта необходимо выбирать наномостики, расположенные параллельно проекции балки АСМ-зонда.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Каштанова, Станислава Викторовна, 2017 год

Литература:

1. Bhushan B. Scanning Probe Microscopy in Nanoscience and Nanotechnology, Heidelberg: Springer, 2010. 710 p.

2. Binnig G., Quate C., Gerber Ch. Atomic Force Microscope // Physical Review Letters. 1986. Vol. 56. № 9. Р. 930-934.

3. Changgu Lee, Xiaoding Wei, Jeffrey W. Kysar, James Hone. Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene // Science 2008, v. 321, c. 385.

4. Cuenot S., Demoustier-Champagne S., Nysten B. Elastic modulus of polypyrrole nanotubes // Physical Review Letters. 2000. Vol. 85. № 8. Р. 1690-1693.

5. D.M. Schaefer, A. Patil, R.P. Andres, R Reifenberger. Elastic properties of individual nanometer-size supported gold clusters // PRB 1995, v. 51, p. 5332.

6. Deryugin Ye.Ye., Lasko G.V. Field of Stresses in an Isotropic Plane with Circular Inclusion under Tensile Stresses. Engineering, 2012, 4 583-589.

7. Eshelby D.E. Definition of the Stress Field, Which was Creating by Elliptical Inclusion // Proceedings of the Royal Society A, Vol. 241, No 1226, 1957, p.376

8. Eshelby D.E. Epastic Field outside the Elliptical Inclusion // Proceedings of the Royal Society A, Vol. 252, No 1271, 1959, p.561

9. G. Y. Jing, H. L. Duan, X. M. Sun, Z. S. Zhang, J. Xu, Y. D. Li, J. X. Wang, and D. P. Yu. Surface effects on elastic properties of silver nanowires: Contact atomic-force microscopy // Phys. Rev. B 2006, v. 73, c. 235409.

10. Grekov M., Kashtanova S., Morozov N., Yazovskaya A. // Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety / Book of Abstracts of 19th European Conference on Fracture. Kazan. 2012. P. 376.

11. Grekov M.A., Morozov N.F. Solution of the Kirsch problem in view of surface stresses // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. 2011. Vol. 52. P. 123-129.Vol. 53. P. 163-164.

12. Jean-Paul Salvetat, G. Andrew, D. Briggs, Jean-Marc Bonard, Revathi R. Bacsa, Andrzej J. Kulik, T. Stockli, N. A. Burnham, L. Forro. Elastic and Shear Moduli of Single-Walled Carbon Nanotube Ropes // Phys. Rev. Lett 1999, v. 84, c. 944.

13. John E. Sader, James W. M. Chon and Paul Mulvaney. Calibration of rectangular AFM cantilevers // Rev. Sci. Instr. 1999, v. 70, p. 3967.

14.Kachanov M., Shafiro B., Tsurkov I. Handbook of Elasticity Solutions. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2003.

15.Kirsch G. Die Theorie der Elastizitat und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre // Zantralblatt Verlin Deutscher Ingernieure, Vol. 42, 1898, pp.797-807

16.Lai M., Krempl E., Ruben D. Introduction in Continuum Mechanics, 4th Edition, Elsevier, Oxford, 2010

17.Miller R.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements. Nanotechnology 11 (2000) pp.139-147

18.Shenoy V.B. Atomistic calculations of elastic properties of metallic for crystal surfaces. Phys. Rev. 2005, B 71, N 9, p.94 -104.

19. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York, 1970.

20. Zhong Q., Inniss D., Kjoller K., Elings V. Fractured polymer/silica fiber surface studied by tapping mode atomic force microscopy // Surface Science Letters. 1993. Vol. 290. № 1-2. Р. L688-L692.

21..АльтенбахХ., ЕремеевВ.А., МорозовН.Ф. Об уравнениях линейной теории оболочек при учете поверхностных напряжений, Изв. РАН, Механика твердого тела, 2010, с.618-620

22.Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М. 1961, 384 г.

23.Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Наука, 1987. 360 с.

24. Андриевский Р.А., Глезер А.М. Прочность наноструктур // УФН 2009, т. 179(4), с. 337.

25.Анкудинов А.В. Диагностика наноустройств методами сканирующей зондовой микроскопии. Диссертация на соискание доктора физико-математических наук, СПб, 2015.

26.Аргатов И.И. Оценка погрешности расчета линейно-упругого композита симметричного строения как изотропной пластины. Вестник С.-Петербургского ун-та. 1993, №1. С. 61-66

27..Бауэр С.М., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. Задача Кирша и смежные проблемы // труды Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвящённый 105-й годовщине со дня рождения А.А.Ильюшина, 2016 г.

28..Бауэр С.М., Ермаков A.M., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф. Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных нанотрубок. // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер.1. вып. 1, 2011. с. 22-30.

29. Белотоцкий В.И., Кумзеров Ю.А., Фокин А.В. Генерация второй оптической гармоники в нанопроволоках сегнетоэлектрических материалов // письма в ЖЭТФ, 2008, т. 87, с. 465.

30. Бочкарев А.О., Греков М.А. Локальная потеря устойчивости пластины с круговым наноотверстием при одноосном растяжении // ДАН. 2014. Т.457 № 3, с.282-285

31.Бочкарев А.О., Даль Ю.М. Локальная устойчивость упругих пластин с вырезами. ДАН СССР. 1989. Том 308, №2, с.312-315.

32.Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. Машиностроение, 1988, 272 с.

33. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М., Наука, 1967.

34.Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Устинов К.Б. Влияние поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице. Физическая мезомеханика. 2010. Т.13, №5, с.127-138.

35. Греков М.А., Язовская А.А. Эффект поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения в упругом теле, ослабленном эллиптическим отверстием нанометрового размера. ПММ, 2014, Т.14, вып. 2.

36.Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические модели колебаний стержней, пластин и оболочек. М. 1973, 274 с.

37. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев, Наукова думка, 1973, 223 с.

38. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных пластин. Прикл. механика, 1997, т. 33, №2 11, с. 3-37

39.Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. Киев., Наук. думка, 1981.

40.Елецкий А В. Механические свойства углеродных структур и материалов на их основе // УФН 2007, т. 177(3), с. 233.

41.Еремеев В.А., Альтенбах Х., Морозов Н.Ф. О влиянии поверхностного натяжения на эффективную жесткость наноразмерных пластин // Докл. РАН. 2009. Т. 424. № 5. С. 618-620.

42.Еремеев В.А., Е.А.Иванова Е.А., Морозов Н.Ф. Механические проблемы в нанотехнологии // Известия Саратовского ун-та, Серия Математика, Механика, Информатика, 2008, т. 8(3), с. 25.

43. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф. К вопросу об изменении параметров жесткости // ЖТФ 2006, т. 76(10), с. 74.

44.Кумзеров Ю.А., Парфеньева Л.С., Смирнов И.А., Кривчиков А.И., Звягина Г.А., Филь В.Д., Мисиорек Х., Муха Я., Ежовский А. Тепловые и акустические свойства хризотилового асбеста // ФТТ, 2005, т. 47, с. 357.

45. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, Физматлит, 1999. 223 с.

46Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.- Л: Гостехиздат: 947, 355 с.

47..Миронов В. Л. Основы сканирующей зондовой микроскопии: Учебное пособие для студентов старших курсов высших учебных заведений. Н.Новгород: РАН, Институт физики микроструктур, 2004. 114 с.

48.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970. 512 с.

49.Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Наука, 1966.

50.Никольская Н.А. // Вестн. Ленингр. ун-та. 1979. № 1. С. 111-115.

51.НовожиловВ.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 431 с.

52.Палий О.М., Спиро В.Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. Л.: Судосроение. 1977, с. 20-32

53.Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев, Наукова думка, 1973, 248 с.

54.Родионова В.А., Титаев, Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотроных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996, с. 280

55. Седаева Е.М. Устойчивость бесконечных пластин, ослабленных круговыми отверстиями. // Тр. научн.-исслед. ин-та мат. Воронеж. ун-та. Воронеж, 1973, вып.8, с.32-36.

56. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки., М.-Л.: 1948, 480 с.

57. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С.. Пластины и оболочки. М., Наука, 1966.

58. Товстик П.Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестник С.-Пб. Ун-та. Сер.1, 2007, т. 3, с. 49.

59.Хартманн У. Очарование нанотехнологий. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008.

60. Щедрин Б.О. Развитие количественных подходов исследования механических характеристик нанообъектов методами атомно-силовой микроскопии. Диссертация на соискание степени кандидата технических наук, СПб, 2014.

Приложение 1. Программа расчета собственных чисел задачи о потери устойчивости пластины со вставкой из другого материала в пакете Maple

restart', with(LinearAlgebra) : К := 13; L := 7; К2 ~ 2\L2 ~ 2;

Е2:= у •£[!];

а '■=

(£1+2-£2)2-(v2£1 + (1-v1)-£2)2'

' (£1+2-£2)2-(v2£1 + (1-V1)-£2)2'

1 1

v :=--v :=--

1 3 ' 2 3 '

Е. -h3 E,-h3 D1 ■= -i--D2 ■■= ----

Прогиб на пластине

wl := Л-sum sum

f 2-1 — 2]-cos((2- / — 2) -ф) )

k '

P

Д

Прогиб на вставке

w2 := R-sum(sum(B[k, (2-1 - 2)]-cos((2-/-2)-q>)+ \ 1= 1 .L2),k=\.X2)\

Граничные условия: равенство прогибов и их производных на границе

eql ■= SMfc(rho = 1 ,wl = w2) :

eq2 := jMfo(rho= \,diff(wl, rho) = diff{w2, rho)) :

Собираем члены при cos(0*ф): collect(eql, cos) :

c/7[0] := select(nothas,lhs(%),cos) = select{ not has, rhs(%), cos); collect(eq2, cos) :

cf2[ 0] == select(nothas, lhs( %), cos) = se/eci (not has, rhs{%), cos); Решаем систему, выражаем в[ 1,0], В[2,0]

si ■■= solve({cfl[0],cf2[0]}, Щ1,0],Я[2,0]}) : В[2,0] := rhs{sl[2]);

Цикл собирает коэффициенты при остальных косинусах от 1 до L, и находит А[ 1,1],А[2, /] for i from 2 to L2 do

coeff( wl, cos((2- i — 2) -cp)) = coeff{w2, cos((2- i — 2) -cp)) : c/7[2- i — 2] := simplify(subs{rho = 1, %));

coeffX diff(wl, rho), cos( (2- i - 2) -cp)) = coeff{diff{w2, rho), cos( (2 ■ i — 2) -<p)) : c/2[2- j — 2] := simplify(SMfos(rho = 1, %)); s := to/vb({^7[2- i - 2],cj2[2- i - 2]}, {Я[1,2- i -2],Я[2,2- / -2]}); B[\, 2- i — 2] := rAs(s[l]); ¿?[2,2- г — 2] := rAs(s[2]); end do

Подставляем все в новый прогиб

ww2 := R-sum(sum(B[k, 2-1 — 2]-cos((27 — 2) -ф) + / = 1 .L2),k=\.K2)\

Выражаем энергии для вставки:

U2[ 1] := int(int(rho/RA2* {diff{ww2, rho$2) + 1 / rho* diff(ww2, rho) + 1/rhoA2*diff(ww2, ф$2))А2, ф = 0..2*Pi),rho = 0..1) assuming 1 > 0;

U2[2] == int{int{ 1 /i?A2* (1 /rho* diff(ww2, rho$2) * (diff{ww2, ф$2) + rho* diff(ww2, rho)) -1 /rhoA3 * (rho* diff(ww2, rho, ф) -diff(ww2, ф))А2), ф = 0..2*Pi),rho = 0..1);

U2 == simplify{^--{U2[\]-2-[\-v2yU2[2]

U2 ■= simplify

sort

Pi-A3-^

1 /

Берем производные по A[m,2l-2]

fori from 1 to AT do for j from 1 to L do

DU2[i, 2j - 2] := diff(U2,A[i, 2j - 2]); end do end do;

Собираем коэффициенты при A[k,2l-2]B матрицу

eqnsl := [seq{seq{DU2[x, 2y — 2],у = 1 .X), x= 1 .•£")] Koefl •= seq{seq(A[x,2y — 2],y= 1 .L),x = 1 .X) : U22 '■= GenerateMatrix(eqnsl, [Koefl])-,

Напряжения внутри вставки:

oV= y-(a + b + (а-Ь)-со8(2-ф)) : a2<pq>'-= y-(a + b- (a-b)-cos(2-q>)) : t2 :=-y(a-b)-sin(2-9) :

W21 ■= int[int{a2^-rbo-(diff(ww2,rho))2, ф = 0,.2-Pi),rho = 0..l) sort{%) :

W22 := int

'J °2~ —.....- -«>

sort{%) :

, rho

, rho = 0..1

W23 ■= int(int{2-i2-diff{ww2, rho) •diff{ww2, ф), ф = 0 ..2-Pi), rho = 0 ..1) assuming 1 > 0 :

W2-.= W21 + W22 + W23);

W2 := simplify^sort

, Pi h-R2 ,

for 2 from 1 to AT do for j from 1 to L do

DW2[i,2j - 2] := diff{W2,A[i,2j - 2]); end do end do;

eqns2 •= [seq[seq(DW2[x, 2у — 2],y= 1 ,L),x= 1 ..AT)] Koef2 := seq{seq(A[x,2y — 2],y= 1 .L),x = 1 .X) : W22 := GenerateMatrix{eqns2, [Koef2]);

Выражения для энергии пластины:

VI :=

Pi D1

2

= 1 .X

/ / /

sum sum

V \ V

A\k, ti\-A\m, 0i\-2-l?-tr?" k + m + 2

m= l.X

1

{A[k,2-l-2]-A[m,2-l-2]

+ sum sum jm/w . , „

I. I I, k + m + 2

•(k2 - (2-/ — 2)2)-(m2 - (27-2)2)),»z=l..A:j,/ = 2.xj,£

= l.x))+2-(l-Vl)

I, V I A: + m + 2 J

.•AT + if" ■sm'w -— 27 — 2]-A[m, 27

J ^ \ k + m + 2

-2]-{k+\)\k-{(2-l-2)2+m) + (27 — 2)2-(tw + l))),/n

= l.JsTjJ = 2.X|,)t=l.Js: expand(%) :

U1 ■= simplify

sort

%

Yvh-E

1

for i from 1 to do for j from 1 to L do

DUl[i, 2j - 2] == diff(Ul,A[i, 2j - 2]); end do end do;

:= [seq(seq(DUl[x,2y — 2],y= 1 .L),x= 1 : Koef3 ■= seq(seq{A[x,2y — 2],y= 1 .L),x = 1 .^T) : Ull ■= GenerateMatrix(eqns3, [Koef3])\

Pi'i?2

Wll ■= —---1 sum\ sum

\-a-b\ . 1

[k-m-\2-A[k, 0]-A[m, 0] - ^ -¡^

m

k + m + z J L

— 4--r--— + 3-t-:-— I \,k= \ .X\,m=\

k + m

k + m + 2

k + m + 4

+ sum^sum^sum^A[k, 21 — 2]-A[m, 21 — 2]-k-m-

m

1 -a-b k + m + 2

,k=l.X\,l = 2.Z\,m=l.X

+ sum^sum^sum^-^-■ (A[k, 21 — 2]-A[m, 21 — 4] +A[k,2l — 4]-A[m,2l — 2]) -k-m-i -r~7--4-}~a + b_ +3

k + m

k + m + 2

l-a + b k + m + 4

k=\.X\tl = 2.L\,m=l.X\ :

W12 '■= ^^ -sum^sum^ sum\ \ A[k, 21 — 2]-A[m,2l — 2]-(21

-2 y

'( k +

+ + LVo 1 -^■{A[k,2l-2]-A[m,2l

+ 77! k+m+2 J 2

-4] + A[k,2l - 4~\-A[m,2l -2})-{2l - 2)-{2l - 4)-{ —l-

^ k +

1 -a + b

+ m

+ 3-

k + m + 4

,k=l.X\,m=l.X\,l = 2.L\ :

W13 ==

Pi If

2

1 -a + b

sum\ sum\ 2- k-A[k, 0]-A[m. 1 -a + b

+ 2

m

-3-

,k=l.X\,m=l.X

k+m+2 k+m+4 + sum\ suml sum \ k-(A[k,2l — 4]-A[m, 21 — 2] -(21 — 2)

-A[k,2l-2]-A[m,2l-4]-{2l-4))-( —-

^ k +

+ m

+ 2

k+m+2 k+m+4' 1 1

>

W1 := Y-{Wll + W12 + W13) :expand{%) :

W1 ■= simplify

sort

%

, Pi-iP-h ,

for i from 1 to AT do for j from 1 to L do

DWl[i,2j-2] :=diff{Wl,A[i,2)-2]y, end do end do;

eqns4 •= [seq{seq{DWl[x, 2y — 2],y= 1 ,L),x = 1 .X)] : Xoef4 == seq{seq{A[x, 2y — 2],y= 1 .L),x = 1 .X) : Wll == GenerateMatrix[eqns4, [Xoef4]);

U3 ■■= Matrix{U22[ 1 ] + W/[l]); W3 •■= Matrix{W22[ 1] + W11[Y\); W4 ■= MatrixInverse{W3); V ■= -MatrixMatrixMultiply(U3, W4); Lambda := evalf [Eigenvalues{V));

seq

Lambdafij-Zij -h

,i = l .X L

It

:min(%);