Деформация скобок Пуассона и интегрируемые системы на алгебрах e(3) и so(4) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Вершилов, Александр Владимирович

• Вершилов, Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Вершилов, Александр Владимирович

Содержание

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Основные определения

1.1. Бигамильтоновы многобразия

1.2. Совместные тензора Пуассона

1.3. Деформации скобок Пуассона

1.4. Линейные и квадратичные по моментам деформации

1.5. Алгебры Ли е*(3) и ¿о* (4)

Глава 2. Интегрируемые возмущения гиростата Ковалевской

2.1. Гиростат Ковалевской в двух постоянных полях

2.2. Интегрируемое возмущение гиростата Ковалевской в двух постоянных полях

2.3. Бигамильтонова структура для системы Соколова

2.4. Бигамильтонова структура для гиростата Ковалевской на алгебре во* (4)

Глава 3. Бигамильтоновы структуры на йо*(4) и е*(3)

3.1. Квадратичные тензора Пуассона

3.2. Переменные Дарбу-Нийенхейса

3.3. Интегрируемые системы

3.4. Системы Богоявленского

Глава 4. Интегрируемые системы на сфере с кубическим интегралом движения

4.1. Уравнения Селивановой

4.2. Система Валента д = 0

4.3. Система Валента д ^ О

4.4. Интегрируемые системы и тригональные кривые

4.5. Система Горячева

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Деформация скобок Пуассона и интегрируемые системы на алгебрах e(3) и so(4)»

Введение

Актуальность работы Метод разделения переменных широко применяется в классической механике и математической физике. Например, хорошо известно, что многие классические специальные функции первоначально появились при решении волнового уравнения и уравнения Лапласа методом разделения переменных. В общем случае метод разделения переменных является геометрически не инвариантным и зависит от удачного выбора координат, в которых происходит разделение.

В настоящее время для построения переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби используют инвариантные геометрические объекты, такие как тензора Киллинга, матрицы Лакса и отвечающие им функции Бейкера-Ахиезера и преобразования Бэклунда, операторы рекурсии и т.д. Несмотря на то, что единого алгоритма построения переменных по-прежнему не существует, создано несколько эффективных алгоритмов вычисления переменных разделения в нескольких частных случаях.

Для уравнений Гамильтона-Якоби, допускающих разделение переменных в одной из ортогональных криволинейных систем координат на рима-новых многообразиях, создана инвариантная геометрическая теория нахождения дополнительных интегралов движения, симметрий, переменных разделения и разделённых уравнений. Более того, создано программное обеспечение, которое позволяет находить все эти объекты, используя современные системы компьютерной алгебры [23].

Для уравнений движения, для которых известно представление Лакса, согласно работам Дубровина, Кричевера и Склянина, переменные разделения можно построить, используя функцию Бейкера-Ахиезера в подходящей нормировке [65]. Основным недостатком данной конструкции является отсутствие общего алгоритма построения матриц Лакса и подходящих нормировок

функций Бейкера-Ахиезера для интегрируемых систем с известными интегралами движения.

В бигамильтоновой геометрии переменные разделения отождествляются с собственными значениями оператора рекурсии, который является инвариантным геометрическим объектом. Так как для построения оператора рекурсии используются деформации канонической скобки Пуассона, определяющей исходную гамильтонову структуру динамической системы, то исходная задача сводится к известной задаче о построении и классификации деформаций скобок Пуассона.

Изучение деформаций скобок Пуассона является одним из центральных алгебро-групповых вопросов теории интегрируемых систем, который напрямую связан с геометрическим квантованием, вычислением инвариантов Гро-мова-Виттена, теорией представлений бесконечномерных алгебр Ли, теорией квантовых деформаций алгебры Вирасоро и \У-алгебр. Следует также добавить, что развитие именно этого аспекта привело в свое время к одному из наиболее впечатляющих достижений в математике конца XX столетия — открытию понятия квантовых групп.

Тем самым, для построения переменных разделения можно использовать весь современный математический аппарат теории деформаций скобок Пуассона после соответствующей адаптации, так как подавляющее большинство известных методов деформаций напрямую связано с геометрическими и топологическими особенностями самого многообразия и не зависит от конкретной динамической системы на многообразии. Деформации скобок, связанные с конкретными динамическими системами, можно использовать не только для построения интегралов движения или переменных разделения, но и для качественного анализа движения и, например, для записи условия устойчивости на инвариантном алгебраическом языке [29].

С технической точки зрения, нахождение деформаций скобок Пуассона

для данной динамической системы связано с решением больших и сильно переопределённых систем алгебро-дифференциальных уравнений, которые заведомо имеют бесконечно много решений. В силу этого, для нахождения частных решений используют системы символьных вычислений и подстановки специального вида, позволяющие сузить пространство поиска решений. Использование компьютеров и современных систем символьных вычислений для сложных и объёмных расчётов оказалось ключевым моментом в прогрессе построения деформаций скобок Пуассона, связанных с конкретными динамическими системами.

Таким образом, современная бигамильтонова геометрия является одним из актуальных направлений исследования интегрируемых систем. Интерес к этим инвариантным геометрическим методам исследований определяется не только их практическим применением к конкретным механическим системам, но и возможностью заменить громоздкие координатные вычисления на некоторое небольшое число простых основных соотношений, позволяющих получать, изучать и классифицировать конечномерные интегрируемые системы.

Цель диссертационной работы заключается в развитии геометрических методов исследования интегрируемых по Лиувиллю систем классической механики.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. формализация метода нахождения квадратично-линейных деформаций канонического тензора Пуассона;

2. применение исследуемых методов к классификации и исследованию полученных ранее другими методами интегрируемых систем;

3. применение исследуемых методов для вычисления переменных разделения и построения разделённых уравнений.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. построены бигамильтоновы структуры для интегрируемых возмущений гиростата Ковалевской на алгебрах е*(3) и 4);

2. проведена полная классификация квадратичных деформаций тензоров Пуассона на алгебре во* (4), имеющих общее симплектическое расслоение с каноническим тензором Пуассона;

3. найдены бигамильтоновы структуры и переменные Дарбу-Нийенхейса для системы Богоявленского на зо*(4);

4. найдены бигамильтоновы структуры и переменные Дарбу-Нийенхейса для гамильтоновых систем с кубическими интегралами движения на сфере;

5. доказано, что уравнения движения для ряда динамических систем линеаризуются на стратах якобиана тригональных кривых, а соответствующие механические системы не удовлетворяют критерию Ковалевской-Пен леве.

Практическая значимость Диссертация носит теоретический характер. В то же время метод классификации интегрируемых систем, основывающийся на использовании теорем сложения, может быть применён для исследования существующих и построения новых суперинтегрируемых систем. Метод исследования, основанный на использовании оператора рекурсии, позволяет находить переменные разделения для широкого класса бигамильтоно-вых систем.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. бигамильтоновы структуры для интегрируемых возмущений гиростата Ковалевской на алгебрах е*(3) и so* (4);

2. классификация квадратичных деформаций тензоров Пуассона на алгебре so* (4);

3. бигамильтоновы структуры для систем Богоявленского на so*(4);

4. бигамильтоновы структуры и переменные разделения для динамических систем с кубическими интегралами движения на сфере, которые не удовлетворяют критерию Ковалевской-Пенлеве.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. XIII International Conference Symmetry Methods in Physics, Dubna, Russia, July 6-9, 2009;

2. на четырех международных конференциях Geometry, Dynamics Integrable Systems (GDIS), проходивших в Белграде (2008), Лиссабоне (2011), Ижевске (2013) и Триесте (2014);

3. IUTAM Symposium From Mechanical to Biological Systems: an Integrated Approach, Izhevsk, 2012.

а также на семинарах в СПбГУ и УдГУ.

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 5 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций [8, 9, 83-85].

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово-

дилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 4 глав и библиографии. Общий объем диссертации 92 страницы. Библиография включает 87 наименования на 9 страницах.

Обзор литературы

Интегрируемые системы обычно обладают различными явными и неявными симметриями [1, 15, 19, 22]. Одним из способов описания симметрии и, соответственно, самих интегрируемых систем является гамильтоновость системы относительно одновременно двух скобок Пуассона, удовлетворяющих условию согласованности (бигамильтоновость). Как правило, бигамильтоно-вы системы оказываются интегрируемыми. И наоборот, для большинства известных интегрируемых задач известна бигамильтонова структура. В типичной ситуации бигамильтонова структура системы проще, чем её интегралы. Например, уравнение Кортевега-де-Фриза гамильтоново относительно постоянной и линейной скобки, а интегралы являются полиномами сколь угодно высокой степени.

Понятие бигамильтоновости векторных полей было введено в 1978 году в работе Магри [55]. Используя цепочки Ленарда [52], Магри доказал общую теорему о том, что динамическая система или система уравнений в частных производных, сохраняющая две совместные невырожденные пуассоновы структуры (бигамильтоновы структуры), обладает последовательностью интегралов движения в инволюции по отношению к этим пуассоновым структурам. Замечательные свойства этих пуассоновых структур были исследованы годом позднее в работе Гельфанда и Дорфман [10]. Также была установлена связь теории совместных пуассоновых структур с теорией Фуксштейнера об операторе наследования (hereditary operators) [45, 46]. Обзор этих работ может быть найден в монографии Дорфман [38] и Олвера [60] и в последнем по времени обзоре [33].

В работах Олвера [61], Туриэля [77, 78] и Гельфанда с Захаревичем [47, 48] были исследованы канонические формы совместных тензоров Пуассона и динамических систем, которые их сохраняют. В работах [31, 32, 42, 69]

были изучены необходимые и достаточные условия для существования инвариантных пуассоновых структур для интегрируемых по Лиувиллю систем. Явное построение континуума совместных тензоров Пуассона в терминах переменных действие-угол обсуждается в работе Богоявленского [28].

Использование совместных тензоров Пуассона с метод Якоби (методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби) обсуждается в обзоре [41]. Большинство неизвестных ранее переменных разделения для известных конечномерных интегрируемых систем [71-74, 84, 85] были построены именно как собственные значения оператора рекурсии (оператора наследования). Связь между бигамильтоновостью, построением переменных разделения и матрицами Лакса обсуждается в монографиях А.Г. Реймана и М.А. Семенова-Тян-Шанского [19] и A.B. Борисова с И.С. Мамаевым [4].

Согласно [36, 56] построение тензора Пуассона, совместного с каноническим, эквивалентно построению деформаций канонического тензора Пуассона, который является одновременно и кограницей и коциклом в когомо-логии Пуассона-Лихнеровича [53]. Тем самым, для построения совместных тензоров Пуассона и изучения соответствующих интегрируемых систем можно использовать математический аппарат деформаций скобок Пуассона, разработанный в теории классической r-матрицы, теории тензоров Киллинга (Яно-Киллинга),:в геометрическом квантовании, в теории фробениусовых многообразий и т.д.

Напомним, что Дирак в работе [37] изучал ограничение пуассоновой структуры на невырожденное многообразие, задаваемое четным числом связей 2-го рода, и определил скобку Дирака, которую можно рассматривать как исторически первый пример деформации канонических скобок Пуассона. При этом мы не рассматриваем скобки Ли-Пуассона как деформации скобок Пуассона, так как на алгебрах Ли можно выделить класс канонических или кинематических скобок, связанных, например, с кинематикой движения

твердого тела. Напомним, что согласно фундаментальной теореме Ли (см. также работы Кириллова и Константа 1960 годов), симплектические листы скобки Ли-Пуассона совпадают с орбитами коприсоединенного представления соответствующей группы. Ссылки по теме пуассоновой редукции могут быть найдены, например, в книгах [3] и [19].

Следующий пример деформаций связан с квантованием по Вейлю [7], которое приводит к деформациям алгебры функций на симплектическом многообразии. В евклидовом пространстве соответствующие деформации, скобки Мойала [59], были введены в 1949 году. Систематическое изучение деформаций скобок Пуассона началось в 70-е годы прошлого века в работах Вея [86] и Лихнеровича с соавторами. Например, в работе [54] были описаны когомо-логии на контактных многообразиях, развитием этой работы можно считать работу Лихнеровича и Флато [44], в которой изучены различные нетривиальные первого порядка дифференциальные деформации скобок Пуассона на симплектических многообразиях общего вида. Доказано, что все такие деформации являются тривиальными в евклидовом пространстве. В работах де Вилде и Лекомта [34, 35] было доказано существование универсальной деформации скобок Пуассона в случае произвольного симплектического многообразия, связанное с существованием бесконечномерных алгебр Ли, см. также работы Вершика, Савельева, Гельфанда, Дикого, Фукса, Дринфельда, Соколова и многих других. Обзор этих работ можно найти в [18].

В цикле работ Флато введена так называемая философия деформаций [43], которая естественным образом распространяется на различные физические теории. Обзор работ Флато и других работ по геометрическому квантованию, в том числе и работ Концевича, можно найти в [68].

Отметим также монографию Карасева и Маслова [14], в которой рассматриваются механизмы возникновения нелинейных вырожденных скобок Пуассона в гамильтоновой механике, деформации скобок и их когомологии,

и изучается геометрический объект, являющийся аналогом группы Ли для нелинейных скобок Пуассона.

В 1984 году Дубровиным и Новиковым был построен гамильтонов формализм систем Уизема, причем оказалось, что скобки Пуассона в этом случае порождаются плоскими псевдоримановыми метриками на многообразиях, в которых поля принимают значения. При этом в естественно возникающих координатах метрика непостоянна, и приведение скобки к каноническому виду — достаточно нетривиальная задача. Механизм интегрирования таких систем (обобщенный метод годографа) был найден Царевым. Отметим также работы Захарова, в которых найдена процедура интегрирования методом обратной задачи рассеяния уравнений, описывающих ортогональные системы координат в пространствах диагональной кривизны, цикл работ Манина по многообразиям Фробениуса, работы Мохова о системах и скобках Пуассона гидродинамического типа, цикл исследований Болсинова о бигамильтоновых системах и их связи с методом сдвига аргумента и т.д.

В настоящее время опубликовано уже несколько сотен статей и несколько десятков монографий, посвящённых в той или иной мере совместным тензорам Пуассона и бигамильтоновым системам. В данном обзоре литературы мы привели только те работы, которые оказали наиболее существенное влияние на исследования автора. ,

г «

Глава 1 Основные определения

В данной главе вводятся основные определения, используемые в пуассо-новой и бигамильтоновой геометрии, следуя монографиям А. Г. Реймана и М. С. Семенова-Тян-Шанского [19], а также А. В. Борисова и И. С. Мамаева [3-5]. Большая часть определений из бигамильтоновой геометрии взяты из работ Ф. Магри [36, 49, 55, 56].

В гамильтоновой механике любая функция Н на фазовом пространстве М. порождает векторное поле X

X = РйН, (1.1)

с помощью тензора Пуассона Р, который мы будем называть каноническим.

Соответствующая динамическая система называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует достаточное число функционально независимых функций Нг, попарно взятые скобки Пуассона от которых равны нулю

{#*, Нк} = (РйЩ, йНк) = 0, г, к = 1,..., п. (1.2)

Основная идея би-гамильтоновой геометрии состоит в том, что изучение, построение и классификацию таких систем можно существенно облегчить, если найти совместные с каноническими скобки Пуассона такие, что интегралы движения находятся в би-инволюции

{Ни Нк} = {НиНк}' = 0, г, к = 1,..., п. (1.3)

Пучок скобок Пуассона {.,.} + А{.,.}' можно рассматривать как деформацию исходной скобки и, тем самым, свести задачу об изучении, построении и классификации интегрируемых систем к задаче об изучении, построении и

классификации деформаций канонических скобок Пуассона. Развитию этой основной идеи би-гамильтоновой геометрии и посвящена данная диссертация. Теперь перейдем к основным необходимым далее определениям.

Определение 1. Скобкой Пуассона {.,.} на гладком многообразии ЛЛ называют структуру алгебры Ли в пространстве функций С°°(М), для которой выполняется правило Лейбница

Скобка Пуассона обладает следующими свойствами, которые также можно использовать для однозначного определения самой скобки:

1. {А^ + (3} = <3} + <3}, А,/хеЁ - билинейность;

2. {.Р, (7} = — {С, .Р} - антисимметричность;

3. {^1^2, <3} = <3} + <3} - правило Лейбница;

4. {{#, Р}, в] + {{£, Я}, Р} + {{Р, <3}, Я} = 0 - тождество Якоби. В локальных координатах скобка Пуассона задаётся выражением

где базисные скобки = {хг,х^} называются структурными функциями относительно локальной системы координат которые образуют тензор или тензор Пуассона.

Тензор Пуассона Р(х) обладает следующими свойствами:

1. Pli(x) = —Pil(x) - антисимметричность',

2. тождество Якоби:

{Фи Ф2Ф3} = {Фи <Ы0з + {Фи <Ы</>2 •

(1.4)

Тензор Пуассона антисимметричен, поэтому его можно считать тензорным полем на М. (сечением расслоения А2ТЛ4). Так как тождество Якоби имеет вид

{{* с?}, я} + {{с, я}, + {{Я, с} = ^[Р,

то выполнение тождества Якоби равносильно тому, что что равна нулю скобка Схоутена

[Р,Р]=0,

здесь [•, •] - скобка Схоутена тензоров Р, (7.

Скобки Схоутена, или скобки Схоутена-Нийенхейса были введены в работе [63], после работ А. Лихнеровича, который доказал, что скобки Схоутена позволяют определять структуры Пуассона и Якоби, совместные друг с другом, в инвариантной, не зависящей от выбора координат форме [3].

Определение 2. Скобкой Схоутена двух тензоров Р, С} называется тензор третьего ранга (контравариантный кососимметричный тензор третьего ранга), компоненты которого равны:

[Р, <эр = - 15 (<Зга'£ + + ч^в Л *)) •

где сус1е(1^,к) - циклическая перестановка, а хт - локальные переменные. Согласно этому определению, скобка Схоутена обладает следующими свойствами:

1. [А, Б] = (—1)Ч'[В, А} - антисимметричность;

2. выполнение тождества Якоби:

(-1Г'[[В,С1, А] + (~1ук11С,А1В] + (-1)«[Д В],С] = 0.

Основная теорема теории пуассоновых многообразий утверждает, что произвольное пуассоново многообразие допускает стратификацию, листы которой являются симплектическими многообразиями. Существование симп-лектических листов тесно связано с наличием у пуассоновых структур нетривиальных функций Казимира.

Определение 3. Функция / называется функцией Казимира пуассоновой структуры на М., если её скобка Пуассона с любой другой функцией д на многообразии М. равна нулю или, что тоже самое, что её дифференциал принадлежит ядру оператора Р

В методе классической г-матрицы интегралы движения находятся из функций Казимира некоторой второй скобки Ли-Пуассона, определяемой г-мат-рицей [19, 22, 23].

Итак, наличие скобок Пуассона позволяет нам говорить об особом классе многообразий:

Определение 4. Гладкое многообразие, снабжённое скобкой {.,.} или тензором Р Пуассона, называется пуассоновым многообразием и обозначается

Фазовые пространства конечномерных интегрируемых систем являются пуас-соновыми многообразиями. Наиболее часто используемыми тензорами Пуассона в механике являются:

1. постоянный тензор — каноническая скобка Пуассона х = (д,р):

{$,/} = о, Рй! = о.

{М, {.,.}} или {М,Р}.

(1.5)

2. линейный тензор — скобка Ли-Пуассона:

п п

к к где — структурные константы алгебры Ли.

1.1. Бигамильтоновы многобразия

В бигамильтоновой геометрии основным объектом исследования являются многообразия с несколькими скобками Пуассона.

Определение 5. Пусть Р и Р' - пуассоновы структуры на многообразии М.. Пуассонова структура Р' называется согласованной с пуассоновой структурой Р в том случае, если для любого А линейная комбинация

{/,<7}А = {/,<7}'-А{/,</} (1.7)

также является скобкой Пуассона.

Эта линейная комбинация задаёт пучок скобок Пуассона, а соответствующая линейная комбинация тензоров Пуассона Р\ = Р' — АР называется пучком тензоров Пуассона.

Теорема 1. Скобка (1.7) является скобкой Пуассона в том и только том случае, если скобка Схоутена тензоров Пуассона равна нулю

[Р,Р1 = 0. (1.8)

Такие тензора Пуассона называют совместными или согласованными, при этом тензора Р, Р' удовлетворяют соотношениям

1Р,Р} = 1Р,Р'} = 1Р',Р,1 = 0, (1.9)

которые, следуя А. Лихнеровичу, записаны в единой инвариантной, то есть безкоординатной форме.

Определение 6. Гладкое многообразие ЛЛ, снабжённое парой совместных тензоров Пуассона {Л4,Р, Р'}, называется бигамилътоновым многообразием.

Если одна из скобок Пуассона невырожденна, т.е. например, первый тензор Р обратим, то бигамильтоново многообразие называется с^Д^-многооб-разием, так как в этом случае многообразие М. наделено симплектической формой ш = Р~1 и оператором рекурсии

N = Р'Р-1.

С одной стороны, оператор рекурсии является источником целого семейства совместных тензоров Пуассона

Р' = ЫР, Р" = М2Р, Р'" = М3Р, ...

С другой стороны, оператор рекурсии является источником интегралов движения в инволюции относительно пары скобок Пуассона {.,.} и {.,.}'. Действительно, если у нас есть оператор рекурсии АГ, мы можем построить некоторое количество интегралов движения

#(*О = (1.10)

¿К

которые удовлетворяют рекуррентным соотношениям Ленарда

= Р'с1Нк = РсШк+г, к = 1,... ,п — 1. Более того, справедливо соотношение

п

Р'йНп =

3=1

в котором с] являются коэффициентами характеристического полинома оператора рекурсии N

ае^АГ - XI) = (Ап + сгУ1'1 + • • • + с^А + сп)2,

т.е. функциями от интегралов движения Я& (1.10).

Таким образом, поиск оператора рекурсии является одним из способов построения интегралов движения в инволюции. Если оператор рекурсии порождает необходимое для интегрируемости по Лиувиллю количество функционально независимых интегралов движение, то соответствующее бигамиль-тоново многообразие называют регулярным.

Таким образом, решив уравнения (1.9) можно сразу построить и оператор рекурсии N и интегралы движения в инволюции

{Ни Я,} = {Я;, Я,}' = о, г, з = 1,.. •, п, (1.11)

относительно двух скобок Пуассона, отвечающих тензорам Р и Р'.

Если при этом интегралы движения ..., Нп (1.10) являются функционально независимыми функциями на фазовом пространстве М, то построение второго тензора Р' эквивалентно построению интегрируемой по Лиувиллю динамической системы на многообразии М. С другой стороны, собственные значения оператора рекурсии можно рассматривать не как интегралы движения, а как переменные разделения для более сложных интегралов движения [41].

Если оба тензора Пуассона вырождены, то для построения интегралов движения можно использовать цепочки Ленарда

Рс1Но = 0, Р'йЩ = Р(1Н1, Р'йЩ = РйН2,... ,

а для построения переменных разделения так называемый метод контрольной матрицы [41], который более подробно будет рассмотрен далее.

1.2. Совместные тензора Пуассона

Локально совместные тензора Пуассона на четномерном бигамильтоно-вом многообразии описываются теоремой Туриэля [77], которую мы приведем

20

в упрощенной форме.

Теорема 2. Пусть т — точка общего положения на бигамильтоновом многообразии М. размерности 2п. Если тензора Р|т, Р'\т е А2ТтМ. являются совместными тензорами Пуассона общего вида, то в окрестности данной точки т можно выбрать такую систему координат, что

Таким образом, бигамильтонова структура представима в виде суммы двумерных структур.

На симплектическом многообразии М всегда можно найти систему координат такую, что

Обобщение данной теоремы на случай многообразий размерности 2п + 1 было получено Гельфальдом и Захаревичем [47, 48]. В этих же работах было введено понятие бигамильтоновых систем типа Гельфанда-Захаревича.

ся довольно просто, в исходных физических переменных эти тензора могут быть не только рациональными или алгебраическими, но транцендентными функцяим [28, 57]. Более того, существуют такие интегралы движения Щ, которые находятся в инволюции относительно канонических скобок Пуассона, но тем не менее для которых решений уравнений (1.9) и (1.11) не существует даже локально [31, 32, 42].

Интегралы движения Щ,... ,Нп (1.10), порождаемые оператором рекурсии, не имеют физического смысла, тем не менее собственные значения опе-

и

Несмотря на то, что локально совместные тензора Пуассона описывают-

ратора рекурсии могут быть переменными разделения для интересных с физической точки зрения интегрируемых систем.

Рассмотрим шN многообразие Л4, снабжённое симплектической формой ш и оператором рекурсии N с нулевым кручением Нийенхейса

ТМ(Х, У) = [ДГХ, NУ} - N У] + [X, АГУ] - ЩХ, У]) = О

для любых векторных полей X, У на Л4. Кручение Нийенхейса оператора рекурсии равно нулю в силу совместности тензоров Пуассона Р = ш~1 и Р' = ЫР.

Определение Т. На многообразии Л4, сИт М. = п, переменные (<7ь.Рг) называются переменными Дарбу-Нийенхейса, если они являются каноническими (переменными Дарбу) относительно симплектической формы:

п

ш = Р~1 = ^ йр1 А ¿=1

и приводят оператор рекурсии N = Р'Р~1 к диагональному виду

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вершилов, Александр Владимирович, 2014 год

Литература

[1] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М. : Наука, 1991. — 472 с.

[2] Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. — М. : Наука, 1991.-319 с.

[3] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. — Москва-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 1999. — 464 с.

[4] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твёрдого тела. Гамильтоновы методы, интегригуемость, хаос. — Москва-Ижевск : ИКИ, 2005.

[5] Борисов А. В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем. — Москва-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2005. — 296 с.

[6] Бухштабер В. М., Лейкин Д. В., Энольский В. 3. Униформизация многообразий Якоби тригональных кривых и нелинейные дифференциальные уравнения // Функц. анализ и его прил. — 2000. — Т. 34, № 3. — С. 1-16.

[7] Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. — М.: Наука, 1986. — 582 с.

[8] Вершилов А. В., Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. Об одной интегрируемой деформации волчка Ковалевской // Нелинейная динамика,— 2014. - Т. 10, № 2. - С. 223-236.

[9] Вершилов А. В., Цыганов А. В. О переменных Дарбу-Нийенхейса на пуассоновом многообразии зо*(4) // Нелинейная динамика.— 2007.— Т. 3, № 2. - С. 141-155.

[10] Гельфанд И. М., Дорфман И. Я. Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры // Функц. анализ и его прил. — 1979. — Т. 13, № 4. — С. 13-30.

[11] Горячев Д. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае А = В = АС // Мат. сборник Кружка любителей мат. наук. - 1900. - Т. 23, № 3. - С. 431-438.

[12] Горячев Д. Новые случаи движения твердого тела вокруг неподвижной точки // Варшавские Университетские Известия. — 1915. — Т. 3. — С. 1-11.

[13] Горячев Д. Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эйлера // Варшавские Университетские Известия. — 1916. — Т. 3. — С. 1-13.

[14] Карасев М. В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. — М. : Наука, 1991. — 368 с.

[15] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск : Изд-во Удм. ун-та, 1995. — 432 с.

[16] Колокольцов В. Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1982. - Т. 5.- С. 994-1010.

[17] Комаров И. Базис Ковалевской для атома водорода // ТМФ.— 1981.— Т. 41, № 1.-С. 67-72.

[18] Овсиенко В. Ю., Роже К. Деформации скобок Пуассона и расширения алгебр Ли контактных векторных полей // УМН. — 1992. — Т. 47, № 6. — С. 141-194.

[19] Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы. — Москва-Ижевск : ИКИ, 2003. — 372 с.

[20] Склянин Е. К. Волчок Горячева-Чаплыгина и метод обратной задачи рассеяния // Записки научн. семинаров ЛОМИ.— 1984,— Т. 133. — С. 236-257.

[21] Соколов В. В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so(4) // ДАН. - 2004. - Т. 394, № 5. - С. 602-605.

[22] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солито-нов. - М. : Наука, 1986. — 527 с.

[23] Цыганов А. В. Интегрируемые системы в методе разделения переменных. — Москва-Ижевск : РХД, 2005. — 319 с.

[24] Цыганов А. В. Согласованные скобки Ли-Пуассона на алгебрах Ли е(3) и so(4) // ТМФ. - 2007. - Т. 151, № 1. - С. 26-43.

[25] Чаплыгин С. Собрание сочинений, т.1-3. — М.-Л. : ГИТЛ, 1948.

[26] Abenda S., Fedorov Y. On the weak Kowalevski-Painlevé property for hyperelliptically separable systems // Acta Appl. Math. — 2000. — Vol. 60, ' no. 2.-P. 137-178.

[27] Andoyer H. Cours de mécanique céleste. — Paris : Gauthier-Villars et C, 1923.

«

[28] Bogoyavlenskij O. Theory of tensor invariants of integrable hamiltonian systems. I. Incompatible Poisson structures // Comm. Math. Phys.— 1996.-Vol. 180, no. 3.—P. 529-586.

[29] Bolsinov A., Izosimov A. Singularities of bi-Hamiltonian systems // Comm. Math. Phys.-2014.-Vol. 331, no. 2.-P. 507-543.

[30] Braden H. W., Enolski V. Z., Fedorov Y. N. Dynamics on strata of trigonal Jacobians and some integrable problems of rigid body motion // Nonlin-earity. — 2013. — Vol. 26, no. 7. — P. 1865-1889.

[31] Brouzet R. Systèmes bihamiltoniens et complète intégrabilité en dimension 4 // C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. — 1990.— Vol. 311, no. 13.— P. 895-898.

[32] Brouzet R., Molino P., Turiel F. J. Géométrie des systèmes bihamiltoniens // Indag. Math. (N.S.).— 1993. —Vol. 4, no. 3. — P. 269-296.

[33] De Sole A., Kac V., Valeri D. Integrability of Dirac reduced bi-Hamiltonian equations // Trends in Contemporary Mathematics. — 2014.— Vol. 8 of Springer INdAM Series. - P. 13-32.

[34] De Wilde M., Lecomte P. B. A. Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson-Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds // Lett. Math. Phys. — 1983. — Vol. 7, no. 6. — P. 487-496.

[35] De Wilde M., Lecomte P. B. A. Formal deformations of the Poisson- Lie algebra of a symplectic manifold and star-products. Existence, equivalence, derivations // Deformation theory of algebras and structures and applications (II Ciocco, 1986). — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1988. — Vol. 247 of NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci.—P. 897-960.

[36] Degiovanni L., Magri F., Sciacca V. On deformation of Poisson manifolds of hydrodynamic type // Comm. Math. Phys. — 2005. — Vol. 253, no. 1. — P. 1-24.

[37] Dirac P. A. M. Generalized Hamiltonian dynamics // Can. J. Math.— 1950. - Vol. 2. — P. 129-148.

[38] Dorfman I. Y. Dirac structures and integrability of nonlinear evolution equations. — New York : Wiley and Sons, 1993. — 188 p.

[39] Dullin H. R., Matveev V. S. A new integrable system on the sphere // Math. Res. Letters. — 2004. — Vol. 11, no. 5-6. —P. 715-722.

[40] Falqui G. Lax representation and Poisson geometry of the Kowalevski top // J. Phys. A: Math, and Gen. — 2001. — Vol. 34, no. 11. —P. 2077.

[41] Falqui G., Pedroni M. Separation of variables for bi-Hamiltonian systems // Math.Phys. Anal. Geom. — 2003. — Vol. 6, no. 2. —P. 139-179.

[42] Fernandes R. L. Completely integrable bi-Hamiltonian systems // J. of Dynamics and Differential Equations. — 1994. — Vol. 6, no. 1. — P. 53-69.

[43] Flato M. Deformation view of physical theories / / Czechoslovak Journal of Physics. - 1982. — Vol. 32, no. 4. - P. 472-475.

[44] Flato M., Lincherovicz A., Sternheimer D. Deformation 1-diferentiables des algebras de Lie attaches a une simpletique ou de contact // Composito Math. - 1975. - Vol. 31. - P. 47-82.

[45] Fuchssteiner B. Application of hereditary symmetries to nonlinear evolution equations // Nonlinear Analysis. — 1979. — Vol. 3, no. 6. — P. 849-862.

[46] Fuchssteiner B. The Lie algebra structure of degenerate Hamiltonian and bi-Hamiltonian systems // Progr. Theoret. Phys.— 1982.— Vol. 68, no. 4.-P. 1082-1104.

[47] Gelfand I. M., Zakharevich I. On the local geometry of a bi-Hamiltonian structure // The Gelfand Mathematical Seminars, 19901992. — Birkháuser Boston, Boston, MA, 1993. — P. 51-112.

[48] Gelfand I. M., Zakharevich I. Webs, Lenard schemes, and the local geometry of bi-Hamiltonian Toda and Lax structures // Selecta Mathematica, New Series. - 2000. — Vol. 6, no. 2. — P. 131-183.

[49] Ibort A., Magri F., Marmo G. Bihamiltonian structures and Stâckel separability // Journal of Geometry and Physics. — 2000. — Vol. 33, no. 3-4. — P. 210-228.

[50] Kiyohara K. Two-dimensional geodesic flows having first integrals of higher degree // Mathematische Annalen.— 2001.— Vol. 320, no. 3.— P. 487505.

[51] Komarov I. V., Sokolov V. V., Tsiganov A. V. Poisson maps and integrable deformations of the Kowalevski top //J. Phys. A: Math, and Gen.— 2003.- Vol. 36, no. 29. — P. 8035-8048.

[52] Korteweg-de Vries equation and generalizations. VI. Methods for exact solution / C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Comm. Pure and Applied Math. — 1974. — Vol. 27, no. 1. — P. 97-133.

[53] Lichnerowicz A. Les variétés de Poisson et leurs algèbres de Lie associées // Journal of Differential Geometry. — 1977. — Vol. 12, no. 2. — P. 253-300.

[54] Lichnerowicz A. Geometry and cohomologies associated with a contact manifold // Differential Geometry / Ed. by AntonioM. Naveira. — Springer Berlin Heidelberg, 1984. — Vol. 1045 of Lecture Notes in Mathematics. — P. 104-116.

[55] Magri F. A simple model of the integrable Hamiltonian equation // J. Math. Phys. - 1978. —Vol. 19, no. 5.-P. 1156-1162.

[56] Magri F. Eight lectures on integrable systems // Integrability of nonlinear systems (Pondicherry, 1996).— Springer, Berlin, 1997.— Vol. 495 of Lecture Notes in Phys. — P. 256-296.

[57] Marmo G., Vilasi G. When do recursion operators generate new conservation laws? // Phys.Lett. B. — 1992. — Vol. 277, no. 1-2. —P. 137-140.

[58] Marshall I. D. The Kowalevski top: its r-matrix interpretation and bi-hamiltonian formulation // Comm. Math. Phys.— 1998.— Vol. 191, no. 3.-P. 723-734.

[59] Moyal J. E. Quantum mechanics as a statistical theory // Proc. Cambridge Philos. Soc.- 1949. — Vol. 45.- P. 99-124.

[60] Olver P. Applications of Lie groups to differential equations.— Berlin, Heidelberg, New York : Springer, 1993. — 582 p.

[61] Olver P. J. Canonical forms and integrability of bi-Hamiltonian systems // Phys. Lett. A.— 1990.-Vol. 148, no. 3-4.-P. 177-187.

[62] Rauch-Wojciechowski S. New restricted flows of the KdV hierarchy and their bi-Hamiltonian structure // Phys. Lett. A.— 1991.'— Vol. 160, no. 3.-P. 241-246.

[63] Schouten J. A. Ueber Differentialkomitanten zweier kontravarianter Gróssen // Nederl. Akad. Wetensch., Proc. — 1940. — Vol. 43. — P. 449452.

[64] Selivanova E. N. New examples of integrable conservative systems on S2 and the case of Goryachev-Chaplygin // Comm. Math. Phys. — 1999.— Vol. 207, no. 3. —P. 641-663.

[65] Sklyanin E. K. Separation of variables-new trends // Progr. Theoret. Phys. Suppl. — 1995.— no. 118.— P. 35-60.— Quantum field theory, integrable models and beyond (Kyoto, 1994).

[66] Sokolov V., Wolf T. Integrable quadratic classical hamiltonians on so(4) and 5o(3,1) // J. Phys. A: Math, and Gen. — 2006.— Vol. 39, no. 8.— P. 1915-1926.

[67] Sokolov V. V. Generalized Kowalevski top: new integrable cases on e(3) and so(4) // The Kowalevski property (Leeds, 2000). — Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002. — Vol. 32 of CRM Proc. Lecture Notes. — P. 307313.

[68] Sternheimer D. Deformation quantization: twenty years after // Particles, fields, and gravitation (Lódz, 1998). —Amer. Inst. Phys., Woodbury, NY, 1998. - Vol. 453 of AIP Conf. Proc. - P. 107-145.

[69] Ten Eikelder H. M. M. On the local structure of recursion operators for symmetries // Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. — 1986. — Vol. 48, no. 4.-P. 389-403.

[70] Tsiganov A. V. On a family of integrable systems on s2 with a cubic integral of motion // J. Phys. A: Math, and Gen.— 2005.— Vol. 38, no. 4.— P. 921-927.

[71] Tsiganov A. V. New variables of separation for particular case of the Kowalevski top // Regular and Chaotic Dynamics.— 2010.— Vol. 15, no. 6.-P. 659-669.

[72] Tsiganov A. V. On the generalized Chaplygin system //J. Math. Sciences. — 2010. — Vol. 168, no. 6. — P. 901-911.

[73] Tsiganov A. V. On bi-integrable natural hamiltonian systems on Rieman-nian manifolds //J. Nonlinear Math. Phys. — 2011.— Vol. 18, no. 2.— P. 245-268.

[74] Tsiganov A. V. On natural Poisson bivectors on the sphere //J. Phys. A: Math, and Theor. — 2011. — Vol. 44, no. 10.

[75] Tsiganov A. V., Goremykin О. V. Integrable systems on so(4) related to XXX spin chains with boundaries //J. Phys. A: Math, and Gen.— 2004. - Vol. 37, no. 17. - P. 4843-4849.

[76] Tsiganov A. V., Khudobakhshov V. A. Integrable systems on the sphere associated with genus three algebraic curves // Reg. and Chaotic Dyn. — 2011.-Vol. 16, no. 3.-P. 396-414.

[77] Turiel F. J. Classification locale d'un couple de formes symplectiques Poisson-compatibles // С. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.— 1989.— Vol. 308, no. 20.-P. 575-578.

[78] Turiel F. J. Structures bihamiltoniennes sur le fibré cotangent // С. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. — 1992. — Vol. 315, no. 10. —P. 1085-1088.

[79] Vaisman I. Lectures on the geometry of Poisson manifolds. — Birkháuser Verlag, Basel, 1994. — Vol. 118 of Progress in Mathematics. — 205 p.

[80] Valent G. On a class of integrable systems with a cubic first integral // Comm. Math. Phys.—2010. —Vol. 299, no. 3.—P. 631-649.

[81] Vanhaecke P. Stratifications of hyperelliptic Jacobians and the Sato Grass-mannian // Acta Appl. Math. — 1995. — Vol. 40, no. 2. — P. 143-172.

[82] Vanhaecke P. Integrable systems and moduli spaces of rank 2 vector bundles on a non-hyperelliptic genus 3 curve // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). - 2005. - Vol. 55, no. 6. - P. 1789-1802.

[83] Vershilov A. V. On the bi-Hamiltonian structure of Bogoyavlensky system on so(4) // Regular and Chaotic Dynamics. — 2010.— Vol. 16, no. 6.— P. 670-676.

[84] Vershilov A. V., Tsiganov A. V. On bi-Hamiltonian geometry of some integrable systems on the sphere with cubic integral of motion //J. Phys. A: Math, and Theor. - 2009. - Vol. 42, no. 10. — P. 105203 (12pp).

[85] Vershilov A. V., Tsiganov A. V. On one integrable system with a cubic first integral // Lett. Math. Phys. — 2012. — Vol. 101, no. 2. —P. 143-156.

[86] Vey J. Déformation du crochet de Poisson sur une variété symplectique // Comment. Math. Helv. — 1975. — Vol. 50, no. 4. — P. 421-454.