Cлепая идентификация двумерных сигналов и ее применение в задачах терагерцевой спектроскопии и оценки MIMO канала связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат наук Березовский Андрей Андреевич

• Березовский Андрей Андреевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Березовский Андрей Андреевич

Введение

1 Алгоритмы слепой идентификации двумерных сигналов

1.1 Некоторые известные способы решения задачи слепой идентификации двумерных каналов

Методы слепой идентификации скалярного канала (М = 1) . . 12 Методы слепой идентификации векторного канала (М > 1)

1.2 Двумерный алгоритм нулевого подпространства

1.3 Алгоритм, использующий итерационную минимизацию критерия метода взаимных отношений в частотной области

1.4 Исследование работы алгоритмов слепой идентификации двумерных сигналов при помощи математического моделирования и на примере реальных изображений

2 Применение слепой идентификации функции размытия точки терагерцевого изображения для решения задачи классификации образцов

2.1 Существующие подходы к задаче обнаружения и классификации образцов в терагерцевом диапазоне

2.2 Связь спектра поглощения образца с ФРТ на его зарегистрированном изображении

Модель процесса формирования терагерцевого изображения

Геометрическая модель

Физическая модель

2.3 Обнаружение сигнатуры химического вещества при помощи идентификации функции размытия точки терагерцевого изображения этого вещества

2.4 Применение алгоритмов слепой идентификации изображений

для извлечения информации о спектре поглощение образца

3 Решение задачи двумерной слепой идентификации в применении к идентификации MIMO-системы с пространственно-

временным кодом

3.1 Пространственно-временной код

3.2 Слепая оценка MIMO канала и исследование ее помехоустойчивости

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Приложения

A Программная реализация моделирования искажений и

идентификации терагерцевых изображений

B Векторные алгоритмы слепой идентификации изображений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Cлепая идентификация двумерных сигналов и ее применение в задачах терагерцевой спектроскопии и оценки MIMO канала связи»

Введение

Диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов слепой идентификации двумерных каналов, а так же применению полученных алгоритмов в векторных каналах радиотехнических систем. С этой целью были рассмотрены такие задачи как: измерение особенностей спектра поглощения химических веществ с использованием свойств ТГц-диапазона и ТГц-матриц в качестве альтернативы классической терагер-цевой спектроскопии; восстановление искаженных двумерных сигналов; слепая идентификация MIMO-канала связи.

Задачей слепой идентификации изображений является оценка двумерной импульсной характеристики (ИХ) по искаженному изображению в условиях аддитивного шума. То есть, в классической постановке задачи, требуется найти ядро к дискретной свертки (1) по результату у, при условии неизвестного истинного изображения х.

Попытки восстановить изображение х по результату свертки у известны в литературе как слепая деконволюция [1]. Задача слепой деконволю-ции может быть решена и при помощи алгоритмов, оценивающих х и к одновременно, и при использовании оценки к, полученной в результате работы алгоритма слепой идентификации, и последующей оценке изображения х алгоритмом обращения свертки с известным ядром, что было неоднократно отмечено в различной литературе [2].

Тривиальное решение уравнения (1) к[1,12 = Д[11,12], х^2 = у^2 называют Д-решением и исключают из рассмотрения. Интуитивно кажется что невозможно обращение свертки (1) без знания ядра свертки к. Однако при наложении определенных ограничений на изображение х и ядро к оказалось возможным построение алгоритмов оценки. Оказалось что резуль-

(1)

тат свертки (1) при представлении х и Н в виде полиномов от двух переменных в отсутствии шумов почти всегда факторизуется единственным образом. Один из первых алгоритмов слепого обращения свертки (1), основанный на этой особенности полиномов от двух и более переменных был предложен в работе [3], также важный вклад в это направление внесли многие российские и зарубежные исследователи (см. обзор [4]).

В результате попыток улучшить качество решения при высоких уровнях шума за счет учета априорной информации об истинном изображении в дальнейших исследованиях широкое распространение получила техника слепой идентификации, основанная на использовании эмпирических моделей случайного процесса р(х), реализацией которого является восстанавливаемое изображение х [5,6]. В более поздних работах [2,7,8] удалось показать, что сам алгоритм оценки х и Н влияет на результат сильнее чем дальнейшее повышение точности описания распределения р(х). Успех работ в данном направлении подтвержден тем, что принадлежащие к данному классу алгоритмы были реализованы в нескольких коммерческих и свободно распространяемых программных продуктах. Тем не менее серьезные ограничения на изображение х сохраняются и в этих работах как следствие самой постановки задачи обращения свертки (1).

Существует также постановка задачи слепой идентификации при которой возможно построение обладающих высокой помехоустойчивостью алгортимов без использования ограничений на распределение р(х). Это становится возможным, если зарегистрировано М изображений у1,у2,..,уг,..,ум, являющихся результатом свертки одного и того же изображения х с М различными ИХ Н1 ,Ь2 ,..,Нг ,..,Нм, М > 1:

У^2 = ^ I] х-нь-ЬК,12 + Ч^ (2)

к 12

Задача обращения свертки (2) с целью оценки ИХ Н1,Н2,..,Нг,..,Нм (и истинного изображения х) по известным изображениям у1,у2,..,уг,..,ум получила название векторной или многоканальной слепой идентификации (деконволюции). Точное решение этой задачи для незашумленного сигнала, стабильное в условиях шума и являющееся обобщением на двумер-

ный случай одномерного алгоритма EVAM [9] было опубликовано в работе [10]. Этот способ и его модификации (например [11]) позволяют найти решение минимизируя критерий, известный в слепой идентификации одномерных сигналов, благодаря статье [12], как Cross Relation Approach а в отечественной литературе получивший название метода взаимных отношений. Попытки улучшить качество решения для высоких уровней шума путем использования различных операторов регуляризации совместно с данным критерием обычно приводят к решению в результате итерационного процесса [13,14].

Приложения слепой обработки изображений могут быть расширены данной работой, в которой представлен подход к задаче измерения особенностей спектра поглощения химических веществ в ТГц диапазоне, основанный на слепой идентификации их изображений.

Терагерцовый диапазон, находящийся между миллиметровыми волнами и инфракрасным излучением, из-за трудностей трудностей, связанных с технической реализацией приема и передачи сигналов до сих пор не задействован ни в одном классическом решении задач радиотехники, имеющих важное практическое значение. В иностранной литературе это эмпирическое наблюдение получило название — "THz gap" [15].

Тем не менее, именно в этом диапазоне у химических веществ был обнаружен механизм поглощения радиоволн, дающий специфический для каждого вещества набор пиков поглощения и, за счет этого, позволяющий различать образцы по их спектру. В наше время специалисты по безопасности [16,17] ставят вопрос о возможности практических применений те-рагерцевой спектроскопии для обнаружения опасных веществ, скрытых внутри писем и посылок, багажа в аэропорту, под одеждой и т. д. В связи с появлением коммерческих терагерцевых спектрометров временного разрешения (terahertz time-domain spectroscope, THz-TDS) по всему миру были проведены исследования спектра поглощения различных веществ, запрещенных к хранению и распространению а так же похожих на них по спектру, но не представляющих опасности [18-29]. Оказалось что, например, для взрывчатых веществ, методом ТГц спектроскопии можно обнаружить значительное количество образцов, обычно участвующих в по-

добных экспериментах в отношении других методов (таблица 1). Требования к регистрирующей аппаратуре можно оценить в первом приближении, если принять во внимание что для обнаружения наиболее информативными являются пики поглощения. Для исследований [18,19,22,26] они оказались, как показано на рисунке 1, в основном в диапазоне от 0.5 до 3 ТГц. В настоящее время, кроме упомянутых выше работ по сбору сигнатур опасных веществ публикуются работы по решению задач обнаружения и различения химических веществ в терагерцевом диапазоне при помощи методов обработки сигналов, позволяющих уменьшить объем измерений при решении задачи идентификации [28,30].

.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 БиЬЬапс!, ТНг

Рисунок 1: Распределение пиков поглощения по диапазону частот

Данная работа также направлена на рациональное решение задачи идентификации и измерения особенностей спектра поглощения образцов в терагерцевом диапазоне. Предлагаемый в ней метод использует тот факт, что изображения веществ, пропускающих различные части спектра в различных пропорциях при регистрации матрицей чувствительных к интенсивности приемников ТГц излучения (например болометров) в результате дисперсии в собирающей линзе будут иметь различные искажения [31]. Эти искажения можно идентифицировать, используя описанный в работе подход для расчета ожидаемых искажений, а также оценить непосредственно по зарегистрированному изображению, используя алгоритм слепой идентификации, например [32]. При этом, за счет применения результатов исследований в области слепой идентификации, обнару-

жение и классификация образцов при помощи предлагаемого подхода не требуют знания истинного, неискаженного изображения образца.

Таблица 1 — Публикации, посвященные различным методам обнаружения некоторых опасных веществ.

Вещество\Метод Дифференциальная спектроскопия Cпектрометрия ионной подвижности Масс-спектрометрия Рамановская спектроскопия Медоносные пчёлы [33] Нейтронная активация Кремнивые нанонити Собаки Рентгеновское излучение Рекомендации специалистов по безопасности Терагерцевая спектроскопия

Гексоген [34] [35] [36] [37,38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [19,22,23,29]

Тринитротолуол [34] [35] [36] [39] [40] [41,45] [42] [43] [44] [19,22,29]

ТЭН [34] [35] [36] [37,38] [40] [41] [42] [43] [19,22,23,29]

Аммиачная cелитра [34] [35] [40] [42] [44] [22]

2,4-динитротолуол [46] [35] [40] [22]

m DNB [46] [35] [40] [22]

Тетрил [35] [40] [22]

TNA [35] [40]

TNB [35] [40]

TNP [35] [40]

Октоген [35] [36] [40] [19,22]

Нитроглицерин [35] [36] [37] [40] [22]

2,6-динитротолуол [35] [40] [22]

2A-DNT [40] [22]

4A-DNT [40] [22]

EGDN [35] [40]

дАДФ [35] [40]

КСЮ4 [22]

КСЬйз [22]

Пероксид ацетона [35] [36] [44] [26]

p-MNT [35] [40]

DMNB [35] [36] [47] [40] [22]

o-MNT [35] [40]

[35] [40]

ГМТД [36] [40] [44]

Семтекс [37] [39] [40] [42] [19,23]

Динамит [40] [42]

Порох [40] [42] [22,29]

ТАТБ [40] [43]

4-нитротолуол [40] [22]

Нитрат мочевины [40] [44]

Широкие возможности для слепой идентификации в случае объединения свойств векторных и двумерных каналов могут быть хорошо проиллюстрированы еще одним приложением алгоритмов этого типа. Слепая идентификация MIMO-канала связи, то есть пространственно-временного канала, соединяющего несколько передатчиков с нескольки-

ми приемниками является темой множества работ. Однако применение алгоритмов детерминированной слепой идентификаци векторных двумерных каналов для этой задачи позволяет, как будет показано в работе, преодолеть некоторые ограничения существующих подходов.

Целью данной работы является разработка эффективных алгоритмов двумерной слепой идентификации и их применение в задаче извлечения информации о спектре поглощения вещества из терагерцевого изображения образца и в задаче оценки MIMO канала связи.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать оптимальные по методу наименьших квадратов алгоритмы детерминированной слепой идентификации векторного двумерного канала.

2. Создать модель, связывающую спектр поглощения с искажениями, получить примеры ИХ, рассчитанных согласно этой модели.

3. Исследовать полученные алгоритмы слепой идентификации двумерных сигналов в задаче извлечения из изображений информации о спектре поглощения.

4. Разработать способ передачи дискретных сообщений в MIMO канале связи при котором возможно применение многомерной слепой идентификации векторных каналов.

5. Исследовать полученные алгоритмы слепой идентификации двумерных сигналов путем моделирования их применения для слепой оценки MIMO канала связи.

Положения, выносимые на защиту:

1. Предложен эффективный векторный двумерный алгоритм нулевого подпространства, который позволяет решить задачу векторной слепой идентификации двумерных сигналов в явном виде.

2. Доказана возможность идентификации образца в случае неизвестного спектра поглощения при использовании слепой идентификации его терагерцевого изображения.

3. Выявлено, что слепая оценка MIMO-канала связи, выполненная при помощи алгоритма слепой идентификации двумерных сигналов, позволяет при определенных условиях, получить более точные оценки чем классические алгоритмы слепой идентификации MIMO-канала связи.

Научная новизна:

1. В работе получен оптимальный по методу наименьших квадратов векторный двумерный алгоритм нулевого подпространства, позволяющий решить задачу векторной слепой идентификации двумерных сигналов в явном виде.

2. Разработан метод идентификации образца по его спектру поглощения, основанный на регистрации его терагерцевого изображения.

3. Разработан алгоритм идентификации образца при неизвестном спектре поглощения, основанный на слепой идентификации его те-рагерцевого изображения.

4. Предложен пространственно-временной код, использование которого сводит задачу слепой идентификации MIMO канала связи к задаче слепой идентификации двумерных сигналов.

Практическая значимость заключается в том, что результаты работы применены в НИР "Разработка математических и вычислительных методов "слепой" обработки сигналов (СОС) и изображений в системах радиотехники, связи и ДЗЗ" по заказу АО «РКЦ «Прогресс», выполненной коллективом кафедры Теоретических основ радиотехники и связи, ПГУТИ и стали основой для создания курсовой работы по дисциплине "Идентификация и диагностика систем".

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается полученной методом анализа ранее проведенных исследований достоверной информацией об исследуемом предмете, воспроизводимостью результатов исследования, аналитическим описанием предлагаемой модели, сравнением теоретических и экспериментальных результатов, практическим подтверждением. Полученные результаты не вступают в противоречие с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на таких конференциях как: 19th World Multi-Conference on Systemics, Cybernetics and Informatics, Orlando, Florida, USA, 2015; Optical Technologies for Telecommunications 2011,Kazan, Tatarstan, Russian Federation; XIX международная научная конференция Радиолокация, навигация, связь, г. Воронеж, 2012; Всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы радиоэлектроники и телекоммуникаций, г. Самара, 2011; XVIII-XXIII Российская научная конференция профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов, г. Самара, 2011-2016.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 19 печатных изданиях, 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [31,48-51], 3 в изданиях, включенных в реферативные базы Scopus или Web of Science [32,52,53].

Личный вклад. Все результаты и научные положения, составляющие содержание данной диссертационной работы, получены автором самостоятельно и соответствуют пунктам 1 и 7 паспорта специальности 05.12.04. Личный вклад автора состоит в изучении объекта исследования по ранее опубликованным работам, постановке задач, применении аналитических методов их решения, постановке экспериментов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Полный объем диссертации составляет 70 страниц с 24 рисунками и 4 таблицами. Список литературы содержит 78 наименований.

Глава 1

Алгоритмы слепой идентификации двумерных сигналов

1.1 Некоторые известные способы решения задачи слепой идентификации двумерных каналов

Алгоритмы обращения двумерной свертки (2) и, как ее частного случая двумерной свертки (1), как было отмечено во введении, начали изучаться во всем мире с конца 80-х годов XX века. Основные результаты работ по решению задачи оценки двумерной ИХ к^ 12 по М результатам свертки у£ ^ без знания двумерного сигнала х^2, где г = 1,...,М, могут быть представлены в виде схемы, изображенной на рис. 1.1.

Для практического применения алгоритмов слепой идентификации представляется целесообразным классифицировать подходы по необходимой алгортиму априорной информации о сигнале х и канале к, а также по помехоустойчивости метода. В этом случае при использовании методов слепой идентификации можно подобрать наиболее желаемую модель учета априорных данных для получения необходимого качества решения.

Методы слепой идентификации скалярного канала (М = 1) Детерминированные методы

Детерминированные методы в случае скалярного канала характеризуются наименьшим учетом структуры неизвестного сигнала и канала к. В этих методах канал и сигнал считаются детерминированными, то есть неслучайными сигналами, что дало название классу алгоритмов. При этом, обычно, учитывается наличие шума п который, в отличие от сигналов, считается случайным с известным распределением. В самом об-

Алгоритмы слепой идентификации двумерных каналов

Рисунок 1.1: Классификация алгоритмов слепой идентификации по объему необходимой априорной информации

щем случае уравнение двумерной свертки (1) может быть обращено методом факторизации полинома угъг2. В отсутствии шумов существование точного решения этой задачи обсуждается в работах [54,55] опираясь на представление х и Н в виде полиномов от двух переменных хг1 ^ и НХ1^2 и возможности однозначной факторизации результата свертки угъг2 = хг1,г2 Нгъг2, являющегося произведением таких полиномов. Алгоритмы слепого обращения свертки (1), основанные на этом свойстве полиномов от двух и более переменных были предложены в работах [3,56]. Работы, сделавшие данный подход возможным (см. обзор [4]) оказались важны тем, что впервые доказали возможность найти решение уравнения (1) относительно неизвестных х и Н. Теоретическое значение полученных результатов можно оценить, например, по работе [1], где задача факторизации полиномов от более чем одной переменной решается для полиномиальных статистик - двумерных представлений одномерных сигналов. Тем не менее в силу низкой помехоустойчивости данного подхода для практических применений был разработан ряд других детерминированных техник.

Учет такой информации как, например, вещественность и положительность ядра свертки Н, ограничение ^ 111 Н¡1,¡2 = 1, вещественность и

положительность сигнала, что может быть справедливо для изображений, позволяют применить алгоритмы, в основе которых лежит итерационный перебор ИХ на множестве возможных значений при помощи алгоритма поиска глобального экстремума. Таким алгоритмом может быть, например, алгоритмом имитации отжига что позволяет найти решение заданного качества (в среднеквадратическом смысле) за известное время. Примеры таких алгоритмов могут быть найдены в книге [57]. Практическое применение данного подхода ограничено требуемыми вычислительными ресурсами.

Байесовские оценки ИХ

Этот класс алгоритмов задействует статистическую информацию о восстанавливаемом сигнале. Обзор современных алгоритмов, использующих распределение р(х), реализацией которого является неискаженное изображение х можно найти в работе [2]. Применение байесовского подхода в задаче слепой идентификации двумерных сигналов означает поиск решения в виде (к,х) = / /р(х,к\у)С(к — к,х — х)йхйк, где С (к — к,х — х) - функция риска. При различных функциях риска, эмпирических моделях априорных распределений р(х) и методах оптимизации получившегося в результате критерия возможно создание достаточно сильно отличающихся по своим характеристикам алгоритмов слепой идентификации. Современные алгоритмы [5-8] используют статистическое описание оптических изображений и успешно применяются для восстановления искаженных фотографий.

Оценка параметров модели ИХ

Среди скалярных алгоритмов параметрические модели ИХ накладывают наибольшие ограничения на канал к и, следовательно, выдвигает самые трудновыполнимые требования к изображению у. В этом подходе искомая импульсная характеристика задается параметрически, например как геометрическая расфокусировка к¡1, /2 = ^^ Д + ¿2 < г2, как физическое описание расфокусировки [58] или как сдвиг по некоторой траектории, характеризующейся углом и протяженностью. Такие ИХ позволяют

легко построить алгоритм идентификации, как оценку параметров модели ИХ по нулям Фурье преобразования зарегистрированного сигнала

yi, n = FVtu t2.

Методы слепой идентификации векторного канала (M > 1)

В случае отсутствия априорной информации о двумерном сигнале x и канале h построение помехоустойчивых алгоритмов оценки ИХ может быть реализовано при соответствии передаваемой информации модели SIMO, то есть при регистрации M двумерных сигналов уг, искаженных сверткой (2) в каналах hi, при неизвестном изображении x. В рамках данной модели наиболее эффективным по результатам исследования [59] можно назвать метод взаимных отношений, использующий свойство инвариантности свертки уг * hj — yj * hi = 0.

Далее будут рассмотрены два оригинальных алгоритма решения задачи обращения свертки (2) на основе метода взаимных отношений. Первый из описанных алгоритмов содержит решение задачи в явном виде через обобщение алгоритма нулевого подпространства (АНП) [1] на двумерный случай.

1.2 Двумерный алгоритм нулевого подпространства

Метод взаимных отношений можно представить в полиномиальной форме в соответствии с подходом предложенном в [1] и модифицированном для двумерного случая в работе [60]:

Li —1 L2 — 1 Li-1 L2 — 1

S yii, l2 (z1 ,z2,s1 )hli ,l2 M - S yii (z1,z2 ,s2)hli ,l2 (s1) = 0 (1Л) 11=0 l2=0 li=0 l2=0

M-1 ti-1 t2-1 . ... 1 .

где, yli,l2 (z1 ,z2 ,s)= E E Eyji+li j2+l2z1i z22 S% hli,l2 (s) = Eг=0 hii,l2 sг, L1,L2 -

г=0 ji=0 .2=0

размер двумерной ИХ, M - числе каналов, t1 ,t2 - размеры обрабатываемого

изображения, (s),...,hLi-1 ¿2—1(s) - искомые полиномы.

Выбирая 2L1L2 — 1 различных значений формальных переменных {z1,z2}, можно записать 2L1L2 — 1 однородных линейных уравнений для L1,L2 неизвестных полиномов (s),...,hLi—1 ,L2—1(s). Эта система уравне-

ний может быть записана в матричной форме:

( Уо,0^152) ••• УLl-1,L2-l(Zl ,52) — Уо.о^^)

УLl-1,L2-1(z1,s1)

кL1 — 1,L2 — 1(s1)

ко,0(52)

0 (1.2)

\кL1-1,L2-1(s2) у

Если условия теоремы о слепой идентифицируемости [1,61] выполняются, то матрица Yl—1 ,52) имеет ранг 2Ь1Ь2 — 1.

При отсутствии шума в уравнении (2) явное решение однородной системы уравнений (1.2) может быть получено, если хотя бы один из ее миноров Mг(z1,...,z2L1L2—1,s1,s2),i = 1,...,2Ь1Ь2 - номер столбца, с рангом 2Ь1Ь2 — 1 не равен нулю. Пусть этому условию удовлетворяет M2L1 ь2^1,...^2ь1ь2—1^152) , тогда положив значение полинома к2ь1ь2—1(52) произвольным мы сможем записать невырожденную систему из 2Ь1Ь2 — 1 линейных уравнений с коэффициентами над полем комплексных чисел С:

Ь1 — 1 Ь2 — 1 Ь1 — 1 Ь2 — 1

У1ь12 52)кк,12 Ы — ^ У^ 1^2 51)кк,12 М

/1=0 12 =0

/1=0 /2=0

Уь1 — 1,Ь2 — 1(^ 51)кЬ1 — 1,Ь2 — 1(52), (1.3)

где 3 = 1,...,2Ь1Ь2 — 1, ¡1 = — 1 ¡2 = и — 1.

Решая (1.3) методом Крамера, получаем общее решение в виде:

1 2 м2ьь (х1,--.,х2Ь1Ь2-1,81,82)

и (в )_( 1)Ь1^2-/1 -12 МЬА+/ ^Ь-^ЬЬ-1,81,82) и , ) (1.4)

икМ (52) _ (-1) -Ы-71-:-ТТГиЬ1-1,Ь2-1(82), 4 у

М2Ь1Ь2 (х1,--.,х2Ь1Ь2-1,81 ,82)

¿1 _ Ь1 - 1,ИДИ ¡2 _ Ь2 - 1,1 _ ¿1 + ¡2^1

Поскольку значение полинома кЬъЬ2-1(в2) произвольно, положим

2Ь Ь

его равным (-1) 1 2 М2Ь1Ь2 (х1,...,х2Ь-1,б1 ,82); решение системы уравнений (1.3) с точностью до постоянного комплексного множителя будет иметь вид:

^к (51) _ (-1)1 М (Х1 ,...,Х2Ь1Ь2-1,51,52) , (1 5)

Ыъ12 (82) _ ( —1)Ь1 Ь2+1 МЬ1Ь2+1 (х1,...Х2Ь1Ь2 — 1,81,82) ,

где I _ 0,...,Ь1Ь2 - 1.

Для (1.5) необходимо вычислить только Ь1Ь2 миноров, что следует из структуры матрицы (1.2):

М2Ь1Ь2-1 (¿Ъ...Х2Ь1Ь2-Ъ5152) _ (-1)ЬЬ М/ (х1,..,х2ь1ь2-18281) (1.6)

Таким образом мы нашли значения неизвестных полиномов и0,0 (5) ,..,нь1-1ь2-1 (5) в точках 81 и 82. Если М _ 2, этого достаточно для оценки всех отсчетов неизвестного векторного канала:

и(1) _ 82и1ик (51) - в1и11,12 (52) и(2) _ икМ М - кик (51) (1 7)

где ¡1 _ 0,...,Ь1 - 1, ¡2 _ 0,...,Ь2 - 1

Для нахождения решения в случае произвольного числа каналов необходимо неизвестные значения представить как вектор h (в1,...,8м) _

т

(Цо (§1) -1,12-1 («1),......,^0,0 (вы) ,...,Нь1-1,ь2-1 (вы)) • Тогда система

линейных уравнений может быть, в матричном виде, записана как:

Y (Z!,...,Zr ,Sh...,SM ) =

^Yx (Zi,...,Zr,S1,S2) 0 ^

у 0 Yi (zi,---,zr,SM-i,SM)J

x h (S1,...,SM) = 0 (1.8)

где: Y (г1,...,гг,в1,...,вы) матрица размером (М — 1) г х Ь1Ь2М и рангом (МЬ1Ь2 — 1). г, выбирается из условия (М — 1) • г > Ь1Ь2 • М — 1.

Общее решение для отсчетов ИХ может быть найдено с использованием интерполяционной формулы Лагранжа:

M

ЬкМ (в) = ^ ^2 в) Ь*(в) (1.9)

%=1

где Ь{ (в) - полиномы Лагранжа которые могут быть записаны как:

и (*) = Дтц=Д5 S,) (1.10)

j--

iw*=(Si - Sj)

Таким образом при отсутствии шума алгоритмом слепой идентификации двумерного векторного канала является вычисление базиса нуль-пространства матрицы Y(zx,...,zr,s1,..,sm). Этот алгоритм является двумерным обобщением алгоритма нулевого подпространства (АНП) [1]. Наличие единственного решения этой задачи, то есть единственность нулевого собственного числа и соответствующего ему единственного, с точностью до комплексной константы, собственного вектора обеспечивает соблюдение условий теоремы слепой идентифицируемости, означающее строгое равенство rank (Y (zx,...,zr,sx,...,sM)) = MLxL2 — 1.

В присутствии аддитивного шума во входном сигнале Y(zi,...,zr,si,...,sm) = Y(zi,...,zr,S1,...,SM) + V(zi,...,zr,S1,...,SM) приводит к тому что rank ^Y(z1,...,zr,s1,...,smможет быть равен ML1L2 или быть меньше (ML1L2 — 1). Соответственно нуль пространство матрицы может

состоять только из нулевого вектора или же содержать несколько базовых векторов что делает задачу слепой идентификации нерешаемой или не имеющей однозначного решения.

В этом случае, как и в [1] можно можно использовать метод наименьших квадратов, то есть, в качестве решения задачи в случае rank (Y(zi,...,zr,si,...,sm)) = MLiL2 использовать собственный вектор соответствующий минимальному по модулю собственному числу матрицы Y* (zi,...,zr,si,...,sm) Y(zi,...,zr,si,...,sm):

h(si,...,SM ) = arg min

||h(sb...,sM )|| = i

(h

(S1,...,SM)* Y (zi,...,zr,Si,...,SM) Y(zb...,zr ,si ,...,SM) h (si,...,sm )

)

(1.11)

Единственное решение задачи (1.11) будет минимизировать функ-

ционал

Y(zi,...,zr,Si,...,SM) ll(Si,...,SM)

при ограничении нормы

h(si,...,SM) =1.

2

Однако из-за произвольного, при описанной интерпретации, выбора числа строк в матрице Y(zir..,zr,si,...,sm) их число может быть выбрано строго равным (LiL2M — 1). В таком случае неравенство rank (Yz,...,zr',si,...,sm)) < MLiL2 — 1 выполняется за счет линейной

независимости строк. Учитывая что г = (Ь\Ь2М — 1) / (М — 1) является целым числом только в частных случаях г выбирается как наибольшее целое, удовлетворяющее условию (М — 2) • г + г' = Ь\Ь2М — 1. Тогда:

Y(zb...,zr' ,Si,...,SM ) =

/

V

Yi (zi,...,zr ,Si ,S2)

0

0

Yi (zi,...,zr',SM— i,SM) j

(1.12)

Это делает возможным находить решение проблемы двумерной векторной слепой идентификации в условиях аддитивного шума при помощи алгоритмов точного решения однородной системы линейных уравнений.

2

2

Поскольку нуль-пространство матриц Y (z1,...,zr' ,s1,...,sm ) и Y* (z1,...,zr',s1,..,sm) Y (z1,...,zr',s1,..,sm) совпадает, полученное по формулам (1.5) решение является так же решением вариационной задачи (1.11) с точностью до комплексного множителя и является нормальным псевдорешением системы уравнений (1.8). В этом случае заметим что в присутвии шума rank ^Y (z1,...,zr,s1,...,sm= ML1L2 — 1 с вероятностью P ^ 1. Это следует из того, что значение определителя случайной матрицы непрерывно зависит от ее случайных элементов, имеет плотность и принимает нулевые значения с вероятностью P ^ 0. Тогда решение с точностью до константы может быть получено в виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Березовский Андрей Андреевич, 2016 год

Список литературы

1. Goryachkin O. V. Metody slepoj obrabotki signalov i ih prilozhenija v sis-temah radiotehniki i svjazi. — Moscow: Radio i svjaz, 2003.

2. Understanding and evaluating blind deconvolution algorithms / A. Levin, Yael Weiss, Frederic Durand, William T. Freeman // Computer Vision and Pattern Recognition, 2009. CVPR 2009. IEEE Conference on. — IEEE, 2009.

— jun. — Pp. 1964-1971. http://dx.doi.org/10.1109/cvpr.2009. 5206815.

3. Lane R. G., Bates R. H. T. Automatic multidimensional deconvolution // Journal of the Optical Society of America A. — 1987. — jan. — Vol. 4, no. 1.

— Pp. 180+.http://dx.doi.org/10.1364/josaa.4.000180.

4. Восстановление многомерных сигналов по амплитудному спектру / ВП Бакалов, ОВ Киреенко, ЮЮ Мартюшев, ОИ Матвеева // Зарубежная радиоэлектроника. — 1994. — no. 2. — Pp. 31-37.

5. Levin Anat. Blind motion deblurring using image statistics // Advances in Neural Information Processing Systems. — 2006. — Pp. 841-848.

6. Removing camera shake from a single photograph / Rob Fergus, Barun Singh, Aaron Hertzmann et al. // ACM Transactions on Graphics (TOG). — 2006. — Vol. 25, no. 3. — Pp. 787-794.

7. Shan Qi, Jia Jiaya, Agarwala Aseem. High-quality motion deblurring from a single image //ACM Transactions on Graphics (TOG) / ACM. — Vol. 27. — 2008. — P. 73.

8. Blind motion deblurring from a single image using sparse approximation / Jian-Feng Cai, Hui Ji, Chaoqiang Liu, Zuowei Shen // Computer Vision and Pattern Recognition, 2009. CVPR 2009. IEEE Conference on/IEEE. — 2009.

— Pp. 104-111.

9. Gurelli Mehmet I., Nikias Chrysostomos L. EVAM: an eigenvector-based algorithm for multichannel blind deconvolution of input colored signals // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 1995. — jan. — Vol. 43, no. 1. — Pp. 134-149. http://dx.doi.org/10.1109/78.365293.

10. Harikumar Gopal, Bresler Yoram. Perfect blind restoration of images blurred by multiple filters: theory and efficient algorithms // Image Processing, IEEE Transactions on. — 1999. — feb. — Vol. 8, no. 2. — Pp. 202-219. http: //dx.doi.org/10.1109/83.743855.

11. Multichannel blind deconvolution of the short-exposure astronomical images / Filip Sroubek, Jan Flusser, Tomaa Suk, Stanislava Simberova // Pattern Recognition, 2000. Proceedings. 15th International Conference on. — Vol. 3. — IEEE, 2000. — Pp. 49-52 vol.3. http://dx.doi.org/10. 1109/icpr.2000.903484.

12. Hua Y. Fast maximum likelihood for blind identification of blind identification of multiple FIR channels // IEEE Transactions on Signal Processing.

— 1996. — mar. — Vol. 44. — Pp. 661-672.

13. Sroubek Filip, Flusser Jan. Multichannel blind iterative image restoration// Image Processing, IEEE Transactions on. — 2003. — Vol. 12, no. 9. — Pp. 1094-1106. http://dx.doi.org/10.1109/tip.2003.815260.

14. Katkovnik V., PaliyD. Frequency domain blind deconvolution in multiframe imaging using anisotropic spatially-adaptive denoising. — Proceedings of EUSIPCO. — 2006.

15. The Terahertz Wave eBook. — 2012. — jun. http://dl.z-thz.com/ eBook/zomega_ebook_pdf_1206_sr.pdf.

16. Kemp M. C. Explosives Detection by Terahertz Spectroscopy — A Bridge Too Far? // Terahertz Science and Technology, IEEE Transactions on. — 2011.

— Vol. 1, no. 1. — Pp. 282-292. http://dx.doi.org/10.1109/tthz. 2011.2159647.

17. Existing and Potential Standoff Explosives Detection Techniques (Board on Chemical Sciences and Tech./Division on Earth and L) / Committee on the Review of Existing, Potential Standoff Explosives Detection Techniques, Board on Chemical Sciences et al. — National Academies Press, 2004. — may. http://www.worldcat.org/isbn/0309091306.

18. Security applications of terahertz technology / Michael C. Kemp, P. F. Ta-day, Bryan E. Cole et al. // AeroSense 2003. — Vol. 5070. — The International Society for Optical Engineering., 2003. — aug. — Pp. 44-52. http://dx.doi.org/10.1117/12.500491.

19. Hidden object detection: security applications of terahertz technology / William R. Tribe, David A. Newnham, Philip F. Taday, Michael C. Kemp.

— Vol. 5354. — 2004. — Pp. 168-176. http://dx.doi.org/10.1117/ 12.543049.

20. Through container THz sensing: applications for explosives screening / D. J. Cook, B. K. Decker, G. Maislin, M. G. Allen // Terahertz and Gigahertz Electronics and Photonics III / Ed. by R. J. Hwu. — Vol. 5354 of Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE) Conference Series. — 2004.

— apr. — Pp. 55-62. http://dx.doi.org/10.1117/12.525466.

21. McLeod Robert R., Wagner Kelvin H. Vector Fourier optics of anisotropic materials // Opt. Express. — 2015. — Vol. 23, no. 9. — Pp. 11250-11263. http://dx.doi.org/.

22. Absorption coefficients of selected explosives and related compounds in the range of 0.1-2.8 THz / Jian Chen, Yunqing Chen, Hongwei Zhao et al. // Opt. Express. — 2007. — Vol. 15, no. 19. — Pp. 12060-12067. http://dx. doi.org/10.1364/oe.15.012060.

23. Terahertz spectroscopy of explosives and drugs / A. Giles Davies, Andrew D. Burnett, Wenhui Fan et al. // Materials Today. — 2008. — mar.

— Vol. 11, no. 3. — Pp. 18-26. http://dx.doi.org/10.1016/ s1369-7021(08)70016-6.

24. Terahertz wave reference-free phase imaging for identification of explosives / LiangLiang Zhang, Hua Zhong, Chao Deng et al. // Applied Physics Letters. - 2008. - mar. - Vol. 92, no. 9. - Pp. 091117-091117-3. http://dx.doi.org/10.1063Z1.2891082.

25. A high signal-to-noise ratio, coherent, frequency-domain THz spectrometer employed to characterize explosive compounds / J. R. Demers, R. T. Logan, N. J. Bergeron, E. R. Brown // Infrared, Millimeter and Terahertz Waves, 2008. IRMMW-THz 2008. 33rd International Conference on. -IEEE, 2008. - Pp. 1-3.http://dx.doi.org/10.1109/icimw.2008. 4665534.

26. Terahertz absorption spectrum of triacetone triperoxide (TATP) / John Wilkinson, Christopher T. Konek, Jesse S. Moran et al. // Chemical Physics Letters. - 2009. - aug. - Vol. 478, no. 4-6. - Pp. 172-174. http://dx.doi.org/10.1016/j.cplett.2009.07.079.

27. Trzcinski T., Palka N., Szustakowski M. THz spectroscopy of explosive-related simulants and oxidizers// Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences. - 2011. - jan. - Vol. 59, no. 4. - Pp. 445-447. http://dx.doi.org/10.2478/v10175-011-0056-4.

28. Palka Norbert. Identification of concealed materials, including explosives, by terahertz reflection spectroscopy // Optical Engineering. - 2013. -Vol. 53, no. 3. - P. 031202. http://dx.doi.org/10.1117/1.oe.53. 3.031202.

29. Experimental Explosive Characterization for Counterterrorist Investigation / D. Etayo, I. Maestrojuan, J. Teniente et al. - 2013. -Vol. 34, no. 7-8. - Pp. 468-479. http://dx.doi.org/10.1007/ s10762-013-9988-0.

30. RyniecR., PiszczekM., SzustakowskiM. Spectral sampling method for identification explosives // Infrared Millimeter and Terahertz Waves (IRMMW-THz), 2010 35th International Conference on. - IEEE, 2010. - Pp. 1-2. http://dx.doi.org/10.1109/icimw.2010.5612444.

31. Березовский. Идентификация функции размытия точки в задаче обнаружения сигнатур химических веществ в терагерцевом диапазоне//Инфокоммуникационные технологии. — 2015. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 196-205.

32. Berezovskiy Andrey A., Goryachkin Oleg V. Multichannel image blind decon-volution algorithm//Proc. SPIE. — 2012. — Vol. 8410. — Pp. 84100J-84100J-4. http://dx.doi.org/10.1117/12.927392.

33. Davis P. J., Wadhams L., Bayliss J. S. Detection of odors using insects. — https://doc-00-bk-apps-viewer.googleusercontent.com/viewer/secure/pdf/3nb9bdfcv3e2h2k1cmql0ee9 8Xt1Is=?print=true. — 2007. — jul. — US Patent 7,237,504. https://www.google.ru/patents/US7237504.

34. Dubroca Thierry, Brown Gregory, Hummel Rolf E. Detection of explosives by differential hyperspectral imaging // Optical Engineering. — 2014. — Vol. 53, no. 2. — P. 021112. http://dx.doi.org/10.1117/1.oe.53. 2.021112.

35. BuryakovI. A. Detection of explosives by ion mobility spectrometry// Journal of Analytical Chemistry. — 2011. — aug. — Vol. 66, no. 8. — Pp. 674-694. http://dx.doi.org/10.1134/s1061934811080077.

36. U.S.. National Research Council, on Assessment of Security Technologies for Transportation. Opportunities to improve airport passenger screening with mass spectrometry. — 2004. http://www.worldcat.org/isbn/ 030909240.

37. Narrow gated Raman and luminescence of explosives / Y. Fleger, L. Nagli, M. Gaft, M. Rosenbluh // Journal of Luminescence. — 2009. — sep. — Vol. 129, no. 9. — Pp. 979-983. http://dx.doi.org/10.1016/j.jlumin. 2009.04.008.

38. Standoff Raman hyperspectral imaging detection of explosives / R. M. Wentworth, J. Neiss, M. P. Nelson, P. J. Treado // Antennas and

Propagation Society International Symposium, 2007 IEEE. — IEEE, 2007. - jun. — Pp. 4925-4928. http://dx.doi.org/10.1109/aps.2007. 4396649.

39. Hutchinson A. Bees vs Bombs. — www.popularmechanics.co.za/science/bees-vs-bombs/. — 2011. — aug. — Accessed:10 Jan 2015. http: //www.popularmechanics.co.za/science/bees-vs-bombs/.

40. Explosive detection system based on thermal neutron activation / T. Gozani, Peter Ryge, P. Shea et al. // Aerospace and Electronic Systems Magazine, IEEE. — 1989. — dec. — Vol. 4, no. 12. — Pp. 17-20. http: //dx.doi.org/10.1109/62.46985.

41. Prachi P. An Ultrasensitive Explosives Detector. — www.technologyreview.com/news/420882/an-ultrasensitive-explosives-detector/. — 2010. — sep. — Accessed:10 Jan 2015. http://www.technologyreview.com/news/420882/ an-ultrasensitive-explosives-detector/.

42. Bomb Dogs // worldwidecanine.com. — Accessed:10 Jan 2015. http:// www.worldwidecanine.com/expldetdogs_wwc.htm.

43. A dual X-ray backscatter system for detecting explosives: Image and discrimination of a suspicious content / A. S. Lalleman, G. Ferrand, B. Rosse et al. // Nuclear Science Symposium and Medical Imaging Conference (NSS/MIC), 2011 IEEE. — IEEE, 2011. — oct. — Pp. 299-304. http: //dx.doi.org/10.1109/nssmic.2011.6154503.

44. Counterterrorism 2014 Calendar. — National Counterterrorism Center, 2014. — Accessed:11 Jan 2015. https://books.google.ru/books? id=ATqmoAEACAAJ.

45. Supersensitive Detection of Explosives by Silicon Nanowire Arrays / Yoni Engel, Roey Elnathan, Alexander Pevzner et al. // Angewandte Chemie International Edition. — 2010. — sep. — Vol. 49, no. 38. — Pp. 6830-6835. http://dx.doi.org/10.1002/anie.201000847.

46. Dubroca Thierry, Vishwanathan Karthik, Hummel RolfE. The limit of detection for explosives in spectroscopic differential reflectometry. — Vol. 8018.

— 2011. — Pp. 80181L-80181L-7. http://dx.doi.org/10.1117/12. 884154.

47. New device uses sniffer bees to detect explosives. — http://www.homelandsecuritynewswire.com/new-device-uses-sniffer-bees-detect-explosives. — 2011. — apr. — Accessed:11 Jan 2015. http://www.homelandsecuritynewswire.com/ new-device-uses-sniffer-bees-detect-explosives# ,VLKICKc-00U.citeulike.

48. Березовский А. А., Горячкин О. В., Харитонова А. А. Применение двумерного алгоритма слепой идентификации в MIMO системе связи//Радиотехнические и телекоммуникационные системы. — 2013.

— no. 3. — Pp. 59-63.

49. Березовский А. А., Горячкин О. В., Харитонова А. А. Алгоритм слепой идентификации MIMO-канала с циклическим сдвигом информации// Инфокоммуникационные технологии. — 2012. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 1418.

50. Горячкин О. В., Березовский А. А. Слепая коррекция изображений в векторном канале с неизвестной импульсной характеристикой // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С. П. Королева. — 2011. — no. 7. — Pp. 149-152.

51. Горячкин О. В., Векшин А. А. Слепая коррекция изображений в векторном канале с неизвестной импульсной характеристикой // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. — 2011. — no. 3.

— Pp. 56-59.

52. Berezovskiy Andrey, Goriachkin Oleg. Two-dimensional null subspace algorithm applied for blind optical images deconvolution//Proc. SPIE. — 2016.

— Vol. 9807. — Pp. 98070T-98070T-7. http://dx.doi.org/10.1117/ 12.2230902.

53. Goriachkin O. V., Berezovskiy A. A. Exact solution of the two-dimensional multichannel blind deconvolution problem applied to the identification of MIMO system with spatial-time code// Proceedings of the 19th World MultiConference on Systemics, Cybernetics and Informatics. — 2015. — jul.

54. Бакалов ВП, Русских НП. О возможности решения уравнения свертки при неизвестном ядре в случае многомерных пространственно ограниченных сигналов// Автометрия. — 1985.— no. 5. — Pp. 9295.

55. Бакалов ВП, Мартюшев ЮЮ, Русских НП. Цифровой алгоритм восстановления пространственно-ограниченного сигнала по свертке с неизвестной искажающей функцией//Автометрия. — 1988. — no. 1.

— Pp. 101-103.

56. Бакалов ВП. Уравнения оптимальной оценки пространственно-ограниченных многомерных сигналов при совместном действии мультипликативных и аддитивных помех // Автометрия. — 1990. — no. 3. — P. 65.

57. CampisiPatrizio, Egiazarian Karen. Blind image deconvolution: theory and applications. — CRC press, 2007.

58. Savakis A. E., Trussell H. J. On the accuracy of PSF representation in image restoration // Image Processing, IEEE Transactions on. — 1993. — apr.

— Vol. 2, no. 2. — Pp. 252-259. http://dx.doi.org/10.1109/83. 217229.

59. Souidene W, Abed-Meraim K, BeghdadiA. Deterministic techniques for multichannel blind image deconvolution// mh. — 2005. — Vol. 1. — P. 1.

60. Березовский А. А., Горячкин О. В., Харитонова А. А. Алгоритм слепой идентификации MIMO-канала с циклическим сдвигом информации// Инфокоммуникационные технологии. — 2012. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 1418.

61. TongLang, Perreau Sylvie. Multichannel blind identification: from subspace to maximum likelihood methods // Proceedings of the IEEE. — 1998. — oct.

- Vol. 86, no. 10.— Pp. 1951-1968. http://dx.doi.org/10.1109/ 5.720247.

62. Multi-channel terahertz grating spectrometer with quantum-cascade laser and microbolometer array/R Eichholz, H Richter, SG Pavlov et al. //Applied Physics Letters. — 2011. — Vol. 99, no. 14. — P. 141112.

63. Super-resolution spectroscopy by compact representation / Pavel Sidorenko, Eli Osherovich, Yoav Shechtman et al. // Frontiers in Optics / Optical Society of America. — 2012. — Pp. FM3F-5.

64. THz Imaging Radar for Standoff Personnel Screening / K. B. Cooper, R. J. Dengler, N. Llombart et al. // Terahertz Science and Technology, IEEE Transactions on. — 2011. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 169-182. http://dx. doi.org/10.1109/tthz.2011.2159556.

65. Passive stand-off terahertz imaging with 1 hertz frame rate / T. May, G. Zieger, S. Anders et al. — Vol. 6949. — 2008. — Pp. 69490C-69490C-8. http://dx.doi.org/10.1117/12.777952.

66. Hecht E. Optics. — Addison-Wesley, 2002. http://books.google.ru/ books?id=7aG6QgAACAAJ.

67. Bohren Craig F., Huffman Donald R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles / Ed. by Craig F. Bohren, Donald R. Huffman. — Weinheim, Germany: Wiley-VCH Verlag GmbH, 1998. — apr. http://dx.doi.org/ 10.1002/9783527618156.

68. Lee Hsien-Che. Review of image-blur models in a photographic system using the principles of optics// Optical Engineering. — 1990. — Vol. 29, no. 5.

— Pp. 405-421. http://dx.doi.org/10.1117/12.55609.

69. Jenkins Francis A., White Harvey E., Jenkins Francis A. Fundamentals of optics. — McGraw-Hill, 1976. http://www.worldcat.org/isbn/ 0070323305.

70. Hopkins H. H. The Frequency Response of a Defocused Optical System // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1955. - jul. - Vol. 231, no. 1184. - Pp. 91-103. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1955.0158.

71. Stokseth Per A. Properties of a Defocused Optical System// J. Opt. Soc. Am. - 1969. - oct. - Vol. 59, no. 10. - Pp. 1314-1321. http://dx.doi. org/10.1364/josa.59.001314.

72. Kurup Pradeep U. An Electronic Nose for Detecting Hazardous Chemicals and Explosives // Technologies for Homeland Security, 2008 IEEE Conference on. - IEEE, 2008. - may. - Pp. 144-149. http://dx.doi.org/ 10.1109/ths.2008.4534439.

73. ShreedharA. J., Rukmini T. S., Mahesh H. M. Space time block coding for MIMO systems using alamouti method with digital modulation techniques // World Journal of Science and Technology. - 2011. - Vol. No1(8). - Pp. 125132.

74. Su Karen. Tech. Rep.: : Trinity Hall, 2003. - sep.

75. Alamouti Siavash M. A simple transmit diversity technique for wireless communications // Selected Areas in Communications, IEEE Journal on. -1998.-oct. - Vol. 16, no. 8.- Pp. 1451-1458. http://dx.doi.org/ 10.1109/49.730453.

76. Zhou Shengli, Giannakis Georgios B. Single-carrier space-time block-coded transmissions over frequency-selective fading channels// Information Theory, IEEE Transactions on. - 2003. - jan. - Vol. 49, no. 1. - Pp. 164-179. http://dx.doi.org/10.1109/tit.2002.806158.

77. Tugnait Jitendra K., Huang Bin. Multistep linear predictors-based blind identification and equalization of multiple-input multiple-output channels// Signal Processing, IEEE Transactions on. - 2000. - jan. - Vol. 48, no. 1. - Pp. 26-38. http://dx.doi.org/10.1109/78.815476.

78. Rahbar Kamran, Reilly James P., Manton Jonathan H. Blind identification of MIMO FIR systems driven by quasistationary sources using second-order statistics: a frequency domain approach // Signal Processing, IEEE Transactions on. - 2004. - feb. - Vol. 52, no. 2. - Pp. 406-417. http: //dx.doi.org/10.1109/tsp.2003.820988.

Список рисунков

1 Распределение пиков поглощения по диапазону частот..... 7

1.1 Классификация алгоритмов слепой идентификации по объему необходимой априорной информации............... 13

1.2 Пример работы алгоритма 1.2. (а): истинное изображение х; (Ь)-^): искаженные изображения у\х¿2,у2¿2,у31,^, полученные линейной двумерной сверткой изображения х с тремя случайными ФРТ размером 4 на 8; (е)-(Г): изображения, восстановленные 40 и 120 итерациями алгоритма Люси-Ричардсона с использованием слепых оценок, полученных алгоритмом 1.2;

изображения, восстановленные 40 и 120 итерациями алгоритма Люси-Ричардсона с использованием истинных ФРТ 23

1.3 Результат моделирования ...................... 24

1.4 Пример работы алгоритма 1.2. (а)-(Ь): фотографии Луны у1, ¿2 ,у3,ь, полученные при помощи любительского телескопа; изображение, восстановленные 10 итерациями алгоритма Люси-Ричардсона с использованием слепых оценок, полученных алгоритмом 1.2; .................... 25

1.5 Пример работы алгоритма 1.3. Первые три столбца: искаженные в трех каналах изображения у^¿2 ,у2,ь ,у31,¿2; четвертый столбец: результаты работы алгоритма [14]; пятый столбец: результаты работы алгоритма 1.3; уровень аддитивного шума возрастает от первой строки к последней ................. 26

2.1 Терагерцевый монохроматор [62]....................................27

2.2 FTIR спектрометр [63]..................................................28

2.3 Спектрометр временного разрешения [23]..........................29

2.4 Спектр поглощения тринитротолуола [22]............................30

2.5 Регистрация изображения наблюдаемого образца ................30

2.6 Радиус размытия ........................................................31

2.7 Геометрические ФРТ h1 и h2 для образца S1, рассчитанные для двух различных расстояний линзы до матрицы v1 (/0) = 36.5 мм

(a) и v2(/0) = 53 мм (b), соотвественно................ 34

2.8 Характеристика величины размытия А(Л) для двух различных расстояний между изображением и матрицей .......... 35

2.9 Спектр поглощения тринитротолуола [22], использовавшийся при моделировании .......................... 36

2.10Физические ФРТ h1 и h2 для образца S1, рассчитанные для двух различных расстояний линзы до матрицы v1 (/0) = 36.5 мм (a) и

v2(/0) = 53 мм (b), соотвественно................... 37

2.11Физические ФРТ как функции расстояния от центра размытия для образцов S1 (синий цвет) и S2 (зеленый цвет) при расстояниях линзы до матрицы 89, 116 и 140.5 мм - (a):h1, h2, (b):h2, h2

(c):h?, h2................................. 38

2.12Усредненные физические ФРТ для образца S1 (верхний ряд) -(a):h1, (b):hf, (c):h?; ФРТ для образца S2 (нижний ряд) - (d):h£,

(e):h2, (f):h|................................ 40

2.14Зависимость нормированного среднего квадрата ошибки от

соотношения сигнал-шум - o: алгоритм 1.3; x: алгоритм 1.2 . . 42 2.13Исходные данные и результаты моделирования обнаружения образца. (a): изображение xx для которого применялись ФРТ с рис. 2.12; (b)-(d): искаженные изображения, полученные линейной двумерной сверткой изображения xx с ФРТ h\; (e)-(g): искаженные изображения для ядер h2; (h): рабочая характеристика приемника, полученная в результате моделирования . . 45 2.15Результаты слепой идентификации на плоскости принципиальных компонент. * - слепые оценки ФРТ, полученные из искаженных изображений 2.13(b), 2.13(c), 2.13(d); o - слепые оценки ФРТ, полученные из изображений, искаженных расчетной для тринитротолуола функцией размытия 2.13(e), 2.13(f),2.13(g) ............................. 46

3.1 Модель MIMO системы с L2 передающими и M приемными антеннами ................................. 49

3.2 Средние вероятности ошибок для кода Аламоути (о), пространственно-временного кода 3.5 (Л), разнесенного приема (★)................................ 51

3.3 Зависимость среднего квадрата ошибки оценки М1МО-канала

от соотношения сигнал-шум ..................... 53

Приложение A

Программная реализация моделирования искажений и идентификации терагерцевых изображений

A.1 Библиотека функций, использованная при моделировании

Функции, использованные при моделировании искажений и идентификации ФРТ терагерцевых изображений а также при идентификации химического вещества по ФРТ реализованы в виде модуля языка Python. Ниже приведен исходный код модуля с комментариями:

1 #coding: UTF-8

2 #Generation the PSF's from the signature taking in t o the accaunt blur on the each frequency

3 from conf_thzspy import *

4

5 def signature_OCR(filename='TNT_Chen_line',bounds=ar ray(([0,47],[0,3])),p=plot1): #X bound in THz

6 from impy import imread

7 path='signatures/%(filename)s.png' %{'filename': filename}

8 s=imread(path)[:,:,3]

9 s1=zeros(size(s,1))

10 for i in range(size(s,1)):

11 s1[i]=size(s,0)-1-argmax(s[:,i])

12 s1=bounds[0,1]*(s1/max(s1))

13 ax_x=r_[bounds[1,0]:bounds[1,1]:1j*size(s,1)]

14 if p:

15 import matplotlib.pyplot as plt

16 plt.plot(ax_x,s1)

17 plt.xlabel('f, THz')

18 plt.ylabel('$a(cmA{-1})$')

19 plt.rc('xtick', labelsize=20)

20 plt.rc('ytick', labelsize=20)

21 plt.legend()

22 figname='signatures/%(filename)s.eps' %{'file name':filename}

23 plt.savefig(figname)

24 return ax_x*10**12,s1 #result returned in Hz

25

26 sign_ax_x,sign_ax_y=signature_OCR()

27 absorption=interp1d(sign_ax_x,sign_ax_y)

28 signature=lambda freq: exp(-absorption(freq)) #In th e meaning of the intensity attenuation in a.u.

29

30 def focal_len(lmbd):

31 return R1/(a+b/lmbd**2-1)

32

33 def lens_to_image(lmbd):

34 return u*focal_len(lmbd)/(u-focal_len(lmbd))

35

36 def H(lmbd,lmbd2,u):

37 return (4/pi)*quad(lambda x,lmbd1,lmbd2:sqrt (1+0j-x**2)*cos(2*pi*u*delta(lmbd1,lmbd2)*(x-u)) ,u,1,args=( lmbd,lmbd2))[0]

38

39 def H_sin(lmbd,lmbd2,u):

40 return signature(c/lmbd)*H(lmbd,lmbd2,u)

41

42 def out_of_focus(lmbd,lmbd2):

43 return lens_to_image(lmbd) -lens_to_image (lmbd2)

44

45 def delta(lmbd,lmbd2):

46 return (4/lmbd)*(R/2)**2*out_of_focus(lmbd,l mbd2)/(2*focal_len(lmbd)*(focal_len(lmbd)+out_of_focus(lmbd, lmbd2))) #Savakis93 (16)

47

48 def h(lmbd,lmbd2,r):

49 return 2*pi*quad(lambda u:u*jv(0,2*pi*u*(r/( lmbd*focal_len(lmbd)/R)))*H(lmbd,lmbd2,u),0,Inf)[0]

51 def h_sin(lmbd,lmbd2,r):

52 return signature(c/lmbd)*h(lmbd,lmbd2,r)

53

54 def uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R):

55 """Uniform blur diameter inside the circle i s returned. For the system with given lens diameter R, with is focused on the some wavelench lmbd2"""

56 if (lmbd2-lmbd).all():

57 return abs(((a+b/lmbd**2-1)*(u/R1-(a+b/lm bd**2-1)**-1))/((a+b/lmbd2**2-1)*(u/R1-(a+b/lmbd2**2-1)**-1) )-1)*R #R is *diameter* still and this provide blur *diamete r* too.

58 else:

59 print 'ERROR OF ZERO RADIUS!'

60 return 'Error!'

61

62

63 circulus = lambda lmbd,lmbd2,y,x:(1/(2*pi*(u niform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)**2))*(sign(uniform _blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2-sqrt(x**2+y**2))+sign(uni form_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2+sqrt(x**2+y**2)))

64 circulus_sin = lambda lmbd,lmbd2,y,x:signature(c /lmbd)*circulus(lmbd,lmbd2,y,x)

65

66 circulus_r = lambda lmbd,lmbd2,r:(1/(2*pi*(uni form_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)**2))*(sign(uniform_b lur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2-r)+sign(uniform_blur_diamet er(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2+r))

67 circulus_sin_r = lambda lmbd,lmbd2,r:signature(c/l mbd)*circulus_r(lmbd,lmbd2,r)

68

69 PSF_1value_R = lambda r,f,lmbd1,lmbd3,lmbd2:quad (f, lmbd1,lmbd3,args=(lmbd2,r))

70

71 AD_sin_r = lambda lmbd,lmbd2,r,RV:signature(c/lmbd )*AD_r(lmbd,r)

72

73 def psf_integration(PSF_sample_rate=PSF_sample_rate)

74 #Sin signature before Plank's formula, absorptio n of the lens and atmosphere absorption application:

75

76

77

78

79

80 81 82

83

84

85

86

87

88

for lmbd2 in PSF_sample_rate: print lmbd2

if integration_r or integration_s: #Prealocationg

if integration_r or integration_s: PSF1_RV=zeros([size(RV)]) PSF1_RV_error=zeros([size(RV)]) PSF2_RV_error=zeros([size(RV)]) PSF2_RV=zeros([size(RV)])

if integration_r: for r in RV: if PHY:

PSF1_RV[RV.tolist().index(r)], PSF1_RV_error[RV.tolist().index(r)]=PSF_1value_R(r,h_sin,lmb d1,lmbd3,lmbd2) #phisycal model

89 PSF2_RV[RV.tolist().index(r)], PSF2_RV_error[RV.tolist().index(r)]=PSF_1value_R(r,h ,lmb d1,lmbd3,lmbd2) #Need to find volume of each PSF'n in the se t of the lmbd's

90 else:

91 PSF1_RV[RV.tolist().index(r)], PSF1_RV_error[RV.tolist().index(r)]=PSF_1value_R(r,circulus_ sin_r,lmbd1,lmbd3,lmbd2) #Geometrical model

92 PSF2_RV[RV.tolist().index(r)], PSF2_RV_error[RV.tolist().index(r)]=PSF_1value_R(r,circulus_ r ,lmbd1,lmbd3,lmbd2) #Need to find volume of each PSF'n in the set of the lmbd's

93

94 if RV.tolist().index(r)/100>(RV.to list().index(r)-1)/100:

95

().index(r)

96

97

98

99

g,int_const.imag])

print 'RV value N:%s'%RV.tolist

if integration_s: if PHY:

lmbds=r_[lmbd1:lmbd3:int_const] #h_d =zeros([number_of_lmbds.ima

100 #h_d_sin=zeros([number_of_lmbds.ima g,int_const.imag])

101 h_d =load('./output/h_%s.npy'%in t(lmbd2*1e6))[0:number_of_lmbds.imag]

102 h_d_sin=load('./output/h_sin_%s.npy '%int(lmbd2*1e6))[0:number_of_lmbds.imag]

103 #for j,r in enumerate(RV):

104 # if RV.tolist().index(r)/10>(RV .tolist().index(r)-1)/10:

105 # list().index(r)

print 'RV value N:0/os'0/oRV.to

106

# for i,lmbd in enumerate(lmbds)

107

r)

108 bd2,r)

109

110 111 112

113

114

#

#

h_d[j,i] =h(lmbd,lmbd2, h_d_sin[j,i]=h_sin(lmbd,lm

PSF1_RV=sum(h_d,1) #Integration PSF2_RV=sum(h_d_sin,1)

#for i in lmbds: #PSF's projection #

h_d[:,i] =h_d[:,i].real h_d_sin[:,i]=h_d_sin[:,i].rea h_d[:,i] =h_d[:,i] /sum h_d_sin[:,i]=h_d_sin[:,i]/sum

*double(h_d[:,i] >0)

115 # l*double(h_d_sin[:,i]>0)

116 # (h_d[:,i])

117 # (h_d_sin[:,i])

118

119

120 else:

121 for r in RV:

122 PSF1_RV[RV.tolist().index(r)]=s um(circulus_sin_r(r_[lmbd1:lmbd3:number_of_lmbds],lmbd2,r)) #Geometrical model

123 PSF2_RV[RV.tolist().index(r)]=s um(circulus_r (r_[lmbd1:lmbd3:number_of_lmbds],lmbd2,r)) #Geometrical model

125 if integration_r:

126 print 'PSF1_RV med integration error'

127 print sum(PSF1_RV_error/PSF1_RV_error. size)

128 print 'min & max'

129 print min2(PSF1_RV),max2(PSF1_RV)

130 print 'argmin & argmax'

131 print argmin(PSF1_RV),argmax(PSF1_RV)

132 print

133 print 'PSF2_RV med integration error'

134 print sum(PSF2_RV_error/PSF2_RV_error. size)

135 print 'min & max'

136 print min2(PSF2_RV),max2(PSF2_RV)

137 print 'argmin & argmax'

138 print argmin(PSF2_RV),argmax(PSF2_RV)

139

140 if integration_r or integration_s:

141 if PHY:

142 save('./output/PSF1R_PHY_%s'%int(lm bd2*1e6),PSF1_RV) #for signature 1 #for ph model

143 save('./output/PSF2R_PHY_%s'%int(lm bd2*1e6),PSF2_RV) #for signature 2

144 save('./output/RV_%s'%number_of_lmb ds_for_PSF,RV)

145 else:

146 if plot1:

147 PSF1_RV=PSF1_RV/sum(PSF1_RV)

148 PSF2_RV=PSF2_RV/sum(PSF2_RV)

149

150 plt.plot(1000*RV,PSF1_RV[:],'b' ,label='PSF1_RV(SIN(lamb))')

151 plt.plot(1000*RV,PSF2_RV[:],'g' ,label='PSF2_RV (flat sign)')

152 plt.ylim([0,max2(PSF2_RV)])

153 plt.xlabel('X of the spot, mm')

154 plt.ylabel('Normalized PSF')

155 plt.legend()

156 title='Integration over lambda

from %(lambda1)s to %(lambda3)s ' 00 {'lambda1':lmbd1*1e6,'la mbda3':lmbd3*1e6}

157 plt.title(title)

158 figname='./output/s_plot2r_%(nu mber_of_lmbds_for_PSF)s_%(lmbd2)s.png' % {'number_of_lmbds_f or_PSF':number_of_lmbds_for_PSF, 'lmbd2':int(lmbd2*1e6)}

159 plt.savefig(figname)

160 plt.close('all')

161

162 save('./output/PSF1R_%s'%int(lmbd2* 1e6),PSF1_RV) #for signature 1 #for geometrical model

163 save('./output/PSF2R_%s'%int(lmbd2* 1e6),PSF2_RV) #for signature 2

164 save('./output/RV_%s'%number_of_lmb ds_for_PSF,RV)

165

166 print 'THE END'

167 ##################

168

169 if plot2:

170 import matplotlib.pyplot as plt

171 import numpy as np

172

173 fig, ax = plt.subplots()

174

175 lmbd = r_[lmbd1:lmbd2:100j]

176 x = r_[-uniform_blur_diameter(lmbd1,a,b,lmbd 2,R)/2:uniform_blur_diameter(lmbd1,a,b,lmbd2,R)/2:number_of_ lmbds_for_PSF]

177

178 for t in range(100):

179 if t == 0:

180 points, = ax.plot(x, circulus(lmbd[t ],0,X) , marker='o', linestyle='None')

181 ax.set_xlim(-uniform_blur_diameter(l mbd1,a,b,lmbd2,R)/2,uniform_blur_diameter(lmbd1,a,b,lmbd2,R) /2)

182 ax.set_ylim(0, 0.100)

183 plt.pause(10)

184 else:

185 points.set_data(x, circulus(lmbd[t],

0.X))

186 plt.pause(0.01)

187

188 def plot0(): #PSF's vs wavelength

189 lmbd=r_[lmbd1:lmbd3:number_of_lmbds]

190 D05=zeros(size(lmbd))

191 AD=1.22*lmbd*(focal_len(lmbd)/R)

192 plt.plot(lmbd,AD,'b--',label='Auri Disk first null')

193

194 for i in range(size(lmbd)):

195 D05[i]=uniform_blur_diameter(lmbd[i],a,b, lmbd2,R)/2

196

197 plt.plot(lmbd,D05 ,'r--',label='Radius of uni form defocus circle')

198 plt.xlabel('Wavelength, m')

199 plt.ylabel('Size of defocus spot, m')

200 plt.legend()

201 plt.show()

202 lmbd_plot=lmbd

203 del lmbd

204

205 def debug_mode(d,n):

206 circulus_r_2 = lambda r,lmbd:(1/(2*pi*(un iform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)**2))*(sign(uniform_ blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2-r)+sign(uniform_blur_diame ter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2+r))

207 circulus_r_dv = lambda r,lmbd:r*(1/(2*pi*( uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)**2))*(sign(unifor m_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2-r)+sign(uniform_blur_dia meter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2+r))

208

209 def circulus_conv_AD_r_2(r,lmbd,RV): #y,x fro m Y,X

210 from scipy.signal import fftconvolve

211 uniform_blur=(1/(2*pi*(uniform_blur_di ameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)**2))*(sign(uniform_blur_diameter (lmbd,a,b,lmbd2,R)/2-RV)+sign(uniform_blur_diameter(lmbd,a,b

,lmbd2,R)/2+RV))

212 auri_blur=(1/volume_of_auri_disk(lmbd) )*(2*jv(1,RV*pi*R/(lmbd*focal_len(lmbd)))/(RV*pi*R/(lmbd*foc al_len(lmbd))))**2 #Airy 2D disk

213 return fftconvolve(uniform_blur,auri_b lur,'same')[RV.tolist().index(r)]#,auri_blur[RV.tolist().ind ex(r)],uniform_blur[RV.tolist().index(r)]

214 def circulus_conv_AD_integration(lmbd):

215 quad(circulus_conv_AD_r_2,-uniform_bl ur_diameter(lmbd1,a,b,lmbd2,R),uniform_blur_diameter(lmbd1,a ,b,lmbd2,R),args=(lmbd,RV))

216

217 #integration over r and PSF volume estiomatio

n

218 print 'PSF_2(flat) volume estimation over dif ferent lambdas'

219 print

220 for lmbd in r_[lmbd1:lmbd3:n]:#r_[lmbd1:lmbd3 :number_of_lmbds]:

221 print 'LAMBDA=', lmbd

222 print 'Focal len: ', focal_len(lmbd), 'm'

223 if d==1:

224 print 'Way I, Analyticaly obta ined formula'

225 print 'Volume of PSF=', pi*cir culus_r(lmbd,0.9*uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)* (uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)**2

226 print

227 print 'Way II, Integration for the numerical estimation folowing the Pappus-Guldinus theor

ems'

228 print 'Volume of PSF, Error'

229 print asarray(quad(circulus_r_ 2,0,uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2,args=(lmbd)))* pi*(uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)

230 print asarray(quad(circulus_r_ 2,0,uniform_blur_diameter(lmbd1,a,b,lmbd2,R)/2,args=(lmbd))) *pi*(uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2)

231 print asarray(quad(circulus_r_

2,0,inf,args=(lmbd)))*pi*(uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmb d2,R)/2)

232 print "-----------------------

55

233 print 'Way III, triple_integra tion in cylindrycal coordinate'

234 print 'Volume of PSF, Error'

235 print asarray(quad(circulus_r_ dv,0,uniform_blur_diameter(lmbd,a,b,lmbd2,R)/2,args=(lmbd))) *2*pi

236 print asarray(quad(circulus_r_ dv,0,uniform_blur_diameter(lmbd1,a,b,lmbd2,R)/2,args=(lmbd)) )*2*pi

237 print asarray(quad(circulus_r_ dv,0,inf,args=(lmbd)))*2*pi

238 print "-----------------------

55

239 print 'VOLUME OF AURI DISK:'

240 print volume_of_auri_disk(lmbd

)

241 print '####################### #######################################'

242

243 def get_xy(PSF_sample_rate=PSF_sample_rate,PSFsize=5

):

244 from scipy.io import savemat

245 from impy import imread,imwrite

246 from scipy.signal import fftconvolve