Численный метод расчета пологих оболочек на динамические воздействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Боброва Валерия Игоревна

• Боброва Валерия Игоревна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Боброва Валерия Игоревна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

1.1. Расчет пологих оболочек. Обзор литературы

1.2. Численные методы. Обзор литературы

1.2.1. МКЭ - Метод конечных элементов

1.2.2. МПА - Метод последовательных аппроксимаций

1.2.2.1. МПА в дифференциальной или интегральной форме

1.2.2.2. МПА в разностной форме

1.2.3. МКР - Метод конечных разностей

1.2.3.1. Обобщенные уравнения МКР

1.3. Выводы по Главе

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ МКР

2.1. Система разрешающих дифференциальных уравнений пологих оболочек30

2.2. Выполнение перехода к безразмерным величинам

2.3. Аппроксимация разрешающей системы дифференциальных уравнений с применением обобщенных уравнений МКР

2.4. Краевые условия

2.4.1. Варианты краевых условий для пологой оболочки

2.4.2. Приведение рассмотренных краевых условий пологой оболочки к безразмерному виду

2.4.3. Аппроксимация рассмотренных краевых условий

2.5. Выводы по Главе

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ МКР

3.1. Система разрешающих дифференциальных уравнений пологих оболочек при динамических воздействиях

3.2. Выполнение перехода к безразмерным величинам

3.3. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщенными уравнениями МКР

3.4. Учет краевых условий

3.5. Выводы по Главе

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММ ДЛЯ ЭВМ ПО РАСЧЕТУ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

4.1. Разработка алгоритма расчета пологих оболочек на статические нагрузки. Составление программы для ЭВМ

4.2. Разработка алгоритма расчета пологих оболочек на динамические нагрузки. Составление программы для ЭВМ

4.2.1. Об аппроксимации по времени

4.2.2. Разработка алгоритма расчета пологих оболочек на динамические нагрузки. Составление программы для ЭВМ

4.3. Примеры расчета пологих оболочек

4.3.1. Расчет пологих оболочек на статические воздействия

4.3.1.1. Пологая оболочка под действием локальной нагрузки

4.3.1.2. Построение поверхности влияния

4.3.2. Расчет пологих оболочек на динамические нагрузки

4.3.2.1. Пологая оболочка под действием равномерно распределенной

гармонической нагрузки

4.3.2.2. Пологая оболочка под действием локальной равномерно распределенной гармонической нагрузки

4.3.2.3. Пологая оболочка под действием полосовой гармонической нагрузки

4.4. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный метод расчета пологих оболочек на динамические воздействия»

ВВЕДЕНИЕ

Современные достижения науки и техники с каждым годом двигают строительную отрасль вперед. Появляются новые материалы, новые технологии возведения конструкций, воплощаются в жизнь самые смелые замыслы -возводятся уникальные с архитектурной и конструктивной точек зрения сооружения.

Заметной особенностью таких сооружений является перекрытие огромных пролетов без использования промежуточных опор. С этой точки зрения применение оболочечных конструкций становится наиболее эффективным. Легкие тонкостенные оболочки - достаточно прочные для восприятия климатических и технологических нагрузок - просты в монтаже, и их применение экономически выгодно. В практике строительного производства хорошо зарекомендовали себя и часто используются перекрытия в виде пологих железобетонных оболочек.

Теоретические основы расчета пологих оболочек зародились сравнительно недавно - в начале прошлого столетия. Изначально наука об оболочках развивалась как ответвление математических наук, поэтому к моменту, когда возникла идея применения пологих железобетонных оболочек в строительстве, был сформирован достаточно мощный расчетный аппарат.

Широкое использование этих конструкций в качестве большепролетных покрытий началось в тридцатые годы двадцатого века. Теория оболочек стала развиваться как отрасль технических наук. Были разработаны практические методы расчета, созданы упрощенные теории для удобства проектировщиков.

Однако проблема совершенствования методов расчета, создания новых более общих теорий, разработки способов быстрой и качественной оценки полученных результатов до сих пор привлекает внимание ученых, работающих в области строительной механики и механики твердого тела.

Поскольку не секрет, что тематика решения задач прочности, устойчивости и динамики конструкций оболочечного вида в рамках теории типа Кирхгофа-Лява, по большей части, исчерпана, основное внимание сейчас уделяется вопросам уточнения существующих методов. Как правило, действия исследователей направлены на повышение точности описания напряженно-деформированного состояния оболочки. Чаще всего это достигается усложнением математических моделей (это связано с широким применением современных материалов, в частности, композитных, а также с усложнением характера внешнего воздействия).

Однако в связи с колоссальными возможностями современной вычислительной техники, вопрос переоценки, переосмысления и модернизации существующих теорий, а также методик расчета пологих оболочек является немаловажным. Применяя разработанные программные и вычислительные комплексы, можно проводить углубленный анализ существующих решений, а также расширять область применимости классической теории.

Актуальность темы. Опубликовано множество научных работ по расчету пологих оболочек различных очертаний на статические нагрузки. При этом наряду с аналитическими методами применялись и численные методы, включая МКЭ (метод конечных элементов) и МКР (метод конечных разностей). Публикаций по расчету пологих оболочек на динамические нагрузки существенно меньше, поэтому выполненное исследование по разработке численного метода для расчета пологих оболочек на динамические нагрузки является актуальным.

Степень разработанности темы. Выбранная для исследования тема разработана в достаточном для практического применения объеме: подробно в историческом контексте изложена поставленная задача, максимально полно описана используемая методика.

Целями и задачами диссертационной работы являются разработка численного метода расчета пологих оболочек на динамические воздействия с применением обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР), а также разработка программы для ЭВМ с приложением ее к решению задач строительной механики.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан алгоритм расчета пологих оболочек на динамические воздействия на основе обобщенных уравнений метода конечных разностей, предложенных Габбасовым Р.Ф.

2. По составленной методике разработана программа расчета на ЭВМ, проведена ее апробация на решении известных задач.

3. Получены результаты решения новых задач расчета пологих оболочек на динамические воздействия.

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что решены новые задачи по расчету пологих оболочек на динамические воздействия, а также в том, что разработанные методика и на ее основе программа позволяют быстро выполнять оценочный расчет, а также проверять результаты, полученные в процессе расчета другим методом (например, методом конечных элементов).

Методология и методы исследования, применяемые автором, заключаются в изучении научно-технической литературы по проблемам, связанным с поставленными в работе задачами, а также в освоении основ программирования на языке Visual Basic при совместной работе с программной средой Microsoft Excel.

На защиту выносятся:

- алгоритмы расчета пологих оболочек на динамические нагрузки на основе обобщенных уравнений МКР;

- результаты решения новых задач по расчету пологих оболочек на динамические воздействия.

Степень достоверности и апробация результатов определяется корректной постановкой задачи, использованием обобщенных уравнений МКР -апробированного численного метода, а также сравнением полученных результатов с результатами, найденными другими известными методами (МПА, аналитический метод и др.); численным исследованием сходимости решений.

Апробация работы была проведена на:

- международной научно-технической конференции молодых ученых БГТУ им. В.Г. Шухова, 21-25 мая 2018 г.;

- заседании кафедры «Строительная и теоретическая механика» ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 29 мая 2018 г.

Публикации. По теме диссертационного исследования в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям, опубликовано три статьи. Наименования статей приведены в списке литературы под номерами [39, 90, 91]. Также автором получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений.

В первой главе приводится обзор литературы по расчету пологих оболочек и численным методам. Описывается история постановки задачи, рассмотрены

теоретические фундаментальные исследования в сфере разработки теории пологих оболочек, а также методов их расчета. Уделено особое внимание работам А.А. Назарова, В.З. Власова и других ученых, в которых разрабатывалась теория оболочек и вопросы ее применения. Описаны основные численные методики, применяющиеся к расчету пологих оболочек. На основе проведенного исследования в заключении главы сформулированы основные цели и задачи диссертационной работы.

Во второй главе приведена система разрешающих дифференциальных уравнений пологих оболочек при действии статических нагрузок, произведен переход к безразмерным величинам. Изложенные уравнения аппроксимированы обобщенными уравнениями метода конечных разностей.

Также рассмотрены различные варианты краевых условий, приведены соответствующие дифференциальные уравнения и аппроксимирующие их аналоги.

В третьей главе приведены разрешающие дифференциальные уравнения пологих оболочек при действии динамических нагрузок, произведен переход к безразмерным величинам. Рассмотрены вопросы аппроксимации по времени.

В четвертой главе на основании Главы 2 и Главы 3 построены алгоритмы и составлены программы для ЭВМ по расчету пологих оболочек на статические и динамические нагрузки.

Решены тестовые задачи, проведен сравнительный анализ полученных результатов с результатами, полученными другими известными методами. Также решены новые задачи по расчету пологих оболочек на динамические нагрузки.

В заключении сформулированы основные выводы и рекомендации по результатам выполненного диссертационного исследования.

Диссертация изложена на 111 листах, имеет 41 рисунок и 11 таблиц. Библиографический список состоит из 285 наименований трудов российских и зарубежных учёных.

Автор выражает признательность и глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, д.т.н. Габбасову Р.Ф., а также заведующему кафедрой «Строительная и теоретическая механика» ФГБОУ ВО «НИУМГСУ» профессору, д.т.н. Мондрусу В.Л.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

1.1. Расчет пологих оболочек. Обзор литературы

Основоположником теории пологих оболочек является выдающийся советский ученый Власов В.З. [75-77]. Немаловажный вклад в развитие этой темы внесли такие специалисты, как Гольденвейзер А.Л. [101], Леонтьев Н.Н. [156], Лукаш П.А. [158], Назаров А.А. [180-182], Новожилов В.В. [189, 190], Огибалов П.М., Колтунов М.А. [191], Пухонто Л.М. [199], Ржаницын А.Р. [205], Рекшинский В.С. [203, 204], Слезингер И.Н. [223], Тимошенко С.П. [240-242] и др. [2, 4, 20, 116, 167, 171, 177, 200].

В современной теории пологих оболочек задача расчета пологой оболочки сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных. Указанная задача решалась или точными (аналитическими) методами, к таким, например, можно отнести метод одинарных гиперболотригонометрических рядов (метод М. Леви) или метод двойных тригонометрических рядов (метод Навье), или приближенными (численными) методами. Из них можно отметить МКЭ (метод конечных элементов), вариационный метод, МПА (метод последовательных аппроксимаций), МКР (метод конечных разностей) и др.

Основой описанных методов является аппроксимация искомой функции одинарными гиперболотригонометрическими или двойными

тригонометрическими рядами. Надо отметить, что аппроксимирующие ряды необходимо выбирать так, чтобы тождественно удовлетворялись или все, или часть граничных условий рассматриваемой задачи, а постоянные интегрирования (как в методе Бубнова-Галеркина, так и в методах М. Леви, Навье) находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений.

Применением аналитических методов к решению задач теории пологих оболочек занимались такие ученые, как Власов В.З. [75-77], Гаранин Л.С. [97], Дикович В.В. [116], Михайлов Б.К. [173], Мухадзе Л.Г. [177, 178], Назаров А.А. [180-182], Огибалов П.М., Колтунов М.А. [191], Федоров Ю.П. [246, 247], и многие другие [25, 115, 223, 235, 237, 239, 250].

При использовании этих методов система алгебраических линейных уравнений получается путем подстановки искомых функций в разрешающие дифференциальные уравнения задачи или в граничные условия.

Для получения аналитического решения задачи о напряженно-деформированном состоянии пологой оболочки необходимо:

а) выбрать аппроксимирующую функцию;

б) составить систему линейных алгебраических уравнений;

в) определить значения искомых функций, решив полученную систему.

Особенностью первого этапа решения задачи является необходимость

подбора аппроксимирующей функции таким образом, чтобы она, как уже указывалось ранее, тождественно удовлетворяла или всем, или части граничных условий. В зависимости от того, насколько удачно выбрана аппроксимирующая функция, составление системы линейных алгебраических уравнений будет представлять более или менее трудоемкий процесс. Это связано с тем, что для различных функций количество членов ряда для получения решения с требуемой точностью необходимо различное. В свою очередь от количества членов ряда зависит число алгебраических уравнений, решение которых позволяет определить постоянные интегрирования.

До появления ЭВМ совокупность этих условий, как правило, приводила к тому, что в трудах исследователей решение краевой задачи теории пологих оболочек заканчивалось перед выполнением третьего этапа, в связи с трудностью решения громоздких систем линейных алгебраических уравнений и получения окончательных результатов. С внедрением ЭВМ в инженерно-расчетную деятельность трудоемкость получения численных результатов значительно

снизилась. Несмотря на это, вычислительные мощности ЭВМ не могли заменить интеллектуальной деятельности инженера на первых этапах решения задач аналитическими методами, так как подбор аппроксимирующей функции по-прежнему производился вручную. Также применение аналитических методов усложняет тот факт, что при сложных граничных условиях их применение или невозможно в принципе, или становится крайне трудоемким и громоздким.

Поэтому с техническим прогрессом и появлением ЭВМ возникла необходимость разработки таких методик расчета, в которых участие инженера-конструктора было бы минимальным, т.е. ограничивалось постановкой задачи и указанием граничных условий.

В связи с этим особое внимание ученых стала занимать разработка приближенных методов. Этим вопросом занимались многие ученые. Например, вариационный метод Бубнова-Галеркина рассмотрен в работах Булия Н.П. [49, 50], Кислякова С.Д. [145], Кохреидзе П.И. [149], Пратусевича Я.А. [197, 198] и др. [199, 212, 216]. В нем получение системы алгебраических линейных уравнений происходит из условия ортогональности функционалов, соответствующих исходным дифференциальным уравнениям, со всеми составляющими аппроксимирующего ряда.

Таким образом, в результате попытки наиболее полно при решении задач теории упругости и строительной механики использовать возможности ЭВМ была разработана группа методов, получивших название численных.

Рассмотрим некоторые, наиболее актуальные в настоящее время, из них.

1.2. Численные методы. Обзор литературы

Вопросами развития численных методик решения задач строительной механики и теории упругости занимались многие российские и зарубежные ученые: Абовский Н.П. [1], Александров А.В. [16], Бате К. [28], Бузун И.М. [48],

Вазов В. [53], Вайнберг Д.В. [56], Варвак П.М. [61, 63], Габбасов Р.Ф. [79-95], Городецкий А.С. [102-105], Масленников А.М. [160-162], Самарский А.А. [213] и др. [11, 29, 32, 57, 60, 69, 96, 106, 109, 113, 174, 185-187, 206, 222, 249].

Остановимся на наиболее распространенных численных методах:

- метод конечных элементов (МКЭ);

- метод последовательных аппроксимаций (МПА);

- метод конечных разностей (МКР).

1.2.1. МКЭ - Метод конечных элементов

Основы метода конечных элементов (МКЭ), несомненно самого популярного в настоящее время и имеющего наибольшее практическое значение, сформулировал Курант Р. в 1943г. [273], тогда как термин «конечный элемент» впервые был использован Клафом Р.В. в статье о решении плоской задачи теории упругости в 1960г. [272].

На основе МКЭ создано множество программно-расчетных комплексов широкого назначения. Популярность метода конечных элементов объясняет тот факт, что он обладает двумя крайне важными свойствами: алгоритмичностью и универсальностью. В связи с этим сам метод, а также расчетные комплексы, созданные на его основе, практически незаменимы в инженерно-конструкторской деятельности и с успехом применяются для проектирования конструкций любой сложности.

Заметим, что изначально метод конечных элементов основывался на принципах строительной механики [270], поэтому область его применения была достаточно ограничена. Однако развитие метода в многочисленных трудах ученых (Масленникова А.М. [160-162], Пржеминского И.С. [284], Тернера М.Дж., Клафа Р.В., Мартина Х. [285], Розина Л.А. [208-211], Шапошникова Н.Н. [265-

267] и многих других [1, 15, 55, 58, 103, 105, 137, 138, 143, 163, 183, 248, 253, 268, 271]) обеспечило широкое распространение и использование метода.

Основная идея метода конечных элементов состоит в минимизации функционала энергии, т.е. решение краевой задачи теории упругости сводится к решению системы линейных или нелинейных (в зависимости от выбранного типа задачи) алгебраических уравнений.

Иначе говоря, непрерывная функция аппроксимируется дискретной моделью, которая является совокупностью конечного числа кусочно-непрерывных функций. Каждая такая функция определена на своей некоторой подобласти, которую называют элементом. В качестве кусочно-непрерывной функции в пределах элемента, как правило, принимают полином.

Решение поставленной задачи по методу конечных элементов можно разбить на несколько этапов:

а) идеализация рассматриваемой конструкции;

б) выбор в интерполирующей функции основных неизвестных;

в) получение матрицы жесткости элемента;

г) формирование разрешающей системы алгебраических уравнений и ее решение.

На первом этапе необходимо заменить рассматриваемую конструкцию системой конечных элементов (КЭ) определенной формы. Эти элементы должны быть соединены между собой в узлах и каждый из них должен обладать конечным числом узловых связей.

Строгих норм и рекомендаций по выполнению этого этапа работы нет, как правило, он выполняется интуитивно на основании логических соображений и представлениях о конечном результате, определяющихся опытом исследователя. Несмотря на то, что этот этап не представляет особой трудности, он крайне важен для последующих расчетов: грамотность выбора формы элементов, правильность нумерации узлов сетки и т.д. оказывают существенное влияние на объем и скорость выполняемых вычислений.

Правильный выбор формы конечного элемента, как и аппроксимация всей конструкции в целом, очень важен, особенно при расчете оболочек. Как показано в работах [126, 132, 137, 144, 208], существенное влияние на точность расчета оказывает точность аппроксимации конечными элементами криволинейной поверхности оболочки. С точки зрения расчета оболочек, в МКЭ используются конечные элементы плоские, их называют элементами первого порядка, и криволинейные, элементы второго порядка. Форма КЭ также может быть различной: треугольной или четырехугольной. Применение КЭ различных форм было освещено в работах [38, 40, 47, 104, 120, 125-127, 135, 138, 142, 253, 254]. Анализируя результаты указанных работ, можно применять следующее правило: для развертывающихся оболочек (например, конических или цилиндрических) наиболее рациональным будет использование плоских элементов, а для пологих оболочек двоякой кривизны целесообразнее использовать криволинейные элементы. Тем не менее в работах [99, 100, 127, 137, 138] рассмотрена аппроксимация оболочек двоякой кривизны плоскими элементами, но показано, что это возможно при довольно густой сетке, что приводит к существенному увеличению решаемых совместно алгебраических уравнений.

Основываясь на результатах обширных исследований вопроса аппроксимации пологих оболочек криволинейными элементами, можно с уверенностью применять параболические элементы, так как при прочих равных точность вычислений с использованием этих элементов выше, поскольку геометрия аппроксимируемой модели воспроизводится наиболее точно.

Что касается нумерации узлов сетки, надо отметить, что неграмотное выполнение этого этапа приведет к значительному увеличению используемых ресурсов ЭВМ, а также замедлит процесс счета. Связано это с тем, что нумерация напрямую влияет на структуру матрицы разрешающих уравнений. Это обстоятельство приводит к тому, что задача упорядочивания расчётных узлов (особенно при расчете конструкций сложных форм, в частности, оболочек) становится трудоемкой и сложной. В связи с этим в большинстве современных

расчетных комплексов (Лира, SCAD, Ansys и др.) этот вопрос автоматизирован и не требует участия инженера.

Переходя ко второму этапу, необходимо выбрать основные неизвестные в интерполирующей функции. Это могут быть или перемещения узлов (МКЭ принимает форму метода перемещений), или усилия в узлах (МКЭ принимает форму метода сил). В некоторых работах [77, 99, 100, 160-162, 172] рассматривается смешанная форма, где в качестве основных неизвестных использованы, как усилия в узлах, так и их перемещения. Далее, если основными неизвестными являются перемещения узлов, аппроксимирующими функциями необходимо выразить составляющие вектора перемещения в точках, находящихся внутри элемента, и определить неизвестные из условий равновесия узлов. Если основными неизвестными являются усилия в узлах, то аппроксимирующими функциями необходимо выразить составляющие вектора усилий в точках, находящихся внутри элемента, и определить неизвестные из условий совместности перемещений узловых точек [195, 211, 257].

Как правило, в расчетах задействуют МКЭ в форме метода перемещений. Аппроксимирующую функцию принимают в виде алгебраического полинома степени, соответствующей числу степеней свободы КЭ, а также выполнению условий неразрывности перемещений и их производных на границах стыковки смежных КЭ. Именно это условие, условие неразрывности, представляет основную трудность при выборе интерполирующего полинома и определяет сложность второго этапа расчета по МКЭ. В зависимости от того, выполняется или не выполняется указанное условие, КЭ подразделяются на совместные и несовместные. Совместность КЭ - важнейшее условие, определяющее сходимость решения по методу конечных элементов к точному [125, 127]. Тем не менее, получить полностью совместные элементы крайне сложно, поэтому в подавляющем большинстве работ по расчету оболочек применяют несовместные элементы. Следствием этого является разрывность усилий на участках стыковки смежных КЭ и ухудшение результатов по усилиям [125, 143, 216, 254].

Отсутствие строгих требований в выборе формы КЭ как интерполирующего полинома привело к тому, что сейчас существует множество вариантов КЭ, которые своим многообразием существенно усложняют задачу исследователя при решении вопроса целесообразности использования того или иного элемента. Несмотря на попытки провести сравнительный анализ и оценку рациональности использования различных КЭ (работы [99, 100, 120, 125-127, 132, 192]), однозначной методики выбора КЭ все равно не существует, так как одни и те же несовместные элементы, дающие хорошие результаты при решении одних задач, совершенно не подходят для решения других [127, 195].

На следующем этапе при расчете конструкций по МКЭ возникают сложности в формировании матрицы жесткости, выражающей реакции в узлах рассматриваемого элемента через неизвестные узловые перемещения. Затруднения возникают в связи с тем, что появляется необходимость использования и решения системы дифференциальных уравнений напряженно-деформированного состояния конечного элемента (например, с помощью двойных тригонометрических рядов или с использованием метода конечных разностей [202]) или интегрирования по площади (при использовании вариационных методов Ритца-Тимошенко [99, 100, 125, 127, 137, 195, 210], Бубнова-Галеркина [126, 195, 196]). Также возникают сложности интегрирования при замене реальной нагрузки системой эквивалентных ей узловых сил.

Особенно затруднителен вопрос применения МКЭ к расчету оболочек, имеющих отверстия, трещины, зоны разрыва граничных условий, а также зоны резкого увеличения напряжений, что связано с наличием, так называемого, краевого эффекта [216, 254]. Учет особенностей напряженного состояния в этих областях происходит или за счет применения особых типов КЭ, содержащих указанные дефекты (например, элементы с трещинами [110]), или введением дополнительных членов в аппроксимирующие функции [251]. Однако наиболее употребимый способ учета таких особенностей связан с применением в зонах концентрации напряжений более мелкого шага разбиения сетки, приводящего к

увеличению количества неизвестных и, таким образом, к увеличению порядка разрешающей системы алгебраических уравнений [51, 65, 66, 120, 125-127, 144].

Также на этом этапе необходимо учитывать краевые условия при построении матрицы жесткости. При использовании указанных методов исследователь получает вырожденную матрицу жесткости, т.к. часть уравнений (для плоских систем - три, а для пространственных - шесть) системы уравнений равновесия является взаимозависимой. Для приведения системы линейных алгебраических уравнений к невырожденной системе требуется корректировка матрицы жесткости с учетом краевых условий.

Четвертый этап - решение полученной системы алгебраических уравнений (линейных или нелинейных). Для этого используются стандартные методы, а также расчетные программы (наиболее удачными будут те, которые имеют возможность учета симметричности и структуры матрицы жесткости - ее ленточность и редкозаполненность). Напряжения и деформации определяются по известным соотношениям теории упругости после определения перемещений узлов.

Несмотря на описанные выше недостатки и трудоемкость метода конечных элементов с точки зрения его применения к решению задач теории оболочек, этот метод обладает рядом несомненных преимуществ, из которых можно выделить следующие:

а) позволяет рассчитывать оболочки произвольной геометрии (с учетом вырезов, промежуточных опор и т.д.); также могут быть рассчитаны комбинированные системы, состоящие из стержней, пластин и оболочек;

б) размеры элементов рассчитываемой конструкции могут быть переменными; свойства материалов смежных элементов - разными;

в) тип оболочки, характер краевых условий, толщина конструкции, законы изменения внешней прикладываемой нагрузки могут быть любыми (т.к. процесс применения МКЭ не зависит от указанных параметров);

г) при использовании МКЭ нет необходимости составлять и решать дифференциальные уравнения;

д) расчет сводится к действиям над матрицами (что крайне удобно в процессе использования ЭВМ);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Боброва Валерия Игоревна, 2018 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абовский Н.П. О применении метода конечных элементов совместно и другими методами. Труды КПИ, вып. 8, Красноярск, 1975.

2. Абовский Н.П. Основные уравнения метода сеток для ребристых оболочек. Сб: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып. 2, Красноярск

1966.

3. Абовский Н.П. Ребристые оболочки. /Учебное пособие/, КПИ, Красноярск,

1967.

4. Абовский Н.П., Андреев Н.Н., Сабиров Р.А. Обобщенные вариационно-разностные уравнения теории анизотропных /в том числе ребристых/ пологих оболочек. Сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып. 7, 1975.

5. Абовский Н.П., Енджиевский Л.В., Савченков В.И. и др. Избранные задачи по строительной механике и теории упругости. М.: Стройиздат, 1978. 189 с.

6. Абовский Н.Н., Самольянов И.И., Пасько Д.А. Расчет пологих оболочек в матричной форме методом сеток. Учебно-методическое пособие, Красноярск, 1965.

7. Абовский Н.Н., Самольянов И.И. Расчет пологих оболочек типа гиперболического параболоида методом сеток. Сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып. 2, Красноярск, 1966.

8. Абовский Н.П., Шестопал В.М. Конечно-разностные уравнения теории пологих ребристых оболочек. Сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып. 3, Красноярск, 1968.

9. Абрамов Г.Д. Исследование устойчивости и сложного изгиба пластин, стержневых наборов и оболочек разностными уравнениями. -Л., Судпромгиз, 1951.

10. Авдонин А.С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. -М., Машиностроение, 1969.

11. Азархин А.М., Абовский Н.П. Об итерационных методах в некоторых задачах строительной механики. - исследования по теории сооружений, 1977, в XXIII. -М.: Стройиздат. 152-157 с.

12. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. - «Изв.АНЭст.ССР, сер. физ.-мат. и техн. Наук», 1965, т. 14, №1.

13. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. -М., Мир, 1972.

14. Александров А.М. Применение метода прямых к расчету пологих оболочек // Доклады научно-технической конференции по итогам научно-исследовательских работ за 1966-1967г. МЭИ, М., 1967.

15. Александров А.В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек. Труды МИИТ, вып. 364, М., 1971.

16. Александров А.В. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования. Труды МИИТ, вып. 131, М., 1961.

17. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Смирнов В.А., Шапошников Н.Н. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. -М., Стройиздат, 1976.

18. Алексеев Г.А. Устойчивость и динамика сооружений: Конспект лекций. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1991. 67 с.

19. Амосов А.А. Об использовании уточненных теорий пластин и оболочек при исследовании свободных колебаний // Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1990. 14-17 с.

20. Амосов А.А. Расчет тонких упругих оболочек по деформированному состоянию // Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1982. 20-23 с.

21. Ананьин А.И., Баранов В.А., Барченков А.Г. Динамика сооружений: Учебное пособие для студентов строит.спец.вузов. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1987. 192 с.

22. Бадаев М.А. Формулировка некоторых задач теории пологих цилиндрических оболочек для решения методом сеток. Ученые записки Азербайджанского сельскохозяйственного института, Механизация, вып. 3, Баку, 1969.

23. Байков В.Н. и др. Железобетонные конструкции. Специальный курс. -М.: Стройиздат, 1981.

24. Байков В.Н., Хампе Э., Рауэ Э. Проектирование железобетонных тонкостенных пространственных конструкций. -М., Стройиздат, 1990.

25. Бартенев В.С. Практический способ расчета пологих железобетонных оболочек положительной гауссовой кривизны на прямоугольном плане. Сб.: Тонкостенные железобетонные пространственные конструкции. -М., 1970.

26. Бартенев В.С. Практический способ расчета пологих железобетонных оболочек положительной гауссовой кривизны на прямоугольном плане. Сб.: Тонкостенные железобетонные пространственные конструкции. -М., 1970.

27. Бастатский Б.Н. Расчет пластин и пологих оболочек, ослабленных большими прямоугольными отверстиями, методом членения на конечное число элементов. Труды Х Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, т. 2, Тбилиси, 1975.

28. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Пер. с англ. -М., Стройиздат, 1982. 447 с.

29. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

30. Безухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. -М., Высшая школа, 1987. 264 с.

31. Белостоцкий А.М. Моделирование взаимодействия сооружения с основанием и жидкой средой в рамках трёхмерного динамического расчета методом конечных элементов. - Сб. научных трудов Гидропроекта. - 1987. - вып. 123. 108-119 с.

32. Белостоцкий А.М. Построение эффективных пространственных конечно-элементных моделей для динамического расчета систем «основание-сооружение»

// Труды ин-та ЦНИИСК им. Кучеренко. - Методы расчета и оптимизации строительных конструкций на ЭВМ. - М.: ЦНИИСК, 1990. 175-180 с.

33. Березовский Л.Ф. К вопросу о расчете тонкостенных пологих оболочек // Инженерно-физический журнал, т. 3, вып. 5, 1960.

34. Березовский Л.Ф. О граничных условиях при расчете пологих оболочек МКР. Труды института строительства и архитектуры АН БССР, вып. 3, Минск, 1960.

35. Березовский Л.Ф. Расчет пологих оболочек двоякой кривизны с плоским прямоугольным контуром. Методические материалы и таблицы для расчета, Минск, 1964.

36. Бобров Э.Ш. Прямой метод жесткостей в расчете пологих оболочек с непрямоугольным планом. Труды МНИИТЭП. Большепролетные пространственные конструкции, М., 1972.

37. Бобров Э.Ш., Шаршукова Л.М. К расчету пологих оболочек прямым методом жесткостей. Труды 8 Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, Ростов-на-Дону 1971, -М., 1973.

38. Бобров Э.Ш., Шаршукова Л.М. Матрица жесткости треугольного конечного элемента пологой оболочки в ортогональной системе координат. Труды МНИИТЭП. Большепролетные пространственные конструкции, М., 1972.

39. Боброва В.И. Построение поверхности влияния прогиба для центральной точки пологой оболочки // Строительная механика и расчета сооружений, 2018, №3. 2-7 с.

40. Богнер Ф.К., Фокс Р.Л., Шмидт Л.А. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов, РТиК, №4, 1967.

41. Болотин В.В, Случайные колебания упругих систем. М., Наука, 1979. 336 с.

42. Борзых Е.П., Котельников Г.В., Миронов Ю.К. Об одном алгоритме численного решения пологих ортотропных оболочек на прямоугольном плане с различными граничными условиями. В кн.: Пространственные конструкции зданий и сооружений, №1, М., Стройиздат, 1972.

43. Борисов М.В. Развитие метода интегрирующих матриц на двумерные задачи строительной механики летательных аппаратов, канд. дис., Л., 1976.

44. Борисов М.В., Вахитов М.Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц. Труды КАИ, вып. 166, Казань, 1974.

45. Борисов М.В., Вахитов М.Б. Расчет прямоугольных пластин с помощью интегрирующих матриц. Сб.: Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов, вып. 1, Казань, 1976.

46. Борисов М.В., Прегер А.Л. Метод интегрирующих матриц при расчете пологих оболочек. - В кн.: Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. - Томск: изд-во ТГУ, 1983. 28-30 с.

47. Борисова Т.И. Применение метода конечных элементов к расчету пологих оболочек и складок. Материалы 9 научно-технической конференции ВЗИСИ, ч. 3, М., 1972.

48. Бузун И.М. Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Сравнение решений для пластин. Сб.: Исследование тонкостенных пространственных конструкций, Тюмень, 1974.

49. Булия Н.П. Применение видоизмененных фундаментальных функций в задачах изгиба пологих оболочек при одном частном граничном условии // Сообщения АН ГССР, т. 81, вып. 2, 1976.

50. Булия Н.П. Применение видоизмененных фундаментальных функций в задачах изгиба пологих оболочек в частных случаях // Сообщения АН ГССР, т. 81, вып. 3, 1976.

51. Бурман З.И., Лукашенко В.И. Обобщение метода расчета тонкостенных подкрепленных оболочек с вырезами с целью построения алгоритма последовательного учета вырезов. Труды Х Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, т. 2, Тбилиси, 1975.

52. Бурман З.И., Шайдуков К.М. Обобщение метода матричного интегрирования одномерных краевых задач строительной механики на случай двумерной задачи о пластинке. - Тр. Казанского университета, 1972, №8. 215-222 с.

53. Вазов В., Форсайт Д. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Пер. с анг. -М., ИЛ, 1963.

54. Вайнберт Д.В. Исследование пластин с прямоугольными отверстиями. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. II, Киев, 1970.

55. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. - Киев, Будивельник, 1973.

56. Вайнберг Д.В. Численные методы в теории оболочек и пластин. Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. -М., Наука, 1966. 890895 с.

57. Вайнберг Д.В., Геращенко В.М., Ройтбаф И.З., Синявский А.Л. Вывод сеточных уравнений изгиба пластин вариационным методом. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 1, Киев, 1965.

58. Вайнберг Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Метод конечных элементов в механике деформируемых тел // Прикладная механика, т. 8, №8, 1972.

59. Вайнберг Д.В., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С. Расчет пологих выпуклых оболочек. Сб.: расчет пространственных конструкций, вып. II, М., Стройиздат, 1967.

60. Ванюшенков М.Г., Синицын С.Б., Малыха Г.Г. расчет строительных конструкций на ЭВМ методом конечных элементов: Учебное пособие. МИСИ им. Куйбышева. -М., 1988. 115 с.

61. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Некоторые задачи прикладной теории упругости в конечных разностях, ч. 1 и 2. -Киев, Изд. АН УССР, 1949, 1952.

62. Варвак П.М., Варвак Л.П. Некоторые вопросы теории кубических сплайнов, изложенные с позиций строительной механики // Расчет пространственных конструкций, 1974, в. 4, Куйбышев. 57-62 с.

63. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. - М.: Стройиздат, 1977.

64. Варвак П.М., Губерман И.О. Изгиб квадратной пластинки с различными условиями на краях // Информационные материалы, Институт строительной механики АН УССР, №10, Киев, 1957.

65. Варвак П.М., Моянский В.М. Изгиб защемленной квадратной щелевой пластинки. Сб.: Расчет пространственных строительных конструкций, вып. 2, М., Стройиздат, 1971.

66. Варвак П.М., Моянский В.М. Изгиб квадратной щелевой пластинки. Труды Тюменского индустриального института, вып. 40, Тюмень, 1974.

67. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. - М., Мир, 1974.

68. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. - М., АСВ, 1995.

69. Васильков Б.С. Применение метода конечных элементов в перемещениях к расчету оболочек, складок, коробчатых и массивных систем. Труды ЦНИИСК, вып. 19, М., 1970.

70. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы - аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Известия ВУЗов. Авиационная техника, №3, 1966.

71. Вахитов М.Б. К численному решению уравнения поперечного изгиба монолитного крыла // Известия ВУЗов. Авиационная техника, №4, 1960.

72. Вахитов М.Б., Сафариев М.С. Снегирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность, Казань, 1975.

73. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной математики, Киев, 1978.

74. Виснер В. Применение криволинейного элемента смешанного типа для расчета оболочек. Сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т. 1, Л., Судостроение, 1974.

75. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике, Гостехиздат, 1949.

76. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикладная математика и механика, т. 8, вып. 2, 1944.

77. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М., 1960.

78. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек // Тр. 6 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. -М.: Наука, 1966. 896903 с.

79. Габбасов Р.Ф. О разностных формах метода последовательных аппроксимаций. - В кн.: Численные методы решения задач строительной механики. - К.: Изд-во КИСИ, 1978. 73-126 с.

80. Габбасов Р.Ф. О численно-интегральном методе решения краевых задач строительной механики для дифференциальных уравнений в частных производных. Сб.: Исследования по теории сооружений, вып. 22, М., Стройиздат, 1976.

81. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимаций // Строительная механика и расчет сооружений, №3, 1978.

82. Габбасов Р.Ф. Об одном численном методе расчета пологих оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1976, №3. 15-18 с.

83. Габбасов Р.Ф. Обобщение уравнений метода конечных разностей в полярных координатах на задачи с разрывными решениями. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1984, в. 45, К.: Будивельник. 55-58 с.

84. Габбасов Р.Ф. Применение теории сплайнов к задачам строительной механики. Труды МИСИ, №157, 1978.

85. Габбасов Р.Ф. Применение численно-интегрального метода к расчету плит на упругом основании // Прикладная механика, т. 12, №10, 1976.

86. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами. - Дисс. на соискание уч. степени докт.тех.наук - М., МИСИ, 1989.

87. Габбасов Р.Ф., Низомов Д.Н. Численное решение некоторых динамических задач строительной механики. Строительная механика и расчет сооружений, 1985, №6. 51-54 с.

88. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В, Численные построения разрывных решений задач строительной механики. Изд. АСВ, 2008.

89. Габбасов Р.Ф, Уварова Н.Б. Расчет плит на локальные нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций. Труды МИСИ, №156, 1978.

90. Габбасов Р.Ф, Филатов В.В., Боброва В.И. К расчету оболочек вращения в упругой среде // Научное обозрение, 2017, №18. 26-28 с.

91. Габбасов Р.Ф, Филатов В.В., Боброва В.И. К расчету ортотропных пластин на устойчивость // Научное обозрение, 2017, №19. 6-9 с.

92. Габбасов Р.Ф., Шрамко В.В. О расчете пологих оболочек численным методом последовательных аппроксимаций // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №9, 1977.

93. Габбасов Р.Ф., Шрамко В.В. Расчет плит и пологих оболочек на действие локальной нагрузки численным методом последовательных аппроксимаций // Сопротивление материалов и теория сооружений, 1979, в XXXV, - К.: Будивельник. 132-137 с.

94. Габбасов Р.Ф., Егер В., Шрамко В.В. О численном решении задач с особенностями в теории тонких изгибаемых плит // Доклады X Международного конгресса по применению математики в инженерных науках, т. 4, Веймар, 1984. 12-14 с.

95. Габбасов Р.Ф., Нгуен Х.Д. К расчету пологих оболочек численным методом последовательных аппроксимаций (МПА) // Вестник МГСУ №1, М., 2008. 151-157 с.

96. Гаврюшин С.С., Коровайцев А.В. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. -М.: ВЗПИ, 1991.

97. Гаранин Л.С. Расчет пологих оболочек. -М., Стройиздат, 1964.

98. Глейзер М.А., Кулюшин А.М. Натурные испытания оболочки двоякой положительной кривизны на сосредоточенные нагрузки. Сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. - Красноярск, 1965. 42-59 с.

99. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в методе конечных элементов статики тонких оболочек. -Казань, 1989.

100. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. -М., Физматлит, 2006.

101. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. -М., Наука, 1976.

102. Городецкий А.С. К расчету комбинированных систем методом конечных элементов. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 16, Киев, 1972.

103. Городецкий А.С. К расчету пространственных тонкостенных конструкций методом конечных элементов. Труды ЗНИИЭП, вып. 2, Киев, 1971.

104. Городецкий А.С. Расчет пространственных тонкостенных конструкций методом конечных элементов. Сб.: ЭВМ в исследовании и проектировании объектов строительства, Киев, 1974.

105. Городецкий А.С. Численная реализация метода конечных элементов. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 20, Киев, 1973.

106. Горщукова Т.Н., Михайлова Е.И., Павилайнен В.Я. Расчет на ЭЦВМ пологих оболочек двоякой кривизны. Сб.: ЭЦВМ в строительной механике, Л.-М., Стройиздат, 1966.

107. Горячев О.А. К расчету пологих оболочек переменной толщины методом сеток. Труды КАИ, вып. 54, Куйбышев, 1971.

108. Григорьев И.В., Прокопьев В.И., Твердый Ю.В. Деформирование, устойчивость и колебания оболочечных конструкций. -М., АСВ, 2007.

109. Гулин Б.В., Терентьев Н.Н. Метод сеток с локальными концентраторами. Труды семинара по теории оболочек, вып. 4, Казань, 1974.

110. Дашевский Е.М., Борисковский В.Г. Определение поля напряжения у сквозных трещин в изгибаемых пластинах // Проблемы прочности, №10, 1976.

111. Даревский В.М. Определение перемещений и напряжений в цилиндрической оболочке при локальных нагрузках. - В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. -М.: Машиностроение, 1964. 23-83 с.

112. Даревский В.М. Контактные задачи теории оболочек (действие локальных нагрузок на оболочки) // Тр. VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - М.: Наука, 1966. 927-934 с.

113. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М., Наука, 1967.

114. Державин Б.П. Применение полиномов Чебышева в задачах строительной механики. Труды МИИТ, вып. 194, М., 1966.

115. Дерябин И.С., Михайлов Б.К. Расчет пологой оболочки, прямоугольной в плане, с различными вариантами закрепления контура на симметричные нагрузки. Труды ЛИСИ, вып. 74, Л., 1972.

116. Дикович В.В. Пологие прямоугольные в плане оболочки вращения. -М., Стройиздат, 1960.

117. Длугач М.И. К построению систем конечноразностных уравнений для расчета пластин и оболочек // Прикладная механика, т.8, №1, 1974.

118. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метода сеток к расчету пластин и оболочек на ЭЦВМ. Сб.: ЭЦВМ в строительной механике, Л.-М., Стройиздат, 1966.

119. Длугач М.И. Основные положения расчета цилиндрической оболочки с прямоугольными отверстиями методом конечных разностей // Прикладная механика, т.6, №3, 1960.

120. Длугач М.И., Ковальчук Н.В. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями // Прикладная механика, т.9, №11, 1973.

121. Длугач М.И., Шинкарь А.И. Применение ЭВМ к расчету многосвязных областей и оболочек с отверстиями. Сб.: Теория пластин и оболочек, Киев, 1962.

122. Дятловицкий Л.И. К решению динамической задачи теории упругости методом конечных разностей. Прикладная механика, 1966, т. 2, вып. 10. 1-9 с.

123. Жеков К.А. Метод конечных разностей в строительной механике и прочности: Учебное пособие. -М.: МАИ, 1988.

124. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980.

125. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.

126. Зенкевич О. Метод конечных элементов; от интуиции к общности. Механика /Сб. переводов/, М., Мир, №6, 1970.

127. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред. -М., Недра, 1974.

128. Золотов А.Б., Акимов П.А. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций // Наука и техника транспорта, №3, 2003. 72-85 с.

129. Золотов А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитическо-численные методы решения краевых задач строительной механики. -М., АСВ, 2004.

130. Золотов А.Б., Акимов П.А. Применение дискретно-континуального метода конечных элементов для решения трехмерной задачи теории упругости. Научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве»: Сборник докладов. -М. МГСУ, 2001. 56-69 с.

131. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Математические методы в строительной механике. -М., АСВ, 2008.

132. Зуев Б.И., Капустин С.А., Киселев Л.К., Трубицын В.А. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций. Сб.: Метод конечных элементов в строительной механике, ГТУ, Горький, 1975.

133. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Москва - Санкт-Петербург, 2005.

134. Камель Х.А., Эйзенштейн Г.К. Автоматическое построение сетки в двух и трехмерных составных областях. Сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., Судостроение, 1974.

135. Кантин Г., Клауф Р. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки, РТиК, т.6, №6, 1968.

136. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М., Гостехиздат, 1949.

137. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера. -М., УРСС, 2003.

138. Карпиловский В.С., Криксунов Э.З., Маляренко А.А. и др. SCAD OFFICE. Вычислительный комплекс SCAD. -М., АСВ, 2007.

139. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. Москва - Санкт-Петербург, 1999.

140. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. Москва - Санкт-Петербург, 2002.

141. Карпов В.В., Коробейников А.В. Математические модели задач строительного профиля и численные методы их исследования. Москва - Санкт-Петербург, 1999.

142. Каупер Г.Р., Линдберг Г.М., Олсон М.Д. Конечный элемент треугольной формы для расчета пологой оболочки, РТиК, № 8, 1970.

143. Кевин Форсберг. Оценка методов конечных разностей и конечных элементов в применении к расчету произвольных оболочек. Сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.2., Л., Судостроение, 1974.

144. Кей С.В., Бейсинджер З.Е. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов. Сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.1., Л., Судостроение, 1974.

145. Кисляков С.Д. К теории пологих оболочек двоякой кривизны // Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1963.

146. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. -М., Высшая школа, 1987.

147. Колчунов В.И., Пятикрестовский К.П., Клюева Н.В. Пространственные конструкции покрытий. -М., АСВ, 2008.

148. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задачам о равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран. МПП, т.4, вып. 5-6, 1940.

149. Кохреидзе П.И. К вопросу расчета пологих оболочек при использовании балочных функций. Труды ГПИ, вып. 175, Тбилиси, 1975.

150. Красюков В.П. Расчет пологих оболочек методом конечных разностей. Научные записки КГУ, т. 16, вып. 16, Киев, 1957.

151. Красюков В.П. Расчет пологих оболочек, перекрывающих прямоугольный план, методом конечных разностей. Прикладная механика, т.4, №2, 1958.

152. Лащеников Б.Я. К вопросу о решении дифференциального уравнения устойчивости сжатой пластины переменного сечения с помощью интегральной матрицы. Труды МИИТ, вып. 164, М., 1963.

153. Лащеников Б.Я. Применение метода интегральной матрицы при разрывных и обобщенных функциях. Труды МИИТ, вып. 174, М., 1963.

154. Лащеников Б.Я. Применение тригонометрического интерполирования в задачах строительной механики. Труды МИИТ, вып. 131, М., 1961.

155. Ле Ван Тхань. Расчет квазицилиндрических оболочек на прочность и устойчивость. Дисс. канд.тех.наук. -М., 2006.

156. Леонтьев А.Н., Леонтьев Н.Н., Бен Хелал Монсеф. Расчет тонкостенных пространственных систем, взаимодействующих с упругой средой. Сб. ст. МГСУ. М., 2000. 46-50 с.

157. Лизин В.Т., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций, 3-е издание, М., Машиностроение, 1994.

158. Лукаш П.А. Расчет пологих оболочек и плит с учетом физической и геометрической нелинейности. Сб.: Расчет конструкций, работающих в упруго-пластической стадии. -М., Госстройиздат, 1961.

159. Маркус Г. Теория упругой сетки и ее приложение к расчету плит и безбалочных перекрытий. -М., Госстройиздат, 1936.

160. Масленников A.M. Расчет плит на основе дискретной расчетной схемы // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №6, 1966.

161. Масленников A.M. Расчет плит смешанным методом на основе дискретной схемы // Доклады 25 научной конференции ЛИСИ, Л., 1967.

162. Масленников A.M. Расчет тонких плит методом конечных элементов. Труды ЛИСИ, вып.57, Л., 1968.

163. Маслов А.Л. Развитие высокоточных схем метода конечных элементов и их применение в расчете плит и пологих оболочек. Канд. дис., Харьков, 1976.

164. Меламед Э.Ш. Расчет тонких оболочек с использованием конечного элемента естественной кривизны. Труды МИИТ, вып. 342, М., 1969.

165. Мизин Б.М. Задача о напряженном состоянии пологих оболочек. Сб.: Исследование надежности железобетонных конструкций, Куйбышев, 1974.

166. Милейковский И.Е. К расчету пологих оболочек на ЭЦВМ // Строительная механика и расчет сооружений, 1965, №4. 1-5 с.

167. Милейковский И.Е. Расчет оболочек и складок методом перемещений. -М., Госстройиздат, 1960.

168. Милейковский И.Е., Булгаков В.А. Применение вариационного метода перемещений в форме метода конечных элементов к расчету плит и пологих оболочек. Труды ЦНИИСК, вып. 38, М., 1975.

169. Милейковский И.Е., Кальмейер А.Ф. Расчет пологих оболочек с большим прямоугольным отверстием. Сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 16, Киев, 1972.

170. Милейковский И.Е., Купар А.К. ГИПАРЫ расчет и проектирование пологих оболочек покрытий в форме гиперболических параболоидов. -М., Стройиздат, 1977.

171. Милейковский И.Е., Райзер В.Д., Достанова С.Х., Кашаев Р.И. Нелинейные задачи расчета оболочек покрытия. -М., Стройиздат, 1976.

172. Милейковский И.Е., Трайнин Л.А. Построение координатных функций в методе конечных элементов с использованием однородных решений уравнений смешанного метода пологих оболочек. Труды 9 Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. -Л., Судостроение, 1975.

173. Михайлов Б.К. Пластинки и оболочки с разрывными параметрами. -Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1980.

174. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

175. Музыченко Ю.Н. Изгиб и устойчивость прямоугольных пластин, ослабленных прямоугольными вырезами. Труды 4 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, 1964.

176. Музыченко Ю.Н., Бабаян В.Р. Расчет пологой оболочки методом уточненных конечных разностей. Сб.: Расчет оболочек и пластин, Ростов-на-Дону, 1975.

177. Мухадзе Л.Г. К расчету пологой свободно опертой оболочки. Труды института строительного дела АН ГССР, вып. 7, Тбилиси, 1959.

178. Мухадзе Л.Г. Расчет пологих оболочек с применением обобщенного метода Мориса Леви. Сообщения АН ГССР, вып. 31, №2, 1963.

179. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигоиздат, 1957.

180. Назаров А.А. К теории тонких пологих оболочек. ПММ, т. 13, вып. 5, 1949.

181. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. — М.-Л., Стройиздат, 1966.

182. Назаров А.А. Уравнения равновесия пологих оболочек и их приложения. ПМ, т. 2, вып. 3, АН УССР, 1956.

183. Нарец Л.К. Расчет пластинок по Э-методу. Труды ТПИ, серия А, вып. 257, Таллин, 1967.

184. Нгуен Хиеп Донг Расчет пологих оболочек на действие локальных нагрузок численным методом последовательных аппроксимаций (МПА) // Одиннадцатая международная межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, аспирантов и докторантов. Сборник докладов. МГСУ - 2008. 67-71 с.

185. Нгуен Хиеп Донг Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету пологих оболочек. -Дисс. на соискание уч. степени канд. тех. наук. -М., МИСИ, 2008.

186. Нгуен Хоанг Ань Применение обобщенных уравнений метода конечных разностей к расчету оболочек. -Дисс. на соискание уч. степени канд. тех. наук. -М., МГСУ, 2015.

187. Низомов Д.Н. Численное решение динамических задач по расчету балок, плит и оболочек. Дисс. канд. техн. наук. -М., 1983.

188. Никиреев В.М., Шадурский В.Л. Практические методы расчета оболочек. М., Издательство литературы по строительству, 1966.

189. Новожилов В.В. Теория упругости. -Л., Судпромгиз, 1958.

190. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. -Л., Политехника, 1991.

191. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. -М., Издательство Московского Университета, 1969.

192. Олман Дж. Треугольные конечные элементы для расчета изгибаемых пластин при постоянных и линейно распределенных изгибающих моментах. Сб.: расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т. 1, Л., Судостроение, 1974.

193. Петров Ю.П. Дискретный метод расчета на прочность пологих оболочек двоякой кривизны, прямоугольных в плане. Сб.: Динамика и прочность машин, вып. 4, Харьков, 1966.

194. Попов О.Н., Моисеенко М.О. Решение нелинейных задач по определению напряженно-деформированного состояния разномодульных гибких пластин и

пологих оболочек, подкрепленных ребрами. Строительная механика и расчет сооружений, №5, 2007.

195. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. -Л., Судостроение, 1977.

196. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. -Л., Судостроение, 1974.

197. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. -М., Госстройиздат, 1948.

198. Пратусевич Я.А. О выборе подходящих функций при вариационном методе расчета пологих оболочек. Труды МИИТ, вып. 102, М., 1959.

199. Пухонто Л.М. О расчете пологой оболочки на действие сосредоточенной силы // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №6, 1960.

200. Рабинович Р.И. Некоторые задачи о колебаниях пластинок и пологих оболочек при конечных прогибах. Труды МИСИ, №53, М., 1968.

201. Рабинович Р.И. Применение метода конечных разностей с неравномерным шагом сетки для расчета пологих оболочек. Сб.: Железобетонные конструкции промышленных зданий, вып. 2, М., 1970.

202. Райссман К. Метод конечных разностей как вариант метода конечных элементов. Труды ЛКИ, вып. 85, Л., 1973.

203. Рекшинский B.C., Мизин Б.М. Расчет пологих оболочек на действие местной нагрузки // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №3, 1970.

204. Рекшинский B.C., Толкачев А.П. Уточненные разностные уравнения для расчета пластин, находящихся под действием сосредоточенных сил // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №8, 1968.

205. Ржаницын А.Р. Пологие оболочки и волнистые настилы /некоторые вопросы теории и расчета/. М., Госстройиздат, 1960.

206. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. Пер. с анг. -М., Мир, 1972.

207. Рогалевич В.В. Решение нелинейных задач изгиба пластин с использованием кубических сплайнов // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1977.

208. Розин Л.А. Метод конечных элементов в строительной механике // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1972.

209. Розин Л.А. Основы метода конечных элементов в теории упругости. Л., ЛПИ, 1972.

210. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. М., Энергия, 1971.

211. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л., ЛПИ, 1976.

212. Рябов Н.С. Расчет пластинок и оболочек методом последовательных приближений. Сб.: Расчет тонкостенных пространственных конструкций, М., Стройиздат, 1964.

213. Самарский А.А. Введение в численные методы. -М.: Наука, 1987.

214. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. М., 2000.

215. Саргсян А.Е., Демченко А.Т., Дворянчиков Н.В., Джинчвелашвили Г.А. Строительная механика. М., Высшая школа, 2000.

216. Сахаров А.С., Соловей Н.А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек. Сб.: Пространственные конструкции зданий и сооружений, вып. 3, М., 1977.

217. Сейфулаев Х.К. К расчету пологих оболочек с большим прямоугольным отверстием // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №6, 1976.

218. Сейфулаев Х.К. О граничных условиях при расчете пологих оболочек с плоским прямоугольным контуром. Ученые записки Азербайджанского политехнического института, №1, 1966.

219. Семенов А.А., Габитов А.И. Проектно-вычислительный комплекс SCAD в учебном процессе. М., АСВ, 2005.

220. Серпик И.Н. Высокопроизводительные многосеточные алгоритмы строительной механики тонкостенных конструкций. -М., АСВ, 2005.

221. Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости. М.: Редакционно-издательский центр Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации, 2002.

222. Сидоров В.Н., Золотов А.Б., Акимов П.А. Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений // Известия ВУЗов. Строительство, №10, 2004.

223. Слезингер И.Н. К расчету тонких пологих оболочек с прямоугольным планом. Сб.: Исследования по теории сооружений, вып. 18, М., Стройиздат, 1970.

224. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. -М., Трансжелдориздат, 1958.

225. Смирнов А.Ф. Численный метод расчета круглой пластинки переменной толщины при полярно-симметричной нагрузке. Труды МИИТ, вып. 194, -М., 1966.

226. Смирнов А.Ф. Численный метод расчета на устойчивость пластин переменной толщины. Труды МИИТ, вып. 164, М., 1963.

227. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. -М.: Стройиздат, 1964.

228. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания, -М., Стройиздат, 1978.

229. Смирнов В.А. Численный метод расчета трехслойных панелей на статические нагрузки. Труды МАРХИ, вып. 3, М., 1971.

230. Смирнов В.А. Численный метод решения некоторых краевых задач теории упругости для дифференциальных уравнений в частных производных. Сб.: Исследования по теории сооружений, вып. 17, М., Стройиздат, 1969.

231. Смоляк С.А. Сплайны и их применение // Экономика и математические методы, 1971, т. 7, №8. 419-431 с.

232. Справочник по теории упругости, под ред. Варвака П.М. и Рябова А.Ф. Киев: Будивельник, 1971.

233. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический, под ред. Уманского А.А. -М.: Стройиздат, кн.1 - 1972, кн.2 - 1973.

234. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М., Наука, 1976.

235. Столыпин Н.Н. К расчету пологой оболочки на линейные и полосовые нагрузки. Труды ЦНИИСК, вып. 35, М., 1974.

236. Стрельбицкая А.И. О влиянии сгущения сетки на результаты расчета пологих оболочек // Прикладная механика, т. 13, №3, 1977.

237. Суров K.JI. Расчет пологих тонких оболочек в усилиях // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1975.

238. Суров K.JL, Борзых Е.П. Расчет пологой тонкой оболочки в рядах при произвольных граничных условиях // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №3, 1975.

239. Тепавичаров А.Д. К расчету пологих прямоугольных в плане оболочек двоякой кривизны // Строительная механика и расчет сооружений, №1, 1973.

240. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости, перев. с англ. -М.: Наука, 1975.

241. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. -Киев, Наукова думка, 1972.

242. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М., Наука, 1966.

243. Трушин С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи. -М., АСВ, 2008.

244. Угодчиков А.Г., Длугач М.И., Степанов А.Е. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. -М., Высшая школа, 1970.

245. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963.

246. Федоров Ю.П. Расчет оболочек с защемленными и шарнирными кромками. Труды МАДИ, вып. 124, М., 1976.

247. Федоров Ю.П. Расчет пологой оболочки с шарнирными кромками методом прямых. Труды МАДИ, вып. 107, М., 1975.

248. Филин А.П. Расчет оболочек на основе дискретной расчетной схемы /МКЭ/ с применением ЭЦВМ. Сб.: Большепролетные оболочки, т. 1, М., Стройиздат, 1969.

249. Филиппов А.П., Бултаков В.Н., Воробьев Ю.С., Кантор Б.Я., Юрченко Г.А. Численные методы в прикладной теории упругости. Киев, 1968.

250. Фрадлин Б.Н., Шахновский С.М. О решении дифференциального уравнения равновесия прямоугольной в плане пологой оболочки по методу М. Леви при различных закреплениях ее контура // Известия КПИ, вып. 31, Киев, 1961.

251. Фрид И., Ионг O.K. Наилучшее распределение конечных элементов вокруг особенностей. РТиК, №9, 1972.

252. Хечумов Р.А., Нафасов Э. Расчет пологих оболочек в цилиндрических координатах. М., Стройиздат, 1991.

253. Хечумов Р.А., Кеплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. -М., АСВ, 1994.

254. Хренников А., Тецкан С. Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов. Сб.: Большепролетные оболочки, т. 1, М., Стройиздат, 1969.

255. Христенко А.С., Калько А.Э. Расчет прямоугольной в плане пологой оболочки с помощью двойных тригонометрических рядов при локальной нагрузке. Труды Николаевского кораблестроительного института, №46, 1971.

256. Чаусов Н.С. Применение ЭВМ при расчете инженерных сооружений. М., Госстройиздат, 1962.

257. Чернева И.М. Стержневая расчетная схема пластин и оболочек и метод конечных элементов. Труды ЛИИЖТ, вып. 284, Л., 1968.

258. Чирас А.А. Строительная механика // М.: Стройиздат, 1989.

259. Шаишмелашвили В.Н. К приближенному расчету пологих оболочек. Труды института строительного дела АН ГССР, вып. 7, Тбилиси, 1959.

260. Шаишмелашвили В.Н. О некоторых методах расчета пологих оболочек. Труды института строительного дела АН ГССР, вып. 5, Тбилиси, 1955.

261. Шаишмелашвили В.П Расчет вспарушенной плиты методом конечных разностей. Труды научных корреспондентов института строительного дела АH ГССР, вып.2, Тбилиси, 1958.

262. Шаишмелашвили В.П Расчет пологих оболочек методом полос // Сообщения ЛЯ ГССР, т. 18, №2, Тбилиси, 1957.

263. Шайкевич В.Д. Сплайн-аппроксимация при определении перемещений упругих систем // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, №3, 1975.

264. Шайкевич В.Д. Теория сплайнов и некоторые задачи строительной механики // Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1974.

265. Шапошников H.H. Hекоторые свойства матриц реакций для прямоугольника и использование их для решения задач по методу конечного элемента. Тр. МИИТ, 1973, в. 422. 183-192 с.

266. Шапошников H.H. Расчет пластинок на изгиб методом конечных элементов. Труды МИИТ, вып. 260, М., 1968. 134-144 с.

267. Шапошников H.H., Волков А.С. Расчет пластинок и коробчатых конструкций методом конечных элементов // Исследования по теории сооруж.,1976, в. XXII. -М.: Стройиздат. 134-146 с.

268. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC.visualNastran for Windows. -М., ДМК, 2004.

269. Шрамко В.В. Развитие численного метода последовательных аппроксимаций применительно к расчету пологих оболочек и пластин. Дисс. на соискание уч. степени канд. тех. наук. -М., МИСИ, 1979.

270. Argyris J.H., Kelsey Е. Energy Theorems and Structural Analysis. -In: Aircraft Engineering, Vols. 26 and 27, 1955.

271. Barraco A. Application de la methode des elements finis au calcul des plaques flechies. "Conrtr.Metal.", №3, 10, 1973.

272. Clough R.W.: The Finite Element in Plane Stress Analysis. -Proceedings 2nd A.S.C.E. Conference on Electronic Computation, Pittsburg. Pa. Sept. 1960.

273. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. In: Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 49 (1943)1. 1-23 S.

274. Gabbasov R.F. Grundlagen einer numerische Integrationsmethode zur Lösung Von Randwertproblemen. -Wiss. Zeitsch. Der Techn. Universitat Dresden, 1977, Heft 2. 479-781 S.

275. Gabbasov R.F. Numerische Integrationsmethode zur Lösung der Po'issonseben Gleichung. -Math. Gesellschaft der DOR, -Wiss. Hanpttagung 1974, Vortraganszuge. 201-203 S.

276. Gabbasov R.F. Numerische Integrationsmethode zur Lösung von Randwertproblemen der Baumechanik. Wiss. Zeitsch. der Hochsekule fur Areh. unol Bauw. Weimar, 1975, Heft 2. 146-148 S.

277. Gabbasov R.F. Uber eine numerische Methode Zur Losung einer Systems gewohulicher Differentialgleichungen ersber Orduung. -Wiss. Zeitseb. der Hochsch. fur Arek. und Bauw. Weimar, 1974, Heft 2. 163-164 S.

278. Gabbasov R.F., Koppler H. Vergleich der Losung genaherter Differentialgleichungen fur Sebalen in elasbiseber Umgebung mit anderen Berebnugsmeboden. -Wiss. Zeitseb. der Hochsch. fur Arek. und Bauw. Weimar, 1974, Heft 3/4. 321-325 S.

279. Gabbert U. Die Methode der fmiten Elemente zur Berechunag axialsymmetrischer Korper. -Wiss. Zeitseh. Techn. Hochschule O. Gueriche Magdeburg, 1972, 16, №4. 311-322 S.

280. Gienche E. Ein einfacher finites verfahren zur Berechnung von Flacbentrawerke. -Wiss. Zeitseb. Der Hockseh. fur Arch, und Bauw. Weimar, 1969, Heft 3. 65-80 S.

281. Hampe E. Mathematische Verfahren in der Bautechnik. V. JKM, Berichten, Weimar, 1969. 17-28 S.

282. Karamauski T.D. Eine Methode zur Bildung von Differenansdriichen mit erhokter Genauigkeit. -V - JKM, Berichte, Weimar, 1969. 187-192 S.

283. Koppler H.: Die Methode der finiten Elemente als Spezialfall der RITZschen Methode zur Losung von Variationsaufgaben. -In: Wiss. Zeitschrift d. HAB Weimar. Weimar 20, 1973, Heft 1. 101-102 S.

284. Przemienieski J.S. Theory of matrix Structural Analysis N.Y., "Mo-Graw-Hill Book Company", 1968.

285. Turner M.J. Clough R.W. Martin H.C. Topp L.J. Stiffness and deflection analysis of Complex Structures. "J.aero.Sci.", №23, 1956.

ПРИЛОЖЕНИЯ

АН ФВДШРАЩШШ

% ж ж ж ж ж

ж ж

ж ж ж ж ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

ж %

жжжжжж |ж

ж ж ж

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2018616521

«Расчет пологих оболочек на некоторые вилы динамических

воздействий»

Правообладатель: Боброва Валерия Игоревна (IIV)

Автор: Боброва Валерия Игоревна (Я11)

Заявка № 2018613639

Дата поступления 13 апреля 2018 Г. Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 01 ИЮНЯ 2018 г.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

а—о—в.—

Г. П. Ивлиев

ж ж ж

ж ж ж ж ж

Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж

ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

'ЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖ'