Численный анализ задач неклассических теорий анизотропных оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ермаков, Андрей Михайлович

• Ермаков, Андрей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ермаков, Андрей Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

1 Глава. Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных нано-трубок.

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Соотношения теории оболочек.

1.4 Численный метод.

1.5 Результаты расчета.

2 Глава. Напряженно-деформированное состояние ортотропной эллипсоидальной оболочки, находящейся под действием внутреннего давления.

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Численный метод.

2.4 Сферическая трансверсально-изотропная оболочка.

2.5 Сферическая ортотропная оболочка.

2.6 Эллипсоидальная трансверсально-изотропная оболочка.

2.7 Эллипсоидальная ортотропная оболочка.

2.8 Большие деформации ортотропной эллипсоидальной оболочки под действием внутреннего давления.

3 Глава. Напряженно-деформированное состояние ортотропных неоднородных сопряженных эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления.

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи.

3.3 Численный метод.

3.4 Деформация корнеосклеральной оболочки глаза.

3.5 Зависимость прогиба роговицы от механических параметров оболочек.

3.6 Сопряженные оболочки, сферическая и имеющая форму вытянутого эллипсоида.

3.7 Сопряженные оболочки, сферическая и имеющая форму сплюснутого эллипсоида.

3.8 Деформация оболочек, приводящая к миопии.

3.9 Деформация оболочек, приводящая к гиперметропии.

3.10 Исследование сопряженных неоднородных сферических оболочек.

3.11 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ задач неклассических теорий анизотропных оболочек»

Уравнения теории упругости в криволинейной системе координат позволяют исследовать деформации произвольной упругой оболочки, но решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упругости сопряжено с большими трудностями. Однако такая особенность оболочек, как малая толщина по сравнению с остальными размерами, открывает перспективы заметного упрощения исходных зависимостей без ощутимой потери точности в окончательных результатах. Очевидно, имеется много возможных путей приведения задач теории упругости к двумерным задачам для тонкостенных объектов типа пластинок и оболочек. Основные, относящиеся к этому вопросу результаты, освещены в обзорах И. И. Воровича [21] с упором на задачи статики; состояние проблемы приведения уравнений теории упругости к двумерным уравнениям при решении динамических задач изложено в работах Л. Я. Айнолы [2, 5]

Весьма условно методы получения уравнений теории оболочек можно разделить на следующие основные группы: (1) асимп тотические методы, (2) вариационные методы, (3) аналитические методы.

Первый из них предполагает использование чисто математических приемов - разложение всех компонент перемещений и деформаций в ряды по тем или иным функциям координаты малого параметра ъ (толщина оболочки), последующее удержание ограниченного числа членов и использование асимптотических методов решения. Метод асимптотического интегрирования, использующий малость относительной толщины оболочки, не только приводит к приближенным двумерным уравнениями, но и дает асимптотический порядок их погрешности. Для линейных конструкций этот метод успешно использовался во многих работах ([27, 29] и др.), подробно данный метод представлен в монографии А.Л. Гольденвейзера [27]. Для нелинейных задач применение метода асимптотического интегрирования наталкивается на существенные трудности. В работе П.Е. Товстика [93] при некоторых предположениях дается вывод двумерных нелинейных уравнений теории оболочек асимптотическим методом. Материал оболочки предполагается нелинейно-упругим и изотропным. Метод представления решения трехмерных уравнений упругости в виде степенного ряда по нормальной к срединной поверхности координате изложен в монографии [19].

Исторически оправдана высокая оценка роли вариационных методов для вывода краевых условий к системе дифференциальных уравнений, моделирующих тонкое упругое тело сложной конфигурации и строения. Одной из основных в области применения вариационных методов в линейной теории пластинок и оболочек можно считать монографию Л. С. Лейбензона [63]. Данное в ней изложение методов Лагранжа, Кастильяно и Трефтца для случая пластинки открыло также возможности обобщения этих результатов и на линейную теорию оболочек. Подлинное значение вариационных методов выявилось при дальнейшем развитии теории оболочек, в связи с постановкой новых задач нелинейной теории, созданием теории анизотропных и слоистых оболочек, попытками усовершенствовать линейную теорию оболочек. Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес. Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек [4, 22]. Первые вариационные формулировки нелинейной теории оболочек были построены по интуиции. Среди них можно назвать вариационные уравнения смешанного типа обобщенной теории Кармана [4], а также уравнения общей нелинейной теории [23]. Немного позже [1] на примере уравнений типа Кармана было показано, что при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа можно из вариационной формулы возможных перемещений вывести замкнутую (с возвращением в исходную) систему вариационных формул; в случае уравнении Кармана число различных формул оказалось равным 181. В общей нелинейной теории это число может оказаться еще больше. К. 3. Галимов, разрабатывая в своих трудах вариационные формулы общей теории (точной в рамках гипотез Кирхгоффа), не обращал внимания на промежуточные результаты - вариационные формулы, а стремился к узловым точкам замкнутой цени этих формул. Основные результаты этой работы приведены в монографии [72]. Весьма полный набор известных в теории изотропных оболочек вариационных формул обобщен Н. К. Галимовым [24] на нелинейную теорию трехслойных оболочек.

Третий подход, нашедший широкое применение в теории изгиба балок, пластин, оболочек, основан на чисто физическом анализе задачи. Принимаются кинематические и силовые гипотезы. При построении их широко привлекаются известные точные решения задач теории упругости, экспериментальные данные, хорошо зарекомендовавшие себя гипотезы, принятые в теории более простых сооружений.Построенные методом гипотез теории называют иногда [5, 39] полуобратным методом теории упругости. Они являются наглядными и часто позволяют получить простые разрешающие соотношения. Однако такой подход не обладает возможностью построения процесса для уточнения получаемых результатов, и иногда возникают трудности при оценке погрешности принятых аппроксимаций. Классическая теория тонких оболочек основывается на известных гипотезах Кирхгоффа-Лява, которые формулируются следующим образом: Предполагается, что прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными и перпендикулярными к изогнутой срединной поверхности. Длина волокон, перпендикулярных к срединной поверхности, остается неизменной в процессе деформации и нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями. Как показано в [67] эти гипотезы приводят в исходных уравнениях к погрешности порядка h/R по сравнению с единицей. Такая погрешность вполне приемлема при расчете многих конструкций, встречающихся в различных областях техники, особенно металлических конструкций. Классическая теория пластин и оболочек, разработанная сначала для изотропных однородных структур, получила широкое применение и в механике анизотропных конструкций [5, б, 7, 64, 65]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пласгин и оболочек от теории изотропных заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [11, 18]. Для ряда ортотропных объектов (прямоугольных и круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [5, 6, 18, 64]. Однако существует достаточное количество оболочек, в первую очередь изготовленных из неметаллических материалов, где точность классической теории становится недостаточной. У таких оболочек велико отношение толщины к радиусу. Кроме того, многие синтетические материалы обладают повышенной податливостью на межслоевой сдвиг и потому даже сравнительно небольшие по величине касательные напряжения, вызывающие сдвиг параллельных слоев, заметно влияют на общую деформацию оболочки. Теория изгиба таких оболочек требует введения более строгих гипотез, чем гипотезы Кирхгоффа-Лява. В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига. Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко - гипотезе прямолинейного элемента [69, 77]. В монографии [69] последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и таким образом фактически учтена трансверсальная изотропия материала оболочки. В ряде работ [35, 36] теорию, изложенную в [69], называют теорией грансверсально-изотропных оболочек. Развивались также модели теории оболочек и пластин, в которых задавались законы распределения касательных напряжений, согласованные с условиями нагружения лицевых поверхностей. Таким уточненным теориям анизотропных пластин и оболочек, посвящены монографии С.А. Амба рцумяна [11,18]. Для уточнения классической теории оболочек он предложил задавать распределение поперечного сдвига но параболе; это положение заменяет гипотезу Кирхгоффа-Лява о сохранении нормали к срединной поверхности после деформации. Построение теории на основе этой гипотезы несколько сложнее, чем по энергетическому методу, примененному Э. И. Григолюком, но в более или менее существенной мере это проявляется только в нелинейных задачах. Основная из теорий С.А. Амбарцуияна, названная общей уточненной теорией, основана на гипотезах Новожилова В.В. [67]: нормальное к срединной поверхности перемещение не изменяется по толщине, а касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной поверхности пластины, изменяются по толщине пластины по квадратичному закону. Эта теория позволяет получить более точное значение нормальной к срединной поверхности составляющей вектора перемещений. В монографии [11] на основе общей уточненной теории представлены решения задач об изгибе прямоугольных ортотропных пластин и симметрично нагруженных круглых пластин при различных условиях опирания краев. В работе Палия О.М., Спиро В.Е. [68] для оболочек средней толщины были,предложены следующие уточняющие гипотезы: прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными и косинус угла наклона таких волокон к срединной поверхности деформированной оболочки равен осреднен-ному углу поперечного сдвига. Так же при построении теории оболочек средней толщины учитываются напряжения, путем введения сложной функции изменения длины нормали к поверхности. Новая уточненная итерационная теория деформаций анизотропных пластин, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевых задач, представлена в монографии В.А.Родионовой, Б.Ф.Титаева, К.Ф.Черныха [73]. Методом гипотез построена линейная теория неоднородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливости поперечным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединной поверхности, поперечных нормальных напряжении и нелинейного распределения компонент вектора перемещения по толщине оболочки. Предложенную теорию можно трактовать как первое приближение при приведении краевой задачи трехмерной теории упругости к двухмерной методом взвешенных невязок. Вводятся статические гипотезы о распределении но толщине оболочки поперечных касательных и нормального напряжений по закону соответственно квадратной и кубической параболы и кинематические гипотезы о распределении но толщине оболочки тангенциальных и нормальной составляющих вектора перемещения по закону полинома соответственно третьей и второй степени от z. Функции, описывающие деформацию слоя оболочки по теории Ро-дионовой -Титаева- Черныха предлагается искать в виде рядов по полиномам Лежандра от координаты z. Вопросам нелинейной теории оболочек посвящены труды И.И.Воровича, A.C. Вольмира, Э.И. Григолюка, К.З. Галимова, К. Ф. Черныха, С. А. Кабрица и др. В работе [81] предложен вариант нелинейных уравнений К.Ф. Черныха, учитывающий "кинематическое"обжатие. Еще один вариант нелинейных уравнений, учитывающих поперечные сдвиги по модели Тимошенко, представлен в работе [56]. Анализ осесимметричного деформирования полусферы, находящейся под действием внешнего давления, проведен в работе [55] на основе моделей, преложенных в [56, 81]. Отмечается, что обе теории дают близкие результаты на начальном участке диаграммы деформирования и на участке зеркального выворачивания, но дают существенно разные результаты в "критической"области. Различные подходы к исследованию нелинейных задач о деформировании тонкостенных конструкций деформирования тонкостенных конструкций произвольного вида обсуждаются в монографии [33]. Кроме квадратичных вариантов нелинейных уравнений пластин и пологих оболочек, представлены варианты квадратичных уравнений не пологих оболочек Э.И. Григолюка, в частности вариант теории непологих многослойных анизотропных оболочек произвольного вида. Методы решения геометрически нелинейных задач рассматривались в работах Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Мяченкова В.И., Григорьева И.В. [35, 36, 37, 38, 39]

При расчете напряженно-деформированного состояния составных оболочек вращения ко всем другим сложностям добавляются трудности, связанные с выполнением кинематических и статических условий в месте контакта оболочек. Более ранние работы, посвященные расчету составных оболочек вращения, выполнены в линейной постановке при осесимметричном нагружении [70], линейные неосесимметричные задачи представлены в работе [74], осесимметричные физико-нелинейные задачи - в [31], геометрико-физические нелинейные задачи - в работе [54]. В статьях [59, 62] предложена методика расчета неосесимметрич-ного термоупруго-пластического НДС оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при использовании полуаналитического метода конечных элементов. Задача решается в рамках линейной теории оболочек Кирхгоффа-Лява. В качестве примера рассмотрено неосесимметричное НДС цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами. В работе [26] представлена методика расчета напряженно-деформированного состояния в линейной постановке составных разветвленных оболочек вращения, основанная на применении методов строительной механики.

В большинстве работ, посвященных исследованию напряженно - деформированного состояния слоистых структур, рассматриваются модели, в которых полагается, что контакт между смежными слоями является идеально жестким, и компоненты вектора перемещений остаются непрерывными по толщине. Однако в ряде случаев представляет интерес ослабленный контакт слоев. В работе [18] изучаются малые осесимметричные деформации оболочек вращения из слоистого материала при наличии упругого проскальзывания по поверхности контакта между слоями. Расче г проведен для двуслойной цилиндрической оболочки. В монографии [42] 'рассмотрен ряд задач о деформировании цилиндрических и сферических оболочек при идеальном проскальзывании слоев. В работе [40] • анализируются различные модели деформирования слоистых оболочек с различными условиями контакта слоев, а также рассмотрены различные модели расслоений - одного из наиболее распространенных дефектов в конструкциях из слоистых материалов. В ряде работ классический подход использован для решения задач об осесимметричном изгибе круглых изотропных пластин в случае, когда модуль упругости или толщина оболочки являются функциями радиальной координаты. Расчету многослойных пластин и оболочек посвящено большое число работ, которые можно подразделить на две группы. Отличительной чертой первой группы является принятие гипотез, характеризующих поведение всего пакета в целом. В этом случае порядок системы уравнений не зависит от числа слоев. Для второй группы характерно то, что гипотезы формулируются для каждого слоя отдельно. Теории, основанные на гипотезе ломаной линии, применяемые для многослойных оболочек, представлены в работах Э.И. Григолюка [32]. В связи с тем, что линейное распределение перемещений по толщине не всегда согласуется с решением трехмерных задач, получили развитие и другие модели. В работе [41] представлен обзор исследований, посвященных физически и геометрически линейным анизотропным неоднородным оболочкам. Рассматриваются особенности, которыми обладают неоднородности, вызванные различными способами изготовления и температурными воздействиями. Проведено сравнение решений, полученных на основе некоторых уточненных теорий и в пространственной постановке. При решении задач о напряженно - деформированном состоянии конструкций, состоящих и из массивных частей и из тонкостенных элементов, также не всегда удобно везде применять трехмерные уравнения теории упругости. Работа [51] посвящена построению гетерогенной линейной математической модели теории упругости, то есть теории, в которой одновременно используются модели разной мерности. Общие уравнения теории упругости используются для более массивных составных частей конструкции, для тонкостенных областей используется теория оболочек типа Тимошенко.

Целью данной работы является построение моделей сложных биомеханических и нано объектов; исследование влияния геометрии и физических свойств материала (степени анизотропии) на напряженно-деформированное состояние объектов.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе моделируется воздействие зонда на асбестовую на-нотрубку, лежащую над порой лавсановой мембраны. Вторая глава посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления, исследованию зависимости "объем-давление" которая в офтальмологии характеризует стенерь ригидности глаза человека. В третьей главе для глаза рассматривается более сложная модель. Оболочка глаза рассматривается как составная.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ермаков, Андрей Михайлович

3.11 Выводы.

При моделировании склеральной оболочки глаза как трансверсально-изотропной оболочки отмечено, что воздействие внутреннего давления не существенно влияет на изменение передпее-задней оси глаза. Эллипсоидальные оболочки под действием внутреннего давления стараются принять сферическую форму, наибольший прогиб происходит в более пологой части. Так прогиб в окрестности нижнего полюса для вытянутой эллипсоидальной оболочки существенно меньше по сравнению со сферической, а в случае сплюснутой оболочки существенно больший. Угол между касательными к оболочкам на линии сопряжения увеличивается с ростом давления, а окрестность точки сопряжения становится более гладкой. Следует отметить, что оболочка, имеющая форму вытянутого эллипсоида, менее деформируется под действием внутреннего давления, чем обоочка, имеющая форму сплюснутого эллипсоида. При исследовании ортотронных оболочек отмечено, что в случае, когда Е^/Е^ > 1 картина деформации оболочки будет соответствовать состоянию миопии. В обратном же случае, когда Е^/Е^ < 1 картина деформации соответствует состоянию гиперметропии. В случае неоднородной трансверсально-изотропной материи, модули упругости которой уменьшаются при приближении к точке нижнего полюса, максимальный прогиб происходит в тыльной части глаза, картина деформации соответствует состоянию миопии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ермаков, Андрей Михайлович, 2011 год

1. Айнола Л. Я. Вариационные задали в нелинейной теории упругих оболочек. ПММ. 1957. Т .21. 3.

2. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек, Изв.АН Эст.СССР, Сер.физ.-мат.и техн.н., 1965, т.14, с.337-344

3. Айнола Л. Я. О геометрически нелинейной теории динамики упругих пластин.- Прикл.мех., 1965, т.1, вып,8, 7-16.

4. Алумяэ, Н. А. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в после критической стадии / Н. А. Алумяэ // ПММ. 1950.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Наука, 1987. 360 с.

6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М. 1961. 384 с.

7. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. 1974. 446 с.

8. Андриевский P.A. , Глезер A.M. Прочность наноструктур // УФН 2009, т. 179(4), с. 337.

9. Анкундтюв А. В., Вауэр С. .М., Ермаков А. М., Каштанова С. В., Морозов Н. Ф. О механических параметрах асбестовых нанотрубок Современные проблемы механики сплошной среды, Труды конференции, т.1, с.35-38

10. Аргатов И.И. Оценка погрешности расчета линейно-упругого композита симметричного строения как изотропной пластины Вестник С.-Петербургского ун-та. 1993, Nol. С. 61-66.

11. Бауэр С.M., Воронкова Е.Б., Ермаков А.М. О моделях фиброзной оболочки глаза для анализа зависимости "объем-давление". Биомеханика 2010, X Всероссийская конференция. Тезисы доклада. Саратов

12. Бауэр С.М., ' Замураев Л.А., Котляр К.Е. Модель трансверсально-изотропного сферического слоя для расчета изменения внутриглазного давления при интрасклеральных инъекциях, Российский журнал биомеханики, 2006, N 2, с. 43-49

13. Бауэр, С.М., Б.А. Зимин, П.Е Товстик. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 92 с.

14. С.М. Бауэр, А.М. Ермаков, C.B. Каштанова, Н.Ф. Морозов Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных ианотрубок. Вестник СПБ ГУ №1, издательство СПБГУ, Санкт-Петербург, 2011г

15. Белотоцкий В.И., Кумзеров Ю.А., Фокин A.B. Генерация второй оптической гармоники в нанопроволоках сегнетоэлектрических материалов // письма в ЖЭТФ, 2008, т. 87, с. 465.

16. Василенко А. Т. Осесимметричная деформация слоистых оболочек вращения с различными условиями контакта слоев. Прикладная механика, 1997, т.33, No 9. С. 50-55.

17. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. Машиностроение, 1988, 272 с.

18. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. 286 с.

19. Волков В.В, Вяземский С., Малышев Л., Мамаев О., Павилайиен В.Я., Саулгозол Ф.Ж.Исследование напряженного состояния роговицы живогоглаза человека методом фотоупругости. Известия А.Н. ЭССР. Физика, математика 1988 т. 37 с. 76-84

20. Ворович И. И. Общие проблемы теории пластин и оболочек: обзорный доклад]. Труды "У1 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Баку 1966; М.: Наука, С. 896-903.

21. Галимов К. 3. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях // ПММ. Т. XV. - Вып. 6. - 1951. - С. 723-742.

22. Галимов К. 3. К вариационным методам решения задач нелиней ной теории пластин и оболочек. Известия АН СССР, серия физ.-мат. наук,. 1956, вып. 10

23. Галимов Н. К. "К устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек Исслед. по теор. пластин и оболочек, 3, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1965, 157-172

24. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М. Изд-во Физ-Мат. лит., 1959. - с. 14-24

25. Гнитъко В. И. Расчет неосесимметричного термоупругопластического состояния разветвленных оболочек вращения полуаналитическим методом конечных элементов / В.И. Гнитько, В.А. Мерзляков // Прикл. мех., 2002, №8. 105-115.

26. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976. 512 с.

27. Гольденвейзер А.Л Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана, ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 96-108.

28. Гольденвейзер А.Л Асимптотический метод в теории оболочек, Успехи механики, 1982. Т.5. С. 137-182. М.: Наука, 1976. 512 с.

29. Григолюк Э.И., Селезов И. Т. Неклассические модели колебаний стержней, пластин и оболочек. М.1973, 274 с.

30. Григолюк Э.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши / Э.И. Григолюк., В.И. Мамай // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Горький, 1979. 3-19.

31. Григолюк Э.И. Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. М.:Машиностроение, 1988. 288 с.

32. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М., Наука, 1997. 272 с.

33. Григолюк Э.И., Коган Е.А., Мамай В.И. Проблемы деформирования тонкостенных слоистых конст-рукций с расслоениями. Изв. РАН. Мех. твердого тела, 1994, N0,2. С. 6 -32.

34. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев, Наукова думка, 1973. 223с.

35. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных пластин.// Прикл. ме-ханика, 1997, т. 33.N0,11. С. 3 -37.

36. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Панкратова Н.Д. Задачи теории упругости неоднородных тел. К., Наукова думка, 1991, 216 с.

37. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Теория оболо-чек переменной жесткости. К., Наукова думка, 1981, -544 с. (Методы расчета оболочек, в 5 т.,т.4)

38. Григоренко Я.М., Савула Я.Г. Коссак О. С Иссле-дование напряженно -деформированного состояния упругих тел на основании гетерогеннойматемати-ческой модели.// Прикладная механика, 2000, т. 36. Nol2. С. 71 -77.

39. Гузъ А.Н., Кнюх В.И., Назаренко В.М, Расслаивание композиционных материалов при сжатии вдоль внутренних и приповерхностных макротрещин/ / Прикладная механика 1986, т.22, №11. 40-46.

40. Егоров Е. А. Диагностическая ценность побледнения диск а зрительного нерва при глаукоме. / / Вестн. офтальмологии. 1978, №3. 6-8

41. Екимов A.C. Витрэктомия па "сухом глазу "в лечении посттравматических отслоек сетчатки. Автореф. дис. канд. мед. наук. Красноярск, 1997. 19 с.

42. Елецкий А В. Механические свойства углеродных структур и материалов на их основе // УФН 2007, т. 177(3), с. 233.

43. Еремеев В.А., Е.А.Иванова Е.А., Морозов Н.Ф. Механические проблемы в нанотехнологии // Известия Саратовского ун-та, Серия Математика, Механика, Информатика, 2008, т. 8(3), с. 25.

44. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние трансверсально-изотропных сопряженных эллиптических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Вестник СПБГУ №3, издательство СПБГУ, Санкт-Петербург, 2009г

45. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние склеры и роговицы как ортотропных неоднородных сопряженных сферических оболочек. Российский Журнал Биомеханики, №1 издательство ПГТУ, Пермь, 2009 г

46. Ермаков A.M. К вопросу о деформировании склеры. Межд. Научная конф. по механике. Пятые Поляховские чтения, Тезисы докладов, С.Петербург, 2009,

47. Ермаков A.M. О деформации ортотропных склеральных оболочек при большом внутриглазном давлении. Биомеханика 2010, X Всероссийская конференция. Тезисы доклада. Саратов

48. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф. К вопросу об изменении параметров жесткости // ЖТФ 2006, т. 76(10), с. 74.

49. Иомдина E.H. Механические свойства глаза человека. Современные проблемы биомеханики. Выпуск 11. Изд-во ММГУ 2006. с. 183-201

50. Кабанов В. В Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесим-метричном давлении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Расчет элементов конструкций летательных аппа-ратов. М.: Машиностроение, 1982. 83-85.

51. Кабриц С.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом попе-речного сдвига Механика твердого тела. 1996, No,l. С. 124 -136.

52. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К. Ф., Шамина

53. B.А. Общая нелинейная тео-рия упругих оболочек. (Под ред. Черныха К.Ф., Кабрица С.А.) СПб, Изд-во СПбГУ, 2002, 386 с.

54. Краковская Е.В Приложение теории сопряженных оболочек к задачам офтальмологии. Семинары труда "Компьютерные методы в механике сплошной среды "Изд-во СПбГУ 2006 с. 5-19.

55. Кривцов А. М., Морозов II. Ф. Аномалии механических характеристик на-норазмерных объектов// Доклады Академии Наук, 2001, т.381, Вып.З,1. C.345-347

56. Кузнецов В. В. Исследование нелинейного на-пряженно- деформированного состояния разветв-ленных оболочек/ В.В. Кузнецов, СВ. Левяков // Строит, механика и расчет сооруж. 1992, №1.-С.10-14. )s V

57. Кумзеров Ю.А., Парфеньева Л.С., Смирнов И.А., Кривчаков А.И., Звягина Г.А., Филъ В.Д., Мисиорек X., Муха Я., Ежювский А. Тепловые и акустические свойства хризотилового асбеста // ФТТ, 2005, т. 47, с. 357.

58. Лавендел Э.Э. Расчет резино-технических изделий. М., Машиностроение, 1997. - с. 146-154

59. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство / К. Ланцош. М.: Физматгиз, 1961. -524с. ЗВ.Лебедев Н.Н, Температурные напряжения в теории упругости /' H.H. Лебедев.- Л., М.: ОНТИ, 1937. - 110 с.

60. Лейбензон, Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости / Л. С. Лейбензон. М-Л. : ОГИЗ, 1943. - 228 с. 3.

61. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.;Л: Гостехиздат: 947. 355 с.

62. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.;Наука, 1977. 415 с.

63. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости.//М: Гостехиздат, 1955. 492 с.

64. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1962. 431с.

65. Палий О. М., Спиро В. Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. Л.: Судостроение. 1977г. с. 20-32

66. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиго-вой жесткостью. Киев, "Наукова думка 1973, 248 с.

67. Мслан Э. Термоупругие напряжения, вызы-ваемые стадион арными температурными полями / Э. Мелан, Г. Паркус. Пер. с нем. М.: Физматгиз, 1958. - 167 с.

68. Морщинина A.A. К вопросу о математическом моделировании глаукомы./ / Компьютерные методы в механике сплошной среды: сб. трудов. Изд-во СПбГУ, 2009. - с. 76-97

69. Муштари X. М., Галимов К. 3., Нелинейная теория упругих оболочек, Казань, 1957

70. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболо-чек. СПб.: Изд-во С.-Пстерб. ун-та. 1996. 280 с.

71. Рогалевич В.В. Решение краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокации / В . В . Рогалевич // Прочность и устойчивость оболочек: Труды семинара. Казанск. физ.-техн. ин-т, 1980 ,№13 . -С . 5-20.

72. Саулгозис Ю.Ж. Особенности деформирования склеры. Механика композитных материалов. №3. с. 505-514

73. Сомов Е.Е. Клиническая анатомия органа зрения человека. М.: Медпресс-информ., 2005, 136 с.

74. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки., M.-JL, 1948. 480 с.

75. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестник С.-Пб. Ун-та. Сер.1, 2007, т. 3, с. 49.

76. Филин А.П. Элементы теории оболочек. JI. Стройиздат, 1975. - с. 29-31

77. Филипов С.В. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. Изд-во СПБГУ 1999, 196 с

78. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.,"Машиностроение 1986, 336 с.

79. Bauer S.M., Ermakov A.M. Voronkova E.B. Tonometric Estimation of Mechanical Properties of a Cornea and Sclera. ARVO 2009 Annual Meeting, Fort Lauderdale, Florida, 2009

80. Bauer S.M., Ermakov A.M. Voronkova E.B., Kotliar K.E. Biomeclianical Analysis of Parameters Influencing -Pressure-Volume Relationship in the Human Eye. ARVO 2009 Annual Meeting, Fort Lauderdale, Florida, 2010

81. Changgu Lee, Xiaoding Wei, Jeffrey W. Kysar, James Hone Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene / / Science 2008, v. 321, c. 385.

82. L.H. Donnell Beams, Plates and Shells. McGraw-Hill Book Company, 1976.

83. Duke-Elder. Diseases of the eye, twelfth edition by sir Stewart, London,1956 443 p

84. Jean-Paul Salvetat, G. Andrew, D. Briggs, Jean-Marc Bonard, Revathi R. Bacsa, Andrzej J. Kulik, T. Stockli, N. A. Burnham, L. Forro Elastic and

85. Shear Moduli of Single-Walled Carbon Nanotube Ropes // Phys. Rev. Lett 1999, v. 84, c. 944.

86. G. Y. Jing, H. L. Duan, X. M. Sun, Z. S. Zhang, J. Xu, Y. D. Li, J. X. Wang, and D. P. Yu Surface effects on elastic properties of silver nanowires: Contact atomic-force microscopy // Phys. Rev. B 2006, v. 73, c. 235409.

87. John E. Sader, James W. M. Chon and Paul Mulvaney Calibration of rectangular AFM cantilevers 11 Rev. Sci. Instr. 1999, v. 70, p. 39-67.

88. Lang O.K. Ophthalmology, Stugart New York, Thieme, 2000, 566 p.

89. Ronald E. Miller, Vijay B. Shenoy Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology 11. 2000. pp. 139-147.

90. D.M. Schaefer, A. Patil, R.P. Andres, R. Reifenberger Elastic properties of individual nanometer-size supported gold clusters // PRB 1995, v. 51, p. 5332.

91. Toustik P.E. Derivation of two-dimensional equa-tions of shells od revolution from three-dimensional eq-uations of nonlinear theory of elasticity // Strength problems of deformed bodies, St.Petersburg, (1),189-201, 1997t