Численный анализ электромагнитного поля при распространении УКВ в случайно-неоднородной тропосфере над морской поверхностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Захаров Федор Николаевич

• Захаров Федор Николаевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Захаров Федор Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

1 МЕТОДЫ РАСЧЁТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

1.1 Аналитические методы расчёта характеристик электромагнитных полей

1.1.1 Метод малых возмущений

1.1.2 Метод геометрической оптики

1.1.3 Другие методы, основанные на лучевом приближении

1.1.4 Метод плавных возмущений

1.1.5 Метод параболического уравнения

1.1.6 Область применимости метода плавных возмущений и метода параболического уравнения

1.1.7 Параболическое уравнение в марковском приближении

1.2 Численные методы расчёта характеристик электромагнитных полей

1.2.1 Инженерные методы

1.2.2 Метод Кирхгофа

1.2.3 Диаграммная техника Фейнмана и уравнение Дайсона

1.2.4 Уравнение Бете-Солпитера

1.2.5 Численный метод решения параболического уравнения

1.3 Выводы

2 ОПИСАНИЕ СРЕДЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

2.1 Учёт неоднородностей тропосферы при расчёте характеристик

электромагнитного поля

2.1.1 Электрические свойства тропосферы

2.1.2 Высотные профили индекса преломления

2.1.3 Модель высотного профиля индекса преломления для юго-восточной

части Охотского моря

2.1.4 Статистическое описание мелкомасштабных неоднородностей индекса преломления

2.2 Учёт подстилающей поверхности при расчёте характеристик

электромагнитного поля

2.2.1 Электрические свойства подстилающей поверхности

2.2.2 Учёт рельефа подстилающей поверхности при численном решении параболического уравнения

2.3 Корреляционная функция эквивалентного коэффициента преломления над морской

поверхностью

2.4 Выводы

3 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

3.1 Численный метод расчёта среднего электромагнитного поля в случайно-неоднородной среде

3.1.1 Учёт пространственной корреляции неоднородностей среды при численном решении параболического уравнения для среднего поля

3.1.2 Средний уровень поля в статистически однородной среде

3.1.3 Средний уровень поля в квазиоднородной среде

3.1.4 Средний уровень поля над взволнованной морской поверхностью

3.2 Численный метод расчёта параметров корреляционной функции случайного электромагнитного поля

3.2.1 Дисперсия флуктуаций случайного электромагнитного поля

3.2.2 Преобразование корреляционной функции в свободном пространстве

3.2.3 Влияние неоднородной среды на корреляционную функцию

случайного поля

3.3 Алгоритм расчёта статистических характеристик случайного электромагнитного поля при численном решении параболического уравнения

3.4 Выводы

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

4.1 Моделирование дискретного случайного поля индекса преломления среды

4.2 Моделирование ветрового волнения морской поверхности

4.3 Сравнение результатов расчёта статистических характеристик случайного поля численным методом и имитационного моделирования в случайно-неоднородной

среде

4.4 Расчёт множителя ослабления среднего электромагнитного поля над взволнованной морской поверхностью

4.5 Коэффициент отражения от взволнованной морской поверхности

4.6 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК КАНАЛА РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН НАД ВЗВОЛНОВАННОЙ МОРСКОЙ

ПОВЕРХНОСТЬЮ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ПОГЛОЩАЮЩЕГО СЛОЯ ПРИ

ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. АКТ ВНЕДРЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ электромагнитного поля при распространении УКВ в случайно-неоднородной тропосфере над морской поверхностью»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Исследованию распространения радиоволн (РРВ) в случайно-неоднородных средах уделяется в последнее время все большее внимание. Повышенный интерес к проблемам такого рода возникает приблизительно с начала пятидесятых годов предыдущего века. Причина этого в появлении большого количества прикладных задач в радиофизике, оптике, акустике, физике плазмы и в других разделах физики, приводящих к необходимости изучения случайных полей и их статистических характеристик. К таким задачам можно отнести флуктуации рефракции, некогерентное рассеяние электромагнитных волн, рассеяние звука и ультразвука в морской воде, проблемы, связанные с точностью измерения радиометодами координат объектов, и ряд других проблем. Необходимость решения подобных задач послужила причиной разработки и совершенствования статистических методов описания волновых полей, распространяющихся в случайно-неоднородных средах [1 - 5] или отражённых от случайно-неровной подстилающей поверхности [1, 5, 6]. Статистические методы позволяют определить средний уровень случайного волнового поля и функцию когерентности его флуктуирующей составляющей.

Вопросами расчёта статистических характеристик случайных электромагнитных полей (ЭМП) в разное время занимались В.И. Татарский [1, 7], Л.А. Чернов [4, 8], Ю.А. Кравцов [1, 9 - 12], Г.С. Шарыгин [13], Ю.П. Акулиничев [14, 15], И М. Фукс [6, 17], В.И. Кляцкин [3, 18, 19], А.А. Шур [20], Н.Н. Зернов [21], А. Исимару [5, 22], КС. Вошпе [23], Б. ЯошеГГ [24], Т.! МошЫеу [25] и др.

В настоящее время разработано большое количество аналитических методов расчёта характеристик ЭМП, например, лучевые методы [9], метод малых возмущений [4], метод плавных возмущений [1], метод параболического уравнения [7] и др. Данные методы используются при различных ограничениях на параметры среды и условия рассеяния радиоволн на неоднородно-стях трассы РРВ. В частности, такие методы успешно используются при условии статистической однородности среды РРВ, но далеко не всегда позволяют учесть изменение её характеристик в пространстве. Одним из исключений является работа [17], в которой авторы аналитическими методами определяют статистические характеристики радиоволны, распространяющейся в волноводе испарения при наличии турбулентных флуктуаций индекса преломления.

Использование численных методов позволяет учесть изменение параметров среды вдоль трассы РРВ. Одним из численных методов является сеточный метод решения волнового параболического уравнения (ПУ). ПУ введено как малоугловая аппроксимация уравнения Гельм-гольца, является линейным неоднородным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка и относится к классу параболических уравнений

диОху^ + д2 и( х,у, г) + д2 и( х,У, г) + к 2 / й2( х, у, г) _Л и( х, у, г) = о,

ах ду & у ;

где и( х, у, г) = Е( х, у, г) ехр(_/ох) - комплексная огибающая монохроматического поля Е(х, у, г) частоты ю, распространяющегося преимущественно в направлении оси Ох, к = 2п/Х -волновое число, X - длина волны, п(х, у, г) = 1 + N(х, у, г) -10 6 - коэффициент преломления среды, N(х, у, г) - индекс преломления. Приближение связано с предположением, что энергия рассеянного в обратном направлении поля пренебрежимо мала, что, как правило, выполняется [26]. ПУ дает удовлетворительную точность решения для волн, направление распространения которых отличается от направления оси Ох не более чем на ±15° [27, 28].

Метод ПУ является универсальным методом решения задачи распространения радиоволн для случаев, когда радиус кривизны подстилающей поверхности и размеры неоднородно-стей тропосферы много больше длины волны. При этом из физических соображений следует, что угол рассеяния будет мал.

Первые работы, посвященные методу ПУ, вышли под руководством М.А. Леонтовича и В.А. Фока в 40-е годы прошлого столетия. В этих работах показано, что задачу о РРВ над сферической полупроводящей поверхностью можно решить сравнительно простым методом параболического уравнения.

Основным методом численного решения ПУ является сеточный метод, который предполагает, что область расчёта покрывается прямоугольной сеткой с ячейками размером Ах - Ау - Лг, а значения напряжённости поля вычисляются в каждом узле этой сетки. Процедура численного решения ПУ заключается в следующем. На первом этапе задаются значения отсчётов начального поля в узлах сетки при х = 0 и затем, шаг за шагом, удаляясь от источника, находятся значения поля ип1т = и(пЛх, 1Ау, тАг) во всех узлах сетки [28]. Неоднородности среды

задаются в виде пространственного распределения индекса преломления N(х, у, г) на каждом шаге сетки по дальности и учитываются при помощи метода расщепления [28], т.е. на каждом шаге расчёта среда предполагается однородной, а неоднородности среды сконцентрированы в конце каждой ячейки в виде тонкого фазового экрана. Расчёт поля в однородной среде осуществляется двумя методами: в пространственной области при помощи схемы Кранка-Николсон или в частотной области при использовании прямого и обратного преобразований Фурье.

В.И. Татарским [7], А. Исимару [5], В.И. Кляцкиным [3] были получены уравнения параболического типа для среднего поля и функции когерентности, поэтому их прямое численное решение возможно. Однако в этом случае возникает две проблемы. Первая связана с тем, что существует принципиальное различие между сеточными методами расчёта детерминированного поля и статистических характеристик случайного поля. Это различие заключается в том, что

для расчёта детерминированного поля достаточно знать значение напряжённости ЭМП и диэлектрическую проницаемость среды РРВ только на одном предыдущем шаге (марковское приближение), а при расчёте статистических характеристик случайного поля необходимо учитывать влияние неоднородностей среды на нескольких предыдущих шагах. Классическая схема сеточного метода, описанная выше, разработана именно для расчёта детерминированного поля и не применима для расчёта статистических характеристик случайного поля.

Вторая проблема заключается в том, что трудоемкость численного расчёта даже простейших статистических характеристик случайного поля (математическое ожидание и функция когерентности) на несколько порядков больше, чем та, что требуется для расчета детерминированного поля. Например, для расчёта корреляционной функции необходимо проводить двойное суммирование по узлам сетки для каждой точки пространства, так как корреляционная функция зависит от двух координат, что существенно увеличивает время расчёта. Поэтому численные методы пока не получили широкого распространения.

Обзор публикаций, посвященных численным методам, показал, что на данный момент отсутствуют работы, в которых решается такая задача. Исключением является работа [24], в которой статистические характеристики случайного поля вычисляются при помощи метода Монте-Карло. И если первую проблему в этом случае удаётся обойти, то проблема большого объёма вычислений остаётся.

Следовательно, возникает необходимость разработать численный метод совместного расчёта характеристик регулярной и случайной составляющих ЭМП, распространяющегося в случайно-неоднородной среде и над неровной подстилающей поверхностью, учитывающий описанные выше факторы.

Таким образом, фактически, речь идет о развитии нового направления в области численного расчёта параметров случайного ЭМП, то есть, о разработке экономного метода совместного расчёта напряженности детерминированной и статистических характеристик случайной составляющих радиоволнового поля, распространяющегося в среде, пространственные электрические характеристики которой также содержат регулярную и случайную составляющие.

Совершенно очевидно, что как по количеству тех факторов, которые необходимо учесть, так и по необходимым вычислительным затратам задачи такого рода существенно сложнее традиционной задачи расчета детерминированного поля в неслучайной среде. Поэтому ограничимся решением двух частных задач:

1) разработка и проверка методики расчёта среднего ЭМП с учётом дифракционных эффектов и рассеяния на неровной морской поверхности при весьма слабых ограничениях на величину интервала корреляции неоднородностей среды РРВ вдоль трассы;

2) обоснование экономного метода расчёта пространственных статистических характеристик рассеянной составляющей ЭМП в марковском приближении.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование численного сеточного метода расчёта уровня когерентной составляющей случайного ЭМП, распространяющегося в случайно-неоднородной атмосфере и над взволнованной морской поверхностью, и параметров (дисперсия, пространственный интервал корреляции, основное направление распространения) флуктуационной составляющей случайного ЭМП.

Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:

1) обзор и анализ существующих аналитических и численных методов расчёта характеристик случайных ЭМП;

2) обзор способов учёта параметров неоднородной среды распространения и учёт влияния подстилающей поверхности при расчёте статистических характеристик случайных ЭМП;

3) разработка метода учёта пространственной корреляции неоднородностей атмосферы при численном решении параболического уравнения для среднего поля;

4) разработка метода учёта ветрового морского волнения при расчёте среднего ЭМП над морской поверхностью при малых углах скольжения падающих волн;

5) разработка численного метода расчёта параметров (дисперсия, направление распространения, пространственный интервал корреляции) флуктуационной составляющей случайного ЭМП в марковском приближении;

6) проверка предложенных методов путём цифрового моделирования методом статистических испытаний для различных моделей среды распространения.

Методы исследования. Базой для исследований служили труды отечественных и зарубежных ученых в области расчёта статистических характеристик случайных электромагнитных полей, распространения радиоволн в случайно-неоднородных средах и статистической радиофизике.

Для решения поставленных задач использовались методы математического анализа, статистической радиофизики и имитационного моделирования.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке алгоритмов расчёта статистических характеристик радиоволн в случайно-неоднородной тропосфере и над взволнованной морской поверхностью, основанных на численном решении волнового параболического уравнения. В частности:

1) получено аналитическое выражение ослабления среднего поля и предложен алгоритм численного расчёта когерентной составляющей электромагнитного поля, распространяющегося в случайно-неоднородной среде, с учётом корреляции неоднородностей среды вдоль всей трассы РРВ;

2) предложен способ учёта ветрового морского волнения и получены аналитические выражения для расчёта среднего электромагнитного поля над морской поверхностью;

3) получены аналитические выражения, описывающие изменение дисперсии, среднего угла прихода и пространственного интервала корреляции радиоволн при их распространении в среде с регулярными и случайными неоднородностями при гауссовской аппроксимации пространственной корреляционной функции флуктуаций случайного электромагнитного поля;

4) проведена оценка модуля и фазы коэффициента отражения радиоволн от взволнованной морской поверхности при малых углах скольжения для различных значений скорости ветра;

5) уточнена статистическая модель передаточной функции канала распространения радиоволн при совместном разнесении точек излучения и приёма, учитывающая неровности подстилающей поверхности;

6) в качестве вспомогательной задачи по результатам аэрологического зондирования атмосферы за период с 1973 по 2014 года для юго-восточной части Охотского моря построена среднемесячная модель высотного профиля индекса преломления.

Теоретическая значимость заключается в разработке метода численного расчёта статистических характеристик случайного электромагнитного поля при достаточно слабых ограничениях на свойства среды распространения. Одно из ограничений - это отсутствие тонких слоистых неоднородностей в тропосфере. Получены соотношения, позволяющие учесть влияние морского волнения и влияние пространственной корреляции неоднородностей среды вдоль трассы распространения на уровень среднего электромагнитного поля.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что указаны пути повышения точности оценки характеристик случайных электромагнитных полей при известных статистических характеристиках среды распространения. На основе полученных соотношений предложена методика и разработаны программы, пригодные как для долговременного прогнозирования (применяемого, например, при расчете ожидаемых зон покрытия базовых станций сотовой связи в сельской местности), так и для оперативного прогноза параметров электромагнитного поля на реальных трассах (необходимого, например, для текущего выбора тактики использования средств радиолокации, радиомониторинга или радиопротиводействия). Предложенный метод расчёта статистических характеристик случайного электромагнитного поля может служить основой при разработке программно-аппаратного комплекса расчёта параметров детерминированной и случайной составляющих радиоволнового поля, распространяющегося в среде, пространственные электрические характеристики которой также содержат регулярную и случайную составляющие.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Использование точного решения ПУ в форме интеграла по траекториям позволяет разработать сеточный метод вычисления среднего поля, распространяющегося в случайно-неоднородной среде, при значительно более слабых ограничениях на свойства среды, чем это требуется для использования марковского приближения. Если в среде отсутствуют протяженные и тонкие случайные слоистые неоднородности, вытянутые вдоль трассы, то для учета корреляции значений коэффициента преломления на последовательных шагах по дальности возможно использование первого приближения метода геометрической оптики, и трудоемкость вычисления среднего поля становится сопоставимой с трудоемкостью решения детерминированного ПУ.

2. Гауссовская аппроксимация поперечной к трассе пространственной корреляционной функции случайного электромагнитного поля, распространяющегося в случайно-неоднородной среде, позволяет разработать численно-аналитический сеточный метод расчета ее параметров при вычислительных затратах, на 2...4 порядка меньших, чем требуется для прямого использования марковского приближения при тех же условиях. Обоснованность применения метода при РРВ в любых случайных средах и точность расчета возрастают при увеличении экстинкции и кратности рассеяния волн.

3. СКО искусственного поля коэффициента преломления, возникающего при трансформации задачи РРВ над взволнованной морской поверхностью методом конформного отображения, убывает с ростом высоты по степенному закону, а ширина его спектра плотности мощности на фиксированной высоте с увеличением скорости ветра убывает по экспоненциальному закону.

Достоверность. Полученные в диссертационной работе соотношения, описывающие статистические характеристики радиоволн, основаны на строгих математических выкладках. Достоверность предложенного метода расчёта статистических характеристик радиоволн подтверждена результатами комплексного математического моделирования и сопоставлением с результатами, полученными другими методами.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертационного исследования обсуждались на совместных семинарах кафедры радиотехнических систем и НИИ радиотехнических систем Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники; на научных и научно-технических конференциях: Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (в 2009 - 2012 годах), г. Томск; 50-й юбилейной Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.); Всероссийской научной конференции молодых ученых (Новосибирск, 2012 г.); 51-й и 52-й Международных научной студен-

ческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2013, 2014 гг.); 17-м Международном форуме «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке» (Харьков, 2013 г.); 24-й и 25-й Международных Крымских конференциях «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» «КрыМиКо» (Севастополь, 2014, 2015 гг.); International Siberian Conference on Control and Communications, SIBCON (Омск, 2015 г.), II Всероссийская научно-техническая конференция «Системы связи и радионавигации» (Красноярск, 2015).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы, из них 5 статей в журналах перечня ВАК, 7 - в сборниках докладов международных конференций, 8 - в сборниках докладов всероссийских конференций, 3 - в научно-технических отчетах. В том числе 3 публикации содержатся в изданиях, индексированных в базе данных Scopus, 1 - в базе данных Web of Science.

Личный вклад автора. Постановка решённых в диссертации задач была сделана научным руководителем аспиранта д.т.н. проф. Акулиничевым Ю.П., который указал основные направления исследования и принимал участие в обсуждении результатов. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, имитационное моделирование выполнены лично автором.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка сокращений, списка литературы и трёх приложений. Общий объем работы составляет 155 страниц, 68 рисунков, 15 таблиц. Список литературы включает 186 источников.

1 МЕТОДЫ РАСЧЁТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

В данной главе рассмотрены основные аналитические и численные методы расчёта статистических характеристик случайных электромагнитных полей, распространяющихся в случайно-неоднородной среде.

При распространении радиоволн в случайно-неоднородной среде и над неровной подстилающей поверхностью наблюдаются случайные флуктуации амплитуды, фазы и поляризации волны. Эти явления описываются стохастическим волновым уравнением [1 - 3, 30].

В простейшем случае, когда волновое поле можно считать скалярным и монохроматическим, а неоднородности среды не меняющимися во времени и покоящимися, процесс РРВ в неоднородной среде описывается уравнением Гельмгольца [7]

Аи(г) + к028(г)и(г) = 0, (1.1)

где и (7, г)= и (г) ехр (-¡Ш) комплексная огибающая ЭМП, к0 = ш / с - волновое число в невозмущённой среде ш = 2%/ - круговая частота; / - частота радиоволны; 8 - диэлектрическая проницаемость среды. Влияние подстилающей поверхности в уравнении (1.1) учитывается при помощи граничных условий, наиболее общими из которых являются условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей в каждой точке поверхности [31].

Существует два принципиально различных способа расчёта характеристик случайного ЭМП: детерминированный и статистический. Для применения детерминированного способа необходимо знать конкретные численные значения параметров атмосферы и подстилающей поверхности, то есть, он может использоваться для расчета характеристик детерминированного поля либо конкретной реализации случайного поля. Результатом расчета являются конкретные численные значения амплитуды и фазы напряженности поля.

Для применения статистического способа в идеале необходимо задать многомерную плотность вероятностей для совокупности параметров, характеризующих текущее состояние атмосферы и подстилающей поверхности. На практике в подавляющем большинстве ситуаций достаточно ограничиться описанием в рамках вторых моментов [1], например, для описания случайного поля диэлектрической проницаемости среды задать функции, описывающие изменения в пространстве ее среднего значения, СКО, интервала корреляции. Результатом расчета являются аналогичные числовые характеристики комплексной огибающей напряженности поля в точке или в некоторой области пространства.

В реальных условиях электромагнитное поле всегда представляет сумму регулярной и случайной составляющих, причем в процессе РРВ первая постоянно передает часть своей энер-

гии второй (явление экстинкции) [1]. Поэтому необходимо использование обоих методов, предполагающее совместное решение детерминированного и стохастического волновых уравнений [32, 33].

Все методы расчёта характеристик полей можно разделить на две большие группы: аналитические и численные. Первые, как правило, не удается применить на практике без использования различных аппроксимаций волнового уравнения, которые в итоге позволяют обеспечить малую трудоемкость (высокую скорость) расчета, но, как следствие, далеко не всегда обеспечивают необходимую точность расчета, особенно при произвольных изменениях характеристик среды РРВ в пространстве. Вторые имеют более высокую точность расчёта характеристик случайных полей, но требуют больших вычислительных ресурсов и времени расчёта. Кроме того, можно выделить третий тип методов расчёта - комбинированный численно-аналитический. Пример прогнозирования статистических характеристик канала РРВ данным методом представлен в приложении А. Рассмотрим основные аналитические и численные методы решения волнового уравнения.

1.1 Аналитические методы расчёта характеристик электромагнитных полей

Сложность детерминированного решения волнового уравнения (1.1) заключается в том, что случайные параметры среды распространения 8 и а являются коэффициентами этого уравнения. В этом случае точное аналитическое решение может быть получено только для ограниченного круга задач. Например, в случае скалярного уравнения Гельмгольца метод разделения переменных может быть применён лишь для 11 типов координатных систем. Если поверхность, на которой заданы граничные условия, не совпадает ни с одной из соответствующих координатных поверхностей или граничные условия не являются простыми условиями типа Дирихле или Неймана, то метод разделения переменных неприменим [34].

Отсюда возникает необходимость применения различных приближённых методов. Характер приближения зависит от различных условий: уровня флуктуаций параметров среды РРВ, соотношения между длиной волны и размерами неоднородностей, геометрии задачи и т.д. Как правило, приближённые методы основываются на малости флуктуаций параметров неоднородной среды РРВ либо на малости длины волны по сравнению с размерами неоднородностей. Тем не менее, при всем разнообразии конкретных условий большая часть задач может быть решена при помощи небольшого числа методов [1].

1.1.1 Метод малых возмущений

Метод малых возмущений (ММВ) [1, 4, 34, 35] основывается на предположениях о том, что флуктуации параметров среды РРВ малы. ММВ применяется при решении различных прикладных задач. Например, для расчёта характеристик волн, рассеянных на диэлектрическом ци-

линдре [36], на неровных шероховатых поверхностях [37], на листьях деревьев и растительности [38].

Диэлектрическую проницаемость тропосферы можно представить в виде е(г) = 1 + ё(г). Метод малых возмущений при достаточно малом в предполагает разложение поля и в ряд по

степеням [35], где п-й член ряда описывает и-кратно рассеянное поле. Такой ряд называ-

ется рядом Неймана или борновским разложением. В ММВ, как правило, ограничиваются однократным рассеянием (борновское приближение или приближение однократного рассеяния) [1]. В этом случае рассеянное поле является линейным функционалом от флуктуаций в, и все моменты поля щ линейно выражается через моменты в : среднее значение

М[м1] = М[е(г)] = 0, (1.2)

корреляционная функция

Я(ц,г2) = М[^(ц) • и*(г2)] = к0 Ц0{т1,г2)0*(г1,г2)и0(г')и*(г")у8(г', (1.3)

где G(r, г') - функции Грина однородной среды, щ (г) - первичное поле в однородной среде, щ (г) - однократно рассеянное поле, которое порождено первичным полем.

Приближение однократного рассеяния оказывается достаточным в очень многих задачах. Однако в некоторых случаях используется второе приближение ряда Неймана [39].

В борновском приближении хорошо описывается рассеяние УКВ на мелкомасштабных турбулентных неоднородностях тропосферы и нижней ионосферы. В этой задаче приходится принимать во внимание также регулярную рефракцию радиоволн, которая может быть учтена в приближении геометрической оптики [35].

Всякая волна, прошедшая достаточно большой путь в случайно-неоднородной среде и претерпевшая многократное рассеяние, будет сильно флуктуировать. Первое приближение в методе малых возмущений ограничено требованием малости флуктуаций уровня и, следовательно, непригодно для описания сильных флуктуаций уровня. В связи с этим возникает потребность в использовании методов, пригодных для описания сильных флуктуаций, основанных на учёте многократного рассеяния [4]. В случае слабых, но крупных (по сравнению с длиной волны) неоднородностей многократно рассеянные волны лишь незначительно отклоняются от направления распространения первичной волны. В таких условиях многократное рассеяние эффективно описывается лучевыми методами и асимптотическими методами теории дифракции (методом плавных возмущений и методом параболического уравнения) [1].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Захаров Федор Николаевич, 2015 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Рытов С.М., Кравцов Ю.А. Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2.

Случайные поля. - М.: Наука, 1978. - 464 с.

2. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику.

- М.: Наука, 1981. - 640 с.

3. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. В 2 томах. - М.: Физматлит, 2008. -

528 с.

4. Чернов Л.А. Волны в случайно-неоднородных средах. - М.: Наука, 1977. - 172 с.

5. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах: В 2 т. - М.:

Мир, 1981. - 320 с.

6. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. М.: Наука,

1972. - 424 с.

7. Татарский В. И. Распространении волн турбулентной атмосфере. - М.: Наука, 1967. - 548 с.

8. Чернов Л.А. Уравнения для статистических моментов поля в случайно-неоднородной среде //

Акустический журнал. - 1969. - Т. 15, № 4. - С. 594 - 603.

9. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. - М.: Наука, 1980. -

304 с.

10. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Границы применимости МГО // УФН. - 1980. - Т. 132, в. 3. -

С. 475 - 495.

11. Егорченкова Р.А., Кравцов Ю.А. Численная реализация метода комплексной геометриче-

ской оптики // Известия вузов. Радиофизика. - 2000. - Т. 43, № 7. - С. 630 - 637.

12. Егорченков Р.А., Кравцов Ю.А. Модифицированное приближение ГО: учет экспоненциаль-

но малых рассеянных полей // Известия вузов. Радиофизика. - 2000. - Т. 8, № 2. - С. 106 -114.

13. Шарыгин Г.С. Статистическая структура поля УКВ за горизонтом. - М.: Радио и связь,

1983. - 140 с.

14. Акулиничев Ю.П., Голиков А.М. Анализ корреляционных характеристик случайно-

неоднородных каналов при комплексном разнесении источников и приемников // Радиотехника и электроника. - 1987. - Т. 32, вып.8. - С. 1646 - 1654.

15. Акулиничев Ю.П., Голиков А.М. Предельная форма функции когерентности в слоисто-

неоднородной среде // Оптика атмосферы. - 1990. - Т. 3, № 10. - С. 1060 - 1063.

16. Пономарев Г.А., Куликов А.М., Тельпуховский Е.Д. Распространение УКВ в городе. -

Томск: МП «Раско», 1991. - 223 с.

17. Кукушкин А.В., Фрейлихер В.Д., Фукс И.М. Загоризонтное распространение ультракорот-

ких радиоволн над морем (Обзор) // Изв. вузов. Радиофизика. - 1987. - Т. ХХХ, № 7. -С. 811-839.

18. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими парамет-

рами. - М.: Наука, 1975. - 239 с.

19. Кляцкин В.И. О пределах применимости приближения марковского случайного процесса в

задачах, связанных с распространением света в среде со случайными неоднородностями показателя преломления // ЖЭТФ. - 1969. - Т. 57, № 3 (9). - С. 952.

20. Шур А.А. Характеристики сигнала на тропосферных радиолиниях. - М.: Связь, 1972. -

105 с.

21. Bitjukov A.A., Gherm V.E., Zernov N.N. On the solution of Markov's parabolic equation for the

second order spaced frequency and position coherence function. // Radio Science. - 2002. - V. 37, № 4. - P. 1066.

22. Ishimaru A., Jaruwatanadilok S., Kuga Y. Imaging and Coherence in Rough Surface and Object

Scattering // The workshop on «Aspects of Rough Surface Scattering and Related Phenomena», Yountville, California, June 25-28, 2006. - P. 1 - 15.

23. Bourret R.C. Stochastically perturbed fields with applications to wave propagation in random me-

dia // Nuovo Cimento. - 1962. - V. 26, № 1. - P. 1 - 31.

24. Rouseff D. Simulated microwave propagation through tropospheric turbulence // IEEE Transac-

tions on Antennas and Propagation. - 1992. - V. 40, № 9. - P. 1076 - 1083.

25. Moulsley T.J., Vilar E. Experimental and Theoretical statistics of microwave amplitude scintilla-

tions on satellite down-links // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1982. -V. AP-30, № 6. - P. 1099 - 1106.

26. Dockery D. Modeling Electromagnetic Wave Propagation in the Troposphere Using the Parabolic

Equation // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1988. - V. 36, № 10 - P. 1464 -1470.

27. Kuttler J.R., Dockery G.D. Theoretical description of parabolic approximation / Fourier split - step

method of representing electromagnetic propagation in the troposphere // Radio Science. -1991. - V. 26, № 2. - P. 381 - 393.

28. Levy M. Parabolic equation methods for electromagnetic wave propagation // IEE. - 2000. -

336 р.

29. Захаров Ф.Н. Состояние проблемы численного расчёта статистических характеристик слу-

чайных электромагнитных полей // Труды Северо-Кавказского филиала Московского технического университета связи и информатики. - Ростов-на-Дону.: ПЦ «Университет» СКФ МТУСИ, 2013. - С. 108 - 110.

30. Яковлев О.И., Якубов В.П., Урядов В.П., Павельев А.Г. Распространение радиоволн. - М.:

ЛЕНАНД, 2009. - 496 c.

31. Нефёдов Е.И. Распространение радиоволн и антенно-фидерные устройства: учеб. пособие

для студ. вузов. - М.: Издательский центр «Академия», 2010. - 320 с.

32. Wolfish J., Bertoni H.L. A Theoretical Model of UHF Propagation in Urban Environments // IEEE

Transactions on Antennas and Propagation. - 1988. - V. Ap-36, № 12. - P. 1788-1796.

33. Панченко В.Е., Гайнутдинов Т.А., Ерохин Г.А., Кочержевский В.Г., Шорин О.А. Сочетание

статистических и детерминированных методов расчета радиополя в городских условиях // Электросвязь. - № 4. - 1998. - C. 31-33.

34. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2 т. - М.: Изд-во иностранной ли-

тературы, 1960. - 886 с.

35. Барабаненков Ю.Н., Кравцов Ю.А., Рытов С.М., Татарский В.И. Состояние теории распро-

странения волн в случайно-неоднородной среде // УФН. - 1970. - Т.102, в.1. - С. 3 - 42.

36. Sarabandi K., Casciato M.D., Koh I.S. Electromagnetic scattering from a dielectric cylinder buried

beneath a slightly rough surface // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2002. -V. 50, № 9. - P. 1222 - 1235.

37. Fuks I.M. Wave diffraction by a rough boundary of an arbitrary plane-layered medium // IEEE

Transactions on Antennas and Propagation. - 2001. - V. 49, № 4. - P. 630 - 639.

38. Wang F., Sarabandi K. An enhanced millimeter-wave foliage propagation model // IEEE Transac-

tions on Antennas and Propagation. - 2005. - V. 53, № 7. - P. 2138 - 2135.

39. Caorsi S., Costa A., Pastorino M. Microwave imaging within the second-order Born approxima-

tion: stochastic optimization by a genetic algorithm // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2001. - V. 49, № 1. - P. 22 - 31.

40. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1970. - 720 с.

41. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. - М.: Связь, 1978. - 248 с.

42. Калашников В.С., Родос Л.Я. Электродинамика и распространение радиоволн (электроди-

намика): Письменные лекции. - С.-Пб.: ЗЗТУ, 2001. - 88 с.

43. Рудницкий А.Г. Статистические характеристики поля звуковой волны, прошедшей сквозь

след за цилиндром // Акустический журнал. - 1995. - Т. 41, № 1. - С. 123 - 127.

44. Карпов А.А. Применение методов геометрической оптики для определения напряженности

поля УВЧ в условиях города // Труды научно-исследовательского института радио. - 2008. - № 2. - С. 67 - 73.

45. Кустова Н.В. Методы геометрической и физической оптики в задаче рассеяния света атмо-

сферными ледяными кристаллами: дис.... канд. физ. - мат. наук / Кустова Наталья Вален-

тиновна; науч. рук. А.Г. Боровой; Институт оптики атмосферы имени В.Е. Зуева. - Томск, 2009. - 140 с.

46. Кобак В.О. Радиолокационные отражатели. - М.: Советское радио, 1975. - 247 с.

47. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика: учеб. пособие для студ. вузов. 2-е изд. -

М.: Издательство МГУ; Наука, 2004. - 656 с.

48. Бузова М.А. Решение задачи дифракции на металлическом диске с помощью различных ме-

тодов // Вестник СОНИИР - 2009. - № 2. - С. 26 - 29.

49. Ахияров В.В. Методы численного решения задачи дифракции радиоволн над земной по-

верхностью // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2010. - № 3. - С. 39 -46.

50. Сорокин С.Н., Климов А.В., Савельев В.В., Кулибаба Г.А. Применение метода физической

оптики к расчету условий распространения радиоволн на городских радиотрассах // Известия Южного федерального университета - 2004. - №1 (36).

51. Boag A., Michielssen E. A fast physical optics (FPO) algorithm for double-bounce scattering //

IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2012. - V. 52, № 1. - P. 205 - 212.

52. Tezel N.S. Electromagnetic Scattering by Anisotropic Inhomogeneous Impedance Cylinder of Ar-

bitrary Shape Using Physical Optics // IEEE Geoscience and remote sensing letters. - 2008. - V. 5, № 4. - P. 663 - 667.

53. Пархоменко Н.Г. Модифицированный метод физической оптики в задачах моделирования

высокочастотного электромагнитного поля на объектах сложной конфигурации // Известия вузов России. Радиоэлектроника - 2011. - №3. - С. 3 - 9.

54. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. - М.: Советское радио,

1962. - 244 c.

55. Олюнин Н.Н. Метод краевых волн в задачах рассеяния на телах с импедансной поверхно-

стью // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2008. - Т. 13, № 2(3). - С. 56 -61.

56. Кравцов Ю.А., Митягина М.И., Чурюмов А.Н. Нерезонансный механизм рассеяния элек-

тромагнитных волн на морской поверхности: рассеяние на крутых заостренных волнах // Известия вузов. Радиофизика. - 1999. - Т. 42, № 3. - С. 240 - 254.

57. Pathak P.H., Carluccio G., Albani M. The Uniform Geometrical Theory of Diffraction and Some

of Its Applications // IEEE Antennas and Propagation magazine. - 2013. - V. 55, № 4. - P. 41 -69.

58. Beyer J. A GTD-based correction of the Epstein-Peterson method // IEEE Transactions on Anten-

nas and Propagation. - 2004. - V. 52, № 3. - P. 888 - 891.

59. Широкова Т.А. Второе приближение в методе плавных возмущений // Акустический жур-

нал. - 1959. - Т. 5. - С. 485 - 489.

60. Dunlop G., Boerner W., Bates R.H.T. On an extended Rytov approximation and its comparison

with the born approximation // IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. - 1976. - V. 14. - P. 587 - 591.

61. Andreyev G.A., Ogarev S.A. Fluctuations of millimeter wave signal reflected by unmovable object

in turbulent atmosphere // Atlanta, GA, Radar Conference. - 1994. - P. 234 - 235.

62. Тимофеев В.А. Амплитудные флуктуации ММ радиоволн в линиях поглощения приземной

атмосферы // 23-я Международная Крымская конференция «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии». - Севастополь, 2013. - Т. 2. - С. 1128 - 1129.

63. Kim B.C., Tinin M.V.Diffraction effects in residual error of dual-frequency global navigation sat-

ellite systems // URSI International Symposium on Electromagnetic Theory. - 2010. - P. 416 -419.

64. Barclay L.W. Propagation of Radio Waves. - London, Institution of Engineering and Technology,

2008. - 460 p.

65. Долин Л.С. О лучевом описании слабо-неоднородных волновых полей // Изв. вузов. Радио-

физика. - 1964. - Т.7, № 3. - С. 559 - 562.

66. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.). - М: Наука,

1977. - 735 с.

67. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. — М:

МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2002. - 368 с.

68. Кляцкин В. И., Татарский В. И. Приближение диффузионного случайного процесса в неко-

торых нестационарных статистических задачах физики // УФН. - 1973. - Т. 110. - С. 499 -536.

69. Киселев О.Н., Ковалёв В.Н. Оценка среднечасовых величин множителя ослабления сигнала

в зоне дальнего тропосферного распространения // Радиотехника. - 1993. - №2. - С. 73 -77.

70. Отчет по проекту: «Анализ и прогнозирование искажений СВЧ радиоволн и звуковых волн

при их распространении в неоднородной тропосфере над неоднородной и неровной земной поверхностью», государственный контракт № 02.740.11.0232 в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (этап 1). - Томск, ТУСУР, 2009. - 226 с.

71. Longley A.G., Rice P.L. Prediction of tropospheric radio transmission loss over irregular terrain //

U.S. Department of Commerce. -1968. - ESSA Rep. ERL - 79 - ITS - 67.

72. Ломакин А.Ф., Школьный С.И. Моделирование поля DVB-T в условиях городской застрой-

ки // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. -2012. - №6 (82). - С. 53 - 58.

73. Zheng M., Wang J., Zheng L. Improved algorithm of atmospheric refraction error in Longley-Rice

channel model // Journal of Systems Engineering and Electronics. - 2008. - V. 19, № 4. -P. 683 - 687.

74. Chamberlin K.A., Luebbers R.J. An evaluation of Longley-Rice and GTD propagation models //

IEEE Transactions on antennas and propagation. - 1982. - V. 30, № 6. - P. 1093 - 1098.

75. Okumura J. Field strength and its variability in VHF and UHF land mobile radio service // Rev.

Inst. Elec. Eng. - 1968. - Vol. 16, № 9-10. - P. 825 - 873.

76. Джейкс У.К. Связь с подвижными объектами в диапазоне СВЧ. - М.: Связь, 1979. - 520 с.

77. Allsebrook К., Parsons J.D. Mobile radio propagation in British cities at frequencies in the VHF

and UHF bands // IEEE Trans. Veh. Technol. - 1977. - V. VT-26, № 4. - P. 313 - 323.

78. Delisle G.Y., Lefevre J.P., Lecours M., Chouinard J.Y. Propagation loss prediction: A comparative

study with application to the mobile radio channel // IEEE Transaction on vehicular technology.

- 1985. - V. VT-34, № 2. - P. 86 - 96.

79. Hata M. Empirical formula for propagation loss in land mobile radio services // IEEE Trans. Veh.

Technol. - 1980. - V. VT-29, № 3. - P. 317 - 325.

80. Delisle G.Y., Lefevre J.P., Lecours M., Chouinard J.Y. Propagation loss prediction: A comparative

study with application to the mobile radio channel // IEEE Transaction on vehicular technology.

- 1985. - V. VT-34, № 2. - P. 86 - 96.

81. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в стати-

стической физике. - М.: Физматгиз, 1962. - 444 с.

82. Биленький С.М. Введение в диаграммную технику Фейнмана. - М.: Атомиздат, 1971. -

215 с.

83. Гнедин Ю.Н., Долгинов А.З. Теория многократного рассеяния // ЖЭТФ. - 1963. - Т. 45, № 4.

- с. 1136 - 1149.

84. Алексеев В.Н., Фролов В.М. Уравнения для статистических моментов волнового поля в

случайно-неоднородной среде // Акустический журнал. - 1972. - Т. 18, №. 4. - С. 506 -512.

85. Барабаненков Ю.Н. Многократное рассеяние волн на ансамбле частиц и теория переноса

излучения // УФН. - 1975. - Т. 117. - С. 49 - 78.

86. Апресян Л.А., Кравцов Ю.А. Теория переноса излучения: Статистические и волновые ас-

пекты. - М.: Наука, 1983. - 216 с.

87. Барабаненков Ю. Н. Современные аспекты асимптотической теории переноса волнового из-

лучения в неупорядоченных средах // Известия РАН. Серия физическая. - 2009. - Т. 73, № 12. - С. 1722 - 1725.

88. Jin Y.Q., Liang Z. An approach of three-dimensional vector radiative transfer (3-D-VRT) equation

for inhomogeneous scatter media // IEEE Transactions on geoscience and remote sensing. -2004. - V.42. - № 2. - P. 355 - 360.

89. Bleszynski E., Bleszynski M., Jaroszeowicz. A fast solution method for the Radiative Transfer

Equation and its applications in propagation of EM waves through sparsely populated discrete media // IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. - 2009. - P. 1-4.

90. Долин Л.С. Развитие теории переноса излучения в приложении к задачам инструментально-

го видения в мутных средах // УФН. - 2009. - Т. 179. - С. 553 - 560.

91. Du J., Tjuatja S., Chen K.S. A combined method to model microwave scattering from a forest me-

dium // IEEE Transactions on geoscience and remote sensing. - 2006. - V.44, № 4. - P. 815 -824.

92. Rosenklanz P.W. Radiative transfer solution using initial values in a scattering and absorbing at-

mosphere with surface reflection // IEEE Transactions on geoscience and remote sensing. -2002. - V.40, № 8. - P. 1889 - 1892.

93. Новиков А.В. исследование методов оперативного прогнозирования характеристик СВЧ ра-

диоволн над сушей: дис.... канд. техн. наук / Новиков Анатолий Викторович; науч. рук. Ю.П. Акулиничев; Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). - Томск, 2012. - 186 с.

94. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. - М.: Сов. ра-

дио, 1970. - 517с.

95. Tappert F. The Parabolic Equation Method in Wave Propagation in Underwater Acoustics. - NY.:

Springer-Verlag, 1977. - P. 223 - 287.

96. Barrios A.E. Parabolic Equation Modeling in Horizontally Inhomogeneous Environments //IEEE

Transactions on Antennas and Propagation. - 1992. - V. 40, № 7. - P.7.

97. Marcus S.W. A Hybrid (Finite Difference - Surface Green's Function) Method for Computing

Transmission Losses in an Inhomogeneous Atmosphere over Irregular Terrain // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1992. - V. 40, № 12. - P. 1451 - 1458.

98. Rouseff D. Simulated Microwave Propagation Through Tropospheric Turbulence // IEEE Transac-

tions on Antennas and Propagation. - 1992. - V.40, № 9. - P. 1076 - 1083.

99. Zelley C.A., Constantinou C.C. A Three-Dimentional Parabolic Equation Applied to VHF/UHF

Propagation over Irregular Terrain // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1999. -V.47, № 10. - P. 1586 - 1596.

100. Thiem K.B. A 3D parabolic equation based technique for predicting propagation path loss in an urban area // Naval Postgraduate School, Monterey, California. - 2001. - 108 p.

101. Гордин М.П., Стрелков Г.М. Численное моделирование распространения пучка миллимет-

ровых волн над сферической земной поверхностью// Всес. школа-симпозиум по распространению миллиметровых и субмиллиметровых волн в атмосфере. - Фрунзе: Илим, 1986.

- C. 72 - 75.

102. Козлов М.П. Прогнозирование поля УКВ на основе численного решения параболического

уравнения для оценки характеристик радиотехнических систем: дис.... канд. техн. наук / Козлов Максим Петрович; науч. рук. Ю.П. Акулиничев; Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники. - Томск, 1999. - 161 с.

103. Ваулин И.Н. Способы повышения точности численного решения параболического уравне-

ния для прогнозирования характеристик поля УКВ над морем: дис.... канд. техн. наук / Ваулин Иван Николаевич; науч. рук. Ю.П. Акулиничев; Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). - Томск, 2008. - 180 с.

104. Акулиничев Ю.П., Ровкин В.Е., Ваулин И.Н. Предельная точность схемы Кранка-

Николсон при численном решении параболического волнового уравнения // Распространение радиоволн: сб. докл. XXI Всерос. науч. конф. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2005. - Т. 2.

- С. 272 - 276.

105. Акулиничев Ю.П., Ваулин И.Н., Ровкин В.Е. Оценка эффективности прогнозирования зон

радиовидимости по имеющимся экспериментальным данным // Известия ВУЗов. Физика.

- 2007. - № 5. - С. 87 - 92.

106. Беликов В.С., Захаров Ф.Н., Васильев А.А. Исследование точности численного решения

параболического волнового уравнения // Матер. докл. Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: В-Спектр, 2009. - Ч. 1. - С. 12 - 14.

107. Комаров А.А., Михайлов М.С., Пермяков В.А. Применение методов поверхностных инте-

гральных уравнений и параболического уравнения к анализу распространения радиоволн вдоль земной поверхности сложного профиля // IV Всероссийские Армандовские чтения: Радиофизические методы в дистанционном зондировании сред [Электронный ресурс] -Муром: Изд.- полиграфический центр МИ ВлГУ, 2014. Режим доступа: http://www.mivlgu.ru/conf/armand2014/rmdzs-2014/pdf/S2_13.pdf, свободный (дата обращения: 23.08.2015).

108. Михайлов М.С., Пермяков В.А., Сазонов Д.А. Расчет энергетических характеристик фази-

рованной антенной решетки над нерегулярной земной поверхностью методом параболического уравнения (трехмерная модель) // Журнал радиоэлектроники. - 2014. - № 12.

109. Ахияров В.В. Метод параболического уравнения в теории дифракции // Успехи современ-

ной радиоэлектроники. - 2010. - № 9. - С. 72 - 80.

110. Ахияров В.В. Вычисление множителя ослабления над земной поверхностью методом па-

раболического уравнения // Журнал Радиоэлектроники. - 2012. - № 1.

111. Advanced Refractive Effects Prediction System (AREPS) // Atmospheric Propagation Branch. -

2005. - ver. 3.6. - 284 p.

112. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

113. Беликов В.С., Захаров Ф.Н., Васильев А.А. Увеличение точности численного решения

двумерного волнового уравнения параболического типа при увеличении порядка разностных уравнений // Матер. докл. Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: В-Спектр, 2010. - Ч. 1. - С. 15 - 18.

114. Долуханов М.П. Распространение радиоволн. - М.: Связь, 1972. - 492 с.

115. Ehrhardt M., Arnold A. Discrete Transparent Boundary Conditions for the Schrodinger Equation

// Revista di Matematica della Universita di Parma 6/4. - 2001. - P. 57-108.

116. Levy M.F. Perfectly Matched Layer Truncation for Parabolic Wave Equation Models // Proc.

Royal Soc.: Math. Phys. Sci. - 2001. - Vol. 457, № 2015. - P. 2609 - 2624.

117. Акулиничев Ю.П., Абрамов П.В., Ваулин И.Н. Влияние поглощающего слоя на численное

решение параболического уравнения // Доклады ТУСУРа. - 2007. - № 2 (16). - С. 139 -145.

118. Захаров Ф.Н., Беликов В.С., Васильев А.А. Оптимизация формы поглощающего слоя при

численном решении параболического уравнения // Матер. докл. Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: В-Спектр, 2011. - Ч. 1. - С. 57 - 59.

119. Захаров Ф.Н. Определение оптимальных параметров поглощающего слоя при численном

решении параболического уравнения // Матер. докл. Всерос. науч. конф. молодых ученых. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. - Ч. 3 - С. 209 - 213.

120. Berenger J. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves //Journal of

Computational Physics. - 1994. - V. 114. - P. 185 - 200.

121. Ильгамов М.А., Гильманов А.Н. Неотражающие условия на границах расчетной области. -

М.: Физматлит, 2000. - 240 с.

122. Рябенький В.С., Турчанинов В.И., Цынков С.В. Неотражающие искусственные граничные

условия для замены отбрасываемых уравнений с лакунами // Математическое моделирование - 2000. - Т.12, № 12. - С. 108 - 127.

123. Akbarpour R., Webster A. R. Ray-tracing and parabolic equation methods in the modeling of a

tropospheric microwave link // IEEE Transactions on antennas and propagation. - 2005. - V.53, № 11. - P. 3785 - 3791.

124. Ishimaru A., Jaruwatanadilok S., Kuga Y. Imaging and Coherence in Rough Surface and Object

Scattering // The workshop on «Aspects of Rough Surface Scattering and Related Phenomena», Yountville, California, June 25-28, 2006. - P. 1 - 15.

125. Захаров Ф.Н., Крутиков М.В., Акулиничев Ю.П. Оценка величины множителя ослабления

радиоволны при наличии приподнятого тропосферного слоя // Доклады ТУСУРа. - 2013. -№ 4 (30). - С. 5 - 12

126. Захаров Ф.Н. Сравнение результатов расчета уровня сигнала методом численного решения

параболического уравнения с экспериментальными данными // Матер. докл. Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: В-Спектр, 2014. -Ч. 1. - С. 31 - 33.

127. Zakharov F.N., Akulinichev Yu.P., Anikin A.S., Krutikov M.V. Comparison of the Signal Level

Calculation Results Using Numerical Solution of Parabolic Equation with Experimental Data for the Transhorizon Paths // International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON), Omsk, 2015

128. Кравцов Ю.А., Фейзуллин З.И., Виноградов А.Г. Прохождение радиоволн через атмосферу

Земли. - М.: Радио и связь, 1983. - 224 с.

129. Hopfield H.S. Two-quartic tropospheric refractivity profile for correcting satellite data // Journal

of Geophysical Research. - 1969. - V. 74, № 18. - P. 4487 - 4499.

130. Рекомендация МСЭ-R P.453-10. Индекс рефракции радиоволн: его формула и данные о

рефракции.

131. Радиоклиматический тропосферный атлас Тихого океана / под ред. Г.С. Шарыгина. -

Томск: ТУСУР, 2000. - 171 с.

132. Колосов М.А., Шабельников А.В. Рефракция электромагнитных волн в атмосферах Земли,

Венеры, Марса. - М.: Сов. Радио, 1976. - 220 с.

133. Справочник по радиолокации / Под ред. М. Сколника // Пер.с англ. (в 4 томах) под общей

ред. К.Н. Трофимова. Том 1. Основы радиолокации. Под ред. Я.С. Ицхоки. - М.: Сов. Радио, 1976. - 456 с.

134. Рекомендация МСЭ-R P.835-4. Эталонные стандарты атмосферы.

135. Захаров Ф.Н., Крутиков М.В. Модель высотного профиля индекса преломления для южной

части Охотского моря // 25-я Междунар. Крымская конференция (КрыМиКо'2015). - Севастополь, 2015. - С. 1112 - 1113

136. Захаров Ф.Н., Госенченко С.Г., Крутиков М.В. Оценка величины зенитной задержки радионавигационных сигналов в юго-восточной части Охотского моря по данным метеоизмерений вблизи навигационного приемника // Доклады ТУСУР. - 2015. №1 (35). - С. 9 -17.

137. Мещеряков А.А., Госенченко С.Г., Кижнер Л.И. Влияние изменчивости индекса преломле-

ния тропосферы на дальность прямой видимости и погрешности измерения координат радиолокационных целей // Известия ТПУ. - 2011. - Т. 318, № 2. - С. 59 - 63.

138. Виноградов А.Г., Токарев А.Н. Сравнительная оценка локальных моделей показателя пре-

ломления тропосферы // Наукоёмкие технологии. - 2013. - Т. 14, № 9. - С. 54 - 64.

139. Захаров Ф.Н., Крутиков М.В. Сравнение точности оценки времени задержки навигацион-

ных сигналов при использовании различных моделей высотного профиля индекса преломления тропосферы // Доклады ТУСУР. - 2014. №2 (32). - С. 7-12.

140. Красюк Н.П., Коблов В.Л., Красюк В.Н. Влияние тропосферы и подстилающей поверхно-

сти на работу РЛС. - М.: Радио и связь, 1988. - 216 с.

141. Арсеньян Т.И. Распространение электромагнитных волн в тропосфере. - Томск: ТУСУР,

2006. - 170 с.

142. Цыдыпов Ч.Ц., Цыденов В.Д., Башкуев Ю.Б. Исследование электрических свойств подсти-

лающей среды. - Новосибирск: Наука, 1979. - 176 с.

143. Акиндинов В.В., Нарышкин В.И., Рязанцев А.М. Электромагнитные поля в морской воде //

Радиотехника и электроника. - 1976. - Т. 21, № 5. - С. 913 - 944.

144. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. - М.: Изд-во АН

СССР, 1961. - 546 с.

145. Zaporozhets A. A., Levy M.F. Bistatic Radar Cross Section (RCS) Calculations with the Vector

Parabolic Equation Method // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1994. - V. 47, № 11. - P. 1688 - 1696.

146. Новиков А.В. Метод «вращающегося» параболического волнового уравнения // Матер.

докл. девятой Всерос. науч. конф. «Краевые задачи и математическое моделирование». -Новокузнецк, 2008. - С. 99 - 103.

147. Barrios A.E. A Terrain Parabolic Equation Model for Propagation in the Troposphere // IEEE

Transactions on Antennas and Propagation. - 1994. - V. 42, № 1. - P. 90 - 98.

148. Janaswamy R. A Curvilinear Coordinate-Based Split-Step Parabolic Equation Method for Propa-

gation Predictions over Terrain // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1998. -V. 46, № 7. - P. 1089 - 1097.

149. Новиков А.В., Акулиничев Ю.П. Конформное отображение как метод учёта неровностей

подстилающей поверхности с малой крутизной при численном решении параболического уравнения // Доклады ТУСУРа. - 2011. - № 1(23). - С. 55 - 59.

150. Захаров Ф.Н. Корреляционная функция эквивалентного индекса преломления над морской

поверхностью // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции

«Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2013. - С. 250.

151. Бородай И.К., Нецветаев Ю.А. Мореходность судов. - Л.: Судостроение, 1982. - 288 с.

152. Новиков А.В., Акулиничев Ю.П. Сравнительная оценка влияния неоднородностей тропо-

сферы и неровностей земной поверхности на характеристики электромагнитного поля // Доклады ТУСУРа. - 2011. - № 1(23). - С. 60 - 64.

153. Федосов А.Н., Филимонов И.Л. Моделирование волнения морской поверхности для реше-

ния прикладных задач // Збiрник наукових праць Академи вшськово-морських сил iменi П.С. Наумова. - 2010. - В. 3. - С. 46 - 55.

154. Захаров Ф.Н. Учёт продольных неоднородностей тропосферы при численном моделирова-

нии распространения радиоволн // Матер. докл. 17-го Международного форума «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке», Том 3. - Харьков: ХНУРЭ, 2013. - С. 13 - 14.

155. Захаров Ф.Н. Расчёт среднего электромагнитного поля в слоисто-неоднородной атмосфере

// Научная сессия ТУСУР-2013: Материалы Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Томск, 15-17 мая 2013 г. - Томск: В-Спектр, 2013. - Ч. 1. - С. 51 - 53.

156. Захаров Ф.Н. Учёт пространственной корреляции индекса преломления тропосферы при

расчёте когерентной составляющей случайного электромагнитного поля // Матер. докл. 24-й Междунар. Крымской конференции. - Севастополь: Вебер, 2014. - С. 1107 - 1108.

157. Захаров Ф.Н. Учёт пространственной корреляции индекса преломления тропосферы при

расчёте среднего уровня электромагнитного поля // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2014. - С. 159.

158. Захаров Ф.Н., Акулиничев Ю.П. Расчёт уровня среднего электромагнитного поля числен-

ным методом в случайно-неоднородной атмосфере // Доклады ТУСУР. - 2015. - № 2 (36). - С. 10-18.

159. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. - М.: Мир, 1968. -

384 с.

160. Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990. -

584 с.

161. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Госу-

дарственное издательство физико-математической литературы, 1963. - 1108 с.

162. Глазов Г.Н., Костевич А.Г. Моделирование дискретных гауссовых случайных полей //

Опубликовано: В кн. «Интеллектуальные системы в управлении, конструировании и образовании». Вып. 2 / Под ред. А. А. Шелупанова. - Томск: STT, 2002. - С. 19 - 27.

163. Berenger J. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves //Journal of

Computational Physics. - 1994. - V. 114. - P. 185 - 200.

164. Gedney S.D. An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD

lattices» // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1996. - V. AP-44. - P. 1630 -1639.

165. Roden J.A., Gedney S.D. Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the

CFS-PML for arbitrary media //Microwave and Optical Technology Letters. - 2000. - V. 27. -P. 334 - 339.

166. Ehrhardt M., Arnold A. Discrete Transparent Boundary Conditions for the Schrodinger Equation

//Revista di Matematica della Universita di Parma 6/4. - 2001 - P. 57 - 108.

167. Dockery G.D., Kuttler J.R. An improved impedance-boundary algorithm for Fourier split-step

solutions of the parabolic wave equation // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. -1996. - V. 44, № 12. - P. 1592 - 1599.

168. Брюховецкий А. С. О методе малых возмущений в теории рассеяния волн статистически

неровной поверхностью // Радиофизика и радиоастрономия. - 2006. - Т. 11, № 3. -С.254 - 263.

169. Larsen R. Quadruple space diversity in troposcatter systems // Marconi Rev. - 1980. - V.43, №

216. - P. 29 - 54.

170. Chan T.K., Kuga Y., Ishimaru A. Angular memory effect of millimeter-wave scattering from two-dimensional conducting random rough surfaces // Radio Science. - 1995, V. 31. - P. 1067 -1076.

171. Zhang G., Tsang L. Angular correlation function of wave scattering by a random rough surface

and discrete scatterers and its application in the detection of a buried object // Waves in Random Media. - 1997. - № 7. - P. 467 - 479.

172. O'Neill K. Broadband Bistatic Coherent and Incoherent Detection of Buried Objects beneath Randomly Rough Surfaces // IEEE Trans. Geoscience & Remote Sensing. - 2000. - V. 38, № 1. - P. 480-495.

173. Захаров Ф.Н. Статистический метод прогнозирования характеристик канала распростране-

ния радиоволн над случайно-шероховатой поверхностью // Матер. Юбилейной 50-й меж-дунар. научн. студенческой конф.: Математика. - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2012. - С. 226 - 227.

174. Захаров Ф.Н. Многомерная функция рассеяния канала распространения радиоволн над

случайно-шероховатой подстилающей поверхностью // Матер. докл. Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: В-Спектр, 2012. - Ч. 1. - С. 44 -47.

175. Павельев А.Г., Просин А.В., Шляхов Н.С. Исследование свойств функции рассеяния ра-

диоканала с неровными поверхностями с учётом движения объектов для различных моделей рельефа местности / В сб.: Моделирование многолучевых радиоканалов для анализа и синтеза систем передачи информации. - М.: Наука, 1978. - С. 116 - 131.

176. Miller A.R., Brown R.M., Vegh E. New derivation for the rough-surface reflection coefficient

and for the distribution of sea-wave elevations // IEE Proceedings H Microwaves, Optics and Antennas. - 1984. - V. 131. - P. 114 - 116.

177. Акулиничев Ю.П. Коэффициенты передачи загоризонтной тропосферной линии при дви-

жении, сканировании и разнесении антенн // Радиотехника. - 1991. - №12. - С. 71 - 75.

178. Baskakov V.A., Popov A.V. Implementation of transparent boundaries for numerical solution of

the Schrodinger equation //Wave Motion. - 1991. - V. 14, № 2. - P. 123-128.

179. Софронов И.Л. Нелокальные искусственные граничные условия для задач трехмерного

стационарного обтекания // Матем. Моделирование. - 1998. - С. 64-86.

180. Ильгамов М.А., Гильманов А.Н. Неотражающие условия на границах расчетной области -

М: Физматлит. - 2000. - 240с.

181. Новиков А.В., Акулиничев Ю.П. Эффективная реализация оператора дискретного про-

зрачного граничного условия для двумерного параболического уравнения // 2011 International Siberian Conference on Control and Communications SIBCON. Proceedings. - Krasnoyarsk: SFU. - 2011. - Р. 456 -460.

182. Абрамов П.В., Ваулин И.Н., Акулиничев Ю.П. Выбор коэффициентов схемы Кранка- Ни-

колсон численного решения параболического уравнения // Матер. докл. Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: В-Спектр, 2003. - Ч. 1. -С. 3 - 5.

183. Балан М.Г., Беспечный С.Б., Горбач Н.В. и др. Статистические характеристики поля сан-

тиметровых и миллиметровых радиоволн над поверхностью моря // Изв.вузов. Радиофизика - 1982, - 25, №11. - С.1260 - 1268.

184. Загорин Г.К., Зражевский А.Ю., Коньков Е.В. и др. Факторы, влияющие на распростране-

ние ММ волн в приземном слое атмосферы. // Журнал радиоэлектроники. - 2001. - №9.

185. Разсказовский В.Б., Логвинов Ю.Ф. Множитель ослабления радиоволн при распростране-

нии над морем под малыми углами скольжения: модель многократной дифракции // Радиофизика и электроника. - 2007. - Т. 12, №1. - С. 168 - 176.

186. Разсказовский В.Б., Логвинов Ю.Ф. Множитель ослабления радиоволн при распростране-

нии над морем под малыми углами скольжения: переходная зона // Радиофизика и электроника. - 2007. - Т. 12, №1. - С. 177 - 184.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

ХАРАКТЕРИСТИК КАНАЛА РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН НАД ВЗВОЛНОВАННОЙ МОРСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Реальная морская поверхность всегда в той или иной степени неровная, в силу чего отражение от такой поверхности сопровождается явлениями, которые отсутствуют в случае идеально гладких границ раздела. Степень «гладкости» определяется в первую очередь соотношением между длиной волны и геометрическими параметрами неровностей.

Характер рассеяния определяется многими факторами. Кроме размеров неровностей и длины волны падающего излучения, играют роль размеры рассеивающей площади, способ её облучения, а также поляризация первичной волны, отражающие и преломляющие свойства воды и т.д. В зависимости от соотношения между различными параметрами применяют те или иные приближённые методы расчёта рассеянного поля [1, 5]. Два наиболее простых и часто применяемых метода - это метод малых возмущений [37, 168] и метод Кирхгофа [1, 5, 6]. Метод малых возмущений пригоден для описания поверхностей с малыми неровностями, причём наклоны поверхности должны быть меньше единицы. Приближение Кирхгофа применимо для поверхности с радиусами кривизны, значительно превышающими длину волны [5].

В литературе достаточно подробно описано рассеяние волн на объёмных неоднородно-стях и на неровной поверхности и получено много данных о корреляционных характеристиках поля при пространственном разнесении либо точек передачи, либо точек приёма. Работ, в которых рассматривается совместное разнесение источников и приёмников существенно меньше. В частности, в статье [169] выполнен численный расчет пространственных корреляционных функций однократно рассеянного поля на расходящихся, сходящихся, параллельных и пересекающихся загоризонтных тропосферных трассах для оценки эффективности счетверенных систем пространственного разнесенного приема. В этой работе впервые упоминается о повышенной корреляции сигналов на пересекающихся трассах (так называемый «memory effect»). В книге [128] в приближении метода плавных возмущений приведено интегральное выражение для функции поперечной пространственной корреляции комплексных фаз двух сферических волн, возбужденных двумя разнесенными поперек трассы источниками и рассеянных на бесконечном слое случайных неоднородностей. Анализируя это выражение можно сделать вывод о том, что при одинаковых величинах разнесений наибольшая корреляция достигается на пересекающихся трассах.

Результаты этих работ представлены в таком виде, что не удается выявить простые и наглядные зависимости между формой корреляционной функции и характеристиками среды РРВ. Впервые задача теоретического анализа свойств корреляционной функции случайно-неоднородного канала, рассматриваемой как единое целое, была решена в работе [14]. Явление

повышенной корреляции рассматривается и в последующих работах [170 - 173 и др.]. В данном приложении, которое является продолжением работ [173, 174], исследуется зависимость параметров корреляционной функции канала РРВ от характеристик рассеивающей поверхности для случая совместного пространственного разнесения источников и приемников по горизонтали поперёк трассы РРВ.

При разработке модели корреляционной функции будет рассматриваться только случай, характерный для приземных трасс, когда источники и приёмники располагаются на небольшой высоте над поверхностью моря, т.е. волна распространяется под малыми углами к подстилающей поверхности.

Вывод основных соотношений. Расположим оси декартовой системы координат (х, у, г) так, чтобы ось Ох была направлена вдоль трассы по поверхности моря, а ось Ог - вертикально. В разделе 2.3 сказано, что отклонение ординаты морской волны описывается нормальной случайной функцией И(х, у) с нулевым средним значением и дисперсией <з\ (х), а пространственная корреляционная функция имеет гауссовскую форму:

Rh(х1,хг,УнУг) = Rh (х Ах, АУ) = (х)exP

Г Ах2 +Ау2Л

(А1)

гг (х)

где х = (х + х2 )/2, Ах = (х - х2), Ау = (у - у2), lh (х) - среднеквадратическая ширина корреляционной функции (пространственный радиус корреляции).

Поскольку действительные функции корреляции для различных поверхностей неизвестны, то в большинстве теоретических исследованиях используются гауссовские корреляционные функции [164, 175]. Гауссовская модель неровной поверхности удовлетворительно описывает такие реальные поверхности как поверхность моря, слабопересечённую местность, а также местность с невысокими холмами.

Два ненаправленных источника расположены на одной высоте zt и имеют декартовые координаты (xt, _yt1, zt) и (xt, yt2, zt), то есть, разнесены поперек трассы на расстояние Ayt = yt2 - yt1. Аналогично две точки наблюдения характеризуются координатами (xr, yr1, zr) и (xr, yr2, zr) и, следовательно, также разнесены поперек трассы на расстояние Ayr = yr2 - yr1. Будем определять коэффициенты передачи для каждой из двух трасс: Источник 1 - Приёмник 1, Источник 2 -Приёмник 2.

В сантиметровом диапазоне радиоволн горизонтальные размеры морского волнения при скорости ветра больше 3 м/с существенно больше длины радиоволны, а средний угол наклона морской поверхности не превышает 2,5° (см. рисунок А.1), поэтому для решения данной задачи воспользуемся симметричной дифракционной формулой Френеля-Кирхгофа: с точностью до постоянной напряжённость электромагнитного поля в точке наблюдения определяется суммой волн, отражённых от каждой точки земной поверхности [40]

E(xt, yt, z, x„, yr, z„) = J J cos y(*) + c°s6(x) exp ^ ^ + ^ ^ ^ , ^

—ш—ш 2 (x Ax xr )

где y(x) и 0(x) - средний угол падения луча из источника в точку (x, y) на поверхности моря и средний угол «отражения» луча, попадающего в точку наблюдения; k = 2п/Х - волновое число;

Lt (x, y) = <\J{zt — h(x, y))2 + (x — xt )2 + (y — yt )2 - расстояние от ИРИ до точки отражения от под-

стилающей поверхности с координатой (х, y);

L

расстояние от точки отражения до приемника.

х о

О!

jf 2.6 о

X

а?

CL

О

2.4

2.2