Численные методы решения задач оптимального управления параболическими системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Подкопаева, Елена Николаевна

• Подкопаева, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Подкопаева, Елена Николаевна

Введение.

Глава 1. Регуляризованный двойственный метод и методы проекции и условного градиентов

§1.1 Постановка задачи.

§ 1.2 Сопряженная система, градиент функционала

§ 1.3 Регуляризованный двойственный метод

§ 1.4 Конечношаговые методы проекции и условного градиента.

Глава 2. Аппроксимация с помощью усечения бесконечных рядов.

§2.1 Конечношаговый двойственный регуляризованный метод.

§ 2.2 Сходимость и оценки скорости сходимости

Глава 3. Конечноразностная аппроксимация

§ 3.1 Постановка задач. Описание пространств и решений уравнений.

§3.2 Сопряженные системы, градиенты функционалов.

§ 3.3 Конечноразностный регуляризованный двойственный метод.

§3.4 Условия и оценка скорости сходимости решений разностного уравнения к решению исходного уравнения.

§3.5 Условия и оценки скорости сходимости по функционалу.

§3.6 Условия и оценки скорости сходимости по управлению.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения задач оптимального управления параболическими системами»

Современные сложные, быстро протекающие и энергоемкие процессы неразрывно связаны с системами автоматического управления. Существуют такие процессы, которые в принципе не могут идти без соответствующей системы управления, так как по своей природе они являются неустойчивыми. В начале своего развития теория автоматического управления имела дело с наиболее простыми процессами, модель которых математически можно было описать обыкновенным дифференциальным уравнением или, по крайней мере, конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Это так называемые системы с сосредоточенными параметрами.

Состояние таких систем в каждый момент времени иолиостыо описывается конечным набором чисел, а их изменение во времени соответственно описывается функциями времени. Системы автоматического управления объектами с сосредоточенными параметрами, особенно линейными объектами, уже относительно хорошо изучены [G5, 87, 94]. Практическая значимость решения задач оптимального использования ресурсов обусловила необходимость описания и управления системами, встречающихся на производстве. Например, проблема получения наилучших режимов работы агрегата (наивысшая производительность, минимальный расход сырья, энергии и т.д.) при заданных дополнительных ограничениях послужила причиной выработки надлежащего математического аппарата, который позволял бы определять оптимальные управляющие воздействия на объект. Наиболее существенными результатами в этом направлении для систем с сосредоточенными параметрами явились принципы максимума JI.C. Понтрягина [94] и метод динамического программирования Р. Беллмана [8].

Однако, в большинстве технических приложений суть объектов управления такова, что описание их небольшим конечным набором сосредоточенных переменных не соответствует той цели управления, которая поставлена применительно к каждому объекту. Основная особенность многих технических объектов состоит в том, что они имеют пространственную протяженность и их состояние невозможно характеризовать заданием изменения координат объекта лишь только во времени. Состояние таких объектов должно задаваться не только в каждый момент времени но и в каждой точке той геометрической области пространства, которую занимает данный объект. Разработка теории и техники автоматического управления для объектов с распределенными параметрами является значительно более сложной проблемой, нежели аналогичная проблема для объектов с сосредоточенными параметрами. Такое положение дел объясняется следующими причинами.

Состояние объекта с распределенными параметрами описывается функциями нескольких переменных. Движение таких систем в широком смысле слова (динамика и статика) описывается дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений в частных производных, интегральными уравнениями, интегро-дифференциальными уравнениями, смешанными дифференциальными уравнениями в частных производных и более сложными функциональными уравнениями неограниченно сложного типа. Иногда управляемый объект или процесс может описываться системой уравнений различного математического типа. Управляющие воздействия на объект с распределенными параметрами также могут носить самый разнообразный характер. Это могут быть отдельные точки, линии, поверхности, области и вообще многообразия довольно общего вида, сосредоточенные как на границе области задания объекта, т. е. входящие в граничные условия, так и внутри этой области. На управляющие воздействия и функции состояния объекта помимо основных уравнений объекта могут накладываться дополнительные ограничивающие условия типа равенств и неравенств гораздо более общего характера но сравнению с сосредоточенными параметрами. Техническая реализация управляющих систем связана со значительно большими трудностями и проблемами новой технологии. Например, для создания системы стабилизации поля перемещений проводящей жидкости (плазмы) необходима специально сконструированная распределенная среда (распределительный регулятор), совмещающая в себе чувствительные элементы (датчики), преобразующие устройства и исполнительные органы в совершенно новом, необычном для систем регулирования сосредоточенными объектами виде. Также значительно более сложными являются проблемы оптимальности, управляемости и наблюдаемости, а также разработки методов и численного решения прикладных задач. По данной тематике опубликованы монографии и большое число научных статей отечественных и зарубежных авторов, среди которых [3, 4, 6, 7, 10, 15, 17, 20, 27, 30, 44, 45, 48, 49, 51-53, 59, 6365, 70, 71, 74, 77, 78, 80, 81, 83, 84, 87, 94, 98,105,107,110,114-117]. Задачи управления для систем с распределенными параметрами даже в линейном случае недостаточно изучены, поэтому существующие работы по данному направлению посвящены исследованию конкретных задач оптимального управления [15,30,45,57,78,80,94,105]. При моделировании, разработке методов и численном решении прикладных задач оптимального управления возникает проблема выяснения близости двух математических моделей, одна из которых рассматривается как возмущенная но отношению к другой. При этом важно изначально знать, является ли рассматриваемая задача устойчивой по отношению к возмущениям и иметь скорости сходимости уклонения решений. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах [11, 20, 23, 25, 27, 30-36, 59, 74, 7G, 87, 89-92, 108,112| и многих других. Вопрос получения оценок и скоростей сходимости в настоящее время является актуальным. Для численного решения устойчивых задач важно выбрать, сконструировать эффективные методы и аппроксимации, с целыо сокращения времени вычисления. Последнее особенно актуально при разработке систем управления с обратной связью, работающих в режиме реального времени.

В данной работе рассматривается задача оптимального управления процессом с распределенными параметрами, связанного с распределением тепла при заданных ограничениях. Она связана с диффузионными процессами, которые широко применяются в основных отраслях промышленности: металлургической, химической, машиностроительной (термообработка) - и в целом ряде других отраслей промышленности и технике вообще. Системы подобного рода применимы к широкому классу процессов: поточные производственные процессы, нагрев металла в методических и проходных печах перед прокаткой и в процессе термообработки, получение заданных распределений температуры в "толстых" слитках, выращивание монокристаллов, сушка и обжиг сыпучих материалов, агломерация и т. д.

В настоящее время актуальными являются такие задачи, как сушка и прокалка сварочных электродов большой длины (до 500 метров), длительного хранения их в подогретом состоянии (50° — 400°С); управление нагревом образцов при проведении испытаний для космической промышленности; интенсификация процесса прокаливания нефтяного кокса в камерных печах; охлаждение труднодоступных деталей машин; различные задачи управления интенсификацией процесса прокаливания, которые широко применяются в промышленности для упрочнения и восстановления деталей, а также общепромышленной арматуры и т.д. Большое значение имеет задача нагрева тел большой массы. Одной из целей такого нагрева является получение заданного распределения температуры но массе. В этом случае ограничения соответствуют тому факту, что в проходных нагревательных агрегатах недопустимы слишком большие значения амплитуды колебания температуры греющей среды и перепады температуры по длине печи. В этом случае нужно определить управление, удовлетворяющее ограничениям, так, чтобы несмотря на всевозможные возмущения процесса нагрева, вызванные как изменением скорости, так и изменением теплофизических параметров процесса, уклонение выходящего из печи материала от заданной температуры было бы минимальным.

Многие задачи автоматического управления, оптимального проектирования, математического программирования можно формулировать как задачи минимизации функционала, зависящего от управления и и от состояния системы w = Gu :

J (и) = Ф(С7и,и) inf, ueU С Я, где U— множество допустимых управлений из некоторого выбранного пространства Я, a G : Я -»• W— отображение из пространства управлений Я в пространство состояний системы. Возмущенные задачи представляются в виде аналогичной последовательности задач минимизации:

JN(u) = Фм(Сми, и) inf, и 6 UN С HN, N = 1,2,., где Un, N = 1, 2,.— приближенные множества из аппроксимирующих пространств #/v, N = 1,2,.; Gn ' Wn, N = 1, 2,. возмущенные отображения. Параметр N определяет возмущения, связанные с приближенностью модели и исходных данных задачи. Эти возмущения могут быть вызваны неточностью информации о коэффициентах уравнений, малостью некоторых параметров в уравнениях, аппроксимацией уравнений и функций, задающих множество допустимых управлений. В такой постановке охватываются возмущения и аппроксимации как одной природы Яjv С Я. Решением невозмущенной задачи является минимальное значение функционала и множество оптимальных элементов:

Г = inf J(u), U* = {ueU: J(u) = J*}. uGU

Проблема устойчивости и аппроксимации заключается в исследовании условий сходимости приближенных решений возмущенных задач, т.е. u*N € Un, N = 1,2,. (приближенных оптимальных элементов): inf J (и) = J*N < Jn{u*n) ^ J*n + £n, £n -> 0, N -» 00, к решениям исходной, предельной задачи по функционалу:

JN(u*N) -» J* (Jh Л,N оо и по управлению: u]v -»£/*, iV оо.

Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечпоразностных аппроксимаций, были получены в работах Б. М. Будака, Е.М. Берковича, Е.Н. Соловьевой [11,13] и Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко, Т.И. Царенко [33-30]. В них были иолучеиы общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А.Н.Тихонова [107]. В дальнейшем эта методика развивалась во многих работах [5, 9, 12, 16, 21, 22, 88, 95, 122] Условия устойчивости и аппроксимации применительно к различным конкретным системам с сосредоточенными и с распределенными параметрами исследовались в работах [1,42,46,50,62,77,79,95,100]. Для параболических систем данные исследования проводились в работах [18, 26, 42-44, 57, 60, 61, 69, 77-79, 93,114,118]. В теории бесконечномерной оптимизации, в частности, в задачах оптимального управления, известные методы, например, градиентные, дают обычно слабую сходимость по управлению. Поэтому одной из важных проблем является разработка устойчивых численных методов с сильной сходимостью по управлению. С этой целью применяются различные регуляризирующие методы (см., например, [3, 6, 20, 27, 59,107, 117]). В настоящей работе этой проблематике уделено большое внимание, в ней предлагаются методы решения класса выпуклых задач с ограничениями типа неравенств с сильной сходимостью по аргументу. Отметим, что в случаях некоторых практических задач, даже при естественных аппроксимациях, сходимости по функционалу или по управлению может и не быть.

В прикладных задачах, которые являются неустойчивыми, некорректными, приближенность информации о задаче и ее входных данных дает отрицательный ответ но вопросам этих сходимостей. Поэтому для численного решения таких задач является актуальной разработка специальных аппроксимаций с использованием метода регуляризации [3, 6, И, 23, 36, 65, 73, 92, 93, 107, 108]. В этих случаях с успехом можно применять методы коиечиоразиостной аппроксимации для уравнений в частных производных. Одним из эффективных методов решения задач оптимального управления является метод моментов. Впервые он был применен Н.Н. Красовским к задачам перевода системы в заданную точку для систем, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями [G5-G8]. В дальнейшем метод моментов был развит и применен к решениям задач оптимального управления системами с распределенными параметрами в работах А.Г. Бутковского [15], А.И. Егорова [30], М.М.Потапова [20] и др. Следует заметить, что во многих практических задачах точных перевод в заданное конечное состояние невозможен. В таких случаях естественно ставить задачу о переводе системы, как можно ближе к заданному конечному состоянию. Для решения такого рода задач в работах А.З. Ишмухаметова [45,48,49,52,53] был разработан новый метод решения задач оптимального управления, а именно: двойственный метод как обобщение проблемы моментов.

Данная диссертационная работа посвящена рассмотрению численных методов, направленных на решение этих вопросов, для задач оптимального управления процессами, описываемыми уравнением теплопроводности с управлением на границе и в правой части при заданных ограничениях на управления.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Подкопаева, Елена Николаевна

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) Построены устойчивые методы для решения задач минимизации терминального квадратичного функционала на решениях параболической системы с двумя управлениями на границе и в правой части уравнения при ограничениях на управления типа неравенств. В частности, для задачи с целевым квадратичным функционалом применяется регуляризованный двойственный метод. Выведены условия и оценки сходимости по функционалу и по управлению.

2) Разработаны конечношаговые методы проекции и условного градиента с использованием копечиоразностных аппроксимаций. Построенные численные методы связаны с методом проекции градиента с конечношаговыми внутренними процедурами. Для вычисления проекции применяется двойственный регуляризованный метод.

3) Для решения задач, связанных с уравнением теплопроводности и его конечноразностной аппроксимацией построен метод на основе регуляризации, обобщенного метода моментов и двойственного метода. Выведены условия и оценки сходимости решений разносного уравнения к решению исходного уравнения, условия и оценки сходимости по функционалу и по управлению.

4) Разработанные методы апробированы вычислительными экспериментами.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируются на известных достижениях в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами. Все доказательства теорем являются строгими и основаны на математическом и функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений и выпуклом анализе.

Полученные теоретические результаты могут быть использованы в математической теории управления и ее приложениях. Предлагаемые в работе методы могут служить эффективными методами решения конкретных прикладных задач оптимального управления параболическими системами. Быстрота сходимости и малость времени счета говорят о применимости предложенных в данной работе методов в реальных системах автоматического управления с обратной связью.

Результаты, полученные в настоящей работе обсуждались на семинаре отдела методов нелинейного анализа ВЦ им. Дородницына РАН. Основные результаты диссертации содержатся в работах [24,38-41].

Автор выражает признательность за руководство данной работой и благодарит д.ф.м.н., проф. А.З.Ишмухаметова, а также участников семинара отдела методов нелинейного анализа: гл. научного сотрудника Гребепикова Е.А., д.ф.м.н., проф. Дикусара В.В., д.ф.м.н. Березнева В.А. и др.

Также автор искренне благодарит оппонентов данной работы: д.ф.м.н. Знаменскую JI.H. и д.ф.-м.н. Дикусара В.В.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Подкопаева, Елена Николаевна, 2006 год

1. Абдырахманов О., Кряжимский А. В. К вопросу о корректности задачи оптимального управления. // Дифференц. уравн., 1984, 20, № 10. С. 1G59 - 1С65.

2. Аваков Е. Р. Условия регуляризации аппроксимирующего семейства экстремальных задач. // Вести. МГУ. Сер. 15. Вычисл. мат. и киберн., 1982, № 1. С. 29 35.

3. Антипин А. С. Методы регуляризации в задачах выпуклого программирования. Экономика и матем. методы, 1975, 11, № 2. С. 336342.

4. Антипин А. С. Об едином подходе к методам решения некорректных экстремальных задач. Вестник МГУ. 1973, № 2. С. 61 66.

5. Аваков Е. Р. Условия регуляризации аппроксимирующего семейства экстремальных задач. Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1982, № 1. С. 29 35.

6. Бакушинский А. В., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

7. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельников Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

8. Беллман Р. Динамическое программирование. Ил. 1960.

9. Бердышев В.И. Устойчивость задачи минимизации при возеущепии множества допустимых элементов. // Мат. сб., 1977, 103 (104), № 4(8). С. 467 479.

10. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лаграпжа. М.: Радио и связь, 1987.

11. И. Будак Б. М., Беркович Е. М., Соловьева Е. Н. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управелния // Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1969. Т. 9. № 3. С. 522 547.

12. Будак Б. М., Васильев Ф. П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управленияю. М.: Изд-во МГУ, 1975. С. 171.

13. Будак Б. М., Беркович Е. М., Соловьева Е. Н. Об аппроксимации экстремальных задач, I, II // Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1971. Т. 2. № 3. С. 580 596, № 4. С. 870 - 884.

14. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М: Наука, 1975.

15. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

16. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Потапов М. М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. Москва, МГУ, 1989.

17. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Потапов М. М., Солодкая М. С. Обобщенный метод моментов в задаче управления параболической системой.//Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во МГУ, 1984.

18. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Уварова О. JI. Применение к задаче оптимального управления гиперболической системой с линейными ограничениями. //Вестн. МГУ. Сер. 15.вычисл. мат. и киьерн., 1986. №2.

19. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. Москва.: Факториал, 2002. С. 823.

20. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

21. Васильев Ф. П. О сходимости одного разностного метода решения задачи быстродействия. Банах, центр, 1978. Т. 3. С. 93-101.

22. Васин В. В. Устойчивая дискретизация экстремальных задач и ее приложения в математическом программировании // Мат. заметки, 1982. Т. 31. № 2. С. 269 280.

23. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. С. 156.

24. Евсеенко Т. П. Приближенное решение задачи оптимального управелния процессом теплопроводности.// Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. Фрунзе: Изд-во Илим, 1975.

25. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

26. Егоров А. И. Оптимальное унравелние тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.

27. Егоров А. И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.

28. Егоров А. И. Оптимальное управления тепловыми и диффузионными процессами. М.: Мир, 1978. С. 463.

29. Егоров А. И. Об устойчивости и оптимизации систем с распределенными параметрами. // Прикл. мат., 1984. Т. 20. № 4. С. 95 100.

30. Егоров А. И., Михайлова Т. Ф. Сингулярные возмущения в задачах оптимальной стабилизации теплового процесса. // Докл. АН УССР, сер. А, 1986. Т. 3. С. 74 77.

31. Ермольев Ю. М. Конечноразностный метод в задачах оптимального управелния. // Тез. сообщ. межд. конгр. математиков. М., 1966. № 1. С. 709 721.

32. Ермольев Ю. М., Гуленко В. П. О численных методах решения задач оптимального управления. // Кибернетика, 1966. N5 1. С. 120-121.

33. Знаменская JI. Н.Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004.

34. Заболотская Е.Н. (Подкоиаева), Заболотский Е.В., Ишмухаметов А.З. Управление колебаниями упругой круговой пластины. Избранные проблемы прикладной механики и математики, М.: МГТУ "МАМИ", 2003г. С.127 142.

35. Иванович JI. Д. Разностная аппроксимация и регуляризация задачи об оптимальном нагреве стержня. // Вести. МГУ. Сур. 15. Вычисл. мат. и киберн., 1982. № 3. С. 10 15.

36. Искеидеров А. Д., Тагиев Р. К. Задачи оптимизации с управелниями в коэффициентах параболического урпвнения.// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 8. С. 1324 1334.

37. Ишмухаметов А. 3., Юлина А. В. Аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления параболической системой. Ж. Вестник МЭИ 1998, № 6. С. 73 84

38. Ишмухаметов А. 3. Условия аппроксимации и устойчивости задач минимизации. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993 Т. 33, № 7. С. 1012 1029

39. Ишмухаметов А. 3. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления поперечными колебаниями стержня.// Вычисл. мет. и программир., 1983, 39, С. 155 165.

40. Ишмухаметов А. 3. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации. 2000.

41. Ишмухаметов А. 3. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. 2000.

42. Ишмухаметов А. 3. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. М.: Изд-во ВЦ РАН, 2000. С. 151.

43. Ишмухаметов А. 3. Вопросы аппроксимации и регуляризации задач оптимального управления гиперболическими системами.// Вычисл. мет. и системы обраб. данных на ЭВМ. М.: Изд-во МГУ, 1988. С. 4 -8.

44. Ишмухаметов А. 3. Регуляризованные методы оптимизации с конечношаговыми внутренними алгоритмами. Докл. РАН, 2003. Т. 390. №3.

45. Ишмухаметов А. 3. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации.//ЖВМиМФ, 2000, Т. 40, № 7. С. 1045 1060.

46. Ишмухаметов А. 3. Методы решения задач оптимизации. М.: Изд-во МЭИ, 1998. С. 80

47. Ишмухаметов А. 3. Моделирование процессов управелния линейными системами: Устойчивость и аппроксимация. // Итоги науки и техники. ВИНИТИ: Вычисл. науки, 1991. Т. 7, С. 3 88.

48. Ишмухаметов А. 3. Обобщенный метод моментов в задаче с управелнием, зависящем только от пространственных переменных. // Стандартные программы и вычисл. решение задач волновой физики. МГУ, 1986.

49. Ишмухаметов А. 3. Применение градиентного метода для решения одной задачи оптимального управления.// Вопросы оптимизации и уиравелния. М.: Изд-во МГУ, 1979.

50. Ишмухаметов А. 3., Першеев Д. В., Потапов М. М. Аппроксимация проблемы моментов в параболической задаче оптимального управления //Численные методы решения краевых и начальных задач для дифференциальных управнений. М.: Изд-во МГУ, 198G. С. 117-122

51. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2000.

52. Керимов А.К. Об аппроксимации но Галеркину задач оптимального уиравелния для систем с распределенными параметрами параболического тииа. // Ж. Вычисл. матем. и матем физики, 1979. Т. 19. № 4. С. 851 865.

53. Кузенков О.А., Плотников В.И. Сходимость конечномерных приближений в задаче оптимального уиравелния сильно параболической системой. // Конструир. алгоритм, и решений задач мат.физ., М., 1989.

54. Короткий А. И. Коэффициентрная устойчивость регений гиперболических систем и корректность задач оптимального управления. // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск, 1987. С. 22 33.

55. Косыояшок С. А. К методу мометнов в теории оптимального управления // Автоматика и Телемеханика, № 8, 1970. С. 169 171.

56. Косыоянюк С. А. О методе моментов в теории оптимальнеого управелния при входных воздействиях с различными энергиями.// Автоматика и Телемеханика, № 5, 1978. С. 5 9.

57. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.6G. Красовский Н. Н. К теории оптимального регулирования Автоматика и телемеханика, 1957. Т. 18, № 11. С. 9С0 970.

58. Красовский Н. Н. Об одной задаче оптимального регалирования.// ПРикладная математика и механика, 1957. Т. 21, № 5. С. 670 677.

59. Красовский Н. Н. Теория оптимальных управляемых систем. Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука 1968.

60. Лабузов С. Г., Потапов М. М. Оценка скорости сходимости метода прямых в задаче об оптимальном нагреве. // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 1985. № 3. С. 35 -42.

61. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.:Наука, 1973.

62. Ладыженская О. А., Солоиников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.:Наука, 1967.

63. Лигун А. А., Капустян В. Е., Волков Ю. И. Специальные вопросы теории приближений и оптимального управления распределенными параметрами. Киев.: Выща школа, 1990. С. 208.

64. Лигун А. А., Капустян В. Е., Волков Ю. И. Специальные вопросы теории приближений и оптимального управления распределенными параметрами. Киев.: Выща школа, 1990. С. 208.

65. Лионе Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. С. 414.

66. Лионе Ж. Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. С. 368.

67. Лоран П. Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. С. 496.

68. Лубышев Ф. П. О диффереициалыю-разиостиых аппроксимациях многомерных задач оптимального управелния с распределенными в пространстве параметрамим// Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, № 4. С. 711 717.

69. Лубышев Ф. П. Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. Уфа, БГУ, 1999. С. 243

70. Лубышев Ф. П. Аппроксимация и регаляризация задач оптимального упрвелния для несамоспряженного эллиптического урпвенния с переменными коэффициентами. // Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1991, 31, № 1. С. 17 -30.

71. Максимов В. И. Устойчивое восстановление неизвестных возмущений в параболических вариационных неравенствах. // Задачи оптимизации и устойчивости в управлфемых системах. Свердловск, 1990. С. 74 86.

72. Марчук Г. И., Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. С. 608.

73. Марчук Г. И., Агошип В.И. Введение в проектционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

74. Мину М. Математическое программирование: Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990. С. 488.

75. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

76. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. С. 424.

77. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. С. 239.

78. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

79. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимального управления. М.: Наука, 1987. С. 359

80. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. С. 236.

81. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Свердловск, 1991. С. 104.

82. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. С. 236.

83. Плотников В. П., Сумин М. И. Об условиях на эелементы минимизирующих последовательностей задач оптимального управления. // Докл. АН СССР, 1984. Т. 280, № 2. С. 104.

84. Плотников В. И., Сумин М. И. О сходимости приближений в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы. // Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1972. № 1. С. 61 77.

85. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г. , Гамкрелидзе Ф. П., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

86. Потапов М. М. Об аппроксимации задач оптимизации с гладкими допустимыми управлениями при наличии ограничений.// Вест. МГУ. Сер. 15. Вычисл. мат. и киберп., 1983, № 4. С. 3-8.

87. Потапов М. М. Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболические уравнения). М.: Изд-во МГУ, 1985. С. 63.

88. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.:Наука, 1975. С. 320.

89. Разгулин А. В., Шамаева Т. Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления для уравнения типа Шредингера.// Прикладные методы нелинейного анализа и управелния. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 87 94.

90. Разгулин А. В. Аппроксимация задачи управления для нелинейного уравнения типа Шредингера.// Вестник МГУ, сер. вычисл. матем. и киберн., 1988, № 2. С. 28 33.

91. Рахимов М. Р. О некоторых методах решения задачи линейно-квадратичного программирования для систем с распределенными параметрами.// Ж. Вычисл. мат. и мат. физ., 1986. Т. 26, № 12. С. 1797- 1812.

92. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

93. Самарский А. А., Лазаров Р. Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987.

94. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1977. С. 480.

95. Серазетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределительными параметрами. М.: Наука, 1977.

96. Тагиев Р. К. Об оценке скорости сходимости разностных аппроксимация и регуляризации задач оптимального управелния для дифференциальных урнвнений второго порядка.//Ж. Дифференц. Уравенния, 1989. Т. 25.№ 9. С 1626 1629.

97. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

98. Тихонов А. Н., Арсенин А. Я. Методы решения некорренктных задач. М.: Наука, 1986. С. 286.

99. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

100. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

101. Федоренко Р. П. Приближенные методы решениы задач оптимального управлния. М.: Наука, 1978. С. 487.

102. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. // Итоги науки и техники. Мат. анализ. ВИНИТИ, 1977.

103. Шамаева Т.Ю. Обобщенный метод моментов в задаче управления типа Шредингера. // Числ. мет., МГУ, 1986. С. 50 53.

104. Dubinska-Nagorska A., Just A., Stempien Zdziskaw. A non-linear parabolic control problem with non-homogeneous boundary condition-converagence of Galerkon approximation // Math. Metli. Appl. Sci. 1997. V 20, № 16. P. 1365 1377.

105. Dubinska-Nagorska A., Just A. Optimum control of distributed parameter system. // Postepy Cybernetyki, 1983. V 6, № 3. P. 5 15.

106. Evtushenko Y. G. Computation of exact gradient in distributed dinamic system. // Optimizat. Methods and Software, 1997. V. 7, № 4. P. 45 75.

107. Kaplan A. Tichatschke R. Stable methods for ill-posed problems. Berlin: Akad. Verl., Mathematical topics, Vol. 3, 1994.

108. Lasiecka I. Galerkin approximation of abstract parabolic boundary value problems with routh boundary data —Lp— theory.//Math. Coinput., 1986, 47. P. 55 57.

109. Malanovski K. Convergence of approximations vs. regularity of solutions for convex control constrained

110. Narukawa K. Admissible controllability of vibrating szstems with con-trained controls.//SIAM J. Control and Optim., 1982. V. 20, № 6. optimal control problems.// Appl. Math. Optim., 1981, 8. P. 69-95.

111. Stummel F. Diskrete Konvergenz lienearer Operatoren.// Math. Ann., 1970, 190. С 45 92.

112. Zolezzi T. A characterization of well-posed optimal control sys-tem.//SIAM J. Contr. Optim., 1981, 19, № 5. P.604 616.