Численные методы решения прямых и обратных задач гравиметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Иванов Дьулус Харлампьевич

• Иванов Дьулус Харлампьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов Дьулус Харлампьевич

Введение

Глава 1. Численные методы решения прямой задачи гравиметрии

1.1. Введение

1.2. Прямая задача гравиметрии

1.3. Расчет вертикальной силы тяжести с помощью квадратурных формул

1.4. Расчет гравитационных аномалий на основе решения краевой задачи

1.5. Выводы

Глава 2. Расчет вертикальной силы тяжести на основе решения

вспомогательной краевой задачи

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи

2.3. Вычислительная реализация

2.4. Численный эксперимент

2.5. Выводы

Глава 3. Численное восстановление кусочно-постоянной правой части

эллиптического уравнения

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи и алгоритм ее решения

3.3. Вычислительная реализация

3.4. Численные результаты

3.5. Выводы

Глава 4. Численное решение обратной задачи гравиметрии

4.1. Введение

4.2. Постановка задачи

4.3. Вычислительный алгоритм и его реализация

4.4. Численные эксперименты

4.5. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации программы

для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения прямых и обратных задач гравиметрии»

Введение

В течение второй половины прошлого столетия до настоящего времени математическое моделирование прочно вошло в основу теоретического познания природы и общества, включая исследования прикладных задач для многих областей науки и инженерии [18, 19. 34]. Математическое моделирование явлений и процессов опирается на триаду «математическая модель - вычислительный алгоритм - программный код» [34]. Математическая модель в некотором роде идеализирует исследуемый объект, выделяя его основные свойства, для которых составляются алгебраические, дифференциальные, интегральные и интегро-диф-ференциальные уравнения. Зачастую мы имеем дело с совокупностью уравнений, которые получаются в результате применения законов сохранения в природе (закон сохранения масс, энергии, импульса и т.д.) [47]. Развитый аппарат прикладной и вычислительной математики, современные вычислительные системы позволяет адекватно и с достаточной точностью смоделировать задачи различного уровня сложности и исследовать их свойства во всевозможных ситуациях. Развитие высокопроизводительных компьютеров, их общедоступность и дешевизна позволяют научным и инженерным коллективам относительно быстро и безболезненно провести вычислительные эксперименты взамен дорогостоящих натурных экспериментов, в частности, на предварительном этапе перед осуществлением их на практике.

В настоящее время математическое моделирование является чуть ли не единственным методом познания внутреннего строения Земли по наблюдениям геофизических полей на дневной поверхности Земли или в скважинах [14, 48]. В геофизике основными методами натурных измерений являются сейсмологические, магнитометрические и гравиметрические, по которым выделяются отдельные направления исследований — сейсмика, магнитометрия и гравиметрия, соответственно. Сейсмика является наиболее популярным методом по определению геологической структуры Земли и изучает упругие свойства пород земной коры путем распространения (возбуждения и регистрации) упругих волн, описываемых уравнением Гельмгольца [36]. Магнитометрия имеет дело с магнитным полем Земли и изучает магнитные свойства горных пород, математическаие модели основываются на трехмерных уравнениях Максвелла для электромагнетизма [23]. Гравиметрия исследует плотностные неоднородности в структуре земной коры и их влияние на гравитационное поле Земли [15]. В прикладных задачах геофизики, так называемой разведочной геофизики, нацеленных на поиск полезных ископаемых, нефтяных резервуаров, обнаружение грунтовых вод, определение толщин ледников и почв, а также раскопки археологических предметов область исследования сужается до верхней части земной коры.

В разведочной гравиметрии основной измеряемой величиной служит ускорение свободного падения. Ключевые факторы, определяющие полную силу тяжести в том или ином месте земной поверхности или около нее, связываются с гравитационным полем, созданным массой Земли, и центробежной силой, вызванной суточным вращением Земли относительно своей оси. Первая составляющая (гравитационное поле) вносит больший вклад в значение

и направление силы тяжести. Центробежная сила направлена от оси вращения и перпендикулярно к ней и потому на полюсах и на экваторе наблюдается заметное расхождение значений силы тяжести. В гравиметрии за единицу измерения силы тяжести принято брать 1 Гал (в честь Г. Галилея), равный 0.01 м/с2. Другие производные единицы измерения: 1 мГал = 1 • 10-3 Гал (миллигал), 1 мкГал = 1 • 10-6 Гал (микрогал), англоязычные эквиваленты названий Gal, mGal и ^Gal, соответственно. Так, среднее значение силы тяжести на поверхности Земли составляет 979,7 Гал и колеблется в пределах до 5.2 Гал от экватора до полюса. Незначительное влияние на значение силы тяжести, вызванное силами притяжения других небесных тел, главным образом Луны и Солнца, на несколько порядков меньше среднего значения силы тяжести и составляет около 0.2 мГал. Современные приборы измерения гравитационного поля, называемые гравиметрами, могут получить данные с точностью до 1-5 микрогал.

Анализ данных гравитационной разведки дает возможность сделать вывод о распределении неоднородных по плотности масс в верхней части земной коры [15]. Гравитационная съемка бывает наземной, воздушной и подземной и различается масштабом исследуемой местности: локальная, региональная и глобальная. Наземная съемка, как правило, происходит на дневной поверхности Земли с учетом рельефа местности. Установив приборы на кораблях, гравитационная съемка на море помогает исследовать глубинное строения дна. Воздушные измерения проводятся на вертолетах, самолетах и на спутниках, такие съемки применяются при исследовании более масштабной, глобальной картины гравитационного поля Земли. Съемки со спутника, называемые космической съемкой, применяется не только для исследования гравитационного поля Земли, но и остальных небесных тел. Подземные съемки проводятся на буровых скважинах и подземных шахтах. В процессе съемок последнего типа, помимо измерения гравитационного поля, имеется возможность прямого измерения плотности.

Под гравитационной аномалией понимается разница между наблюденным значением и нормальным значением силы тяжести. Нормальное значение вычисляется на геоиде, поверхности эллипсоида вращения [14]. Помимо учета всех известных вышеупомянутых факторов влияния на значение силы тяжести в конкретном месте наблюдения добавляются поправка в свободном воздухе, поправка на промежуточный слой и поправка на влияние рельефа [8, 15]. Конечный результат считается аномалией гравитационного поля в редукции Буге, вызванная неоднородным распределением масс внутри Земли, особенно на верхней части земной коры.

Интерпретация гравитационных аномалий является основной задачей гравиразведки [3, 15], когда по наблюденным гравитационным аномалиям требуется выявить плотностную аномалию в области, прилегающей к поверхности наблюдения. Разработка эффективных численных методов и вычислительных алгоритмов для решения прямых и обратных гравиметрических задач остается востребованной для качественной и достоверной интерпретации гравитационных аномалий.

В гравиметрии под прямой задачей понимается определение гравитационного поля [15], создаваемого телом с заданными физическими и геометрическими характеристиками. Поскольку гравитационное поле является потенциальным, необходимо отыскать некоторую скалярную величину, называемую гравитационным потенциалом, градиент которого определяет гравитационное поле. Под элементами гравитационного поля понимается гравитационный потенциал, его производные первого и высшего порядка по пространственным координатам. К геометрическим свойствам тяготеющего тела относятся форма, размеры и положение в пространстве, а к физическим — масса, функция распределения плотности.

Обратная задача гравиметрии [15] заключается в определении характеристик тяготеющего тела по заданным значениям гравитационного поля в некоторой области наблюдения. Отдельно выделяется задача трансформации гравитационного поля, продолжение гравитационного поля в сторону тяготеющего тела. Отмеченные задачи относится к некорректным задачам математической физики.

Для математического моделирования гравитационного потенциала, создаваемое телом с распределенной массой, используется теория интегральных и дифференциальных уравнений с частными производными.

Гравитационный потенциал определяется как ньютоновский потенциал и представляет собой свертку функции распределения плотности с ядром в виде фундаментального решения для оператора Лапласа в неограниченной области. Производные потенциала первого и высокого порядка представляются аналогичным образом. Аналитические представления элементов гравитационного поля выведены для тел правильных геометрических форм: шар, куб, прямоугольная призма, пирамида, тетраэдр и т. д. Для определения ньютоновского потенциала от бесконечно вытянутых тел используется логарифмический потенциал. С практической точки зрения большой интерес имеют точные выражения элементов гравитационного поля для рудных тел в форме многогранника. Ранние работы связаны с вычислением гравитационного поля от произвольного многогранника [144, 152]. В настоящее время получены аналитические формулы для многогранных тел с различной функцией распределения плотности: полиномиальная зависимость по вертикальному направлению [52, 90], экспоненциальная зависимость по вертикальному направлению [70], гиперболическая зависимость по вертикальному направлению [69, 138] и полиномиальная зависимость по всем направлениям [76, 82].

Стоит отметить, что по мере усложнения формы и функции распределения области аналитические формулы могут не выражаться в элементарных функциях, либо становятся все более громоздкими и малопригодными для практического пользования. В силу этого возникает необходимость в приближенном вычислении объемных потенциалов для заданного произвольного тела [5]. Наиболее распространенный метод заключается в разбиении области тела конечным числом непересекающихся областей правильной геометрии, вычислении с последующим суммированием эффекта от каждой области. Например, тело разбивается на однородные ячейки в форме прямоугольного параллелепипеда, в более общем случае на

произвольные многогранные области с заданной функцией распределения плотности, гравитационное поле которых можно точно вычислить.

Универсальный метод приближенного вычисления гравитационного поля базируется на использовании квадратурных формул [22, 37]. В данном способе в области тела строится сетка, элементами которой обычно выступают тетраэдры или шестигранники, выбираются квадратурные узлы и веса соответствующего порядка для достижения заданной точности. По сравнению с аналитическим подходом использование квадратурных формул весьма удобно в реализации: при вычислении мы работаем с едиными расчетными схемами для элементарных объемов одного выбранного типа. В случае, когда совокупность конечных элементов точно покрывает область тела, данный метод дает достаточно высокую точность аппроксимации. Вычислительные затраты в первую очередь связаны с количеством элементов разбиения и выбором порядка квадратурной формулы: чем выше порядок квадратурной формулы, тем больше используемых квадратурных узлов.

Быстрый метод мультиполей (fast multipole method) был применен для решения прямых задач гравиметрии в работах [84, 86]. Исторически данный метод был предложен для решения гравитационной задачи N тел [94, 140]. Идея метода заключается в разделении области тела условной границей на близкие и удаленные точки относительно точки наблюдения.

В отечественной литературе необходимо отметить работы школы В.Н. Страхова, направленные на решении прямой задачи с использованием интегрального подхода на основе преобразования Фурье и разложения в ряд по различным системам ортогональных функций. Обширный список литературы по отмеченной тематике имеется в книге [5].

Более современные методы приближенного решения прямых задач гравиметрии базируются на решении краевой задачи, поставленной для гравитационного потенциала или для гравитационного поля, в ограниченной области. Гравитационный потенциал во всем пространстве удовлетворяет уравнению Пуассона, в правой части которого стоит функция распределения плотности исследуемого тела. В бесконечно удаленных точках пространства гравитационный потенциал полагается равным нулю. При переходе к ограниченной области необходимо дополнительно ставить граничное условие, наиболее точно приближающее поведение гравитационного поля на удалении. При выборе граничного условия [67] на достаточно удаленной границе можно воспользоваться простым асимптотическим приближением гравитационного потенциала от материальной точки с эквивалентной массой. Однако у данного метода помимо уточнения приближенного граничного условия возникает проблема выбора размера самой объемлющей области и расчетной сетки для достижения приемлемой точности и уменьшения вычислительных затрат.

Методы решения краевых задач для уравнений в частных производных весьма многообразны и очень хорошо разработаны [26, 32, 59, 155]. Основными методами при решении задач гравиметрии в дифференциальной постановке являются: метод конечных разностей [83, 103], метод конечных объемов [96, 97, 103, 115], метод конечных элементов [66, 67, 115, 126, 127] и метод спектральных элементов [78, 92, 93]. Для дискретизации расчетной области обычно строится регулярная сетка с элементами в форме прямоугольной призмы или в фор-

ме тетраэдра. В методе конечных объемов и конечных элементов возможно использование неструктурированных сеток с элементами, например, в форме тетраэдра или шестигранника для трехмерных задач. С развитием алгоритмов и вычислительных средств для построения оптимальных сеток исследуемые тела могут быть смоделированы с достаточно хорошей точностью. Применение таких сеток может более детально передать геометрические особенности исследуемого тела. В [124] для решения прямой задачи гравиметрии применяется модифицированный метод конечных разностей с радиальными базисными функциями в произвольном облаке точек.

С повышением точности и доступности современных измеряющих устройств возникает необходимость обрабатывать и анализировать большое количество данных. В добавлении к этому вычисление гравитационного потенциала и его производных от трехмерных тел является трудоемкой задачей. Поэтому одним из преимуществ подхода на основе численного решения краевых задач является то, что гравитационные данные вычисляются на всей расчетной сетке одновременно при последующем извлечении требуемых данных в точках наблюдения. Как показано в [127], для большого количества точек наблюдения применение метода конечных элементов обеспечивает более эффективное вычисление гравитационных аномалий, чем метод прямого интегрирования. Точность аппроксимации и вычислительные затраты напрямую связаны с величиной расчетной области, с ее сеточным разбиением. Для более эффективного вычисления гравитационных данных требуется разработка новых вычислительных алгоритмов на основе решения краевых задач.

Обратная задача гравиметрии, как и многие другие задачи геофизики, является классическим примером некорректно поставленных задач математической физики [16, 17, 31]. Для корректности задачи необходимо, чтобы выполнялись три условия по Адамару: 1) существование решения, 2) единственность решения, 3) устойчивость решения при малых возмущениях входных данных. В обратных задачах гравиметрии по идентификации области залегания рудного тела основная проблема заключается в отсутствии единственности решения. В качестве простого примера можно рассмотреть расположенные в одной точке два однородных шара одинаковой массы, но с различными радиусами, которые будут создавать одинаковые гравитационные поля вне большего шара. Однако, при учете дополнительной информации относительно элементов гравитационного поля и/или свойств исследуемого тела в некоторых случаях удается добиться единственности решения обратной задачи [6, 27, 108]. Например, единственность решения доказывается для однородных тел с известной плотностью, заключенных в звездной области или выпуклой области относительно некоторого направления.

Вторая не менее важная проблема при решении обратных задач гравиметрии заключается в неустойчивости решений от малых возмущений наблюденных данных. Это объясняется тем, что тела с разными топологиями могут иметь достаточно близкие гравитационные поля. Существуют тела, которые создают нулевое внешнее гравитационное поле, например, разница двух шаров из вышеупомянутого примера. Следовательно, прибавление такого тела приводит к изменению плотности и размера искомого тела без изменения создаваемого

поля во внешнем пространстве, что затрудняет выявления близких тел по зашумленному внешнему полю.

Третья проблема связана со свойствами гравитационных наблюдений, которые выступают в качестве дополнительных условий при решении обратных задач. В теоретических формулировках корректности обратных задач требуется, чтобы гравитационное поле было задано на бесконечном числе точек. В реальных гравиметрических съемках значения гравитационного поля заданы в конечной совокупности точек наблюдения (станций). Ошибки во входных гравитационных данных могут иметь различный характер [8]. Наличие шума в гравитационной аномалии связано с влиянием сторонних объектов, находящихся вне области исследования, с предобработкой входных данных.

Корректность обратных задач гравиметрии теоретически установлена только для некоторого класса конфигураций материального тела. Наиболее полные результаты получены для однородного рудного тела. Например, рудное тело, заключенное в звездную область, однозначно определяется по его внешнему полю [27]. Единственность решения для тела, заданной в выпуклой области относительно фиксированного направления, исследуется в работах [106, 108]. В некоторых случаях (смотри, например, [29]) можно восстановить одновременно саму область и плотность тела.

Численные методы решения обратных задач гравиметрии, как правило, основываются на постановках прямой задачи гравиметрии и связаны с теорией обратных задач для интегральных уравнений и коэффициентных обратных задач для дифференциальных уравнений в частных производных [5, 16]. При представлении гравитационного поля в виде объемного потенциала, потенциала простого или двойного слоя решение обратной задачи находится из решения интегрального уравнения Фредгольма первого или второго рода [53]. Так как гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона, обратная задача гравиметрии сводится к восстановлению правой части эллиптического уравнения [33].

Универсальным инструментом решения обратных и некорректно поставленных задач является метод регуляризации Тихонова [1, 16, 20, 28, 33, 46]. Приближенное решение некорректно поставленных задач находится сужением класса допустимых решений с использованием всей имеющейся априорной информации и ограничений на модель. Вместо искомой задачи рассматривается модифицированная (регуляризованная) задача, которая является корректно поставленной. Количественной оценкой точности приближенного решения обратной задачи выступает функционал невязки между приближенными и наблюденными данными в соответствующей норме. В методе регуляризации Тихонова к функционалу невязки добавляется параметризованный сглаживающий функционал, обеспечивающий разрешимость задачи минимизации.

Одновременное определение плотности, формы и местоположения тела является сложной и комплексной задачей, для решения которой необходимо иметь достаточно полную картину о гравитационном поле в рамках используемых моделей исследуемого тела [2]. Наиболее интересной задачей является идентификация контура однородного рудного тела с заданной плотностью. Один из возможных подходов решения обратной задачи гравиметрии в такой

постановке основывается на явном определении границы [100]. Другой способ заключается в введении вспомогательной функции и алгебраическом представлении искомого контура аномалии через ее изоповерхность. Подобный подход применяется в методе задания уровня (level set method) [64, 107, 125]. Основная проблема связана с вычислительной сложностью динамики движения параметризованной границы для минимизации функционала невязки.

После дискретизации математической модели исследуемого объекта, введя расчетную сетку в области задания тела и в области наблюдения, численное решения прямых и обратных задач сводится к решению линейных или нелинейных операторных уравнений [16]. Для линейных операторов приходим к системе линейных алгебраических уравнений, которые решаются прямыми или итерационными методами [141]. Так, при решении интегральных уравнений с помощью квадратурных формул (метод граничных элементов) мы получаем полные матрицы. Для уравнения Пуассона с помощью метода конечных элементов получаем разряженные матрицы, в которых большая часть элементов матрицы равна нулю.

Существует большое количество вычислительных платформ различного уровня абстракции, заточенных для решения дифференциально-интегральных уравнений. Программы бывают коммерческие, специализированные под определенные инженерно-технические задачи. Однако, в научных исследованиях принято пользоваться общедоступными вычислительными библиотеками с открытым исходным кодом. Одной из таких библиотек является вычислительная платформа FEniCS [123], предназначенная для численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с помощью метода конечных элементов.

В последнее время все более популярность набирает наличие автоматического дифференцирования в вычислительных платформах для вычисления градиента и/или матрицы вторых производных. В машинном обучении, особенно в сложных нейронных сетях, вычисление производных функции потерь, функционала невязки предсказанных и точных данных относительно весовых коэффициентов происходит по процедуре взятия производной от сложной функции [56]. Однако такой подход может быть вычислительно затратным, более эффективный способ вычисления градиента функционала невязки заключается в решении сопряженной задачи. В библиотеке FEniCS такая процедура автоматизирована с помощью дополнительного пакета dolfin-adjoint [54].

Целью диссертационной работы является разработка вычислительных алгоритмов для численного решения прямых и обратных задач гравиметрии. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ существующих численных методов решения прямой задачи гравиметрии на основе вычисления объемных интегралов, исследовать вычислительный алгоритм нахождения элементов гравитационного поля с помощью квадратурных формул, рассмотреть численные методы решения прямой задачи гравиметрии на основе решения краевой задачи, разработать и исследовать алгоритм вычисления элементов гравитационного поля на основе решения краевой задачи методом конечных элементов;

2. Разработать, реализовать и исследовать вычислительный алгоритм определения элементов гравитационного поля на основе решения вспомогательной краевой задачи при постановке общего граничного условия третьего рода, свести задачу вычисления значений объемного потенциала к задаче вычисления потенциалов простого и двойного слоев;

3. Разработать и исследовать вычислительный алгоритм идентификации кусочно-постоянной правой части эллиптического уравнения по информации о решении на границе расчетной области при описании границы неоднородности правой части изо-поверхностью решения вспомогательной краевой задачи, реализовать итерационный алгоритм минимизации функционала невязки при изменении правой части вспомогательной задачи;

4. Разработать вычислительный алгоритм идентификации границы рудного тела с заданной плотностью по измерениям гравитационных аномалий на земной поверхности, исследовать его возможности при приближенном решении тестовых двух- и трехмерных задач с точными и зашумленными данными наблюдений.

Научная и практическая значимость полученных результатов заключается в следующем:

1. Предложен численный метод расчета элементов гравитационного поля на основе приближенного решения вспомогательной эллиптической краевой задачи с граничными условиями третьего рода в области, содержащей аномалию, и вычислений значений потенциалов простого и двойного слоя;

2. Разработан вычислительный алгоритм для восстановления кусочно-постоянной правой части эллиптического уравнения по граничному условию переопределения при идентификации неоднородности правой части по изоповерхности решения вспомогательной краевой задачи. Такой алгоритм применяется для приближенного решения обратной задачи гравиметрии по нахождению области залегания однородного рудного тела заданной плотности по наблюдениям гравитационного поля;

3. Разработанные вычислительные алгоритмы имеют прямое практическое применение в задачах гравиразведки для интерпретации гравитационных аномалий. Эти алгоритмы могут быть реализованы в виде специализированного прикладного программного обеспечения для современных вычислительных систем параллельной архитектуры. Полученные результаты и предложенные идеи могут быть применены в других отраслях разведочной геофизики, прежде всего, при электро- и магниторазведке, а также при решении других прикладных прямых и обратных задач, которые описываются эллиптическими уравнениями второго порядка.

Методология и методы исследования. Разработка вычислительных алгоритмов базируется на применении современных вычислительных технологий. Прикладное исследовательское программное обеспечение создано на вычислительной платформе инженерных и научных вычислений ЕЕшСБ, предназначенной для решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов, с использовани-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов Дьулус Харлампьевич, 2023 год

Список литературы

1. Арсенин, В. Я. Методы решения некорректных задач / В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов. — Москва : Наука, 1979. — 142 с.

2. Балк, П. И. Обратные задачи гравиметрии как задачи извлечения достоверной информации в условиях неопределенности / П. И. Балк, А. С. Долгаль // Физика Земли. — 2012. — № 5. — С. 85—85.

3. Блох, Ю. И. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий / Ю. И. Блох. — 2009. — 231 с.

4. Бойков, И. В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности / И. В. Бойков, Н. В. Мойко // Известия РАН. Физика Земли. — 1999. — № 2. — С. 52—56.

5. Бойков, И. В. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиразвед-ки : Монография / И. В. Бойков, А. И. Бойкова. — Пенза : Издавтельство ПГУ, 2012. — 400 с.

6. Бродский, М. А. В классе однородных многогранников, гомеоморфных шару, решение обратной задачи Ньютонова потенциала единственно / М. А. Бродский, В. Н. Страхов // Доклады Академии наук. Т. 292. — Российская академия наук. 1987. — С. 1337— 1340.

7. Бычков, С. Г. Методы обработки и интерпретации гравиметрических наблюдений при решении задач нефтегазовой геологии / С. Г. Бычков. — Учреждение Российской академии образования «Уральское отделение», 2010. — 187 с.

8. Бычков, С. Г. Вычисление аномалий силы тяжести при высокоточных гравиметрических съемках / С. Г. Бычков, А. С. Долгаль, А. А. Симанов. — Учреждение Российской академии образования «Уральское отделение», 2015. — 142 с.

9. Вабищевич, П. Н. Расчет вертикальной силы тяжести из решения вспомогательной краевой задачи и вычисления поверхностного интеграла / П. Н. Вабищевич, Д. Х. Иванов // Вычислительные технологии. — 2022. — Т. 27, № 1. — С. 21—38.

10. Вабищевич, П. Н. Экономичные разностные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки / П. Н. Вабищевич, П. А. Пулатов // Известия АН СССР. Физика Земли. — 1983. — № 10. — С. 68—76.

11. Вабищевич, П. Н. Численное решение прямых трехмерных задач гравиразведки / П. Н. Вабищевич, П. А. Пулатов // Геология и геофизика. — 1984. — № 3. — С. 123—127.

12. Вабищевич, П. Н. О единственности решения обратной задачи определения правой части эллиптического уравнения / П. Н. Вабищевич // Дифференциальные уравнения. — 1982. — Т. 18, № 8. — С. 1450—1453.

13. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. — Москва : Наука, 1988. — 552 с.

14. Геофизика : учебное пособие / В. А. Богословский [и др.] ; под ред. В. К. Хмелевской. -

3-е изд. — Москва : «КДУ», 2007. — 320 с.

15. Гравиразведка. Справочник геофизика / под ред. Е. А. Мудрецова, К. Е. Веселова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Недра, 1990. — 607 с.

16. Жданов, М. С. Теория обратных задач и регуляризации в геофизике / М. С. Жданов. — Москва : Научный мир, 2007. — 712 с.

17. Иванов, В. К. О некорректно поставленных задачах / В. К. Иванов // Математический сборник. — 1963. — Т. 61, № 2. — С. 211—223.

18. Ильин, В. П. Фундаментальные вопросы математического моделирования / В. П. Ильин // Вестник Российской академии наук. — 2016. — Т. 86, № 4. — С. 316—316.

19. Ильин, В. П. Математическое моделирование и философия науки / В. П. Ильин // Вестник Российской академии наук. — 2018. — Т. 88, № 1. — С. 58—66.

20. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. — 4-е изд., перераб. и доп. — Новосибирск : Издательство Сибирского отделения РАН, 2018. — 508 с.

21. Кондратьев, Б. П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями / Б. П. Кондратьев. — 2007. — 512 с.

22. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов. — Издательство «Наука», 1967. — 500 с.

23. Магниторазвдека. Справочник геофизика / под ред. В. Е. Никитский, Ю. С. Глебовский. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Недра, 1990. — 470 с.

24. Мартышко, П. С. О решении обратной задачи гравиметрии на сетках большой размерности / П. С. Мартышко, И. В. Ладовский, Д. Д. Бызов // Доклады Академии Наук. Т. 450. — Федеральное государственное бюджетное учреждение «Российская академия наук». 2013. — С. 702—707.

25. Мартышко, П. С. О решении структурной обратной задачи гравиметрии модифицированными методами градиентного типа / П. С. Мартышко, Е. Н. Акимова, В. Е. Мисилов // Физика Земли. — 2016. — № 5. — С. 82—86.

26. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики : учебное пособие / Г. И. Марчук. —

4-е, стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2009. — 608 с. — (Лучшие классические учебники).

27. Новиков, П. С. Об единственности решения обратной задачи потенциала / П. С. Новиков // Докл. АН СССР. Т. 18. — 1938. — С. 165—168.

28. Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике / А. Г. Ягола [и др.]. — 4-е изд., электрон. — Москва : Лаборатория знаний, 2021. — 219 с. — (Математическое моделирование).

29. Прилепко, А. И. Смешанные обратные задачи теории потенциала в случае звездных тел / А. И. Прилепко // Сибирский математический журнал. — 1971. — Т. 12, № 6. — С. 1341—1353.

30. Пулатов, П. А. Численное решение задач грави- и магниторазведки : дис. ... канд. физико-математических наук : 01.01.07 / Пулатов П. А. — Московский государственный университет им М. В. Ломоносова, 1984. — С. 137.

31. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. — Москва : Наука, 1984. — 480 с.

32. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1989. — 616 с.

33. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики : учебное пособие / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. — 3-е изд. — Москва : Издательство ЛКИ, 2009. — 480 с.

34. Самарский, А. А. Математическое моделирование : Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — 2-е изд. — Москва : Издательство «Физматлит», 2005. — 320 с.

35. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. Вычислительная библиотека для расчета гравитационного поля на основе решения краевой задачи для эллиптического уравнения / Д. Х. Иванов ; СВФУ. — № 2022617944 ; заявл. 30.04.2022 ; опубл. 19.05.2022, 2022619197 (Рос. Федерация).

36. Сейсморазведка : Справочник геофизика / под ред. И. И. Гурвич, В. П. Номоконов. — Москва : Недра, 1981. — 464 с.

37. Соболев, С. Л. Кубатурные формулы / С. Л. Соболев, В. Л. Васкевич. — Новосибирск : Издательство института математики, 1996. — 470 с.

38. Сорокин, Л. В. Курс гравиметрии и гравиметрической разведки : Учебное пособие / Л. В. Сорокин. — Гостоптехиздат, 1951. — 480 с.

39. Степанова, И. Э. Аппроксимационный подход в различных модификациях метода линейных интегральных представлений / И. Э. Степанова, И. А. Керимов, А. Г. Ягола // Физика Земли. — 2019. — № 2. — С. 31—46.

40. Страхов, В. Н. Метод Б-аппроксимаций и его использование при решении задач гравиметрии (локальный вариант) / В. Н. Страхов, И. Э. Степанова // Физика Земли. — 2002. — Т. 38, № 2. — С. 3—19.

41. Страхов, В. Н. Метод Б-аппроксимаций и его использование при решении задач гравиметрии (региональный вариант) / В. Н. Страхов, И. Э. Степанова // Физика Земли. — 2002. — Т. 38, № 7. — С. 3—12.

42. Страхов, В. Н. Как следует решать системы линейных алгебраических уравнений с симметрическими положительно полуопределенными матрицами, возникающие в задачах гравиметрии и магнитометрии / В. Н. Страхов // Физика Земли. — 2012. — № 9/10. — С. 13—13.

43. Страхов, В. Н. Об обратной задаче логарифмического потенциала для контактной поверхности / В. Н. Страхов // Доклады Академии наук. Т. 200. — Российская академия наук. 1971. — С. 817—820.

44. Страхов, В. Н. Об эквивалентности в обратной задаче гравиметрии при переменной плотности масс / В. Н. Страхов // Доклады Академии наук. Т. 236. — Российская академия наук. 1977. — С. 329—331.

45. Страхов, В. Н. Решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии для произвольных однородных многогранников / В. Н. Страхов, М. И. Лапина // Доклады Академии наук. Т. 262. — Российская академия наук. 1982. — С. 1095—1099.

46. Тихонов, А. Н. Нелинейные некорректные задачи / А. Н. Тихонов, А. С. Леонов, А. Г. Ягола. — Москва : Общество с ограниченной ответственностью Издательство «КУРС», 2017. — 400 с.

47. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики : Учебное пособие / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — 6-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство МГУ, 1999. — 766 с.

48. Хмелевской, В. К. Основы геофизических методов / В. К. Хмелевской, В. И. Кости-цын. — Пермь : ПГУ, 2010. — 400 с.

49. A high-order 3-D spectral-element method for the forward modelling and inversion of gravimetric data—application to the western Pyrenees / R. Martin [и др.] // Geophysical Journal International. — 2017. — Т. 209, № 1. — С. 406—424.

50. A limited memory algorithm for bound constrained optimization / R. H. Byrd [и др.] // SIAM Journal on scientific computing. — 1995. — Т. 16, № 5. — С. 1190—1208.

51. Algorithm 778 : L-BFGS-B : Fortran subroutines for large-scale bound-constrained optimization / C. Zhu [и др.] // ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). — 1997. — Т. 23, № 4. — С. 550—560.

52. Analytic expressions for the gravity gradient tensor of 3D prisms with depth-dependent density / L. Jiang [и др.] // Surveys in Geophysics. — 2018. — Т. 39, № 3. — С. 337—363.

53. Atkinson, K. E. The numerical solution of integral equations of the second kind / K. E. Atkinson. — CUP, 1997. — 571 с. — (Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics).

54. Automated derivation of the adjoint of high-level transient finite element programs / P. E. Farrell [и др.] // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2013. — Т. 35, № 4. — С. C369— C393.

55. Automated solution of differential equations by the finite element method / A. Logg, K.-A. Mardal, G. N. Wells [и др.] ; под ред. A. Logg, K.-A. Mardal, G. N. Wells. — Springer, 2012. — 723 с.

56. Automatic differentiation in machine learning : a survey / A. G. Baydin [и др.] // Journal of Marchine Learning Research. — 2018. — Т. 18. — С. 1—43.

57. Ayachit, U. The paraview guide : a parallel visualization application / U. Ayachit. -Kitware, Incorporation, 2015. — 276 с.

58. Barnett, C. Theoretical modeling of the magnetic and gravitational fields of an arbitrarily shaped three-dimensional body / C. Barnett // Geophysics. — 1976. — Т. 41, № 6. — С. 1353—1364.

59. Bathe, K.-J. Finite element procedures / K.-J. Bathe. — Prentice-Hall, 1996. — 1037 с.

60. Bertete-Aguirre, H. Non-smooth gravity problem with total variation penalization functional / H. Bertete-Aguirre, E. Cherkaev, M. Oristaglio // Geophysical Journal International. — 2002. — Т. 149, № 2. — С. 499—507.

61. Blakely, R. J. Potential theory in gravity and magnetic applications / R. J. Blakely. — Cambridge university press, 1996. — 461 с.

62. Boulanger, O. Constraints in 3D gravity inversion / O. Boulanger, M. Chouteau // Geophysical prospecting. — 2001. — Т. 49, № 2. — С. 265—280.

63. Brenner, S. C. The mathematical theory of finite element methods / S. C. Brenner, L. R. Scott. — Springer, 2008. — 418 с.

64. Burger, M. A level set method for inverse problems / M. Burger // Inverse Problems. — 2001. — Т. 17, № 5. — С. 1327—1355.

65. Burger, M. A survey on level set methods for inverse problems and optimal design / M. Burger, S. J. Osher // European journal of applied mathematics. — 2005. — Т. 16, № 2. — С. 263.

66. Butler, S. L. Forward modeling of applied geophysics methods using Comsol and comparison with analytical and laboratory analog models / S. L. Butler, G. Sinha // Computers & Geosciences. — 2012. — Т. 42. — С. 168—176.

67. Cai, Y. Fast finite-element calculation of gravity anomaly in complex geological regions / Y. Cai, C.-y. Wang // Geophysical Journal International. — 2005. — Т. 162, № 3. — С. 696— 708.

68. Canelas, A. A new reconstruction method for the inverse potential problem / A. Canelas, A. Laurain, A. A. Novotny // Journal of Computational Physics. — 2014. — Т. 268. — С. 417—431.

69. Chakravarthi, V. 3-D forward gravity modeling of basement interfaces above which the density contrast varies continuously with depth / V. Chakravarthi, H. M. Raghuram, S. B. Singh // Computers & Geosciences. — 2002. — Т. 28, № 1. — С. 53—57.

70. Chakravarthi, V. Gravity anomaly modeling of sedimentary basins by means of multiple structures and exponential density contrast-depth variations : A space domain approach / V. Chakravarthi, B. Ramamma, T. V. Reddy // Journal of the Geological Society of India. — 2013. — Т. 82, № 5. — С. 561—569.

71. Ciarlet, P. G. The finite element method for elliptic problems / P. G. Ciarlet. — SIAM, 2002. — 554 с.

72. Cools, R. A Survey of Methods for Constructing Cubature Formulae / R. Cools // Numerical Integration : Recent Developments, Software and Applications / под ред. T. O. Espelid, A. Genz. — Dordrecht : Springer Netherlands, 1992. — С. 1—24.

73. Cools, R. Rotation invariant cubature formulas over the n-dimensional unit cube / R. Cools. K. J. Kim // Journal of computational and applied mathematics. — 2001. — Т. 132, № 1. — С. 15—32.

74. Cordell, L. Gravity analysis using an exponential density-depth function—San Jacinto Graben, California / L. Cordell // Geophysics. — 1973. — Т. 38, № 4. — С. 684—690.

75. D'Urso, M. Analytical computation of gravity effects for polyhedral bodies / M. D'Urso // Journal of Geodesy. — 2014. — Т. 88, № 1. — С. 13—29.

76. D 'Urso, M. Gravity effects of polyhedral bodies with linearly varying density / M. D'Urso // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2014. — Т. 120, № 4. — С. 349—372.

77. D 'Urso, M. Gravity anomaly of polyhedral bodies having a polynomial density contrast / M. D'Urso, S. Trotta // Surveys in Geophysics. — 2017. — Т. 38, № 4. — С. 781—832.

78. Development of an infinite element boundary to model gravity for subsurface civil engineering applications / T. K. Haji [и др.] // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. — 2020. — Т. 44, № 3. — С. 418—431.

79. Dokken, J. S. Automatic shape derivatives for transient PDEs in FEniCS and Firedrake / J. S. Dokken, S. K. Mitusch, S. W. Funke // arXiv preprint arXiv:2001.10058. — 2020.

80. Dunavant, D. Efficient symmetrical cubature rules for complete polynomials of high degree over the unit cube / D. Dunavant // International journal for numerical methods in engineering. — 1986. — Т. 23, № 3. — С. 397—407.

81. Evans, L. C. Partial differential equations / L. C. Evans. — 2nd. — American Mathematical Soc., 2010. — 758 с.

82. Exact gravity field for polyhedrons with polynomial density contrasts of arbitrary orders / Z. Ren [и др.] // arXiv preprint arXiv:1810.11768. — 2018.

83. Farquharson, C. Three-dimensional modelling of gravity data using finite differences / C. Farquharson, C. Mosher // Journal of Applied Geophysics. — 2009. — Т. 68, № 3. — С. 417— 422.

84. Fast 3-D large-scale gravity and magnetic modeling using unstructured grids and an adaptive multilevel fast multipole method / Z. Ren [h gp.] // Journal of Geophysical Research : Solid Earth. — 2017. — T. 122, № 1. — C. 79—109.

85. Fast 3D focusing inversion of gravity data using reweighted regularized Lanczos bidiagonalization method / M. Rezaie [h gp.] // Pure and Applied Geophysics. — 2017. -T. 174, № 1. — C. 359—374.

86. Fast computation of general forward gravitation problems / F. Casenave [h gp.] // Journal of Geodesy. — 2016. — T. 90, № 7. — C. 655—675.

87. Funke, S. W. A framework for automated PDE-constrained optimisation / S. W. Funke, P. E. Farrell // arXiv preprint arXiv:1302.3894. — 2013.

88. Funke, S. W. Tidal turbine array optimisation using the adjoint approach / S. W. Funke, P. E. Farrell, M. D. Piggott // Renewable Energy. — 2014. — T. 63. — C. 658—673.

89. Gallardo-Delgado, L. A. A versatile algorithm for joint 3D inversion of gravity and magnetic data / L. A. Gallardo-Delgado, M. A. Perez-Flores, E. Gomez-Trevino // Geophysics. — 2003. — T. 68, № 3. — C. 949—959.

90. Gallardo, L. A. Refinement of three-dimensional multilayer models of basins and crustal environments by inversion of gravity and magnetic data / L. A. Gallardo, M. Perez-Flores, E. Goomez-Trevinno // Tectonophysics. — 2005. — T. 397, № 1/2. — C. 37—54.

91. Geuzaine, C. Gmsh : A 3-D finite element mesh generator with built-in pre-and postprocessing facilities / C. Geuzaine, J.-F. Remacle // International journal for numerical methods in engineering. — 2009. — T. 79, № 11. — C. 1309—1331.

92. Gharti, H. N. A spectral-infinite-element solution of Poisson's equation: an application to self gravity / H. N. Gharti, J. Tromp // arXiv preprint arXiv:1706.00855. — 2017.

93. Gharti, H. N. Spectral-infinite-element simulations of gravity anomalies / H. N. Gharti, J. Tromp, S. Zampini // Geophysical Journal International. — 2018. — T. 215, № 2. — C. 1098—1117.

94. Greengard, L. A fast algorithm for particle simulations / L. Greengard, V. Rokhlin // Journal of Computational Physics. — 1997. — T. 135, № 2. — C. 280—292.

95. Gupta, H. Encyclopedia of solid Earth geophysics / H. Gupta. — Dordrecht : Springer, 2011. — 1578 c.

96. Guzman, S. Forward modeling and inversion of potential field data using partial differential equations : guc. ... Mar. / Guzman Susana. — Colorado School of Mines. Arthur Lakes Library, 2015. — C. 84.

97. Haber, E. Large-scale inversion of gravity gradiometry with differential equations / E. Haber, E. Holtham, K. Davis // SEG Technical Program Expanded Abstracts 2014. — Society of Exploration Geophysicists, 2014. — C. 1302—1307.

98. Hammer, P. Numerical integration over simplexes and cones / P. Hammer, O. Marlowe, A. Stroud // Mathematical Tables and Other Aids to Computation. — 1956. — Т. 10, № 55. -С. 130—137.

99. Hammer, P. C. Numerical evaluation of multiple integrals II / P. C. Hammer, A. H. Stroud // Mathematical tables and other aids to computation. — 1958. — Т. 12, № 64. -С. 272—280.

100. Hettlich, F. Iterative methods for the reconstruction of an inverse potential problem / F. Hettlich, W. Rundell // Inverse Problems. — 1996. — Т. 12, № 3. — С. 251—266.

101. Hettlich, F. Recovery of the support of a source term in an elliptic differential equation / F. Hettlich, W. Rundell // Inverse Problems. — 1997. — Т. 13, № 4. — С. 959.

102. Hoschl, V. Computation of gravity anomalies caused by three-dimensional bodies of arbitrary shape and arbitrary varying density / V. Hoschl, M. Burda // Studia Geophysica et Geodaetica. — 1981. — Т. 25, № 4. — С. 315—320.

103. Howell, L. E. Forward modeling the gravitational field using a direct solution of Poisson's equation : дис. ... маг. / Howell Lauren E. — Colorado School of Mines. Arthur Lakes Library, 2013.

104. Hunter, J. D. Matplotlib : A 2D graphics environment / J. D. Hunter // Computing in Science & Engineering. — 2007. — Т. 9, № 3. — С. 90—95.

105. Integrated gravity and gravity gradient 3D inversion using the non-linear conjugate gradient / P. Qin [и др.] // Journal of Applied Geophysics. — 2016. — Т. 126. — С. 52—73.

106. Isakov, V. Inverse source problems / V. Isakov. — American Mathematical Soc., 1990. — 191 с.

107. Isakov, V. A fast local level set method for inverse gravimetry / V. Isakov, S. Leung, J. Qian // Communications in Computational Physics. — 2011. — Т. 10, № 4. — С. 1044— 1070.

108. Isakov, V. Inverse problems for partial differential equations. Т. 127 / V. Isakov. — 3rd. — Springer, 2017. — 406 с.

109. Isakov, V. A three-dimensional inverse gravimetry problem for ice with snow caps / V. Isakov, S. Leung, J. Qian // Inverse Problems & Imaging. — 2013. — Т. 7, № 2. — С. 523— 544.

110. Ito, K. Level-set function approach to an inverse interface problem / K. Ito, K. Kunisch, Z. Li // Inverse problems. — 2001. — Т. 17, № 5. — С. 1225.

111. Ito, K. Recovery of inclusions in 2D and 3D domains for Poisson's equation / K. Ito, J.-C. Liu // Inverse Problems. — 2013. — Т. 29, № 7. — С. 075005.

112. Ivanov, D. K. Numerical method for recovering the piecewise constant right-hand side function of an elliptic equation from a boundary overdetermination data / D. K. Ivanov, A. E. Kolesov, P. N. Vabishchevich // Journal of Physics : Conference Series. T. 1392. — IOP Publishing. 2019. — C. 012081.

113. Ivanov, D. K. Numerical method for solving the piecewise constant source inverse problem of an elliptic equation from a partial boundary observation data / D. K. Ivanov, A. E. Kolesov, P. N. Vabishchevich // Journal of Physics : Conference Series. T. 2092. — IOP Publishing. 2021. — C. 012006.

114. Ivanov, D. K. Numerical solution of a boundary value problem with effective boundary conditions for calculation of gravity / D. K. Ivanov, P. N. Vabishchevich // Mathematical notes of NEFU. — 2021. — T. 28, № 1. — C. 93—113.

115. Jahandari, H. Forward modeling of gravity data using finite-volume and finite-element methods on unstructured grids / H. Jahandari, C. G. Farquharson // Geophysics. — 2013. — T. 78, № 3. — G69—G80.

116. Jiang, L. A versatile solution for the gravity anomaly of 3D prism-meshed bodies with depth-dependent density contrast / L. Jiang, J. Zhang, Z. Feng // Geophysics. — 2017. — T. 82, № 4. — G77—G86.

117. Keast, P. Moderate-degree tetrahedral quadrature formulas / P. Keast // Computer methods in applied mechanics and engineering. — 1986. — T. 55, № 3. — C. 339—348.

118. Kolesov, A. E. Recovery of a piecewise constant lower coefficient of an elliptic equation / A. E. Kolesov, D. K. Ivanov, P. N. Vabishchevich // Journal of Physics : Conference Series. T. 1392. — IOP Publishing. 2019. — C. 012084.

119. Kwok, Y.-K. Gravity gradient tensors due to a polyhedron with polygonal facets / Y.-K. Kwok // Geophysical prospecting. — 1991. — T. 39, № 3. — C. 435—443.

120. Lackner, K. Computation of ideal MHD equilibria / K. Lackner // Computer Physics Communications. — 1976. — T. 12, № 1. — C. 33—44.

121. Li, Y. 3-D inversion of gravity data / Y. Li, D. W. Oldenburg // Geophysics. — 1998. — T. 63, № 1. — C. 109—119.

122. Litinsky, V. A. Concept of effective density : Key to gravity depth determinations for sedimentary basins / V. A. Litinsky // Geophysics. — 1989. — T. 54, № 11. — C. 1474—1482.

123. Logg, A. Automated solution of differential equations by the finite element method : The FEniCS book. T. 84 / A. Logg, K.-A. Mardal, G. Wells. — Springer Science & Business Media, 2012.

124. Long, J. Three-dimensional forward modelling of gravity data using mesh-free methods with radial basis functions and unstructured nodes / J. Long, C. G. Farquharson // Geophysical Journal International. — 2019. — T. 217, № 3. — C. 1577—1601.

125. Lu, W. A local level-set method for 3D inversion of gravity-gradient data / W. Lu, J. Qian // Geophysics. — 2015. — T. 80, № 1. — G35—G51.

126. Maag, E. 3D gravity inversion using the finite element method / E. Maag, J. Capriotti, Y. Li // SEG Technical Program Expanded Abstracts 2017. — Society of Exploration Geophysicists, 2017. — C. 1713—1717.

127. May, D. A. Optimal, scalable forward models for computing gravity anomalies / D. A. May, M. G. Knepley // Geophysical Journal International. — 2011. — T. 187, № 1. — C. 161—177.

128. Measurement of the gravity-field curvature by atom interferometry / G. Rosi [h gp.] // Physical Review Letters. — 2015. — T. 114, № 1. — C. 013001.

129. Nagy, D. The gravitational attraction of a right rectangular prism / D. Nagy // Geophysics. — 1966. — T. 31, № 2. — C. 362—371.

130. Nagy, D. The gravitational potential and its derivatives for the prism / D. Nagy, G. Papp, J. Benedek // Journal of Geodesy. — 2000. — T. 74, № 7/8. — C. 552—560.

131. Nash, S. G. Newton-type minimization via the Lanczos method / S. G. Nash // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1984. — T. 21, № 4. — C. 770—788.

132. Nocedal, J. Numerical optimization / J. Nocedal, S. Wright. — Springer Science & Business Media, 2006. — 685 c.

133. Okabe, M. Analytical expressions for gravity anomalies due to homogeneous polyhedral bodies and translations into magnetic anomalies / M. Okabe // Geophysics. — 1979. -T. 44, № 4. — C. 730—741.

134. Paul, M. The gravity effect of a homogeneous polyhedron for three-dimensional interpretation / M. Paul // Pure and Applied Geophysics. — 1974. — T. 112, № 3. — C. 553—561.

135. Plouff, D. Derivation of formulas and FORTRAN programs to compute gravity anomalies of prisms / D. Plouff // Final Report, 1973-1974 Geological Survey, Menlo Park, CA. — 1975.

136. Plouff, D. Gravity and magnetic fields of polygonal prisms and application to magnetic terrain corrections / D. Plouff // Geophysics. — 1976. — T. 41, № 4. — C. 727—741.

137. Pohanka, V. Optimum expression for computation of the gravity field of a homogeneous polyhedral body / V. Pohanka // Geophysical Prospecting. — 1988. — T. 36, № 7. — C. 733—751.

138. Rao, C. V. Gravity modelling of an interface above which the density contrast decreases hyperbolically with depth / C. V. Rao, M. Raju, V. Chakravarthi // Journal of applied geophysics. — 1995. — T. 34, № 1. — C. 63—67.

139. Rezaie, M. 3D non-smooth inversion of gravity data by zero order minimum entropy stabilizing functional / M. Rezaie // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 2019. — T. 294. — C. 106275.

140. Rokhlin, V. Rapid solution of integral equations of classical potential theory / V. Rokhlin // Journal of Computational Physics. — 1985. — T. 60, № 2. — C. 187—207.

141. Saad, Y. Iterative methods for sparse linear systems / Y. Saad. — SIAM, 2003. — 537 c.

142. Savage, J. S. Quadrature rules for numerical integration over triangles and tetrahedra / J. S. Savage, A. F. Peterson // IEEE Antennas and Propagation Magazine. — 1996. — T. 38, № 3. — C. 100—102.

143. Stroud, A. H. Approximate calculation of multiple integrals / A. H. Stroud. — Prentice-Hall, 1971. — 431 c.

144. Talwani, M. Rapid gravity computations for two-dimensional bodies with application to the Mendocino submarine fracture zone / M. Talwani, J. L. Worzel, M. Landisman // Journal of geophysical research. — 1959. — T. 64, № 1. — C. 49—59.

145. The optimum expression for the gravitational potential of polyhedral bodies having a linearly varying density distribution / I. Prutkin, R. Tenzer [h gp.] // Journal of Geodesy. — 2009. — T. 83, № 12. — C. 1163.

146. Three-dimensional numerical modeling of gravity and magnetic anomaly in a mixed space-wavenumber domain / S. Dai [h gp.] // Geophysics. — 2019. — T. 84, № 4. — G41—G54.

147. Tsoulis, D. Analytical computation of the full gravity tensor of a homogeneous arbitrarily shaped polyhedral source using line integrals / D. Tsoulis // Geophysics. — 2012. — T. 77, № 2. — F1—F11.

148. Vabishchevich, P. N. Computational identification of the lowest space-wise dependent coefficient of a parabolic equation / P. N. Vabishchevich // Applied Mathematical Modelling. — 2019. — T. 65. — C. 361—376.

149. Vasin, V. Iterative processes of gradient type with applications to gravimetry and magnetometry inverse problems / V. Vasin, G. Skorik // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2011. — T. 18, № 8. — C. 855—876.

150. Vatankhah, S. Total variation regularization of the 3-D gravity inverse problem using a randomized generalized singular value decomposition / S. Vatankhah, R. A. Renaut, V. E. Ardestani // Geophysical Journal International. — 2018. — T. 213, № 1. — C. 695—705.

151. Witherden, F. D. On the identification of symmetric quadrature rules for finite element methods / F. D. Witherden, P. E. Vincent // Computers & Mathematics with Applications. — 2015. — T. 69, № 10. — C. 1232—1241.

152. Won, I. Computing the gravitational and magnetic anomalies due to a polygon : Algorithms and Fortran subroutines / I. Won, M. Bevis // Geophysics. — 1987. — T. 52, № 2. — C. 232— 238.

153. Wu, L. Fourier forward modeling of vector and tensor gravity fields due to prismatic bodies with variable density contrastvariable density contrast / L. Wu, L. Chen // Geophysics. — 2016. — T. 81, № 1. — G13—G26.

154. Yu, J. Symmetric Gaussian quadrature formulae for tetrahedronal regions / J. Yu // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1984. — T. 43, № 3. — C. 349— 353.

155. Zienkiewicz, O. C. The finite element method : its basis and fundamentals / O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu. — Elsevier, 2005. — 752 c.

Приложение А

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ