Численные методы поиска солитонных решений многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лапонин, Владислав Сергеевич

• Лапонин, Владислав Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Лапонин, Владислав Сергеевич

дифференциальным уравнениям................................................43

1.2.1. Алгоритм итерационного метода М2

НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

22

дифференциальным уравнениям

22

1.2.2. Применение итерационного метода М2 к уравнению Кортевега-де Фриза.

1.2.3. Применение итерационного метода М2 к уравнению эт-Гордона.

1.2.4. Применение итерационного метода М2 к нелинейному уравнению Шредингера с кубической нелинейностью.

1.2.5. Применение алгоритма М2 к задаче распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубической нелинейностью.

1.2.6. Анализ численных результатов, полученных с помощью итерационного метода М2.

ГЛАВА 2. НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СОЛИТОННОГО ВИДА В ЗАДАЧЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОГО КОНДЕНСАТА С ВНЕШНИМ ПОТЕНЦИАЛОМ.........................54

§2.1. Нахождение солитонных решений в двухмерном уравнении Гросса-Питаевского..................................................................54

2.1.1. Уравнение Гросса-Питаевского в общем виде

2.1.2. Двухмерное уравнение Гросса-Питаевского

2.1.3. Применение итерационного метода М1 к двухмерному уравнению Гросса-Питаевского

2.1.4. Результаты численных экспериментов

2.1.5. Поиск отраженного солитона

2.1.6. Использование параллельных вычислительных систем

§2.2. Нахождение солитонных решений в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского..................................................................73

2.2.1. Трехмерное уравнение Гросса-Питаевского

2.2.2. Применение итерационного метода М1 к трехмерному уравнению Гросса-Питаевского

2.2.3. Поиск отраженного солитона в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского

2.2.4. Результаты численных экспериментов

2.2.5. Использование параллельных вычислительных систем

ГЛАВА 3. ПОИСК СОЛИТОИНЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СРЕДЕ С

§3.1. Солитоны в связанных нелинейных уравнениях Шредингера... 86

3.1.1. Связанные нелинейные уравнения Шредингера

3.1.2. Многокомпонентные векторные солитоны

3.1.3. Осесимметричные векторные солитоны

§3.2. Поиск солитонных решений в системе нелинейных уравнений Шредингера............................................................................91

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Обобщение итерационного метода М1 к решению системы нелинейных уравнений

3.2.3. Результаты численных экспериментов

3.2.4. Использование параллельных вычислительных систем

3.2.5. Обобщение итерационного метода М2 к решению многомерной задачи.

3.2.6. Результаты численных экспериментов

3.2.7. Сравнительный анализ численных результатов

КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

86

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

103

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

103

ВВЕДЕНИЕ Постановка задачи

В последние годы в связи с развитием оптических вычислительных систем стало активно развиваться математическое моделирование распространения лазерных фемтосекундных импульсов в нелинейных средах. Математическая постановка соответствующих моделей сводится к определению управляющих параметров, для которых нелинейная система уравнений в частных производных, кроме обычных решений, допускает существование решений солитонного вида [1-23].

При этом под солитоном мы будем подразумевать локализацию энергии или массы в бездиссипативной среде, которая обусловлена нелинейностью дифференциального оператора [5]. Слово «бездиссипативной» означает, что при распространении солитонов механическая энергия сохраняется и трение отсутствует.

Среди предложенных методов нахождения солитонов наибольшее распространение получили метод обратной задачи [1 - 4], спектральные методы и другие методы [6, 7]. При этом лазерное излучение позволяет реализовать так называемые цветные солитоны, когда на нескольких частотах одновременно существуют и распространяются вместе оптические волны вдоль нелинейной среды. Эволюция этих солитонов описывается системами связанных уравнений Шредингера. Интерес к этим солитонам в литературе постоянно сохраняется в связи с многочисленными потенциальными приложениями их в задачах передачи информации оптическими методами. Выполненные в различных лабораториях экспериментальные исследования подтверждают существование солитонов данного типа.

Как правило, получить аналитическое решение солитонного вида не представляется возможным и при поиске солитонных решений практически для всех известных эволюционно-нелинейных уравнений

разрабатываются свои разностные схемы, учитывающие особенности уравнения [17-20].

В основе математической постановки задачи распространения БЭК находится двухмерное уравнение Гросса-Питаевского (ГП). Конденсат Бозе-Эйнштейна [12 - 16] - агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к абсолютному нулю (меньше миллионной доли градуса выше абсолютного нуля). Уравнение ГП — это классическое нелинейное уравнение, учитывающее эффекты межчастичного взаимодействия посредством эффективного среднего поля. Ввиду, аналогичности уравнения ГП в теории БЭК и НУШ [21 — 23] в нелинейной оптике, многие явления, предсказанные и описанные в нелинейной оптике, можно ожидать и в макроскопических квантовых состояниях БЭК, несмотря на кардинальные различия физических систем.

При исследовании формирования и динамики развития солитонов различной физической природы математическое моделирование является одним из наиболее актуальных инструментов исследований. Поэтому так важно развивать направление по разработке численных методов [24, 25] нахождения солитонных решений различных мод в многомерных нелинейных дифференциальных уравнениях и системах и получать высокоточные численные решения с помощью этих методов на параллельных вычислительных системах.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка численных методов поиска солитонных решений нелинейных многомерных дифференциальных уравнений и систем, отвечающим следующим требованиям:

• слабая зависимость от вида нелинейности,

• отсутствие необходимости построения специального начального приближения,

• простота в реализации алгоритма с возможностью переноса на параллельные вычислительные системы,

• применимость к многомерным задачам и системам,

• возможность построения области значений управляющих параметров, в которой существуют солитонные решения.

Обзор литературы

Уединенные волны, обычно называемые солитонами, служат объектом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований во многих различных областях науки, включая гидродинамику, нелинейную оптику, физику плазмы и биологию [26 — 33]. История солитонов восходит фактически в 1834 году, когда Джеймс Скотт Рассел обнаружил, что вал воды в канале распространяется без искажений на протяжении нескольких километров. Его отчет, опубликованный в 1844 году, включает следующий текст [34]:

«Я наблюдал за движением баржи, которую быстро тащила вдоль канала пара лошадей, когда баржа внезапно остановилась — в отличие от массы воды в канале, которую баржа привела в движение. Вода собралась у носа корабля в состоянии бурного волнения, затем, внезапно покинув его, покатилась вперед с большой скоростью, принимая форму большого уединенного возвышения, округлого, гладкого и четко выраженного вала воды, который продолжал движение по каналу без заметного изменения формы или уменьшения скорости. Я последовал за волной верхом на лошади и догнал ее, все еще движущуюся со скоростью восемь миль в час, сохраняющую первоначальную форму около тридцати футов в длину и от фута до полутора футов в высоту. Ее высота постепенно уменьшалась, и после преследования на протяжении одной или двух миль я потерял ее в изгибах

канала. Так в августе месяце 1834 года у меня был первый случай наблюдать столь необычное и прекрасное явление». Позже эти волны были названы уединенными. Однако, их свойства не были полностью поняты до введения соответствующих математических моделей и развития метода обратной задачи рассеяния в 1960-ых годах [35]. Термин солитон был введен в 1965 году, чтобы отразить частицеподобную природу уединенных волн, которые сохраняются даже после столкновений [36]. Следует подчеркнуть, что в физической литературе не всегда делается различие между солитоном и уединенной волной [5], и очень часто все уединенные волны называются солитонами.

В нелинейной оптике солитоны разделяются на временные или пространственные, в зависимости от того, происходит локализация света при распространении волны во времени или в пространстве. Временные солитоны сопоставляются оптическим импульсам, которые сохраняют свою форму, тогда, когда как пространственные солитоны представляют самонаправляемые пучки, которые остаются ограниченными в поперечных направлениях, ортогональных направлению распространения. Существование обоих типов солитонов вызвано нелинейным (зависящим от интенсивности света) изменением показателя преломления оптической среды, что в нелинейной оптике отвечает оптическому эффекту Керра [37 — 39]. Зависимость показателя преломления от интенсивности ведет к пространственной самофокусировке (или самодефокусировке) и временной самомодуляции фазы (СМФ) - двум основным нелинейным эффектам, ответственным за формирование оптических солитонов. Пространственный солитон формируется, когда самофокусировка пучка света уравновешивает его обычное дифракционное расплывание. Напротив, именно СМФ останавливает естественное расплывание оптического импульса и ведет к формированию временного солитона [40]. В обоих случаях импульс или пучок распространяется в среде без изменения формы, что называется его самолокализацией, или самоканалированием.

Наиболее ранний пример пространственного солитона отвечает открытию в 1964 году явления самоканалирования пучков непрерывного излучения в сплошной нелинейной среде [41]. В течение 1980-ых годов устойчивые пространственные солитоны были обнаружены в нелинейных средах, к которых дифракционное расплывание ограничивалось одним из поперечных направлений [42].

Наиболее ранний пример временного солитона связан с открытием явления самоиндуцированной прозрачности в среде с резонансной нелинейностью [43]. В этом случае оптический импульс с некоторой специальной формой и энергией распространяется в нелинейной среде без искажений, несмотря на большое поглощение. Другой пример временного солитона найден в 1973 году, когда было обнаружено, что оптические импульсы могут распространяться в нелинейном волоконном световоде с аномальной дисперсией групповой скорости (ДГС) без искажений их формы [44]. Распространение таких солитонов в волоконных световодах экспериментально наблюдалось в 1980 году [45]. С тех пор световодные солитоны нашли практическое приложение при разработке протяженных волоконнооптических систем связи [46].

В 1973 году было обнаружено, что волоконные световоды могут поддерживать распространение другого типа временных солитонов в случае нормально ДГС [47]. Такие солитоны проявляются как провалы интенсивности по отношению к ее постоянному (нулевому) фону и называются темными солитонами. Временные темные солитоны активно исследовались в 1980-ых годах [48]. Пространственные темные солитоны также могут формироваться в оптических волноводах и в сплошной среде, если показатель преломления уменьшается при возрастании интенсивности [49].

Было обнаружено, что двухмерные самолокализованные решения кубического НУШ испытывают коллапс, что означает, что ширина пучка обращается в нуль на конечном расстоянии, так как двухмерные солитоны

динамически не устойчивы [50]. Даже одномерные солитоны в сплошной нелинейной среде неустойчивы и распадаются на нити вследствие поперечной модуляционной неустойчивости. В результате пространственные солитоны в керровской среде экспериментально могут наблюдаться только в схемах, в которых одно из двух поперечных измерений исключено, то есть, когда дифракция подавлена в одном из направлений (например, в планарном волноводе).

Наиболее ранние наблюдения пространственных солитонов относятся к эксперименту 1974 года, в котором было найдено самоканалирование оптического пучка в сплошной среде [51]. Это произошло на 10 лет раньше выполнения солитонных экспериментов в оптических волноводах [52] при использовании ориентационной нелинейности жидкости С52 (сероуглерод). Для подавления дифракции пучка в одном поперечном направлении использовались два различных подхода. В первом подходе в одном измерении создавалась интерференционная структура, то есть последовательность параллельных планарных волноводов в плоскости, ортогональной этому направлению. Свет не мог распространяться через темные зоны интерференционной структуры. Во втором подходе жидкий сероуглерод размещался между двумя стеклянными пластинами, эффективно формируя планарный волновод. Эти эксперименты 1985 года инициировали многочисленные наблюдения одномерных светлых пространственных солитонов в 1990 годах при использовании столь различных средств как стекла, полупроводники и полимеры [53].

В ряде экспериментов [54 - 57] изучались столкновения пространственных солитонов. Как следует из теории, два софазных солитона взаимно притягиваются, а противофазные солитоны отталкиваются. Более сложна ситуация для других значений относительной фазы солитонов, так как во время неупругих столкновений возможен обмен энергией. Это свойство четко наблюдалось в

эксперименте 1992 года [55]. Когда разность фаз взаимодействующих

солитонов была равна у, один из солитонов приобретал энергия за счет

другого. Направление обмена энергией менялось на обратное, когда фаза

возрастала до Наблюдалось также слияние, или «захват» двух

первоначально перекрывающихся пространственных солитонов, движущихся в различных направлениях [54].

В [57] изложены экспериментальные результаты, полученные при использовании фоторефрактивного кристалла Вц2ТЮ20 с приложенным напряжением 1,8 кВ. На выходе при 0 = 0 два солитона сливались, а при 6 = 0,65л- их амплитуды становились различными из-за обмена энергией, связанного с некерровской природой фоторефрактивной нелинейности.

Как говорилось выше, солитоны можно использовать для передачи информации. Основная идея - использование солитона в каждом битовом интервале для представления единицы в потоке двоичных сигналов. Обычно расстояние между солитонами их полную длительность по

уровню от максимума в несколько раз. Смысл столь большого

расстояния легко понять, заметив, что длительность импульса должна составлять лишь малую долю битового интервала, чтобы соседние солитоны были хорошо разделены. В эксперименте 1988 года солитоны передавались на 4 ООО км при использовании схемы комбинированного усиления [58]. В этом эксперименте применялась волоконнооптическая петля длиной 42 км, в которой потери точно компенсировались введением накачки непрерывным излучением лазера на центрах окраски на длине волны 1,46 мкм. Солитоны могли многократно циркулировать по волоконнооптической петле, и их длительность контролировалась после каждого прохода. Этот эксперимент впервые продемонстрировал, что солитоны принципиально возможно передавать на трансокеанские

расстояния. Основной проблемой было то, что комбинационное усиление требовало для накачки лазеров, излучающих более 500 мВт непрерывного излучения с длиной волны около 1,46 мкм. В 1988 году было невозможно получить столь высокую мощность с помощью полупроводниковых лазеров, да и лазеры были слишком громоздки для практических систем волоконнооптической связи.

В 1989 году появились усилители на оптическом волокне, допированном эрбием. Несколько экспериментов 1990 года продемонстрировали передачу солитонов по световодам длиной от 100 км при скорости передачи информации до 5 Гбит/с [59]. В эксперименте 1991 года солитоны передавались на расстояние более 1 000 км со скоростью 10 Гбит/с [60].

Хотя формирование темных солитонов в волоконных световодах было предсказано в 1973 году [61], темные солитоны оставались математическим курьезом вплоть до 1987 года. Генерация темных солитонов в волоконных световодах не так проста, как в случае светлых солитонов, так как темные солитоны требуют локального изменения фазы и конечной амплитуды фоновой волны. В ранних экспериментах как фон использовался оптический импульс с длительностью много большей длительности темного солитона, который возникал как провал в центре фонового импульса [62]. В 1990 году была предложена генерация непрерывной последовательности темных солитонов при использовании электрических модуляторов [63, 64]. Кодирующий информацию поток темных солитонов был получен с помощью модулятора ЫШ02 в эксперименте по передаче данных в 1995 году [65].

Метод спектральной фильтрации был использован для генерации темных солитонов в волоконных световодах в эксперименте 1987 года [62]. Основная идея состоит в создании оптического импульса со скачком фазы п в его центре. Когда такой импульс распространяется в световоде, появляется темный солитон в виде провал в центре импульса, который

аналогичен темному солитону. В этом эксперименте не демонстрировалось распространение темных солитонов на большие расстояния из-за сравнительно больших потерь световода на рабочей длине волны 600 нм. Дисперсионная длина при распространении солитона (-220 м) превышала длину ослабления, составлявшую 140 м.

Регулярная последовательность импульсов может быть использована для передачи информации, только если ее можно закодировать так, чтобы получилась псевдоустойчивая последовательность битов 0 и 1. В 1995 году Наказава и Сузуки удалось получить псевдослучайную последовательность темных солитонов. Кодированная последовательность темных солитонов передавалась со скоростью 10 Гбит/с через волоконнооптическую линию связи длиной 1200 км в условиях нормальной дисперсии.

С 1977 года началось исследование двухмерных непараксиальных солитонов с распределенностью по обоим поперечным направлениям [66 -71]. Уравнения Максвелла допускают решения в форме осесимметричных солитонов. Но не все эти непараксиальные солитоны оказались устойчивыми. Новый тип устойчивых, но неосесимметричных пространственных солитонов был обнаружен в 1999 году для керровской нелинейности [69] и в 2001 году для насыщающейся нелинейности [71]. Была также предложена возможность формирования устойчивых сверхузких субволновых двухмерных пространственных солитонов (так называемых оптических игл) [70].

Вихревые кольца впервые наблюдались в эксперименте 1995 года [72]. Вихревое кольцо отвечает светлой области формы кольца и обладает ненулевым моментом импульса. Оно создавалось пропусканием лазерного пучка через дифракционный фазовый транспарант и последующим прохождением внутри ячейки с парами рубидия длиной 20 см. В последующем эксперименте [73] использовалась с квадратичной нелинейностью. Момент импульса, которым обладал входной пучок,

сильно влиял на динамику светлых пятен (то есть пространственных солитонов), которые создавались поперечной неустойчивостью вихревых колец. Они могли притягиваться или отталкиваться, а при некоторых условиях даже сливаться.

Большинство солитонов, которые обсуждались выше, описываются нелинейным уравнением Шредингера для единственного скалярного поля. Такие скалярные солитоны формируются, когда в нелинейной среде распространяется единственная волна и ее поляризационное состояние сохраняется. Когда эти условия нарушаются, необходимо рассматривать взаимодействие нескольких компонент поля с различными частотами или поляризациями и решать одновременно систему связанных нелинейных уравнений Шредингера. Решения этих уравнений с сохраняющейся формой называются векторными солитонами [5] из-за их многокомпонентной природы. В случае одиночного импульса, распространяющегося в многомодовом световоде, векторные солитоны могут формироваться из-за связи между различными модами, вызванными нелинейностью световода. Даже в одномодовом световоде импульс может формировать векторный солитон, если эффект двулучепреломления приводит к связи двух ортогонально поляризованных компонент [6]. Но в этом случае нужно учитывать когерентный характер связи. Векторные солитоны называются некогерентно связанными, в том смысле, что связь не чувствительна к фазе. Другой важный класс векторных солитонов связан с когерентной связью оптических полей, когда связь зависит от относительных фаз взаимодействующих полей. Когерентное взаимодействие возникает для слабо анизотропных или двулучепреломляющих сред.

В 1996 году каналирование двух первоначально перекрывающихся ортогонально поляризованных пространственных солитонов наблюдалось в волноводе из пластинки АЮаАБ [74]. Экспериментально трудно изучать изменения параметров пучка при изменении пройденного расстояния

внутри волновода, но свойства нестационарных векторных пучков в зависимости от пиковой мощности входного излучения можно легко определить при фиксированной длине волновода.

В эксперименте [75] лазер на центрах окраски, работающий вблизи 1,55 мкм, использовался, чтобы гарантировать отсутствие двухфотонного поглощения. Лазер с синхронизацией мод генерировал импульсы длительностью 670 фс с частотой повторения 76 МГц. Волновод длиной 15 мм состоял из ведущих слоев толщиной 1,5 мкм, нижней

оболочки толщиной 4 мкм и верхней оболочки 1,4 мкм (обе из Измеренные потери этого волновода 0,16 см-1 на рабочей длине волновода малы. Этому пучку придавалось эллиптическое поперечное сечение с размерами 3x35 мкм с помощью цилиндрической линзы. Обычные скалярные солитоны формировались, ориентируя поляризацию входного пучка вдоль ТЕ- (поперечно-электрических) осей или ТМ- (поперечно-магнитный) осей. При входной мощности около 600 Вт либо ТЕ-поляризованных, либо ТМ-поляризованных пучков, вводимых по отдельности, ширина выходного пучка примерно совпадала с шириной на вхоже в обоих случаях, как и следовало ожидать для скалярных солитонов. Для обнаружения формирования векторного солитона со смешанной поляризацией входной пучок был линейно поляризован под углом 45° к оси ТЕ-режима, так что обе компоненты вводились с равными мощностями.

Недавние эксперименты показали поляризационную неустойчивость пространственных векторных солитонов [76]. Эта неустойчивость вызвана связью компоненты с большей скоростью распространения с излучательными модами компоненты с меньшей скоростью вследствие фазового синхронизма.

В работе [8] предложен численный метод нахождения солитонов, путем формулировки задачи, как задачи на собственные значения и собственные функции для системы двух нелинейных уравнений

15

Шредингера, описывающих процесс удвоения частоты фемтосекундных импульсов в аксиально-симметричной среде в случае с квадратичной и кубичной нелинейностью. Рассмотрен также практически важный частный случай одного уравнения Шредингера. Так как трехмерные солитоны для случая кубичной нелинейности неустойчивы к малым возмущениям своей формы, то авторами [8] предложен метод стабилизации за счет варьирования длины фокусирующих слоев.

Отметим, что, некоторые солитоны в нелинейной оптике найдено аналитически [4 - 7]. Тем не менее, построение солитонных решений нелинейного уравнения Шредингера (или систем уравнений) на основе компьютерного моделирования (численного решения соответствующего уравнения) широко обсуждается в этих же источниках. Один из способов состоит, в применении методов нахождения собственных функций и собственных значений нелинейного уравнение Шредингера (или системе таких уравнений). Однако, в отличие от двумерных задач, нахождение трехмерных солитонов требует большого объема вычислений и времени. Это связано с необходимостью производить поиск солитонов на сетках с предельно мелким шагом. Поэтому актуальной является задача нахождения способов ускорения вычислений, например, разработка численных методов, которые имеют эффективную реализацию на параллельных вычислительных системах.

Явление Бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) было предсказано в 1924 году для систем с сохраняющимся полным числом частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Было предсказано, что существует критическая температура, ниже которой конечная доля всех частиц конденсирует в одном и том же квантовом состоянии. С 1995 года явление БЭК наблюдалось для нескольких типов атомов, помещенных в магнитную ловушку и охлажденных до чрезвычайно низких температур [77 - 79].

Конденсат Бозе-Эйнштейна — агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к

абсолютному нулю (меньше миллионной доли градуса выше абсолютного нуля). В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне.

Конденсаты — это чрезвычайно низкотемпературные жидкости со свойствами, которые в настоящий момент не до конца понятны. Этот феномен является непосредственным проявлением законов квантовой механики, согласно которым система может получать энергию только дискретно. Если система находится при настолько низких температурах, что пребывает в наинизшем энергетическом состоянии, то она уже не в состоянии уменьшить свою энергию даже за счёт трения. Без трения жидкость легко преодолевает гравитационное притяжение благодаря молекулярному сцеплению жидкости со стенками сосуда и занимает наиболее выгодное положение — вне сосуда.

В статистической механике статистика Бозе-Эйнштейна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (таковыми являются, например, фотоны и атомы гелия-4) по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. В

1924 году она была предложена Шатьендранатом Бозе для описания фотонов.

Теоретически предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в

1925 году. Спустя 70 лет, в 1995 году, первый Бозе-Эйнштейновский конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) (относящемся к Университету штата Колорадо в Боулдере и Национальному институту стандартов) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом. При помощи лазерного охлаждения ученым удалось охладить около 2 тысяч атомов рубидия (87Rb) до температуры 20 нанокельвинов и экспериментально подтвердить существование

конденсата Бозе-Эйнштейна, за что они совместно с Вольфгангом Кеттерле, который четыре месяца спустя получил конденсат Бозе-Эйнштейна из атомов натрия с использованием принципа удержания атомов в магнитной ловушке, в 2001 г. были удостоены Нобелевской премии по физике.

В эксперименте 2000 года [80] использовался метод создания макроскопической квантовой фазы, фиксирующий специальное распределение пространственной фазы в облаке БЭК. Макроскопическое квантовое состояние было разработано и создано оптической фиксацией фазовой картины в БЭК на атомах натрия. Для анализа получающегося распределения фазы использовалась интерферометрия волн материи с пространственно разрешенным изображением. Надлежащее распределение фазы создавало темные солитоны. Последующая эволюция таких темных солитонов исследовалась экспериментально и теоретически. Для наблюдения распространения солитонов плотность БЭК измерялась при использовании изображения поглощения. Конденсат освобождался от магнитной ловушки за 1 мс до изображения, но расширение освобожденного БЭК за это время было малым.

В другом эксперименте [81] темные солитоны наблюдались в иглообразном БЭК, сформированном из разреженного пара атомов рубидия. Несколько возбужденных состояний в форме темных солитонов создавались фиксацией локального фазового скачка у волновой функции БЭК. При наблюдении эволюции профиля плотности было найдено, что провал плотности двигается с меньшей скоростью, чем скорость звука в конденсате в ловушке. Сравнение результатов с численным решением уравнения Гросса-Питаевского в условиях эксперимента этот провал плотности мог быть идентифицирован как движущийся темный солитон.

Как и в случае оптических солитонов, полосы темных солитонов подвержены поперечной модуляционной неустойчивости и могут распадаться на пары вихрей с противоположными топологическими

зарядами [82]. Для наблюдения этой неустойчивости в эксперименте 2001 года использовался двухкомпонентный БЭК, в котором темный солитон существует в одной из компонент конденсата, тогда как вторая компонента заполняет провал [83]. Такие заполненные темные солитоны живут сотни миллисекунд.

В работе [19] исследуется возможность формирования предельно узких квазидвумерных (атомных «игл») и трехмерных (атомных «пуль») солитонных состояний конденсата на примере атомов 1Ы в состоянии (2,2) (где первое число - полный спин атома, а второе - его проекция) в рамках модифицированного уравнения Гросса-Питаевского с нелокальной нелинейностью. Выбор состояния (2,2) атомов лития обусловлен тем, что для этого состояния хорошо изучены параметры столкновения атомов. Авторам удается численно получить стационарные решения солитонного вида и привести параметрическую зависимость, подтверждающую устойчивость двумерного солитона, и показать, что нелокальность стабилизирует трехмерные сферически симметричные солитоны.

В работе [20] показано, что для конденсата Бозе-Эйнштейна, моделируемого уравнением Гросса-Питаевского с притягивающей нелинейностью при специальной конфигурации внешнего поля магнитной ловушки, возможны неколлапсирующие солитоноподобные волновые функции. На основе численных результатов можно сделать вывод, что в магнитооптической ловушке, моделируемой потенциалом, описанным выше, можно создать долгоживущий конденсат с большим числом атомов, изменив конфигурацию и параметры ловушки.

В работах [15, 16] приводятся различные результаты поиска солитонных решений (темных, светлых, отраженных солитонов) в задаче взаимодействия БЭК с внешним потенциалом (препятствием, магнитной ловушкой и т.д.) при помощи различных разностных схем и исследуется влияние пространственного распределения потенциала внешних сил на формирование солитонных решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы поиска солитонных решений многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и систем»

Обзор работы

1. В первой главе предлагаются два новых итерационных метода поиска солитонных решений в нелинейных дифференциальных уравнениях и исследуется их применение к одномерным нелинейным дифференциальным уравнениям.

2. Во второй главе исследуется взаимодействие конденсата Бозе-Эйнштейна с внешним потенциалом, которое описывается уравнением Гросса-Питаевского. Рассматривается применение итерационного метода М1 к двухмерному и трехмерному уравнению Гросса-Питаевского. Исследуется существование солитонных решений в зависимости от управляющих параметров. Рассматривается возможность эффективного распараллеливания последовательного алгоритма.

3. В третьей главе исследуется применения итерационных методов, описанных в первой главе, к системе нелинейных дифференциальных уравнений Шредингера. Исследуется существование солитонных решений в задаче распространения оптического излучения в среде с кубической нелинейностью.

Основные результаты

1. Разработаны два итерационных метода поиска солитонных решений. Методы гарантируют сходимость итерационного процесса в случае существования солитонного решения и слабо зависят от вида начального приближения. Демонстрируется применение этих методов к нахождению решений солитонного вида в многомерных нелинейных уравнениях.

2. Численно исследовано взаимодействие конденсата Бозе-Эйнштейна с препятствием на плоскости и найдены области существования основного и отраженного солитонов в двухмерном пространстве управляющих параметров.

3. На основе разработанных методов численно получено основное и отраженное солитонное решение в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского и произведена визуализация динамики этих решений во времени на параллельных вычислительных системах.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю ведущему научному сотруднику, доктору физико -математических наук Савенковой Надежде Петровне за поддержку и постоянную помощь в работе и профессору Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постановку прикладных задач.

ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ НОВЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ПОИСКА СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ В ОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЯХ

§1.1. ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА М1 К

РАЗЛИЧНЫМ НЕЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ

1.1.1. Алгоритм итерационного метода М1

Пусть рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение вида

диЬ х) _

—+ = t> О, - оо < х < +оо, (1.1.1)

дt

с нулевыми граничными условиями на бесконечности, где Ь - нелинейный дифференциальный оператор. Начальное приближение и{0,х) известно. Предполагается, что вид нелинейности дифференциального оператора Ь допускает применение автомодельной замены. Как известно, нелинейные дифференциальные задачи в некоторых случаях допускают существование как решений солитонного вида, так и несолитонных решений (нелинейных волновых функций). Чаще всего, существование решений солитонного вида в нелинейных задачах зависит от значений управляющих параметров а, присутствующих в операторе Ь. Ниже предлагается алгоритм численного метода М1 [85], который в случае сходимости гарантирует получение именно солитонного решения исходного уравнения.

Как было сказано выше, в основе итерационного метода М1 лежит идея поиска решений в автомодельном виде. В исходном нелинейном дифференциальном уравнении (1.1.1) сделаем замену переменных £ = х - &. В результате получим новое однородное нелинейное

дифференциальное уравнение относительно переменной В,. В некоторых случаях полученное уравнение допускает интегрирование по что понижает порядок дифференциального уравнения и позволяет привести уравнение к виду

А(й(,а) = сы(,- со < В, < +оо, й(±оо) = О, где А - нелинейный дифференциальный оператор, полученный в результате автомодельной замены (и, в некоторых случаях, проведенного интегрирования по из оператора Ь.

Проведем разностную аппроксимацию оператора А на равномерной сетке с шагом к на отрезке [-Х,Х], где X достаточно большое число.

Таким образом, получим Ан - разностную аппроксимацию оператора А, й = {йх,...,ймУ - вектор решения, совпадающий с и(^) в узлах сетки. При этом аппроксимация граничных условий проводится с порядком не меньше, чем порядок аппроксимации оператора А. В результате получаем следующую разностную задачу:

Анй = ей.

Для полученной разностной задачи запишем следующий итерационный процесс:

й"+х =йп + т(А\йп)-спй"), п = 0,1,... (1.1.2)

Считаем, что начальное приближение й° - задано. Одновременно с вычислением решения й", производится вычисление значения фазовой скорости волны с" на п-ой итерации.

с„ = 0Агхг). (и.3)

(;й",й")

В случае сходимости итерационного процесса (1.1.2) к решению солитонного вида, последовательность с" одновременно сойдется к значению фазовой скорости волны с. Если же итерационный процесс (1.1.2) расходится, то не существует для данных значений входных параметров а решения солитонного вида. Алгоритм прекращает свою

работу, когда будет выполнено условие

с —с

с"

(1.1.4)

где е - параметр точности, задается изначально, т - параметр метода, подбирается экспериментально.

Особенностью алгоритма М1 заключается в том, что если уравнение имеет решение солитонного вида, то алгоритм сойдется именно к нему, при этом выбор начального приближения для солитонного решения п-ой моды задается некоторым стандартизированным способом, который обсуждается ниже.

Аналитическое исследование сходимости итерационного метода М1 для оператора А общего вида практически невозможно в силу его нелинейности, поэтому сходимость и точность алгоритма исследуются численно.

1.1.2. Применение итерационного метода М1 к уравнению Кортевега-де Фриза.

Рассматривается уравнение Кортевега-де Фриза [1—4] вида

дх дх

с граничными условиями на бесконечности

и(± 00,/) = 0,м'(±оо) = 0, и "(+оо,/) = 0, / > О,

с начальным условием

и(х,0) = и°(х), хеЯ. Характерной особенностью КдФ является то, что оно допускает N -солитонное решение (N = 1,2,3...), которое ищется в виде бегущей волны. Получить аналитический вид этого решения можно с помощью преобразования Хироты [4].

Отметим, что если и(хявляется решением уравнения КдФ вида (1.1.5), то функция

м(х,0 = С,2г/(С,х + 6С,С2/ + + С4) + С2, также является решением уравнения КдФ, где СРС2,С3,С4 - произвольные постоянные.

Покажем, как можно получить односолитонное решение задачи (1.1.5) (решение первой моды). Введем переменную

В, = х-

Требуется не только найти солитонное решение, но и определить фазовую скорость с, то есть фактически решить задачу с параметром. Учтем, что

— = -си (£),

д1 дВ, д1

ди(х,/) _ ди(£) дВ, дх дВ, дх

д3и(х^)

дх

Тогда уравнение (1.1.5) примет вид

-си'+ вии'+ и= 0, -оо < В, < +оо, (1.1.6)

и(±оо) = 0,г/(±оо),г/"(±°о) = 0. Проинтегрировав уравнение (1.1.6), получим уравнение вида

-си + 3и2 + и" = С,-со < В, < +оо, и(±оо) = 0,м'(+оо),

где С - произвольная константа. Учитывая стремление функции и{%) к нулю на бесконечности, приходим к выводу, что С = 0. Последнее уравнение умножим на их и проинтегрируем:

-си2 + 2и3 + (и')2 = С,-со < £ < +оо, м(±оо) = 0.

Повторяя предыдущие рассуждения, находим, что С = О.

Решая последнее уравнение в явном виде, приходим к аналитическому виду солитонного решения первой моды уравнения (1.1.5)

с

\

u(x,t) = —ch x-ct + д)

(1.1.7)

здесь 8 определяет сдвиг фазы. Данное решение называется одиночным солитоном для уравнения КдФ (1.1.5).

Используя метод Хироты, можно получить ТЧ-солитонное решение данного уравнения (1.1.5). Выпишем двухсолитонное решение, определенное по методу Хироты

_ а21п(1 + + В2е01 + АВхВ2ев1+°2)

u(x,t)= ^ 2

где А =

~ V

, 6i = ct(x - eft) + дп i = 1,2,здесь сх,с2 - скорости первой и

сх с2

\ с\ +С2 j

второй волны соответственно, В1,В2 - произвольные постоянные.

Как отмечалось выше, уравнение КдФ имеет также решения несолитонного вида. Например, простым дифференцированием можно проверить, что

6х(х3 - 240

u(x,t) = -

(х3 + 1202

удовлетворяет уравнению КдФ (1.1.5), но при этом оно не является решением солитонного вида.

Дифференциальное уравнение КдФ будем решать разностным методом на конечном отрезке. Поскольку солитонное решение является быстро убывающей функцией, перейдем к конечному отрезку [—Ь,Ь], где

Ь достаточно велико (|и(±£)|«1). Заменим граничные условия

и(-оо) = и(+со) = 0 задачи (1.1.5) на условия и{-Ь) = и{Ь) = 0 для

разностной задачи. Разобьем отрезок [-Ь,Ь] на N одинаковых частей и с

и 21 шагом И = —.

N

Введем пространство сеточных функций Нм размерности N, состоящее из векторов У = (.Ух,У2—Уи)т и снабженное скалярным

n

произведением (у,у) = У^уД где у,уеН1^. В дальнейшем будем

1=1

обозначать Ны через Н. Аппроксимируем вторую производную разностным оператором Л,

(Ы = I- = 1,2-1,у0=у„= 0.

п

Пусть решение на п-ой итерации представляется в виде вектора у" Е.Н, где у" - приближенное решение в /-ом узле сетки, / = 1,2,..., N. Тогда у0 - вектор начального значения, который определяется следующим образом = м°(£1), / = 0,1,...,А^, где - начальная функция, которая

берется в виде определенной финитной функции, выбор которой обсуждается ниже.

Введя в уравнении (1.1.5) переменную

£ = х -

перейдем к уравнению

-си'+ бии'+ и= 0, - оо < £ < +со, (1.1.8)

и{+оо) = 0 ,и '(+оо), и "(+оо) = 0.

где с - фазовая скорость волны.

Для применения итерационного метода М1 в уравнении (1.1.8) сделаем следующие преобразования: внесем функцию и (¿г) под производную и проинтегрируем по £ уравнение (1.1.8). Получим новое уравнение

-си + Ъи2 +и" = С-Ь<%<Ь, (1.1.9)

и(-Ь) = и(Ь) = 0.

Поиск численного решения уравнения (1.1.9) проводится по следующей схеме

уГ1 = у: + Ф(у"У + (Л/Х - спУ:\/ = 1,2,...,N -\,п = 0,1,2,...,

где у0 - начальная финитная функция, т > 0 - итерационный параметр

метода (для данной задачи г = 10~5), Ау" - разностная аппроксимация второй производной на п -ой итерации. Параметр точности е задается изначально, при решении задачи (1.1.5) £- = 10~6. Значение фазовой скорости волны вычисляется по формуле

«3(Г)2 + ЛГ),Г)

(у", у")

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

с —с

Ниже приводятся результаты применения метода М1 к уравнению (1.1.5) и проводится их сравнение с аналитическим решением уравнения.

Будем рассматривать разностную задачу на отрезке [-100,100], (т. е. /, = 100) с числом точек разбиения N = 400. В качестве начального значения возьмем одну из трех финитных функций и°(на отрезке [~Ь,Ь], изображенных на рисунках 1.1 - 1.3. Будем решать задачу (1.1.5) при следующих значениях параметров. 0.1,

-5 0

Рис. 1.1. Начальное приближение вида «домик»

Рис. 1.2. Начальное приближение вида «трапеция».

Рис. 1.3. Начальное приближение вида широкий «домик».

Проведенные численные эксперименты показали, что независимо от того, какую из трех финитных функций мы возьмем в качестве начального приближения, метод М1 будет сходиться к аналитическому виду солитонного решения примерно за одно и тоже время.

На рисунке 1.4 приведены графики численного у"ит (непрерывная линия) и аналитического (1.1.7) иа" (пунктирная линия) решений

уравнения КдФ, а на рисунке 1.5 изображена соответствующая абсолютная погрешность численного решения А =| иа"(<!;, )-у"ит |. Значение фазовой скорости волны с - 0.052.

0.03

0.02

0.01

-I.......±_______I-

-100

о

£

100

Рис. 1.4. Численное решение (непрерывная линия) задачи и аналитическое

решение (пунктирная линия).

хЮ"1

I -—,__I_I_I

-100

о

¿Г

1100

Рис. 1.5. Абсолютная погрешность численного решения.

На рисунке 1.6 приведен график солитонного решения второй моды. Выбор начального приближения производится аналогично выбору

начального приближения для первой моды (например, «двойной домик» или «двойная трапеция» и т. д. для второй моды).

Рис. 1.6. Солитонное решение второй моды задачи (1.1.5).

На рисунке 1.7 представлен график солитонного решения третьей. В качестве начального приближения выбрали функцию вида «тройной домик» или тройная «трапеция».

При разбиении отрезка [-100,100] на 400 частей метод сходился примерно за 4000 итераций, время работы метода примерно 2 минуты. При разбиении этого же отрезка на 800 частей метод сходился примерно за 15000 итераций, время работы метода примерно 9 минут. При поиске солитонного решения второй и третьей мод задачи (1.1.7), при N = 400, невязка составила у/ = 3 • 1О3. В таблице 1.1 приведены абсолютные погрешности численного решения в норме С, (рс = шах | иап^,х) - ипит |, и

X

I

норме Ь2, (рь = | \иа„^,х)-ипип}\ с!х, а также приводится невязка ц/ .

Таблица 1.1.

<Рс (Р,. ¥

N = 200 9 • 10-4 5-10 3 4 ■ 10 3

N = 400 4-Ю4 2 -10 3 2 • 10"3

N = 800 2 • 10"4 9-10 4 9-10 4

N = 1600 8 • 10-5 4 • 10 4 4 -10 4

Однако дальнейшие численные эксперименты показали, что если взять г > 10 4, то метод будет расходиться, что наглядно подтверждает рисунок 1.8.

Также на каждой итерации производится вычисление площади под графиком, начиная с некоторой итерации, площадь начинает сохраняться, что подтверждает выполнение первого закона сохранения для полученного численного решения.

1.1.3. Применение итерационного метода М1 к уравнению sin-Гордона.

Рассмотрим уравнение sin-Гордона [1-4] вида

tfu^t) = а д2ф,0 + ъsin(cM(jc?^ xeR,t> 0, (1.1.10)

м'Д±оо,/) = 0,м,/(±оо,0 = 0.

где a,b,ce R.

Данное уравнение допускает решение в виде бегущей волны. Ниже приводится односолитонное аналитическое решение данного уравнения при значении параметров а = \,Ъ = \,с = \.

u(x,t) = 4arctg(exp(y(x-vt) + S)), у2 =—í-y, (1.1.11)

1 -v

здесь v - скорость движения волны, 5 - сдвиг фазы.

Решения такого вида называются кинками при положительном у, а при отрицательном у получается солитонное решение вида антикинк [3]. Сделав замену переменных

^ = x-ct,

получим следующее уравнение

с2и" = и"+ sin«.

Домножим правую и левую части последнего уравнения на и и сделаем замену со = —. Получим уравнение

сои = -^—и\ (1.1.12)

sin и

u(-L) = u(L) = 0.

Проведем разностную аппроксимацию уравнения (1.1.12) аналогично тому, как это было сделано для уравнения Кортевега-де Фриза. Численное решение уравнения (1.1.12) будем искать методом М1 по следующей схеме:

f У1 y-^-W+yU оПу,л

ыпу? к1 ") (1.1.13)

/ = 1,2,...,ЛГ-1, и = 0,1,2...,

где у0 - начальная функция, т - итерационный параметр метода (для данной задачи т = 10~5). Параметр точности £ задается изначально ( б = 10~6). Фазовую скорость волны будем вычислять по формуле

(Г,Г)

где Ь - разностная аппроксимация оператора правой части уравнения (1.1.13).

Критерий остановки итерационного процесса имеет вид:

СО —6)

со"

Приведем сравнение численных результатов поиска солитонного решения для уравнения sin-Гордона с помощью итерационного метода М1 с аналитическим решением уравнения (1.1.10).

Будем решать задачу (1.1.10) на отрезке [-100,100] с числом точек разбиения N = 400. В качестве начального значения возьмем финитную функцию и0(£) на отрезке [-L,L], изображенную на рисунке 1.9. На рисунке 1.10 изображено аналитическое односолитононное решение (1.1.11) уравнения sin-Гордона вида кинк, построенное по точкам при .

0.1

_I_I_I_I_I

-100 о 100

Рис. 1.9. Начальное приближение вида «ступенька».

0.16

0.08

0

-100

£

100

Рис. 1.10. Солитонное решение вида «кинк».

На рисунке 1.11 приведены графики численного у"ш" (пунктирная

линия) и аналитического иап (непрерывная линия) решений уравнения вт-Гордона, а на рисунке 1.12 изображена соответствующая абсолютная погрешность численного решения Д =| иа'\<^) - ут"" \.

0.16

0.08

и«)

-100

о

£

100

Рис. 1.11. Аналитическое решение (непрерывная линия) и численное

решение (пунктирная линия).

х 10

0-

А

__I

-100 о й 100

Рис. 1.12. Абсолютная погрешность численного решения.

Численные эксперименты показали, что итерационный метод М1 сходился за 2000 итераций, время работы метода составило 1 минуту. Следует отметить, метод плохо подходит для поиска солитонных решений в уравнении БШ-Гордона, так как численное решение в окрестности 0 стремится к бесконечности. Как видно из рисунка (.11, численное и

аналитическое решения достаточно сильно отличаются в окрестности нуля, что подтверждает рисунок 1.12, на котором изображена абсолютная погрешность.

1.1.4. Применение итерационного метода М1 к нелинейному уравнению Шредингера с кубической нелинейностью.

Рассмотрим нелинейное уравнение Шредингера [5] (НУШ) вида

.ди(х,0 + д2и(х:,/) + |2 = о7о<х<Х,1>0, (1.1.14)

дг дх

и{ 0,0 = 0, и(Х, 0 = 0, и(х, 0) = и\х),

где к > 0.

Сделав замену переменных £ = в уравнении (1.1.14), получим

следующее уравнение

-1сиХ£) + + ]/1 |2 = 0. Проинтегрировав последнее выражение по получим уравнение (1.1.15).

£

си = -ш'+ /V11 и(£) I2 (1.1.15)

-I

Проведем разностную аппроксимацию уравнения (1.1.15) аналогично тому, как это было сделано для уравнений Кортевега-де Фриза и Бт-Гордона. Численное решение уравнения (1.1.15) будем искать методом М1 по следующей схеме:

' ХУ)-У°М) . . ^

I------

ч Л ы\

(1.1.16)

7 = 1,2, ...,N-1, п = 0,1,2...,

где у0 - начальная функция, т - итерационный параметр метода (т = 10~5).

Параметр точности £ задается изначально (£, = 10~6). Фазовая скорость волны вычисляется по формуле

= (Ь(У),У)

(Г,Г)

где Ь - разностная аппроксимация оператора правой части уравнения (1.1.16).

Критерий остановки итерационного процесса имеет вид:

л+1 п . _ и

с — с < в с .

Приведем численные результаты получения односолитонного решения для НУШ с помощью итерационного метода М1. Рассмотрим задачу (1.1.14) на отрезке [-100,100] с числом точек разбиения N = 400. В качестве начального приближения выберем одну из финитных функций, изображенных на рисунках 1.1 - 1.3, как для действительной части, так и для комплексной части.

Далее приведены результаты работы итерационного метода М1. На рисунке 1.13 представлено численное решение уравнения (1.1.14) для у = 4.

хЮ"

4

и

_I_I_1_

1А.

_|__I_I_1_

-100 0 * 100

Рис. 1.13. Численное решение уравнения (1.1.14) для у = 4.

Время работы метода заняло около 5 минут, метод сошелся за 5600 итераций. В данном случае невязка полученного численного решения не превышает 5-10 3. При уменьшении шага в два раза, время решения возросло до 11 минут, а невязка упала до 2 • 10"3. Также на каждой

итерации производится вычисление площади под графиком, начиная с некоторой итерации, площадь начинает сохраняться, что подтверждает выполнение первого закона сохранения для полученного численного решения.

1.1.5. Применение алгоритма М1 к задаче распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубической нелинейностью.

В работе [11] исследуется распространение фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью. Математическая постановка задачи сводится к нахождению солитонных решений следующего уравнения

где

- нормированная на максимальное значение комплексная амплитуда импульса, распространяющегося вдоль оси z,

^ - нормированное на длительность основного импульса время в сопровождающей его системе координат, Ь - безразмерный временной интервал,

а - отношение начальной мощности импульса к характерной мощности самовоздействия,

у - коэффициент, характеризующий скорость изменения нелинейной поляризации,

Сделав замену переменных ^ = t-cz и проинтегрировав его по Е,, получим уравнение вида

и( 0,г)=и0 (/),

(1.1.17)

си = ш'+ га 11 и \2 ис!^ + ауи \

и

(1.1.18)

Проведем разностную аппроксимацию уравнения (1.1.18) аналогично тому, как это было сделано для уравнений Кортевега-де Фриза, Бт-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера. Численное решение уравнения (1.1.18) будем искать методом М1 по следующей схеме:

А *=1

к+агу]\у:\2 ~сПУ:

(1.1.19)

у = 1,2, ...,N-1, /2 = 0,1...,

где у0 - начальная функция, т - итерационный параметр метода (г = 10~5).

Параметр точности е задается изначально {е = 10~6). Фазовая скорость волны вычисляется по формуле

= (Цу"),Г) (У,У) '

где Ь - разностная аппроксимация оператора правой части уравнения (1.1.16). Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

„и+1 „и С —с

<£

Рассмотрим задачу (1.1.18) при ¿ = 100 на отрезке [-Ь,Ь] с числом точек разбиения N = 400. В качестве начального значения возьмем одну из финитных функций, изображенных на рисунках 1.1 - 1.3, как для действительной части, так и для комплексной части. На рисунке 1.14 изображено решение, полученное с помощью итерационного метода М1 (красная линия) при ^ = 0,01, « = 0,001, и решение, полученное другим численным методом [9] (синяя линия).

0.05

М

о

\

\

\

х

0

г

100

Рис. 1.14. Численное решение, полученное методом М1, (красная линия) и численное решение, полученное другим методом (синяя линия).

Максимальная разница между этими двумя решениями не превосходит 2-10 4, невязка решения, полученного методом М1, составляет 9-10 4, при уменьшении шага в два раза, невязка уменьшилась до 4-10 4. Метод М1 сошелся примерно за 7400 итераций, время работы составило около 6 минут. На каждой итерации производилось вычисление площади под графиком, начиная с некоторой итерации, площадь начала сохраняться, что подтверждает выполнение первого закона сохранения для полученного численного решения.

1.1.6. Исследование устойчивости итерационного метода М1.

Численный метод М1 является условно устойчивым. Достаточным условием сходимости схемы

где 5" - оператор перехода с п— ой итерации на (я + 1)-ую итерацию, является необходимость выбора итерационного параметра т" таким

и"+х =8"и"+ тТ(ип)

образом, чтобы все собственные значения оператора 5"1 находились бы внутри единичной окружности с центром (1;0). Следовательно, при переходе на (п +1) -ую итерацию, компьютерная реализация метода М1 диктует нам необходимость решения полной алгебраической задачи на собственные значения, что сильно замедляет сходимость итерационного процесса, но при этом гарантирует его сходимость. Заметим, что в большинстве случаев реализаций итерационного метода М1 при применении его к прикладным задачам, описанным в диссертации, удавалось экспериментально подобрать постоянное значение параметра т, для которого метод сходился с необходимой точностью.

1.1.7. Анализ численных результатов, полученных с помощью итерационного метода М1.

Итерационный метод М1 поиска солитонных решений нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений хорошо себя зарекомендовал в случае применения его к уравнениям КдФ, НУШ и задаче распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубической нелинейностью. Проведенные численные эксперименты показали, что метод М1 в случае сходимости позволяет получить исключительно решение солитонного вида нелинейного уравнения. Численные эксперименты показали, что метод М1 слабо зависит от начального приближения. Отметим, что при решении всех вышеперечисленных задач в ходе итерационного процесса на каждом шаге производится вычисление площади под графиком, начиная с некоторой итерации, площадь перестает возрастать и сохраняется далее до момента прекращения работы метода, что подтверждает выполнение первого закона сохранения для полученного численного решения.

§1.2. ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА М2 К РАЗЛИЧНЫМ НЕЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ

1.2.1. Алгоритм итерационного метода М2

Пусть рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение

вида

ди(г,х) + х),а) = 0, t>0, -оо<х<+оо,

Ы (1.2.1)

и(-оо,г) = и(оо,£) = 0, и{х,(У) = и°{х),

где Ь - нелинейный дифференциальный оператор, а - набор управляющих параметров.

В исходном уравнении (1.2.1) сделаем замену переменных £ = л: - с/. В результате получим новое однородное квазилинейное дифференциальное уравнение относительно переменной В,. В некоторых случаях полученное уравнение допускает интегрирование по £ > что понижает порядок дифференциального уравнения и позволяет привести уравнение к виду

Лй(£) = ей(£), - оо < £ < +оо, и(±со) = О,

где А - квазилинейный дифференциальный оператор, полученный в результате автомодельной замены (и, в некоторых случаях, проведенного интегрирования по £) из оператора Ь. Далее, для простоты изложения, вернемся к старому обозначению м(^) = й{<%).

Проведем разностную аппроксимацию оператора А на равномерной сетке с шагом к на отрезке [-Х,Х], где X достаточно большое число.

Таким образом, получим А11 (и) - разностную аппроксимацию оператора А(и(£),а). Аппроксимация граничных условий проводится аналогичным образом. В результате получаем следующую задачу на собственные значения:

Акй = ей. (1.2.2)

43

Ниже предлагается алгоритм итерационного метода М2 поиска солитонных решений. Пусть й" - численное решение, полученное на п -ой итерации метода, тогда итерационная часть примет вид:

1) По й", полученному на предыдущей итерации, строим матрицу Ап = А\й").

2) Находим собственные значения с"к+] и собственные векторы йк+х матрицы А", решая алгебраическую задачу на собственные значения

ЛП—П+1 „П+1—П+1

А и —с и

3) Для нахождения солитонного решения к-ой моды, выбираем к— ое собственное значения с"кх и соответствующий ему собственный вектор й"к+х матрицы А".

4) Нормируем .

5) Проверяем критерий остановки итерационного метода | спкх - с\ |< е, где б - параметр точности, задается изначально. Если критерий выполнен, то

—и+| 7 ^ и

ик нужное нам решение к-ои моды исходной задачи, а в противном случае снова выполняется шаг 1 и так далее.

1.2.2. Применение итерационного метода М2 к уравнению Кортевега-де Фриза.

Рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриза вида

= (1.2.3)

<Эг дх дх

и(± 00,0 = 0,м'(±°°) = О,и"(оо,0 = 0,/ > О,

м(х,0) = м0(д:),л: е Я. Как было сказано выше, данное уравнение допускает односолитонное решение вида (1.1.7). Сделаем замену переменных % = х — с/ и перейдем к уравнению

—cu'+ 6ш/'+ um = O,-00 < £ < +00, (1.2.4)

w(±oo,0 = O, u\±oo,t),u"(±oo,t) = 0. Поскольку солитонное решение является быстро убывающей функцией, перейдем к конечному отрезку [-L, L], где L достаточно велико

(|«(±L)|«l). Заменим граничные условия и(-оо) = и{+оо) = 0 задачи (1.1.5) на условия u(-L) = u(L) = 0 для разностной задачи. Для применения итерационного метода М2 произведем замену переменных р{%) = и '(£). Получим интегро-дифференциальные уравнения вида

р"+ 6ир = ср, p(±L) = О,

u{±L) = 0, (1.2.5)

4

= { pd%.

и

Проведем следующую разностную аппроксимацию

2 L

h = —= ih, i = 0..N, N

Р<Л, ) = pl,u(%l) = ul,i = Q,..,N,

h

6 и,р, =cpl,i = \,..,N-\,

и

(1.2.6)

7=0

Ро = 0, рм = О, и0 = О ,им= 0. Таким образом, разностное уравнение (1.2.6) представляет собой задачу на собственные значения и собственные функции вида

Ар = ср, (1-2.7)

где матрица оператора А имеет вид

'-2 + 6/22и1 1 0 ... О

1 -2 + 6к2и, 1 ... О

А =

J_

h2

О

О

1

О

-2 + 6h и,

О

1 -2 + 6h2u

(1.2.8)

n-\j

Для нахождения односолитонного решения будем искать первую собственную функцию задачи (1.2.7). Рассмотрим задачу на отрезке [-100,100], с числом точек разбиения N = 400. В качестве начального значения возьмем одну из трех финитных функций, изображенных на рисунках 1.1-1.3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лапонин, Владислав Сергеевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М.: Наука, 1991,198 с.

2. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989, 324 с.

3. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, 319 с.

4. М.Абловиц, М.Сигур. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1990, 480 с.

5. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От световодов к фотонным кристаллам. М.: Физматлит, 2005, 648с.

6. Додд Р., Эилбек Дж., Гиббон Дж. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения./ Пер. с англ. М.: Мир, 1988, 694 с.

7. Мива Т., Джимбо М., Датэ Э. Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры. М.: МЦНМО, 2005, 112 с.

8. Матусевич О.В., Трофимов В.А. Численный метод нахождения 3D-солитонов нелинейного уравнения Шредингера в аксиально-симметричном случае // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009, том 49, № 11, с. 1-12.

9. Rozanov N.N., Fedorov S.V., Shatsev A.N. Incoherent weak coupling of laser solitons // Optics & Spectroscopy. 2007. V. 102. № 1. P. 83-85.

10. Brull L., Lange H. Stationary, oscillatory and solitary wave type solution of singular nonlinear Schrodinger equations // Math. Meth. in Appl. Sci. 1986. V. 8. №4. P. 559-575.

П.Дорохова T.B., Савенкова Н.П., Трофимов В.А. Численное моделирование солитонных решений в задаче распространения фемтосекундного импульса в среде с кубической нелинейностью // Прикладная математика и информатика, сборник факультета ВМК, Макс-Пресс, М., № 2, 1999, с. 63-68.

12. Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. — М.: Наука, 1951., 480 с.

13. Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. — М.: Наука, 1978., 448 с.

14. V.A. Trofimov, A.V. Rozantsev. 2D soliton formation of ВЕС at its interaction with external potential // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, 2012, V. 8497, P. 84970F.

15. Kamchatnov, A.M., and Korneev, S.V. Dynamics of ring dark solitons in Bose-Einstein condensates and nonlinear optics // Physics Letters A, 2010, V. 374,1. 45, p. 4625-4628.

16. Kamchatnov, A.M., and Salerno, M. Dark soliton oscillations in Bose-Einstein condensates with multi-body interactions // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 42, 2009, P. 185303.

17. Theocharis, G., Rapti, Z., Kevrekidis, P.G., Frantzeskakis, D.J. , and Konotop, V.V. Modulational instability of Gross-Pitaevskii-type equations in 1+1 dimensions // Phys. Rev., 2009, E 67, 063610.

18. Tereshin, E.B., Troflmov, V.A., and Fedotov, M.V. Conservative finite difference scheme for the problem of propagation of a femtosecond pulse in a nonlinear photonic crystal with non-reflecting boundary conditions // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2006, V. 46 (1), p. 154-164.

19. H.H. Розанов, Ю.В. Рождественский, B.A. Смирнов, C.B. Федоров, Атомные «иглы» и «пули» конденсата Бозе-Эйнштейна и формирование наноразмерных структур. // Письма в ЖЭТФ, 2003 г., том 77, вып. 2, с. 89-92.

20. А. В. Борисов, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов, Квазиклассические решения уравнения Гросса-Питаевского, локализованные в окрестности окружности. // Компьютерные исследования и моделирование, 2009, т. 1, № 4, с. 359-365.

21.Kartashov Y. V., Malomed В. A., Torner L. Solitons in nonlinear lattices// Reviews of Modern Physics, 2011, v. 83, № 1, p. 247-305.

22. Kartashov, Y.V., Malomed, B.A., Vysloukh, V.A., and Torner, L. Two-dimensional solitons in nonlinear lattices // Opt. Lett., 2009, V. 34, №6, p. 770-772.

23. Malomed, B.A., Mihalache, D., Wise, F., and Torner, L., "Spatiotemporal optical solitons," Journal of Optics. B: Quantum and Semiclassical Optics 7(5), 2005, p. R53-R72.

24. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. M.: Наука, 1989, 432 с.

25. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976, 352 с.

26. Ablowitz М., Clarkson Р.А. Solitons, Nonlinear Evolution Equations, and Inverse Scattering. - N. Y.: Cambridge University Press, 1991. (513)

27. Optical Solitons - Theory and Experiment / Ed. by Taylor J.T. - N.Y.: Cambridge University Press, 1992.

28. Abdullaeo F.K., Darmanyan S., Khabiibulaev P. Optical Solitons. -Berlin: Springer, 1993.

29. Drazin P.G. Solitons: An Introduction. - N. Y.: Cambridge University Press, 1993.

30. Lamb G.L. Jr., Elements of Soliton Theory. - N. Y.: Dover, 1994.

31. Gu C.H. Soliton Theory and its Applications. - N. Y.: Springer, 1995.

32. Akhmediee N.N., Ankiewicz A.A. Solitons: Nonlinear Pulses and Beams. - London: Chapman and Hall, 1997.

33. Miwa T. Mathematics of Solitons. -. N. Y.: Cambridge University Press, 1999.

34. Russell J.S. Report of 14th Meeting of the British Association for Advancement of Science, York, September 1844. P. 311-390.

35. Gardner C.S., Green Y.M., Kruskal M.D., Miura R.M. // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095.

36. Zabusky N.J., Kruskal M.D. // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 240.

37. Shen Y.R. Principles of Nonlinear Optics. -N.Y.: Wiley, 1984.

38. Butcher P.N., Cotter D.N. The Elements of Nonlinear Optics. -Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

39. Boyd R W. Nonlinear Optics. - San Diego: Academic Press, 1992.

40. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics, 3rd ed. - San Diego: Academic, 2001.

41. Chiao R. Y., Garmire E., Townes C.H. // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 479.

42. Barthelemy A., Maneuf S., Froehly G. // Opt. Commun. 1985. V. 55. P. 201.

43. McCall S. L., Hahn E.L. // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 18. P. 908.

44. Hasegawa A., Tappert F. // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 142.

45. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 1095.

46. Agrawal G.P. Applications of Nonlinear Fiber Optics. - San Diego: Academic, 2001.

47. Hasegawa A., Tappert F. // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 171.

48. Weiner A.M., Thurston R.N., Tomlinson W.J. et al. // Opt. Lett. 1989. V.

14. P. 868.

49. Skinner S.R., Allan G.R, Andersen D.R., Smirl A.L. // IEEE J. Quantum Electron. 1991. V. 27. P. 2211.

50. Kelley P.L. // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 1005.

51. Bjorkholm J.E., Ashkin A. // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 32. P. 129.

52. Barthélémy A., Maneuf S., Froehly C. // Opt. Commun. 1985. V. 55. P. 201.

53. Aitchison J. S., Weiner A.M., Silberberg Y. et al. // Opt. Lett. 1990. V.

15. P. 471.

54. Shalaby M., Barthélémy A. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 1472.

55. Shalaby M., Reynaud F., Barthélémy A. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 778.

56. Shih M., Chen Z., Segev M. et al. // Appl. Phys. Lett. 1996. V. 69. P. 4151.

57. Carcia-Quirino G.S., Iturbe-Castillo M.D., Vysloukh V.A. et al. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 154.

58. Mollenauer L. F., Smith K. // Opt. Lett. 1988. V. 13. P. 675.

59. Nakazawa M., Suzuki K., Kimura Y. // IEEE Photon. Technol. Lett. 1990. V. 2. P. 216.

60. Yamada E., Suzuki K., Nakazawa M. // Electron. Lett. 1991. V. 27. P. 1289.

61. Hasegawa A., Tappert F. // Appl. Phys. l.ett. 1973. V. 23. P. 171.

62. Emplit Ph., Hamaide 1. P., Reynaud F. et al. // Opt. Commun. 1987. V. 62. P. 374.

63. Rothenberg J. E. // Opt. Commun. 1991. V. 82. P. 107.

64. Rothenberg J. E., Heinrich H. K. // Opt. l.ett. 1992. V. 17. P. 261.

65. Nakazawa M., Suzuki K. // Electron. Lett, 1995. V. 31. P. 1076.

66. Абакаров Д. И., Алопян А.А., Пекар С.И. // ЖЭТФ. 1967. Т. 25. С. 303.

67. Елеонский В.М., Оганесьянц Л.Г., Силин В.П. // ЖЭТФ. 1972. Т. 63. С. 532.

68. Кирсанов Д.А., Розанов Н. Н. // Опт. спектроск. 1999. Т. 87. С. 390.

69. Семёнов В.Е., Розанов Н.Н., Высотина Н.В. // ЖЭТФ. 1999. Т. 116. С. 458.

70. Розанов Н.Н., Высотина Н.В., Владимиров А.Г. // ЖЭТФ. 2000. Т. 118. С. 1307.

71. Rosanov N.N., Semenov V.E., Vyssotina N. V. // J. Opt. В. 2001. V. 3. P. 96.

72. Tikhonenko V., Christou J., Luther-Davies B. // J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V.12. P. 2046.

73. Petrov D. V., Torner L., Martorell J. et al. // Opt. Lett. 1998. V .23. P. 1444.

74. Kang J.U., Stegeman G.I., Aitchison J.S. // Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 189.

75. Kang J.U., Aitchison J.S., Stegeman G.I, Akhmediev N.N. // Opt. Quantum Electron. 1998. V. 30. P. 649.

76. Malendevich R.R., Friedrich L., Stegeman G.I. et al. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 695.

77. Anderson M.N. et al. // Science. 1995. V. 269. P. 198.

78. Bradley C.C., Sackett C.A., Tollett J.J., Hulet R.G. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 1687.

79. Davis K.B., Mewes M.O., Andrews M.R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 3969.

80. Denschlag J., Simsarian J.E., Feder D.L. et al. // Science. 2000. V. 287. P. 97.

81. Burger S., Bongs K., Dettmer S. et al. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 5198.

82. Feder D. L., Pindzola M S., Collins L.A. et al. // Phys. Rev. A 2000. V. 62. 053606.

83. Anderson B.P., Haijan P.C., Regal C.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 2926.

Содержание диссертации изложено в следующих работах

84. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Численный метод поиска решений солитонного вида нелинейных дифференциальных уравнений. // Вестник Московского Университета, М., 2013, №2, с. 5-10.

85. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Нахождение солитонных решений различных нелинейных дифференциальных уравнений. // Научное обозрение, Красноярск, 2013, № 5, с. 127-132.

86. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Численное исследование методов поиска многомерных солитонов. // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета, Новосибирск, 2013, выпуск 2(48), с. 81-85.

87. Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Численный метод поиска солитонных решений. // Прикладная математика и информатика, сборник факультета ВМК, Макс-Пресс, М.: 2011, №38, с. 18-30.

88. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Поиск 2-d солитонов в уравнении Гросса-Питаевского. // Прикладная математика и информатика, сборник факультета ВМК, Макс-Пресс, М., 2013. №42, с. 5-13.

89. Лапонин B.C. Поиск солитонных решений в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского. // Прикладная математика и информатика, сборник факультета ВМК, Макс-Пресс, М., 2013. №43, с. 15-24.

90. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Численное исследование влияния поверхностно-активных веществ на формирование уединенной волны (солитона). // Сб. тезисов XVII международной конференции "Математика. Компьютер.

Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика",

2010, т. 1, с. 144.

91. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Численный метод нахождения солитонных решений. // Сб. тезисов XVIII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика",

2011, т. 1, с. 170.

92. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Новый метод поиска многомерных солитонов. // Сб. тезисов XIX международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика",

2012, с. 204.

93. Савенкова Н.П., Лапонин B.C. Моделирование формирования 2-d солитонов. // Сб. тезисов XX международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2013, с. 137.

94. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Численный метод поиска солитонных решений, независящий от вида нелинейности дифференциального уравнения. // Сб. тезисов XVIII Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", изд. ИПМ РАН, М., 2010, с. 40-41.

95. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Численный метод поиска 3-D солитонов. // Конференция. "Тихоновские чтения", секция " Вычислительной математики и кибернетики ", Макс-Пресс, М., 2012,

с. 65.