Численные методы параметрической идентификации диссипативных динамических систем на основе разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Попова, Дарья Николаевна

• Попова, Дарья Николаевна
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Попова, Дарья Николаевна

Введение

Глава 1. Математическое описание диссипативных механических систем и методы определения их динамических характеристик

1.1. Диссипативные механические системы и проблема повышения' точности их параметрической идентификации.

1.2. Математические модели колебаний диссипативных систем в форме дифференциальных уравнений и их приближенных решений

1.3. Динамические характеристики нелинейных диссипативных механических систем и их методы определения.

1.4. Выводы по главе 1.

Глава 2. Разработка, исследование и применение в задачах параметрической идентификации стохастических разностных уравнений свободных колебаний нелинейных диссипативных механических систем.

2.1. Построение линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений для режима свободных колебаний

2.2. Разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений

2.3. Численно-аналитические исследования алгоритмов среднеквад-ратического оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений для режима свободных колебаний

2.4. Выводы по главе 2.

Глава 3. Разработка и исследование метода определения дис-сипативных характеристик механических систем с линейно-вязким трением на основе стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики

3.1. Построение разностных уравнений, описывающих амплитудночастотную характеристику механических систем с линейно-вязким трением, и метода параметрической идентификации на их основе

3.2. Численно-аналитические исследования устойчивости, эффективности и сходимости численного метода определения дисси-пативных характеристик на основе стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики

3.3. Выводы по главе 3.

Глава 4. Разработка, исследование и применение стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики нелинейных диссипативных механических систем

4.1. Построение и применение линейно-параметрических дискретных моделей амплитудно-частотных характеристик нелинейных диссипативных систем.

4.2. Исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики

4.3. Выводы по главе 4.

Глава 5. Разработка программного обеспечения для обработки экспериментальных данных в задачах идентификации диссипативных механических систем

5.1. Разработка алгоритмов вычисления динамических характеристик диссипативных механических систем на основе стохастических разностных уравнений

5.2. Результаты апробации численного метода в научно-технических экспериментах

5.3. Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы параметрической идентификации диссипативных динамических систем на основе разностных уравнений»

Актуальность работы. Оценка технического состояния различных машин и механизмов, прогнозирование долговечности и ресурса отдельных деталей и целых конструкций является важнейшей проблемой в машиностроении. При диагностике технического состояния диссипативных механических систем широко используются методы, основанные на анализе изменения динамических характеристик системы в процессе ее эксплуатации, прочностных или промышленных испытаний. Однако большинство из этих методов используют алгоритмы, полностью не учитывающие современный уровень компьютеризации и автоматизации процессов обработки информации. Вследствие чего возник разрыв между устаревшими способами оценки демпфирующих свойств нелинейной диссипативной системы и новыми информационными технологиями, применяемыми в вибродиагностике (например, цифровой, спектральный или корреляционный анализ динамических процессов в механической системе). Устранить этот разрыв и, тем самым, существенно повысить достоверность оценки технического состояния механической системы можно на основе принципиально новых методов параметрической идентификации, ориентированных на применение статистических методов обработки результатов эксперимента и компьютеризацию алгоритмов вычислений.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование новых методов параметрической идентификации нелинейных диссипативных механических систем, позволяющих на основе линейно-параметрических дискретных моделей временных и частотных характеристик системы повысить точность оценивания параметров рассеяния энергии колебаний, а также разработка программного обеспечения для определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем по экспериментальным данным.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- построение линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений мгновенных значений импульсной и амплитудно-частотной характеристик нелинейной диссипативной системы;

- разработка метода параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем на основе среднеквадратического оценивания коэффициен тов стохастического разностного уравнения;

- численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений;

- разработка программного обеспечения, реализующего численный метод определения параметров диссипативной системы на основе разностных уравнений и предназначенного для практического применения в научно-технических экспериментах или промышленных испытаниях.

Научная новизна полученных и представленных в работе результатов состоит в следующем:

- построены линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений -результаты измерений мгновенных значений ординат свободных колебаний нелинейных диссипативных систем;

- получены линейно-параметрические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы;

- разработан численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе построенных стохастических разностных уравнений;

- проведены численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов вычисления динамических характеристик на основе итерационной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов разностного уравнения.

Практическая ценность работы заключается в применении новых линейно-параметрических дискретных моделей в задачах оценки динамических характеристик нелинейных диссипативных систем по экспериментальным данным. Численный метод определения диманических характеристик диссипативных систем на основе построенных разностных уравнений позволяет обеспечить высокую точность вычислений, помехозащищенность оценок, эффективно использовать современную вычислительную технику в экспериментальных исследованиях. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования VBA под управлением операционной системы Windows помехоза-щищенные алгоритмы вычислений динамических характеристик, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.

Достоверность основных научных результатов подтверждается следующим:

- корректностью использования математического аппарата и вводимых при проведении расчетов и моделировании допущенний и гипотез;

- сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений;

- численно-аналитическими экспериментами исследования адекватности моделей;

- численными экспериментами исследования устойчивости вычислений и анализа помехозащищенности моделей.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений ординат свободных колебаний нелинейных диссипативных систем;

- линейно-параметрические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы;

- новые структурные соотношения во временной и частотной областях между отсчетами сигнала, коэффициентами линейно-параметрической дискретной модели и динамическими характеристиками нелинейной диссипативной системы;

- численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей;

- численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов вычисления динамических характеристик на основе разностных уравнений.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты, выводы и рекомендации работы использованы в учебном процессе ГОУ ВПО "Самарский государственный технический университет", а также — в ЗАО "Научно-производственная фирма "СОНДАИНФО" при оценке технического состояния различных по конструкции и функциональному назначению механических систем.

Апробация работы. Основные результаты научных исследований докладывались на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Санкт-Петербург, 2005); 1-ом Международном форуме молодых ученых (6-ой Международной конференции) 'Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2005); Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2006); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Кисловодск, 2006); Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, 2006); Научно-технической конференции с международным участием "Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении" (г. Самара, 2006); 2-ом Международном форуме молодых ученых и студентов (7-й Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2006); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия) (г. Йошкар-Ола, 2006); конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2007); Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2007); 3-ем Международном форуме молодых ученых и студентов (8-й Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2007); V Всероссийской конференции "Механика микронеодродных материалов и разрушение" (г. Екатеринбург, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ (из них 6 из Перечня ВАК).

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат результаты выполненных исследований.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений, в которых приведены листинг разработанного программного продукта и акты внедрений. Общий объем диссертации 190 страниц, включая 58 рисунков. Библиографический список включает 102 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Попова, Дарья Николаевна

5.3 Выводы по главе 5

1. Разработана структурная схема алгоритма вычисления динамических характеристик нелинейных диссипативных механических систем.

2. Программными средствами Visual Basic Application реализован комплекс программ, позволяющий пользователю находить оценки динамических характеристик нелинейных механических систем на основе обработки экспериментальных данных.

3. Проведена апробация численного метода в научно-технических экспериментах по определению некачественной технологической сборки механической системы вал-втулка.

Заключение

В результате выполненной диссертационной работы получено следующее:

1. Построены линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений свободные колебания нелинейных диссипативных систем. Получены формулы для определения частоты и декремента колебаний, а также характеристики нелинейности по коэффициентам линейно-параметрической дискретной модели.

2. Рассмотрены основные этапы численного метода определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений. Для каждого этапа сформулированы проблемы, связанные с обеспечением заданной точности оценок динамических характеристик.

3. Проведены численно-аналитические исследования метода определения динамических характеристик, в основе которого лежит линейно-параметрическая дискретная модель в форме стохастических разностных уравнений для систем с диссипативными силами общего вида в режиме свободных колебаний. Для системы с линейно-вязким трением проведен сравнительный анализ погрешности вычисления декремента колебаний методом на основе ЛПДМ и методом затухающих колебаний.

4. Построены линейно-параметрические дискретные модели в форме стохастических разностных уравнений для АЧХ линейной и нелинейных диссипативных систем. Получены формулы для вычисления собственной частоты и декремента колебаний, а также оценки характеристики нелинейности по коэффициентам построенных линейно-параметрической дискретной модели.

5. Исследованы линейно-параметрические дискретные модели в форме стохастических разностных уравнений систем с линейно-вязким трением и систем с диссипативными силами общего вида при неизвестном показателе нелинейности. Для данных моделей проведены численно-аналитические эксперименты для исследования зависимости погрешности вычислений динамических характеристик от мощности помехи, объема выборки, периода дискретизации. Для АЧХ систем с линейно-вязким трением проведен сравнительный анализ погрешности вычисления декремента колебаний методом на основе ЛПДМ и методом кривой резонанса.

6. Разработано и описано программное обеспечение, позволяющее найти оценки динамических характеристик нелинейных механических систем, реализующее численные методы на основе ЛПДМ в форме стохастических разностных уравнений и предназначенное для использования в физических экспериментах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Попова, Дарья Николаевна, 2009 год

1. Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов / Т. Андерсон. — М.: Мир, 1976, — 756 с.

2. Бабаков, И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. — М.: Наука, 1968. — 560 с.

3. Басков, А. Г. Автоматическая система измерения характеристики демпфирования колебаний механических систем на основе микроЭВМ / А. Г. Басков, А. Г. Кратко, А. П.Бовсуновский // Проблемы прочности. 1990. — № 1. — С. 110-112.

4. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельников. — М.: Наука, 1987. — 600 с.

5. Бендат, Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Д. Бендат, А. Пирсол. — М.: Высшая школа, 1980. — 408 с.

6. Боглаев, Ю. П. Вычислительная математика и программирование / Ю. П. Боглаев. — М.: Высш. шк, 1990. — 544 с.

7. Божко, А. Е. Динамико-энергетические связи колебательных систем / А. Е. Божко, Н. М. Голуб. — Киев: Наук, думка, 1980.— 188 с.

8. Бокс, Д. Анализ временных рядов. Прогноз и управление / Д. Бокс, Г. Дженкинс. Вып. 1. — М.: Мир, 1974. — 406 с.I

9. Брандт, 3. Статистические методы анализа наблюдений. Пер. с анг. / 3. Брандт. М.: Мир, 1975,— 312 с.

10. Бутенин, Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бу-тенин, Ю. В. Неймарк. — М.: Наука, 1987.

11. Вибрации в технике. Справочник: В 6 т. — М.: Машиностроение. — Т. 1 1978. - 352 е.; Т. 2 - 1979. - 351 е.; Т. 5 - 1981. - 496 с.

12. Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры / В. В. Воеводин.— М.: Наука, 1977.

13. Воеводин, В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. — М.: Наука, 1984. — 320 с.

14. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков.-- М.: Наука, 1982.— 256 с.

15. Вульфсон, И. И. Компьютерное моделирование динамических эффектов, обусловленных нелинейными диссипативными силами при полигармоническом возбуждении / И. И. Вульфсон // Теория механизмов и машин. 2005. - Т. 3, № 2. — С. 42-53.

16. Вульфсон, И. И. Колебания в машинах / И. И. Вульфсон, — СПб.: 2-ое, дополненное / СПГУТД, 2006. 260 с.

17. Вучков, И. Прикладной линейный регрессионный анализ / И. Вучков, J1. Бояджиева, О. Солаков. — М.: Финансы и статистика, 1987. — 238 с.

18. Горяченко, В. Д. Элементы теории колебани / В. Д. Горяченко. — Красноярск: Издательство Красноярского университета, 1995.

19. Грановский, В. А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях / В. А. Грановский, Т. Н. Сирая. — Л.: Энергоатомиздат, 1990.- 288 с.

20. Демиденко, Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии / Е. 3. Демиден-ко. —М.: Финансы и статистика, 1981.

21. Демидович, Б. П. Численные методы анализа. Приближенные функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалов, — М.: Физматгиз, 1968.— 368 с.

22. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования / Г. Деч. — М.: Наука, 1971. — 288 с.

23. Добровольский, А. В. К вопросу о расчете теоретической линии регрессии при обработке статистической информации / А. В. Добровольский // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2004. — № 2.-С. 85-87.

24. Добрынин, С. А. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: Справочник / С. А. Добрынин, М. С. Фельдман, Г. И. Фирсов. — М.: Машиностроение, 1987.— 224 с.

25. Дрейпер, Н. Прикладной регресионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит. — М.: Статистика, 1973.

26. Жданов, А. И. О приближенных стохастических системах линейных алгебраических уравнений / А. И. Жданов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1989. — Т. 29, № 12,- С. 1776-1787.

27. Жданов, А. И. Вычисление регуляризованных оценок наименьших квадратов коэффициентов авторегрессии по неточным данным / А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика.— 1990.— № 3.— С. 110-117.

28. Жданов, А. И. Регуляризация неустойчивых конечномерных линейных задач на основе расширенных систем / А. И. Жданов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2005. — Т. 45, № 11,— С. 1918-1926.

29. Жданов, А. И. Особенности применения метода наименьших квадратов для оценивания параметров линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления / А. И. Жданов, О. А. Кацюба // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 8. — С. 86-96.

30. Жданов, А. И. Прямой проекционный метод в задаче полных наименьших квадратов / А. И. Жданов, П. А. Шамаров // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 4. — С. 77-87.

31. Закс, Л. Статистическое оценивание / JI. Закс. — М.: Статистика, 1976.

32. Зотеев, В. Е. Идентификация диссипативных и жесткостных характеристик механических систем на основе линейных дискретных моделей / В. Е. Зотеев // Надежность и неупругое деформирование конструкций. Куйбышев: КПтИ, 1990.-С. 152-159.

33. Зотеев, В. Е. Идентификация нелинейных механических систем на основе авторегрессионных моделей / В. Е. Зотеев // Математическое моделирование в машиностроение. Тезисы докладов Первой Всесоюзной школы-конф. — Куйбышев: 1990. — С. 18.

34. Зотеев, В. Е. Авторегрессионные модели колебаний нелинейных диссипативных систем / В. Е. Зотеев // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды пятой научной межвузовской конференции. — Самара: ИА РФ, СамГТУ, 1995. С. 48-95.

35. Зотеев, В. Е. Вибродиагностика нелинейных диссипативных систем на основе разностных уравнений / В. Е. Зотеев // Надежность механических систем. Тезисы докладов научно-технической конференции. — Самара: 1995. — С. 82.

36. Зотеев, В. Е. Сравнительный анализ методов определения динамических характеристик диссипативной системы / В. Е. Зотеев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. — 2006. — № 43. — С. 153-158.

37. Зотеев, В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / В. Е. Зотеев; Под ред. В. П. Радченко. — М.: Машиностроение, 2009. — 344 с.

38. Зотеев, В. Е. Оценка нелинейности сил трения на основе стохастического разностного уравнения колебаний диссипативной системы / В. Е. Зотеев, Д. Н. Попова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, № 2. - С. 373.

39. Кармалита, В. А. Цифровая обработка случайных колебаний / В. А. Кармалита. — М.: Машиностроение, 1986.— 80 с.

40. Кашъяп, Р. Л. Построение динамических стохастических моделей поэкспериментальным данным / P. J1. Кашьяп, А. Р. Рао.— М.: Наука, 1983.- 384 с.

41. Кей, С. М. Современные методы спектрального анализа. Обзор / С. М. Кей, С. П. Марпл-мл. // ТИИЭР. 1981. - № 11.- С. 5-51.

42. Кендалл, М. Статистические выводы и связи / М. Кендалл, А. Стью-арт, — М.: Наука, 1973. — 900 с.

43. Кононенко, В. О. Методы идентификации механических нелинейных колебательных систем / В. О. Кононенко, Н. П. Плахтиенко. — Киев: Наук, думка, 1976.— 116 с.

44. Костин, В. А. О необходимых условиях адекватности математических моделей механических систем / В. А. Костин, Н. В. Минаева // Известия вузов. Машиностроение. — 2005. — № 2. — С. 5-7.

45. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. — М.: Мир, 1975.

46. Кузнецов, Е. Б. Моделирование кривых параметрическими многочленами по методу наименьших квадратов / Е. Б. Кузнецов, А. Ю. Якимо-вич // Математическое моделирование. — 2004. — Т. 16, № 6. — С. 4851.

47. Кэдзоу, Д. А. Спектральное оценивание: метод переопределенной системы уравнений рациональной модели / Д. А. Кэдзоу // ТИИЭР. — 1982, — Т. 70, № 9. — С. 256-293.

48. Левитский, И. И. Колебания в механизмах / Н. И. Левитский.— Гл. ред. физ.-мат. лит. — М.: Наука, 1988.— 336 с.

49. Левитский, Н. И. Теория механизмов и машин / Н. И. Левитский. — М.: Наука, 1979.- 576 с.

50. Линник, Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений / Ю. В. Линник. — М.: Физматгиз, 1962.

51. Львовский, Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул / Е. Н. Львовский, — М.: Высш. шк., 1988. — 239 с.

52. Максименко, А. А. Динамические контактные взаимодействия при сложном нагружении в условиях трения покоя / А. А. Максименко, Н. В. Перфильева, Н. В. Котенева // Известия вузов. Машиностроение. 2002. - № 2-3. - С. 28-37.

53. Максименко, А. А. Экспериментальный комплекс для исследования контактного взаимодействия в пределах трения покоя / А. А. Максименко, Н. В. Перфильева, Н. В. Котенева // Известия вузов. Машиностроение. — 2002. — № 4. — С. 3-7.

54. Марпл-мл., С. А. Цифровой спектральный анализ и его приложения. Пер. с англ. / С. А. Марпл-мл. — М.: Мир, 1990. — 584 с.

55. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук.— М.: Наука, 1989. — 609 с.

56. Мостпеллер, Ф. Анализ данных и регрессия / Ф. Мостеллер, Д. Тыокин. Вып. 1, 2. — М.: Финансы и статистика, 1982.

57. Основы теории колебаний / В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Му-стель, В. Н. Парыгин.— М.: Наука, 1988.

58. Отнес, Р. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы / Р. Отнес, JL Эноксон. — М.: Мир, 1982. — 428 с.

59. Пановко, Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я. Г. Пановко. — М.: Физматгиз, I960. — 194 с.

60. Пановко, Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара / Я. Г. Пановко.— JL: Машиностроение, 1976.— 320 с.

61. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Пановко.— М.: Наука, 1991.— 256 с.

62. Писаренко, Г. С. Методы определения характеристик колебаний упругих систем / Г. С. Писаренко, В. А. Матвеев, А. П. Яковлев. — Киев: Наук, думка, 1976. — 88 с.

63. Писаренко, Г. С. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов. Справочник / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев.— Киев: Наук, думка, 1971.— 376 с.

64. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах / Под ред. И. А. Биргера, Я. Г. Пановко.— М.: Машиностроение, 1968.

65. Пустылъник, Е. И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений / Е. И. Пустыльник. — М.: Наука, 1968.

66. Редько, С. Ф. Идентификация механических систем. Определение динамических характеристик и параметров / С. Ф. Редько, В. Ф. Ушкалов, В. П. Яковлев. — Киев: Наук, думка, 1985. — 216 с.

67. Румишский, Л. 3. Математическая обработка результатов эксперимента / JI. 3. Румишский, — М.: Наука, 1971.

68. Сафронов, В. С. Об адекватности математических моделей механических систем / В. С. Сафронов, Н. А. Барченкова, Н. В. Минаева // Известия вузов. Машиностроение. — 2005. — № 5. — С. 17-23.

69. Себер, Д. Линейный регрессионный анализ / Д. Себер.— М.: Мир, 1980.-456 с.

70. Семёнов, Ю. А. Механика. Теория механических колебаний / Ю. А. Семёнов. — СПб.: Политехи, университет, 2008. —412 с.

71. Сухомлинов, Г. Л. Вычислительная модель для исследования вынужденных колебаний упругих систем при больших значениях сил трения / Г. JI. Сухомлинов // Известия вузов. Машиностроение. — 2002. — №4.-С. 7-14.

72. Сухомлинов, Л. Г. Неявный итерационный алгоритм численного решения задач динамики с нелинейностями типа кулоновского трения / JL Г. Сухомлинов, Г. JI. Сухомлинов // Известия вузов. Машиностроение. 1998. - № 4-6. - С. 5-8.

73. Тафте, Д. И. Адаптивный метод оценивания сигнала, основанный на разложении матрицы данных по особым значениям / Д. И. Тафте, Р. Кумаресан, А. Кирстайнс // ТИИЭР. — 1982. Т. 70, № 6. - С. 189191.

74. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, — М.: Наука, 1979. — 288 с.

75. Тихонов, А. Н. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация / А. Н. Тихонов, А. В. Гопчаровский, В. В. Степанов. — М.: Наука, 1983,—200 с.

76. Успенский, А. Б. Вычислительные аспекты метода наименьших квадратов при анализе и планировании регрессионных коэффициентов / А. Б. Успенский, В. В. Федоров. — М.: МГУ, 1976.

77. Устойчивые статистические методы оценки данных / Под ред. JI. P. Jlo-нера, Г. Н. Уилкинсона. — М.: Машиностроение, 1984.

78. Фаддеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. — М.: Физматгиз, 1963.

79. Форсайт, Д. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Д. Форсайт, К. Моллер. — М.: Мир, 1969.

80. Химмелъблау, Д. Анализ процессов статистическими методами / Д. Химмелъблау. — М.: Мир, 1973. — 958 с.

81. Цабанска-Плашкевич, К. Колебания сложных систем с затуханием при динамическом нагружении / К. Цабанска-Плашкевич // Проблемы прочности. — 2002. — № 2. — С. 82-101.

82. Чайковский, Б. С. Прибор для автоматического счета числа циклов затухающих колебаний в заданном интервале изменения амплитуды / Б. С. Чайковский, Н. JI. Позен, Р. К. Иванов // Проблены прочности. — 1970. — № 9.-С. 112-113.

83. Штейнберг, Ш. Е. Идентификация в системах управления / Ш. Е. Штейнберг. — М.: Энергоатомиздат, 1987.— 80 с.

84. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния / П. Эйкхофф. — М.: Мир, 1975. — 241 с.