Численные методы обработки данных, основанные на сингулярно-спектральном и метрическом анализах, и их применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Удумян, Давид Каджикович

• Удумян, Давид Каджикович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Удумян, Давид Каджикович

Введение

1 Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе

1.1 Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе.

1.2 Вырожденный случай.

1.3 Примеры одномерной интерполяции

1.4 Примеры многомерной интерполяции.

2 Сглаживание и восстановление функций одной и многих переменных на основе метрического анализа

2.1 Схемы сглаживания и восстановления методом метрического анализа

2.2 Выделение детерминированной компоненты методом сингулярно -спектрального анализа.

2.3 Робастное сглаживание методом метрического анализа.

3 Выявление аномалий в солнечной активности на основе комплексных схем

3.1 Анализ модельных рядов.

3.2 Анализ вариаций потока ГКЛ.

4 Восстановление распределения энерговыделения в АЗ реакторов ВВЭР - 1000 с помощью схем, основанных на метрическом анализе

4.1 Восстановление распределения энсрговыделепия на примере модельных функций.

4.1.1 Восстановление энерговыделения по высоте.

4.1.2 Восстановление энерговыделения в плоскости.

4.2 Восстановление распределения энерговыделения для реальных данных

4.2.1 Восстановление энерговыделения по высоте.

4.2.2 Восстановление энерговыделения в плоскости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы обработки данных, основанные на сингулярно-спектральном и метрическом анализах, и их применения»

Обзор работ по тематике диссертации. Актуальность темы.

Обработка данных в различных областях науки, техники и социальных сферах с целью выявления из данных различного рода информации, описывающей рассматриваемую систему или процесс, является одним из основных актуальных направлений научных исследований как теоретического, так и практического характеров. Более того, в настоящее время исследуются все более сложные системы и процессы, данные о состоянии и поведении которых имеют сложные скрытые структуры и выявление из них интересующей исследователя информации требует создание более сложных комплексных схем, способных выявить такого рода информацию об исследуемой системе или процессе.

Одними из основных задач обработки данных являются: задачи интерполяции и восстановления значений исследуемой функциональной зависимости, в том числе, в условиях наличия в данных хаотических компонент; задачи выделение детерминированных, хаотических и аномальных компонент при восстановлении функциональных зависимостей но исходным неопределенным данным; задачи экстраполяции и прогнозирования значений исследуемых функциональных зависимостей.

К настоящему времени разработано много различных методов и схем, решающих различные частные задачи интерполяции и восстановления функций одной и многих переменных, а также выделения из исходных данных детерминированных, хаотических и аномальных компонент.

Задачи интерполяции и восстановления значений функций являются одними из основных задач математики, в том числе и особенно, для решения различных прикладных задач. Задачи интерполяции функций одной переменной ставились и решались со времен Лагранжа и к настоящему времени здесь получены достаточно завершенные результаты по разработке различных методов интерполяции и выявления свойств интерполяционных значений, включая проблемы погрешностей и сходимости интерполяционных значений к точным значениям. Необходимость приближенного представления функций - часто встречаемые задачи при решении прикладных проблем. Причинами появления такого рода задач являются, во-первых, необходимость замены сложной по своей структуре функции с трудно вычислимыми значениями, которую целесообразно заменить более простой, в том числе и по затратам на вычисления значений, функцией, проиграв, возможно, в точности, но выиграв в вычислительных затратах. Во-вторых, как правило, количество исходных заданных значений функции конечно, а в поставленной задаче требуется восстановление значений исследуемой функциональной зависимости потенциально в любой точке задаваемой области их изменения.

Классическая схема интерполяции основана на представлении исследуемой функции у(х) в виде линейной комбинации: где ^(ж), ] = 0,., т - система базисных функций, - искомые параметры.

Необходимо определить коэффициенты с3 так, чтобы ЬГ1(х) в заданных точках ж;. г — 1,., п принимала известные значения У^.

В схеме Лагранжа и ее модификациях в качестве базисной системы в (0.1) берутся полиномы.

Кроме полиномиальных приближений в работах К. Вейерштрасса, П. Л. Чебышева, С. Н. Бернштейна была развита теория дробно-рациональных приближений. Однако аппарат такого рода классических приближений часто не подходит для аппроксимации функций с небольшой гладкостью, а такие функции чаще всего и встречаются при обработке данных и решении прикладных задач.

Выяснилось, например, что интерполяция Лагранжа обеспечивает равномерную сходимость интерполяционных полиномов к исследуемой функции лишь для определённого класса гладких функций, например, бесконечно-дифференцируемых.

Доказано, что для любого варианта сгущения точек интерполяции а^, г = 1,., п можно найти такую непрерывную функцию у(х), принимающую значения в точках Хг, г = 1,., п что при п —> оо не стремится к у(х) равномерно [1].

Кроме этого, С.Н. Бернштейн доказал, что последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа Ьп(х) для функции у = |ж|, построенных на равномерной сетке г = —l + i■hi = 0,. ,п, к = "у, расходится в любой точке

Причиной расходимости является наличие у рассматриваемой функции угловой точки, в которой первая производная терпит разрыв. В частности, пример Бернштейна показывает, что даже наличие одной угловой точки может привести к расходимости последовательности интерполяционных полиномов на всем рассматриваемом промежутке.

В 1960-70 гг. как альтернатива интерполяционной схеме Лагранжа и других, основанных на ней интерполяционных схемах, были предложены и разработаны

0.1) з=о хф -1,0,1. схемы сплайн - интерполяций, которые обеспечивали равномерную сходимость интерполяционных сплайн - приближений для любой непрерывной функции [2,3]. Аппроксимация сплайнами в ее современном виде впервые появилась в статье Шенберга [2]. В настоящее время теория сплайнов и сплайн - аппроксимаций играет важную роль в теории и практики приближения функций. Кроме решения задач интерполирования и сглаживания функций сплайны используются для численного дифференцирования, численного интегрирования и численного решения дифференциальных уравнений. Следует отметить, что впервые основы сплайн функций были заложены в методе ломаных Эйлера для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближения сплайнами появились также при построении квадратурных формул. После 1946 г. Шенберг и некоторые его ученики продолжили изучение сплайнов. В частности, Шенберг и Уитни [4] впервые получили условия существования некоторых интерполяционных сплайнов. К вопросу существования сплайнов нечетной степени с интерполяцией в точках соединения возможен теперь более простой подход, разработанный Албергом, Нильсоном, Уолшем [3, 5-7). Следует отметить, что сплайн - аппроксимации использовал П. П. Корнейчук в связи с приближением дифференцируемых функций [8]. Из других пионерских работ по сплайн-аппроксимациям следует отметить работы В.М. Тихомирова [9] и Ю. П. Субботина [10-14].

Экстремальное свойство кубических сплайнов позволило на его основе разработать большое число схем, которые в зависимости от конкретных требований прикладной задачи вводили соответствующий функционал, аналогичный функционалу потенциальной энергии, минимум которого и обеспечивал подходящее решение задачи восстановления функциональной зависимости. Экстремальное свойство сплайн функций позволило, в частности, разработать схемы сглаживания (выделения детерминированных компонент), когда в вариационном функционале кроме функционала энергии добавляли функционал суммы квадратов невязок между заданными и восстанавливаемыми значениями с весами, обратными дисперсиям хаотической компоненты задаваемых значений функции.

В работе М. Атья [15] было дано обобщение сплайна как элемента абстрактного гильбертова пространства, доказаны теоремы существования и единственности сплайнов, даны алгоритмы для построения сплайнов. В дальнейшем (В.М. Морозов [16-18]) стала очевидной связь между теорией сплайнов и теорией регуляризации некорректных задач развиваемой школой советских математиков во главе с А. Н. Тихоновым [19].

В дальнейшем теория сплайнов развивалась в нескольких направлениях. Особенно важны обобщения на многие переменные. Первый шаг был сделан Биркгофом и Гарабедяном [20] затем удачное обобщение получил Де Бур [21), доказавший как существование, так и единственность определенных бикубических-интерполяционных сплайнов. Позднее Алберг, Нильсон, Уолш [3,5-7] обобщили экстремальное свойство одномерных кубических сплайнов на сплайны нескольких переменных. Для многомерных сплайнов были доказаны существование, единственность, свойство минимальной нормы и свойство наилучшего приближения. Вопросы сходимости можно свести к аналогичным вопросам для одномерных сплайнов, решения для которых известны [8-10,13,15,22-28].

Еще одним современным направлением решения задач восстановления функциональных зависимостей, в том числе в условиях неопределенности, является сингулярно - спектральный анализ (БЭЛ), продолжающийся интенсивно развиваться на протяжении последнего десятилетия [29-35]. ЭБА также основан на представлении восстанавливаемой функций в виде линейных комбинаций базисных функций, но в отличие от классических методов восстановления, включая сплайн - аппроксимации, ЭБА не фиксирует априори класс базисных функций, а строит его на основе заданных значений функции, учитывая специфические особенности исследуемой функции.

Схема представления функций в виде линейных комбинаций базисных функций, в том числе полиномов и сплайн-аппроксимаций, в принципе, могут быть обобщены на функции многих переменных, но практически такие схемы являются работоспособными только для небольшого числа переменных. Например, многомерные интерполяционные или сглаживающие сплайны типа тонкой пластины, вводимые через их экстремальное свойство могут быть практически построены только в случае, когда число аргументов восстанавливаемой функции не превышает 5-7. Для функций большого числа переменных эффективных общих схем интерполяции и прогнозирования до сих пор нет. Имеются лишь различные приближенные схемы интерполяции типа линейно-кусочных, которые с одной стороны требуют для своей реализации большого числа данных, с другой стороны даже при большом числе данных часто не обеспечивают нужной точности [3641]. Примером таких схем являются также нейронные сети, с помощью которых производится интерполирование функций многих неременных [42,43].

Нейронные сети в принципе позволяют с любой точностью вычислять значения произвольной непрерывной функции /(ху,., хп). Имеется много демонстраций возможностей искусственных нейронных сетей: сеть может превращать текст в фонетическое представление, которое затем с помощью уже иных методов превращается в речь; другая сеть может распознавать рукописные буквы; сконструированы системы сжатия изображений, основанные на нейронных сетях. Большинство из них использует алгоритм обратного распространения - один из наиболее эффективных современных алгоритмов обучения нейронных сетей. Однако у нейронных сетей имеются ряд недостатков, не позволяющих эффективно использовать их для решения ряда задач интерполяции, восстановления функции многих переменных, а также решению задач экстраполяции и прогнозирования. По своей сути нейронная сеть является универсальным апнроксиматором. Это означает, что в процессе настройки она не вычисляет искомую функцию, а лишь подбирает внутренний набор функций, при сложении которых образуется функция, выдающая на выходе ряд значений, напоминающий исходный ряд, предъявленный ей в процессе обучения (наподобие аппроксимационному нолиному). Отсюда следует вывод, что выходные данные работающей нейронной сети всегда будут содержать ошибку, причем величина этой ошибки никогда заранее не известна. Известно только, что в процессе обучения данная ошибка, возможно, будет уменьшена до некоторого приемлемого уровня. Текущая точка нейросетевой схемы в процессе обучения изменяет свое положение по направлению к глобальному минимуму целевой функции. Причем сеть может застрять в локальном минимуме часто очень далеко от глобального. Если наклон в районе локального минимума достаточно большой, а шаг обучения слишком мал, чтобы рабочая точка вышла на его край, наступает состояние, называемое параличом сети, при котором сеть на обучающей выборке дает недостаточно точные результаты, а обучение при этом все равно останавливается.

В настоящее время для решения многих прикладных задач с помощью компьютерной техники имеется острая необходимость в разработке универсального метода интерполяции и восстановления функций многих переменных у = Р(Х) в том числе в условиях наличия хаотических погрешностей в известных значениях функции для точек Х1,.,Хп £ Ет, по коюрым восстанавливаются значения функции в других точках пространства Ет.

Одной из целей настоящей работы является разработка комплексных схем, позволяющего эффективно с помощью компьютерной техники решать задачи интерполяции, экстраполяции и восстановления функций одной и многих переменных без фиксации априори вида функциональной зависимости от аргументов, а используя, как правило, только информацию, имеющуюся в реализованных значениях функции У\,.,Уп в точках Х\,., Хп, в том числе и в условиях наличия хаотических погрешностей в значениях У\,. ,Уп.

Целью диссертационной работы является создание методов, вычислительных алгоритмов и программ решения сложных задач обработки данных с помощью сингулярно-спектрального и метрического анализов, достижение которой включает в себя:

1. Создание новых эффективных методов интерполяции и восстановления значений функций одной и многих переменных, основанных на метрическом анализе;

2. Разработку комплексной схемы и программы обработки неопределенных данных, включая выделение детерминированных и хаотических компонент, основанных на сингулярно - спектральном анализе и способных выявить особенности в регистрируемых излучениях солнечной активности;

3. Разработку схемы и программы высокоточного восстановления поля распределения энерговыделения в активной зоне (АЗ) ВВЭР с помощью методов, основанных на метрическом анализе.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Создать новые эффективные методы интерполяции, основанные на метрическом анализе, и их реализации в виде программ;

2. Создать новые эффективные методы восстановления, основанные на метрическом анализе, и их реализации в виде программ;

3. Обосновать сходимость интерполяционных и восстановленных значений к точным значениям функции для созданных методов;

4. Разработать и реализовать в виде программы схему выявления особенностей в солнечной активности в условиях больших уровней зашумленности в регистрируемых сигналах, на основе сингулярно - спектрального и всйвлет анализов;

5. Разработать схему и программу высокоточного восстановления поля энерговыделения в активных зонах реакторов.

Методы исследований

Сингулярно - спектральный анализ позволяет эффективно выделить из сильно зашумленных временных рядов трендовые составляющие;

Всйвлет - анализ позволяет после выделения трендовой составляющей обнаруживать непериодические аномальные структуры в исследуемых временных процессах;

Метрический анализ дает возможность конструировать эффективные методы интерполяции и восстановления значений функций одной и многих переменных даже при небольшом числе исходных данных.

Научная новизна

1. Созданы новые методы и программы интерполяции функций, основанные на метрическом анализе;

2. Созданы новые методы и программы восстановления функций одной и многих переменных, основанные на метрическом анализе;

3. Разработана новая комплексная схема и программа выделения скрытых аномалий в исследуемых хаотических временных процессах, основанные на сингулярно - спектральном и вейвлет анализах;

4. Разработана новая схема, основанная на метрическом анализе, и программа для восстановления распределения энерговыделения в A3 реакторов ВВЭР с учетом показаний датчиков внутриреакторного контроля.

Практическая значимость результатов

Предложенные и разработанные в диссертации методы, схемы и программы интерполяции и восстановления функциональных зависимостей могут применяться в различных областях для обработки экспериментальных или статистических данных, особенно при решении задач восстановления функциональных зависимостей от многих переменных, в частности многомерных временных процессов. В настоящее время разработанные в диссертации методы, схемы и программные коды используются ири обработке данных состояний литосферы и биосферы и для решения задач, связанных с восстановлением распределения энерговыделения в A3 ядерных реакторов ВВЭР-1000. Часть диссертационной работы выполнялась в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России".

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что при аналитических и численных исследованиях в диссертации использовались строгие и обоснованные методы: сингулярно - спектральный анализ, вейвлет - анализ, апробированные схемы метрического анализа. В то же время в диссертации проведен ряд исследований по обоснованию разработанных новых методов, в частности, доказаны теоремы сходимости для методов интерполяции и восстановления значений функций, проведены сравнения численных результатов с результатами, полученными с помощью апробированных классических методов и сравнением с реальными экспериментальными данными.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены автором. В работах, отражающих содержание диссертации и выполненных в соавторстве, автору принадлежит равный вклад в разработку математических моделей, методов и алгоритмов численных решений рассматриваемых задач и их программную реализацию.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты были доложены на: Международной конференции "Mathematical Modeling and Computational Physics 2009, Дубна, Всероссийской конференции "Фундаментальные физико -математические проблемы и моделирование технико - технологических систем" (2008, 2009 гг.); Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (2009, 2010, 2011 гг.); Научных сессиях МИФИ (2008, 2009, 2010, 2011 гг.); отраслевом научном семинаре в Курчатовском научном центре (2010 г.); научном семинаре под руководством профессора В.В. Иванова (Лаборатория Информационных Технологий Объединённого Института Ядерных Исследований); научном семинаре по математическому моделированию под руководством профессора Л. А. Севостьянова (РУДН, 2009 - 2011 гг.); научном семинаре под руководством профессора H.A. Кудряшова (МИФИ).

Публикации. Полученные в диссертации результаты представлены в 22 работах из них 5 в журналах списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Список цитируемой литературы содержит 96 наименований. Общий объем диссертации 122 с.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Удумян, Давид Каджикович

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Созданы новые методы и программы интерполяции и восстановления функций одной и многих переменных, основанные на метрическом анализе;

2. Доказаны теоремы сходимости полученных интерполяционных и восстановленных значений к точным значениям функции;

3. Разработаны и реализованы метод и программа выделения полезного сигнала в сильно зашумленных временных процессах. Разработанные метод и программа позволяет выделять из регистрируемого сигнала компоненту, связанную с солнечной активностью, при превышении шума иад полезным сигналом в 34 раза;

4. Разработан метод, основанный на метрическом анализе, и программа для высокоточного восстановления распределения энерговыделения в АЗ ВВЭР.

Заключение

Как видно из приведенных в главе 1 примеров, интерполяция методом метрического анализа обеспечивает эффективные результаты. Интерполяция методом метрического анализа, в отличие от сплайн интерполяции, не предполагает задания базисной системы функций, а к каждой точке, в которой ищется интерполяционное значение, применяется индивидуальным подход с учетом взаимного расположения этой точки по отношению к интерполяционным узлам.Отметим, что количество арифметических операций для реализации интерполяции растет пропорционально М,где М- количество точек, в которых необходимо получить интерполяционные значения.

Предложенные во второй главе диссертации схемы, основанные на метрическом анализе позволяют эффективно с использованием всей имеющейся информации детерминированного и стохастического характеров восстанавливать значения функции с учетом погрешностей в заданных значениях функции и с учетом расположения точки, в которой восстанавливается функция, по отношению к совокупности точек, в которых значения функции известны.

Предложенная в главе 3 диссертации комплексная схема, основанная на сингулярно - спектральном и вейвлет анализах, позволяет выявлять аномальные явления в сильно зашумленных временных процессах. С помощью э гой комплексной схемы удается выявить

Применение схем восстановления значений функции одной и многих переменных, основанных на метрическом анализе, к восстановлению распределения энерговыделения в АЗ ВВЭР - 1000, как показали численные результаты, приведенные в главе 4 диссертации, позволяют в несколько раз увеличить точность восстановленных значений по сравнению с расчетными значениями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Удумян, Давид Каджикович, 2011 год

1. Гончаров В. JI. Теория интерполирования и приближения функций.— М.: Гостехиздат, 1954.

2. Schoenberg I. J. Contribution to problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Qurt. Appl. Math. — 1946. — Vol. 4. — P. 45-99.

3. Alberg J. H., Nilson E. N. Convergence properties of the spline fit. // Notices Am. Math. Soc. — 1961,— P. 61-219.

4. Schoenberg I. J. On trigonometric spline interpolation // J. Math. Mech. — 1964. — Vol. 13. P. 795-825.

5. Alberg J. H., Nilson E. N. Orthogonality properties of the spline functions // J. Math. Anal. Appl. 1965. - P. 321-337.

6. Alberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. Fundamental properties of generalized splines // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1964. — Vol. 52. - P. 1412-1419.

7. Alberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. Extremal, orthogonality, and convergence properties of multi-dimensional splines //J. Mat. Anal Appl.— 1965.— Vol. 11.— P. 27-48.

8. Корнейчук H. П. Сплайны в теории приближений. — М.: Наука, 1984.

9. Тихомиров В. М. Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференцируемых функций в пространстве с(-1,1) // Матем. сб. — 1969. — Т. 80(122), № 2,- С. 290-304.

10. Стечкин С. В., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1976.

11. Субботин Ю. Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Труды Матем. ин-та АН СССР. — 1965. — Т. 78.— С. 24-42.

12. Субботин Ю. Н. Об одном линейном методе приближения дифференцируемых функций // Матем. заметки. — 1970. — Т. 7, № 4. — С. 423-430.

13. Субботин Ю. H., Черных H. И. Порядок наилучших сплайн приближений некоторых классов функций // Матем. заметки. — 1970. — Т. 7, № 1. — С. 31-42.

14. Субботин Ю. Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей производной // Труды Матем. ин-та АН СССР. — 1967. — Т. 88.

15. Atteia M. Generalisation de la definition et des propriétés des "spline funcion-// Compt. Rend. 1965. - Vol. 260. — P. 3550-3553.

16. Морозов В. A. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченного оператора // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1971. - Т. И, j\« 3. - С. 545-548.

17. Морозов В. А. О приближенном решении операторных уравнений методом сплайнов // ДАН СССР. - 1971. — Т. 200, № 1. - С. 35-39.

18. Морозов В. А. О выборе параметра при решении функциональных уравнений методом регуляризации // ДАН СССР. - 1967.- Т. 175, № 6. — С. 1225-1228.

19. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректных задач.— М.: Наука, 1987.

20. Birkhoff G., Garabedian H. Smooth surface interpolation // J. Math. Pys. — 1960. — Vol. 13. P. 258-268.

21. De Boor С. Best approximation properties of spline funcions of odd degree // J. Math. Mech. 1964. - Vol. 13. — P. 827-835.

22. Василенко В. А. Сходимость сплайнов в гильбертовом пространстве // Числ. лгетоды механики сплош. среды, Новосибирск. — 1972. — Т. 3, № 3. — С. 18-23.

23. Великий В. Л. О наилучшем приближении сплайн-функциями на классах непрерывных функций // Матем. заметки.— 1970.— Т. 8, № 1.— С. 41-46.

24. Галкин П. В. О разрешимости задачи периодической сплайн интерполяции // Матем. заметки. — 1970. — Т. 8, № 5.

25. Завьялов Ю. С. Экстремальное свойство кубических многозвенников (сплайнов) и задача сглаживания // Вычислительные системы, Новосибирск. — 1970. — Т. № 42. - С. 89-108.

26. Завьялов 10. С., Имамов А. Алгоритмы с расщеплением решения задачи сглаживания сплайн-функциями многих переменных // Числ. методы механики сплош. среды, Новосибирск. — 1976. — Т. 7 № 6. — С. 52-61.

27. Имамов А. О некоторых экстремальных свойствах сплайнов многих пременных // Вычислительные системы, Новосибирск.— 1975.— Т. № 65. С. 68-73.

28. Мирошниченко В. Л. Об интерполировании кубическими сплайнами // Вычислительные системы, Новосибирск. — 1973. — Т. № 56. — С. 18-22.

29. Под ред. Данилова Д. Л. и Жиглявского А. А. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница», — СПб.: СПбГУ, 1997.

30. Голяндина Н. Э. Метод Гусеница SSA: анализ временных рядов. — Санкт-Петербургский государственный университет, 2004.

31. Доронин Г. Я. К вопросу о формулах механических квадратур // Сборник научных трудов Днепропетр. иною.-стр. ин-та. — 1955. — Т. N2 1-2. — С. 210.

32. Eisner J. В., Tsonin A. A. Singular spectrum Analysis. New Tool in Time Series Analysis. — N. Y.: Plenum Press, 1996.

33. Jolliffe I. T. Principal Component Analysis. Springer Series in Statistics.— N. Y.: Springer-Ver lag, 1986.

34. Singular system analysis with application to dynamical systems / D. S. Broomhead, R. Jones, G. P. King, E. R. Pike. — In: Chaos, Noise and Fractals, ed. by E. R. Pike and L. A. Lugaito. - Bristol: IOP Publishing, 1987.

35. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure. SSA and Related Techniques. — Chapman & Hall / CRS, 2001.

36. Брудный Ю. А., Гопенгауз И. E. Приближение кусочно-полиномиальными функциями // Изв. АН СССР, сер. матем.— 1963. — Т. 27, № 4. С. 723-743.

37. Василенко В. А., Ковалков А. В., Зюзин М. В. Библиотека программ для аппроксимации функций и обработки данных, вариант алгол бэсм-6 // Препринт № 270. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР.— 1981.

38. Логинов А. С. Приближение непрерывных функций ломаными // Матем. заметки. — 1969. — Т. № 2. — С. 149-160.

39. Мирошниченко В. Л. Интерполяция функций с большими градиентами // В кн.: Методы аппроксимации и интерполяции. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. — 1981.- С. с. 27-35.

40. Малоземелов В. Н. Об отклонении ломаных // Матем. заметки. — 1967. — Т. 1, № 5. С. 537-540.

41. Петерсон И. О кусочно-полиномиальньной аппроксимации // Изв. АН Эст. ССР., сер. физ.-матем. и техп.— 1962.— Т. 1.

42. Горбань А. Н., Дунии-Варковский В. Л. Кирдин А. Н., и др. Нейроинформатика. — Новосибирск: Наука. Сибирское предприятие РАН, 1998.

43. Ежов А. А., А. Ш. С. Нейрокомпьютинг и его применения. — М.:, 2000.

44. Крянев А. В., Лукин Г. В. Метрический анализ для интерполяции и прогнозирования функций многих переменных // М.: Препринт МИФИ, 0032005.

45. Крянев А. В., Лукин Г. В. Метрический анализ и обработка данных.— М.: Физматлит, 2010.

46. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

47. Ашкеназы В. О. Сплайн-поверхности: Основы теории и вычислительные алгоритмы. Учебное пособие. — Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003.

48. Meinguet J. Multivariate interpolation at arbitrary points made simple // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). — 1979. — Vol. 30.

49. Kryanev A. V., Lukin G. V., Udumyan D. K. Metric analysis and applications // Numerical Methods and Programming. — 2009. — Vol. V. 10. — P. P. 408 414.

50. Крянев А. В., Лукин Г. В., Удумян Д. К. Схемы прогнозирования временных процессов и их применение к анализу динамики макроэкономических показателей / / Вестник Университета (Государственный Университет Управления). 2009. - Т. № 2. — С. С. 270 - 272.

51. Применение авторегрессионных моделей для прогнозирования рынка урана / А. В. Крянев, А. Н. Панферова, Н. С. Ростовский и др. // Труды научной сессии НИЯУ МИФИ. т. 6, с. 61 64.- 2010.

52. Интерполяция и прогнозирование функций одной и многих переменных с помощью метрического анализа. / А. В. Крянев, Г. В. Лукин, Д. К. Удумян и др. // Науч. сессия МИФИ-2009: Сб. науч. тр. М.: МИФИ. — 2009.— Т. 2.— С. 133.

53. Витязев В. В. Спектрально-корреляционный анализ равномерных временных рядов. Учебное пособие.— СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001.

54. Крянев А. В., Лукин Г. В. Математические методы обработки неопределенных данных. — М.: Физматлит, 2003.

55. Арсенин В. Я., Крянев А. В., Цупко-Ситников М. В. Применение робастных методов при решении некорректных задач // ЖВММФ. — 1989. — Т. 29, № 5. — С. 653-661.

56. Крянев А. В., Черный А. И. Робастные линейные сглаживающие сплайны и их применения // Препринт 006 97. - М.: МИФИ. — 1997.

57. Выделение детерминированных компонент из неопределенных данных / В. П. Березнев, А. Н. Васильева, В. В. Иванов и др. // Труды 46 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, с. 139 141.-2010.

58. Выделение детерминированных компонент из зашемленных данных / В. П. Березнев, А. Н. Васильева, В. В. Иванов и др. // Труды научной сессии НИЯУ МИФИ. т.З, с. 155 158. - 2010.

59. Робастные схемы выделения многомерных детерминированных компонент из зашумленных данных / А. В. Крянев, С. Г. Климанов, Д. К. Удумян и др. // Науч. сессия МИФИ 2011.

60. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов.— М.: Мир, 1982.

61. Витязев В. В. Вейвлет анализ временных рядов. Учебное пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001.

62. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

63. Короновский А. А., Храмов А. Е. Непрерывный вейвлет анализ и его приложения.--М.: Физматлит, 2003.

64. Hernander Е., Weiss G. A First Course of Wavelets.--CRS press, 1996.

65. Daubechies I. Ten lectures on wavelets.--SIAM, 1992.

66. Keizer G. A. A Friendly Guide to Wavelets. — Birk, 1995.

67. Debnath L. Wavelet Transforms and Their Applications. — Hardcover Edition, 2002.70. http://www.astronautix.com/craft/ace.htm.

68. Черток И. M. Корональные выбросы массы и их роль в космической погоде // Солнечно-земная физика. Иркутск. — 2002. — Т. Вып.2(115). — С. 7- 9.

69. Борог В. В., Баскин А. Г., Симаков П. О. Методика ранней диагностики солнечных ударных волн на орбите земли // Научная сессия МИФИ-2001, Сб. научн. трудов, т. 7. с. 18-19.— 2001.

70. Борог В. В. Мюонная томография новый метод дистанционного мониторинга гелиосферы и атмосферы земли // Сб. Трудов III Всерос. научн. конфер. "Физические проблемы экологии". М. МГУ. т. 7. с. 5-14.— 2001.

71. Belonosova О. V., Borog V. V., Simakov Р. О. The technique of registration of forbuch-decrease in tomography mode // 18th European Cosmic Ray Symposium. Moscow. Abstracts. SH22P. — 2002. Jule 8-12.

72. Белоносова О. В., Борог В. В., Симаков П. О. Методика регистрации форбуш-эффекта в томографическом режиме // Изв. РАН. сер. физ. — 2003. — Т. т.67. № 4. С. 515-518.

73. The technique of forbush decrease registration in tomography mode / О. V. Belonosova, V. V. Borog, A. A. Petrukhin, P. O. Simakov // Proc. 28th ICRC. Tsukuba. p. 3627-3630. — 2003.

74. Борог В. В., Белоносова О. В., Орлова Т. А. Патрулирование солнечной погоды с помощью наземного мюонного годоскопа-томографа // Изв. PAII. сер. физ. — 2006,- Т. 70. № 10. С. 1549-1552.

75. Lepping R. P., Burlaga L. Р., Jones J. A. Magnetic field structure of interplanetary magnetic clouds // at 1 AU. J. Geophys. Res.— 1990.— Vol. № 95.— P. 11.95711.965.

76. Bothmer V., Schwenn R. The structure and origin of magnetic clouds in the solar wind // Ann. Geophys. — 1998. —Vol. 16. — P. 1-24.

77. Борог, в. в. and крянев, a. в. and удумян, д. к. комбинированный метод выявления скрытых аномалий в одномерных и многомерных хаотических временных процессах, препринт мнфи, 001 2008.

78. Борог В. В., Крянев А. В., Удумян Д. К. Комбинированный метод выявления скрытых аномалий в вариациях галактических космических лучей // Геомагнетизм и аэродиномия. — 2011. — Т. №4. — С. 1-8.

79. Загребаев А. М., Овсянникова Н. В., Розанова M. Н. Исследование информативности системы датчиков внутриреакторного контроля // Научная сессия МИФИ: Сб. науч. трудов, т. 8, Ядерная энергетика. — 2006,— С. 84-85.

80. Загребаев А. М., Прохорова И. В., Овсянникова Н. В. Информационный подход при решении задач контроля поля энерговыделения в ядерном реакторе // Изв.высш. учеб. завед. — 2010. — Т. №1. — С. 13-19.

81. Митин В. И., Семченков Ю. М., Калинушкин А. Е. Развитие системы виутриреакториого контроля ввэр // Атомная энергия. — 2009. — Т. 106, вып. 5. С. 278-285.

82. Крянев A. В., Удумян Д. К. Интерполяция функций одной и многих переменных с помощью схем, основанных на метрическом анализе, и их применение в ядерной физике // Ядерная физика и инжиниринг. — 2010. — Т. 1, №6.

83. Крянев А. В., Курченков А. Ю., Удумян Д. К. Восстановление распределения тепловыделения в аз ввэр 1000 с помощью метрического анализа / / Труды научной сессии НИЯУ МИФИ. т.З, с. 152 - 154. — 2010.

84. N (в %) Ма (в %) аг восст-я Мет восст-яв %) (в%)1 0.1744 5.62452 1.0851 0.83653 1.2161 0.78034 1.2463 1.3568 1.2129 1.97445 1.5844 0.77486 1.9616 0.48417 2.2299 4.1075