Численные методы, использующие старшие производные, для обыкновенных дифференциальных уравнений с контролем точности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Меркулов, Аркадий Игоревич

• Меркулов, Аркадий Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Меркулов, Аркадий Игоревич

Введение

1. Обзор литературы

1.1. Одношаговые методы.

1.2. Жесткие уравнение и понятие устойчивости.

1.3. Итерационные процессы.

1.4. Автоматический контроль точности вычислений.

2. Е-методы и их устойчивость

2.1. Пример построения Е-метода.

2.2. Е-методы со старшими производными.

2.3. А-устойчивость Е-методов со старшими производными

2.4. Формулировка комбинированных Е-методов.

2.5. Исследование сходимости комбинированных Е-методов

3. Эффективная реализация Е-методов и контроль точности

3.1. Применение предикторов.

3.2. Итерации Ньютона общего вида.

3.3. Локально-глобальный контроль точности.

А. Библиотека программ

А.1. Функции и структуры для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

А.1.1. Заголовочный файл numerics .h.

А.1.2. Структура odestruct. it А.1.3. Структура solveropt.

А.1.4. Структура statistics.

А.1.5. Заголовочный файл emeth.h.

А. 1.6. Пример использования функций библиотеки. Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы, использующие старшие производные, для обыкновенных дифференциальных уравнений с контролем точности»

Известно, что многие математические модели динамического типа в области биологии, медицины, механики, электротехники, химической кинетики и т. д. представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Очень часто аналитическое решение указанных систем найти крайне сложно или вообще невозможно. Поэтому для практического исследования таких моделей используют разного рода численные методы.

Естественно, что наибольший интерес представляют высокоточные методы, имеющие высокий порядок сходимости. В виду того, что построение данных методов представляет собой довольно трудоемкий процесс, актуальным является разработка методик, позволяющих облегчить процесс формулировки методов и определения порядка их сходимости. В диссертации указанную проблему предлагается решить с помощью ^ явного вывода класса методов, использующих старшие производные.

Отметим также, что практическое использование численных методов невозможно без внесения определенных ошибок в получаемые результаты. Поэтому крайне актуальной задачей является исследование методик оценки локальной и глобальной ошибок для полученного класса одно-шаговых методов и построение на их основе алгоритмов, позволяющих достичь любую разумную наперед заданную точность вычислений в автоматическом режиме.

Таким образом, целью диссертации является разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов, использующих старшие производные, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом важнейшей задачей, имеющей большое прикладное значение, является обеспечение заданной точности вычислений в автоматическом режиме.

Диссертация имеет как теоретическую, так и практическую ценность. Полученные в ней теоретические результаты представляют интерес для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с ^ контролем глобальной ошибки, что в прикладном аспекте создает плодотворную базу для разработки автоматизированных систем математического моделирования в различных областях науки. При этом способность обеспечивать заданную пользователем точность вычислений в автоматическом режиме существенно повышает достоверность математического моделирования на практике. ^ Приведем краткое содержание диссертации, состоящей из трех глав и приложения.

Первая глава, носит вводный, вспомогательный характер и обозначает основные достижения в области исследования одношаговых методов, включая алгоритмы вычисления и управления их локальной и глобальной ф ошибками в процессе счета.

В параграфе 1.1 изложены базовые результаты, полученные в области одногошаговых методов для численного решения ОДУ. Приведена последовательность развития теории указанных методов от явных к методам со старшими производными. Параграф 1.2 посвящен рассмотрению жестких задач и связанных с ними аспектов теории устойчивости одношаговых методов. Необходимость применения итерационных алгоритмов для реализации неявных методов стало причиной детального исследования теории итерационных процессов в параграфе 1.3. Наконец, параграф 1.4 посвящен такому важному аспекту как построение алгоритмов для автоматического контроля точности на практике.

Вторая глава, состоящая из шести параграфов, посвящена решению задачи построения исследуемого класса методов и рассмотрению основных аспектов их практической реализации. Именно глава 2 содержит основные теоретические результаты данной диссертации.

В параграфах 2.1 и 2.2 приведена методика построения методов со старшими производными на основе использования интерполяционных полиномов Эрмита, выведены явные формулы для вычисления коэффициентов методов, показана сходимость всего класса методов и выведены оценки их погрешности. Параграф 2.3 посвящен исследованию устойчивости нового класса численных методов.

В параграфах 2.4 и 2.5 рассмотрены различные аспекты практической реализации указанных методов в силу их неявного характера. Во-первых, на основе метода простых итераций и итераций Ньютона были построены три класса комбинированных алгоритмов. Во-вторых, исследован вопрос о сходимости полученных методов и выведены оценки их погрешности. В-третьих, приведены результаты численных экспериментов, подтверждающих теоретические выкладки.

Третья глава, состоящая из трех параграфов, посвящена решению задачи эффективной реализации предложенных в диссертации методов, а ф также обеспечению заданной точности вычислений на основе автоматического управления размером шага интегрирования.

Во-первых, в параграфе 3.1 рассмотрен вопрос о применении предикторов для вычисления стартовых значений итерационных процессов, что в практическом плане приводит к сокращению числа итераций, требуемых для достижения максимального порядка сходимости. Затем, в параграфе 3.2 выведена асимптотическая оценка погрешности для методов ньютоновского типа, что позволило разработать четвертый тип комбинированных алгоритмов, построенный с использованием упрощенных итераций Ньютона и направленный на сокращение вычислительных затрат для каждой отдельной итерации. В завершении, в параграфе 3.3 ранее изученные способы оценки и автоматического контроля локальной и глобальной ошибок адаптированы для Е-методов со старшими производными. Все теоретические выводы подтверждены результатами численных экспериментов.

В приложении, состоящем из одного параграфа, дано описание библиотеки программ, разработанной и использованной для проведения всех практических расчетов в рамках работы над диссертацией. Библиотека является набором процедур, написанных на языке С++ и ориентированных на решение систем ОДУ с заданной точностью.

Итак, основные результаты диссертации следующие:

1) Построено семейство Л-устойчивых одношаговых коллокационных методов, использующих старшие производные, для нахождения численного решения систем ОДУ, в том числе и жестких задач.

2) Исследована сходимость и точность указанных численных методов.

3) Разработана методика корректной реализации Е-методов со старшими производными на практике.

4) Исследован вопрос применения предикторов и выведен рекомендуемый тип предикторов с соответствующей коррекцией алгоритмов.

5) Выведена асимптотическая оценка погрешности для методов ньютоновского типа и предложена на ее основе схема упрощенных итераций Ньютона, оптимизирующих реализацию разработанных в диссертации алгоритмов.

6) Предложенные ранее способы оценки и автоматического контроля локальной и глобальной ошибок адаптированы для Е-методов со старшими производными.

Кроме того, в прикладном аспекте важной является разработка библиотеки программ, позволяющей решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений с любой разумной наперед заданной точностью.

Таким образом, в диссертации решен ряд трудных и актуальных задач теории численных методов для математических моделей динамического типа.

Основные результаты диссертации доложены: на XXV-XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2003-2004), на пятой международной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2003), на 2nd International Conference on Computer Science and its Applications (Assisi, Italy, 2004), на 4th International Conference on Computer Science (Krakow, Poland, 2004), на научно-исследовательских семинарах Вычислительного центра РАН, Института вычислительной математики РАН, механико-математического факультета МАИ, механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и механико-математического факультета УлГУ.

По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе [22]—[23], [32]—[35], [116, 117]. При этом результаты из работ, подготовленных в соавторстве, либо использованы частично, в соответствии с личным вкладом каждого автора ([22, 24, 25, 23]), либо приведены в переработанном виде ([116, 117]).

Автор считает приятной обязанностью выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., доценту Куликову Г.Ю. за постоянное внимание и помощь в работе, а также академику РАН Бахвалову Н.С., профессорам Семушину И.В. и Горбунову В.К. за плодотворное обсуждение результатов, полученных на разных этапах подготовки диссертации.

Кроме того, необходимо отметить, что развитие данной тематики в России было бы невозможно без финансовой поддержки со стороны: Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 98-01-00006, 1998-2000; проект № 01-01-00066, 2001-н. вр.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Меркулов, Аркадий Игоревич, 2005 год

1. Арушанян О.В., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. // М.: Изд-во МГУ, 1990.

2. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием интерполяционного полинома Эр-мита// Жур. вычисл. матем. матем. физ. 1998. Т. 38. № 10. С. 16651670.

3. Бахвалов Н.С. К оценке ошибки при численном интегрировании дифференциальных уравнений экстраполяционным методом Адам-са// ДАН СССР. 1955. Т. 104. № 5. С. 683-686.

4. Бахвалов Н.С. Некоторые замечания к вопросу о численном интегрировании дифференциальных уравнений методом конечных разностей// ДАН СССР. 1955. Т. 104. № 6. С. 805-808.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы: Учебное пособие. М.: Наука, 1975.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учебное пособие. М.: Наука, 1987.

7. Березин И.е., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: ГИФМЛ, 1962.

8. Канторович JI.B. Принцип мажорант и метод Ньютона // ДАН., 1951, Т. 76, С. 17-2012. канторович ji.в. Некоторые дальнейшие приложения принципа мажорант // ДАН., 1951, Т. 80, С. 849-852

9. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах // М., 1959

10. Коллатц JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений. // М.: ИЛ, 1953

11. Куликов Г.Ю. Теоремы сходимости для итеративных методов Рунге-Кутты с постоянным шагом интегрирования// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 8. С. 73-89.

12. КУЛИКОВ Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором// Ж. вычисл. матем. матем. физ. 1998. Т. 38. № 1. С. 68-84.

13. Куликов Г.Ю. Асимптотические оценки погрешности метода простых итераций, модифицированного и обобщенного методов Ньютона// Мат. заметки. 1998. Т. 63. № 4. С. 562-571.

14. Куликов Г.Ю. Об одном способе контроля ошибки для методов Рунге-Кутты// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 10. С. 1651-1653.

15. Куликов Г.Ю. Об использовании итерационных методов ньютоновского типа для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 8. С. 1180-1189.

16. Куликов Г.Ю. О неявных экстраполяционных методах для систем дифференциально-алгебраических уравнений// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Мат. Мех. 2002. № 5. С. 3-7.

17. Куликов Г.Ю. Численные методы с контролем глобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Ульяновск: Ульяновский гос. университет, 2002. 315 с.

18. Куликов Г.Ю., Меркулов А.И. Об асимптотической оценке погрешности методов ньютоновского типа и ее практическом применении // Фундаментальные пробл. матем. и механ. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. Вып. 1(13). С. 36-47.

19. Куликов Г.Ю., Меркулов А.И. Об одношаговых коллокацион-ных методах со старшими производными для решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 10. С. 1782-1807.

20. Куликов Г.Ю., Меркулов А.И., Хрусталева Е.Ю. О квадратичной экстраполяции, основанной колокационных методах со старшими производными // Фундаментальные пробл. матем. и ме-хан. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. Вып. 1(13). С. 48-62.

21. Курант Р., Фридрихс К., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики.// Усп. матем. наук, 1940, вып. 8, С. 125160.

22. ЛЕБЕДЕВ В.И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений. // Вычислительные процессы и системы, вып. 8. под ред. Г.И. Марчука. М.: Наука, 1991, С. 237-291.

23. ЛЕБЕДЕВ В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2000.

24. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Об использовании упорядоченных чебышевких параметров в итерационных методах. // ЖВМ и МФ, 1976, Т. 16, Н. 4, С. 895-907

25. Лебедев В.И., Медовиков А.А. Явный метод второго порядка точности для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // Известия ВУЗ, сер. Матем., 1998, Н. 9, С. 55-63

26. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учебное пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

27. Меркулов А.И. Об одном методе, использующем производные высших порядков, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Фундаментальные пробл. матем. и механ. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2002. Вып. 1(11). С. 120-126.

28. Новиков В.А., Новиков Е.А. О повышении эффективности алгоритмов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений за счет контроля устойчивости// Жур. вычисл. матем. ма-тем. физ. 1985. Т. 25. № 7. С. 1023-1030.

29. Новиков Е.А. Оценка глобальной ошибки А-устойчивых методов решения жестких систем// Доклады академии наук. 1995. Т. 343. № 4. С. 452-455.

30. НЬЮТОН Ис. Математические начала натуральной философии // Собрание трудов академика А.Н. Крылова Т. VII. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936.

31. Ортега Дж., РеЙНБОЛДТ В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.40. ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

32. РакитскиЙ Ю.В., Устинов С.М., ЧерноруцкиЙ И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1979.

33. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для ВУЗов. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1989.

34. ХаЙРЕР Э., нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

35. ХаЙРЕР Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.

36. Шиндин С.К. Автоматическое управление точностью численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений линейными многошаговыми методами : Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ульяновск: Ульяновский гос. университет, 2003.

37. IHTETTEP X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978.

38. ЭЙЛЕР JI. Интегральное исчисление. // М.: Гостехиздат, 1956 Т. 1 С. 415

39. Aid R., Levacher L. Numerical investigations on global error estimation for ordinary differential equations// J. Comput. Appl. Math. 1997. V. 82. P. 21-39.

40. Blutel E. Sur l'application de la methode d'approximation de Newton a plusiers inconnues// C.R. 1910 P. 1109-111252. de Boor C., Sawrtz B. Collocation at Gaussian points // SIAM J. Numer. Anal. 1973 V. 10 P. 582-606

41. Bussmann K. Ph. D. Diss. // Inst, of Techn. Braunschweig, Germany, * 1940

42. Butcher J.C. Coefficients for the study of Runge-Kutta integration processes // J. Austral. Math Soc. 1963. V. 3, P. 202-206.

43. Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta processes// Math Comput. V. 18, P. 50-64.

44. Butcher J.C. On Runge-Kutta processes of high order// J. Austral. Math Soc. V. IV, part 2, P. 179-194.57. butcher J.C. Integration processes based on Radau quadrature for-v mulas// Math Comput. V. 18, P. 233-244.

45. Calvo M., Higham D.J., Montijano J.I., Randez L. Global error estimation with adaptive explicit Runge-Kutta methods// IMA J. Numer. Anal. 1996. V. 16. P. 47-63.

46. Cauchy A.L. Resume des Lecons donnes a l'Ecole Royale Polytech-nique. Suite du Calcul Infinitesimal// Equations differentiel les ordi-naires, ed. Chr. Gilain, Johnson 1981

47. Curtis A.R. High-order explicit Runge-Kutta formulae, their uses, and limitations// J. Inst. Maths Applies, 1975. V. 16. P. 35-55

48. Deuflhard P. Order and stepsize control in extrapolation methods// Numer. Math. 1983. V. 41. P. 399-422.

49. Dorm and J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // J. Сотр. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19-26.

50. Ehle B.L. High order A-stable methods for the numerical solution of systems of DEs// BIT, 1968. V. 8. P. 276-278.

51. Endresen L.P., Myrheim J. A formula for steplength control in numerical integration// J. Сотр. Appl. Math. 1998. V. 90. P. 263-264.

52. England R. Error estimation for Runge-Kutta typesolutions to systems of ordinary differential equations// The Computer J. V. 12. P. 166-170.

53. ENRIGHT W.H. Analysis of error control strategies for continuous Runge-ICutta methods// SIAM J. Numer. Analys. 1989. V. 26. № 3. P. 588-599.

54. FEHLBERG E. Eine methode zur fehlerverkleinerung bein Runge-Kutta verfahren// ZAMM. 1958. V. 38. P. 421-426.

55. Fehlberg E. New high-order Runge-Kutta formulas with step size control for systems of first and second order differential equations// ZAMM. 1964. V. 44. Sonderheft T17-T19.

56. Fehlberg E. Classical fifth-,sixth-,seventh-, and eighth order Runge-Kutta formulas with step-size control// Computing V. 4, P. 93-106.

57. FEHLBERG E. Low order classical Runge-Kutta formulas with step-size control and their application to somei heat transfer problems// Computing V. 6, P. 61-71.

58. Fine H. On Newton's method of approximation// Proc. Nat. Acad. Sci.,USA, 1916. V. 2. P. 546-552.

59. Franzer R.A., Jones W.P., Skan S.W. Approximations to functions and to the solutions of the differential equations // Reports and Memoranda Nr. 1799 (2913): Aeronautical Research Committee, P. 33 P. 1025-1043.

60. Gear C.W. Numerical initial value problems in odinary differential equations. // Prentice Hall, 1971.

61. Gragg W.B. Repeated extrapolation to the limit in the numerical solution of ordinary differential equations. Thesis. Univ. of California. 1964.

62. Gustavson K., Lundh M., Sodelrind G. A PI stepsize control for the numerical solution of ordinary differential equations// BIT. 1988. V. 28. P. 270-287.

63. Higham D.J., Hall G. Embedded Runge-Kutta formulae with stable equilibrium states// J. of Сотр. and Appl. Math, 1990. V. 29. P. 25-33.

64. Hairer E. A Runge-Kutta method of order 10 // J. Inst. Maths Applies, 1978. V. 21. P. 47-59

65. Hairer e., lubich с. Asymptotic expansions of the global error of fixed-stepsize methods// Numer. Math. 1984. V. 45. P. 345-360.

66. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Springer-Verlag, Berlin, 1987, 1993.

67. Hairer E., Wanner G. Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. Berlin: Springer-Verlag, 1991, 1996.

68. Hairer E., Wanner G. Stiff differential equations solved by Radau methods// J. Comput. Appl. Math. 1999. V. 111. P. 93-111.100. hall G. Equilibrium states of Runge-Kutta schemes// ACM Trans. Math. Software. 1985. V. 11. P. 289-301.

69. Hall G. Equilibrium states of Runge-Kutta schemes, part II// ACM Trans. Math. Software. 1986. V. 12. P. 183-192.

70. Hall G., Higham D.J. Analisys of stepsize selection schemes for Runge-Kutta codes// IMA J. Numer. Anal. 1988. V. 8. P. 305-310.

71. Hall G. A New stepsize strategy for Runge-Kutta codes. Numerical Analysis Report № 245, 1994, University of Manchester/UMIST, Manchester Centre for Computational Mathematics, Manchester, 1994.

72. HlGHAM D.J. Robust defect control with Runge-Kutta schemes// SIAM J. Numer. Analys. 1989. V. 26. № 5. P. 1175-1183.

73. HlGHAM D.J. Global error versus tolerance for explicit Runge-Kutta methods// IMA J. Numer. Anal. 1991. V. 11. P. 457-480.

74. HuLME B.L. One-step piecewise polynomial Galerkin methods for initial value problems// Math, of Comput. 1972. V. 26. P. 415-426.

75. Kastlunger K.H., Wanner G. Runge-Kutta processes with multiple nodes// Computing. 1972. V. 9. P. 9-24.

76. Kastlunger K.H., Wanner G. On Turan type implicit Runge-Kutta methods// Computing. 1972. V. 9. P. 317-325.

77. Kulikov G.Yu. Numerical methods solving the semi-explicit differential-algebraic equations by implicit multistep fixed stepsize methods// Korean J. Comput. Appl. Math. 1997. V. 4. № 2. P. 281-318.

78. Kulikov G.Yu. Stable local-global stepsize control for Runge-Kutta methods. Preprint Numerics No. 3/1997. Department of Mathematical Sciences. Norwegian University of Science and Technology. Trondheim. 1997.

79. Kulikov G.Yu. A local-global version of a stepsize control for Runge-Kutta methods// Korean J. Comput. Appl. Math. 2000. V. 7. № 2. P. 289-318.

80. Kulikov G.Yu. On implicit extrapolation methods for ordinary differential equations// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17. № 1. P. 41-69.

81. Kutta W. Beitrag zur naherungswreisen Integration totaler Differen-tialgleichungen // Zeitschr. fur Math. u. Phys. 1901. V. 46. P. 435-453.

82. Lebedev V.I. Explicit difference schemes with time-variable steps for solving stiff systems of Equations. // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1989. V. 4. N. 2. P. 111-135.

83. LlNDBERG B. Error estimation and iterative improvement for discretization algorithms// BIT. 1980. V. 20. P. 486-500.

84. Lobatto R. Lessen over Differentialen Integraal-Rekening// V. 2., La Haye 1851-1852

85. Merluzzi P., Brosilow C. Runge-Kutta integration algorithms with built-in estimates of the accumulated truncation error// Computing. 1978. V. 20. P. 1-16.

86. Richardson L.F. The deffered approach to the limit// Phil. Trans. A. 1927. V. 226. P. 299-349.

87. Robertson H.H. The solution of a set of reaction rate equations// J. Walsh ed.: Numer. Anal., an Introduction, Academ. Press. 1966. P. 178-182.

88. Runge C. Uber die numerische Auflosung von Differentialgleichun-gen// Math. Ann. 1895. V. 46. P. 167-178.

89. Runge С. Separation und Approximation der Wurzeln von Gleichun-gen// Enzykl. d. Mathem. Wissensch, Teubner, Leipzig, V. 1, P. 405449.

90. Skeel R.D. Global error estimation and the backward differentiation formulas// Appl. Math. Comput. 1989. V. 31. P. 197-208.

91. Stroud A.H., Stancu D.D. Quadrature formules with multiple Gaussian nodes // SIAM J. Numer. Anal., ser. В., 1965. V. 2. P. 129143.

92. Wanner G., Hairer е., n0rsett S.P. Order stars and stability theorems// BIT. 1977. V. 18. P. 475-489.145. wlllers F. Zur Konvergenz des Newtonschen Naherungsverfaherns // Z. Angew. Math. Mech. 1938, V. 18, P. 197-200.

93. Wright K. Some relationships between implicit Runge-Kutta collocation and Lancross т methods, and their stability properties // BBT, 1970, V. 10, P. 217-227.