Численные методы анализа интегрируемости динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Сальников, Владимир Николаевич

• Сальников, Владимир Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сальников, Владимир Николаевич

Введение

1 Топологические аспекты интегрируемости

1.1 Геометрические препятствия к интегрируемости

1.2 Метод сечений.

1.3 Трёхзвенный маятник (основной пример)

1.3.1 Топологические свойства фазового пространства системы, позволяющие применить метод сечений.

1.3.2 Динамика системы, визуализация.

1.4 Динамика спутника (пример)

1.5 Особенности применения метода сечений.

1.6 Обобщение метода сечений с помощью теории КАМ.

1.6.1 Маятнико-подобные системы (пример).

1.6.2 Анализ топологии фазового пространства.

1.6.3 Обобщение результата.

2 Алгебраические методы анализа интегрируемости

2.1 Полиномиальные интегралы.

2.2 Продолжение интегралов в комплексную область.

2.2.1 О методе Пуанкаре.

2.2.2 Группа монодромии и ее инварианты

2.2.3 Результаты С.Л. Зиглина

2.2.4 Дифференциальная теория Галуа.

2.2.5 Результаты Моралеса-Рамиса.

2.3 Применение к задаче о динамике маятников.

2.3.1 Двузвенный маятник.

2.3.2 Трехзвенный маятник.

2.4 Эффективный алгоритм применения метода Зиглина

2.4.1 Описание алгоритма.

2.4.2 Система Хенона-Хейлеса (пример)

2.4.3 Динамика спутника (пример)

2.4.4 Трехзвенный маятник (пример).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы анализа интегрируемости динамических систем»

Вопрос об интегрируемости динамических систем изучался приблизительно с середины XIX века. В то время под интегрируемостью понимали интегрируемость в квадратурах, то есть для системы дифференциальных уравнений с?х . . возможность найти решение х(£) с помощью операций обращения функций и взятия первообразных.

В настоящее время понятие несколько расширилось: рассматривается более сильная характеристика системы, а именно, существование достаточного количества сохраняющихся величин (первых интегралов), обладающих определенными свойствами. Приведем ниже три важных случая, когда из наличия интегралов (или инвариантов) следует интегрируемость в квадратурах.

1. Если система х =у(х), х,у£Г (1) имеет (п — 1) независимый первый интеграл ., 1п-\, то она интегрируема в квадратурах (векторное поле у(х) предполагается достаточно гладким).

2. Снова рассмотрим систему (1). Пусть она имеет (п — 2) независимых первых интеграла и инвариантную меру /х(х) (такая мера, что объем произвольной области не меняется при переносе области вдоль траекторий системы; эту меру называют множителем Якоби). Тогда система (1) интегрируема в квадратурах.

3. Рассмотрим теперь гамильтонову систему с гамильтонианом Н, имеющую п степеней свободы, тогда система, аналогичная (1), имеет вид:

Рг = —д— оді дн

2) гтгде qi - обобщенные координаты системы (я 6 М71, или в более общем случае я € <3 - некоторому многообразию); рг - импульсы системы (р € Е", или, соответственно, р 6 Т*(5 - кокасательному расслоению к многообразию (5) •

Гамильтонова система безотносительно к интегрируемости имеет некоторые интересные свойства. Например, если гамильтониан Я не зависит явно от времени, то его величина сохраняется - это соответствует сохранению полной энергии системы. Поток гамильтоновой системы (то есть поток векторного поля Хн = сохраняет объем в фазовом пространстве М = (я, р) системы (теорема Лиувилля, [1]).

На фазовом пространстве гамильтоновой системы определяют пуассонову структуру: алгебру гладких функций с умножением где и - симплектическая форма на М. Функция / является первым интегралом гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда {/, Я} = 0.

Для гамильтоновой системы справедлива теорема Л иу ви л ля-Арнольда ([1]):

Пусть гладкие функции на 2п-мерном многообразии М і'ьі'г,. ,.РП : М —»• К находятся в инволюции і^ } = 0). Рассмотрим множество уровня функций ^

Пусть на М/ функции Fi независимы (т.е. в каждой точке М/ линейно независимы 1-формы (1^). Тогда: 1)М/ - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового 9} = Х}9 = ¿д(Х;) = Хд)

М/ = {(я,р) ; -Р<(ч,р) = /г,І = 1 ,.,п}. потока с гамильтонианом Н = Рх. 2) Если многообразие Mf компактно, то каждая его компонента связности диффеоморфна п-мерному тору

Т п = {(<ри.,1рп) то(1 2тт}.

3) Фазовый поток с гамильтонианом Н определяет на Му условно-периодическое движение: р = ы(/).

4) Канонические уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах.

В таком случае система называется вполне интегрируемой, или интегрируемой по Лиувиллю-Арнольду

Мы не будем, естественно, приводить полное доказательство данной теоремы, остановимся лишь на идеях и расшифруем все требования, наложенные на систему.

Из линейной независимости «¿^ следует, что М; - подмногообразие размерности п в М. В основе доказательства теоремы лежит анализ действия на Mf групп переносов, порожденных сдвигами вдоль векторных полей Хрг. Условие равенства нулю скобки Пуассона двух функций ^ и эквивалентно тому, что соответствующие векторные поля Хрг и Хр} коммутируют. Иными словами, на М/ существуют п касательных векторных полей, попарно коммутирующих и линейно независимых в каждой точке. Mf инвариантно относительно переноса вдоль каждого из векторных полей Хрг. Поэтому можно определить действие коммутативной группы Мп = {1} на многообразии М/ дгх -сдвиг из точки х вдоль каждого из векторных полей Хр, на время 11. Можно показать, что стабилизатор точки хо (множество точек таких что д1хо = £о) есть дискретная подгруппа в Е" размерности п, значит, он изоморфен Zn. Значит, многобразие М/ диффеоморфно Жп¡Ъп — Тп; этот диффеоморфизм и обеспечит квазипериодическое движение.

Интегрируемость в квадратурах получается явно (введением переменных действиеугол). Таким образом, фазовое пространство оказывается расслоенным на инвариантные торы; движение по каждому из них квазипериодическое, а сами торы параметризуются значением интегралов действия.

Из приведенных выше примеров ясно, что начинать изучение интегрируемости системы разумно с анализа условий существования независимых первых интегралов. Этому вопросу и будет посвящена диссертация. Для произвольной динамической системы не существует конструктивного алгоритма для проверки существования достаточного количества независимых первых интегралов, однако получен ряд результатов, выявляющих препятствия к интегрируемости. Спектр результатов в этой области очень широк. Достаточно подробный обзор можно найти в книге [3], некоторые современные методы также хорошо изложены в [4]. Непосредственно в главах 1 и 2 мы приведем лишь те определения и теоремы, которые необходимы для понимания результатов диссертации.

В данной работе мы предложим два принципиально различных конструктивных метода доказательства неинтегрируемости, подходящих для анализа достаточно широкого класса динамических систем. Первый (глава 1) связан с анализом топологии фазового пространства, он использует результаты теории Колмогорова-Арнольда-Мозера вместе с аппаратом стохастического анализа на основе метода Монте-Карло. Он применим для анализа вещественных систем малой размерности. Второй метод (глава 2) касается существования мероморфных интегралов комплексифицированных систем и основан па развитии алгебраических подходов C.J1. Зиглина к анализу интегрируемости. Оба метода существенно используют численные методы для анализа динамических систем -именно компьютерные вычисления позволяет расширить класс исследуемых систем и применить наши методы к задачам, не изученным ранее.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора ([28] - [35]).

Они докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• Семинары в ВЦ РАН под руководством Абрамова A.A., Пальцева Б.В., Власова

B.И. и под руководством Степанова С.Я.;

• Семинар в Ecole Normale Supérieure de Lyon, Lyon, France;

• Семинар в МАИ под руководством Красильникова П.С., Бардина B.C.;

• Семинар в НИИ механики МГУ, Москва, Россия;

• CEEPUS Computer Algebra Summer University, Miskolc, Hungary;

• XXXIII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics",

C.-Петербург;

• The Fifth Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Eindhoven, The Netherlands;

• 7-th Junior Mathematical Congress , Tg-Mures, Romania;

• Conference "Dynamical Integrability", CIRM, Luminy, France;

• Conference "Symmetry and Perturbation Theory", Otranto, Italy;

• Конференция-Конкурс молодых ученых НИИ Механики МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, Россия;

• 5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, The Netherlands;

• III International Summer School on Geometry, Mechanics, and Control, L'Ametlla de Mar, Spain;

• Research Workshop "Modern Approaches to Dynamical Integrability", Portsmouth, England;

• "Dynamical systems and classical mechanics: a conference in celebration of Vladimir Arnold", Edinburgh, Scotland.

Я приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору С.Я. Степанову за помощь в подготовке работы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Сальников, Владимир Николаевич

3 Заключение

В диссертационной работе рассмотрены различные методы анализа интегрируемости динамических систем. Среди них присутствуют как чисто алгебраические, так и геометрические подходы. Многие идеи берут начало еще в XIX веке, но получили особое развитие в конце XX с появлением соответствующего математического аппарата.

Развиты классические методы, с использованием преимуществ современных численных методов. В частности, предложен метод анализа топологии фазового пространства систем малой размерности, который является достаточно общим, в том смысле, что ограничения на область его применения достаточно естественны. Рассмотрена типичная картина применения алгебраических методов Зиглина и Моралеса-Рамиса, когда группа монодромии содержится в дифференциальной группе Галуа. Однако, предложенный конструктивный способ построения группы монодромии позволяет рассматривать более сложные частные решения в рамках подхода Зиглина, что существенно расширяет его область применения, и в частности позволяет показать неинтегрируемость некоторых систем, где метод Моралеса-Рамиса результатов не дал.

Основной мотивацией для изучения этих методов является дальнейшая попытка применить их к более сложным системам. Например, к системам с задержкой, которые естественно возникают при моделировании биологических процессов, а также в задачах релятивистской небесной механики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сальников, Владимир Николаевич, 2011 год

1. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., Математические аспекты классической и небесной механики, Москва, ВИНИТИ, 1985.

2. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, ISBN:0-387-968903.

3. Козлов В.В., Симметрии, топология и резонаисы в гамильтоновой механике, Ижевск: изд-во Удмуртского гос. университета, 1995.

4. M. Audin, "Les systèmes hamiltoniens et leur integrabilite", Cours Specilises. SMF et EDP Sciences, 2001.

5. H. Poincaré. Les méthodes nouvelles de la mécanique céléste, Vol. 1-2. - Paris, Gauthier-Villars, 1893., JFM 25.1847.03.

6. H. Poincaré. Sur l'application de la méthode de M.Lindstedt au problème des trois corps, Comptes rendus des séances de l'Academie des Sciences, séance du mardi 7 juin 1892.

7. S.L. Ziglin, Branching of Solutions and Non-Existcnce of First Integrals in Hamiltonian Mechanics, I, 1982, Fun. Anal. Appl, 181-189, 16.

8. S.L. Ziglin, Branching of Solutions and Non-Existence of First Integrals in Hamiltonian Mechanics, II, 1982, Fun. Anal. Appl, 6-17, 17.

9. Арнольд В.И., Что такое математика, МЦНМО, 2002.

10. Н. Yoshida, Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. I, II, Celestial Mechanics, Vol. 31, p.363 00/1983.

11. Аппель П., Теоретическая механика, Москва, "Физматлит", 1960.

12. F.L.Chernousko, Feedback control of a nonlinear dynamic system. J. Applied Mathematics and Mechanics (PMM), 1992.

13. Фоменко А.Т., Дифференциальная геометрия и топология, Ижевск, 1999.

14. Hamiltonian Systems with Three or More Degrees of Freedom, Edited by C.Simo, NATO ASI Series, Series C: Mathematical and Physical Science Vol.533, 1999.

15. Козлов В.В., Общая теория вихрей, Издательство "Удмуртский университет", 1998.

16. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, Москва, "Наука", 1984.

17. Виттакер Э., Аналитическая Динамика, "РХД", Ижевск 1999.

18. Голдштейн Г., Классическая Механика, Москва, "Наука", 1975.

19. Лагранж Ж., Аналитичская механика , ТТТИ", 1950.

20. B.S. Bardin, A.J. Maciejewski,Transcendental cases in the stability problem of conical precession of a satellite in a circular orbit, in preparation.

21. J.J. Morales-Ruiz, Differential Galois theory and non-integrability of hamiltonian systems, Birkhausen, Basel, 1999.

22. J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis, Galoisian obstructions to integrability of hamiltonian systems, I, II, Meth. Appl. Anal. 8(1), 33-95,97-111, 2001.

23. Шафаревич И.Р., "Основные понятия алгебры", ИНТ, "Современные проблемы математики".

24. I. Kaplansky, An introduction to differential Algebra, 2nd edn, Hermann, Paris, Actualites Scientifiques et Industrielles, No 1251, Publications de l'institut de Mathematique de l'Universite de Nancago, No. V., 1976.

25. J.J. Kovacic, An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations, J. Symbolic Comput., 2(1), 3-43, 1986.

26. N. Metropolis, S. Ulam, The Monte Carlo Method, J. Amer. statistical assoc. 1949 44 No 247 335-341.

27. Болотин C.B., Карапетян A.B., Кугушев Е.И., Трещев Д.В., Теоретическая механика, "Академия", Москва 2010.

28. Вл.Н. Сальников, Нелинейная Динамика и Резонансные Эффекты Систем в Термостате Нозе-Гувера, Труды конференции-конкурса молодых ученых, НИИ механики МГУ, 2004.

29. V.L. Golo, Vl.N. Salnikov, K.V. Shaitan,Harmonic Oscillators in the Nose-Hoover Environment, Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. 046130.

30. V.N. Salnikov, Nonlinear Dynamics in the Nose-Hoover Environment, Proceedings of the Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference, 12 pages, 2005.

31. Salnikov V.N., On the dynamics of the triple pendulum: non-integrability, topological properties of the phase space, Lecture notes of The Conference "Dynamical Integrability" (CIRM), 2006.

32. B.H. Сальников, О динамике трехзвенного маятника: различные подходы к неинтегрируемости, Труды конференции-конкурса молодых ученых, НИИ механики МГУ, 2007.

33. V.N. Salnikov, Various approaches to integrability, Book of abstracts, 5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, The Netherlands, 2008.

34. B.H. Сальников, О нелинейной динамике двухзвенного и трехзвенного маятников: различные аспекты интегрируемости. Подано в ПММ, 2011.

35. В.Н. Сальников, Эффективный алгоритм применения метода Зиглина для анализа интегрируемости. В подготовке.