Численные исследования нестационарных квантовых явлений в нейтронной оптике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Захаров Максим Андреевич

• Захаров Максим Андреевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Захаров Максим Андреевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В НЕЙТРОННОЙ ОПТИКЕ

1.1. Радиочастотный спин-флиппер для нейтронов

1.2. Квантовая модуляция нейтронной волны

1.3. Отражение нейтронов от осциллирующего зеркала

1.4. Дифракция на движущейся решётке и на бегущей волне

1.5. Переходы между гравитационными уровнями

ГЛАВА 2. ЭФФЕКТ УСКОРЕНИЯ В НЕЙТРОННОЙ ОПТИКЕ

2.1. Эффект ускорения. Описание явления

2.2. Численный расчёт методом расщепления оператора эволюции

2.3. Численный расчёт квантовых явлений, в которых проявляется эффект ускорения

2.3.1. Прохождение волнового пакета через потенциальный барьер и потенциальную яму

2.3.2. Отражение нейтрона от потенциальной ступени

2.3.3. Отражение нейтрона от резонансной потенциальной ступени

2.3.4. Резонансное туннелирование нейтрона через двойной потенциальный барьер - интерферометр Фабри -Перо

2.3.5. Туннелирование нейтрона через регулярную систему, образуемую потенциальными барьерами

Выводы главы

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМ В ПРОСТРАНСТВЕ РЕЗОНАНСНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

3.1. Введение

3.2. Отражение волны от двойной потенциальной ступени, осциллирующей в пространстве

3.2.1. Формулировка задачи

3.2.2. Квазистационарное приближение

3.2.3. Решение задачи на основе системы уравнений непрерывности

3.2.4. Формулировка начальных условий численного расчёта

3.2.5. Результаты расчетов

3.3. Прохождение волнового пакета через осциллирующий в пространстве

интерференционный фильтр

3.3.1. Параметры расчёта

3.3.2. Результаты численных расчётов

Выводы главы

ГЛАВА 4: МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО НАБЛЮДЕНИЮ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ДИФРАКЦИИ УХН

4.1. Дифракция ультрахолодных нейтронов на движущейся решётке. Теория

4.2. Цель эксперимента, описание установки

4.3. Расчётно-математическая модель эксперимента по изучению

нестационарной дифракции ультрахолодных нейтронов на движущейся решётке

4.3.1. Численный расчёт интенсивности дифракционных порядков

4.3.2. Принцип время-пролётной Фурье-спектрометрии, Монте-Карло модель спектрометра ультрахолодных нейтронов

4.4. Анализ полученных в эксперименте результатов

Выводы главы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БЛАГОДАРНОСТИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

98

99

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные исследования нестационарных квантовых явлений в нейтронной оптике»

Введение

Известно, что нейтрон является весьма удобным объектом для изучения нестационарных квантовых явлений. История развития представлений о нестационарных квантовых эффектах в нейтронной оптике начинается в 1960 году с выходом работы Драбкина и Житникова [1], в которой авторы впервые рассматривают явление переворота спина нейтрона в радиочастотном спин-флиппере с изменением энергии нейтрона как нестационарное квантовое явление. Постепенно интерес к этому направлению нейтронной оптики усиливался и сегодня исследования нестационарных квантовых эффектов активно продолжается.

Все известные на данный момент нестационарные квантовые эффекты в нейтронной оптике можно условно разделить на две группы. В первую группу входят эффекты, в основе которых лежит амплитудная или фазовая модуляция волны. Вторая группа включает в себя эффекты, возникающие при взаимодействии нейтронной волны с объектом, чьи свойства меняются во времени.

К исследованиям эффектов первой группы можно отнести, например, работы по изучению квантовых эффектов, возникающих в результате временной модуляции нейтронной волны [2 - 6]. К этой же группе следует отнести работы, посвящённые изучению дифракции нейтронов на поверхностной бегущей волне [7, 8] и движущейся поперёк пучка нейтронов дифракционной решётке [9 - 12].

Исследованию эффектов второй группы посвящена большая группа работ, в которых изучалось взаимодействие нейтронов с потенциалом, переменным во времени. К этой группе относятся, например, работы [13 - 16].

Ко второй группе также можно отнести исследования переворота спина в системе переменных полей [1, 17, 18] и работы по изучению переходов нейтронов между квантовыми уровнями в гравитационном поле [19 - 21]. Более подробное описание исследований вышеуказанных эффектов приведено в первой главе диссертации.

Отметим, что практически ни в одной из работ не затрагивался вопрос о соотношении характерного времени изменения потенциала и времени взаимодействия волны с объектом. Что касается проблемы отражения нейтронов от осциллирующего потенциала, то в обычных условиях время отражения в таких системах много меньше времени обратной частоты осцилляции и едва ли может оказывать сколько-нибудь заметное влияние на состояние отраженного состояния.

однако, можно ожидать, что в общем случае соотношение между временем взаимодействия и периодом осцилляции может быть существенным. Для исследования этого вопроса разумно обратиться к потенциальным структурам, которые характеризуются временем формирования прошедшего или отражённого состояния много большим, чем время свободного пролёта частицы через область потенциала. подобным свойством, в частности, обладают такие объекты как нейтронный интерференционный фильтр (НИФ) [22-24], или двухступенчатая потенциальная структура [25, 26].

Данная область нейтронной оптики все ещё остаётся слабоизученной. Сегодня исследования нестационарных квантовых эффектов в системах с большим временем взаимодействия, несомненно, являются актуальными. Одна из глав диссертации призвана уменьшить пробел научных знаний в этой области.

Цели и задачи диссертации.

Диссертация посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию нестационарных квантовых эффектов в нейтронной оптике. В их числе взаимодействие нейтронов с ускоряющимися квантовыми объектами, отражение нейтронов от осциллирующей резонансной потенциальной структуры, нестационарная дифракция нейтронов на движущейся решётке. В первых двух задачах время взаимодействия нейтрона и квантового объекта может иметь значительное влияние на результирующее состояние.

Диссертацию можно условно разделить на две части.

первая часть посвящена теоретическому анализу взаимодействия нейтронов с различными резонансными потенциальными структурами, движущимися с

ускорением. Рассмотрены случаи осциллирующего и равноускоренного движения потенциала.

Во второй части приводится описание созданной автором математической модели эксперимента по изучению дифракции нейтронов на движущейся дифракционной решётки конечной толщины. Кроме того, представлены результаты самого эксперимента и сравнительный анализ результатов моделирования и полученных экспериментальных данных.

В ходе исследования были решены следующие задачи:

1. Освоена методика численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера, основанная на методе расщеплении оператора эволюции. Алгоритм расчёта модернизирован для распределённых вычислений, что позволяет проводить расчёты с большой точностью.

2. С целью демонстрации существования эффекта ускорения в квантовом секторе проведено численное исследование задачи о взаимодействии волнового пакета с различными равноускоренными потенциальными структурами.

3. Проведён теоретический анализ проблемы отражения нейтронов от осциллирующей в пространстве двойной потенциальной ступени, обладающей резонансными свойствами. Расчёты выполнены тремя методами: на основе квазистационарного подхода, решением системы уравнений непрерывности, численным решением нестационарного уравнения Шрёдингера для данной задачи.

4. Проведено численное исследование квантовой задачи о прохождении волнового пакета через осциллирующий в пространстве нейтронный интерференционный фильтр.

5. Освоен метод решения задачи о нестационарной дифракции нейтронов на движущейся решётке в рамках динамической теории дифракции.

6. Создан комплекс программ для моделирования эксперимента по измерению спектра нейтронов, прошедших через движущуюся дифракционную решётку.

7. С использованием метода времяпролётной Фурье-спектроскопии проведён эксперимент по изучению нестационарной дифракции нейтронов на движущейся решётке.

8. Проведено сравнение спектров нейтронов, полученных в эксперименте, со спектрами, полученными в результате компьютерного моделирования. Положения, выносимые на защиту:

1. Продемонстрирована справедливость существования эффекта ускорения в квантовой механике.

2. Продемонстрировано влияние времени взаимодействия на спектр отражённого состояния при отражении нейтронной волны от осциллирующей в пространстве резонансной потенциальной ступени путём теоретического анализа задачи.

3. Показана возможность использования осциллирующего в пространстве интерференционного фильтра в качестве квантового модулятора прошедшего состояния.

4. Создана численная модель эксперимента по изучению нестационарной теории дифракции нейтронов на движущейся решётке. Результаты моделирования применены к обработке полученных экспериментальных данных.

5. Результаты эксперимента продемонстрировали возможность влияния на соотношение интенсивностей дифракционных порядков путём вариации глубины канавки дифракционной решётки.

Личный вклад автора состоит в активном участии в постановке задач, разработке концептуальной части исследования. Автором были выполнены все численные и аналитические расчёты, анализ и обработка полученных результатов. Дискуссии, обсуждение результатов и формирование выводов велись при непосредственном участии автора.

Апробация и достоверность работы.

По теме диссертации опубликовано 5 работ в реферируемых журналах, рекомендованных ВАК, которые входят в базу данных Scopus и РИНЦ.

1. Maxim Zakharov, Alexander Frank, German Kulin, at al., New test of the dynamic theory of neutron diffraction by a moving grating, EPJ Web of Conferences, 177, 03005 (2018).

2. Г. В. Кулин, А. И. Франк, М. А. Захаров, и др., Нестационарная дифракция ультрахолодных нейтронов на движущейся решётке и эффективность передачи энергии нейтрону, ЖЭТФ, 156, 868 (2019) [G. V. Kulin, A. I. Frank, M. A. Zakharov et al., Nonstationary Diffraction of Ultracold Neutrons from a Moving Grating and Efficiency of Energy Transfer to a Neutron, J. Exp. Theor. Phys., 129, 806 (2019)].

3. М. А. Захаров, А. И. Франк, Г. В. Кулин, С. В. Горюнов, Взаимодействие ультрахолодных нейтронов с осциллирующим в пространстве нейтронным интерференционным фильтром, Поверхность, 1, 9 (2020) [M. A. Zakharov, A.I. Frank, G. V. Kulin and S. V. Goryunov, Interaction of Ultracold Neutrons with a Neutron Interference Filter Oscillating in Space, Journal of Surface Investigation X-ray Synchrotron and Neutron Techniques, 14, 6 (2020)].

4. M. A. Zakharov, G. V. Kulin, A. I. Frank, Interaction of a wave packet with potential structures moving with acceleration, Eur. Phys. J. D, 75, 47 (2021).

5. M. A. Zakharov, A. I. Frank, G. V. Kulin, Reflection of neutrons from a resonant potential structure, oscillating in space, Phys. Lett. A, 420, 127748 (2021).

Результаты исследований докладывались на научных семинарах отделения ядерной физики лаборатории нейтронной физики имени И.М. Франка Объединённого Института Ядерных Исследований (Дубна), а также на следующих конференциях:

1. European Conference on Neutron Scattering (2015), постерный доклад.

2. International Seminar on Interaction of Neutrons with Nuclei ISSIN 24 (2016), устное выступление.

3. International Seminar on Interaction of Neutrons with Nuclei ISSIN 25 (2017), постерный доклад.

4. International conference on Neutron Optics (2017), постерный доклад.

5. XXI International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (2017), устное выступление.

6. 47-я сессия ПАК по ядерной физике (ОИЯИ, 2018), постерный доклад.

7. Конференция по использованию рассеяния нейтронов в конденсированных средах РНИКС (2018), устное выступление.

8. XXIII международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника» (2019), устное выступление.

9. International Seminar on Interaction of Neutrons with Nuclei ISSIN 27 (2019), устное выступление.

10. European Conference on Neutron Scattering (2019), устное выступление.

11. International Seminar on Interaction of Neutrons with Nuclei 28 (2021), устное выступление.

12. Конференция по использованию рассеяния нейтронов в конденсированных средах РНИКС (2021), устное выступление.

Объём и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

В первой главе содержится обзор основных работ по изучению нестационарных квантовых эффектов в нейтронной области, позволяющий определить современное состояние данной области исследований.

Во второй главе приведены результаты численного исследования проблемы взаимодействия волнового пакета с различными равноускоренными квантовыми объектами, демонстрируется наличие эффекта ускорения для всех рассмотренных задач.

В третьей главе проводится теоретический анализ проблемы отражения волнового пакета от осциллирующей в пространстве резонансной потенциальной ступени. Оценивается влияние времени отражения и факта ускоренного движения потенциала на результирующее состояние. Приводятся результаты численного

исследования проблемы взаимодействия волнового пакета с осциллирующим в пространстве интерференционным фильтром.

В четвёртой главе приводится изложение основных принципов динамической теории дифракции на объёмной дифракционной решётке, а также описание эксперимента по изучению дифракции нейтронов на движущейся дифракционной решётке. Кроме того, описан комплекс программ для численного моделирования эксперимента и приведены результаты сравнения данных эксперимента с результатами численного моделирования.

В заключении суммируются полученные результаты.

Глава 1. Нестационарные квантовые эффекты в нейтронной

оптике.

1.1. Радиочастотный спин-флиппер для нейтронов.

Практически сразу после открытия нейтрона в 1932 году [27] началось исследование фундаментальных свойств этой частицы. Одной из актуальных проблем того времени был вопрос о наличие у нейтрона магнитного момента.

Гипотеза о наличие у нейтрона магнитного момента стала обсуждаться в научной литературе с 1934 года. Первые оценки величины магнитного момента нейтрона были приведены в работе Эстермана и Штерна [28] и озвучены в апреле 1934 года на заседании Американского Физического Общества. Одновременно с этим Тамм и Альтшуллер высказывали предположение о наличии у нейтрона магнитного момента и привели оценки его величины [29, 30].

В 1937 году вышла работа Раби [31], в которой была теоретически исследована задача о перевороте спина нейтронов в системе скрещенных полей. Одно из этих магнитных полей B0 стационарно, а второе направлено перпендикулярно к первому и осциллирует с частотой ю.

Поведение нейтрона в такой системе описывается нестационарным уравнением Шрёдингера

Здесь - величина магнитного момента нейтрона, Bo, Bv, о представляют собой вектора

Bo = (0,0, Б0), B V = (Bv cos (nt), Bv sin (nt) ,0), o = (o x, o y, o z), (1.2)

где Ox, Oy, Oz - матрицы Паули. Магнитные поля локализованы в области пространства 0 < x < A. Рассмотрим самый простой случай E0 >> B0 >> Bv, когда мы можем пренебречь изменением скорости нейтрона, влетающего в поле B0. Волновую функцию внутри области с полями тогда можно представить в виде

|Т( х, г = ехр (1к0 х - гю0г )| у (г ,

(1.3)

в общем случае с произвольной начальной поляризацией

Л Л /пЛ

(0)) = а|и + Р|ё); |и) = ; |ё) =

1

V 0 У

0

V1 У

(1.4)

Подстановка функции (1.3) в уравнение (1.1) приводит к следующему уравнению:

(1.5)

Уравнение (1.5) удобнее всего решать во вращающейся системе координат. Переход

V (г )) = ехР (-' Ю о .г1| Ф (г))

(1.6)

позволяет сделать выражение с магнитным полем в уравнении (1.5) стационарным:

а

(1.7)

где

0 =

со

1J

(1.8)

При подстановке функции (1.6) в уравнение (1.5) необходимо воспользоваться тождеством

оВу (г) = Бу ехр

с Л

. ю

- г—о .г

V 2 .у

о х ехР

. ю

г—о .г

V 2 гу

Уравнение (1.7) легко интегрируется:

|ср(г)) = ехр(-/йо0г)|ф(О)), |ф(0)) = |\|/(0)). Переходя обратно в лабораторную систему координат, получаем:

(г )) = ехР

с г^ Л . ю

-г—о Л

2

V 2 У

ехр(-/'Йс0*)|ф(О)).

(1.9)

(1.10)

(111)

Найдём теперь вероятность переворота спина, которая равна квадрату модуля амплитуды, стоящей перед о*. Пусть |ф(0)) = \и). Тогда, пользуясь разложением экспоненты

exp (¿x(аст)) = cos (ax) I + i sin (ax)(-СТ), можно привести выражение (1.11) к виду:

a

(1.12)

¡

(t )) = exP

V

í \í . ю

-i—a71 2 z

y

cos(fc0¿)-i^sm(fc0¿)J|<p(O)), (1.13)

где

f Г Л

со

0® = Mv«x+ Мо"Й7

V 1J

'z'

г \г

2 D 2 , D fe ю

Mv + M

V ^У

(1.14)

Выражение для вероятности переворота спина в итоге будет иметь следующий вид:

Р

и ^d

0

sm(/z0x)

,,2fí 2 V nBv

С Л2

2 т> 2 п + ®

Mv +

V zy

Sin

9 9 1 Ю

Mv2B2 VnB0

(1.15)

Здесь т - время, которое нейтрон пробыл в магнитном поле. Выражение (1.15) представляет собой известную формулу Раби. Для полного переворота спина Рм ^ = 1, необходимо выполнение условия резонанса:

Йсо = 2\1пВ0\ 5ут = 7г/2 + 71« . (1-16)

Подбирая параметры системы с учётом скорости нейтрона, можно добиться резонансного переворота спина. Подобная система названа радиочастотным спин-флиппером Раби.

Изначально радиочастотный спин-флиппер Раби создавался [32, 33] с целью прецизионного измерения величины магнитного момента, что и было сделано Альваресом и Блохом [34].

В работе Драбкина и Житникова [1] впервые был отмечен факт, что при перевороте спина нейтрона происходит обмен квантом энергии между частицей и осциллирующим полем. При этом величина переданного кванта пропорциональная частоте осциллирующего поля

ЛЕ = /юэ. (1.17)

Спустя 20 лет эта задача, в несколько более общем виде, была исследована Крюгером [17]. Подробному разбору этой проблемы посвящена работа Игнатовичей [35].

Впервые эффект ускорения нейтронов при перевороте спина в переменном поле экспериментально наблюдали Алефелд, Бадурек и Раух [18] в 1981 году. Принципиальная схема эксперимента приведена на рисунке 1.1. Основные результаты эксперимента в виде полученных энергетических спектров приведены на рисунке 1.2.

Рис. 1.1 - Схема изменения кинетической Рис. 1.2 - Демонстрация расщепления энергии нейтронного пучка при прохождении энергетического спектра нейтронов, через магниторезонансную систему [18]. прошедших через установку с

выключенным (вверху) и включенным (внизу) радиочастотным полем [18].

1.2. Квантовая модуляция нейтронной волны.

Известно, что зависящие от времени начальные условия должны влиять на дальнейшую эволюцию квантовой системы. Примером подобных начальных условий может быть мгновенное извлечение из пучка нейтронов идеально поглощающего поглотителя. Распространение фронта нейтронной волны при указанных нестационарных начальных условиях исследовалось в работе Мошинского [36]. Эта задача может быть решена методом Фурье-анализа.

Пусть в начальный момент времени поглотитель находится в начале координат и в момент времени ? = 0 мгновенно убирается. Начальная волновая функция при этом будет иметь вид

¥( х,0) = 0(0 - х)ехр (1кх), (1.18)

здесь 0 - функция Хэвисайда. Дальнейшую эволюцию волнового состояния можно представить в виде Фурье интеграла

| да

х,г) = | Ф(к')ехр(/к'х - /Ю г)(¡к'

(1.19)

где Фурье-образ Ф(к') не зависит от времени и может быть найден, с учётом начальных условий (1.18),

1

Ф( к ) = -5= х ',0) ехр (1кх') (х'.

В общем виде решение задачи может быть сведено к интегралу

/ ехр

(1.20)

х, г) = ехр (гкх - /юг)

1

— +

-г — V 4,

а / \

' т / \2

2 ^ Чт

т

— | ехр

о V

2 т

(а)'

¿/а

, (1 21)

где а = ЬЬ/т - х. Выражение (1.21) описывает распространение фронта волны и

его постепенное размытие, схожее с расплыванием волнового пакета.

Если на расстоянии х от прерывателя разместить детектор, то временная зависимость скорости счёта на нём после исчезновения прерывателя, будет носить тот же характер, что и пространственная дифракция волны на краю экрана (рисунок 1.3). Это явление было названо Мошинским дифракцией во времени.

о

Рис. 1.3 - Зависимость квадрата модуля амплитуды волны от времени на расстоянии х от прерывателя. V - начальная скорость нейтронов [36].

Описанная выше ситуация представляет собой однократное воздействие на пучок нейтронов. Обобщение задачи Мошинского на случай периодического действия прерывателя было проведено в работе Носова, Франка [6].

При амплитудной модуляции потока нейтронов происходит расщепление энергетического спектра на эквидистантные линии. Это можно продемонстрировать на следующем простом рассуждении. Если на пути пучка расположить периодический прерыватель, то прошедший поток поменяет свою первоначальную структуру. Для периодической функции модуляции начального состояния с периодом Т = 2п / ю волновую функцию состояния можно представить в виде ряда Фурье по частотам, кратным ю.

здесь- функция модуляции,/п - коэффициенты Фурье-разложения.

Принимая во внимание закон сохранения энергии и связь между частотой и волновым числом, можно получить итоговое выражение для прошедшего состояния:

Ф( I ) = / (? )ехр (ю ^ + ф 0 ) =

= Е/»ехр(пю0 ехр(ю/+Фо)=Е/»ехр(ю/+пю+Фо)'

(1.22)

(1.23)

1/2

Здесь юп = ю0 + пю, ки = к (1 + п ю/ю0) .

Спектр полученного состояния оказывается дискретным, величина расщепления равна АЕ = йю. Прошедший пучок имеет сложную структуру, характеризующуюся биениями. Аналогичная ситуация имеет место при модуляции фазы прошедшей волны.

Возможность экспериментального наблюдения проявления дифракции во времени обсуждалась в работах Голуба, Гейлера и их соавторов [3, 4, 37]. Авторы изучали возможность исследования эволюции коротких временных импульсов холодных нейтронов, полученных с помощью быстрого "квантового" прерывателя из первоначально монохроматического пучка.

Характер поведения волновой функции для таких начальных условий приведён на рисунке 1.4.

Рис. 1.4 - Функция пропускания прерывателя (слева), зависимость волновой функции от времени в точке на детекторе (справа) [3].

Явление дифракции во времени было продемонстрировано в эксперименте Хилса и др. [5] с помощью времяпролётного спектрометра, состоящего из двух прерывателей Chi и Ch2 (рисунок 1.5). Квантовый прерыватель QCh представлял собой два кремниевых диска с радиальными поглощающими штрихами из Gd157.

<■0

Intensity at P

opening function of slit

Chi

Ch2 QCh detector

t

w/ QCh

>-t w/o QCh

Рис. 1.5 - Принцип действия времяпролётного спектрометра в эксперименте [5].

Измерения проводились в трех разных режимах: диски квантового прерывателя вращались в разные стороны, один из дисков покоился, оба диска вращались в одну сторону. Такая конфигурация позволяла менять характер функции прерывания пучка и формировать различную картину пространственно -временного распределения интенсивности волны, прошедшей через квантовый прерыватель. Измеренные временные спектры разрешения спектрометра и трех режимов работы квантового прерывателя представлены на рисунке 1.6.

Рис. 1.6 - Временные спектры, порученные на спектрометре с квантовым прерывателем [5]. (а) - собственное разрешение спектрометра; (Ь) - диски вращаются в противоположном направлении, (с) - вращается только один диск, (ё) - оба диска вращаются в одном направлении.

На графиках можно отчётливо наблюдать уширение пиков спектра вследствие принципа неопределённости ДЕ-Д? ~ й.

1.3. Отражение нейтронов от осциллирующего зеркала.

Открытие ультрахолодных нейтронов (УХН) [38, 39] стимулировало активное изучение волновых свойств нейтронов. УХН обладают малой энергией (Е~10-7 eV), следовательно, достаточно большой длиной волны X ~ 10-7 м и собственным квантовым временем т = Й/Е ~ 10-8 сек. Вследствие этого волновые свойства для УХН выражены более ярко, что делает их наиболее удобными частицами для изучения нестационарных квантовых явлений.

Впервые на это обстоятельство обратили внимание Герасимов и Казарновский [13] в 1976 году. Ими были исследованы задачи об отражении УХН как от потенциала, изменяющего свою величину во времени, так и от осциллирующего в пространстве потенциала. Задача с осциллирующим потенциалом решалась в терминах теории возмущений, т.е. для относительно малой амплитуды осцилляций.

Точное математическое решение этой задачи сводится к системе с бесконечным количеством уравнений, как это было показано Хаавингом и Райфенбергом [40].

При взаимодействии монохроматических нейтронов с потенциалом, в котором какой-либо параметр меняется во времени периодически, спектр состояния после взаимодействия становится дискретным. Величина расщепления спектра отражённых нейтронов пропорциональна частоте осцилляций потенциала. Существенным образом меняется зависимость коэффициента пропускания потенциала от энергии падающих частиц.

Характер зависимости отражения нейтронов от потенциального барьера с переменной величиной исследовался в работах Аманджоловой, Франка [14] и Козлова, Франка [15]. В первой работе предполагалось, что изменение величины потенциального барьера обусловлено изменением направления намагниченности вещества. В статье также впервые обсуждается вопрос о незеркальном отражении и пространственном расщеплении пучка нейтронов при скользящем падении на такой образец. Во второй рассматривалось взаимодействие нейтронов с зеркалом,

в котором вектор намагниченности вращается вокруг нормали к поверхности зеркала.

В приближении малых частот осцилляции (по сравнению с собственной частотой падающих нейтронов), задача допускает общее решение, схожее с (1.22). Для простоты рассмотрим случай полного отражения нейтронов с энергией Е от потенциальной ступени К(?). В данном приближении отражённое состояние можно представить в виде суперпозиции плоских волн

го

*)= X гпехР(-V-), (1.24)

л=—ю

где коэффициенты при парциальных волнах вычисляются по формулам

1т

гп = — I г (*) ехр (тЫ) Ж. (1.25)

Т о

В формулах (1.24), (1.25) приняты следующие обозначения:

1/2 ^ ^ \1 ^ г (* ) © = ©о + > К = к(1 + пш/шо) > г(*)= г- I , ч . (1.26)

4 у 4е+^Е-V(*)

Здесь ю - частота осцилляций потенциала. Необходимо отметить, что представленное решение справедливо на небольших расстояниях от границы вещества х со0Дсо. Спектр отражённого состояния, так же, как и в предыдущем случае, представлен в виде набора эквидистантных линий с расстоянием между порядками ДЕ = йю.

В случае взаимодействия частицы с зеркалом с вращающимся вектором поляризации, движение частицы внутри вещества зеркала (справа от границы) описывается нестационарным уравнением Шрёдингера

Здесь В - вектор магнитной индукции в веществе зеркала, 2, *) - компоненты волновой функции, соответствующие двум проекциям спина на ось 7:

¥+( 2, * ) = ехр (-/ш* )у+( 2 ) + 4 7 +4 7 (1 28) ¥_( 2, * ) = ехр [-/(ш-П*) * ]у_( 2)' .

4Ё Е - V (*)

где О - частота вращения вектора поляризации.

Уравнение движения нейтрона вне зеркала (слева от границы) описывается стационарным уравнением Шрёдингера:

а >±( 2)

д2 2

+ К 2 ) = 0 ,

(1.29)

где

тш; к-=

(1.30)

Таким образом, отражённая волна разбивается на две составляющие.

В работах [14, 15] были получены кривые зависимости интенсивности отражённой волны от энергии падающих частиц. Функции имеют схожее поведение (рисунки 1.7, 1.8). На рисунке цифрами обозначены: 1 - функция коэффициента отражения стационарного барьера; 2, 3 - соответственно функции коэффициента отражения для нулевого и первого порядков в спектре.

Рис. 1.7 - Коэффициент отражения нейтронов от потенциального барьера с переменной величиной [14].

Рис. 1.8 - Коэффициент отражения нейтронов от зеркала со вращающимся вектором намагниченности для двух компонент отражённой волны R+, R- [15].

В работе Фелбера [16] теоретически и экспериментально исследовалось отражение очень холодных нейтронов от поверхности вибрирующего зеркала. В приближении малых амплитуд были рассчитаны зависимости интенсивности ненулевых порядков в отражённом спектре от частоты и амплитуды колебаний

потенциальной ступени. Подробное описание решения подобной задачи содержится в третьей главе диссертации.

В эксперименте коллимированный пучок холодных нейтронов падал под малым углом на стеклянное зеркало, на поверхность которого был нанесен слой никеля достаточной толщины. Зеркало приводилось в движение с помощью пьезокристалла. Схема эксперимента приведена на рисунке 1.9.

Рис. 1.9 - Схема экспериментальной установки в работе [16].

В подобной постановке эксперимента нестационарное воздействие на волну изменяло поперечную компоненту волнового вектора, что приводило к изменению направления распространения волны. Последнее определяется формулой

. АЕ±-*ап 1 = ^ Ли1 + 1

Е

(1.31)

±0

где Ео - нормальная к поверхности компонента энергии падающего нейтрона, АЁ^. = Йсо, где со - частота осцилляций зеркала. В эксперименте измерялось

пространственное распределение отражённого пучка и его спектр (рисунок 1.10).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Захаров Максим Андреевич, 2022 год

- - - У

Подставляя сюда а = -¡т V, Ь = ¡тТ , убеждаемся, что в данной форме ошибка будет третьего порядка малости O(т3). Таким образом, выражение (2.10) принимает вид:

У(*Л + т) = + о(т3).

(2.21)

2

Действие дифференциального оператора

т = е 2т„ (2.22) можно выполнить в Фурье-представлении. Следуя формуле

ТВ (X, г) = ^ ^ 1Г т (¡к) (¥В (X, г))], (2.23)

/V

где Е - дискретное преобразование Фурье, Т (¡к) можно получить из (2.22) заменой оператора д/дх на ¡к, где к - волновое число в спектральном представлении. Так как

/V

Т(1к) в Фурье-пространстве является просто функцией, выражение (2.23)

находится непосредственно. Использование алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) [86] значительно ускоряет вычисления.

2.3. Численный расчёт квантовых явлений, в которых проявляется эффект

ускорения.

2.3.1. Прохождение волнового пакета через потенциальный барьер и

потенциальную яму.

Наиболее простым примером возникновения эффекта ускорения является задача о прохождении нейтрона через потенциальный барьер, движущийся с постоянным ускорением.

Непрерывное движение в положительном направлении оси х существенно отличает эту задачу от случая осциллирующего в пространстве потенциала, рассмотренного в [87, 88]. В этом случае потенциал имеет вид

V (х, г ) = и (х + аг2/2), (2.24)

, ч и, 0 < X < й и (X Н , (2.25)

у ' [0, х<0, х > й

Начальная волновая функция нейтрона во всех задачах представлялась в виде Гауссового волнового пакета:

(х, к) = ехр(-¡к^х) ехр

г ( ^

( х х0 ) " 252

у

(2.26)

Ь 82

где 5 - ширина пакета в координатном пространстве, к0 -волновое число, соответствующее максимуму волнового пакета.

В расчётах для энергии нейтрона было принято значение Е = 100 нэВ, что соответствует скорости v0 « 4.4 м/сек. Пространственную ширину пакета 5 нельзя

ставить слишком маленькой, чтобы не увеличивать слишком сильно ширину его энергетического спектра. С другой стороны, увеличение дисперсии в координатном пространстве приведёт к увеличению области пространства, в котором ведётся расчет, что увеличивает время расчета.

Значение ширины энергетического спектра было выбрано 5Е = 2 нэВ, чему соответствует пространственная ширина пакета 5х = 1,36 мкм. Отметим, что выбранная таким образом величина энергии и энергетическая ширина спектра близки к параметрам пучка УХН, использовавшихся в реальных экспериментах [71, 89].

В начальный момент времени левая граница барьера находится в точке х = 0. Начальное положение вершины пакета было равно х = -5 мкм, так что в момент времени ? = 0 он практически полностью находился вне области потенциала. Во всех численных расчётах волновой пакет движется в положительном направлении оси X. Расчет эволюции пакета ведётся до тех пор, пока расстояние между вершиной пакета и границей потенциала не достигнет значения порядка 35х, при котором пакет практически полностью выходил из области потенциала.

На рисунке 2.2 приведены результаты расчёта в виде спектров скоростей состояний, прошедших через ускоряющийся потенциальный барьер для двух значений ширины барьера й и двух направлений ускорения. Высота барьера и = 50 нэВ. Абсолютное значение величины ускорения во всех случаях составляло \а\ = 5-105 м/сек2. Рисунок 2.3 демонстрирует зависимость смещения спектра от высоты барьера. Ускорение в этом расчёте было равно а = -5-105 м/сек2.

На рисунке 2.2 цифрами обозначены кривые: 1) исходный спектр; 2) ё = 1 мкм, Б = (-); 3) ё = 1 мкм, Б = (+); 4) ё = 2 мкм, Б = (-); 5) ё = 2 мкм, Б = (+). Знак Б

= (+) соответствует направлению ускорения в положительном направлении оси х. Знак Б = (-), соответственно, отрицательному направлению.

-•-1-'-1-т-1-т-|-■-|-т-1-'-1->-1 -I-|-'-1-1-1-I-1-.-I-

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 46 4.7 4.8 4.9 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Скорость, м/сек Скорость, м/сек

Рис. 2.2 - Спектры скоростей УХН, Рис. 2.3 - Спектры скоростей УХН,

прошедших над ускоряющимся прошедших над ускоряющимся

потенциальным барьером в зависимости от потенциальным барьером в зависимости от

ширины барьера и знака ускорения. высоты барьера. 1) Исходный спектр, 2) и =

Описание обозначений приведено в тексте. 50 пеУ, 3) И = 75 пеУ.

Как видно из рисунка 2.2 скорость нейтрона уменьшается, если ускорение барьера направлено навстречу скорости нейтрона и увеличивается при противоположном направлении ускорения. При равных значениях остальных параметров приращение скорости больше в том случае, когда ускорение сонаправлено скорости. Это очевидно связано с ростом времени пребывания частицы в области ускоряющегося потенциала. По этой же причине эффект растет с увеличением высоты и ширины барьера.

На рисунке 2.4 представлены результаты расчетов для случая прохождения нейтрона над потенциальной ямой. Здесь цифрами обозначены кривые: 1) начальный спектр, 2) ускорение ямы а = -106 м/сек2, 3) ускорение ямы а = 106 м/сек2.

Как видно из графиков, знак эффекта противоположен тому, что был в случае барьера, поскольку групповое время задержки становится здесь отрицательным [90]. Необходимо отметить, что полученные результаты вполне соответствуют представлениям об эффекте ускоренного вещества [67], уравнения для которого получены из классических соображений.

1 2

_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I

3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8

Скорость, м/сек

Рис. 2.4 - Сравнение спектров прошедшего состояния при различных значениях ускорения потенциальной ямы глубиной и = -50 нэВ и шириной й = 1 мкм. Описание обозначений приведено в тексте.

Поскольку принятая в расчете величина энергии частицы значительно превышала величину потенциала, а ширина барьера была много больше длины волны нейтрона, роль квантовых явлений была пренебрежимо малой.

Опираясь на результаты работы [67], изложим кратко классическую модель прохождения частицы сквозь потенциальный барьер в случае надбарьерного прохождения.

Скорость частицы внутри барьера сразу после прохождения первой границы в лабораторной системе координат определяется выражением:

= V - V )2 - V^ + V, (2.27)

где Уо - скорость падающей на барьер частицы, V - скорость потенциального барьера в момент падения частицы на него, у2ро( = 2и/т - величина,

характеризующая изменение скорости частицы внутри барьера, т - масса частицы.

За время распространения частицы от первой границы до противоположной, скорость барьер становится равной:

= V V, - V )2- V2 V,, - V )2- V2 - 2аё . (2.28)

Рассчитав изменение скорости частицы на выходе из потенциального барьера, в итоге можно получить формулу для скорости частицы после прохождения барьера:

^ =АК - + V2 -2(У2 - V) V V -V)2 -

V

ро1

+ V

(2.29)

Численное решение уравнения (2.29) позволяет провести количественное сравнение результатов квантового расчёта с результатами классического решения.

На рисунке 2.5 приведены результаты расчетов изменения скорости йу нейтрона при прохождении над ускоряющимся потенциальным барьером в широком диапазоне величин ускорения двумя методами: классическое решение и численный квантовый расчёт. Энергия нейтрона составляла Е = 100 нэВ, величина потенциала и = 50 нэВ, ширина й = 1 мкм. Результаты демонстрируют хорошее согласие численных квантовых расчетов с результатами, основанными на классическом подходе.

Рис. 2.5 - Изменение скорости нейтрона, прошедшего через область действия потенциала, движущегося с ускорением. Сплошная кривая - полуклассический расчет, точки - результаты расчета эволюции волнового пакета.

Асимптотический рост эффекта при больших положительных ускорениях обусловлен увеличением времени пребывания нейтрона в области потенциала. Поскольку за это время правая граница продолжает двигаться со все возрастающей скоростью, то по мере увеличения ускорения нейтрону требуется все большее время для ее достижения. Начиная с некоторой величины ускорения нейтрон

вообще не сможет достичь правую границу, оказавшись через некоторое время вновь в свободном пространстве, выйдя через догнавшую его левую границу [67].

Рассмотренные выше задачи относятся к случаям, далёким от проявления каких-либо квантовых эффектов. Особый интерес представляют задачи, в которых роль квантовых явлений значительна. В частности, интересен случай прохождения частицы над барьером при относительно небольшом превышении ее энергии над величиной потенциала и, поскольку с уменьшением энергии растет вероятность отражения от границ барьера и роль интерференционных эффектов.

На рисунке 2.6 представлены графики зависимости коэффициента пропускания барьера от энергии (рисунок 2.6а), группового времени задержки (ОЭТ) (рисунок 2.6Ь), и изменения скорости нейтрона (рисунок 2.6с), обусловленного ускоренным движением барьера. Высота барьера в расчётах составляла и = 100 нэВ, ширина й = 0.2 мкм, а величина ускорения, направленного против скорости нейтрона, составляла а = 2 ± 104 м/сек2. В этих условиях ожидается замедление прошедших через барьер нейтронов, что и подтверждает квантовый расчет.

Из сопоставления кривых 2.6Ь и 2.6с видно, что изменение скорости нейтронов, качественно повторяет ход кривой для ОЭТ, что вполне согласуется с предсказанием работы [73].

Рис. 2.6 - Зависимость от энергии коэффициента пропускания барьера (а), группового времени задержки (Ь) и изменения скорости нейтрона ёу, прошедшего через барьер (с).

Несколько неожиданным может показаться отрицательная величина эффекта при предельно малом превышении энергии над порогом, а также в первом минимуме пропускания. Здесь точки на кривой 4с демонстрируют ускорение нейтрона вместо ожидаемого замедления. Этот несколько парадоксальный результат обусловлен изменением формы волнового пакета при прохождении области потенциала из-за сильной спектральной зависимости коэффициента пропускания барьера.

Дело в том, что значительная часть падающего состояния в этих условиях отражается и относительно быстрые компоненты пакета имеют большую вероятностью прохождения. Таким образом, кажущееся ускорение нейтрона объясняется редукцией волнового пакета, имеющее ту же природу, что и известный

парадокс Хартмана [90, 91], или отрицательное GDT при отражении нейтронов от асимметричной потенциальной структуры [25].

2.3.2. Отражение нейтрона от потенциальной ступени

По сравнению с задачей прохождения волнового пакета через потенциальный барьер, отражение от потенциальной ступени является более наглядным примером эффекта ускорения, поскольку здесь возможна описание величины эффекта лишь формулой

Ау = ах, (2.30)

где а - ускорение ступени, т - групповое время задержки ГВЗ, которое при полном отражении от полу бесконечной области потенциала определяется как

т= , % , (2.31)

где Еп и и - энергия нейтрона и величина потенциала соответственно. Исходя из гипотезы [73] следует ожидать, что ускоренное движение области потенциала должно приводить к дополнительному изменению скорости нейтрона. Однако при демонстрации эффекта возникает целый ряд трудностей.

Помимо эффекта ускорения энергия отражённого состояния изменяется так же при упругом отражении от движущейся стенки (эффект Доплера). При этом эффект будет зависеть от времени, поскольку скорость ступени зависит от времени. В подавляющем большинстве случаев эффект Доплера на порядок больше эффекта ускорения.

В общем виде, изменение энергии квантовой частицы, взаимодействующей с объектом, в силу эффекта ускорения записывается в виде:

АЕ = ахНк = ах^ЪпЕ . (2.32)

Поскольку мы рассматриваем лишь случай полного отражения, за время т можно принять время отражения плоской волны от стационарной потенциальной ступени:

х = Н . 1 , (2.33)

4Е{и~Е)

где и - высота потенциального барьера, Е - энергия падающей на него частицы. Подставив выражение (2.33) в формулу (2.32), получим:

Ну/2

АЕ = Н—г = . =. (2.34)

уЩи-Е) у1(и-Е)

Поскольку скорость потенциальной ступени зависит от времени, энергия частицы, падающей на потенциальную ступень в системе координат покоя ступени, равна:

т (V + 2 + а )2 тК2 I- т (М )2

Е = (о 20-= Е0 + + + тУ-^ (2.35)

здесь у0, Е0 - соответственно начальные скорость и энергия частицы, а - ускорение потенциальной ступени, ¥0 - начальная скорость ступени. В итоге формула изменения энергии отражённой частицы в силу эффекта ускорения будет выглядеть следующим образом:

. „ , ах-^ЪпЁ ах Ну!2 т /о

АЕ = п , — = —¡= = ■ {¿.30)

^ 2 _

и - Е - т2°— ^тЕ0 - т (at)2/2

Нами были проведены численные расчёты задачи отражения волнового пакета от ускоряющейся потенциальной ступени. Результаты расчетов в целом допускают интерпретацию изменения скорости отражённого состояния как результат действия эффекта ускорения, однако этот эффект сильнейшим образом маскируется здесь значительно более сильным эффектом Доплера, что делает такую интерпретацию не вполне надежной.

Возможность усилить эффект ускоренного вещества для данной задачи затруднена рядом вычислительных факторов, связанных в первую очередь с ненулевой шириной волнового пакета в координатном и импульсном представлениях.

Вследствие этого было принято решения обратиться к случаю полного отражения от асимметричного потенциала [25, 92], имеющего форму двойной ступени и обладающего резонансными свойствами.

2.3.3. Отражение нейтрона от резонансной потенциальной ступени

Потенциальная структура такой ступени представлена формулой:

0, х < а

и, а < х < а + й (2.37)

и (х ) =

и, х > а + й.

Здесь а - координата левой границы ступени, й - ширина промежуточного слоя. Стационарная задача об отражении нейтрона от неподвижного потенциала такого вида неоднократно исследовалась. В работе [92] было показано что в области полного отражения Е < и2 производная дф/дк^ от фазы амплитуды отражения г = ехр (¿ф) имеет максимум, которому соответствует максимум ГВЗ (2.5).

В условиях резонанса время задержки при отражении возрастает на несколько порядков. Естественно было ожидать, что и передача энергии, обусловленная ускоренным движением потенциала, также существенно возрастет по сравнению со случаем отражения от простой потенциальной ступени. Расчеты вполне оправдали эти ожидания.

Рисунок 2.7 иллюстрирует эффект ускорения при полном отражении волнового пакета от ступенчатой потенциальной структуры, обладающей резонансными свойствами. На рисунке 2.7а представлена зависимость группового времени отражения нейтрона от энергии при отражении от области действия потенциала и = 300 нэВ, и от ступенчатой потенциальной структуры, характеризующейся следующими параметрами: и1 = 100 нэВ, и2 = 300 нэВ, й = 200 нм. Обозначения приведены на рисунке. На рисунке 2.7Ь приведены три кривые, представляющие собой спектры скоростей состояний после отражения от потенциала. Энергия падающего нейтрона слегка превышала величину потенциала и1 и составляла величину Е = 103.2 нэВ, соответствующую резонансной задержке отраженной волны.

Отрицательный знак скорости в спектрах соответствует обратному, по сравнению с начальным, направлению движения. Величина ускорения потенциальной ступени в расчётах была равна а = -5-104 м/сек2. Кривая 1 - спектр

скоростей пакета, отраженного от неподвижной потенциальной ступеньки, кривая 2 - спектр скоростей пакета, отраженного от составной ступени, движущейся с небольшой постоянной скоростью навстречу пакету.

Параметры расчета были выбраны таким образом, что в момент достижения максимума волнового пакета потенциала скорость последнего была такой же, как и в случае отсутствия ускорения. Увеличение скорости по сравнению со случаем 1 обусловлено эффектом Доплера. Кривая 3 изображает спектр скоростей пакета после отражения от ускоряющейся потенциальной ступени.

•О «» «о "О "О Скорость, м/сек

Энергия, нэВ

Рис. 2.7 - а) групповое время задержки при отражении от обычного потенциального барьера и от барьера с дополнительной ступенькой. Ь) спектры скоростей после отражения от движущегося потенциала. Пояснения в тексте.

Видно, что пакет 3 заметным образом деформирован. Это обусловлено тем, что его энергетическая ширина сравнима с шириной резонанса. Поэтому разные части спектра получили различное приращение скорости и энергии. Существенное различие спектров 2 и 3 демонстрирует несомненное наличие эффекта ускорения при отражении от потенциальной структуры, движущейся с ускорением.

2.3.4. Резонансное туннелирование нейтрона через двойной потенциальный

барьер - интерферометр Фабри -Перо.

Одним из наиболее интересных объектов для исследования эффекта передачи энергии при рассеянии на ускоряющемся объекте является резонансная

потенциальная структура, аналог оптического интерферометра Фабри-Перо. Простейший интерферометр такого рода, называемый нейтронным интерференционным фильтром (НИФ), представляет собой комбинацию трех пленок, характеризующихся различными значениями эффективного потенциала (2.6). Потенциальная структура такого фильтра представляет собой два барьера и яму между ними.

Расчёт подобной структуры основывается на решении уравнений непрерывности для волновых функций на всех границах. Аналитическое решение для амплитуд отражения и пропускания такого объекта дано в работе [93], проблеме туннелирования частиц через двугорбый барьер посвящены работы [2224]. Работа [94] посвящена изучению туннелирования частицы через систему из двух барьеров и ямы, величина которой осциллирует во времени.

Двухбарьерный интерференционный фильтр характеризуется узкой энергетической линией пропускания (рисунок 2.8), а время прохождения нейтрона через такой объект превышает время свободного пролёта частицы через область пространства такой же протяженности на порядки величины.

Так же, как и в рассмотренной выше задаче об отражении волнового пакета от резонансной структуры неизбежны трудности, обусловленные малой шириной линии резонансного туннелирования и изменением скорости интерферометра за время взаимодействия с ним волнового пакета.

В расчетах энергетическая ширина волнового пакета была выбрана много меньшей ширины линии пропускания фильтра. При этом энергия, соответствующая максимуму спектра волнового пакета, падающего на фильтр, совпадала с центром линии резонансного пропускания покоящегося интерференционного фильтра.

Значения начальной скорости и ускорения фильтра выбирались исходя из следующих соображений. В начальный момент времени ? = 0 максимум волнового пакета находился на расстоянии 150 мкм от фильтра. При этом скорость нейтрона направлена в положительном направлении оси Х, то есть по направлению к фильтру. В этот момент времени фильтр движется с некоторой начальной

скоростью и ускорением, направленным в противоположную от направления скорости сторону. Таким образом, скорость фильтра уменьшалась.

50 100 150 200 250 300 350

Энергия, нэВ

Рис. 2.8 - Потенциальная структура фильтра и его линия пропускания.

Начальная скорость фильтра была достаточной для того, чтобы он не пропускал падающий волновой пакет. Параметры движения фильтра подбирались таким образом, чтобы к моменту, когда его достигал максимум волнового пакета, скорость фильтра была равна нулю. Хотя скорость фильтра меняла при этом знак, а равнозамедленное движения превращалось в равноускоренное, направление вектора ускорения оставалось при этом неизменным.

Таким образом, за время взаимодействия волнового пакета с фильтром, скорость пакета в системе координат покоя фильтра проходила через всю область пропускания фильтра. Эволюция пакета прослеживалась до того момента, пока он полностью не провзаимодействует с потенциальной структурой, а обе его компоненты, соответствующие прошедшему и отраженному состояниям, не отойдут от фильтра на расстояние, равное 35х

Параметры потенциала были выбраны следующим образом: П\ = 200 нэВ, и = 2.15 нэВ, а = 30 нм, Ь = 23 нм. При этом максимум линии пропускания соответствовал энергии Е = 100 нэВ, а дисперсия волнового пакета в координатном представлении 5 = 40 мкм. На рисунках 2.9 представлены спектры скоростей состояний, прошедших сквозь потенциальную структуру ускоряющегося фильтра.

4.366 4.368 4 370 4.372 4 374 4.376 4 378 4.380 4 382 4.384 4 366 4 368 4370 4 372 I-374 4 376 4 378 4380 4 382 4384

Скорость, м/сек Скорость, м/сек

Рис. 2.9 - Спектр скоростей нейтрона, прошедшего через фильтр, двигающимся с ускорением, направленным против a), или по b) скорости нейтрона. Номера у кривых соответствуют следующим параметрам: 1 - спектр начального состояния, 2 - абсолютная величина ускорения |а| = 5-103 м/сек2, 3 - |а| = 1-104 м/сек2, 4 - |а| = 2-104 м/сек2.

Из сравнения кривых, представленных на рисунке 2.9, следует, что при ускоренном движении фильтра спектр прошедших фильтр нейтронов и в самом деле смещается, причем это смещение зависит от знака и величины ускорения. При этом имеет место размытие спектра, величина которого также зависит от величины ускорения. По-видимому, это обусловлено заметным изменением скорости фильтра за время взаимодействия пакета с резонансной потенциальной структурой фильтра.

Полученные результаты убедительно доказывают существование эффекта ускоренного вещества и в случае квантового туннелирования.

2.3.5. Туннелирование нейтрона через регулярную систему, образуемую

потенциальными барьерами.

Продемонстрировав в численном расчёте существование эффекта ускорения для туннелирования через простейшую резонансную систему естественно обратиться к случаю более сложной потенциальной структуры, состоящей из достаточно большого числа потенциальных барьеров.

Связь этой модели с многочисленным семейством многослойных интерференционных зеркал и фотонных кристаллов, широко применяемых в обычной оптике, рентгеновской и нейтронной оптике, вполне очевидна. В качестве

модели была выбрана система из 51 потенциального барьера, шириной 25 нм и расстоянием между ними 5 нм. Высота барьеров составляла 250 нэВ.

На рисунке 2.10а представлена зависимость пропускания такой структуры от энергии нейтронов. Видно, что в диапазоне энергий от 228 до 305 нэВ, соответствующему Брэгговскому отражению, структура не пропускает нейтроны. Важно, что для энергий нейтронов, ниже величины потенциала барьеров имеется довольно широкая область энергий, для которой пропускание значительно.

Подчеркнем, что природа такого пропускания близка к природе резонансного туннелирования через простейший интерференционный фильтр с единственной потенциальной ямой. В некотором роде периодическую структуру с многими барьерами и ямами можно рассматривать как совокупность множества элементарных резонаторов. Сплошной барьер с такой же эквивалентной толщиной абсолютно не прозрачен. ГВЗ при пропускании в области наибольшей прозрачности структуры слегка осциллирует, оставаясь в диапазоне 350-450 нсек. Рисунок 2.10б демонстрирует спектр прошедшего состояния в отсутствии ускорения и для потенциальной структуры, движущейся с ускорением.

Величина сдвига спектра для двух направлений ускорения имеет различное значение. Это можно достаточно легко объяснить из полуклассических соображений разным временем прохождения потенциальной структуры в двух случаях.

Энергия, нэВ Скорость, м/сек

Рис. 2.10 - а) - Зависимость пропускания периодической потенциальной структуры от энергии, Ь) - эволюция спектров скоростей при прохождении через структуру, движущуюся с ускорением. 1 - спектр начального состояния, 2 - ускорение а = 5-105 м/сек2, 3 - ускорение а = -5-105 м/сек2.

Поскольку скорость образца в обоих случаях направлены в разную сторону, для случая положительного ускорения состояние внутри структуры будет догонять противоположную границу, в то время как случае отрицательного ускорения противоположная граница будет двигаться навстречу состоянию.

Выводы главы 2.

В главе приведены результаты численного исследования взаимодействия ультрахолодных нейтронов с потенциальными структурами, двигающимися с постоянным ускорением. Решение нестационарного уравнения Шрёдингера для этих задач находилось методом расщепления оператора эволюции. Были рассмотрены задачи о прохождении нейтронов над ускоряющимся потенциальным барьером как при значительном превышении энергии частицы над барьером, когда значимость интерференционных эффектов пренебрежимо мала, так и в противоположном случае малого превышения энергии над барьером. Первая из вышеуказанных задач допускает простой анализ, основанный на классическом подходе, что позволило с большой степенью надежности подтвердить правильность применяемого численного метода.

Исследован случай полного отражения нейтрона от двойной потенциальной ступени, движущейся с ускорением. Этот случай интересен тем, что групповое время задержки при отражении от такой структуры существенно превышает время отражения от обычной потенциальной ступени. Были рассмотрены также две задачи туннелирования нейтрона сквозь ускоряющиеся потенциальные структуры.

В одном случае такая структура состояла из двух барьеров с ямой между ними, что характерно для простейшего резонатора - интерферометра Фабри-Перо. В другом случае потенциальная структура представляла собой последовательность периодически чередующихся барьеров и ям, что характерно для многослойных зеркал - монохроматоров.

В расчетах сравнивалась форма волнового пакета после взаимодействия с ускоряющимся объектом с формой начального пакета. Во всех случаях результатом взаимодействия было изменение спектра скоростей. Имел место сдвиг скоростного распределения, в ряде случаев сопровождавшийся уширением

спектра. Изменение наиболее вероятной скорости - максимума пакета в скоростном представлении, было пропорционально величине ускорения и меняло знак при изменении направления последнего. Изменение скорости нейтрона по порядку величины соответствовало соотношению, д( у) = ах, где V - средняя

скорость, а х - групповое время задержки (2.5). Точного выполнения этого условия не следует ожидать, поскольку из-за большого ускорения свойства системы заметно меняются за время прохождения пакета через область потенциала.

Полученные результаты согласуются с качественным предсказанием [73] об изменении частоты волны и энергии частицы при взаимодействии с ускоряющимся объектом не только в обычной оптике, но и в существенно квантовых явлениях. Это позволяет говорить об общем эффекте ускорения.

В рассмотренных выше задачах все расчеты велись для частицы с параметрами, характерными для УХН. Этот выбор определялся представлением о том, что именно УХН являются наиболее подходящим объектом для экспериментальной проверки справедливости полученных выше результатов, которые далеко выходят за рамки нейтронной оптики и имеют значительно более общее значение.

Во всех расчётах и рассуждениях предполагалось справедливость представлений об эффективном потенциале вещества (2.6), в том числе и для случая большого ускорения образца. Вместе с тем в случае среды, движущейся с большим ускорением, справедливость такого предположения совершенно не очевидна [70, 71, 95]. Более того, если эффект ускорения действительно является универсальным, то он в полной мере должен относиться и к случаю рассеяния нейтрона на атомном ядре, движущимся с ускорением. Это не может не повлечь коррекцию наших представлений о законе дисперсии нейтронных волн в среде, движущейся с ускорением.

Глава 3. Взаимодействие волнового пакета с осциллирующим в пространстве резонансным потенциалом.

3.1. Введение.

Третья глава диссертации посвящена теоретическому анализу задач о взаимодействии волнового пакета с двумя различными потенциальными структурами. Первой из рассмотренных структур является двойная потенциальная ступень, а исследуемая задача - отражение нейтронной волны от осциллирующей ступени.

В качестве второй структуры был взят интерференционный фильтр и исследовалась задача о прохождении волнового пакета через осциллирующий в пространстве интерференционный фильтр. Был исследован простейший интерференционный фильтр, представляющий собой комбинацию трёх пленок, характеризующихся различными значениями эффективного потенциала.

Подобные потенциальные структуры характеризуются квазистационарным состоянием, возникающим внутри них и обладающим довольно большим временем жизни. Подробное описание указанных структур находится в главе 2.

Основной целью исследования, положенного в основу главы, является определение роли времени взаимодействия волны с осциллирующей в пространстве резонансной структурой.

3.2. Отражение волны от двойной потенциальной ступени, осциллирующей

в пространстве.

3.2.1. Формулировка задачи.

Рассмотрим задачу, в которой плоская монохроматическая волна

¥0( х, ^ ) = ехр (¡к^х - щ ^) (3.1)

отражается от резонансного осциллирующего в пространстве потенциала и(х, ?), имеющего форму двойной потенциальной ступени

0, х < а (г)

и(х,г} = ]и1, а(г)< х < а(г) + к. (3.2)

и2, х > а (г) + к

Здесь

а(0 = ^т(П0, и < и2. (3.3)

Известно, что в нейтронных экспериментах нужная конфигурация планарной потенциальной структуры может быть реализована подбором слоёв вещества,

характеризующихся различным значением эффективного потенциала

2

2пк

и =

■т,

т

(3.4)

где N - плотность ядер в веществе, Ь - длина когерентного рассеяния.

Как уже говорилось в главе 2, стационарная двойная ступень в области полного отражения E < U2 имеет максимум производной д<$/дк0 от фазы амплитуды отражения г = ехр (¿ф) которому соответствует максимум ГВЗ [74, 75]:

5ф

х = п—

дЕ

(3.5)

Резонансный характер зависимости времени отражения от энергии падающей волны на такую двойную потенциальную ступень демонстрирует рисунок 3.1.

Рис. 3.1 - Групповое время задержки при отражении нейтрона от пленки, нанесенной на подложку. Вверху слева показана потенциальная структура такого образца. На врезке -поведение фазы отраженной волны.

3.2.2. Квазистационарное приближение.

В работах [14, 96] отмечалось, что в ряде случаев возможен достаточно общий подход к вопросам периодического воздействия на волну. В самом деле, пусть результатом действия некоторого устройства, расположенного в начале координат, является периодическое изменение амплитуды или фазы начальной плоской волны. Тогда на малых расстояниях от него волновая функция имеет вид

\|/(х,?) = /(?)ехр(/Ьг-/со?), к~1<х<^уТ, (3.6)

где I (?) в общем случае - комплексная функция с периодом Т, V - скорость нейтрона.

Представляя / (?) в виде Фурье-разложения по частотам пО

да 2 л

I(?) = I Сп ехр(-¡пО?), О = — (3.7)

п=-да Т

и принимая во внимание закон сохранения энергии, получим для х > 0

да

х,?)= I Спехр(¡кх-¡ю?)ехр(¡кпх-¡кх)ехр(-пО?) =

п=-да

да '

= I Сп ехр ( ¡кпх - ¡юп? )

(3.8)

где

Юп = ю0 + п0, кп = к0 (1 + пу) . (3.9)

В работах [14, 96] таким методом находилось решения задачи об отражении нейтронов от зеркала, характеризующегося переменным потенциалом V(?) = и + и(?). Его постоянная часть и была образована эффективным

потенциалом вещества (3.5), а переменная и(?) обусловлена взаимодействием

переменной во времени магнитной индукции В с магнитным момента нейтрона.

В работе [16] аналогичный подход применялся для анализа задачи об отражении частицы от осциллирующего в пространстве потенциала. В этом случае справедливость квазистационарного подхода не столь очевидна. Дело в том, что движение границы потенциала приводит не только к появлению зависящей от времени фазы, обусловленной периодическим изменением дистанции от точки

п=-да

наблюдения x до границы потенциала, но и к передаче частице энергии и импульса, обусловленного эффектом Доплера. Пренебречь этим эффектом можно только если скорость границы vr = AQ cos (Qt) мала, то есть в пределе малых частот Q. Тогда

волновая функция отраженной волны есть

у r (х, t) = r (k0) exp (-i2k0 A sin Qt) exp (-ik0x - i©0t), (3.10)

где амплитуда r (k0) от времени не зависит. Для того, чтобы в этом приближении получить конечный результат, достаточно воспользоваться разложением

+<Х)

exp(iasm0)= X J(a)exp(in0), (3.11)

n=-<»

и законом сохранения энергии:

у r (x, t) = r (k0) exp (-ik0 x - i w0t) X X Jn (2a) exp (iknx - iwnt), (3.12)

n

где a = k0 A, а kn и юп определяются формулой (3.9).

Подобным приближением можно воспользоваться и для решения задачи об отражении волны от потенциала (3.2), (3.3). Если энергия частицы далека от резонансной, то эта задача ничем не отличается от рассмотренной выше задачи об обычном осциллирующем зеркале. Однако в резонансных условиях производная от фазы амплитуды отражения dy/dkl резко возрастает и ее зависимостью от переменного во времени волнового числа k0 + Sk(t), обусловленного эффектом Доплера, пренебрегать уже нельзя. Вместе с тем возрастание вклада зависящей теперь от времени фазы y(t) снижает относительную погрешность, обусловленную

пренебрежением вкладом в результат от члена [ k0 + Sk (t)] х в экспоненте волновой

функции. Поэтому можно надеяться на относительное ослабление требований к малости скорости границы AQ « v.

Помня о том, что в интересующей нас области выполняется условие полного отражения E < U2, запишем волновую функцию отраженного состояния в виде,

отличающимся от (3.10) только временной зависимостью фазы

у r (х, t) = exp [/ф( t)] exp (-i 2k0A sin Qt) exp (-ik0x - iro0t), (3.13)

где ф(*) = ф[&0+ 5&(/)], Ък{() = туг{()1Н . Представив периодическую функцию g (г) = ехр [гф( г)] в виде Фурье-разложения

ад

g (г ) = Е сп ехр (ты), (3.14)

т=-ад

и воспользовавшись, как и ранее, разложением (3.11), получим выражение для у г (х, г) в виде двойной суммы.

у г (х, г ) = ехр (-гк0х - /ш0г )ЕЕ^Л'( а) ехр [ (т + п')Ог ]. (3.15)

т П

Проведём замену индексов суммирования п + т = т. Тогда, приняв во внимания закон сохранения энергии, как это делалось в (7), и поменяв порядок суммирования, получим

ад ад

Vr (x t )=Е Е GmJn-m ( а) eXP (iknx - ). (3.16)

n=-ад т=—ад

Для вычисления Фурье-коэффициентов Gm необходимо задать функцию r (к) = exp [/ф( к)] в интересующей нас области значений к0. Она находится стандартным образом из уравнений непрерывности для потенциала U (x) вида (3.2) с a = const. Результаты расчёта этим методом приведены ниже.

3.2.3. Решение задачи на основе системы уравнений непрерывности

Рассмотрим теперь нестационарное уравнение Шрёдингера для задачи об отражении плоской волны от осциллирующей резонансной потенциальной структуры:

h2 d24>(x,t)

ifi--—- =---Ц—/- + U(x,t)x¥(x,t). (3.17)

dt 2т дх V ' V '

Решение уравнения (3.17) будем искать в следующем виде:

x, t ) = <

¥0(x, t) + x, t), x < a(t)

x,t) + ^(x,t), a(t)< x < a(t) + h. (318)

¥,(x,t), x > a(t) + h

Функции ¥г, ¥Ь, ^ могут быть представлены в виде разложения по плоским волнам, по аналогии с работами [16, 40, 97]

¥ г (х, г ) = : XГи еХР(—/кик0х и (3.19а)

¥ 7 (^ г ) = --X 7и ехР (гЧА)х - и -1Ыиг ) (3.19Ь)

¥ ъ (х, г ) = Xъи еХР (—Щпк0х и — ^ ), (3.19с)

п * Xги еХР(фпк0х — Шиг ). (3.19а)

Здесь приняты следующие обозначения:

+ иг — в, п /1 + иг — в,

(3.20)

®и = ®0 + иП, к и = >/ 1 + и§, Пп =у/1 + пУ — Рх, Ри =у1 1 + «Г — Р 2,

Рх = ^0, Р2 = и2/Ео, г = ^®0, и = 0,±1,±2,... Функции (3.19) должны удовлетворять условиям непрерывности на осциллирующих в пространстве границах.

¥п+¥ = ¥, + ¥,

0 г Г ъ )

5 5 5 5 —¥0+—¥г = —¥, + — 5х 5х 5х 7 5х

<г)

¥ 7 + ¥ ъ = ¥,

а(г )+Л

5 5 5 —¥ 7+—¥ ъ=—¥

5х 7 5х 5х

(3.21а) (3.21Ь) (3.21с) (3.21ё)

а(г )+к

Подставляя волновые функции (3.18 - 3.19) в уравнения (3.21), и снова воспользовавшись разложением (3.11), получим

3т ( а ) + X ^т+п ( —ак и ) = X ^т+п ( аПи ) + X К3т+и ( —«Пи ) (3.22а)

и и и

3т ( « ) — X К пГп3т+п (—аК и ) = X Пи/и^т+и ( «Пи ) — X ПпЪп3т+п ( —«Пи ) (3.22Ь)

и и и

X е^Мт+п (аПи) + X е~Щ"к0кЪ3т+п (—аПи) = X ^¿^ (аРи), (3.22с)

и и и

X е^Ч/и ¿т+и (аПи) — X е^ЧъЛ+и (—«Ли) = X е^Ри'и ¿т+и (аРи )• (3.22ё)

т ! / , щ и т+и\ щ,

и и

и

и

Система (3.22) содержит бесконечное число уравнений. Ее можно решить если ограничиться нужным числом членов в суммах по п и, соответственно, определенной точностью.

Решение существенно упрощается в приближении малых амплитуд осцилляции, когда можно ограничиться нулевым и ±1 порядками п. Воспользуемся приближенным значением функций Бесселя нулевого и первого порядков (х << 1)

J0(х) =1 х) = х, х) = - х.

(3.23)

Положив

J2( х) = г±1 J±l( х) = /±1J±1( х) = /±1 J±l( х) = Ъ±_1 J±l( х) = 0 (3.24)

и подставив (3.23) и (3.24) в (3.22), получим систему из двенадцати уравнений с двенадцатью неизвестными гп,/п, Ьп, и, где п = 0, ±1. Поскольку итоговые формулы оказываются достаточно громоздкими, приведем здесь выражения лишь для амплитуд отраженных волн нулевого и 1порядков

С1 - По)(По + Ро) + (©о )2 С1 + По)(По - Ро)

го =

С1 + По )(По + Ро ) + (©о )2 С1 - По )(По - Ро )

(3.25)

г± 1 =

а (Ло2 -1) " (п2 - р2 ) 4ПоП± Л, 2\ ©о©± 1 + ПоП± 1А1 + ПоР± А + П± 1Ро А3 + РоР ± 1А4 _ (1 - П )

"По (1 + Ро )(1 + ©о ) + (Ро + п2)(1 - ©о )] > 1 (К± 1 + Р± 1 )(1 + ©± 1) + (+ к± 1 )(1 - © 1)_

Здесь

©о = ехр (¡кцИЦо), ©± 1 = ехр (к,^ ±1), А = 1 + ехр (гк0кц0) + ехр (гк0кц х ) + ехр [[/? ( г|0 + П 1)], А = 1 + ехр(1к0кц0) - ехр(¡к0кц х) - ехр[/к0/г (г|0 + П х )] , А = 1 - ехр (1к0кц0) + ехр () - ехр [/к0/г (По + п_1)], А = 1 - ехр(1к0кц0) - ехр(¡к0кц х) + ехр[/к0/г (По + п х )] .

(3.26)

(3.27а) (3.27Ь) (3.27с) (3.27ё) (3.27е)

Пример численного решения системы (3.22), результатом которого являются значения амплитуд отраженных волн вплоть до третьего порядка, мы также приведем ниже.

Описанные выше методы решения имеют одно очень существенное ограничение. Оперируя с волновыми функциями исходного и конечного состояния, мы получаем решения, которые оказываются не чувствительными к динамике процесса взаимодействия, всегда занимающего определенное время.

Вместе с тем, сам выбор объекта исследования, представляющего собой резонансную структуру, был сделан с целью выяснить роль ГВЗ при взаимодействии частицы с переменным во времени потенциалом. Определенные надежды проследить влияние времени взаимодействия можно связывать с численным методом расчета, чувствительным к временной картине взаимодействия.

В качестве численного метода расчёта был выбран метод расщепления оператора эволюции. Подробное описание этого метода приведено во 2 главе.

3.2.4. Формулировка начальных условий численного расчёта.

Начальная волновая функция, как и в предыдущих задачах диссертации, представлялась в виде Гауссового волнового пакета:

(х, к) = ехр (- 1к^х) ехр

г ( \2Л

( х х0 ) " 252

у

(3.28)

где 5 - ширина пакета в координатном пространстве, ко -волновое число, соответствующее максимуму волнового пакета. В качестве количественных значений параметров волнового пакета были использованы значения, характерные для УХН. Чтобы избежать присутствия бесконечных величин в численных расчетах форма потенциала была выбрана в виде

0, х < а (t)

и(х^) = ]и, а(t)< х < а(t) + И , (3.29)

П2, а^) + И < х < а(^ + И + Б

слегка отличающимся от (3.2). Здесь как и ранее и1 < и2, а(?) = величина

В выбиралась достаточно большой, чтобы затухающая в этом слое волна имела пренебрежимо малую интенсивность у выходной поверхности. Параметры потенциала были выбраны такими: и1 = 92.9 нэВ, и2 = 500 нэВ, И = 160 нм, В = 10 мкм. График зависимости ГВЗ при отражении от энергии падающей волны для такой структуры приведён выше на рисунке 3.1. Энергия нейтрона соответствовала максимуму ГВЗ и составляла Е = 100 нэВ.

Положение левой границы потенциальной структуры в начальный момент времени принималось за начало координат, х = 0. Частота осцилляций составляла О = 1 МГц, амплитуда А = 15 нм. При таком значении амплитуды максимальное изменение энергии падающей волны в системе координат покоя ступени не выходило за пределы ширины резонанса на полувысоте.

Энергетическая ширина начального состояния принималась равной 5Е = 0.6 нэВ, что соответствовало пространственной ширине 5х = 4.5 мкм. Начальное положение волнового пакета х = -15 мкм, было выбрано таким образом, что в момент времени ? = 0 пакет полностью находился вне потенциала. Эволюция волнового состояния прослеживалась до того момента, пока волновой пакет полностью не провзаимодействует с потенциальной ступенью, а его максимум не отойдёт от границы потенциала на величину большую чем 35х.

3.2.5. Результаты расчетов.

Тремя методами, описанными в параграфах 2.2, 3.2.2, 3.2.3, были проведены расчёты для случаев, когда энергия падающего волнового состояния в точности соответствовала максимуму резонанса, (Е0 = 100 нэВ), была полностью вне резонанса (Е0 = 90, 100 нэВ), а также частично в резонансе (Е0 = 95, 105 нэВ). В результате были получены энергетические спектры отражённого состояния.

Рисунки 3.2 и 3.3 иллюстрируют результаты расчетов. На графиках рисунка 3.2 видно, что в случае, когда энергия падающего состояния далека от резонансной, все результаты хорошо согласуются.

Рис. 3.2 - Энергетические спектры отражённого состояния, полученные численным расчётом (кривая 1), в приближении малых амплитуд (2) и в квазистационарном приближении (3). Энергии падающих нейтронов: 90, 110 нэВ.

Рис. 3.3 - Энергетические спектры отражённого состояния, полученные численным расчётом (кривая 1), в приближении малых амплитуд (2), и в квазистационарном приближении (3). Энергии падающих нейтронов: 95, 100, 105 нэВ.

Однако, если энергия нейтрона такова, что время отражения соответствует одному из склонов пика времени отражения (95 и 105 нэВ), спектры 1, полученные численным расчетом, становятся асимметричным. Кроме того, по сравнению со

спектрами 2 и 3 у них заметно увеличена интенсивность пика нулевого порядка. Точно в резонансе (E = 100 нэВ) симметрия порядков восстанавливается, однако в спектре 1 заметно увеличена интенсивность нулевого порядка за счет подавления интенсивности остальных пиков.

Таким образом, в условиях резонансного увеличения времени отражения результаты численного расчета существенным образом отличаются от результатов, полученных путем аналитического решения уравнения Шредингера.

Поэтому представляет интерес сравнение расчетных спектров отраженного состояния для рассматриваемой здесь резонансной структуры со спектрами отражения от обычной потенциальной ступени [16]. Результат такого сравнения иллюстрируется рисунком 3.4.

Амплитуда колебаний и высота потенциала U1 такая же, как и в предшествующем случае. Энергия нейтрона равна 100 нэВ. Расчет был выполнен численным методом. Хорошо видно существенное различие полученных спектров. Спектр состояния, отраженного от обычной потенциальной ступени, качественно близок к спектрам рисунка 3.2 и существенно отличается от спектра, характерного для отражения от двойной ступени в условиях резонанса. По-видимому, это различие обусловлено большой разницей в величине времени взаимодействия.

Однако остается неясным, влияет ли на подавление интенсивности высоких порядков изменение соотношения между периодом осцилляции и временем взаимодействия [98], или это связано с какими-то иными причинами. Для того, чтобы прояснить этот вопрос, полезно сравнить спектры отраженного состояния для рассмотренной выше задачи об осциллирующей двойной потенциальной ступени и для случая неподвижной двойной потенциальной ступени с потенциалом U1, осциллирующим по величине.

Соответствующий расчет был проведен численным методом. Потенциал U1 неподвижной двойной ступени

U (t ) = U° + Ъы sin (rat) (3.30)

осциллировал по высоте с той же частотой ю = 1 МГц, что и в случае пространственной осцилляции. Величина его постоянной части V° была равна приведенной выше величине V. Амплитуда осцилляции 5и = 4 нэВ, была выбрана таким образом, что она была равна изменению эффективной величины потенциала V, возникающей благодаря периодическому изменению скорости нейтрона в

системе координат ступени, осциллирующей в пространстве с той же частотой ю и амплитудой А = 15 нм.

Полученный результат иллюстрируется рисунком 3.5.

Рис. 3.4 - Спектры отражённого состояния для случаев отражения от осциллирующей резонансной потенциальной ступени (1) и обычной потенциальной ступени (2).

Рис. 3.5 - Спектры отражённого состояния для случаев отражения волнового пакета от резонансной ступени, осциллирующей в пространстве (1) и с осциллирующей величиной потенциала и (2).

Из сравнения рисунка 3.5 с рисунком 3.4 видно, что спектр отраженного состояния от резонансной структуры с потенциалом, осциллирующим по величине, очень близок к спектру состояния, возникающего при отражении от обычной осциллирующей потенциальной ступени.

Вместе с тем они существенно отличаются от спектра, полученного для резонансной структуры, осциллирующей в пространстве. По-видимому, можно утверждать, что эффект подавления высоких порядков при отражении от резонансной структуры обусловлен не только соотношением периода колебаний и времени взаимодействия, но ещё какой-то иной причиной.

Такой причиной может являться эффект ускорения [99], проявление которого в секторе квантовой механике было продемонстрировано во второй главе диссертации. Однако механизм его проявления в данном случае не вполне ясен.

3.3. Прохождение волнового пакета через осциллирующий в пространстве

интерференционный фильтр.

В дополнение к изученной проблеме отражения нейтронной волны от осциллирующей резонансной структуры, мы рассмотрели задачу о прохождении волнового пакета через осциллирующую в пространстве резонансную потенциальную структуру, аналог оптического интерферометра Фабри-Перо.

Об интерферометре Фабри-Перо уже велась речь в главе 2. Напомним, что простейший интерферометр такого рода, называемый нейтронным интерференционным фильтром (НИФ), представляет собой комбинацию трех пленок, характеризующихся различными значениями эффективного потенциала (3.5). Потенциальная структура такого фильтра представляет собой два барьера и яму между ними. Двухбарьерный интерференционный фильтр характеризуется узкой энергетической линией пропускания (рисунок 2.8).

В случае осциллирующего фильтра в системе координат покоя фильтра энергия падающей волны будет периодически перемещаться вокруг резонансного значения, сканируя весь резонансный пик пропускания. Таким образом, пропускающие способности фильтра будут периодически меняться, пропуская или не пропуская падающую волну.

Вследствие этого прошедшее состояние должно быть промодулировано по амплитуде и фазе, а его спектр будет расщеплён на эквидистантные линии. Расстояние между соответствующими линиями (параметр расщепления спектра), должно определяться частотой осцилляции фильтра/, АЕ = Ю, где О = 2л/

3.3.1. Параметры расчёта.

Так же, как и в случае, рассмотренном выше, начальная волновая функция нейтрона представлялась в виде Гауссового волнового пакета (3.28). Энергия

начального состояния была взята соответствующей положению максимума пропускания фильтра Е = 100 нэВ.

Волновой пакет в начальный момент времени находился в точке х = -100 мкм и двигался в положительном направлении. Ширина волнового пакета была выбрана 5E = 0.15 нэВ, что соответствует пространственной ширине 5.x = 18 мкм. Образец в начальный момент времени находился в точке х = 0 (координата левого края потенциальной структуры) и осциллировал в пространстве с заданной амплитудой.

В качестве фильтра была взята потенциальная структура, состоящая из слоёв шириной 30, 23, 30 нм и потенциалами 200, 2.05 и 200 нэВ соответственно. Величина времени жизни состояния внутри фильтра составляла около T = 400 нсек.

Расчёты были проведены для частоты f= 200 КГц и амплитуды А = 120 нм. При такой амплитуде энергия падающего состояния в системе координат покоя фильтра в фазе максимальной скорости фильтра отличалась от энергии полного пропускания на величину в полторы ширины на полувысоте линии пропускания.

Подобный выбор параметров движения фильтра продиктован довольно важным фактором влияния на результат расчёта систематических погрешностей метода. Дело в том, что исследуемая система чрезвычайно чувствительна к плавности движения фильтра. При малых амплитудах колебаний и недостаточно малых шагах дискретизации пространства и времени движение фильтра становится прерывистым, что сильно влияет на волновое состояние внутри фильтра и влечёт за собой появление систематических погрешностей.

Указанные погрешности проявляются в искажении спектра прошедшего состояния, асимметризации пиков ненулевых порядков, а также в появлении такого эффекта как слияние соседних максимумов в функции пропускания фильтра. При уменьшении амплитуды колебаний, а также при увеличении частоты осцилляций или времени жизни состояния внутри фильтра, эти эффекты усиливаются и в конце приводят к полному слиянию соседних пиков и уменьшению частоты модуляции прошедшей волны вдвое. Понимание существования и природы таких систематических эффектов возникло совсем недавно. К сожалению, информация

об этом не отражена в работе [88], в результатах которой отчётливо прослеживаются подобные эффекты.

Избежать появления подобных ложных эффектов можно, уменьшая шаг дискретизации пространства и времени в расчётах, однако на практике это сделать достаточно сложно ввиду необходимости использования колоссальных вычислительных мощностей. В наших расчётах мы использовали шаг дискретизации dx = 0.3 нм и dt = 0.1 нсек. Прямой проверкой было показано, что для исчезновения систематических погрешностей для расчётов с амплитудой колебания втрое меньшей необходим шаг дискретизации dt < 0.001 нсек. Безусловно рассматриваемая квантовая система больше чувствительна к шагу дискретизации по времени, нежели по пространству, однако точные зависимости пока что изучены слабо. Они требуют отдельного обширного исследования и не являются предметом данной диссертации.

Расчёт эволюции волнового пакета проводился до тех пор, пока провзаимодействовавший волновой пакет не отдалится от образца на расстояние не менее чем 35. В качестве результатов расчёта были получены спектры прошедшего и отражённого состояния, а также функция зависимости квадрата модуля амплитуды волновой функции на выходе из образца от времени.

3.3.2. Результаты численных расчётов.

Поскольку на периоде осцилляций образец дважды останавливается в крайних точках движения, то с точки зрения полуклассического рассмотрения естественно ожидать возникновения в модуляции прошедшей волны двух максимумов на периоде осцилляции фильтра. Частота модуляции при этом должна быть равна удвоенной частоте колебаний образца.

Для количественного сравнения результатов квантового расчёта были проведены оценки функции модуляции образца на основе полуклассических представлений, в которых квадрат модуля функции прошедшей волны на выходе из образца задаётся свёрткой падающего спектра в системе координат фильтра и

функции пропускания структуры. После этого результат сдвигается по времени на величину временной задержки в образце.

На рисунках 3.6 и 3.7 приведены спектры отражённого и прошедшего состояния, на рисунке 3.8 изображено сравнение зависимости квадрата модуля волновой функции на выходе из фильтра с полуклассическим расчётом.

Рис. 3.6 - Спектр отражённого состояния.

1.0

Рис. 3.7 - Спектр прошедшего состояния.

5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

Время,нсек

Рис. 3.8 - сравнение зависимости квадрата модуля волновой функции на выходе из фильтра с полуклассическим расчётом. 1 - квантовый расчёт, 2 - полуклассический расчёт.

Спектры прошедшего и отражённого состояний, как это и ожидалось, оказались дискретными. В спектре отражённого состояния наблюдается провал в амплитудах пиков, близких к энергии пропускания. Однако минимум слегка смещён в сторону больших энергий. Имеет ли подобное поведение физическую

природу или же является результатом систематических погрешностей, сказать сложно.

Прошедшее состояние, как это видно на рисунке 3.8 оказывается промодулировано по амплитуде в соответствии с ожиданием. Имеет место достаточно хорошее совпадение результата квантового расчёта с полуклассическими оценками, основанными на расчёте зависимости пропускания фильтра от времени в системе координат покоя фильтра.

Выводы главы 3.

Получено решение задачи об отражения плоской волны от осциллирующей в пространстве резонансной потенциальной ступени. Эта задача отличается от хорошо изученного случая отражения волны от обычной осциллирующей ступени [14, 16] тем, что при выполнении резонансных условий ГВЗ при отражении возрастает на несколько порядков величины.

Спектр отраженного состояния был найден тремя методами: в квазистационарном приближении, в более строгом подходе, основанном на решении уравнений непрерывности с нестационарными граничными условиями и путем численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера методом расщепления оператора эволюции. Первые два из перечисленных методов в принципе не чувствительны к продолжительности процесса взаимодействия. Численный метод, подразумевающий пошаговое нахождение решения в последовательные моменты времени, должен обладать такой чувствительностью.

Вне резонансных условий решения найденные всеми тремя способами хорошо совпадают между собой и с решением задачи об отражении от обычной потенциальной задачи. При выполнении резонансных условий, при существенном возрастании ГВЗ численный метод дает результат отличный от всех остальных. Отличие заключается в существенном росте интенсивности пика нулевого порядка, соответствующему упругому отражению, за счет подавления пиков более высоких порядков, отвечающих рассеянию с передачей энергии.

Сравнение с отражением волны от аналогичной резонансной структуры неподвижной в пространстве, но с потенциалом, осциллирующим по величине,

дает основание заключить, что указанное подавления линий ненулевого порядка в резонансе обусловлено не только соотношением между частотой осцилляции и величиной ГВЗ, но связано с фактом пространственной осцилляции потенциала. Можно предполагать, что какую-то роль здесь играет эффект ускорения [99], величина которого зависит от ускорения объекта, на котором рассеивается волна, и времени взаимодействия.

С помощью численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера методом расщепления оператора эволюции была исследована задача взаимодействия волнового пакета с осциллирующей в пространстве резонансной потенциальной структурой. В целом результаты расчёта соответствуют ожиданиям. Спектры прошедшего и отражённого состояний имеют линейчатый дискретный вид, прошедшая волна промодулирована по амплитуде. Действие осциллирующего в пространстве интерференционного фильтра аналогично квантовой модуляции потока нейтронов.

Глава 4: Моделирование эксперимента по наблюдению нестационарной дифракции УХН

4.1. Дифракция ультрахолодных нейтронов на движущейся решётке.

Теория.

В первой главе приводилось описание влияния амплитудной модуляции нейтронного потока на спектр и пространственную структуру пучка [6]. Напомним, что при амплитудной модуляции потока нейтронов происходит расщепление энергетического спектра на эквидистантные линии. Расстояние между соседними линиями в спектре будет равно ДЕ = Ю, где циклическая частота Q определяется при этом скоростью V и периодом d решётки Q = 2п Vid. В качестве модулятора здесь может быть использован прерыватель, периодически перекрывающий пучок нейтронов.

Аналогичная ситуация имеет место при модуляции фазы прошедшей волны. В работе Носова и Франка [9] было показано, что движущаяся равномерно поперёк пучка фазовая или поглощающая дифракционная решётка действует в качестве квантового модулятора прошедшего потока нейтронов, дискретным образом изменяющего спектр проходящих через него нейтронов.

Теоретический анализ задачи дифракции нейтронов на движущейся решётке может быть проведён путем решения стационарной задачи в системе координат, движущейся вместе с решёткой. Физическую суть явления нестационарной дифракции нейтронов позволяет понять кинематическое приближение, изложенное в работах [8, 9].

В лабораторной системе координат плоская нейтронная волна, падающая на решетку, имеет следующий вид:

(x,z,t) = exp (ik0 Xx + ik0 Zz - rn0t), (4.1)

где kox = mVox/h, koz = mVoz/h, Vox и Voz - тангенциальная и нормальная компоненты скорости нейтронов, т - масса нейтрона, h - постоянная Планка, со0 = hk2 /2т -

(i 2

частота, k0 = ( kQx + k0z) - значение волнового вектора.

Полагая, что штрихи решетки ориентированы вдоль оси y, компоненту волнового вектора k0y можно исключить из рассмотрения. Везде ниже будет рассматриваться только прошедшая волна.

Дифракция нейтронов на неподвижной решетке приводит к появлению плоских волн разных порядков с х-проекциями волновых векторов knx = k0x - gn, где gn = ngo, go = 2nld - величина вектора обратной решетки, d - пространственный период решетки, n = 0, +1, +2, ... - целые числа. В силу упругости процесса дифракционного рассеяния нейтронов волновые числа и частоты всех дифрагированных волн будут одинаковы: kn = ko, ©n = ©o.