Численное восстановление моментов сил трения в системе полимерных подшипников скольжения по температурным данным тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Тихонов Роман Семенович

• Тихонов Роман Семенович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Тихонов Роман Семенович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА В

СИСТЕМЕ РАДИАЛЬНЫХ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

1.1. Математическое моделирование теплового процесса в подшипниках скольжения

1.2. Моделирование теплового процесса в системе подшипников

1.3 Вычислительные эксперименты (прямая задача)

Выводы главы

ГЛАВА 2. ТЕПЛОВАЯ ДИАГНОСТИКА ТРЕНИЯ В СИСТЕМЕ

РАДИАЛЬНЫХ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

2.1. Методы решения обратных задач

2.2. Алгоритм восстановления фрикционных тепловыделений в системе подшипников по температурным данным

2.3. Вычислительные эксперименты (обратная задача)

Выводы главы

ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ ТРЕНИЯ В

СИСТЕМЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

3.1. Разработка модуля для проведения экспериментальных исследований

3.2. Экспериментальная проверка тепловой диагностики трения

3.3. Рекомендации по тепловой диагностике трения в системе подшипников при невысоких скоростях вращения

Выводы главы

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Свидетельство о госрегистрации программы для ЭВМ

Приложение 2. Свидетельство о госрегистрации программы для ЭВМ

Приложение 3. Патент на полезную модель

Приложение 4. Акт внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное восстановление моментов сил трения в системе полимерных подшипников скольжения по температурным данным»

ВВЕДЕНИЕ

При проведении стендовых и эксплуатационных испытаний узлов трения машин и механизмов существующими устройствами не удается измерить силу трения, что существенно снижает информативность таких испытаний и достоверность методов диагностики технического состояния исследуемого трибосопряжения. Сила трения (мощность трения, момент силы трения) является основной характеристикой пар трения, поскольку все процессы и явления, происходящие при трении, связаны с ней. В условиях отсутствия количественной информации о силе трения достоверность обобщений экспериментальных и теоретических данных, а также прогнозирования изменения параметров, характеризующих явления трения, существенно снижаются в силу неполноты информации. Проблема еще более осложняется для систем узлов трения, в частности для систем подшипников на общем валу. При стендовых испытаниях систем подшипников обычно измеряют суммарный момент трения. Измерение момента трения на каждом подшипнике скольжения тензобалками или другими устройствами не только сложно, но связано с высокой погрешностью. В подобных случаях перспективным является использование метода тепловой диагностики трения.

Метод тепловой диагностики трения, позволяющий определять момент силы трения в подшипниках скольжения по температурным данным, основан на факте, что практически вся энергия, затрачиваемая на трение, трансформируется в теплоту. Метод сводится к измерению температуры в окрестности зоны трения, построению математической модели и решению граничной обратной задачи восстановления фрикционного тепловыделения и соответственно силы трения. Тепловая диагностика трения для систем подшипников при допущении однородного распределения температуры по сечению вала вследствие достаточно высоких частот вращения (более 48 об/мин) и рассмотрения вала как одномерного стержня разработана в работах

И.Н. Черского, О.Б. Богатина, Н.П. Старостина, А.С. Кондакова. При таком допущении при моделировании теплового процесса скорость вращения учитывается только коэффициентом теплообмена. Тепловая диагностика трения с учетом влияния вращения вала на динамику температурного поля рассматривалась для случая одного подшипника скольжения [95]. При этом восстанавливаемая функция удельной интенсивности фрикционного тепловыделения зависит не только от времени, но и угловой координаты, т.е. восстанавливается функция, зависящая от двух переменных. Для системы подшипников скольжения тепловая диагностика с учетом скорости вращения вала не рассматривалась.

Рассмотрим некоторые отличительные особенности тепловой диагностики трения в системе подшипников скольжения с учетом вращения вала. Успех тепловой диагностики трения во многом зависит от адекватности математической модели реальному тепловому процессу в узле трения и разработки алгоритма решения трехмерной нелинейной обратной задачи теплопроводности, особенностью которой является неустойчивость решения к погрешностям в температурных данных. Необходимость решения нелинейной обратной задачи тепловой диагностики трения обусловлена зависимостью теплофизических свойств полимерных антифрикционных материалов для подшипников скольжения от температуры. Для решения обратной задачи тепловой диагностики трения применяется метод регуляризации, в частности метод итерационной регуляризации, несмотря на то, что алгоритм построен формально по той же схеме, что и для линейных задач. При решении нелинейных обратных задач такими методами необходимо проведение вычислительных экспериментов по исследованию устойчивости решения.

При тепловой диагностике трения в системе подшипников скольжения идентифицируются одновременно несколько функций удельной интенсивности тепловыделения, зависящих от двух переменных и действующих как источники теплоты. При идентификации источников теплоты учитывается взаимное

влияние температурных полей подшипников скольжения через общий металлический вал с высокой теплопроводностью. Минимизируемый функционал обычно записывается в виде суммы мер уклонений расчетных и экспериментальных температур. В случае, когда подшипники расположены на валу достаточно близко друг от друга, погрешности температурных данных всех подшипников скольжения влияют на восстановление каждого источника теплоты. Таким образом, в обратной задаче тепловой диагностики трения в системе подшипников неустойчивость решения более выражена, чем в задаче восстановления момента силы трения для одного подшипника, поскольку каждый источник теплоты идентифицируется не только по замерам температур на том же подшипнике, но и по замерам температур в остальных подшипниках скольжения. Малые погрешности в замерах температур каждого подшипника приводят к большей погрешности при восстановлении источников теплоты в других подшипниках. Это связано с тем, что характерные изменения в источнике теплоты проявляются слабее и сглаживаются по мере удаления от зоны трения, а небольшим колебаниям в температуре далеко расположенных точек соответствуют большие колебания источника теплоты. Следствием такого положения может оказаться невозможность практической тепловой диагностики трения в системе подшипников ввиду превышения уровнем погрешностей реальных замеров температур необходимого для восстановления источников теплоты уровня погрешности. Поэтому первостепенную роль при тепловой диагностике трения в системе подшипников имеет проведение вычислительных экспериментов по решению соответствующей обратной задачи теплопроводности с имитацией погрешностей в температурных данных и экспериментальная проверка эффективности восстановления моментов трения по температурной информации.

Учет вращения вала при моделировании нестационарного температурного поля в системе подшипников приводит к решению трехмерного уравнения теплопроводности с конвективным членом, при

численном решении которого необходимо согласовать шаг по времени со скоростью вращения вала и шагом расчетной сетки по пространственной (угловой) переменной. При циклическом контакте поверхности вращающего вала с втулками по зоне трения возникает теплота, в результате которого происходит нагрев трущихся тел, поэтому измельчение шага по времени будет приводить к более точному учету процесса теплообразования и соответственно описанию теплового процесса. В то же время, чрезмерное измельчение шага по времени может привести к непомерно большим затратам машинного времени на решение обратной задачи. Поэтому шаг по времени должен быть выбран на основе вычислительных экспериментов из условия обеспечения сходимости решения прямой задачи с заданной точностью.

Вышеизложенное показывает, что тепловая диагностика трения в системе подшипников скольжения с учетом вращения вала представляет актуальную задачу численного определения нестационарного температурного поля в подвижных сопряжениях и восстановления нескольких функций фрикционного тепловыделения по замерам температур внутри неподвижных тел, контактирующих с общим подвижным элементом.

Целью диссертационной работы является разработка метода тепловой диагностики трения для систем подшипников скольжения при невысоких скоростях вращения на основе численного решения прямых и обратных задач теплопроводности с учетом движения вала.

Работа изложена в соответствии с основными задачами, поставленными для достижения цели. В первой главе рассматривается численное решение прямой задачи определения нестационарного температурного поля в системе подшипников скольжения на общем валу при невысоких частотах его вращения и известных удельных интенсивностях фрикционного тепловыделения. Тепловой процесс в системе подшипников описывается системой двумерных уравнений теплопроводности для полимерных подшипников скольжения и трехмерного уравнения теплопроводности для вала с конвективным членом,

учитывающим вращение вала. На свободных поверхностях вала, втулок и обойм (корпусов) задаются граничные условия третьего и первого рода, в зоне трения - условие фрикционного тепловыделения в виде сосредоточенного источника теплоты. Приводится численный алгоритм решения прямой задачи методом конечных разностей. На примере одного подшипника скольжения с конкретными геометрическими размерами, кинематическим условием и материалом втулки изложена методика определения шага по времени, приемлемого для практических расчетов по тепловой диагностике трения с учетом вращения вала. Вычислительными экспериментами показана работоспособность предлагаемой квазитрехмерной модели теплового процесса в системе подшипников. Приводится результат определения частоты вращения, выше которой можно принять допущение об однородности распределения температуры в вале по окружности и рассматривать его как осесимметричное тело. Приводится результат сопоставления расчетных и экспериментальных температурных данных.

Вторая глава посвящена численному решению обратной задачи восстановления функций фрикционного тепловыделения в системе подшипников по температурным данным методом итерационной регуляризации на основе градиентных методов минимизации функционала невязки. Приводится вывод сопряженной задачи, используемой для получения формулы для вычисления градиентов функционала невязки. Для повышения скорости сходимости приближений для каждой функции удельных интенсивностей тепловыделения находятся различные шаги спуска решением линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которого получаются решением N задач для приращений температуры (Ы -количество подшипников в системе). Устойчивость решений, полученных по разработанному алгоритму решения обратной задачи, к погрешностям температурных данных показана решением модельных задач с имитацией погрешностей датчиком случайных чисел. Для сокращения объема оперативной памяти, необходимой для решения

обратной задачи восстановления функций фрикционных тепловыделений, при малых расчетных шагах по времени задача решается на последовательных локальных временных отрезках с перекрытием. Часть узлов на концах локальных временных отрезков отбрасывается для снижения влияния обнуления градиента в конце временного отрезка и нестационарной теплопроводности в начале. Приводятся результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующих, что погрешности не накапливаются при решении обратной задачи на широком временном отрезке.

В третьей главе приводятся результаты экспериментальной проверки эффективности восстановления момента сил трения в системе подшипников скольжения по температурным данным путем сопоставления расчетных значений момента силы трения со значениями, полученными непосредственным измерением. Измерение моментов трения в системе подшипников скольжения проводилось с использованием модуля для испытаний на трение износ антифрикционных полимерных композиционных материалов в натурных условиях. При восстановлении моментов сил трения путем решения обратной задачи температурные данные статистически обрабатывались, и кроме того для снижения уровня осцилляций временные зависимости температур строились с использованием сглаживающих кубических сплайнов. Приводятся результаты сопоставления расчетных и экспериментальных значений суммарного момента сил трения, демонстрирующие эффективность предлагаемого алгоритма тепловой диагностики трения в системе подшипников скольжения.

Основные научные результаты, полученные в работе, сформулированы в заключении.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА В СИСТЕМЕ РАДИАЛЬНЫХ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

1.1. Математическое моделирование теплового процесса в подшипниках скольжения

Подшипники скольжения сухого трения находят широкое применение во всех отраслях техники благодаря работоспособности в запыленных и агрессивных средах, при высоких и низких температурах, в вакууме и т.п.[25,26,79]. Примеры применения подшипников скольжения из пластмасс в судостроении, гидротурбиностроении, арматуростроении, тяжелом машиностроении приводятся в работах [10,65]. В настоящее время разрабатываются и внедряются все новые самосмазывающиеся материалы с повышенными эксплуатационными свойствами. Технологии разработки композиционных подшипниковых материалов на основе фторопласта путем модификации различными дисперсными наполнителями приводятся, например, в работах [60,61,69]. Теплофизические свойства полимерных композиционных материалов антифрикционного назначения приводятся в работах [34,43].

В данной работе в качестве объекта исследования будем рассматривать радиальные подшипники скольжения в виде втулок из полимерных композиционных материалов. Выбор радиальных подшипников скольжения обусловлен не только их широким применением, но и так же с методической точки зрения. Радиальный подшипник скольжения удобен для отработки методик расчета теплового процесса и восстановления моментов трения. Наряду с простотой геометрической формы, для него характерны многие особенности контактного взаимодействия узлов трения, которые необходимо учитывать при математическом моделировании: смешанные граничные условия, неравномерность распределения тепловых потоков в элементы, существенная неоднородность распределения температуры в пространстве и т.д. Такое положение позволяет полученные результаты для подшипников скольжения рассматривать как общие, содержащие в качестве частных случаев

решения для других сопряжений, например, радиальных уплотнений вала, тепловое состояние в которых имеет более простое математическое описание.

Проведем анализ публикаций, посвященных математическому моделированию теплового процесса в подшипниках скольжения. Условие фрикционного тепловыделения затрудняет получение аналитического решения задачи. Поэтому во многих работах, чтобы получить удобные для инженерных расчетов формулы нахождения температурного поля, вводят предположение о постоянстве коэффициента разделения теплового потока аТ на границе контакта между валом и подшипником. Решение задачи теплопроводности при таком предположении получено в работах [12,3,40,41,67,1,66,30]. В более поздних работах, также используя коэффициент аТ, определяют распределение температуры в подшипнике скольжения [4,42,72,56].

В работе [138] приближенно решается задача об определении температурного поля подшипника в предположении о независимости температуры в пределах угла контакта от угловой координаты по всей толщине втулки. Используя уравнение теплового баланса, в [138] получают решение для нестационарного теплового режима. Введение указанного предположения практически эквивалентно допущению о постоянстве коэффициента разделения потока.

Впервые задача теплопроводности с граничными условиями, соответствующими условиям термического контакта, сформулированным в [46], рассмотрена в работах [129,151]. Здесь ограничений на коэффициент разделения теплового потока не накладывается. Вводя предположение о непрерывном тепловом контакте вала с втулкой по всей дуге внутреннего контура, авторы в [129,151] применяют для решения преобразование Фурье в конечных пределах. Применение этого метода расчета позволило определить температуру в подшипнике, не усредняя тепловой поток в вал по периметру, т.е. рассчитывать температуру вала для бегущего теплового источника.

Этот метод был далее применен для получения трехмерного температурного поля в подшипнике скольжения [128]. Как в плоском, так и в трехмерном случае, решение имеет весьма громоздкий и трудно анализируемый вид. Кроме того, решение получено для стационарного случая.

Аналитические методы решения тепловых задач применяются при решении прикладных задач определения температурных напряжений при упрощающих допущениях. Так, например, в работе [49] решение осесимметричной задачи нестационарной теплопроводности в подшипнике скольжения, полученное методом интегрального преобразования Лапласа, используется для получения температурных напряжений.

Одним из эффективных методов определения динамики температурного поля в теплонагруженных объектах исследования является метод конечных элементов (МКЭ). Метод конечных элементов использовался для расчета теплового состояния подшипников скольжения, например, в работе [154], для решения осесимметричной нестационарной тепловой задачи трения для трибосистемы накладка-диск с учетом скорости скольжения в работах [31,57,90].

Для численных расчётов различают свободные программные продукты (Elmer, FreeFEM3D, GetFEM++, Dolfin/FEniCS, Code_Aster и т.д. [165-171]) и коммерческие с закрытым исходным кодом (ANSYS, Abaqus и т.д. [163164]). Особенностью решения тепловых задач в трущихся сопряжениях является необходимость точного описания зоны трения, в которой происходит фрикционное тепловыделение. При использовании в качестве конечных элементов треугольников в плоском случае или тетраэдров - в пространственном, нарушается контакт приближенных областей по границе трения. Это происходит, когда одна из приближенных областей совершает движение. Точное описание границ, по которой происходит трение, и непрерывное контактирование при относительном движении областей возможно при применении для расчетов программных пакетов, в которых

используются изопараметрические конечные элементы. Большинство свободных программных продуктов, в том числе Dolfin/FEniCS, не используют изопараметрические элементы и не могут быть использованы для тепловых расчетов в подшипниках скольжения несмотря на ряд преимуществ.

Программные продукты МКЭ с закрытым кодом используют изопараметрические конечные элементы. Тем не менее, они также не могут быть применены для решения обратных задач, поскольку, как будет показано ниже, при этом необходимо многократно решать последовательность краевых задач.

В связи с изложенным выше для решения задач, поставленных в данной работе, эффективным является метод конечных разностей [81], используемый и другими исследователями. Например, в работе [125] нестационарное температурное поле в паре трения «вал-втулка» в трехмерной постановке с условием фрикционного тепловыделения (сосредоточенным источником тепла) решалась методом конечных разностей. Несмотря на то, что в работе имеется ссылка на известную монографию А.А. Самарского, не используется схема сквозного счета и вводится коэффициент разделения теплового потока, в котором нет необходимости. Таким образом, в инженерной практике зачастую численные методы используются не всегда эффективно.

Как показано выше, большинство аналитических методов решения тепловых задач в подшипниках скольжения разработаны при допущении контакта вала и втулки по всей окружности. Реальные подшипники имеют зазор между валом и втулкой, поэтому применение гипотезы о равенстве температур для вала и втулки в пределах всей окружности искажает реальное температурное поле. В работе [131] предложена плоская МТМ для подшипника скольжения с учетом зазора между валом и втулкой и предложен алгоритм численного решения задачи нестационарного теплообмена методом конечных разностей. В данной модели вал представляется как сосредоточенная теплоемкость, влияние скорости вращения вала на теплообменный процесс

учитывается коэффициентом теплоотдачи. Такое представление возможно при существенном различии теплофизических свойств антифрикционного материала подшипника и стального вала, а также вращении вала с достаточно высокой скоростью. При использовании подобной плоской модели не учитывается теплоотвод по длине вала, что значительно искажает результаты расчета.

При допущении однородности температуры по длине подшипника скольжения, что равнозначно отсутствию скоса в относительном расположении вала и подшипника, а также малости теплоотдачи от торцов втулки и обоймы, плоская модель обобщается на случай учета распространения теплоты вдоль вала [134]. Полученная квазитрехмерная модель теплового процесса представляет систему двумерного уравнения теплопроводности для описания температурного поля в полимерной втулке с обоймой и связанного с ним одномерного уравнения теплопроводности - для вала. Система уравнений решается методом конечных разностей. Принятые допущения сильно не ограничивают практическое использование квазитрехмерной модели теплового процесса, о чем свидетельствует сопоставление экспериментальных и расчетных температурных данных [97].

Далее квазитрехмерная модель обобщена для описания температурного поля в системе подшипников скольжения на общем валу [132,18]. Эффективность такого моделирования в системе подшипников при высоких скоростях вращения вала также подтверждена экспериментально. Кроме того, адекватное моделирование теплового процесса в неподвижном элементе (во втулке) с помощью двумерного уравнения позволило практически реализовать метод тепловой диагностики трения и восстановить момент трения по температурным данным решением граничной обратной задачи теплообмена. При тепловой диагностике трения с использованием полной трехмерной модели теплового процесса возникает необходимость задавать температуру на некоторой условной поверхности в окрестности зоны трения. При

осуществлении замеров температур внутри неподвижного элемента подвижного сопряжения, например с помощью термопар, нарушается целостность этого элемента. В связи с этим, основой тепловой диагностики трения в подшипниках скольжения является возможность использования квазитрехмерной математической модели теплового процесса, содержащей двумерное уравнение теплопроводности для неподвижного элемента, во внутренних точках которого регистрируются температуры. При этом температурное поле в подвижном элементе (вале) может быть описано одномерным, двумерным или трехмерным уравнением теплопроводности в зависимости от свойств материалов, кинематических условий и принимаемых в соответствии с ними допущений.

При невысоких скоростях вращения вала, температура в точке поверхности вала в течение времени контакта (трения) с втулкой постепенно повышается. При выходе из контакта температура в точки вала снижается до вступления в контакт. Таким образом, в математической модели теплового процесса подшипника скольжения необходимо учитывать движение вала и зависимость температуры вала от угловой координаты. Таким образом, уравнение теплопроводности для описания температурного поля в вале должно быть, по крайней мере, двумерным и содержать конвективный член по угловой переменной, учитывающий вращение вала.

Несмотря на то, что при расчете динамики температурного поля в узлах трения используют уравнение теплопроводности с конвективным членом [125], вычислительным аспектам, в частности вопросам выбора временного шага, от которого зависит точность приближенного решения, уделяется недостаточное внимание.

1.2. Моделирование теплового процесса в системе подшипников

Рассмотрим систему подшипников скольжения на общем вращающемся валу, схема которой представлена на рис. 1.1. Примем допущение об однородности распределения температуры по длине подшипников и корпусов, поскольку теплоотдача от их торцевых поверхностей незначительна. Тогда втулки и корпуса можно рассматривать плоскими, а вал трехмерным.

и и 1з 1,3 1-5 Ъб Ьгм-1 Ьгм Ь

Рис. 1.1. Геометрическая схема систем подшипников скольжения: 1 -вал; 2 - вкладыш (втулка); 3 - обойма (корпус)

Нестационарное температурное поле в подшипниках описывается двумерным квазилинейными уравнениями теплопроводности для втулок с корпусами:

атр

С Т) р

1 а

а? г -г

гЯп(Тр )-

аг

V ^ дг

V дт У

+

1 а

г а <

атр

КТР) -Т-а<

(1.1)

Я2р < г < Я4р, - 7 <<<7, 0 < Г < , Р = 1,..., Ы, п = 2,3.

п = 2 - для втулки, п = 3 - для обоймы.

Для вала - трехмерным уравнением с конвективным членом, учитывающим его вращение:

)

аи 1 а

с

V

а? г -г _

аи а (

г\(и)

аи ^ +

дг у

Уди \

а2 У

1 а

г д<

Ч(и)

аи д<

+

(1.2)

д< д2 0 < г < , -7 <<<7, 0 < ? <

В зонах трения втулок с валом задаются условия фрикционного тепловыделения:

\(И) |р дИ(г,9,2,г)

Р ¿2р-1

д г

-ЪСГр ) р

д Гр (г ,9, г)

дг

г=й,

г=Я

2, Р

1 ¿2 р

— \и (Яг,9,2, г )й2 = Гр (я2р ,9, г).

Ор(9,г),\9\<9о, (1.3)

(1.4)

р ¿2р-1

На свободных поверхностях вала, втулок и обойм задаются условия

конвективного теплообмена

\(и)

дП (г ,9,2, г)

д г

= -аП(Я[,9,2,г) - Го),

г=Я,

Ъ(Гр)

дГр(г ,9, г) р) дг

= а2(Гр (к2,р ,9, г) - Го\ М>9о5

(1.5)

(1.6)

г=Я

2, р

ЧГр)

дГр(г ,9, г) р) дг

= -аъ(Гр (Я4, р ,9, г) - Го), -п <9 < п. (1.7)

г=Я

4, р

На концах вала задаются условия I и III рода И (г ,9,0, г) = Го (г); Щ,) т^А

д2

■■-а(и(г,9, ¿,г) - Го). (1.8)

2=Ь

В центре вала задается условие ограниченности теплового потока

Иш

г ^о

г\(И )

дИ дг

= о.

(1.9)

По угловой координате выполняются условия периодичности

дГр (г ,9, г)

д9

дИ (г, 9,2, г)

_дГр (г ,9, г)

д9

9=-п

9=-п

д9

, Гр (г ,-п, г) = Гр (г Пг),

(1.10)

9=п

дИ (г ,9,2, г)

д9

И (г ,-п, 2, г) = И (г,п, 2, г). (1.11)

9=п

Начальные распределения температур в элементах узла трения примем равными и однородными

Tp (г, р,0) = и (г, р, 2,0) = To. (1.12)

Задачу (1.1) - (1.12) будем решать методом конечных разностей сведением к цепочке одномерных уравнений теплопроводности. Наличие конвективного члена в уравнении теплопроводности (1.2), учитывающего вращение вала, приводит к определенным трудностям при численном решении поставленной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тихонов Роман Семенович, 2017 год

- У„

р=-п

р=п

4, р

+ ¡гт Г еЬг д(!Ж)

¡0 ¡-п ¡0 дг

р=п у г

dгdг +

г ^0

к dгdрdг + \ т[ , С 2 р

^ ¡0 ¡р|>рь ¡¿2 р-1

+

+

+

Ггт Г ГЬ2 р-1 ¡0 1-пк2 р-2

дЦЖ) дг

+ а1Ж

к dгdрdг +

д(!Ж) дг

+ а1Ж

к2 dгdрdг +

г=*

г=я

г г

ггт Г* ГЬ ¡0 ¡0 ¡0

д(!1Ж)

Ггт Г Г*

¡0 ¡-п ¡0

VV /

д(!Ж)

др

(д(!Ж)

V дг

р=-п

др

кз + (ж1

\р=-п

Ж

\р=п

к

р=п у

dгdгdг +

+аЖ

к + Ж .=ькб

г=0

dгdрdг,

Для удобства в написании сделаем замену:

- Шр - Ф Шр = Ф = ф. г г

С

дШ р ! д

/

п дг г дг

дШ; дг

л

! д2 Ш

+

г2 др2

+

+1 Тр (*, р, г) - f (р, г )]^(г - * )^(р - рг),

(2.23)

(2.24)

Я2,р < г < Я4, р, -п <р<п,о < г < гт, р = 1,2,..., N.

Ч р

- С

дФ _! д дг г дг

Г дФЛ

А _

дг V дг у

! д2 Ф

г2 др2

дФ

-Пс1 —+! др

д2 Ф

дг2

о < г < *, - п <р <п,о < г < Ь.о < г < гп

(2.25)

Для выполнения условия стационарности (2.16) необходимо приравнять нулю каждую из групп слагаемых при одинаковых вариациях:

Ур(*2,р,р,г): |р>ро,о < г < гт,

дШ р (г, р, г)

д(!У (г ,р, г))

дг

-а2^1, р (р.г) = г!2"

: |р >р», 0 < г < г

дг

г =Я

4. р

'2, р

г

^ Л

Г1, p (P, t ) = - Ri, p У P ( Ri, p p t ) дУp (r p t)

ôr

«2 У P ( Ri, p ,P, t ),

r=R

0 < t < tm,|p > Po,P = 1,2,...,N.

Vp (Rap P t): 0 < t < tm,-л <p<K,

«3Г2, p (P, t ) = -гЛз

дУ p (r, p, t)

ôr

r=R

4, p

д(ЛУр (r t ))

ôr

: 0 < t < tm,-k<p<k

r=r

-4, p

^ Л

ri, p (P,t ) = Ra, p У P ( R4, p, P, 1X дУ p (r, p, t)

ôr

= -«3 У P ( R4, p ,p, 1x

r=R

-4, p

д(ЛУр (rp t))

ôp

0 < t < tm,|p > Po,P = 1,2,...,N.

: Rip < r < Rap , o < t < tm,n = 2,3,

p=-K

У p (r-л, t )

ô(^nVp (r t ))

ôp

Гз, p(r, t ) =

: Rip < r < R4,p, 0 < t < tm, n = 23,

P=K

Гз, p (r, t )■

y P (r,K, t )

r

Vp (г,-л, t): r., p < r < R4 p, 0 < t < tm

4, p-

П, p(r, t ) =

Vp(г,л,t): Ri p < r < R4 p, 0 < t < tm,

Лп дУ p (r t)

r ôp

p=-K

4, p'

га, p (r, t ) =

Лп дУр(r,p,t)

r ôp

p=K

(2.27)

2

r

^ Ш р (г ,-п, г) = Ш р (г ,п, г),

дШ р (г ,р, г)

др

дШ р (г ,р, г)

р=-п

др

р=п

(2.28)

д(!Ж (г, р, г, г))

дг

*2,р < г < *4,р, о < г < гт, р = 1,2,..., N. : о<г<гт,-п<р<п,

г^0

к (р, г, г )| = -г Ф (г,р, г, г)

г ^0

Ж (г, р, г, г )|

г,г) 0 : 0 <г <гт,-п<р<п,0 < г <Ь,

!1г

дФ (г ,р, г, г)

дг

0,

г ^0

^ !г

дФ (г,р, г, г)

дг

= 0, 0 < г < гт, -п <р< п.0 < г < Ь. (2.29)

г

Граничные условия вала для сопряженной краевой задачи определяются по аналогии

дФ (г ,р, г, г)

а1Ф (Я1,р, г, г) = -!

Ф(г ,-п, г, г) = Ф(г,п, г, г),

дг

дФ(г ,р, г, г)

(2.30)

г=Я

др

дФ(г,р, г, г)

р=-п

о < г < *, о < г < Ь, о < г < г„

др

р=п

(2.31)

а1Ф (г ,р,0, г) = -!

дФ (г ,р, г, г)

дг

г=0

(2.32)

о < г < Я1, -п<р<п, о < г < гт.

(2.33)

Ф(г,р, Ь, г) = 0, 0<г<Я1, -п<р<п, 0<г<гт.

В зоне контакта условие фрикционного тепловыделения р-го подшипника для сопряженной краевой задачи определяется следующим образом

Ь2

1 \р д(!Ж(г,р, г, г))

-1 { d 1

р Ь

р-1

дг

dг

: |р<ро, р = 1,2,...,N.

г =Я

* ЛР—

Ър (р, г) = -!■ ]Ф(*1,р, г, г )dг.

д(!У (г ,р, г))

дг

Ь2 р-1

: |р|<рь, р = 1,2,...,N.

г=Я

2, р

Ъ, р (Р, г) = *2, р Ш р (Я2, р ,р, г)

__Я Ь2 р_

^ *2,р Шр (Я2,р,р,г) = * ¡Ф(*1,р,г,г)сЪ,

р Ь

2 р-1

|р|<Ро,0 < г < гт, р = 1,2,..., N.

-1 ¡Ь2р Ж(*1,р,г,г^г: Ц<р0, р = 1,2,...,N.

ар Ь2р-1

Ь2

Ъ2,р (Р.г) = - ! !

* у дФ(г,р, г, г)

дг

dг

р Ь2 р-1

Ур(*2,р,Р,г): |р|<рь, р = 1,2,...,N,

дШ р

г = я

Ър (Р.г) = -Я2,р^2

дг

г=Я

*1

2. р

Ь2р дФ

^ — [ !-dг

-1 дг

Я2, р!2

дШ р

г=Я

дг

0,

г = Я

2, р

(2.34)

(2.35)

\р\ < Ро,0 < г < гт, р = 1,2,..., N. Используя вариации функционала Лагранжа и основную теорему вариационного исчисления, получили сопряженную краевую задачу относительно функций Ф(г,р,г,г) и Ш (г.р,г) :

с ! е_

п дг г дг

дШ р

л __

дг V дг у

+

г2 др2

+

+

1 Тр (Яf, Р, г) - f (Р, г )>(г - Яf )^(Р - РГ)

(2.36)

*2,р < г < *4, р, -п <р<п,0 < г < гт, р = 1,..., N.

м, р

8 =

1, при г = Щ; 0, при г ф Щ;

Х(\) =

1, при \ф\<%; 0, при \р\ > р0.

дФ_ Л д

1 дг г дг

дФ

дг

V дг

Л д2 Ф

дФ л д2 Ф

г2 др2

-ОСх — + Л

др 1 дг2 0 < г < Щ, -я <р<я,0 < ! < Ь,0 < г < . В зонах трения подшипников с валом:

дУ

(2.37)

Щ Г ЛгдФ,

^ г} дг

р ь

'2 р-1

Я2,р У Р

- Ъ,рЛ

г=Щ

Щ ь2Р_

1 ]ФМГ-Щ, \\<\0.

Р Ь2р-1

дг

= 01, \\<\0, (2.38)

г=Щ

2, р

г=ъ,р а J 'г=Щ

(2.39)

Граничные условия для сопряженной задачи аналогичны граничным условиям прямой задачи.

Л!

дФ

дг

= -ах Ф

г=Щ

г=Щ

Л

дУ р

дг

аУ

2 1 р

г=Щ

г=Щ

■2, р

■2, р

Л

дУ р

дг

а У

3 А р

г=Щ

я <р<я,

г=Щ

4, р

4, р

Ф

дФ

= 0, Л—

г=ь дг

= -ахФ

г=0

г=0

г

1ш

г^0

Лг

дФ

V дг У

= 0,

дУ р

др дФ

дУ р

(р=-Я

др

У р (г-я, г ) = У р (г ? ),

р=п

др

дФ

р=-я

др

Ф(г ,-я, г, г ) = Ф(г „я„ г, г ).

(2.40)

(2.41)

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

р=п

<

<

Вместо начального условия задается условие на конце временного интервала:

Ф (г ,р, г, гт) = Шр (г.р, гт) = 0. (2.47)

С помощью сопряженной задачи и задачи в приращениях градиент функционала выражается следующим образом. Линейную часть приращений функционала /(О1,Q2,...,QN) определим из уравнения (2.36), умножив его на у, (г.р, г) и проинтегрировав по всем переменным по области их изменения:

N гт п Я4,р

А/ = £ \\ ¡Тр(г.р,г)-fp(р,г)]Ур(г.р,г)8(г-Щ)д(р-рг)dгdрdг =

р=1 0 -п Я2,

N гт п Я4, р

=Ш п/

р=1 0 -п Я

2,р

дШр д г^—р-! —

дг п дг

дШр

дг

V у

к дТШр

г др1

У (г,р, г)dгdрdг =

N гт п Я 4, р

=щ I п

р=1 о -п Я

2, р

^ д(СпУр) д ( д(!пУр)V 1_ д2(!пУр)

гШ

ы

д г

г

д г

ял

N п *4-р . . N т-

£ п п (гСпШрУрц^р-е тп

р=1 -п Я9 „ р=1 0

V у

N гт п (

!Ург

Ш — Ш

р р 2 г др

dгdрdг -