Численное статистическое моделирование переноса оптического излучения в кристаллических облаках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Му Цюань

• Му Цюань
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Му Цюань

Введение

Глава 1. Статистическое моделирование переноса излучения в кристаллических облаках (обзор)

1.1. Перистые облака

1.2. Уравнение переноса. Методы Монте-Карло

1.3. Алгоритм моделирования переноса фотонов методом Монте-Карло

Глава 2. Вычисление индикатрис рассеяния для частиц регулярной формы с гладкой и шероховатой поверхностью

2.1. Алгоритм трассировки лучей

2.2. Модель шероховатой поверхности

2.3. Результаты расчета

2.4. Выводы и комментарии

Глава 3. Моделирование оптических явлений в кристаллических облаках

3.1. Алгоритм моделирования переноса фотонов в анизотропной среде

3.2. Модели кристаллов перистых облаков, используемые в расчетах

3.3. Результаты моделирования

3.4. Выводы и комментарии

Глава 4. Индикатрисы рассеяния для ледяных частиц нерегулярных форм

4.1. Математическая модель кристалла нерегулярной формы

4.2. Алгоритм моделирования выпуклых тел нерегулярной формы

4.3. Результаты моделирования

4.4. Выводы и комментарии

Глава 5. Прямое моделирование процесса переноса фотонов в случайной кристаллической среде

5.1. Постановка задачи

5.2. Моделирование переноса излучения

5.3. Результаты численных экспериментов

5.4. Выводы и комментарии

Заключение

Список литературы

Приложение. Копия свидетельства о государственной регистрации программы

для ЭВМ

Основные публикации по теме диссертации

Введение

На сегодняшний день из многочисленных публикаций хорошо известно, что перистые облака хотя и полупрозрачны, но оказывают существенное влияние на радиационный теплообмен в атмосфере, изменяя альбедо климатической системы и поток уходящего из атмосферы теплового излучения. При этом, разумеется, меняется и распределение потоков солнечной радиации внутри атмосферы и приходящих к поверхности Земли. Эти обстоятельства обуславливают неослабевающий интерес метеорологов, климатологов и разработчиков моделей общей циркуляции атмосферы к проблеме построения радиационной модели перистой облачности. Для разработки такой численной модели, очевидно, необходимо прежде всего знание таких базовых оптических характеристик кристаллических облаков, как матрицы рассеяния, сечения ослабления и рассеяния излучения содержащимися в облаках частицами. Для расчета этих характеристик, в свою очередь, нужна детальная информация о структуре микрофизических параметров облачности, таких как концентрации и распределения частиц по форме, размерам и ориентации. В силу чрезвычайной изменчивости этих характеристик во времени и пространстве микрофизическая и оптическая модели кристаллических облаков могут быть адекватно описаны только в терминах случайных функций, что, в свою очередь, позволяет строить не только статистически усредненные радиационные модели, но и оценивать пространственно-временные вариации параметров радиационных полей. Решение этой непростой задачи возможно, по-видимому, только средствами статистического моделирования (методом Монте-Карло).

Актуальность темы диссертации. Задача расчета радиационных потоков в видимом и ближнем ИК участках солнечного спектра в кристаллической облачности является весьма сложной для компьютерного статистического моделирования. Эта проблема принадлежит к классу так называемых больших задач математической физики, требующих весьма

больших вычислительных ресурсов. Во-первых, в отличие от многообразных задач теории переноса излучения в изотропных по рассеянию средах, для которых уже разработан (см., например, [1]) и продолжает разрабатываться значительный арсенал алгоритмов моделирования, в данной проблеме приходится иметь дело с анизотропией процессов рассеяния вследствие разнообразия форм и ориентаций кристаллических частиц. В этом случае стандартные вычислительные алгоритмы метода Монте-Карло для решения уравнения переноса следует существенно модифицировать. Во-вторых, в этой проблеме главное внимание во всей мировой литературе в большей степени уделено разработке моделей однократного рассеяния на отдельных частицах. Применение этих моделей для решения глобальной задачи о пропускании лучистой энергии Солнца и расчете альбедо перистой облачности требует колоссальных вычислительных усилий для создания обширного банка данных об оптических параметрах кристаллических облаков. К настоящему времени несмотря на наличие в мировой литературе весьма большого количества численных моделей, проблема создания такого банка [2-4] данных далека от завершения. Зачастую даже к отдельным, ограниченным по информации, существующим банкам данных доступ затруднен, или вообще невозможен, что и объясняет мотивацию к появлению данной работы. Проблема усложняется еще и стохастической структурой микрофизических параметров реальной перистой облачности. Метод Монте-Карло позволяет изменить парадигму моделирования процессов переноса солнечной энергии в кристаллических облаках, отказавшись от предварительного трудоемкого создания банка данных о характеристиках однократного рассеяния отдельными кристаллическими частицами.

Целью данной диссертации является исследование характеристик рассеяния видимого излучения ледяными кристаллами методом геометрической оптики и разработка методов, алгоритмов и программных

кодов для численного статистического моделирования переноса излучения в перистых облаках.

Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:

1. На основе решения уравнения переноса излучения методом Монте-Карло разработать модель распространения электромагнитных волн в оптически анизотропных рассеивающих и поглощающих средах с учетом рандомизации кристаллических частиц.

2. Разработать новую модель кристаллов случайной формы в перистых облаках.

3. Исследовать свойства рассеяния кристаллов сферической и несферической формы методом геометрической оптики.

4. Сравнить характеристики рассеяния кристаллов с гладкими и шероховатыми поверхностями.

5. Разработать программные коды для вычисления матричных индикатрис рассеяния ориентированными кристаллическими частицами несферической формы.

6. Разработать программный комплекс для моделирования многогранников выпуклой случайной формы.

7. Разработать комплекс программ для моделирования и визуализации гало в облаках различной оптической толщины.

8. Разработать, реализовать и сравнить алгоритмы статистического моделирования переноса солнечного излучения в перистых облаках: в первом алгоритме используются заранее рассчитанных матричные индикатрисы рассеяния, во втором алгоритме направление рассеяния моделируется при столкновении фотона с кристаллом методом геометрической оптики.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы статистического моделирования (метод Монте-Карло), метод геометрической оптики и вычислительный эксперимент, включающий в себя

следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма, его программная реализация, проведение расчетов и анализ полученных результатов.

Научная новизна результатов состоит в следующем:

1. Впервые в качестве кристаллической частицы неправильной формы использована модель многогранника, являющегося выпуклой оболочкой случайно сгенерированных точек. В алгоритме моделирования частиц случайной формы имеется возможность контролировать число вершин (граней) многогранника. Путем подбора соответствующей плотности распределения случайных точек и коэффициента растяжения - сжатия частицы можно задавать средние геометрические параметры моделируемых частиц. Вычислены индикатрисы рассеяния для отдельных реализаций частиц неправильной формы с гладкими и шероховатыми гранями, а также осредненные индикатрисы рассеяния по набору частиц случайной формы. Предложенная модель дает новую интерпретацию наблюдаемых, относительно гладких индикатрис рассеяния частицами, наблюдаемыми в земной атмосфере.

2. Предложен и реализован новый метод моделирования переноса излучения, в котором направление рассеяния частиц моделируется без использования заранее вычисленных индикатрис рассеяния. Данный подход позволяет изменить парадигму моделирования процессов переноса солнечной энергии в кристаллических облаках, отказавшись от предварительного трудоемкого создания банка данных о характеристиках однократного рассеяния отдельными кристаллическими частицами.

3. Разработано программное обеспечение для исследования процессов образования гало при переносе излучения в оптически анизотропных ледяных облаках с учетом многократного рассеяния света. Программа

основана на методе трассировки лучей и методе Монте-Карло. Численные эксперименты, проведенные на моделях облачных слоев с различной оптической толщиной, формой и ориентацией кристаллов льда, выявили ряд особенностей и возможных эффектов. Расчеты для ледяных облаков с кристаллами одинаковой формы и разной ориентации показали, что ориентация может существенно влиять на альбедо и пропускание облаков. Подтвердилось наблюдение, что свет второго и более высоких порядков рассеяния может вносить дополнительные элементы в картину гало.

На защиту выносятся следующие положения.

1. При учете шероховатости поверхности кристалла изменяется поведение индикатрисы рассеяния: Значительно уменьшается пик индикатрисы в направлении строго вперед, сглаживаются остальные экстремумы функции. Это является одной из возможных причин того, что оптические явления, такие как гало наблюдаются довольно редко.

2. Расчеты переноса излучения для моделей ледяных облаков с кристаллами одинаковой формы и различной ориентацией показали, что ориентация кристаллов может существенно влиять на альбедо и пропускание облачного слоя.

3. Подтверждено наблюдение, сделанное в [5], что свет второго и более высоких порядков рассеяния может вносить дополнительные элементы в наблюдаемую картину гало. Это означает, что для некоторых типов облаков геометрия образования гало зависит от толщины облаков.

4. Показано, что в случае хаотической ориентации частиц поведение индикатрис рассеяния для кристаллов с шероховатыми поверхностями и кристаллов нерегулярных форм с гладкими поверхностями идентично.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные программные комплексы для расчета индикатрис рассеяния выпуклыми ледяными кристаллами, размер которых значительно превосходит длину

волны излучения, могут использоваться для численного моделирования переноса излучения в перистых облаках, расчета пропускания и альбедо облаков различной оптической толщины. Показано, что использование предложенной модели кристаллов случайной формы позволяет добиться лучшего согласия с экспериментальными данными, чем модели облака, состоящего только из кристаллов правильной формы. Разработанные программы для моделирования гало с учетом многократного рассеяния могут использоваться для интерпретации редких оптических явлений в атмосфере. Разработанный и реализованный алгоритм переноса излучения в анизотропных кристаллических средах без использования заранее вычисленных индикатрис рассеяния позволяет на порядки сократить объем хранящейся информации, необходимой для моделирования угла рассеяния.

Достоверность полученных результатов обеспечена

непротиворечивостью основных результатов базовым принципам теории переноса излучения и теории рассеяния, сравнением полученных результатов с результатами работ других авторов, публикацией результатов в рецензируемых научных журналах и докладами на научных семинарах и конференциях.

Публикации. Основные результаты исследований представлены в 16 публикациях, 2 из которых - в издании, входящем в перечень российских рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, 3 статьи опубликованы в изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования Scopus и Web of Science, 9 работ в материалах международных конференций, получены 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ (РОСПАТЕНТ).

Апробация работы. Материалы по теме диссертации были представлены на следующих конференциях: 57, 58, 59-я международные научные студенческие конференции «МНСК» (Новосибирск, 2019, 2020, 2021),

конференция молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Новосибирск, 2019), XXVI рабочая группа "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2019), XXVI Международный Симпозиум "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы" (Москва, 2020), Международные конференции «Марчуковские научные чтения» (Новосибирск, 2019, 2020, 2021).

Личный вклад автора. Соискатель принимал непосредственное участие в постановке всех задач, рассмотренных в диссертации. Диссертант лично разрабатывал необходимые алгоритмы и лично проводил все численные эксперименты, необходимые для исследования оптических свойств кристаллических частиц правильной и случайной формы. Вошедшие в диссертацию оригинальные результаты получены автором совместно с научным руководителем, либо самостоятельно. В диссертации отсутствует заимствование материалов без ссылки на авторов или источник заимствования. В списке опубликованных работ указаны все соавторы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и список литературы. Полный объём диссертации составляет 103 страниц, в том числе 26 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 107 наименований.

Во введении кратко представлены актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи диссертационной работы. Обоснована теоретическая и практическая значимость, а также достоверность полученных результатов.

В первой главе приведены история и базовые понятия метода Монте-Карло, описан общий алгоритм статистического моделирования переноса оптического излучения в рассеивающей среде без учета поляризации, указаны основные трудности при решении задачи переноса фотонов в анизотропной среде по табличной индикатрисе, кратко представлены свойства кристаллических облаков.

Во второй главе численно исследуются процессы рассеяния солнечной радиации в видимом и ближнем ИК участках солнечного спектра частицами

сферической и регулярной формы кристаллических облаков в приближении геометрической оптики. Моделируются процессы рассеяния излучения на частицах с гладкими и шероховатыми поверхностями с учетом эффектов затенения и переотражения. В основу алгоритма заложена так называемая «фацетная» модель случайно неоднородных поверхностей.

В третьей главе рассматривается следующий вопрос: как многократное рассеяние, высота солнца над горизонтом, форма и ориентация ледяных кристаллов в перистых облаках влияют на рисунок гало. Для изучения переноса излучения в оптически анизотропных облаках разработано программное обеспечение, основанное на методе Монте-Карло и методе трассировки лучей. Помимо гало, программа позволяет моделировать такое оптическое явление, как «анти-гало», которое может видеть наблюдатель над облачным слоем. Представлены результаты визуализации гало и анти-гало, создаваемых перистыми облаками для различных форм и ориентации кристаллов льда. В качестве модели ледяных облаков используются гексагональные и тригональные частицы правильной формы.

В четвертой главе предложена новая модель ледяных кристаллических частиц случайной формы в перистых облаках с помощью построения выпуклой оболочки набора случайно распределенных в 3D - пространстве точек. Дано описание алгоритма численного построения трехмерных выпуклых тел случайных форм с гладкими и шероховатыми поверхностями. Методом Монте-Карло в приближении геометрической оптики вычислены индикатрисы рассеяния оптического излучения такими кристаллами с гладкими и шероховатыми поверхностями. Предложен эффективный способ определения пересечения грани кристалла и прямой в методе трассировки лучей. Показано, что свойства рассеяния излучения гексагональными призмами, типичными для большинства теоретических и прикладных работ, и предложными моделями частиц в виде выпуклых оболочек существенно отличаются, особенно в окрестностях направлений рассеяния вперёд и назад.

В пятой главе представлен новый метод моделирования переноса фотонов в случайной кристаллической среде. Представленный метод позволяет в одном расчете вычислять характеристики рассеяния солнечного излучения кристаллическими частицами различных форм и пространственных ориентаций в различных сочетаниях концентраций частиц различных фракций. Данный метод позволяет изменить парадигму моделирования процессов переноса солнечной энергии в кристаллических облаках, отказавшись от предварительного трудоемкого создания банка данных о характеристиках однократного рассеяния отдельными кристаллическими частицами.

В заключении приведено краткое обобщение полученных результатов. Показано, что намеченные задачи решены и достигнута поставленная цель.

Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность и признательность своим научным руководителям, Каргину Б. А. и Каблуковой Е. Г., а также профессору Пригарину С. М. за всестороннюю поддержку. Работа выполнена при поддержке CSC (China Scholarship Council).

Глава 1. Статистическое моделирование переноса излучения в кристаллических облаках (обзор).

В этой главе кратко изложены микрофизические и оптические характеристики перистых облаков, представлены базовые понятия теории переноса излучения и методов Монте-Карло, описан общий алгоритм статистического моделирования переноса оптического излучения в рассеивающей среде без учета поляризации, указаны основные трудности при решении задачи переноса фотонов по табличной индикатрисе в анизотропной среде.

1.1. Перистые облака

Перистые облака относятся к одному из 10 основных видов облаков согласно международной классификации, их международное название Cirrus (Ci) [6, 7]. Перистые облака наблюдаются в верхней тропосфере, иногда на высотах тропопаузы или непосредственно под нею (в средних широтах их основания чаще всего лежат на высотах 6 - 8 км, в тропических - от 6 до 18 км, в полярных - от 3 до 8 км). Перистые облака состоят из ледяных кристаллов, достаточно крупных для того, чтобы иметь заметную скорость падения; поэтому они имеют значительное вертикальное протяжение (порядка сотен метров) [7]. Иногда под названием перистых объединяются с описанными облаками другие два вида ледяных облаков верхней тропосферы: перисто-слоистые и перисто-кучевые.

Ледяные кристаллические облака (перистые, перисто-слоистые и перисто-кучевые) регулярно покрывают около 20-30% поверхности Земли и играют важную роль в радиационном балансе атмосферы Земли [8-10]. Существует множество научных проблем, связанных с атмосферной оптикой и переносом излучения в ледяных облаках. Метод Монте-Карло представляет собой эффективный и гибкий метод для моделирования процесса переноса излучения с учетом многократного рассеяния света [1, 8]. Моделирование

переноса излучения в облаках обычно основано на предположении об оптической изотропии рассеивающей среды, но для ледяных облаков это предположение часто кажется далеким от реальности. Кристаллы льда в перистых облаках часто имеют различную форму и размер, как показывают различные «in situ» измерения и цифровые изображения с высоким разрешением [8, 11-13]. Для изучения характеристик рассеяния и поглощения света частицами кристаллов льда, с точки зрения микрофизики, традиционно используется гексагональная модель кристалла. Его рациональность и эффективность обоснованы на основе химической фундаментальной теории роста кристаллов льда [8, 14] и сравнений результатов математического моделирования и физических экспериментов дистанционного зондирования [8]

[11, 15].

Особое внимание следует уделять ориентации кристаллов льда, особенно когда исследования связаны с атмосферными оптическими явлениями, такими как гало, световые столбы. Существование ориентированных частиц льда однозначно подтверждено, например, измерениями LIDAR [9, 15] и наблюдениями многочисленных атмосферных гало [16, 17]. Кристаллы льда обычно падают наибольшей площадью, перпендикулярной направлению движения [17-19].

Для борьбы с изменением климата Земли, в последнее время широкое распространение получил идея истончения перистых облаков (Cirrus cloud thinning). В 2021 году национальная академия наук, инженерии и медицины США (NASEM) призвала правительство потратить не менее 100 миллионов долларов на изучение потенциального использования солнечной геоинженерии в условиях климатического кризиса [20]. В отчете предлагается три метода, один из них - истончение перистых облаков, которое позволит большему количеству тепла уйти в космос и тем самым охладить планету. Однако ученые отмечают, что такой подход затруднен из-за «очень ограниченного понимания свойств перистых облаков и микрофизических процессов, определяющих, как перистые облака могут быть изменены». Более

подробную информацию о способе истончения перистых облаков можно найти, например, [21-25].

Современные численные модели радиационного баланса и циркуляции атмосферы Земли, а также, соответственно, численные модели долгосрочного прогноза погоды и изменения климата нуждаются в надежных данных по оптическим характеристикам перистых облаков. Но сильная пространственно-временная изменчивость облаков и сложная зависимость между их оптическими и микрофизическими параметрами до сих пор делают перистые облака одним из главных источников неопределенности в численных моделях климата [26-28]. Как оптические, так и микрофизические характеристики перистых облаков активно изучаются в последнее время в рамках различных международных проектов. В частности, наиболее простыми и достоверными способами измерения формы и размеров ледяных кристаллов являются прямые контактные измерения с борта самолетов или метеозонда [12, 29-31]. Такие измерения сильно ограничены во времени и пространстве. Более обширные данные по оптическим параметрам облаков получают из дистанционных, как лидарных, так и радарных, измерений [8, 32, 33]. Наиболее обширные данные по оптическим параметрам перистых облаков, уже в глобальном масштабе, получают при использовании спутниковых измерений [8]. Известные проекты и инструменты, использующиеся в настоящее время в различных измерениях можно найти, например, в работах [8, 26].

Кристаллы перистых облаков отличаются большим разнообразием форм и размеров. На рис 1.1 и 1.2 представлены примеры форм кристаллов, встречающихся в облаках. Изображения взяты из работ [8, 12, 34]. Как видно из рис. 1.1 и 1.2, ледяные кристаллические частицы перистых облаков по форме являются сложным объектом. Обширные теоретические и экспериментальные данные о форме и размерах ледяных кристаллов, можно почерпнуть из изданных довольно давно, но не потерявших своей актуальности, монографий [35-39], а также более свежих изданий [40-42].

Здесь мы отметим только наиболее общие факты, важные для понимания проблемы. Кристаллические облака состоят из различных по формам и размерам частиц. Конфигурация кристаллов предопределяется условиями их формирования, а характер их пространственной ориентации зависит от формы и размеров. Среди всех облачных кристаллов наиболее устойчивое положение в среде свойственно крупным частицам протяженных форм. При выборе модели микроструктуры кристаллических облаков для проведения тестовых и модельных расчетов мы опирались на результаты работ [43, 44], в которых на основе анализа большого количества экспериментальных и теоретических данных представлена удобная классификация кристаллических частиц по размерам, составу, ориентации и формам. В качестве параметра классификации для гексагональных призм используется так называемый фактор формы f = d/h, где d - диаметр основания, а h - длина или толщина призмы. В [44] для расчетов оптических характеристик рекомендуется в качестве модели микроструктуры кристаллического облака использовать совокупность гексагональных призм с различными значениями фактора формы и различной ориентацией в пространстве, а также некоторую долю замерзших ледяных капель. Ледяные призмы с фактором формы f > 3 в среднем ориентированы в горизонтальной плоскости с незначительными отклонениями в пределах нескольких градусов. При f < 3 разброс возможных ориентаций призм в пространстве обеспечивает хаотическую (изотропную) ориентацию. Для тестовых расчетов в пренебрежении зависимостью от числа Рейнольдса будем считать, что пластинчатые кристаллы при 0.15 < d < 200 мм практически ориентированы своими основаниями в горизонтальной плоскости с незначительными (порядка нескольких градусов) отклонениями. При 0.02 < d < 0.15 мм пластинчатые кристаллы совершают колебания относительно горизонтальной плоскости порядка 10 - 20 градусов и более. Функции распределения по размерам гексагональных призм для кристаллических облаков различного типа и разных температурных интервалов приводятся в [45].

Рисунок 1.1. Примеры фотографий ледяных кристаллов, полученных как в лабораторных условиях, так и при их непосредственном наблюдении. Фотографии взяты из работы M. Bailey [34].

Рисунок 1.2. Примеры фотографий ледяных кристаллов. Фотографии

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное статистическое моделирование переноса оптического излучения в кристаллических облаках»

взяты из работы [12].

В процессе математического моделирования переноса излучения в

кристаллических облаках, при интерпретации данных различных измерений и

многих других обстановках, часто используются модели кристаллов простых

геометрических форм, например, гексагональные призмы. Расчеты многих

авторов показали, что переход от частиц с идеальными формами к частицам

неправильных форм приводит к сильнейшим изменениям рассеивающих

свойств кристаллов. Поэтому уже достаточно давно во многих работах

18

предпринимаются попытки построения моделей частиц неправильных форм, см., например, [46-49].

1.2. Уравнение переноса. Методы Монте-Карло

Наиболее распространенной характеристикой поля излучения в атмосфере Земли является интенсивность излучения. Сначала введем определение интенсивности излучения [1, 50, 51]. Пусть излучение с длиной волны Л пересекает площадку dS в направлениях, заключенных в пределах телесного угла dш около направления ш, которое перпендикулярно площадке dS. Тогда энергия излучения йЕ, переносимая этими фотонами через dS в интервале времени (I, t + Д£), пропорциональна величинам dS, dш и dt:

йЕ = 1(А, г, ш, t)dSdшdt, а коэффициент пропорциональности 1(Л,г,ш,1) называется интенсивностью излучения или яркостью:

dE

1(Л,г, ш, Ь) =

dSdшdt

Если рассматривается произвольно ориентированная площадка dS', то при определении интенсивности необходимо рассматривать проекцию dS' на направление, перпендикулярное распространению светового пучка dS = dS'ras0 :

dE

1(Х,г, м, {) = —— „ , , .

4 у dS'cosвdшdt

Здесь в - угол между м и внешней нормалью п к dS' : cosв = (ш, п), векторы м и п имеют единичную длину.

Перенос оптического излучения в рассеивающей и поглощающей среде, каковой являются кристаллические облака, представляет собой сложный процесс, сопровождающийся разнообразными явлениями, такими как рассеяние, поглощение, поляризация, рефракция, отражение и т.д. Мы ограничимся рассмотрением линейной теории переноса излучения [52-54], в основе которой лежат предположения о том, что (1) кванты света (фотоны) не

взаимодействуют друг с другом; (2) взаимодействие фотонов с веществом среды происходит в точке и (3) между двумя последовательными взаимодействиями фотоны движутся по прямой (рефракция отсутствует). Будем рассматривать только монохроматическое рассеяние излучения. Предполагается, что поле излучения стационарно (здесь и далее мы считаем, что оптические характеристики среды не зависит от времени), т.е.

I (А, г, = I (А, г, ш). При рассмотрении естественных источников излучения (солнечное излучение, тепловое излучение Земли и атмосферы) предположение о стационарности можно считать справедливым. В рамках сделанных приближений этот процесс описывается скалярным стационарным интегро-дифференциальным уравнением переноса излучения (УПИ), вывод которого представлен в многочисленных учебниках и монографиях (см., например, [52-59]):

ш • дгай 1(А, г, ш) = -<г(А, г, ш)1(А, г, ш)

+о3{А,г,ш) j 1(Л,г, <а')д(Х,г,ш',<а)йш' + Ф0(А,г,ы). (1.1)

Л

Здесь используются следующие обозначения: (г,ш) - точка фазового пространства Я3 X П координат г Е Я3 и направлений ш Е П. 1(А.,г,ш) -интенсивность излучения в точке г в направлении ш. Ф0(Л,г,ш) - объемная плотность распределения источников,

а(Х, г, ш) = <г5 (А, г, ш) + оа (А, г, ш) полный коэффициент ослабления, который зависит от свойства среды и длины оптической волны Л, а5(А,г,ш) - коэффициент рассеяния, аа(А,г,ш) -коэффициент поглощения,

а3(А, г,ш) а(А, г, ш) = ——-—

называют вероятностью выживания при столкновении или альбедо однократного рассеяния, индикатриса рассеяния д(А, г, ш', ш) - это плотность вероятности рассеяния в направлении ш, если направление перед рассеянием было ш'. Индикатриса удовлетворяет следующему условию нормировки:

I

д(А,г,ш',ш)йш = 1. (1.2)

п

На основе результатов, полученных В. С. Владимировым [60] для односкоростной теории переноса, из интегро-дифференциального уравнения может быть выведено интегральное уравнение переноса для интенсивности излучения 1(Л, г, ш)

, .ехр(—т(Л,г,г'))

1(Л,г,ш) = I I <г3(А,г,ш')д(А,г,ш,ш)-7----

] ] 1Г — Г'12

в п

( г — г' \

х 51 ш — --- )1(А,г',ш')йг'йш' + 10(А,г,ш), (1.3)

\ 1г — г,у

где 8- дельта-функция Дирака. т(А,г,г') - оптический путь от г' до г. £ -область пространства Я3.10(Л, г, ш) - интенсивность излучения источников. Интегральное уравнение переноса излучения часто выписывают относительно плотности столкновений ф(А,г,ш) = а(Х,г, ш)1(Х,г, ш). Уравнение (1.3) для плотности столкновений примет вид

Яехр(—т(Х, г, г'))

ц(Х, г', ш')д(А., г, ш', ш)-7---

1Г — г'12

в л

( г — г' \

х 51 ш ---- )ф(А.,г + ф0(А.,г,ш).

\ 1г — г'у

УПИ с обобщенным ядром для плотности столкновений ф(х) выполняется соотношение (здесь и далее для простоты мы можем опустить Я)

<р(х) = I к(х' ,х)<р(х')йх' + <р0(х), (1.4)

X

где х = (г,ш)ЕЯ3хП , <р0(х) - плотность распределения начального столкновения,

ехр(—т(г, г'))

к(х' ,х) = а5(г' ,ш')д(г,ш' ,ш)

а( г', ш'~)1г — г'12

г — г' ,

Плотность начального столкновений ф0(х) связана с интенсивностью излучения источников соотношением

(Ро(х) = а(х)1о(х). (1.6)

Для решения УПИ развит целый набор методов, применение каждого из которых к расчету радиационных характеристик определяется спецификой решаемой задачи. В случае горизонтально однородной атмосферы традиционными являются метод дискретных ординат, двух- и более потоковое приближение, метод сферических гармоник, метод Монте-Карло и т.д., их сравнительный анализ изложен в монографии Ж. Ленобль [61]. В данной работе поля яркости солнечного излучения рассчитывались методом Монте-Карло. Теория методов Монте-Карло применительно к задачам атмосферной оптики разрабатывалась, начиная примерно с 60-ых годов XX века, в работах специалистов С. М. Ермакова, Г. И. Марчука, Г. А. Михайлова, И. М. Соболя, Б. А. Каргина, M. Kalos и др.; подробная библиография этих работ представлена в монографиях [1, 61-66].

Метод Монте-Карло (метод статистического моделирования) - это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин. Такое определение дается в работе [67]. Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г. [68], но теоретическая основа метода была известна давно. Возможно, самое раннее задокументированное использование случайной выборки для нахождения решения интеграла принадлежит графу де Бюффону[69]. Задача Бюффона о бросании иглы - один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия геометрической вероятности. Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Несколько лет спустя Лаплас предположил, что эту идею можно использовать для оценки п по броскам иглы, см., например, [70] и ссылки внутри. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти широкого применения, так как моделирование случайной величины в то время является сильно трудоемкой работой. Возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального метода стало

возможным только благодаря появлению ЭВМ [67]. Другие применения метода Монте-Карло в период до появления ЭВМ можно найти, например, в работах [70-73].

Общая схема метода Монте-Карло вычисления некоторой величины ] состоит из следующих этапов [74].

Этап 1. Построение случайной величины % с математическим ожиданием

Щ=].

Этап 2. Разработка численных алгоритмов моделирования случайной величины % на ЭВМ.

Этап 3. Проведение вычислительного эксперимента. Во-первых, вычисление оценки

Г(Ю=11Л=^ъ (1.7)

И оценки ее дисперсии

а2 = вт = — (1.8)

где - независимые численные реализации величины N - число реализаций. На основе закона больших чисел получаем приближение искомой величины:

Г(Ю ^] при N ^ ю. Во-вторых, анализ погрешности 8М и трудоемкости SN вычислений [67]. Если величина о2 конечна, то погрешность = У*(Ы) — Л оценки ]*(Ы) представима в виде

о

= —¡=

(1.9)

Из центральной предельной теоремы следует, что при достаточно большом N случайная величина -- близка по распределению к стандартной

нормальной случайной величине ш Е N(0,1). Поэтому для малого £ > 0

найдется константа Р£, для которой выполнено соотношение

о

Например, для £ = 0,003 имеем = 3 (это соотношение отражает «правило трех сигма»). В общем случае трудоемкость оценок в статистическом моделировании определяется через количество вычислительной работы, требуемое для достижения заданной точности:

SN = tXa2, (1.10)

где t - среднее время для получения одного выборочного значения случайной величины f.

В основе метода Монте-Карло лежит моделирование случайных величин, равномерно распределенных на интервале (0,1) . Обычно выделяют два способа получения случайных чисел [67, 75]: генераторы псевдослучайных чисел и физические датчики (аппаратные генераторы). Генераторы псевдослучайных чисел - это детерминированный алгоритм моделирования последовательности чисел, именно этот способ получения случайных чисел применяется для метода Монте-Карло наиболее часто. В данной работе используются хорошо известные датчики из работы [74, 76] и генератор «вихрь Мерсенна» (Mersenne twister) [77], генератор обеспечивает равномерное распределение генерируемых псевдослучайных чисел в 623 измерениях и имеет огромный период, равный 219937 — 1. Более подробные описания алгоритмов реализации псевдослучайных чисел, вопрос о пригодности псевдослучайных чисел (это исследуется с помощью специальных статистических тестов и решения тестовых задач), можно найти в работах [75, 78] и имеющиеся там ссылки. .

Физические датчики (аппаратные генераторы) - устройства, которые генерируют случайную последовательность двоичных цифр на основе измеряемых, хаотически изменяющихся параметров протекающего физического процесса. Работа таких устройств часто основана на использовании надёжных источников энтропии, таких, как тепловой шум, дробовой шум, фотоэлектрический эффект, квантовые явления и т. д. В последнее время широкое распространение получили квантовые генераторы случайных чисел. В 2021 году представлен самый быстрый (с рекордной

24

скоростью вывода в реальном времени до 18,8 Гбит/с) и миниатюрный (упакован в чип размером 15,6 мм х 18 мм) квантовый генератор случайных чисел [79].

1.3. Алгоритм моделирования переноса фотонов методом Монте-Карло Решение уравнения (1.4) представляется рядом Неймана:

от

У = ^Кпу0> (1.11)

п=0

где

п

^ ' N

[Кп(р0](х) = ¡... / ^0(х0)к(х0,х1) ...к(хп-1,х)(1х0 ...<!хп-1. (1.12) Ряд (1.12) сходится (по норме) и решение уравнения (1.11) существует, если

||^п°|| < 1 при некотором щ > 1. В задачах теории переноса излучения методом Монте-Карло оцениваются функционалы вида

от

1Х = (Ф,Х)=^(КПФ0,Х) (1.13)

п=0

для заданной функции х(х)- Для оценки функционалов (1.13) строится цепь Маркова [1, 78] с начальной плотностью ф0(х) и переходной плотностью к(х',х), для которой N является случайным номером последнего состояния. Для задач теории переноса излучения такие цепи Маркова имеют частное название «траектории фотона».

Опишем алгоритм моделирования траекторий фотона для монохроматического неполяризованного излучения. В рамках линейной теории переноса траектории фотонов моделируются в виде ломаной линии, которая начинается в некоторой точке источника излучения и заканчивается в точке поглощения или при вылете из среды. Отрезки ломаной соответствуют свободному пробегу фотона в среде, а точки излома - это точки, где происходит рассеяние фотона на неоднородностях или частицах среды. Длины свободного пробега и направление движения фотона после рассеяния

25

являются случайными и зависят от оптических свойств среды. Общий алгоритм моделирования траектории фотона в рассеивающей среде без учета поляризации состоит из следующих этапов.

Этап 1. Задаются начальные координаты фотонов: г0 = (х0,у0,г0) -начальное положение в пространстве координат, ш0 = (а0, Ь0, с0) - начальное направление движения фотона, счетчик столкновений п = 0.

Этап 2. Моделируется длина свободного пробега фотона I по распределению с плотностью

ЖО = а(г(Х),шп) ехр(—т(г)),

где

с

r(t) = fa(r(t1),Шn)dt1, г() = гп +

0

a(r(t),Mn) - коэффициент ослабления, r(t) - оптическая длина отрезка [r0,r(t)]. Если &(r(t),wn) = о = const, то плотность распределения fi(t) принимает вид

fl(t) = аехр (-at). В этом случае, длину свободного пробега моделируется следующим образом

l = -lnR /о,

где R - случайная величина равномерно распределенная на (0,1). Для моделирования длины свободного пробега в неоднородной среде обычно используется метод максимального сечения [1, 78]. Если дисперсия коэффициента ослабления среды велика, применяются различные модификации метода максимального сечения, см., например, [80].

Этап 3. Вычисляются координаты следующей точки столкновения:

Тп+1 = гп + 1шп.

Этап 4. Проверяется вылет фотона из среды. Если фотон вылетел из среды, то к счетчику вылета из среды прибавляется 1 и моделируется новая траектория, начиная с этапа 1. Для плоскопараллельной среды, если

рассчитываются вероятности отражения от слоя и прохождения через слой, 1 добавляется либо к счетчику отражения, либо к счетчику пропускания.

Этап 5. Увеличение значения счетчика столкновений п = п + 1. В случае столкновения выбирается тип столкновения: рассеяние с вероятностью Ч(гп+1,шп) или поглощение с вероятностью 1 — я(гп+1,шп). Если фотон поглощен, то к оценке поглощения прибавляется 1 и моделируется новая траектория, начиная с этапа 1. Если фотон не поглощен, то производится переход к следующему этапу.

Этап 6. Моделирование нового направления движения фотона согласно индикатрисе рассеяния д(ш', ш).

Замечание 1. Весовой метод, учитывающий поглощение в среде.

На этапе 5 поглощение фотона можно не моделировать, а учитывать с помощью статистического веса. Тогда в цепь Маркова (тп+1, шп), вводится еще одна координата рп - вес фотона до п-го столкновения. Считается, что р0 = 1, а рп+1 = я(гп+1, шп)рп. Теперь траектория моделируется до вылета из слоя или пока выполнено условие рп> £, где £ > 0 - достаточно малое число. На этапе 4 к счетчику вылета из среды добавляется вес фотона при вылете.

Замечание 2. Оптически изотропные и анизотропные среды.

Если в рассеивающей и поглощающей среде а(гп,шп) = &(гп), ц(гп,шп) = ц(гп) а индикатриса g(w', ы) зависит только от косинуса угла д = (ш', ш) между направлениями до и после рассеяния, то среда называется оптически изотропной. Если оптические характеристики среды о(гп, шп), ц(тп,шп) зависят от направления распространения в ней оптического излучения, то среда является анизотропной. К изотропным средам относятся капельные облака и кристаллические облака с хаотической ориентацией частиц.

Этап 7. Пересчет вектора нового направления ш = (а, Ь, с).

В оптически изотропных средах новое направление движения фотона после рассеяния вычисляется следующим образом [1, 74, 78]:

, 1 — №

а = а'^ — (Ь' Бт^ + а'с'соБф)

2 \1/2

1 — (С)2,

, г, ,, ,(1—^2^1/2

Ь = Ь' д + (а'Бтф — Ь'с'соБф) I -—

с = с'^ + собф((1 — \л2)(1 — (с')2))1/2,

ш' = (а', Ь', с') —предыдущее направление, ф - азимутальный угол рассеяния (т.е. угол между плоскостью рассеяния, содержащей векторы ш' и ш, и некоторой плоскостью, проходящей через вектор ш' ). Угол ф является изотропным, и его можно моделировать как ф = 2пЯ, где Я - случайная величина равномерно распределенная на (0,1).

Если | с' I > 1 — £ , то переход к новому направлению происходит согласно формулам

а = 5т<р^1 — у2, Ь = — у2, с =

Также можно воспользоваться формулами Субботина-Ченцова [74, 81]:

в

ь = ь'{>1-ТШ) + 52,

с = с'^ — 8В,

где

81 = (1 — у})1/2соБф, 82 = (1 — \л2)1/2зтф, В = а'81 + Ь'82, 8 = { 1 Сс' <

Здесь ф равномерно распределено на [0,2п\.

Замечание 3. На этапе 6, в случае изотропной среды при моделировании угла рассеяния фотона используются либо аналитические формулы, аппроксимирующие индикатрису рассеяния (такие как транспортное приближение, индикатриса Хеньи - Гринстейна и др.), либо табличные данные, полученные из эксперимента или из предварительных расчетов.

Например, для вычисления индикатрисы рассеяния сферическими частицами используется теория Ми. Для частиц несферической формы вычисление индикатрисы рассеяния, основанное на решении уравнений Максвелла, проводят методами конечных разностей во временной области (БЭТО), дискретных диполей (ЭОЛ) или методом Т-матриц (Т-МаМх). Для этих алгоритмов количество вычислительной работы возрастает экспоненциально с увеличением отношения размера частицы к длине волны излучения. Для частиц, размеры которых значительно превосходят длину волны излучения, для расчета индикатрисы рассеяния достаточно точные результаты дает приближение геометрической оптики и методы трассировки лучей или трассировки пучков. Одной из сложностей при моделировании угла рассеяния излучения на кристаллических частицах является хранение значительного объема информации, необходимого для моделирования. Кроме того, доступ к базам данных с информацией об индикатрисах (и матрицах) рассеяния чаще всего закрыт. В диссертации предложен новый алгоритм моделирования направления движения фотона после рассеяния непосредственно при моделировании траектории фотона, опираясь на законы геометрической оптики. Для предложенного алгоритма не требуется предварительная информация об индикатрисах рассеяния, основным ограничением является, то что размер исследуемых частиц должен минимум в 50-100 раз превышать длину волны излучения.

Глава 2. Вычисление индикатрис рассеяния для частиц регулярной формы с гладкой и шероховатой поверхностью

В данной главе на основе алгоритма прямого статистического моделирования оцениваются процессы рассеяния солнечной радиации в видимом диапазоне длин волн на частицах кристаллических облаков в приближении геометрической оптики. Расчетам оптических характеристик однократного рассеяния (индикатрис рассеяния, сечений рассеяния и поглощения) видимого и ближнего инфракрасного диапазонов электромагнитного излучения частицами разных форм и ориентаций посвящено огромное количество работ. Отметим прежде всего расчеты указанных характеристик для частиц сферической формы в классических монографиях [82, 83]. Результаты расчетов для частиц несферических форм в тех или иных приближениях в большом количестве содержатся в работах [4044]. К этим данным можно добавить расчеты и обзоры результатов многих авторов, содержащиеся в более свежих публикациях, например, в работах [8487]. Основной особенностью вышеуказанных работ является то, что все они представляют собой модели рассеяния на отдельных изолированных частицах. В силу большого разнообразия облаков по составу, формам, размерам и ориентациям кристаллических частиц, которое зависит от высоты над поверхностью Земли и от температуры воздуха, разработка адекватных оптических моделей перистых облаков является наиболее сложной частью численного моделирования. В отличие от изотропных рассеивающих сред, например, жидко капельной облачности, в которых процесс однократного рассеяния описывается индикатрисой рассеяния, зависящей только от угла рассеяния, процесс рассеяния ледяными кристаллами является существенно анизотропным и характеризуется матрицей рассеяния, элементами которой являются индикатрисы рассеяния, зависящие от направления падения луча на поверхность кристалла, от его конфигурации, размеров и от пространственной ориентации.

В данной работе для построения адекватной математической модели рассеяния излучения кристаллическими частицами, размер которых значительно превышает длину волны, используется приближение геометрической оптики, в частности алгоритм трассировки лучей. В используемом алгоритме траектории оптического излучения представляются в виде ломанных линий, вершины которых - это точки столкновения с гранями кристалла, либо с неоднородностями рассеивающей среды.

Наряду с частицами, имеющими гладкие поверхности, моделируются процессы рассеяния излучения на частицах с шероховатыми гранями с учетом эффектов затенения и переотражения. Для этого используется «фацетная модель» случайно неоднородных поверхностей. Данная глава основана на публикациях [П1, П6, П14].

2.1. Алгоритм трассировки лучей

Вначале введем несколько известных понятий и утверждений, важных для выполнения процедуры трассировки световых лучей, попадающих на поверхность кристалла, и дальнейших операций, предназначенных для расчета сечений и матриц рассеяния кристаллической среды.

Положение кристалла в пространстве удобно задавать углами Эйлера (см., например, [88] и рис 2.1). Эти углы, задающие поворот абсолютно твёрдого тела в трёхмерном евклидовом пространстве, позволяют описать любое угловое преобразование системы в глобальной (лабораторной) системе координат. Обозначим оси лабораторной системы координат через (х,у,г), оси преобразованной системы координат как (Х,У^). Пересечение координатных плоскостей ху и ХУ называется линией узлов N . Введем обозначения: а Е Ла = [0, 2п] — угол между осью х и линией узлов, р Е Ар = [0, п] — угол между осями г и 7, у Е Ау = [0,2п] — угол между осью X и линией узлов.

Рисунок 2.1. К определению углов Эйлера. Кристалл определяется координатами вершины = (ху,уу,гу), новые координаты вершины = (х'у,у'у,г'у) после вращения кристалла можно получать по следующей формуле:

V- = Мг • V-,

Мг =

cos а — sin а 0 sin a cosa 0 . 0 0 1

cosy —sin у 0 sin у cos 7 0 0 0 1

1 0 0 0 cos Д — sin Д .0 sin Д cos Д

Все ориентации кристаллов относительно фиксированной системы координат или вращения лучей относительно фиксированного положения кристалла можно однозначно задать тройкой углов [а, у], определяющих поворот оси кристалла или луча. Элементами матриц рассеяния являются объемные (в декартовой системе координат —трехмерные, а в полярной — двумерные) индикатрисы рассеяния — непрерывные или дискретные функции по угловым переменным, описывающие плотности распределения случайных направлений движения световых квантов после рассеяния. В ряде публикаций по фотометрии в качестве матриц рассеяния используется термин «тело яркости». Вычисление матриц рассеяния частиц со случайной ориентацией можно осуществлять путем изотропного или иного вращения кристаллических частиц внутри некоторой заданной опорной сферы или вращения падающих на опорную сферу световых лучей при фиксированном положении частицы.

Через n¿,a обозначим показатель преломления льда относительно воздуха. Обозначим через п вектор внешней нормали к поверхности грани кристалла в

32

точке падения светового кванта на эту грань, выраженный в глобальной (лабораторной) системе координат. Предполагаем, что кристалл является полностью прозрачным для световой волны, т.е. свет внутри кристалла не поглощается. В случае необходимости с помощью простейшей техники весового моделирования учет поглощения не представляет сложности. Для описания воздействия плоской грани кристалла на излучение примем модель, в которой отражение и преломление света гранью происходит по законам лучевой оптики (законы Снеллиуса и Френеля). В таком случае при попадании луча, имеющего направление ш, на поверхность грани с вероятностью Я(ш, п) происходит зеркальное отражение в направлении шге^ = ш — 2(ш,п)п, а с вероятностью 1-Я (ш, п) происходит преломление в направлении шге^г = уш — Бп. Здесь Я(ш,п) — коэффициент отражения Френеля, который для удобства вычислений запишем в следующей преобразованной форме

(1М—В)2(А2В2 + С2) У ' (Щ+В)2(ЩВ+ С)2' к ^

В

щ>а2 — 1 + А2, А < 0,

= <\1/П1а2 — 1 + А2, Л>

N

1—

1

п,-

1,а

0, 0 < А <

1—

1

м

1

п,-

1,а

С = 1 — А2, й = А — sign(Л)£, V =

-, А<0,

1,а

Щ>а, Л>0.

п

Для вычисления случайных оценок целевых функционалов (сечений и матриц рассеяния) на множестве моделируемых траекторий световых квантов, испытавших взаимодействие с кристаллическими частицами выполним дискретизацию пространства углов Эйлера, т.е. разобьем интервалы Аа,Ар и Лу изменения углов а,р и у соответственно на па,пр и пу равных частей размером 8а, 8р, 8у и построим сетку узлов:

2

2

<

{«¿} = {¿5а,1 = 1,2, ...,пД

= = 1,2.....пД

{//Л = = 1,2, ...,пу).

Результаты моделирования будем регистрировать и хранить в виде некоторой «трехмерной блочной прямоугольной матрицы» £ размером па X п^ X пу. Номера блоков этой матрицы для суммирования случайных оценок будем определять по значениям углов а, Д и у, а именно, набор индексов ¿,у, к реализуется при условии £ {¿5а, I = 1, 2, ...,па},Ду £ = 1,2, £ к = 1,2, ...,Пу}. «Элементом» каждого блока

матрицы б является своя двумерная прямоугольная матрица д размером X Пф . Здесь через в £ [0, я] и ф £ [0,2я] обозначены соответственно широтный и азимутальный углы единичного вектора ^ (направление движения светового кванта после рассеяния) в полярной системе координат, связанной с исходной лабораторной декартовой системой координат х, у, г, а именно, в — угол между вектором ш и осью Ог, ф — угол между проекцией вектора ш на плоскость хОу и осью Ох, отсчитываемый по часовой стрелке. Через и п^ обозначено количество интервалов, на которые разбиты области изменения углов в и ф.

Алгоритм трассировки лучей. Процедура численного оценивания X п^ X Пу матриц типа д (по числу блоков матрицы б) на ансамбле моделируемых траекторий квантов света, рассеянных кристаллами, состоит в следующем.

1. Строится модель исследуемой кристаллической частицы, то есть задаются или моделируются координаты вершин выпуклого многогранника. Его размеры путем сжатия или растяжения главной оси подгоняются под требуемое значение «форм-фактора» /, равного отношению длины главной оси многогранника к среднему диаметру основания. Случайное значение параметра / выбирается из заданного распределения вероятностей, входящего

в число исходных данных, характеризующих микрофизическую структуру кристаллического облака.

2. Построенный кристалл помещается в условную опорную сферу таким образом, чтобы главная ось кристалла лежала на оси Ог фиксированной лабораторной системы координат, а ее средняя точка совпадала с началом координат. По координатам вершин многогранника можно выписать уравнения плоскостей, в которых лежат грани, а также угловые координаты векторов нормалей к этим плоскостям в системе координат (х, у, г).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Му Цюань, 2024 год

Список литературы

1. Марчук, Г., Г. Михайлов, М. Назаралиев, et al., Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. 1976.

2. Yurkin, M.A. A.G. Hoekstra, The discrete-dipole-approximation code ADDA:

Capabilities and known limitations. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2011. 112(13): p. 2234-2247.

3. Baum, B.A., P. Yang, A.J. Heymsfield, et al., Ice cloud single-scattering property models with the full phase matrix at wavelengths from 0.2 to 100^m. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2014. 146: p. 123-139.

4. Кан, Н.В., А.В. Коношонкин, В.А. Шишко, et al., Банк данных матриц рассеяния света по всей сфере направлений рассеяния для атмосферных ледяных частиц перистых облаков, рассчитанный в приближении геометрической оптики. XXVIII Международный симпозиум «Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы», 2022.

5. Prigarin, S.M., Numerical simulation of halo in crystal clouds by Monte Carlo method. Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2009. 24: p. 481-494.

6. International cloud atlas. 2017: World Meteorological Organization.

7. Хромов, С. Л. Мамонтова, Метеорологический словарь, Гидрометеоиздат. Ленинград, 1974: p. 277.

8. Liou, K.N. P. Yang, Light scattering by ice crystals: fundamentals and applications. 2016: Cambridge University Press.

9. Rockwitz, K.D., Scattering properties of horizontally oriented ice crystal columns in cirrus clouds. Part 1. Applied optics, 1989. 28(19): p. 4103-4110.

10. Volkovitsky, O.A., L.N. Pavlova, A.G. Petrushin, Optical properties of the ice clouds. 1984: Gidrometeoizdat.

11. Pujol, O. G. Brogniez, Maggi-Rubinowicz integral for Fraunhofer diffraction by hexagonal particles: application to cirrus ice crystals. JOSA A, 2018. 35(10): p. 1735-1740.

12. Xiao, H., F. Zhang, Q. He, et al., Classification of ice crystal habits observed from airborne Cloud Particle Imager by deep transfer learning. Earth and Space Science, 2019. 6(10): p. 1877-1886.

13. Lawson, R.P., B.A. Baker, P. Zmarzly, et al., Microphysical and optical properties of atmospheric ice crystals at South Pole Station. Journal of Applied Meteorology and Climatology, 2006. 45(11): p. 1505-1524.

14. Murray, B.J., C.G. Salzmann, A.J. Heymsfield, et al., Trigonal ice crystals in Earth's atmosphere. Bulletin of the American Meteorological Society, 2015. 96(9): p. 1519-1531.

15. Yang, P., S. Hioki, M. Saito, et al., A review of ice cloud optical property models for passive satellite remote sensing. Atmosphere, 2018. 9(12): p. 499.

16. Tape, W., Atmospheric halos. 1994: Amer Geophysical Union.

17. Tape, W. J. Moilanen, Atmospheric Halos and the Search for Angle x. 2006: American Geophysical Union.

18. Hashino, T., K.Y. Cheng, C.C. Chueh, P.K. Wang, Numerical study of motion and stability of falling columnar crystals. Journal of the Atmospheric Sciences, 2016. 73(5): p. 1923-1942.

19. Cheng, K.Y., P.K. Wang, T. Hashino, A numerical study on the attitudes and aerodynamics of freely falling hexagonal ice plates. Journal of the Atmospheric Sciences, 2015. 72(9): p. 3685-3698.

20. National Academies of Sciences, E. Medicine, Reflecting sunlight: Recommendations for solar geoengineering research and research governance. 2021.

21. Gasparini, B., Cirrus clouds and their geoengineering potential. 2016, ETH Zurich.

22. Lohmann, U. B. Gasparini, A cirrus cloud climate dial? Science, 2017. 357(6348): p. 248-249.

23. Muri, H., J.E. Kristjansson, T. Storelvmo, M.A. Pfeffer, The climatic effects of modifying cirrus clouds in a climate engineering framework. Journal of Geophysical Research: Atmospheres, 2014. 119(7): p. 4174-4191.

24. Storelvmo, T., J.E. Kristj ansson, H. Muri, et al., Cirrus cloud seeding has potential to cool climate. Geophysical Research Letters, 2013. 40(1): p. 178182.

25. Gasparini, B., Z. McGraw, T. Storelvmo, U. Lohmann, To what extent can cirrus cloud seeding counteract global warming? Environmental Research Letters, 2020. 15(5): p. 054002.

26. Кустова, Н.В., Методы геометрической и физической оптики в задаче рассеяния света атмосферными ледяными кристаллами. Канд-дис. 2009, Институт оптики атмосферы Сибирского отделения Российской академии наук: Томск.

27. Change, I.P.O.C., Climate change 2007: The physical science basis. Agenda, 2007. 6(07): p. 333.

28. Cess, R.D., G. Potter, J. Blanchet, et al., Intercomparison and interpretation of climate feedback processes in 19 atmospheric general circulation models. Journal of Geophysical Research: Atmospheres, 1990. 95(D10): p. 1660116615.

29. Heymsfield, A.J., A. Bansemer, P.R. Field, et al., Observations and parameterizations of particle size distributions in deep tropical cirrus and stratiform precipitating clouds: Results from in situ observations in TRMM field campaigns. Journal of the atmospheric sciences, 2002. 59(24): p. 34573491.

30. Heymsfield, A.J., Properties of tropical and midlatitude ice cloud particle ensembles. Part I: Median mass diameters and terminal velocities. Journal of the atmospheric sciences, 2003. 60(21): p. 2573-2591.

31. Magee, N., K. Boaggio, S. Staskiewicz, et al., Captured cirrus ice particles in high definition. Atmospheric Chemistry and Physics, 2021. 21(9): p. 71717185.

32. Platt, C., Lidar and radiometric observations of cirrus clouds. Journal of Atmospheric Sciences, 1973. 30(6): p. 1191-1204.

33. Shupe, M.D., P. Kollias, S.Y. Matrosov, T.L. Schneider, Deriving mixed-phase cloud properties from Doppler radar spectra. Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 2004. 21(4): p. 660-670.

34. Bailey, M. J. Hallett, Growth rates and habits of ice crystals between- 20 and- 70 C. Journal of the Atmospheric Sciences, 2004. 61(5): p. 514-544.

35. Боровиков, А., И. Гайворонский, Е. Зак, et al., Физика облаков. Л., Гидрометеоиздат, 1961.

36. Мейсон, Д.Б., Г.Т. Никанорова, В.С. Протопопова, Физика облаков: Пер. с англ. 1961: Гидрометеоиздат.

37. Hobbs, P., Clouds, Their Formation, Optical Properties, and Effects. 2012: Elsevier.

38. Косарев, А., И. Мазин, А. Невзоров, В. Шугаев, Микроструктура перистых облаков. Вопросы физики облаков, 1986: p. 160.

39. Мазин, И.П. А.Х. Хргиан, Облака и облачная атмосфера: Справочник. 1989: Гидрометеоиздат.

40. Mishchenko, M.I., J.W. Hovenier, L.D. Travis, Light scattering by nonspherical particles: theory, measurements, and applications. 1999: Elsevier.

41. Liou, K.-N., An introduction to atmospheric radiation. 2002: Elsevier.

42. Mishchenko, M.I., L.D. Travis, A.A. Lacis, Scattering, absorption, and emission of light by small particles. 2002: Cambridge university press.

43. Волковицкий, О.А., Л.Н. Павлова, А.Г. Петрушин, Оптические свойства кристаллических облаков. 1984: Гидрометеоиздат.

44. Петрушин, А.Г., Индикатриса рассеяния излучения элементарным объемом кристаллической облачной среды при малых углах рассеяния. Известия АН. Физика атмосферы и океана, 1996. 32: p. 189-198.

45. Heymsfield, A.J. C.M.R. Platt, A parameterization of the particle size spectrum of ice clouds in terms of the ambient temperature and the ice water content. Journal of the Atmospheric Sciences, 1984. 41(5): p. 846-855.

46. Liu, C., R.L. Panetta, P. Yang, The effective equivalence of geometric irregularity and surface roughness in determining particle single-scattering properties. Optics Express, 2014. 22(19): p. 23620-23627.

47. Macke, A., J. Mueller, E. Raschke, Single scattering properties of atmospheric ice crystals. Journal of the Atmospheric Sciences, 1996. 53(19): p. 2813-2825.

48. Liu, C., R. Lee Panetta, P. Yang, The effects of surface roughness on the scattering properties of hexagonal columns with sizes from the Rayleigh to the geometric optics regimes. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2013. 129: p. 169-185.

49. Shishko, V., A. Konoshonkin, N. Kustova, et al., Coherent and incoherent backscattering by a single large particle of irregular shape. Optics Express, 2019. 27(23): p. 32984-32993.

50. Пригарин, С.М., Моделирование переноса оптического излучения методом Монте-Карло. 2019.

51. Журавлева, Т.Б., Статистическое моделирование распространения солнечной радиации: детерминированная атмосфера и стохастическая облачность. 2007, Институт оптики атмосферы Сибирского отделения Российской академии наук.

52. Дэвисон, Б., В.Н. Морозова, О.А. Сальников, Теория переноса нейтронов. 1960: Атомиздат.

53. Кейз, К. П. Цвайфель, Линейная теория переноса: Пер. с англ. 1972: Мир.

54. Смелов, В.В., Лекции по теории переноса нейтронов: Учебное пособие елов2пд. 1978: Атомиздат.

55. Нагирнер, Д., Лекции по теории переноса излучения. 2002.

56. Чандрасекар, С., Перенос лучистой энергии: Пер. с англ. 1953: Иностранной литературы.

57. Соболев, В.В., Рассеяние света в атмосферах планет. 1972: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

Минин, И.Н., Теория переноса излучения в атмосферах планет. 1988: Наука.

Карюкин, В., Теоретические основы статистического моделирования переноса фотонов в задачах дистанционного мониторинга и лазерной разведки атмосферы. СПб: Изд-во Воен.-мор. акад. им. адмирала Флота Советского Союза НГ Кузнецова, 2000.

Владимиров, В.С., Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Труды математического института имени ВА Стеклова, 1961. 61(0): p. 3-158.

Ленобль, Ж. К.С. Шифрин, Перенос радиации в рассеивающих и поглощающих атмосферах: Стандартные методы расчета. 1990: Гидрометеоиздат.

Ермаков, С.М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы. 1975.

Михайлов, Г.А., Весовые методы Монте-Карло. 2000: Изд-во

Сибирского отд-ния Российской академии наук.

Соболь, И.М., Численные методы Монте-Карло. 1973.

Ермаков, С.М. Г.А. Михайлов, Статистическое моделирование:

учебное пособие. 1982: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.

Ермаков CM, М.Б., Курс статистического моделирования. 1976, М.:

Наука.

Соболь, И.М., Метод монте-карло. Vol. 46. 1985: наука.

Metropolis, N. S. Ulam, The monte carlo method. Journal of the American

statistical association, 1949. 44(247): p. 335-341.

DE BUFFON, G.L.L., Essai d'arithmetique morale. Euvres philosophiques, 1777.

Kalos, M.H. P.A. Whitlock, Monte carlo methods. 2009: John Wiley & Sons. Harrison, R.L., Introduction to Monte Carlo Simulation. AIP Conference Proceedings, 2010. 1204(1): p. 17-21.

Seco, J. F. Verhaegen, Monte Carlo techniques in radiation therapy. 2013: CRC press.

73. Henon, M. The Monte Carlo method. in International Astronomical Union Colloquium. 1971. Cambridge University Press.

74. Пригарин, С.М., Основы статистического моделирования переноса оптического излучения. Учебное пособие. Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-т, 2001.

75. Пригарин, С.М., Основы статистического моделирования переноса поляризованного оптического излучения. 2010.

76. Пригарин, С.М. Г.А. Михайлов, Методы численного моделирования случайных процессов и полей. 2005: ИВМиМГ СО РАН.

77. Matsumoto, M. T. Nishimura, Mersenne twister: a 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation (TOMACS), 1998. 8(1): p. 3-30.

78. Михайлов, Г.А. А.В. Войтишек, Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. 2006.

79. Bai, B., J. Huang, G.-R. Qiao, et al., 18.8 Gbps real-time quantum random number generator with a photonic integrated chip. Applied Physics Letters, 2021. 118(26): p. 264001.

80. Kargin, B., E. Kablukova, P. Zhen, Monte Carlo simulation of the optical radiation transfer process in stochastic scattering media. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 2021. 50(12): p. 3984-3991.

81. Субботин, А. Н. Ченцов, Моделирование процесса рассеяния частиц в методе Монте-Карло. Вопросы атомной науки и техники. Сер. методики и программы численного решения задач математической физики, 1982(1): p. 9.

82. Van de Hulst, H.C., Light Scattering by Small Particles, 1957.

83. Deirmendjian, D., Electromagnetic Scattering on Spherical Polydispersions, 1969.

84. Петрушин, А.Г., Ослабление и рассеяние оптического излучения кристаллической и смешанной облачными средами. СПб, 2004. 35: p. 7.

85. Коношонкин, А.В., Н. Кустова, А. Боровой, Рассеяние света на гексагональных ледяных кристаллах перистых облаков. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013: p. 147.

86. Коношонкин, А.В., Рассеяние света на атмосферных ледяных кристаллах при лазерном зондировании: Автореф. дис. ... докт. физ. -мат. наук. 2017: Томск. p. 43.

87. Шефер, О.В., Параметризованная модель кристаллического облака для исследования характеристик однократного рассеяния лучистой энергии: Автореф. дис. докт. физ. - мат. наук. 2019: Новосибирск.

88. Журавлев, В., Основы теоретической механики. 2001.

89. Pfalzgraff, W.C., R.M. Hulscher, S.P. Neshyba, Scanning electron microscopy and molecular dynamics of surfaces of growing and ablating hexagonal ice crystals. Atmospheric Chemistry and Physics, 2010. 10(6): p. 2927-2935.

90. Пирсон, В.Д., Ветровые волны, in Ветровые волны. 1962. p. 42.

91. Shcherbakov, V., Why the 46° halo is seen far less often than the 22° halo? Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2013. 124: p. 37-44.

92. Rakimgulov, K. S. Ukhinov, Local estimates in Monte Carlo method for the ocean-atmosphere system with a random interface. 1994.

93. Ping, Y. K. Liou, Single-scattering properties of complex ice crystals in terrestrial atmosphere. Contributions to atmospheric physics, 1998. 71.

94. Kokhanovsky, A.A. T.Y. Nakajima, The dependence of phase functions of large transparent particles on their refractive index and shape. Journal of Physics D: Applied Physics, 1998. 31(11): p. 1329-1335.

95. Yang, P., G. Hong, G.W. Kattawar, et al., Uncertainties associated with the surface texture of ice particles in satellite-based retrieval of cirrus clouds: Part II—Effect of particle surface roughness on retrieved cloud optical thickness and effective particle size. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2008. 46(7): p. 1948-1957.

96. Können, G.P. G.P. Können, Polarized light in nature. 1985: CUP Archive.

97. Greenler, R., Rainbows, halos, and glories. 1989.

98. https://www.atoptics.co.uk/.

99. Genhlot, S. J. Quaas, Convection-Climate Feedbacks in the ECHAM5 General circulation Model: Evaluation of Cirrus Cloud Life Cycles with ISCCP Satellite Data from a La-grangian Trajectory Perspective. J Climate, 2012. 25: p. 5241-5259.

100. Gasteiger, J., M. Wiegner, S. Gross, et al., Modelling lidar-relevant optical properties of complex mineral dust aerosols. Tellus Series B-Chemical and Physical Meteorology, 2011. 63(4): p. 725-741.

101. Препарата, Ф. М. Шеймос, Вычислительная геометрия: введение. 1989, М.: Мир.

102. De Berg, M., M. Van Kreveld, M. Overmars, O. Schwarzkopf, Computational geometry, in Computational geometry. 1997, Springer. p. 1-17.

103. Jayaram, M. H. Fleyeh, Convex hulls in image processing: a scoping review. American Journal of Intelligent Systems, 2016. 6(2): p. 48-58.

104. Chadnov, R. A. Skvortsov. Convex hull algorithms review. in Proceedings. The 8th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology, 2004. KORUS 2004. 2004. IEEE.

105. Pichardie, D. Y. Bertot. Formalizing convex hull algorithms. in International Conference on Theorem Proving in Higher Order Logics. 2001. Springer.

106. Takano, Y. K.-N. Liou, Solar radiative transfer in cirrus clouds. Part I: Single-scattering and optical properties of hexagonal ice crystals. Journal of Atmospheric Sciences, 1989. 46(1): p. 3-19.

107. Шишко, В.А., Исследование оптических свойств атмосферных ледяных кристаллов неправильной формы. 2020: Томск, Россия.

108. Коношонкин, А.В., Н.В. Кустова, В.А. Шишко, А.Г. Боровой, Методика решения задачи рассеяния света на ледяных кристаллах перистых облаков в направлении рассеяния назад методом физической оптики для

лидара с зенитным сканированием. Оптика атмосф. и океана, 2016. 29(1): p. 40.

109. Zhang, Z., P. Yang, G.W. Kattawar, et al., Geometrical-optics solution to light scattering by droxtal ice crystals. Applied optics, 2004. 43(12): p. 2490-2499.

110. Macke, A. M.I. Mishchenko, Applicability of regular particle shapes in light scattering calculations for atmospheric ice particles. Applied optics, 1996. 35(21): p. 4291-4296.

Приложение. Копия свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ

Основные публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, индексируемых Scopus и Web of Science:

П1. Q. Mu, B. A. Kargin, and E. G. Kablukova "Calculation by the Monte-Carlo method of optical radiation scattering by cirrus crystals in the geometric optics approximation", Proc. SPIE 11560, 26th International Symposium on Atmospheric and Ocean Optics, Atmospheric Physics, 115602C (12 November 2020); https://doi.org/10.1117/12.2576362

П2. Mu, Q., Kablukova, E. G., Kargin, B. A., & Prigarin, S. M. (2021, November). Monte Carlo simulation of halos in the crystal clouds. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 2099, No. 1, p. 012067). IOP Publishing.

П3. Б.А. Каргин., Ц. Му., Е.Г. Каблукова. Численное статистическое моделирование процесса переноса оптической радиации в случайных кристаллических средах. Сибирские электронные математические известия. 2023. Т. 20. № 1. С. 486-500. DOI 10.33048/semi.2023.20.029.

Публикации в изданиях, включенных в Перечень ВАК:

П4. Му Ц., Каргин Б.А., Каблукова Е.Г. Компьютерное построение трехмерных выпуклых тел произвольных форм // Вычислительные технологии. 2022. Т. 27. № 2. С. 54-61.

П5. Каргин Б.А., Каблукова Е.Г., Му Ц. Численное стохастическое моделирование рассеяния оптического излучения ледяными кристаллами нерегулярных случайных форм // Вычислительные технологии. 2022. Т. 27. № 2. С. 4-18.

Тезисы в международных симпозиумах и конференциях:

П6. Б. А. Каргин, Е. Г. Каблукова, Ц. Му. "Численное статистическое моделирование процессов рассеяния оптического излучения ледяными кристаллами перистых облаков в приближении геометрической оптики" Марчуковские научные чтения, no. 2019, 2019, pp. 48-48. doi:10.24411/9999-017A-2019-10097

П7. Му Ц., Каргин Б.А., Е. Г. Каблукова. "Численное статистическое

моделирование переноса оптического излучения в кристаллических облаках" Марчуковские научные чтения, no. 2020, 2020, pp. 53-54. doi: 10.24411/9999-017A-2020-10392

П8. Q. Mu, E. G. Kablukova, B. A. Kargin, and S. M. Prigarin. "Monte Carlo simulation of halos in crystal clouds" INTERNATIONAL CONFERENCE MARCHUK SCIENTIFIC READINGS 2021 Abstracts, vol. 1, 2021, pp. 75-76. doi:10.24412/cl-35065-2021-1-00-86

П9. Б. А. Каргин, Е. Г. Каблукова, Ц. Му. "Статистическое моделирование рассеяния оптического излучения атмосферными кристаллами льда в приближении геометрической оптики" Аэрозоли Сибири. 2019

П10. Му Ц., Каргин Б.А., Е. Г. Каблукова. Расчет методом Монте-Карло рассеяния оптического излучения кристаллами перистых облаков в приближении геометрической оптики. XXVI Международный Симпозиум "Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы". 2020. Москва.

П11. Му Ц. "Расчет методом Монте-Карло оптических характеристик атмосферных кристаллов в приближенной геометрической оптике" 57-я МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ (МНСК). 2019.

П12. Му Ц. "Расчет и сравнения индикатрисы рассеяний сферических кристаллов различного степени шероховатости в приближении геометрической оптики" 58-я МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ (МНСК). 2020.

П13. Му Ц. "Модели частиц и метод геометрической оптики в перистых облаках" 59-я МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ (МНСК). 2021.

П14. Му Ц. "Расчет методом Монте-Карло индикатрис рассеяния оптического излучения атмосферными кристаллами в приближении геометрической оптики" Конференция молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. 2019.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ

(РОСПАТЕНТ):

П15. Б. А. Каргин, Цюань Му. Программный комплекс «Convex Hull» (Программа для построения выпуклого многогранника случайной формы). Федеральная служба по интеллектуальной собственности РОСПАТЕНТ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2022615130.

П16. Б. А. Каргин, Цюань Му. Программный комплекс «Cristall Scattering Matrix» (В программе вычисляются матрицы и микрофизические сечения рассеяния оптического излучения прозрачными кристаллами в форме выпуклых многогранников с гладкими и шероховатыми поверхностями в приближении геометрической оптики методом Монте-Карло). Федеральная служба по интеллектуальной собственности РОСПАТЕНТ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2022613371.