Численное решение трехмерных задач динамического нагружения сложных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Беклемышева, Катерина Алексеевна

• Беклемышева, Катерина Алексеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Беклемышева, Катерина Алексеевна

Оглавление

Оглавление

Введение

Глава 1. Математическая модель

1.1. Общий вид уравнений

1.2. Линейно упругое приближение

1.3. Вязко-упругое приближение

1.4. Упруго-пластическое приближение

1.5. Вязко-упруго-пластическое приближение

1.6. Композиционные материалы

1.7. Исследование матрицы для линейно-упругого случая

Глава 2. Сеточно-характеристический численный метод

2.1. Численное решение уравнений МДТТ

2.1.1. Сеточно-характеристический метод для одномерного случая

2.1.2. Нерегулярные тетраэдральные сетки

2.1.3. Интерполяция в тетраэдре

2.1.4. Расщепление по направлениям

2.1.5. Расчет граничных узлов

2.1.6. Расчет контактных узлов

2.1.7. Поиск контакта

2.1.8. Моделирование трения

2.1.9. Моделирование разрушения контакта

2.1.10. Параллельная версия метода

2.2. Расчет верификационных задач

2.2.1. Распространение волн

2.2.2. Волны на контактной границе

2.2.3. Взаимодействие стального осколка со стальной преградой

Глава 3. Разрушение полимерного композиционного материала

3.1. Критерии разрушения однородного материала

3.1.1. Критерий наибольших нормальных напряжений

3.1.2. Критерий наибольших линейных деформаций

3.1.3. Критерий Треска

3.1.4. Критерий Мизеса

3.2. Критерии разрушения композиционного материала

3.2.1. Критерий максимального главного напряжения

3.2.2. Критерий Цая-Хилла

3.2.3. Критерий Цая-Ву

3.2.4. Критерий Кулона-Мора

3.2.5. Критерий Друкера-Прагера

3.2.6. Критерий Хашина

3.2.7. Критерий Пака

3.2.8. Адгезионная прочность

3.3. Интегральная модель разрушения

Глава 4. Низкоскоростиой удар по трехстрингерной панели обшивки

4.1. Постановка задачи

4.1.1. Панель типа А

4.1.2. Панель типа Б

4.2. Результаты расчетов панели типа А

4.2.1. Удар в стрингер

4.2.2. Удар в полку стрингера

4.2.3. Удар в обшивку

4.3. Результаты расчетов панели типа Б

4.3.1. Удар в стрингер

4.3.2. Удар в полку стрингера

4.3.3. Удар в обшивку

4.4. Итоговые расчетные зависимости

Глава 5. Множественный удар по обшивке из композиционного материала

5.1. Постановка задачи

5.2. Результаты для различных постановок

5.2.1. Один ударник

5.2.2. Два ударника

5.2.3. Четыре ударника

5.2.4. Один ударник, столкновение под углом

5.3. Анализ результатов расчета

Глава 6. Неразрушающий контроль композиционного материала

6.1. Постановка прямой задачи неразрушающего контроля

6.2. Результаты расчета

6.2.1. Нормальный удар

6.2.2. Тангенциальный удар (вдоль оси X)

6.2.3. Тангенциальный удар (вдоль оси Y)

6.2.4. Сигнал на линии приемников

6.3. Анализ сигналов на приемниках

6.4. Сжатие пластин

Глава 7. Моделирование структуры композиционного материала

7.1. Постановка задачи

7.2. Результаты

7.2.1. Один слой параллельных волокон, плоский удар

7.2.2. Один слой параллельных волокон, столкновение с ударником

7.2.3. Два слоя параллельных волокон

7.2.4. Два скрещивающихся слоя параллельных волокон

7.3. Анализ результатов

Глава 8. Решение задач с трением и динамическим контактом

8.1. Движение поршня в трубе под действием начального импульса

8.1.1. Постановка задачи

8.1.2. Результаты

8.2. Генерация сдвиговых волн методом падающего груза

8.2.1. Постановка задачи

8.2.2. Результаты

8.2.3. Анализ результатов

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение трехмерных задач динамического нагружения сложных конструкций»

Введение

Актуальность темы

Применение полимерных материалов в авиации весьма ограничено, несмотря на малый вес деталей и простоту их изготовления. Низкая прочность полимеров препятствует их использованию в силовых конструкциях. При этом композиционные материалы, являющиеся армированными полимерами, обладают повышенной прочностью и сохраняют низкий вес ([1, 2]). Их использование дает возможность реализации новых конструктивно-силовых схем и компоновок летательных аппаратов [3, 4], но на данном этапе развития технологии требуются дополнительные исследования. Важными задачами являются как разработка новых усовершенствованных композиционных материалов, так и создание методик и норм проверки их прочностных характеристик и надёжности в эксплуатации.

При исследовании поведения композита наибольший интерес вызывают эффекты при низкоскоростных соударениях ([5]). В композиционных материалах после действия нагрузки, не повреждающей однородный материал, могут появляться области разрушения. Разрушение может происходить в объеме материала, на контактных границах между матрицей и наполнителем, на контактной границе между субпакетами. Это приводит к заметной потере прочности, при дальнейшем использовании. При этом могут отсутствать видимые повреждения, что затрудняет контроль целостности деталей при эксплуатации.

Сложная внутренняя структура композиционного материала приводит к тому, что способы контроля прочности и нормы, разработанные для однородных материалов, не подходят для композитов. Таким образом, крайне актуальной являются задачи неразрушающей дефектоскопии: поиск областей разрушенного материала и влияние размера и характера разрушенных зон на

прочность конструкции. Оценка несущей способности конструкции в ходе эксплуатации и определение внутренней структуры материала в случае сложной технологии производства могут осуществляться при помощи анализа упругих волн, отраженных от внутренних границ материала и областей его разрушения. Аналогичные процессы можно наблюдать при решении задач сейсморазведки, и применение накопленного в данной области опыта позволит существенно ускорить разработку методов неразрушающего контроля композитов, а также повысить их эффективность.

Анализ отражения упругих волн от неодпородиостей среды успешно применяется при сейсморазведке залежей нефти и структуры земной коры ([6, 7, 8]). Аналитическим решениям уравнений, описывающих волновые процессы, происходящие в исследуемых породах, посвящены такие классические монографии, как [9] и [10]. Для задач сейсморазведки наибольший интерес представляет решение обратных задач. Решения обратных задач для некоторых постановок приведены в [11, 12, 13, 14]. Применение методов сейсморазведки, в том числе методов генерации начального импульса, для задач дефектоскопии является перспективным направлением развития. Неразрушающий контроль прочности актуален как для авиационной промышленности, так и для любой другой высокотехнологичной отрасли.

Для моделирования и конструирования деталей из композиционного материала существуют осредненные модели [15, 16, 17, 18, 19], изотропные и анизотропные. Их применение обосновано высокой вычислительной сложностью расчета с использованием полной модели, учитывающей все возможные внутренние границы, но осредненные модели не могут объяснить всех эффектов, которые появляются при нагружении композиционного материала. Исследование влияния микроструктуры композита на его макроскопические характеристики может помочь при разработке осредненных моделей, что является актуальной задачей.

Возникновение повреждений, характерных для композита, носит выраженный волновой характер. При динамической нагрузке на деталь из композиционного

материала происходят множественные переотражения упругих волн от внутренних контактных границ между слоями. Интерференция прямых, отражённых и преломлённых волн формируют сложную картину, и итоговые области разрушения напрямую зависят от качества метода, примененного для моделирования.

В некоторых случаях есть возможность получить точное решения для задачи столкновения. Например, в работе [20] предлагается точное решение твердой недеформируемой сферы с упругим полупространством. В работе [21] предлагается аналитическое решение для сдвига тонкой композитной пластины. В общем случае сложность формы конструкции и реологии материала не позволяет получит точное решение.

К первым работам в области разработки численных методов для решения задач механики деформируемого твердого тела можно отнести [22, 23]. На данный момент, наиболее часто используемым методом для моделирования композитов является метод конечных элементов (МКЭ) [24, 25, 26]. Данный метод предназначен, прежде всего, для решении задач о статическом нагружении деталей. Он может быть адаптирован для решения динамических задач, в том числе, для задач удара ([27]) и задач сейсморазведки ([26, 28, 29]), но этого недостаточно для эффективного моделирования волновых процессов в материале.

В данной работе для решения задач о динамическом нагружении композиционного материала предлагается использование сеточно-характеристического численного метода ([30, 31, 32, 33, 34, 35]) для решения определяющих уравнений механики сплошных сред [36], представляющих из себя систему динамических дифференциальных уравнений в частных производных. Данный метод учитывает характеристические свойства исходной системы уравнений, благодаря чему позволяет моделировать распространение волн в твердом деформируемом теле, взаимодействие волновых фронтов с границами детали, а также получать полное решение нестационарных контактных задач, что обеспечивает учет влияния всех внутренних контактных

границ между средами с различной реологией. Метод позволяет получить высокое временное и пространственное разрешение и рассчитать компоненты тензора напряжений и вектора скоростей деформации в любой точке рассматриваемой конструкции. Также он позволяет исследовать влияние разрушенных зон на волновую картину. В рамках данного метода можно применять различные критерии разрушения и учитывать одновременно различные механизмы разрушения материала. Метод позволяет использовать различные модели материала (приближение упругого тела, вязко-упругого, упруго-пластического и вязко-упруго-пластического), в том числе анизотропные.

Данный метод успешно применялся в задачах сейсморазведки. Для получения адекватной картины процесса распространения упругих волн в средах с субвертикальпыми трещинами необходимо выделять все трещины в породе с корректной постановкой условий на контактных границах, что было реализовано в работе [37]. Тот же метод применялся для численного исследования структуры реальных геологических пород с корректным описанием неоднородностей (решением задач контактного разрыва на границах поверхностей раздела двух сред) в работах [38, 39, 40, 41].

Применение для задач механики деформируемого твердого тела нерегулярных треугольных сеток, удобных для проведения расчета в областях интегрирования сложной формы, было предложено в [41, 38, 39]. Также в диссертации предлагается алгоритм расчета силы трения при решении пространственных динамических задач с использованием сеточно-характеристического метода. Учет силы трения позволяет решать такие задачи, как движение поршня в трубе и генерация сдвиговых волн методом падающего груза.

Цели работы

1. Исследование и сравнение поведения различных конструкций трехстрингерных деталей авиационных конструкций из композиционного

материала под действием динамической нагрузки при низкоскоростном соударении со стальным ударником.

2. Численное решение задачи о поведении композита при множественном низкоскоростном соударении.

3. Изучение поведения композита с заданной микроструктурой (матрица с непрерывными волокнами) под действием динамической нагрузки.

4. Решение прямой задачи неразрушающего контроля. Исследование и сравнение сигнала на лицевой части элемента обшивки из композиционного материала при различных видах исходного возмущения и различном диаметре расслоенной области.

5. Моделирование процесса генерации сдвиговых волн методом падающего груза.

6. Исследование влияния силы трения на инженерные конструкции при их динамическом нагружении.

Научная новизна

1. Разработана и реализована в коде модель трехмерного контакта. Разработана и реализована в коде модель разрушения контакта и возкновения областей расслоения на границе между телами в пространственной конструкции из композиционного материала. Получено численное решение нестационарной контактной задачи с условием трения и разрушением контакта.

2. Проведено исследование критериев разрушения для композицонных материалов. Реализован интегральный критерий разрушения композиционного материала, адаптированный к сеточно-характеристическим методам.

3. Выполнено дополнение параллельного комплекса программ для исследования пространственных динамических волновых задач в неоднородных телах на нерегулярных тетраэдральных сетках модулем для учета наличия трения на контакте и областей разрушения.

4. Решена прямая задача неразрушагощего контроля прочности композиционного материала.

5. Получено численное решение пространственной динамической задачи для различных конструкций из композиционных материалов (матрица композита с параллельной укладкой непрерывных волокон: один слой, два слоя с параллельной и скрещенной укладкой).

6. Проведено моделирование низкоскоростного удара стальным ударником по двум типам трехстрингерных панелей из композиционного материала. Рассмотрен диапазон энергий удара от 50 Дж до 235 Дж. Рассмотрены различные точки нанесения удара (в стрингер, в полку стрингера, в обшивку между стрингерами). Произведено сравнение результата с натурным экспериментом в одной из постановок. В соответствии с полученными данными, проведены серийные расчеты. Проведен анализ вида разрушенных зон. Проведено сравнение двух типов конструкций с точки зрения подверженности разрушению при низкоскоростном соударении.

7. Исследован процесс множественного низкоскоростного соударения с композиционным материалом. Получен и проанализирован вид областей разрушения.

8. Проведено моделирование процессов, возникающих в конструкциях при наличии динамического трения (генерация сдвиговых волн методом падающего груза, столкновение ударника с композиционным материалом под углом, движение поршня в трубе под действием начального импульса).

Практическая ценность

Разработанный программный комплекс может быть использован для моделирования динамического воздействия на силовые конструкции из композиционных материалов. Возможно моделирование деталей из композиционного материала на уровне субпакетов, композиционного

материала на микроуровне с выделением явной границы между матрицей и наполнителем, решение прямых задач неразрушающего контроля. После дополнительной экспериментальной верификации применение данного комплекса даст возможность заменить дорогостоящие серийные или технологически сложные эксперименты численными. Его применение делает возможным сравнение на прочность различных конструкций деталей из композиционного материала, подбор параметров материала матрицы и наполнителя, создание методик и норм проверки прочностных характеристик композиционных материалов.

Учет силы трения позволяет расширить спектр доступных задач: различные режимы соударения, сложная геометрия конструкционного узла с подвижными деталями, точный учет отклика от трещины.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов:

1. Грант РФФИ 11-01-12011-офи-м-2011. Разработка численных методов для решения задач геомеханики и сейсморазведки на многопроцессорных вычислительных системах, 2011-2012 гг.

2. Грант РФФИ 10-07-00018-а. Разработка алгоритмического обеспечения и вычислительнго ядра для компьютерного моделирования динамических пространственных процессов на многопроцессорных ЭВМ нового поколения, 2010.

Публикации

Научные результаты диссертации опубликованы в 14 работах ([42 - 55]), из которых 4 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [42, 43, 44,45]. Апробация

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. Научные конференции Московского физико-технического института — Всероссийские молодёжные научные конференции с международным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и

технических наук в современном информационном обществе» (МФТИ, Долгопрудный, 2009 - 2013);

2. Международный авиационно-космический семинар им. С.М. Белоцерковского (Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е. Жуковского, Москва, 2013);

3. Техническая платформа 25 ОАО "НПК "Уралвагонзавод" (МФТИ, Москва, 2012);

4. День математического моделирования: Инновации в фармацевтике и медицине (Институт вычислительной математики РАН, «Новартис», Москва, 2012).

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях:

1. Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е. Жуковского (Москва-Жуковский, 2012-2013);

2. Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова (Москва, 2013).

3. Объединенный институт высоких температур РАН (Москва, 2014).

4. ОАО «Композит» (Королёв, 2014).

Личный вклад соискателя в работах с соавторами

1. Разработана и реализована в коде модель разрушаемого трехмерного контакта и модель трения с учетом трения покоя.

2. Выполнена адаптация параллельного комплекса программ для исследования пространственных динамических волновых задач в неоднородных телах на нерегулярных тетраэдральных сетках при наличии трения на контакте и областей разрушения разного типа.

3. Проведена верификация методов и расчетных кодов на модельных задачах, для которых имеется аналитическое решение или экспериментальные данные.

4. Проведена серия численных экспериментов с целью сравнения двух типов трехстрингерных конструкций из композиционного материала.

5. Получены и проанализированы свойства отклика от области расслоения в композиционном материале.

6. Проведено моделирование множественного низкоскоростного соударения с композиционным материалом. Исследован вид областей разрушения.

7. Проведено моделирование низкоскоростного столкновения с композитом при явном выделении границы между матрицей и наполнителем

8. Сформулирован и решен ряд задач динамического контакта с учетом трения:

a. движение поршня в трубе под действием начального импульса;

b. генерация сдвиговых волн методом падающего груза;

c. столкновение с композитным материалом под углом.

Глава 1. Математическая модель

1.1. Общий вид уравнений

Замкнутая система уравнений механики, описывающая процессы в деформируемом твердом теле, состоит из уравнений движения, реологических соотношений и уравнения состояния [36, 56].

PVi = VyO-j; + fi

= Rijki^ki + Fij- (1-1)

Здесь p — плотность среды, v,- — компоненты скорости смещения, Vj — ковариантная производная по j-й координате, aip— тензор напряжений, Бу — тензор деформаций, f - массовые силы, действующие на единицу объёма, Fy -правая часть, которая может принимать различный вид в зависимости от модели материала, qyu — тензор четвертого порядка, вид которого также зависит от реологии материала. Тензор qyu зависит от параметров Ламе X и ju. Параметры Ламе являются характеристикой материала и могут быть выражены через модуль продольной упругости и коэффициент Пуассона.

Л =-—--(1.2)

(l+v)(l-2v) 4 у

ц. = G =—(1.3) Здесь Е - модуль продольной упругости, v - коэффициент Пуассона, G -модуль сдвига.

Тензор напряжений является симметричным в силу закона парности касательных напряжений ([57]).

В случае малых деформаций тензор скоростей деформаций е¿у = ¿¿у выражается через компоненты скорости смещения линейным образом [58]:

Cij^liVjVi + ViVj) (1.4)

Систему (1.1) можно переписать в матричной форме:

дй , . дй , . дй , . дй 2 _ч — + АХ — + Av — + Az — = f (1.5)

dt x дх y ду z dz 1 v J

Здесь и — \ух, уу> у7, ахх, оуу, ог2, аху, охг, оу2]т - вектор искомых функций, х, у, г - независимые пространственные переменные, t - время, / - вектор правых частей, выражения для компонентов которого зависят от реологии среды. Точный вид матриц Ах, Ау, А2 также зависит от реологии среды.

1.2. Линейно упругое приближение

В случае линейной упругости реологические соотношения являются обощением закона Гука [58]:

Чцш = + +

= 0. (1.6)

Здесь ду - символ Кронекера. Тогда в приближении малых деформаций и в отсутствии внешних сил в трехмерном пространстве и декартовых координатах уравнения (1.1) принимают следующий вид

дух = г-\ (дохх + даху +

дг К дх ду дг ,

дУу (даху + доуу + доу2'

дг ру К дх ду дг .

ЭУ2 (дохг + д(Туг +

дг р \ дх ду дг ;

дг дх ду дг

доху _ {дух дУу\

дг дх)

дахг _ (дух ду2\

дг ^\дг дх)

дг дх ду дг

дауг _ /дУу ду2\

дг ^\дг ду)

^ = + (1.7)

дг дх ду дг

Для приведения системы уравнений к виду (1.5) выпишем соответствующие

матрицы:

( 0 0 0 1 р 0 0 0 0 0\

0 0 0 0 1 р 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 р 0 0 0

-(Я + г\1) 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -м 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -р- 0 0 0 0 0 0

-я 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

\ -я 0 0 0 0 0 0 0 0/

0 0 0 1 р 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 р 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 р 0

0 -я 0 0 0 0 0 0 0

-м 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -(Я + 2у) 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -р 0 0 0 0 0

\о -я 0 0 0 0 0 0 0/

/0 0 0 0 0 1 р 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 р 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 р

0 0 -я 0 0. 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -я 0 0 0 0 0 0

0 -и- 0 0 0 0 0 0 0

\ 0 0 — (Я + 2 ¿0 0 0 0 0 0 0 /

1.3. Вязко-упругое приближение

Для моделирования вязко-упругого материала используются модель Максвелла и модель Работнова.

Модель Максвелла ([59]) добавляет к базовым уравнениям линейной упругости правую часть, от которой будет зависеть диссипация.

Чцы = Л8ч8к1 + ц(81к8п + 8й8}к)

F„ = -21, (1.9)

где Ли// — параметры Ламе, - символ Кронекера, т0 - время релаксации. Для вязко-упругого тела матрицы Ах, Ау, Az в (1.5) принимают вид, полностью совпадающий со случаем линейно упругого тела.

Модель Работнова ([60]) учитывает влияние истории нагружения материала на его поведение. Также она называется моделью наследственной вязко-упругой среды. Тензор q¡jki и правая часть F,j в (1.1) принимают следующий вид:

4ijki = táijSki + kSji + Sü5jk)

Fu = -(Г + M>0- (1.10)

В этом соотношении Ли//- параметры Ламе, дц - символ Кронекера. Аналогично модели Максвелла, вид матриц Ах, Ау, Az в (1.5) совпадает с линейно-упругим случаем. Правая часть имеет достаточно сложный вид: оператор L* учитывает вязкие эффекты, оператор М* - накопление повреждений. Вид операторов:

т

= i0 ~ T^GUdT М*аи = ¡¿Км(1-т)аис1т KLil-T) = p(l-Tra

ЛГм(1-т) = т(1-т)"а, (1.11)

KL(1 — г) и Км(1 — т) - разностные ядра Абеля.

При использовании модели Работнова уравнения перестают быть локальными по времени, для поиска решения на временном слое п+1 требуется интегрирование, за все время жизни среды.

1.4. Упруго-пластическое приближение

Для моделирования упроуго-пластического материала используется модель Прандтля-Рейсса с условием текучести Мизеса. В этом случае для реологических соотношений [61]:

Qijki = Л8^бм + ¡í(SikSji + SaSjk) - HLT¡£kl

Fu = 0 (1.12)

Здесь X и ¡л — параметры Ламе, К - предел текучести на сдвиг, а у - компоненты тензора напряжений, ду - символ Кронекера, / - параметр модели, от которого зависят пластические характеристики материала:

/ = /00

0| 5 ■ Т«^"^ I Туу I Т^^ I I "I ^^ул ^ 2К

(1.13)

Б >2 К2

В данной модели компоненты тензора дум зависят от компонент тензора напряжений. По этой причине невозможно аналитически выразить компоненты матриц Ах, Ау, А2 через плотность и коэффициенты Ламе. Требуется их

вычисление на каждом шаге по времени в соответствии с (1.12) и (1.13). /

Ах —

0

О

о

~Чии ~Й1211 —^1311 — <72211 *?2311 \~Ч3311

Ау —

(

о 0 0

41112 + 41121 2

41212 + 41221 2

41312 + 41321 2

<72212 + 42221

42312 +42

43312 + 43321

о о о

41112 + 91121 2

41212 + 41221 2

91312 + 41321 2

42212 + 42221 2

42312 +42321

2

43312 + 43321

2

о о о

~Ч1122 ~Я1222

~Ч\322

~Ч2222

~Ч2322 ~Ч3322

321

о о о

4шз+4из1 2

41213 + 41231 2

41313+41331 2

42213+42231 2

42313 + 42331 2

43313+43331 2

о о о

41123 + 41132 2

41223+41232 2

41323 +41332 2

42223 + 42232 2

42323 +42332 2

43323 + 43332

1 р

о о о о о о о о

0 0 0

1 0 0

р

0 1 0

р

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

о о о о о о о о о

1 р 0 0 0 0\

0 0 1 р 0 0

0 0 0 1 р 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0/

А,, =

0 0 0 0 0 1 р 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 р 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 р

Чшз+Чиз! 2 91123+91132 2 ~Чизз 0 0 0 0 0 0

41213 + 91231 2 91223+91232 2 ~Ч\233 0 0 0 0 0 0

91313+91331 2 91323 + 91332 2 ~Чгззз 0 0 0 0 0 0

92213 + 92231 2 92223+92232 2 ~Ч2233 0 0 0 0 0 0

92313 + 92331 2 92323 + 92332 2 —<72333 0 0 0 0 0 0

43313+93331 2 93323 + 93332 2 ~Язззз 0 0 0 0 0 о)

V-

1.5. Вязко-упруго-пластическое приближение

Для моделирования вязко-упруго-пластического тела используется модель Кукужданова [62, 63, 64]. В этом случае тензор д^/у и правая часть ^ принимают следующий вид:

Чцы = Л8и8к1 + [¿(8и{8]1 + 8а8]к)

2Ц

ч

Тоак1°к1

(1.14)

Здесь X и ц — параметры Ламе, <5гу — символ Кронекера, т0 - время релаксации, К — предел текучести на сдвиг. Таким образом,

матрицы Лх, А у, А2 в (1.7) принимают вид, совпадающий со случаем линейно упругого тела. Отличия только в правой части уравнений.

1.6. Композиционные материалы

Конечные свойства материала, состоящего из различных компонентов, могут заметно отличаться от свойств исходных материалов. Подбирая материалы и способы их сочетания, можно добиться повышения прочности, снижения веса, стойкости к погодным воздействиям и прочих улучшений полезных свойств.

В широком смысле композитом можно считать любой из большинства технических материалов. Чтобы ограничить применение данного термина, было принято следующее определение [65]:

1. Наличие двух или более компонентов или фаз, один из которых является непрерывной матрицей, второй - наполнителем или упрочняющей фазой.

2. Упрочняющая фаза и матрица изначально являются отдельными материалами и смешиваются при изготовлении (вторая фаза не возникает в результате внутреннего процесса).

3. Объемная доля второй фазы должна быть не меньше 5% объема (чтобы исключить технические полимеры, наполненные частицами красителя или стабилизатора).

4. Две фазы должны существенно отличаться по своим свойствам (чтобы исключить полимеры, состоящие из аморфной и кристаллической фаз).

Свойства композита связаны не только со свойствами исходных материалов, но и с технологией их сочетания. Например, композиты можно классифицировать по геометрии частиц наполнителя. Волокна имеют форму тонких длинных цилиндров (одно из измерений больше других по крайней мере в десять раз), размер дисперсионных частиц во всех направлениях примерно одинаков. Волокна могут быть короткими, длинными и непрерывными. Длинными считают волокна, изменение длины которых не влияет на свойства композита. Соответственно, изменение длины коротких волокон существенно влияет на свойства композита. Длинные волокна, протяженность которых сравнима с длиной конечного изделия, называют непрерывными. На рисунке 1.1 приведены примеры внутренней структуры композитов [1].

(а) (б) (в) (г)

Рис. 1.1. Примеры композитов, а - наполненный случайно распределенными частицами, б -однонаправленные короткие волокна, в - случайно ориентированные короткие волокна, г -

однонаправленные длинные волокна.

Волокна могут быть уложены одноосно, хаотично или переплетены в ткань. Длинные волокна образуют меньше областей концентрации напряжений и повышают прочность материала. Их одноосное расположение упрощает производство, но приводит к заметной анизотропии: прочность материала в поперечном направлении значительно ниже, чем в направлении по оси волокон. Поэтому слои однонаправленных волокон укладывают друг на друга и получают слоистые структуры. Свойства такого матерала практически изотропны в плоскости волокон, но в перпендикулярном направлении прочность и жесткость намного ниже.

Также композиты можно классифицировать по типу матрицы: металлической, полимерной (армированные пластики) или керамической. Полимеры являются легкими материалами, но имеют низкую прочность и жесткость. Обычно их армируют стеклянными, углеродными, арамидными и полиэтиленовыми волокнами. Металлы более прочны и жестки, но имеют высокую температуру плавления, что накладывает ограничения на материалы для наполнителя и технологии производства. Необходимо использование либо тугоплавких волокон, либо порошковой металлургии. Керамики также обладают высокой

прочностью и жесткостью, но и высокой хрупкостью. Наполнитель обычно способствует повышению вязкости разрушения.

Также на прочность композитов оказывает влияние адгезионная прочность, прочность соединения матрицы с наполнителем. При слишком низкой адгезии контакт быстро теряется, и нагрузка между двумя фазами не передается. Это приводит к быстрому разрушению матрицы. Если же, наоборот, контакт слишком прочен, волокна не отслаиваются от матрицы. В случае хрупкой матрицы и пластичного наполнителя это зачастую приводит к падению итоговой прочности [66, 67].

Таким образом, при разработке композитных деталей приходится учитывать большое количество факторов. Для определения эффективных характеристик композитов обычно применяется некоторое осреднение свойств исходных материалов. Многомасштабные методы, разработанные под руководством Н.С. Бахвалова [16, 17, 68], позволяют осреднить упругие характеристики материала и заменить его эквивалентной однородной средой с эффективными характеристиками [69, 70].

В данной работе применяется сочетание использования осредненных характеристик и прямого численного моделирования без осреднения. При моделировании элемента обшивки самолета, состоящей из нескольких композитных субпакетов, каждый отдельный субпакет заменяется однородной средой с эффективными характеристиками, но при этом границы между отдельными субпакетами выделяются явно, что позволяет учесть отражение и преломление упругих воли на контактных границах. Также было проведено моделирование композитного материала на микроуровне, волокна и матрица были представлены как однородные изотропные материалы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Беклемышева, Катерина Алексеевна, 2014 год

Список использованных источников

1. Баженов C.JL, Берлин А.А., Кульков А.А., Ошмян В.Г. Полимерные композиционные материалы. - Долгопрудный: Издательский дом Интеллект, 2010, 352 с.

2. Миллс II. Конструкционные пластики - микроструктура, характеристики, применения. - Долгопрудный: Издательский дом Интеллект, 2011, 512 с.

3. Н. М. Flower and С. Soutis, "Materials for airframes," Aeronautical Journal, vol. 107, no. 1072, pp. 331-341, 2003.

4. P. Linde, A. Schulz and W. Rust, "Influence of modelling and solution methods on the FE-simulation of the post-buckling behaviour of stiffened aircraft fuselage panels," Composite Structures, vol. 73, no. 2, pp. 229-236, 2006.

5. Richardson, M. O. W. & Wisheart, M. J., Review of low-velocity impact properties of composite materials, Composites Part A-Applied Science and Manufacturing, 1996, vol. 27, no. 12, pp. 1123-1131

6. C.J. de Pater, J. Groenenboom, D.B. van Dam, R. Romijn. Active seismic monitoring of hydraulic fracture in laboratory experiments. Internationational Jornal of Rock Mechanics and Mining Science 38, 2001 y., pp. 777-785.

7. Шалаев H.B., Старовойтов А.В. Основы сейсмоакустики на мелководных акваториях. Изд. МГУ, 2010г., 253с.

8. Левченко Д.Г. Регистрация широкополосных сейсмических сигналов и возможных предвестников сильных землетрясений на морском дне. М., Научный мир, 2005г., 240с.

9. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., 1957 г., 502 с.

10. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. Гостехиздат, м., 1955г.

11. Белищев М.И., Балговещенский А.С. Динамические обратные задачи теории волн. СПб.: Изд. Санкт-Петербургского университета, 1999г., 265 с.

12. Бейлькин Г.Я. Единственность и устойчивость решения обратной задачи сейсмики. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. JL: Наука, Ленинградский отд. 1979г., т. 11, с. 3-6.

13. Бернштейн И.М. Гервер M.JI. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики. Докл. АН СССР 1978г., т. 243, №2, с. 302-305.

14. Пестов J1.H. Первые интегралы геодезической конформной метрики и кинематическая обратная задача сейсмики. Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР 1982г., с. 109-119.

15. Победря Б.Е. Механика КОМПОЗИЦИОННЫХ Материалов — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 336 с.

16. Бахвалов Н. С. Осредпенные характеристики тел с периодической структурой. — ДАН, 1974, 218, № 5, 1046—1048.

17. Бахвалов Н. С. Осреднение процесса распространения коротких волн в периодических средах. — В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительвычислительная математика. Новосибирск; Наука, 1980, 3— 11.

18. Козлов Е.А. Модели среды в разведочной сейсмологии. Тверь. Изд. ГЕРС, 2006г., 480 с.

19. Biot М.А. Mechanics of deformation and acoustic proporation in porous media. Journal of Applied Physics, vol. 33, №4, pp. 1482-1498.

20. Zhupanska O.I. Indentation of a Rigid Sphere into an Elastic Half-Space in the • Direction Orthogonal to the Axis of Material Symmetry, Journal of Elasticity, April 2010, Volume 99, Issue 2, pp 147-161

21. Shahid I. Progressive Failure Analysis of Laminated Composites Subjected to In-Plane Tensile and Shear Loads: Ph. D. Dissertation / Stanford University. -1993.

22. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокого порядка точности для гиперболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1962г., т. 2, №6, с. 1122-1128.

23. Ландау Л.Д., Мейман И.Н., Халатников И.М. Численные методы интегрирования уравнения в частных производных методом сеток. Труды III всесоюзного математического съезда. М.: Изд. АН СССР, 1958г., т. 3, с. 92-100.

24. Партон В.З. Механика разрушения: от теории к практике. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 240 с.

25. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. -М.: ЛКИ, 2008. - 256с.

26. Bermudez A., Hewella-Nieto and Rodriues. Finite element computation of three-dimensional elastoacoustic vibrations. Journal of Sound nad Vibration, 219, pp. 279-306.

27. Johnson G.R. High velocity impact calculation in three dimensions // J. Appl. Mech. - 1977. - V. 44, №3. - P. 95-100.

28. Kazer M. and Dumbser M. A highly method for complex interfaces between solids and moving fluids. Geophysics vol., 73, №3, 2008y., pp. 723-725.

29. van Vossen, Robertsson J. and Chapman C. Finite-defference modeling of wave propagation in a fluid-solid configuration. Geophysics, 2002y., 67, pp. 618-624.

30. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. — M.: Наука, 1988, 288 с.

31. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов А.С. О численном изучении нестационарных процессов в деформируемых средах многослойной структуры // Механика твердого тела - 1989, N 4, с. 89-95.

32. Петров И.Б. Волновые и откольные явления в слоистых оболочках конечной толщины // Механика твердого тела - 1986, N 4, с. 118-124.

33. Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-

характеристическим методом. Журнал вычислительной математики и мат. физики; Т.24, N 5, 1984г., с. 722-739.

34. Холодов A.C., Петров И.Б. О регуляризации разрывных численных решеиий уравнений гиперболического типа. Журнал вычисли тельной математики и мат. физики; т. 24, № 8, 1984г., с. 1172-1188.

35. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных средМ.: Физико-математическая литература. 1994г., 441с.

36. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1-2, изд. 2, "Наука", М., 1973г.

37. Левянт В.Б., Петров И.Б., Челноков Ф.Б.Кластерная природа сейсмической энергии, рассеянной от зоны диффузной каверзности и трещиноватости в массивных породах. Геофизика №6, 2005г., с. 5-19.

38. Leviant V.B., Petrov I.В., Chelnokov F.B., Antonova I.Y. Nature of the scattered seismic response from zones of cavities and fractures in a massive rock. Geophysical, Prospecting, 55, 2007 y., p. 507-524.

39. В.Б. Левянт, Петров И.Б., C.A. Панкратов. Исследование характеристик продольных и обменных волн обратного отклика от зон трещиноватого коллектора. Технологии сейсморазведки, №2, 2009г., с. 3-11.

40. Квасов И.Е., Петров И.Б., Панкратов С.А. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. Математическое моделирование, 2010г., №9, т. 22. с .13-21.

41. Иванов В.Д., Тормасов А.Г., Пашутин P.A., Петров И.Б., Холодов A.C. Сеточно — характеристический метод расчета процессов динамического деформирования на нерегулярных расчетных сетках. Математическое моделирование 1999г. т. 11, №7, с. 118-127.

42. Беклемышева К. А., Петров И. Б., Фаворская А. В. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического метода // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25. -№11.-С. 3 — 16

43. Беклемышева К. А., Петров И. Б., Фаворская А. В. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического метода. // Журнал Труды МФТИ. - 2013. - Т. 5. - № 3. - С. 3 - 10.

44. Беклемышева К. А., Васюков A.B., Ермаков A.C., Петров И. Б. Численное моделирование волновых процессов в многослойных материалах при динамическом внешнем воздействии. // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. - 2013. Вып. 10. С. 7—14.

45. Беклемышева К. А., Васюков A.B., Ермаков A.C., Петров И. Б, A.C. Дзюба, В.И. Голован. Численное моделирование динамических процессов при низкоскоростном ударе по композитной стрингерной панели. // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26. - № 9. - С. 96 - 110.

46. Petrov I.B., Favorskaya A.V., Beklemysheva К.А. Numerical Simulation of Processes in Solid Deformable Media in the Presence of Dynamic Contacts Using the Grid-Characteristic Method // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - Vol. 6. - No. 3. - pp. 294-304.

47. Фаворская А. В., Голубев В. И., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Санников А. В., Петров И. Б., Беклемышева К. А. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высокоточных вычислительных методов. // Журнал "Техника железных дорог". - 2013. № 4 (24) - С. 82 - 95.

48. Беклемышева К. А., Васюков A.B., Ермаков A.C. Численное моделирование деформации полимерного композитного материала при сжатии. // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические и информационные модели управления. - 2013.

49. Беклемышева К. А., Васюков A.B., Ермаков A.C., Петров И. Б. Численное моделирование разрушения конструкций из многослойных материалов при иизкоскоростном соударении. // Труды 56-й научной конференции МФТИ. -2013.4. З.Т. 2. С. 25-26 4

50. Беклемышева К. А., Васюков A.B., Ермаков A.C., Петров И. Б. Численное моделирование волновых процессов в многослойных материалах при динамическом внешнем воздействии. // Труды 55-й научной конференции МФТИ. - 2012. Ч. 3. Т. 2. С. 28-29 Ч

51. Беклемышева К. А., Фаворская А. В. Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические модели и задачи управления. - 2011. - С. 100 - 104.

52. Беклемышева К. А., Петров И. Б. Численное моделирование метода падающего груза для генерации сдвиговых волн в сейсморазведке. // Труды 54-й научной конференции МФТИ. - 2011. Ч. 3., С. 130-131

53. Беклемышева К. А., Фаворская А. В. Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток. // Труды 53-й научной конференции МФТИ. - 2010. Ч. 3. Т. 2, С. 45-47

54. Беклемышева К.А., Матюшев Н.Г. Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток. // Модели и методы обработки информации. М., 2009.

55. Беклемышева К.А., Матюшев Н.Г. Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток. // 52-я Научная конференция МФТИ. М., 2009. Ч. 3. Т. 2. С. 105-108.

56. Новацкий В. К. Теория упругости. —М. : Мир, 1975, с. 105-107.

57. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. М.: МФТИ, 2002г.

58. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965

59. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. // Новосибирск, Научная книга, 1998. - 280 с.

60. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. — М.:Наука, 1988. —712 с.

61. В.Д.Иванов, В. И. Кондауров, И.Б.Петров, А.С.Холодов, "Расчет динамического деформирования и разрушения упругопластических тел сеточно-характеристическими методами", Матем. моделирование, 2:11 (1990), 10-29

62. Кукуджанов В.Н. Компьютерное моделирование деформирования, повреждаемости и разрушения неупругих материалов и конструкций. М. МФТИ, 2008.-215 с.

63. Петров И.Б., Иванов В.Д., Суворова Ю.В. Численное решение двухмерных динамических задач наследственной теории вязкоупругости. // Механика композитных материалов, 1989, №3, с. 419—424.

64. Петров И.Б., Иванов В.Д., Суворова Ю.В. Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах. // Механика композитных материалов, 1990, №3, с. 447-450.

65. Реслер И, Хардерс X, Бекер М. Механическое поведение конструкционных материалов. - Долгопрудный: Издательский дом Интеллект, 2011, 504 с.

66. Регель В.Г., Слуцкер А.П., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твёрдых тел. М., 1974

67. DeTeresa J., Allen S.R., Farris R.J. and Porter R.S. J. Material Science, 1984. V. 19. P. 57.

68. Бахвалов H. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах —-математические задачи механики композиционных материалов. 1984

69. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Современный численный анализ механических свойств композиционных материалов // Известия РАН. Физическая серия - Т. 75, Nol 1. - 2011. - с. 1551-1556.

70. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Многомасштабное моделирование упругих композиционных материалов // Математическое моделирование.-Т.24, No5, - 2012.

71. Челноков Ф.Б. Численное моделирование деформационных процессов в средах со сложной структурой: Дисс.... канд. физ.-мат. наук-М., 2005

72. Courant R., Isacson Е., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite difference. Comm. Pure Appl. Math., 1952 y., 5, p. 243.

73. Lax P. D., WendrofT B. System of conservation laws // Comm. Pure and Appl. Math. — 1960. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 217 - 237.

74. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. M.: Изд-во Моск.физ. -техн. ин-та, 1994, 528 с.

75. Меньшиков Г. П., Одинцов В. А., Чудов JI. А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту // Изв. All СССР. Механ. Твердого тела. — 1976. —№ 1. —С. 125- 130.

76. Гулидов А. II., Фомин В. М., Шабалин И. И. Алгоритмы перестройки разностной сетки при численном решении задач соударения с образованим трещин // Числ. методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы VII Всес. конф. — Новосибирск, 1982. — С. 182 — 192.

77. Холодов А. С. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа / А. С. Холодов, Я. А. Холодов // Журнал вычислительной математики и математическкой физики. — 2006. — Т. 46. — №9. —С. 1638-667.

78. Рождественский Б. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б. Рождественский, Н. Яненко. — Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1978.

79. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990, 230 с.

80. Рогов Б. В. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса /Б . В . Рогов, M. II. Михайловская // Математическое моделирование. —2011. —Т. 23. —№6. —С. 98-110.

81. Courant R. On nonlinear partial differential equations with two independent variables /R. Courant, P. Lax // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1949. — Vol. 2, no. 2-3 . — Pp. 255-273 .

82. Грудницкий, В. Г. Один прием построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных / В. Г. Грудницкий, Ю. А. Прохорчук // Докл. АН СССР. — 1977. — Т. 234. — № 6. — С. 1249-1252.

83. Петров И.Б., Фаворская A.B. Библиотека по интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. // Журнал Информационные технологии. - 2011. - №9. - С. 30-32.

84. Квасов И. Е. Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных твердых деформируемых средах: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук-М., 2011

85. Агапов П. И., Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное исследование задач механики деформируемого твердого тела в неоднородных областях интегрирования // Обработка информации и моделирование: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2002. — С. 148 - 157.

86. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — T. I. Механика. — 560 с

87. Васюков А. В. Численное моделирование деформаций и повреждений в сложных конструкциях при действии динамической нагрузки: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук — М., 2012

88. А.П. Потапов, С.И. Ройз. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц (SPH) // Математическое моделирование - 2009г. - №7. - С. 20-28

89. А.П. Потапов. Моделирование волновых процессов при высокоскоростных соударениях методом сглаженных частиц (SPH) // Информационные технологии - 2009. - №8(156). - С. 46-50.

90. Griffith A.A. Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser A, 1920, Vol. 221, P. 163.

91. Orowan E. Rep. Prog. Phys., 1949, Vol. 12, P. 185-232.

92. Селиванов В.В. Механика разрушения деформируемого тела. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 420 с.

93. F. Pams, "A Study of Failure Criteria of Fibrous Composite Materials," NASA Report CR-2001-210661, 2001.

94. M. N. Nahas, "Survey of Failure and Post-Failure Theories of Laminated Fiber-Reinforced Composites," Journal of Composites Technology & Research, vol. 8, no. 4, pp. 138-153,1986.

95. V. D. Azzi and S. W. Tsai, "Anisotropic Strength of Composites," Experimental Mechanics, vol. 5, no. 9, pp. 283-288, 1965.

96. S. W. Tsai and E. M. Wu, "A general theory of strength for anisotropic materials," Journal of Composite Materials, vol. 5, pp. 58-80, 1971.

97. Hashin Z. Failure criteria for unidirectional fiber composites // J Appl Mechl 980;47:329-34.

98. R.C. Batra, G. Gopinath, J.Q. Zheng. Damage and failure in low energy impact of fiber-reinforced polymeric composite laminates // Composite Structures, vol. 94, no. 2, pp. 540-547,2012.

99. Puck, A. and Schneider, W. On failure mechanisms and failure criteria of filament-wound glass-fibre / resin composites // Plastics & Polymers, The Plastics Institute Transactions and Journal, (Febr. 1969), pp 33-42, Pergamon Press, Oxford (UK)

100. F.-K. Chang and K.-Y. Chang, "A Progressive Damage Model for Laminated Composites Containing Stress Concentrations," Journal of Composite Materials, vol. 21, no. 9, pp. 934-855, 1987.

101. Sjoblom, P.O., Hartness, J.T. and Cordell, T.M. On low-velocity impact testing of composite materials. J. Compos. Muter. 1988, 22, 30-52

102. Cantwell, W.J. and Morton, J. The impact resistance of composite materials. Composites 1991, 22(5), 347-362

103. Liu, D. and Malvem, L.E. Matrix cracking in impacted glass/ epoxy plates. J. Compos. Mater. 1987, 21, 594-609

(25? ¿у

104. Robinson, P. and Davies, G.A.O. Impactor mass and specimen geometry effects in low velocity impact of laminated composites. Znt. J. Zmoact Enz. 1992. 12(2). 189-207

105. Аки К., Ричард П. Количественная сейсмология. М.; Мир, 1984г.

106. К. Helbig. Shear-waves - what they are and how they can be used//Shear-wave exploration edited by S.N. Domenico and S.H. Danbom, Geophysical Development Series, V.l, P. 19-36. Society of Exploration Geophysicists.

107. S.N. Domenico, S.H. Danbom. Shear-wave technology in petroleum exploration - past, current and future //Shear-wave exploration edited by S.N. Domenico and S.H. Danbom, Geophysical Development Series, V.l, P. 3-18, Society of Exploration Geophysicists.

108. P.C. Layotte. Marthor: an s-wave impulse source//Shear-wave exploration edited by S.N. Domenico and S.H. Danbom, Geophysical Development Series, V.l, P. 79-96, Society of Exploration Geophysicists.