Численное решение трехмерных прямых и оптимизационных задач дифракции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Илларионова, Любовь Викторовна

• Илларионова, Любовь Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Илларионова, Любовь Викторовна

Введение

Основные обозначения

Глава I. Задача оптимального управления процессом дифракции акустических волн

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Разрешимость задачи дифракции.

§ 1.3. Разрешимость задачи оптимального управления

§ 1.4. Конечномерная аппроксимация задачи оптимального управления.

§ 1.5. О решении конечномерной задачи

§ 1.6. Схема приближенного решения задачи управления

Глава II. Алгоритмы численного решения трехмерных задач дифракции акустических и упругих волн

§ 2.1. Постановки задач.

§ 2.2. Сведение к граничным интегральным уравнениям

§ 2.3. Аппроксимация интегральных уравнений

§ 2.4. Численное решение задач

§ 2.5. Аппроксимация интегральных уравнений на «звездной» поверхности

§ 2.6. Вычисление поверхностных интегралов

Глава III. Результаты численных экспериментов

§ 3.1. Описание программного комплекса, реализующего алгоритмы решения прямых и оптимизационных задач дифракции

§ 3.2. Математическое моделирование дифракции акустических волн

§ 3.3. Математическое моделирование дифракции упругих волн.

§ 3.4. Численное решение задачи оптимального управления

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение трехмерных прямых и оптимизационных задач дифракции»

В диссертации изучаются задачи дифракции акустических и упругих волн. Рассматриваются следующие вопросы.

• Оптимальное управление для стационарной трехмерной задачи дифракции акустических волн (теоретический анализ и численное решение).

• Численное решение методом граничных интегральных уравнений стационарных задач дифракции упругих и акустических волн на трехмерном включении.

Изучение волновых процессов имеет важное значение для успешного развития многих областей науки и техники. Информацию о строении, составе исследуемых объектов и о закономерностях, протекающих в них процессов, можно получить путем построения и изучения соответствующих математических моделей.

Наиболее интересными и близкими к реальным физическим явлениям являются трехмерные задачи математического моделирования волновых процессов. К ним относятся и рассматриваемые в диссертации стационарные задачи дифракции акустических и упругих волн на трехмерном включении. В математическом плане они заключаются в отыскании решений уравнений Гельмгольца и упругости, удовлетворяющих условиям сопряжении на границах раздела сред и условиям излучения на бесконечности. Такие задачи дифракции встречаются в акустике океана и атмосферы, геофизике, дефектоскопии [13,14,31,74,79]. Основные трудности при их решении обусловлены наличием разрывов первого рода у параметров среды, векторным характером решений и их зависимостью от трех пространственных переменных, а также необходимостью учета условий на бесконечности. Важную роль играет также соотношение между длиной волны колебаний и характерными размерами включений.

Волновые стационарные поля различной природы, как правило, имеют много общих свойств. Это обусловлено тем, что все они описываются дифференциальными уравнениями или системами эллиптического типа. Поэтому используемые в диссертации методы и полученные результаты могут быть полезными и при решении краевых и оптимизационных задач для эллиптических уравнений, не связанных с акустическими и упругими колебаниями.

В последнее время все большее значение приобретают обратные задачи и задачи оптимального управления для волновых процессов. Теория оптимального управления и обратных задач для уравнений с частными производными бурно развивается начиная со второй половины 20 века. Периоду строгих математических исследований в этой области предшествовало изучение прикладных задач (см., например, [15] и ссылки там). В настоящее время литература по этой области математики огромна. Этой тематике посвящены монографии Барбу [95,96], Бенсуссана [97], Васильева [117], Егорова [29], Забкзи-ка [118], Иваненко, Мельника [40], Лазиешка, Триджиани [110,111], Ли, Йонга [112], Ж.-Л. Лионса [57,58], Литвинова [59], Неиттаанма-ки, Тиба [113], Райтума [69], Фурсикова [87].

Обратные задачи для уравнений акустических колебаний, как правило заключаются в определении количественных характеристик рассеивающих неоднородностей, основанных па наблюдениях рассеяния падающего на неоднородность акустического поля либо в нахождении источников поля по некоторой дополнительной информации. Различные обратные задачи для уравнений акустических колебаний исследовались во многих работах. Среди них Колтон [98], Лаке и Филлипс [105], Колтон и Кирш [99], Колтон и Кресс [47], Гарабедян [103], Энджелл, Колтон, Кирш [91]. Отметим также монографию [16], в которой помимо методов решения дана классификация обратных задач и примеры их приложения.

В работах Энджелла, Клейпмана [93] и Кирша [106,108] рассмотрены задачи оптимального управления, которые заключаются в максимизации потока энергии звукового поля в дальней зоне в пределах данного угла (т.е. максимизируется диаграмма направленности). В [120] и [104] изучены задачи оптимального дизайна поверхности включения в целях уменьшения звукового давления или шума в некоторой области. В [92] и [72] исследованы задачи оптимального граничного управления для уравнения Гельмгольца. Отметим, что в [92] установлено наличие тесной связи между такими задачами и задачами оптимизации электромагнитного излучения. Постоянно появляются все новые области применения теории оптимизации акустических волн. Так в [119] такой подход был применен для решения задачи о минимизации излучения, исходящего от мобильных телефонов наиболее распространенных в мире стандартов GSM 900, GSM 1800.

В настоящей диссертации исследуется задача минимизации отклонения звукового поля во включении от некоторого требуемого за счет изменения источников звука во внешней среде. При ее численном решении основной объем вычислений приходится на решение стационарных задач дифракции акустических волн на акустическом включении. Поэтому для успешного решения задачи оптимизации необходимо уметь эффективно решать прямые задачи дифракции.

Исторически первыми для решения задач дифракции применялись аналитические методы. К ним относятся, например, методы интегральных преобразований, Вииера-Хопфа, степенных рядов [23, 75,85]. С их помощью можно решить задачи с локальными неодпо-родпостями в форме круга, эллипса, шара и эллипсоида [19,23,46, 82,86,102,114].

К аналитическим тесно примыкают методы, основанные на низкочастотных и высокочастотных разложениях. К первым относятся методы теории возмущений [41,63]. В них в качестве малого параметра рассматривается частота. Ко вторым, используемым в случае колебаний высокой частоты, принадлежат методы Кирхгофа, лучевой, параболического уравнения и эталонных решений [4,5,63]. Применение последних позволило также добиться существенного прогресса в изучении задач дифракции на неоднородностях, параметры которых медленно меняются при изменении пространственных переменных [4,5]. Физические соображения и формальные преобразования, составляющие основу таких подходов чаще всего строго не обоснованы.

Аналитические методы, при всем их многообразии, позволяют решать весьма узкий класс задач дифракции. Поэтому при их решении основную роль играют численные методы.

Широкое распространение для решения задач математической физики получили разностные и проекционно-сеточпые методы [24, 38,39,61,63,66,73]. Они хорошо приспособлены для решения внутренних краевых задач. Задачи же дифракции, как правило, рассматриваются в неограниченных областях, причем их решения могут медленно убывать с расстоянием. Поэтому применение разностных и проекционно-сеточных методов к трехмерным стационарным задачам дифракции сопряжено с трудностями, связанными с чрезмерным расширением области определения неизвестных функций, заменой условий излучения на бесконечности краевыми условиями, усложнением аппроксимации в окрестности границы включения.

Метод разностных потенциалов позволяет численно решать многие краевые задачи для линейных дифференциальных и разностных уравнений с переменными коэффициентами в многомерных областях с криволинейными границами [55,70,71]. Вместо функции Грина ои использует непосредственно оператор Грина, а вместо интегрального представления - некоторое операторное представление.

Для решения задач дифракции может быть применен следующий метод: волновое поле во внешней области представляется в виде суммы полей от вспомогательных источников, которые считаются лежащими внутри дифрагированного объекта, а мощность их определяется из условий контакта на границе включения [3,23,30,48,52]. Но этот подход обоснован только для случая, когда вспомогательные источники расположены всюду плотно на некоторой кривой или поверхности. К тому же увеличение количества источников может привести к нарушению устойчивости.

Методы интегральных уравнений являются одними их наиболее эффективных при исследовании задач прикладной математики. Они позволяют строить математические модели различных физических явлений, проводить исследование корректности полученных задач, а также служат теоретической основой для разработки алгоритмов численного решения этих задач. Для сведения краевых задач к интегральным уравнениям используются представления решений в виде потенциалов [6,7,20,21,28,77,78,88,89], а также формулы Грина и их векторные аналогии [26,27,47,53,64,68,84,101].

Для численного решения интегральных уравнений широко используются методы квадратур и проекционно-сеточпые методы [8, 17,43,60,66]. Хорошо известно, что аппроксимация интегральных уравнений с особенностями в ядрах сеточными методами приводит к системам алгебраических уравнений с плотно заполненными матрицами коэффициентов больших размерностей. Поэтому вычислительная сложность таких алгоритмов в значительной мере определяется объемом вычислений, необходимых для расчетов коэффициентов алгебраических систем с требуемой точностью, особенно при решении многомерных задач. При решении интегральных уравнений первого рода часто применяются методы регуляризации, которые позволяют строить устойчивые алгоритмы приближенных решений этих задач [17,54,81]. Некоторые аспекты обоснования методов решения интегральных уравнений изложены в работах [8,12,22, 43,44,60,68,81,84].

В настоящее время при численном решении граничных интегральных уравнений наибольшее распространение получил метод граничных элементов, к сильной стороне которого можно отнести его теоретическую прозрачность [47,94]. Коэффициенты получающихся при этом алгебраических систем выражаются в виде многомерных интегралов от сложных выражений с особенностями при совпадении аргументов, вычисление которых требует значительных ресурсов ЭВМ.

Применение других, более экономичных методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении одномерных уравнений, к которым, прежде всего, можно отнести метод коллокации, сдерживается серьезными трудностями их теоретического обоснования, особенно для уравнений I рода [88,89,94].

В данной работе применяется численный метод, сочетающий в себе простоту реализации метода коллокации с возможностью полного теоретического обоснования. Этот метод ранее применялся в работах [9]- [11], [32]- [37], [76]- [78]. В них задачи дифракции с помощью метода граничных интегральных уравнений (решение ищется в виде потенциалов простого слоя) сведены к системам интегральных уравнений по поверхности включения и предложен метод численного решения полученных систем. В диссертации [36] такой подход был применен для численного решения задачи дифракции акустических волн на упругом включении.

Цели работы

1. Теоретический анализ задачи оптимального управления процессом дифракции акустических волн (исследование корректности задачи, разработка алгоритма решения и обоснование его сходимости).

2. Разработка комплекса программ для ЭВМ, реализующего алгоритмы численного решения, предложенные в работах Ершова и Смагина [32]- [37], [76]- [78], задач дифракции акустических и упругих воли па трехмерном включении.

3. Разработка комплекса программ для ЭВМ, реализующего алгоритм решения задачи оптимального управления.

4. Математическое моделирование акустических и упругих колебаний в средах с трехмерными включениями, в т. ч. нахождение оптимальных режимов управления акустическими полями.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литература из 120 наименований. Работа написана на 124 страницах и содержит 22 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Илларионова, Любовь Викторовна

Основные результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Проведен теоретический анализ задачи оптимального управления для уравнений дифракции стационарных акустических волн (доказано существование решения, предложен алгоритм решения и обоснована его сходимость).

2. Разработан и реализован в виде комплекса программ алгоритм численного решения стационарных трехмерных задач дифракции акустических волн.

3. Разработан и реализован в виде комплекса программ алгоритм численного решения стационарных трехмерных задач дифракции упругих волн.

4. Реализован в виде комплекса программ на ЭВМ алгоритм численного решения поставленной задачи оптимального управления.

5. С помощью программных комплексов осуществлено математическое моделирование акустических и упругих волн в средах с трехмерными включениями.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Илларионова, Любовь Викторовна, 2008 год

1. Апельцин В.Ф., Еремин Ю.А., Ильинская A.C. и др. Численные методы исследования распространения волн в среде с переменными параметрами в резонансной частотной области. В сб. «Численные методы и программирование». М.: Изд-во МГУ, 1978. Вып. 28. С. 3-13.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.

3. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Из-во ЛГУ, 1974. 125 с.

4. Белоносов С.М., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1985. 311 с.

5. Блохина Л.В., Ершов Н.Е. Численное решение интегральных уравнений пространственной задачи распространения и дифракции акустических волн. В сб. докл. международной конференции по вычислительной математике. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2004. С. 407-410.

6. Бреббия К., Теллес Ж., Вроувел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.13. бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

7. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 264 с.15. бутковский А.г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

8. Горюнов A.A., Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989.

9. ВОРОНИН В.В. Решение двумерной задачи дифракции акустической волны на упругом теле методом потенциалов. В сб. «Математические проблемы геофизики». Новосибирск: Из-во ВЦ СО РАН СССР, 1978. Вып. 6. Ч. 2. С. 120-129.

10. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. 232 с.

11. Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987. 208 с.

12. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.25. градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 1100 с.

13. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987. 165 с.

14. Дмитриев В.И., Позднякова Е.Е. Метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде с локальной неоднородностью. В сб. «Актуальные вопросы прикладной математики». М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 98-104.

15. ЕРШОВ Н.Е. Численное решение трехмерной задачи дифракции акустических волн на упругом включении методом потенциалов. Дисс. . к.ф.-м.н. Хабаровск, 1991.

16. Ершов Н.Е., Илларионова Л.В., Смагин С.И. Численное решение трехмерной задачи дифракции акустических волн // Вычислительные технологии. 2008. (в печати)

17. Ершов Н.Е., Смагин С.И. О решении трехмерных стационарных задач дифракции методом потенциалов // ДАН СССР. 1990. Т. 311, № 2. С. 339-342.

18. Ершов Н.Е., Смагин С.И.Приближенное решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов. В сб. «Математические модели, методы и приложения». Хабаровск: Изд-во ХГПУ, 2002. С. 45-115.

19. Ершов Н.Е., Смагин С.И. Решение пространственных задач акустики и упругости методом потенциалов // Дифферент уравнения. 1993. Т. 29, № 9. С. 1517-1525.

20. Ершов Н.Ф., Шахверди Т.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. JL: Судостроение, 1984. 237 с.

21. Ильин В.П., Полищук А.Д. О численном решении пространственных задач теории потенциала. В сб «Вариационно-разностные методы в задачах числового анализа». Новосибирск, 1987. С. 28-44

22. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишарский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.55. лазарев М.И. Потенциалы линейных операторов //ДАН СССР. 1987. Т. 292, № 5. С. 1045-1047.

23. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

24. М ас лов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 243 с.

25. Метод граничных интегральных уравнений / Под ред. А.Ю. Ишлинского, Г.Г. Черного. М.: Мир. 212 с. (Новое в зарубежной науке. Механика, сер.15).

26. МИХЛИН С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1959. 254 с.

27. РАЙТУМ У.Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Математические вопросы. Рига: Зинатне, 1989.

28. САВЕНКОВА A.C. Мультипликативное управление в задаче рассеяния для уравнения Гельмгольца // Сиб. журн. иидустр. матем. 2007. Т. 10, № 1. С. 128-139.

29. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

30. Сейсморазведка: Справочник геофизика / Под ред. И.И. Гур-вича и В.П. Номоконова. М.: Недра, 1981. 463 с.

31. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г., Яковлев В.В. Рассеяние волн локальными неоднородностями в сплошных средах. Киев: Наук, думка, 1985. 135 с.

32. СМАГИН С.И. Интегральные уравнения задач дифракции. Владивосток: Дальнаука, 1995.

33. СМАГИН С.И. Об одной системе интегральных уравнений теории дифракции // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 8. С. 1432-1437.

34. СМАГИН С.И. Метод потенциалов в трехмерной задаче дифракции электромагнитных волн // Журн. выч. матем. и матем. физики. 1989. Т. 29, № 1. С. 82-92.

35. Справочник по геофизике. М.: Наука, 1965. 481 с.

36. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абра-мовица и И. Стигана. М.: Наука, 1979. 832 с.

37. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некоторых некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.

38. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. М.: Мир, 1972. 307 с.83. треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

39. Угодчиков А.Г., хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 295 с.

40. Angell T.S., Colton D., klrsch A. The three dimensional inverse scattering problem for acoustic waves //J. DifF. Eq., 1982. V.46. P. 46-58.

41. ANGELL T.S., KlRSCH A. Optimization methods in electromagnetic radiation. Springer, 2004. 331 p.

42. Angell T.S., Kleinman R.E. Generalized exterior boundary-value problems and optimization for the Helmholtz equation //J. Optimization Theory and Applications. 1982. V. 37. P. 469-497.

43. Atkinson K.E. The numerical solution of integral equations of second kind, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1997.

44. BARBU V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. Boston: Academic Press, 1993.

45. Lax P.D., phillips R.S. Scattering theory. New York: Academic Press, 1967. Q. J. Math., 1971. v. 22, P. 125-130.106. klrsch A. A weak bang-bang principle for the control of an exterior robin problem // Applicable Analysis. 1982. V. 13. P. 65-75.

46. KRESS R. A singular perturbation problem for linaer operators with an application to the limiting behaviour of stationary electromagnetic wave fields for small frequencies // Meth. Verf. Math. Phys., 1981. Bd 21. S. 5-30.

47. KlRSCH A. Optimal control of an exterior Robin proplem // J. Math. Anal. Appl., 1981. V. 82. P. 144-151.109. kress R., Rundell W. Inverse scattering for shape and impedance // Inverse Problems. 2001. № 17. P. 1075-1085.

48. Lasiecka I., Triggiani R. Differential and algebraic riccati equations with application to boundary/point control problems: continuous theory and approximation theory. Lecture Notes Control Inform. Sci. 164. Berlin: Springer-Verlag, 1991.

49. Lasiecka I., Triggiani R. Deterministic control theory for partial differential equations. Vol. 1. Cambridge Univ. Press. Boston, 1998.

50. Li X., Yong J. Optimal control theory for unifinite dimensional systems. Boston: Birkhauser, 1995.

51. Neittaanmaki P., Tib a D. Optimal control of nonlinear parabolic systems. Theory, algorithms and applications. New York: Marcel Dekker, 1994.

52. RlCHTER G.R. Numerical solution of integral equation of the first king with nonsmooth kernels // SIAM. J. Numer. Analysis. 1978. V. 15, № 3. P. 511-522.

53. Saad Y. and Schultz M. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solv-ing nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput., 7 (1986), pp. 856-869.

54. SHAW R.P. An outer boundary integral equation applied to an transient wave scatterring in an inhomogeneons medium //J. Ap-pl. Merch. 1975. V. 42, P. 147-152.

55. ВАСИЛЬЕВ Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

56. ZABCZYK J. Mathematical control theory: an Introduction.1. Boston: Birkhauser. 1992.

57. Jahn J., Kirsch A., Wagner C. Optimization of rod antennas of mobile phones // Math. Meth. Oper. Res. 2004. № 59. P. 37-51.

58. Yanzhao cao, Stanescu D. Shape optimization for noise radiation problems // Computers and Mathematics with Applications. 2002. № 44. P. 1527-1537.