Численное решение интегро-алгебраических уравнений многошаговыми методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Будникова, Ольга Сергеевна

• Будникова, Ольга Сергеевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Будникова, Ольга Сергеевна

Содержание

Введение

1 ИНТЕГРО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

1.1 Интегро-алгебраические уравнения и их классификация

1.2 Матричные пучки

1.3 Свойства интегро-алгебраических уравнений

1 4 Выводы

2 МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Квадратурные формулы Адамса

2.2 Линейные многошаговые методы

2.3 Общая схема построения многошаговых методов для линейных интегро-алгебраических уравнений

2.4 Сходимость методов

2.5 Устойчивость методов к возмущениям исходных данных

2.6 Области устойчивости многошаговых методов

2.7 Модифицированные методы

2.8 Выводы

3 ИНТЕГРО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА АБЕЛЯ

3.1 Свойства интегро-алгебраических уравнений типа Абеля

3.2 Многошаговые методы для интегро-алгебраических уравнений типа Абеля

3.3 Выводы

Заключение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение интегро-алгебраических уравнений многошаговыми методами»

Введение

Актуальность темы диссертации.

Линейные интегро-алгебраические уравнения (ИАУ) имеют вид

t

A(t)x(t) + J K(t, s)x(s)ds = /(£), 0 < s < t < 1, о

где — матрица размерности (nxn), s) — матрица, задающая ядро интегрального уравнения, размерности (n х п), ж(£), /(i) — искомая и известная п—мерные вектор-функции и

detA(t) = 0.

Исследования по таким видам уравнений пока не очень распространены, однако, актуальны, так как имеют обширные приложения в различных областях науки и практики. Например, в теории игр [33], задачах автоматического регулирования [44], при математическом моделировании развивающихся систем [28], [25], гидравлических и электрических цепей, и при построении обобщенных решений дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). Для ДАУ нельзя задавать начальные данные произвольным образом, они должны быть согласованы с правой частью. Одним из подходов согласования является

иная запись таких уравнений, а именно, в интегральной форме:

t t A(t)x(t) + J(B(s) - Ä(s))x(s)ds = J f(s)ds + Л(0).т(0). о о

Таким образом, представляет интерес, численное решение ИАУ, что и определило цель диссертационного исследования.

Цель работы. Построение и исследование многошаговых методов для численного решения линейных ИАУ.

Для достижения данной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать и обосновать многошаговые методы для численного решения линейных ИАУ с гладким ядром.

2. Исследовать влияние возмущений входных данных на сходимость предлагаемых многошаговых методов.

3. Построить области абсолютной устойчивости.

4. Модифицировать многошаговые методы для численного решения линейных ИАУ индекса два.

5. Построить многошаговые методы для численного решения ИАУ со слабой особенностью ядра.

6. Провести экспериментальную проверку теоретических положений.

Обзор литературы. Частным классом ИАУ являются интегральные уравнения Вольтерра первого рода (ИУВ I).

Качественная теория таких уравнений, как с гладкими ядрами, так и с ядрами, содержащими различные особенности, к настоящему времени достаточно полно развита (см., напр., [30], [26], [36], [53], [52], [68] и приведенную там библиографию).

С середины 70-х годов началось бурное развитие методов численного решения ИУВ I. В статье [4] впервые было доказано, что сама процедура дискретизации ИУВ I, основанная на простейших формулах прямоугольников, обладает регуляризирующим свойством. Параметром регуляризации при этом выступает шаг квадратурной формулы, определенным образом связанный с уровнем возмущений входных данных. Иные квадратурные формулы высокого порядка точности зачастую порождают расходящийся процесс (см., напр., [40], [68] и приведенную там библиографию). С той поры вышло множество статей и ряд монографий по этой теме (см., напр., [2], [52], [55], [40], [68] и приведенную там библиографию), однако, в деталях исследованы только два случая: ядро на диагонали не обращается в ноль ни в одной точке заданного отрезка и ядро на диагонали тождественный ноль, а производная по t на диагонали не обращается в ноль ни в одной точке заданного отрезка.

А в общем, разработка качественной теории и численных методов решения ИАУ находятся в начале пути.

Исследованию линейных ИАУ в бесконечномерных пространствах посвящен цикл работ H.A. Сидорова и его учеников (см., например, [37], [38], [39], [43], [47] и приведенную там библиографию). В данном цикле работ основным приемом исследования является преобразование Шмидта, с помощью которого исходная задача сводится к ИУВ I рода. Затем на преобразованную задачу налагается ряд условий, в рамках которых доказываются теоремы существования и единственности. В частности, предполагается, что j—ая производная ядра оператора Вольтерра по первому аргументу не вырождена [46].

В конечномерном случае, если входные данные у ИАУ достаточно гладкие, то характеристикой сложности является, но аналогии с ДАУ, понятие индекса, обозначаемого как I.

Определение 0.0.1 [44]. Минимальное число I, при котором существует дифференциальный оператор

* = £«№>(! у.

J=0

где Wj — (nxn) матрицы с непрерывными элементами, такой, что

t t Oz о (A(t)x(t) + J K(t, s)x(s)ds) - A(t)x(t) + J K(t, s)x(s)ds; о о

здесь v4(i), K(t,$) - некоторые матрицы с непрерывными элементами, причем

detA(t) ф 0, Vi G [0,1] назовем индексом системы (1.1).

К настоящему времени опубликовано несколько работ по численному решению, в основном, для полуявных ИАУ, т.е. когда задача имеет вид

Ет 0 \/ y(t) j +

О О М z(t)

t

пкпмад yW LJ^) I

J \K21(t,s) K22(t,s) J \z(s) I \фу) I

0 < s < t < 1,

где Em - единичная матрица размерности m, Kn(t, s), Ki2(t, s), s), K22(t, s) - матрицы размерности (mxra), (mx(n—m)), ((n—m)xm),

((n — m) x (n — m)) соответственно, 0 - нулевые матрицы подходящих размерностей, y(t) и (p(t) - ni—мерные, z(t) и %jj(t) - (n — m)—мерные вектор-функции.

Первая статья вышла в 1987 году [45], в которой для численного решения линейных ИАУ индекса один предложен простейший метод, основанный на квадратурной формуле правых прямоугольников. Несколько позже, в 1990 году, вышла статья W. Gear (США) [70], в которой дано понятие индекса по невязке (аналогичное определению степени некорректности, введенному Апар-циным A.C. в 1983 году). Это определение подходит для очень узкого класса задач.

В конце 90-х Булатов М.В. провел исследование на предмет существования единственного решения ИАУ с ядром типа свертки [57]. Им же предложен метод регуляризации для ИАУ индекса один. В 2000 году Kauthen P.-J. (Швейцария) и 2010 - 2013 Hadizadeh М. (Иран) с учениками разработали методы Рунге-Кутта и применение полиномов наилучшего приближения для полуяв-пых ИАУ индекса один (см., напр., [71], [72] и приведенную там библиографию).

ИАУ со слабой особенностью в ядре в литературе почти не рассматриваются. В 1998 году Brunner Н. и Булатов М.В. [54] провели исследование одного класса таких уравнений и предложили численный метод их решения. Интегро-алгебраическим уравнениям посвящены несколько разделов вышедшей в 2004 году фундаментальной монографии Н Brunner [55], однако, исследуемые в данной работе задачи относятся к полуявному виду.

Совсем недавно вышло две статьи. Первая посвящена качественному исследованию и численному решению двумерных ИАУ [58], вторая - качественному исследованию ИАУ с особенностью в ядре [62].

В работах [13], [44] показано, что рассматриваемые в диссертации задачи относятся к классу некорректных задач. То есть, если исходная задача име-

ла единственное решение, то сколь угодно малое возмущение данных задачи может привести к сколь угодно большим возмущениям решения или к его отсутствию.

Методами регуляризации некорректных задач занимались А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.А. Морозов (см., например, [32], [41], [42], [67] и приведенную там библиографию). Большой класс таких методов основан на параметризации исходной задачи, что делает ее корректной. В данной диссертационной работе показано, что предложенные многошаговые методы для численного решения линейных ИАУ обладают свойством саморегуляризации, то есть параметром регуляризации является шаг дискретизации.

Методологической основой исследования являются основные результаты из теории квадратурных методов решения интегральных уравнений, теории матричных пучков и теории устойчивости.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международных конференциях: «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 2012), «Нелинейпай анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 2012), «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), «Математическое моделирование, вычислительно-информационные технологии и управление» (Монголия, 2013), «Scientific Computation And Differential Equations» (Испания, 2013), «The V Congress of Turkic World Mathematicians» (Киргизия, 2014);на Международных семинарах «New Approaches in the Analysis and Numerical Solution of Differential and Integral Equations» (Иркутск - Ханой, 2010, 2011, 2013, 2014); на Всероссийских конференциях «Математическое моделирование и информационные технологии» (Иркутск, 2010), «Современные проблемы обучения математике» (Иркутск, 2012, 2013, 2014), на Ляпуновских чтениях Института динамики систем и теории управления СО РАН (Иркутск, 2013); на смотрах

студенческих работ ГОУ ВПО «Восточно-Сибирская государственная академия образования» (Иркутск, 2010, 2011)'.

Диссертационная работа была выполнена при поддержке грантов 13—01— 93002-Вьет^а, 14-01-31224 мол_а.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 - вычислительная математика.

1. Построены многошаговые (к—шаговые) методы для численного решения ИАУ и их модификация. Выделен класс ИАУ для которых доказано, что предложенные методы сходятся к точному решению с порядком к + 1.

2. Доказана устойчивость многошаговых методов к возмущениям правой части ИАУ: если вместо точной правой части fit) задана вектор-функция fit) такая, что

\т-т\\ = \т\\<5,

то справедлива оценка

P,-z(i,)|| =0(5Ш).

3. На интегральных уравнениях

t

x{t) - J (А + fi{t - т))х{т)йт = g{t), А, ц < 0, о

t

J (I- C(t - r) - - rf)x{r)dr = f{t), C, 77 < 0,

0

содержащих жесткие и быстроосциллирующие компоненты, детально изучены свойства предложенных методов: построены области устойчивости.

4. Построены многошаговые методы для численного решения ИАУ типа Абеля.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя следующие разделы: введение, 3 главы, заключение, список литературы.

Во введении обоснована актуальность исследования и дан обзор литературы по теме диссертации.

Первая глава посвящена вспомогательным теоретическим сведениям: приводится классификация систем интегральных уравнений Вольтерра, рассматриваются некоторые вопросы из теории матричных пучков, отмечены характерные свойства ИАУ, а также сложности исследования таких уравнений.

Вторая глава посвящена построению и исследованию многошаговых методов для численного решения линейных ИАУ с гладким ядром. В первом параграфе приведены квадратурные формулы Адамса, используемые для численного решения ИУВ I рода. Во втором параграфе приведены линейные многошаговые методы для численного решения интегральных уравнений Вольтерра и их систем, описаны их недостатки. В третьем и четвертом параграфах построены и обоснованы многошаговые методы высокого порядка точности для численного решения ИАУ, приведены результаты экспериментальной проверки теоретического порядка сходимости. В пятом параграфе второй главы показано, что предложенные алгоритмы обладают регуляризирующим свойством, параметром регуляризации является шаг сетки, определенным образом связанный с уровнем погрешности входных данных, а также приведены результаты численных экспериментов. В шестом параграфе построены области

абсолютной устойчивости построенных методов, показано, что данные алгоритмы являются Л—устойчивыми, вплоть до четвертого порядка, приведены результаты численной проверки. В последнем параграфе рассматриваются модифицированные многошаговые методы для численного решения ИАУ высокого индекса.

Третья глава посвящена численному решению ИАУ тина Абеля. В первом параграфе описаны основные сложности качественного исследования и построения численных методов для таких задач. Во втором параграфе описано построение многошаговых методов для численного решения ИАУ со слабой сингулярностью ядра и приведены результаты численных экспериментов.

В заключении кратко обсуждено возможное направление дальнейших исследований. Список использованной литературы включает в себя 72 ссылки и составлен в алфавитном порядке.

В работе принята двойная нумерация для формул и тройная для теорем, лемм, примеров Если осуществляется ссылка на формулу, то первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер формулы. Если ссылка идет на теорему, лемму или пример, то первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер параграфа и третья цифра является номером теоремы, леммы или примера.

В диссертации приняты следующие сокращения: ОДУ - обыкновенные дифференциальные уравнения; ДАУ - дифференциально-алгебраические уравнения; ИУВ - интегральные уравнения Вольтерра; СИУВ - системы интегральных уравнений Вольтерра; ИАУ - интегро-алгсбраические уравнения.

Глава 1

ИНТЕГРО-

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ

В данной главе представлены необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные результаты.

1.1 Интегро-алгебраические уравнения и их классификация

Рассмотрим задачу

£

А(г)х(г) + у к(г, в^^з = /(*), о < я < г < 1, (1.1)

о

где А(Ь) — матрица размерности (пхп), в) — матрица размерности (пхп), задающая ядро интегрального уравнения, /(¿) — искомая и известная

п—мерные вектор-функции.

Принята следующая классификация [26], [52]:

a) Если А(Ь) тождественно нулевая матрица, то (1.1) называется системой интегральных уравнений Вольтерра (СИУВ) I рода;

b) если ¿еЬА^) ф О, N/¿6 [0,1], то (1.1) называется системой интегральных уравнений Вольтерра II рода;

c) если йеЬА^) обращается в нуль на дискретном множестве точек отрезка [0,1], то (1.1) называется системой интегральных уравнений Вольтерра III рода;

В работе мы будем изучать задачи (1.1) с условием

где О — нулевая матрица.

Системы (1.1) с условием (1.2) принято называть интегральными аналогами дифференциально-алгебраических уравнений [45], вырожденными СИУВ [23], СИУВ четвертого рода [19] и интегро-алгебраическими уравнениями (ИАУ) [55], [63]. Последнего термина мы и будем придерживаться.

В частности, в виде (1.1) можно записать систему взаимосвязанных уравнений Вольтерра I, II рода и алгебраических (конечных) уравнений

А(г) ф О, ¿¿е*Л(£) = О,

(1.2)

J (кп&8)и{з) + /<Г12(ММ*) + АГхзСММз))^ = л(£),

о

с

J (к21{1, з)и(з) + АГ22(£, 5)^(5) + 5)и;(5))^ = /2(£),

^(¿М*) + а32(Ф(*) + а33(г)ги(г) = /3(*),

с матрицей

т =

{

\

1 о о

ООО аз1С0 азг(£) азз(^)

=

/

\

К21{1,з) К22(1,з) АГ2з(М) ООО

/

где а31(4),аз2(£),азз(*),и(^),^(£),ги(£) - гладкие функции.

Большую роль при исследовании существования и единственности решения задачи (1.1) и построении численных методов играет теория матричных пучков. В следующем параграфе приведены необходимые сведения из этой теории.

1.2 Матричные пучки

Приведем ряд известных определений.

Определение 1.2.1 [27]. Пучком матриц назовем сумльу ХВ + С, где X— скалярный параметр, В и С - матрицы размера (т х г?).

Определение 1.2.2 [27]. Если т = п и йеЬ(ХВ + С) ф 0, где А — скаляр, то пучок матриц ХВ + С называется регулярным.

В противном случае (т ф п или йеЬ(ХВ + С) = 0,) пучок называется сингулярным.

Определение 1.2.3 [45].. Пучок матриц ХВ(1) + С(£) удовлетворяет критерию ранг-степень на отрезке [0,1] (имеет индекс один,

имеет простую структуру), если

гапкВ{Ь) = ¿ед{деЬ{ХВ{г) + С (г))) = т = сопвЬ V £ е [0,1]

где А— скаляр, символ дед{.) означает показатель степени многочлена (.), а операция ¿ед(0) не определена.

Для иллюстрации вышеприведенных определений рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.2.1 Пусть марицы В(Ь) и С(£) имеют вид:

следовательно, рассматриваемый пучок матриц XВ(£) + С(Ь) удовлетворяет критерию ранг-степень на отрезке [0,1].

Рассмотрим другой пример.

гапкВ(1) = 1 V* е [0,1].

Найдем определитель пучка матриц ХВ^) 4- С'(^):

Степень определителя пучка матриц

дед(дег{ХВ(1) + С(£))) = 1

Пример 1.2.2 Пусть марицы B(t) и Cit) имеют вид:

, 0 t \ /02

B(t) = , C(t) =

0 0/ . \ 1 5

Здесь

, n f !>

rankB{t) = {

[ 0,i = 0.

Найдем определитель пучка матриц XB(t) + C(t).

, , 0 t \ /02

det(XB(t) + C(t)) = deti X \ +

0 0/ I 1 5

, 0 Xt + 2 , = det | ' | = -Xt - 2.

1 5

Степень определителя пучка матриц

[ М 7^0

deg{det{\B{t) + C(i))) = <

0,t = 0.

Так как ранг B(t) и d,eg(det(XB(t) + C(t))) являются переменными, следовательно, рассматриваемый пучок матриц XB(t) + C(t) не удовлетворяет критерию ранг-степень.

Пример 1.2.3 Пусть марицы B(t) и C(t) имеют вид:

, 0 0 \ 0 е*

B(t) = , C(t) =

0 1/ I 3 е*

Здесь rank В (t) = 1, а определитель пучка матриц X B(t) + С(£):

det(XB(t) + C(t)) = det

= 0 • (Л + еь) - 3 • ei2 = -З/.

Степень определителя пучка матриц

deg(det{XB{t) + C(t))) = deg{-Зе*) = О,

следовательно, рассматриваемый пучок матриц XB(t) + C(t) не удовлетворяет критерию ранг-степень, несмо7пря на то, что rarikB(t) постоянен и равен 1.

Отметим важные свойства некоторых пучков матриц.

Лемма 1.2.1 [45]. Если пучок матриц XB(t) 4- C(t) удовлетворяет критерию ранг-степень на всем отрезке [0,1] и элементы матриц B(t) и C(t) принадлежат классу функций С^ц, то существуют невырожденные матрицы P(t) и Q(t) с элементами из CL такие, что

где — (т х т) матрица, а Ет- единичная матрица размерности т.

Из этой леммы вытекает блочное представление матрицы В(Ь).

где Вl(t) — (m х n) матрица и rankBl(t) == m, 0—нулевая матрица размерности ((n — m) х n).

Лемма 1.2.2 [18]. Если пучок матриц XB(t) + C(t) удовлетворяет критерию ранг-степень на всем отрезке [0,1] и матрицы B(t) и C(t) имеют блочный вид:

где матрицы Bl(t) и Cl(t) имеют размеры (m х п), 0—нулевая ((п — т) х гг) матрица, C2(t) — ((n — m) х n) матрица и rankBl{t) — m = const, то

l Bl(t) \ Г n

w UoVie [0,1].

V ;

1.3 Свойства интегро-алгебраических уравнений

В данном параграфе рассматриваются линейные ИАУ, приведены основные их свойства.

Рассмотрим систему интегральных уравнений вида

t

A(t)x(t) + J K{t, s)x{s)ds = f{t), 0 < s < t < 1, (1.3)

о

где A(t) и K(t, s) — матрицы размерности (n x n), fit) — n—мерная известная вектор-функция, a x(t) - n—мерная искомая вектор-функция. Предполагается, что элементы A(t), K(t,s), f{t) обладают необходимой степенью гладкости.

Под решением исходной задачи будем понимать любую непрерывную вектор-функцию x(t), обращающую (1.3) в тождество.

Задача (1.3) с условием (1.2) может иметь одно или несколько решений, а может не иметь его вовсе. Приведем достаточные условия существования единственного непрерывного решения рассматриваемой нами задачи и описание численных методов.

Теорема 1.3.1 [45]. Пусть для задачи (1.3) с условием (1.2) выполнены следующие требования:

1. элементы A(t) G Cj^j, /(£) G Cj^, K{t, s) € С^, Д = {0 < s < t < 1};

2. пучок XA(t) + К (t, t) удовлетворяет критерию ранг-степень на всем отрезке [0,1] ;

3. rankA{0) =гапк{А{0) | /(0)).

Тогда исходная система имеет единственное непрерывное решение.

Прокомментируем условия теоремы. Условия гладкости входных данных -стандартные условия, необходимые при проведении доказательства теоремы. Если подставим в (1.3) значение L = 0, то получим систему Л(0)х(0) = /(0), разрешимость которой нам гарантирует третье условие. Второе условие теоремы можно интерпретировать как отсутствие на отрезке [0,1] сингулярных точек, те. точек, в которых решение может не существовать или через которые проходит не единственное решение.

Если x{t) - скалярная функция, то второе условие теоремы 1.3.1 с условием (1.2) означает, что K(t, t) ф 0 V£ G [0,1], а третье условие теоремы примет вид /(0) =0. Это классические условия существования и единственности решения интегрального уравнения Вольтерра I рода в классе непрерывных функций (см., например, [2], [52]).

Если третье условие теоремы 1.3.1 является необходимым, то второе только достаточным. Точки, в которых ранг матрицы изменяется, не всегда являются сингулярными. Покажем это на примерах.

Пример 1.3.1

ds =

fe [0,1], /(о) — о.

Данная система имеет семейство решений

y(t) = Qt, v z{t) = f(t),

где q - произвольное число.

В данном примере второе условие теоремы 1.3.1 нарушено в точке t = 0. В самом деле,

, Л^-1 0

XA(t) + K(t,t) = Л 1 2

0 1

. 0,£ = 0

Здесь rankA[t) = < является переменным и

l.t^O

t { o,t = о

deg{det(XA(t) + K{t, t))) = deg(X- - 1) = <

2

Степень определителя пучка матриц меняется в той же точке, что и ранг матрицы A(t), т.е. t = 0 является сингулярной.

Пример 1.3.2 Рассмотрим похоэюую систему

L q\ 2 и

О о

/

¿€[0,1], /(0)=0. Эта система имеет единственное решение

Выпишем пучок матриц

| 0 \ / 0 -1 \ / Л| —1

АЛ(£)+ = A М +

0 0/ VI 0 / VI О

. О, t = О

Здесъ rankA(t) = < , однако

М/О.

deg(det(\A(t) + K(t,t))) = deg( 1) = 0.

Степень определителя пучка матриц не зависит от переменной t.

Если матричный пучок AA(t) + K(t,t) не удовлетворяет критерию ранг-степень, то исследование наталкивается на большие трудности, так как мы не можем судить о разрешимости системы (1.3) с условием (1.2) и эта система может иметь множество решений, несмотря на регулярность (сингулярность) пучка матриц. Покажем это на примерах.

Пример 1.3.3

t

4 °](у(4М + /("10 г(в)0

о о Д у •/ V о 5 Д ф) у \ ¿2

£ е [0.1].

„ / у{1) = сVI, Эта система имеет множество решении < ,

( Ф) = 2

где с - произвольное число. Выпишем определитель пучка матриц

det{\A{t) + K(t,t)) = det\ А I * ° ] + ( 2 °

0 0/ о t

. At - § 0 , ч „ „ det | 2 = \t - -t.

О t I 2

Из последнего выражения видно, что пучок матриц AA(t) + K(t, t) является сингулярным, т.к. при t = 0 определитель пучка матриц обращается в ноль.

Пример 1.3.4

£ 1)(y{t)) + [(~l0)(y{S))ds=(^ О 0 ) \z(t) J J \ 0 lj \z(s) J \g(t)

f€[0,l], g{0)=0.

Эта система имеет множество решений y(t) = const, z(t) — g'{t).

Несмотря на то, что пучок матриц ХА(Ь) + £) для данного примера регулярный:

(

det{XA(t) + K(t.,t)) = det

At — 1 Л

Ai-1.

О 1

I U^O

Здесь rankA{t) = 1, a deg(det(XA(t) + K(t, £))) = '

" 0, £ = О

Характеристикой сложности рассматриваемых задач является понятие индекса.

Определение 1.3.1 [44]. Минимальное число I, при котором cyuificmeyem дифферечщиальный оператор

j=o

где Wj — (п х п) матрицы с непрерывными элементами, такой, что

t t Cli о (A{t)x(t) + J K(t, s)x(s)ds) = A(t)x(t) + J K(t, s)x(s)ds-, о 0

здесъ -A(i), K(t:s) - некоторые матрицы с непрерывными элементами, причем

detA(t) ф 0, Vi G [0,1]

назовем индексом системы (1.1).

Лемма 1.3.1 [44]. Индекс ИАУ равен единице, тогда и только тогда, когда пучок матриц XA(t) + K(L, t) удовлетворяет критерию ранг-степень.

В 1983 году A.C. Апарциным был введено понятие степени неустойчивости (степени некорректности) для интегральных уравнений Вольтерра I рода (см. [1], [2])-

Определение 1.3.2 [1], [2]. Интегральное уравнение

t

V^p = J K{t, s)<p(s)ds = f(t), i e [t0l T] (1.4)

to

принадлежит к типу V(£), £ 6 [0, oo), то есть справедливо представление

V'1 = BV,

где В— некоторый взаимнооднозначный ограниченный из С[г0,т] в С^т] оператор, Т>— линейный дифференциальный оператор порядка то число £ назовем степенью неустойчивости.

Согласно этому определению, классическое ИУВ I рода (1.4) с условиями K(t,t) ф 0,/(0) = 0, относится к типу V(l) [2]. Т.е. существует дифференциальный оператор первого порядка

K(t,t)dt'

переводящий это уравнение в уравнение Вольтерра II рода.

В этом смысле определения 1.3.1 и 1.3.2 для ИУВ I рода эквивалентны. Для иллюстрации определения 1.3.1 приведем пример.

Пример 1.3.5 [20]

io)(^]+îî° 1 VxiWW

0 0 ) \ x2(t) ) I \ 1 d(t -s) ) \ x2{s) )

25 '

^ I , t € [0, l],d ф 1 - const. f2(t)

При любых fi(t) 6 С1, f2(t) G С2 таких, что f2(0) = 0, /i(0) = /а(0)

, m (№-&№)-№)) система имеет единственное решение: x{t) =

V ыт-т)

В качестве оператора $12 можно взять

10 \ I 0.5 -0.5 \ fd\ /0 -0.5 | /^2

\dt.

2 ( п 1 / ( _п к тс; ) +

0 1/ V -0.5 1.5 J час/ у 0 0.5 Данный оператор переводит исходное ИЛУ в СИУВ II рода

0.5 0.5(1 - d) 1.5 0.5(d-l)

t

xi (t) \ Г О 1 - 0.5d

+

(

xi (s)

y x2{t) J J yi d(t-s) + 1.5d J \x2{s)

ds

m+0.5m - o.5(m+m)

/2(t)-0.5/i(£) + 1.5/£(t) +0.5fS(t))

Заметим, что рассматриваемые нами задачи имеют индекс один, т.е. существует дифференциальный оператор

переводящий уравнение (1.3) в СИУВ II рода [17]. Здесь A+(t)— псевдообратная матрица к A(t), т.е. матрица, удовлетворяющая матричным уравнениям A{t)A+{t)A{t) = A{t), A+(t)A(t)A+(t) = A+{t), (A+(t)A(t))+ = A+(t))A{t), (A(t)A+(t))+== A(t))A+(t).

Способы построения оператора О; рассмотрены в [20], [44].

Особенностью рассматриваемых задач является их некорректность. То есть, если исходная задача имела единственное решение, то возмущенная задача

t

A(t)x{t) + J Kit, s)x(s)ds = /(£), 0

может не иметь решения или \\x(t) — ж(£)|| —> оо, при 5 —>• О, где || A{t) - Л(£)|| < 6, || K(t, з) - K(t, s)|| < \\f(t) - f(t)\\ < 6, a

||*|| = max max | (£) |. t j

В качестве иллюстрации приведем несколько примеров.

Пример 1.3.6 Рассмотрим систему

'ю\(ии\ ¡/о 1 \/«(.)]Л=/о

\

О 0 / \ v(t) J J \ 1 d{t- s) \ v(s) J \ 0

При d = 1 данная система имеет семейство решений u(t) = ip(t), v(t) = — ip'(t) , где ip{t)— любая функция из класса С^.

Пример 1.3.7 Рассмотрим систему

t

10/ u(t) \ + Г I 0

о Ш ) [ v{t) ) J [ 0 1

(,

u{s) \ / 1

ds =

V ЭД у V ^

При = ¿2 00 = 0 данная система имеет единственное решение

и^) = е~\ ад = 0.

При = 5\ ф 0, = ¿2 ф 0 система имеет решение

ад = е~г,ад =

Таким образом, если ¿i —>■ —0; то ||г>(£)||с ~^ Если Si(t) = 0,82(t) = ôsmjî (|\ô2\\c = 8), то

u(

(;t) = e = — cos ^;

m.e ||£(i)||c 00 nPu <5-^0.

Пример 1.3.8 Рассмотрим систему

1 0

0 О

ад ад

0 1

1 ¿3

û(s) \ (84

ds -

v

(s)

О

где ¿>4 и S3 - скалярные малые параметры.

При 8% = J4 = 0 данная система имеет только тривиальное решение, но если 6s ф 0, 64 ф 0, то решение данной системы примет вид:

__t_ 84__L

u(t) — 84e лз ,v(t) = ——е йз.

<5з

Пример 1.3.7 относится к классическим некорректно поставленным задачам: нахождение полуобратных матриц и восстановление производной. В примере 1.3.8 «хорошие» возмущения не меняют ранга матрицы A(t), но меняют структуру матричного пучка:

det{XA(t) + K{t,t)) =

Л 1 1 ¿з

А5, - 1.

То есть, степень определителя пучка матриц зависит от значения £3:

deg(X83 - 1)

МзТ^О,

0, 53 = 0.

Здесь нарушается второе условие теоремы 1.3.1 - условие ранг-степень, отвечающее за отсутстие сингулярных точек, в решении. И решение возмущенной задачи (см. выше пример 1.3.8) при = 0 не существует.

Другая характерная особенность рассматриваемых нами задач связана с построением численных методов решения.

ИАУ включают в себя ИУВ как второго, так и первого рода, что хорошо демонстрирует следующий пример.

Пример 1.3.9

О < я < £ < 1, д(0) = 0,

где а иЬ - скалярные параметры. При гладких входных данных это уравнение имеет достаточно гладкое решение.

Для второй компоненты имеем ИУВ I рода

£

I г{8)йз = д{Ь). (1.5)

о

В работах [4], [3], [68] рассмотрены квадратурные методы, где показано, что методы, основанные на простейших квадратурных формулах прямоугольников (правых, средних, левых) и трапеций являются сходящимися для (1.5), а использование формул более высокого порядка точности, например, Грегори или Симпсона приводит к расходящимся процессам [68, стр.151].

1.4 Выводы

В первой главе:

• приведена классификация систем интегральных уравнений Вольтерра, указано место в данной классификации для интегро-алгебраических уравнений;

• приведены необходимые сведения из теории матричных пучков;

• описаны характерные сложности рассматриваемых нами задач.

Следующая глава посвящена более подробному анализу численных методов решения интегральных уравнений Вольтерра и построению эффективных многошаговых методов для линейных интегро-алгебраических уравнений.

Глава 2

МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В данной главе рассмотрим многошаговые методы для численного решения линейных интегро-алгебраических уравнений в предположении, что элементы А(Ь), в), /(£) — достаточно гладкие функции. Основные результаты этой главы изложены в [9], [10], [11], [16], [6].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Будникова, Ольга Сергеевна, 2015 год

Список литературы

[1] Апарцин, A.C. Дискретизационные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений I рода/А.С. Апарцин//Методы численного анализа и оптимизации. - Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1987. -С. 263-297.

[2] Апарцин, A.C. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы/А.С. Апарцин. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999. - 193с.

[3] Апарцин, A.C. О применении различных квадратурных формул для приближенного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм/А.С. Апарцин //Дифференциальные и интегральные уравнения. - Иркутск, 1973. - Вып.2. - С. 107-116.

[4] Апарцин, A.C. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра 1 рода методом квадратур/А.С. Апарцин, A.B. Бакушинский// Дифференциальные и интегральные уравнения. - Иркутск: ИГУ, 1972. -Вып.1. - С.248-258.

[5] Бахвалов, Н.С. Численные методы/Н.С. Бахвалов. - М.: Наука, 1975. - 632с.

[6] Будникова, О.С. О модифицированных многошаговых методах для численного решения линейных интегро-алгебраических уравнений индекса два/О.С. Будникова//Журнал Средневолжского математического общества - 2014.-Т.16.-М.-С.45-54.

[7] Будникова, О.С. О численном решении интегро-алгебраических уравнений типа Абеля/О.С. Будникова//Материалы конференции «Ляпунов-ских чтения -2013», г. Иркутск, 9-11 декабря 2013 г. - С. 9

[8] Будникова, О.С. О численном решении интегральных и интегро-алгебраических уравнений/О.С. Будникова, М.Н. Мачхина //Современные проблемы обучения математике: материалы VI Всероссийской научно-практической конференции учителей и преподавателей математики. - Иркутск, Вост.-Сиб. Гос. академ. образов., 2013. - С. 220-226.

[9] Будникова, О.С. Численное решение интегро-алгебраических уравнений многошаговыми методами/О.С, Будникова, М.В. Булатов//Журнал вычислительной математики и математической физики. - Москва: МА-ИК «Наука», 2012. - Т. 52. - №5. - С. 829-839

[10] Булатов, М.В. Исследование устойчивости многошаговых методов для интегро-алгебраических уравнений/М.В. Булатов, О.С. Будникова, S. PishbinZ/Секция 1. Аналитическая механика (Казань, 12-16 июня 2012). «Аналитическая механика, устойчивость и управление». Труды X Международной Четаевской конференции. - Казань. КАИ им. А.Н. Туполева, 2012. - С. 72-80.

[И] Булатов, М.В. Исследование многошаговых методов для интегро-алгебраических уравнений: построение областей устойчивости/М.В. Бу-

латов, О.С. Будникова//Журнал вычислительной математики и математической физики. - Москва: МАИК «Наука», 2013. - Т. 7 - С. 16-27.

[12] Булатов, М.В. Исследование многошаговых методов для интегро-алгебраических уравнений/М.В. Булатов, О.С. Будникова//Тезисы докладов II Российско-монгольской конференции молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению (Иркутск (Россия) - Ханх (Монголия), 25 июня-1 июля 2013г.). - Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2013. - С. 17

[13] Булатов, М.В. Методы решения дифференциально-алгебраических и . вырожденных интегральных систем: дис. ...докт. физ. мат. наук/М.В. Булатов. - Иркутск, 2002. - 244 с.

[14] Булатов, М.В. Многошаговые методы для численного решения интегро-алгебраических уравнсний/М.В. Булатов, О.С. Буднико-ва//Нелинейный анализ и экстремальные задачи: Тезисы III Международной школы-семинара. - Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2012. -С.13

[15] Булатов, М.В. Многошаговые методы для численного решения интегро-алгебраических уравнений/М.В. Булатов, О.С. Буднико-ва//Обратные и некорректные задачи математической физики, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева: Материалы Международной конференции. - Новосибирск, 2012. - С. 177

[16] Булатов, М.В. Об устойчивых алгоритмах численного решения' интегро-алгебраических уравнений/М.В. Булатов, О.С. Буднико-ва//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия:

Математическое моделирование и программирование. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2013. - Т.6. - №4 - С. 5-14.

[17] Булатов, М.В. О вырожденных системах интегральных уравнений типа Вольтерра/М.В. Булатов//Интегральные уравнения и краевые задачи мат. физики. Тр. Всесоюз. конференции. 4.2. — Владивосток. - 1992. - С. 18-22.

[18] Булатов, М.В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнения/М.В. Булатов//Журнал вычислительной математики и математической физики. - Москва: МАИК «Наука», 1994. - Т. 34. - №3 - С. 360-372.

[19] Булатов, М.В. О нелинейных системах интегральных уравнений четвертого рода/М.В. Булатов//Труды XI Международной Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и приложения». - Иркутск: ИС-ЭМ СО РАН, 1998. - Т. 4. - С. 68-71.

[20] Булатов, М.В. О преобразовании вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра/М.В. Булатов//Вычислительные технологии, 2000. - Т. 5. - т. - С. 22-30.

[21] Булатов, М.В. Понижение индекса и численное решение неявных систем обыкновенных дифференциальных уравнений: дис. ... канд. физ. мат. наук/М.В. Булатов. - Иркутск, 1989. - 100 с.

[22] Булатов, М.В. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов/М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков//Тр. XI Между-нар. Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и приложения». - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. - Т. 4. - С. 72-75.

[23] Булатов, М.В. Регуляризация вырожденных систем интегральных уравнений Вольтерра/М.В. Булатов//Журнал вычислительной математики и математической физики. - Москва: МАИК «Наука», 2002. - Т. 42. - №3 - С. 330-335.

[24] Булатов, М.В. Численное решение интегро-алгебраических уравнений многошаговыми методами/М.В. Булатов, О.С. Будникова//Российско-монгольская конференция молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению: Тез .докл. - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2011. - С. 14.

[25] Бугерко, Н.В. Об одной задаче кооперативного взаимодействия двухпродуктовых развивающихся систем/Н.В. Бугерко, С.К. Гир-лин//Современные наукоемкие технологии, 2013. - №6 . - с. 49-53

[26] Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, решения/А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков. — Киев: Наукова думка, 1986.

[27] Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц /Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1986. — 576с.

[28] Глушков, В.М. Моделирование развивающихся систем/В.М. Глушков,

B.В. Иванов, В.М. Яненко. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 350с.

[29] Карнаухова, О.С. Многошаювые методы решения интегро-алгебраических уравнений/О.С. Карнаухова//Тезисы XI всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Ирутск - Байкал, 15-21 марта 2010 г. -

C. 36

[30] Краснов, M.Л. Интегральные уравнения/M.JI. Краснов. - М.: Наука, 1975.

[31] Колмогоров, А.Н.Элементы теории функций и функционального анализа/А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. - М.: Наука, 1972.

[32] Лаврентьев, М.М. Теория операторов и некорректные задачи/М.М. Лаврентьев, С.Я. Савельев. - Новосибирск: Изд-во института Математики, 1999. - 702с.

[33] Никольский, М.С. О системах линейных интегральных уравнений типа Вольтерра в свертках/М.С. Никольский//Труды математического института им. В.А.Стеклова, 1998. - Т. 220. - С. 210-216.

[34] Новиков, Е.А. Явные методы для жестких систем/Е.А. Новиков. - Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997. - 195с.

[35] Ракитский, Ю.В. Численные методы решения жестких систем/Ю.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Чернорудский. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 208с.

[36] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения/С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и Техника, 1987.

[37] Сидоров, H.A. А-присоединенные множества линейных операторов и их приложения к дифференциальным уравнениям/Н.А. Сидо-ров//Методы оптимизации и исследование операций: Краевые задачи. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 169-184

[38] Сидоров, H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцисй/Н.А. Сидоров//Математические заметки, 1984. - Т. 35. - Вып.4. - С. 569-579.

[39] Сидоров, H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной/Н.А. Сидоров, М.В. Фала-леев//Дифференциальные уравнения, 1987. - Т. 23. - №4. - С. 726-728.

[40] Тен Мен Ян Приближенное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра I рода: дис. ... канд. физ. мат. наук/Тен Мен Ян. - Иркутск, 1985. - 215с.

[41] Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач/А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1986. - 288с.

[42] Тихонов, А.Н. Нелинейные некорректные задачи/А.Н. Тихонов, А.Г. Ягола. - М.: Наука. Физматлит, 1995. - 312с.

[43] Фалалеев, М.В. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах/М.В. Фала-леев//Методы оптимизации. - Новосибирск: Наука, 1992. - С. 184-185.

[44] Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром/В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука, 1996.

[45] Чистяков, В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах/В.Ф. Чистя-ков//Функции Ляпунова и их применения. — Новосибирск: Наука, 1987. - С. 231-239.

[46] Чистякова, Е.В. Методы исследования и решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений и их приложения: дис. ... канд. физ. мат. наук/Е.В. Чистякова. - Иркутск, 2007. - 113с.

[47] Шароглазов, B.C. К решению задачи Коши для линейных систем интегро-дифференциальных уравнений тина Вольтерра с вырожденной матрицей при производной/В.С. Шароглазов//Дифференциальные и интегральные уравнения. - Иркутск: Иркутский гос. Университет, 1980. -С. 98-106.

[48] Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи/Э.Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. - Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 512 е., ил.

[49] Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи./Э. Хайрер, Г. Ваннер. - Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 685 с, ил.

[50] Холл, Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных у равнений/Дж. Холл, Дж. Уатт. - М.: Мир, 1979.

[51] Brenan, K.F. Numercal solution of Initial-Value Problems in Differental-Algebraic Equations/K.F. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold. - Appl. Math., Philadelphia, 1996.

[52] Brunner, H. The numercal solution of Volterra equations/H. Brunner, P.J. van der Houwen. - Amsterdam: North-Holland, CWI Monographs 3, 1986.

[53] Brunner, H. 1896-1996: One hundred years of Volterra integral equations of the first kind//Applied Numerical Mathematics, 1997. - Vol. 24. - pp.83-93

[54] Brunner, H. On singular systems of integral equations with weakly singular kernels/H. Brunner, M.V. Bulatov//Proceeding of the 11-th Baikal International School Seminar: Optimization Methods and their Applications, 1998. - pp. 64-67.

[55] Brunner, H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functioal Equations/H. Brunner. - Unversity Press, Cambridge, 2004.

[56] Budnikova, O.S. On one class of multistep methods for numerical solution of integral algebraic equations/O.S. Budnikova//Abstracts of International seminar «NUMERICAL SOLUTION OF INTEGRAL AND DIFFERENTIAL EQUATIONS»- July 15-20, 2014. -Lake Baikal. -P.2.

[57] Bulatov, M.V. The properties of differential-algebraic systems and their integral analogs/M.V. Bulatov, V.F. Chistyakov// Preprint, Memorial University of Newfoundland, 1997. - 35 p.

[58] Bulatov, M.V. Two-dimensional integral-algebraic systems: Analysis and computational methods/M.V. Bulatov, P.M. Lima//Journal of Computational and Applied Mathematics, 15 August 2011. - Vol. 236. -№2. - pp. 132-140.

[59] Bulatov, M.V. Numerical Solution of Integro-algebraic Equations of Multistep Methods/M.V. Bulatov, O.S. Budnikova//5th International Conference on High Performance Scientific Computing: Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes. - Hanoi, Vietnam, 2012. - P. 45

[60] Bulatov, M.V. Numerical solution of integro-algebraic equations by multistep methods/M.V. Bulatov, O.S. Budnikova//Book of Abstracts of International Conference on Scientific Computation And Differential

Equations (SciCADE 2013), September, 16-20 2013, Valladolid, Spain, Universidad de Valladolid. - P. 115.

[61] Bulatov, M.V. Numerical solution of integral-algebraic equations with a weakly singular kernel by multistep methods/M.V. Bulatov, O.S. Budnikova//Abstracts of V Congress of the Turkic World Mathematicians (Kyrgyzstan, Bulan-Sogottu, 5-7 June, 2014)-Bishkek: Mathematical Society of Kyrgyz, 2014.-P. 100.

[62] Bulatov, M.V. Existence and Uniqueness of Solutions to Weakly Singular Integral-Algebraic and Integro-Differential Equations/M.V. Bulatov, P.M. Lima, E.B. Weinmüller//Central European Journal of Mathematics, February 2014. - Vol. 12. - №2. - pp: 308-321.

[63] Kauthen, J.P. The numerical solution of integral-algebraic equations of index-1 by pollinomial spline collocation methods//Math. Comp., 2000. -Vol. 236. - pp.1503-1514

[64] Kershaw, D. [1974], Volterra equations of the second kind, in: Delves & Walsh, [1974]. - pp. 140-161.

[65] Kunkel, P. Stability properties of differential-algebraic equations and spin-stabilized diskretizations // Electr. Trans. Numer. Analys, 2007. - Vol. 26. -pp. 385-420.

[66] März, R. Differential-algebraic systems anew//Appl. Numer. Math., 2002. - Vol. 42. - pp. 315-335.

[67] Morozov, V.A. Methods of solution of ill-posed problems: algorithmic aspect/V.A. Morozov, A.I. Grebennikov. - M.: Moscow University Press., 2005. - 326 P.

[68] Linz, P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations/P. Linz.

- SIAM, Philadelphia, 1985.

[69] Linz, P. A survey of methods for the solution of Volterra integral equations of the first kind/ P. Linz //Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Equations, University Press, Cambridge, 2004.

[70] Gear, C.W. Differential-algebraic equations, indices, and integral algebraic equations // SIAM J. on Numer. Anal., 1990. - V.27. - №6. - pp. 1527-1534.

[71] Hadizadeh, M. Jacobi spectral solution for integral algebraic equations of index-2/M. Hadizadeh, F. Ghoreishi, S. Pishbin// Appl. Numer. Math, 2011.

- Vol. 61. - №1. - pp. 131-148.

[72] Pishbin, S. The semi-explicit Volterra integral algebraic equations with weakly singular kernel: The numerical treatments/S. Pishbin, F. Ghoreishi, M. Hadizadeh // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2013.

- Vol. 245. - №1. - pp. 121-132.

[73] Weiss, R.A. Product Integration Method for a Class of Singular First Kind Volterra Equations/R. Wiess, R.S. Anderssen// Numer. Math, 1972. - Vol. 18. - №. - pp.442-456.