Численное моделирование задач газовой смазки на основе уравнения Рейнольдса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Смирнов, Денис Борисович

• Смирнов, Денис Борисович
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Смирнов, Денис Борисович

Список обозначений.

Введение.

Глава 1 Математические модели газовой смазки.

§1.1 Виды подшипников на газовой смазке.

§1.2 Изотермическое уравнение Рейнольдса.

§ 1.3 Постановка задач газовой смазки с наддувом.

Глава 2 Конечно-разностные схемы с коррекцией расхода для решения уравнения Рейнольдса в задачах с наддувом.

§2.1 Численные методы решения задач с малым отверстием.

2.1.1 Методы, использующие асимптотику задачи.

2.1.2 Метод конечных суперэлементов.

2.1.3 Методы декомпозиции.

2.1.4 Существующие методы расчета газовых опор с наддувом.

§2.2 О некорректности точечной аппроксимации источников наддува.

2.2.1 Постановка модельной задачи.

2.2.2 Разностная схема с точечной аппроксимацией источников наддува.

2.2.3 Коррекция расхода путем введения фиктивного источника.

2.2.4 Второй способ коррекции расхода.

§2.3 Расчет цилиндрического газостатического подшипника.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Разностная схема.

2.3.3 Обсуждение результатов.

§2.4 Расчет цилиндрического гибридного подшипника.

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Разностная схема.Л.

2.4.3 Обсуждение результатов.

§2.5 Расчет направляющих с микроканавками.

2.5.1 Постановка задачи.

2.5.2 Разностная схема.

2.5.3' Обсуждение результатов.

Глава 3 Решение линеаризованного уравнения Рейнольдса для малых чисел сжимаемости.

§3.1 Решение сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации самосопряженных эллиптических уравнений второго порядка.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Многосеточные методы. ВРХ-предобусловливатель.

§3.2 Односторонний упорный подшипник со спиральными канавками.

§3.3 Бинарный подшипник со спиральными канавками.

3.3.1 Усреднение уравнения Рейнольдса для бесконечно большого числа канавок.

3.3.2 Численные эксперименты.

3.3.3 Вычисление момента сопротивления вращению для бинарных и односторонних подшипников.

Глава 4 Численное решение уравнения Рейнольдса при больших числах сжимаемости.

§4.1 Современные методы решения уравнений конвекциидиффузии с большими конвективными членами.

4.1.1 Метод конечных элементов с усреднением по ребрам.

4.1.2 Многосеточные методы на основе схемы с усреднением по ребрам.

§4.2 Расчет подшипников со спиральными канавками при произвольных числах сжимаемости.

4.2.1 Метод, основанный на схеме с усреднением по ребрам.

4.2.2 Расчет подшипника со спиральными канавками.

§4.3 Асимптотическое решение уравнения Рейнольдса при бесконечно больших числах сжимаемости.

Глава 5 Исследование устойчивости газодинамических подшипников и уплотнений.

§5.1 Метод сопряженных уравнений.

§5.2 Модификация метода конечных элементов с усреднением по ребрам для решения сопряженной задачи газовой смазки.

§5.3 Вычисление границы устойчивости подшипника со спиральными канавками.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование задач газовой смазки на основе уравнения Рейнольдса»

Одним из перспективных направлений современного машиностроения является использование газовой смазки в различных опорных и уплотни-тельных узлах машин и приборов. Это связанно с тем, что малая вязкость газа позволяет создавать как устройства, работающие с высокими частотами вращения, так и направляющие станков и приборов, работающие при малых скоростях скольжения практически без трения. Подшипники с газовой смазкой, не теряя своих эксплуатационных качеств, могут работать в условиях повышенной радиации, в широком диапазоне температур и давлений окружающей среды.

Численное моделирование в теории газовой смазки играет важную роль. Это обусловлено тем, что эксперимент в данной области крайне затруднен и дорогостоящ по причине сверхтонких (порядка нескольких микрон) зазоров между поверхностями трения, а подчас и опасен, так как может привести к разрушению изделия. Поэтому при проектировании опорных узлов, работающих на газовой смазке, на первый план выходит математическое моделирование и численный эксперимент.

Хотя имеется достаточно много работ по численному моделированию задач газовой смазки, в этой области до сих пор остается множество открытых вопросов. Это связанно с тем, что при численном решении уравнений газовой смазки возникают определенные сложности. Эти сложности вытекают из нелинейности уравнений и граничных условий, наличия разрывных и сильно осциллирующих коэффициентов, существенного преобладания конвективного слагаемого. В качестве конкретных примеров можно привести подшипники с наддувом и самоподдерживающиеся подшипники с чрезвычайно тонкой микроструктурой профилирования рабочих поверхностей. В первом случае для корректного решения задачи обычными методами требуется сильное сгущение сетки в районе отверстия наддува, во втором - построение мелкой сетки, учитывающей микроструктуру профилирования. Поэтому при численном моделировании источники наддува обычно заменяют точечными, а в задачах со сложной микроструктурой геометрии прибегают к построению усредненных (асимптотических) решений. Однако замена отверстия наддува точечным источником приводит к некорректным результатам, а асимптотические решения не всегда достаточно точно описывают поведение реального устройства. В связи с этим остается открытым вопрос о построении численных алгоритмов, устраняющих недостатки ранее используемых методов, и о применении их для исследования и конструирования опор на газовой смазке.

Настоящая диссертация, которая состоит из введения, пяти глав, заключения и нескольких приложений, посвящена разработке и реализации численных алгоритмов решения уравнения Рейнольдса для расчета полей давлений в газовых подшипниках различных типов. В работе демонстрируется эффективность и надежность разработанных методов для исследования и проектирования конкретных опорных и уплотнительных узлов машин и приборов, использующих газовую смазку.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Смирнов, Денис Борисович

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

- Предложена новая консервативная разностная схема для решения задач газовой смазки с наддувом. Разработаны ее модификации для источников наддува разных типов (простая диафрагма, кольцевая диафрагма, микроканавки).

- В линейном приближении численно рассчитаны поля давлений в упорном подшипнике нового типа — с профилем, нанесенным на обеих рабочих поверхностях. Построено асимптотическое (при бесконечно большом числе канавок) приближение уравнения Рейнольдса для таких подшипников.

- Разработан метод решения уравнения Рейнольдса с преобладающими конвективными членами для расчета самоподдерживающихся профилированных подшипников сложной геометрии. С помощью данного метода стало возможным рассчитать характеристики упорных подшипников и уплотнений со спиральными канавками при большом числе канавок и больших числах сжимаемости.

- Получено асимптотическое (для бесконечно больших чисел сжимаемости) решение уравнения Рейнольдса с кусочно-непрерывными коэффициентами. В частности, найдено предельное решение для подшипников со спиральными канавками.

- Разработан метод решения сопряженной задачи газовой смазки с преобладающими конвективными членами, возникающей при исследовании устойчивости равновесного положения подшипников на газовой смазке. Произведено исследование устойчивости самоподдерживающихся подшипников со спиральными канавками по отношению к осевым возмущениям.

- Решение конкретных задач подтвердило эффективность разработанных алгоритмов. Сравнение с некоторыми известными решениями, экспериментальными данными и асимптотическими решениями обнаружило хорошее совпадение результатов.

Разработанные в диссертации численные методы и программные средства позволяют упростить и снизить трудоемкость решения задач, связанных с исследованием и проектированием опорных и уплотнительных узлов на газовой смазке.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Смирнов, Денис Борисович, 2008 год

1. Аксенова, Е.И. Экономичная схема для параболических уравнений в цилиндрических координатах в области с малым отверстием Текст] / Е.И. Аксенова // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1998. Т.38. -№2. -С.220-227.

2. Андреев, В.Б. О функции источника сеточного оператора Лапласа Текст] / В.Б. Андреев, С.А. Кряквина // ЖВМ и МФ. -1972. -№2. -С. 364-373.

3. Андреев, В.Б. Сеточная аппроксимация задачи о точечном источнике Текст] / В.Б. Андреев, С.А. Кряквина // Выч. методы и программирование. Вып. XXXI. -М.: Изд-во МГУ, 1979. -С. 3-11.

4. Андреев, В.Б. Новая сеточная аппроксимация задачи о скважине Текст] / В.Б. Андреев // Выч. методы и программирование. Вып. XXXIV. -М.: Изд-во МГУ, 1981. -С. 95-103.

5. Андреев, В.Б. Аппроксимация задачи о скважине на треугольной и шестиугольной сетках Текст] / В.Б. Андреев, Е.Ю. Архипова // Выч. методы и программирование. Вып. XXXIV. -М.: Изд-во МГУ, 1981.-С. 103-125.

6. Андреев, В.Б. Аппроксимация задачи о скважине на полярной сетке Текст] / В.Б. Андреев, Е.Ю. Архипова // Выч. методы и программирование. Вып. XXXIV. -М.: Изд-во МГУ, 1981, -С. 125-128.

7. Быкова, Е. И. Оценки скорости сходимости проекционно-разностных схем для параболических уравнений в области с малым отверстием Текст. / Е. И. Быкова // ЖВМ и МФ. -1984. Т.24. №11.-С. 1694-1703.

8. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Текст. / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик Москва: "Наука", 1971. -1108с.

9. Григорьев, Б.С. Метод сопряженных уравнений в математическом моделировании задач газовой смазки Текст. : диссертация д-ра техн. наук: 05.13.16 / Б.С Григорьев. Санкт-Петербург: СПбГТУ, 1995.-312 с.

10. Григорьев, Б.С. Асимптотический анализ газодинамических подшипников со спиральными канавками на обеих рабочих поверхностях Текст] / Б.С. Григорьев, Д.Б. Смирнов, Ю.К. Шиндер // Проблемы машиностроения и надежности машин.-2004. -№6. -С. 2226.

11. Григорьев, Б.С. Разностная схема с компенсацией расхода для расчета гибридных подшипников на газовой смазке Текст] / Б.С. Григорьев, Д.Б. Смирнов // Сборник трудов СПбГТУ №485, "Прикладная математика". -2002. -С. 31-41.

12. Григорьев, Б.С. Расчет газостатических подшипников методом конечных разностей Текст] / Б.С. Григорьев, Д.Б. Смирнов // Проблемы машиностроения и надежности машин. -2002. №4. -С. 35-42.

13. Григорьев, Б.С. Численные методы расчета газовых опор с наддувом Текст] / Б.С. Григорьев, Д.Б. Смирнов // XXIX неделя науки СПбГТУ. 27 ноября 02 декабря 2000 года. СПбГТУ. -2001. -С. 1011.

14. Grigoriev, B.S. Finite-difference method for solving externally pressurized gas bearings Text] / B.S. Grigoriev, D.B. Smirnov // Abstracts of Papers from 2nd World Tribology Congress. -Vienna, 2001.

15. CD-ROM. ISBN 3-901657-08-8. -P. 443. Papers. -CD-ROM. ISBN 3901657-09-6.

16. Грудская, Е.Г. Расчет несущей способности радиальных газовых подшипников с дискретным наддувом газа Текст] / Е.Г. Грудская, B.C. Карпов // -М.: Машиноведение, 1981. -№5. -С. 92-97.

17. Дадаев, С.Г. Нестационарные модели газодинамических подшипников со спиральными канавками Текст] : монография / С.Г. Дадаев Челябинск, 1996. -162 с.

18. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики Текст] / Б.П. Демидович, И.А. Марон Москва: "Наука", 1970. -664 с.

19. Емельянов, Л.В. Основы теории газодинамических подшипников и бесконтактных уплотнений со спиральными канавками на обеих поверхностях Текст] / А.В. Емельянов, И.А. Емельянов // Доклады академии наук. -1998. -Т.363. -№2. -С. 187-190.

20. Емельянов, А.В. Теоретическая оценка преимуществ бесконтактных уплотнений бинарного типа Текст] / А.В. Емельянов, И.А. Емельянов // Проблемы машиностроения и надежности машин. -2002. -№3. -С. 36-43.

21. Емельянов, А.В. Теория газодинамических подшипников со спиральными канавками на обеих рабочих поверхностях Текст] / А.В. Емельянов, И.А. Емельянов // Изв. РАН. МЖГ. -2000. -№3. с. 46-56.

22. Емельянов, А.В. Расчет бинарных газодинамических подшипников на основе краевой задачи для четырех областей смазочного слоя Текст] / А.В. Емельянов, И.А. Емельянов, A.M. Шихватов //

23. Проблемы машиностроения и надежности машин. -2003. -№3. -С. 100-111.

24. Ильин, A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. 1. Двумерный случай Текст] / A.M. Ильин //Матем. сб. -1976. -Т.99(141). -С. 514-538.

25. Ильин, A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. 2. Область с малым отверстием Текст] / A.M. Ильин // Матем. сб. -1977. -Т.103(145), -№2(6). -С. 265-284.

26. Ильин, A.M. Об одной краевой задачи с малым параметром Текст] / A.M. Ильин // Успехи матем. наук. -1977. -Т.32. -№3, -С. 161-162.

27. Каннигем, Р.Е. Статистические испытания воздушных радиальных подшипников с внешним наддувом при наличии вращения

28. Текст. / Р.Е. Каннигем, Д.П. Флеминг, В.Дж. Андеерсон // Проблемы трения и смазки. -1970. -№2, -С. 163-170.

29. Киприанов, И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи Текст] / И.А. Киприанов М.: Наука. -Физматлит, 1997. -195 с.

30. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин — М.: Наука. -Физматлит, 1972. -496 с.

31. Константинеску, В.Н. Газовая смазка Текст] : перевод с рум. / В.Н. Константинеску Москва: Машиностроение, 1968. -718 с.

32. Котляр, Я.М. Асимптотические решения уравнения Рейнольдса Текст] / Я.М. Котляр // Изв. АН СССР, Мех. жид. и газа. -1967. -№1. -С. 161-165.

33. Крявкина, С.А. Асимптотика сеточного уравнения Пуассона с источником распределенным на полуоси Текст] / С.А. Крявкина // Выч. методы и прогр. Вып. XXXI. -1979. -С. 12-21.

34. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа Текст] / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева — Москва: "Наука", 1964. -537 с.

35. Лесуков, В.А. Численный метод расчета подвеса с дискретным наддувом газа Текст] / В.А. Лесуков, В.Г. Деньгин, В.И. Толочный // -М.: Наука, Машиноведение, 1987. №4. -С.57-62.

36. Лупуляк, С.И. Вопросы математического моделирования, связанные с краевыми задачами для уравнения Рейнольдса теории газовой смазки Текст] : диссертация канд. физ.-мат. наук: 05.13.16 / С.И. Лупуляк СПбГТУ, 1998. -129 с.

37. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа Текст] / Л.Г. Лой-цянский -М.: Наука, 1987. -840 с.

38. Маланоски, Статические и динамические характеристики упорного подшипника со спиральными канавками Текст] / Маланоски, Пэн // Труды американского общества инженеров-механиков, серия D: "Теоретические основы инженерных расчетов". -1965. -№3. -С. 13-26.

39. Пинегин, С.В. Газодинамические подпятники со спиральными канавками Текст] / С.В. Пинегин, А.В. Емельянов, Ю.Б. Табачников-Москва: Наука, 1977. -105 с.

40. Пинегин, С.В. Прецизионные опоры качения и опоры с газовой смазкой Текст] / С.В. Пинегин, А.В. Орлов, Ю.Б. Табачников М.: Машиностроение, 1984. -216 с.

41. Пинегин, С.В. Статистические и динамические характеристики газовых опор Текст] / С.В. Пинегин, Ю.Б. Табачников, И.Е. Сипен-ков -М.: Наука, 1982. -265 с.

42. Подшипники с газовой смазкой Текст] / Дж.У. Пауэлла [и др.]; под ред. Н.С. Грэссема и Дж.У. Пауэлла — Москва: Мир, 1966. -421с.

43. Самарский, А.А. Теория разностных схем Текст] / А.А. Самарский М.: Наука, 1977. -482 с.

44. Серегин, Г.А. Математические методы в механике сплошной среды Текст. / Г.А. Серегин, С.И. Репин, В.Я. Ривкинд, JI.B. Петухов Ленинград: ЛГТУ, 1991. -100 с.

45. Строкова, И.В. Метод конечных разностей для задачи газовой смазки с наддувом Текст. : дипломная работа по специальности 010200 / И.В. Строкова — Прикладная математика, СПбГТУ, 1997. -99 с. .>■ 4

46. Титов, В.А. Решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения в области с малым отверстием Текст. / В.А. Титов — В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. -С. 96-103.

47. Уилдмен, М. О поведении плоских упорных подшипников с канавками, работающих на сжимаемой смазке Текст. / М. Уилдмен // Труды американского общества инженеров-механиков, серия Ф. -1968. -№4. -С. 237-243.

48. Факторович, Е.А. Многосеточный метод для задач газовой смазки с наддувом Текст. : магистерская диссертация по специальности 010200 / Е.А. Факторович Прикладная математика, С.-Пб., 1998. -113 с.

49. Федоренко, Р.П. Введение в вычислительную физику Текст. / Р.П. Федоренко М.: Изд-во Моск. физ.-тех. института, 1994. -528 с. Шайдуров, В.В. Многосеточные методы конечных элементов [Текст] / В.В. Шайдуров - Москва: Наука, 1989. -287 с.

50. Bank, R.E. Some upwinding techniques for finite element approximations of convection-diffusion equations Text. / R.E. Bank, J.F. Burgler, W. Fichtner, R.K. Smith //Numer. Math., 58. -1990. -P. 185202.

51. Bey, J. Downwind numbering: Robust multigrid for convection-diffusion problems Text. / J. Bey, G. Wittum // Applied Numerical Mathematics. -1997. -Vol. 23(1). -P. 177-192.

52. Bonneau, D. Finite Element Analysis of Grooved Gas Thrust Bearing and Grooved Gas Face Seals Text. / D. Bonneau, J. Huitric, B. Tournerie // ASME J. Tribol. -1993. -Vol. 115. -P. 348-354.

53. Bramble, J.H. New Estimates for Multilevel Algorithms Linludibg V-cycle Text] / J.H. Bramble, J.E. Pasciak // Math. Сотр., 60. -1993. -P. 447-471.

54. Bramble, J.H. Parallel Multilevel Preconditioners Text] / J.H. Bramble, J.E. Pasciak, J. Xu // Math. Сотр., 55. -1990. -P. 1-22.

55. Brown, P.N. Globally convergent techniques in nonlinear Newton-Krylov Algorithms Text] : Technical Report UCRL-102434 / P.N. Brown, Y. Saad Lawrence Livermore National Laboratory, 1989. -37 p.

56. Buscaglia, G. Homogenization of transient Reynolds equation Text] / G. Buscaglia, I. Ciuperca, M. Jai — Preprints of the research team "Analyse Numerique Lyon-Saint Etienne", 21 May 2001. -21 p.

57. Cioc, S. Application of the Space Time Conservation Element and Solution Element Numerical Method to Flows in Fluid Film Text] : PhD Dissertation / S. Cioc - University of Toledo, 2004. -176 p.

58. Cioc, S. Computation of Pressurized Gas Bearings Using CE/SE Method Text] / S. Cioc // STLE Tribology Transactions. -2003. -Vol. 46(1). -P. 128-133.

59. Dahmen, W. On a robust adaptive multigrid solver for convection-dominated problems Text] / W. Dahmen, S. Muller, T. Schlinkmann // IGPM Report #171, RWTH Aachen, 1999. -40 p.

60. Duvnjak, A. Derivation of the Reynolds equation for lubrication of a rotating shift Text] / A. Duvnjak, E. Mausikr-Poloka // Archivum Methematicum (BRNO). -2000. -Vol. 36. -P. 239-253.

61. Faria, M.T.C. An efficient finite element procedure for analysis of high-speed spiral groove gas face seals Text] / M.T.C. Faria // ASME. Journal of Tribology. -2001. -Vol. 123. -P. 205-210.

62. Golub, G.H. Inexact preconditioned conjugate gradient method with inner-outer iteration Text] / G.H. Golub, Q. Ye // SIAM J. Sci. Comput. -1999. -Vol. 21. -P. 1305-1320.

63. Goodyer, C.E. Adaptive Mesh Methods for Elastohydrodynamic Lubrication Text] / C.E. Goodyer, R. Fairlie and M. Berzins and L.E. Scales // ECCOMAS CFD, Institute of Mathematics and its Applications, ISBN 0-905-091-12-4, 2001. -17p.

64. Hackbusch, W. Downwind Gauss-Seidel Smoothing for Convection Dominated Problems Text] / W. Hackbusch, Th. Probst // Numerical Linear Algebra with Applications. -1997. -Vol.4(2). -P. 85-102.

65. Jai, M. Existence and uniqueness of solutions of the parabolic nonlinear compressible Reynolds lubrication equation Text] / M. Jai //Nonlinear analysis. -2001. -Vol. 43(5). -P. 655-682.

66. Jai, M. Existence, uniqueness and homogeneization of the second order slip Reynolds Equation Text] / M. Jai, I. Ciuperca — Preprints of the research team "Analyse Numerique Lyon-Saint Etienne", 4 November 1999.-16 p.

67. Kim, Hw. A multigrid method based on graph matching for convection diffusion equations Text] / Hw. Kim, J. Xu, L. Zikatanov // Num. Lin. Alg. and Appl. -2003. -Vol.10. -P. 181-195.

68. Kligerman, Y. Analysis of the hydrodynamic effects in a surface textured circumferential gas seal Text] / Y. Kligerman, I. Etsion // Tribology transactions. -2001. -Vol. 44(3). -P. 472-478.

69. Miller, B.A. Numerical Formulation for the Dynamic Analysis of Spiral-Grooved Gas Face Seals Text. / B.A. Miller, I. Green // ASME J.Tribol. -2001. Vol. 123. -P. 395-403.

70. Rivara, M.-C. LEPP-Delaunay algorithm: a robust tool for producing size-optimal quality triangulations Text] / M.-C. Rivara, N. Hitschfeld // Proc. 8th International Meshing Roundtable. -1999. -P.205-220.

71. Saad, Y. DQGMRES: a Quasi — minimal residual algorithm based on incomplete orthogonalization Text] : Technical report UMSI-91/131 / Y. Saad, K. Wu Minnesota Supercomputing Institute. -1993. -25 p.

72. Saad, Y. Iterative methods for sparse linear systems Text] / Y. Saad -SIAM. Second Edition. -2000. -447 p.

73. San Andres, L. Finite Element Analysis of Gas Bearings for Oil-Free Turbomachinery Text] / L. San Andres, D. Wilde // Revue Europeenne des Elements Finis, -2001. -Vol. 10 (6/7). -P. 769-790.

74. Templates for the Solution of Linear Systems Text] / R. Barrett, M. Berry, T.F. Chan [and so on] Society for Industrial & Applied Mathematics. -1993. -124 p.

75. Wang, F. A Cross-Wind-Block iterative method for convection-dominated problems Text] / F. Wang, J. Xu // SIAM Journal on Comput, 21. -1999. -P. 646-665.

76. Wang, X. Numerical evaluation for various upwinding schemes Text] / X. Wang // Proceedings of FEDSM98, ASME Fluids Engineering Division, 1998. -Юр.

77. Wong, C.W. A self-acting gas thrust bearing for high speed micro-rotors Text] / C.W. Wong, X. Zhang, S.A. Jacobson, A.H. Epstein // Journal of Microelectromechanical Systems. -2004. -Vol. 13(2). -P. 158 -164.

78. Xu, J. A monotone finite element scheme for convection-diffusion equations Text] / J. Xu, L. Zikatanov // Mathematics of Computation 68. -1999. -№228. -P. 1429-1446.

79. Xu, J. Then EAFE scheme and CWS method for convection-dominated problems Text] / J. Xu // Proceed. DDM9, -1997. -7 p.

80. Xu, J. An Introduction to Multilevel Methods Text] / J. Xu Math. Sci. Comput., 1997. -98 p.

81. Xu, J. Theory of Multilevel Methods Text] : Ph.D. dissertation / J. Xu Cornell University, 1989. -142 p.

82. Xu, J. Some non-overlapping domain decomposition methods Text] / J. Xu // SIAM. -1998. P. 857-914.