Численное моделирование задач электродинамики и аэродинамики сингулярными интегральными уравнениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Романова, Елена Геннадьевна

• Романова, Елена Геннадьевна
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Романова, Елена Геннадьевна

Введение

1 Обзор методов. Вспомогательные утверждения

1.1 Метод интегрального уравнения в электродинамике.

1.2 Гиперсингулярные интегралы и гиперсингулярные интегральные уравнения.

1.3 Обзор приближенных методов решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений.

2 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений

2.1 Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений первого рода.

2.2 Кол локационный метод решения одномерных линейных гиперсингулярных интегральных уравнений.

2.3 Линейное уравнение (двумерный случай).

2.4 Коллокационный метод решения одномерных нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений.

2.5 Приближенное решение нелинейного гиперсингулярного интегрального уравнения.

3 Применение численных методов решения сингулярных интегральных уравнений к моделированию задач электродинамики

3.1 Применение метода дискретных особенностей к приближенному решению задач теории волноводов.

3.1.1 Е - плоскостной Т - сочлененный волновод.

3.1.2 Линейный Т - волновод.

3.2 Приближенное решение составного особого интегрального уравнения

3.2.1 Характеристическое уравнение.

3.2.2 Оценка погрешности.

4 Численные методы решения особых интегральных уравнений крыла

4.1 Приближенное решение нелинейного интегродифференциального уравнения крыла конечного размаха.

4.1.1 Вывод уравнения.

4.1.2 Решение уравнения Прандтля.

4.1.3 Приближенное решение нелинейного уравнения крыла конечного размаха.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование задач электродинамики и аэродинамики сингулярными интегральными уравнениями»

Актуальность работы

Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения являются одним из основных математических аппаратов моделирования большинства проблем теории аэродинамики и электродинамики. Этим объясняется активное развитие численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, начиная со второй половины XX столетия. Несмотря на то, что имеется много публикации и статей, посвященных приближенным методам решения этих уравнений, остались нерешенными следующие задачи:

• не получены аналитические и численные методы решения ряда новых классов сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений теории волноводов;

• не разработаны модели и численные методы для ряда нелинейных задач аэродинамики;

• не разработаны численные методы решения нелинейных гиперсингулярных уравнений (одномерных и многомерных);

• не разработаны параллельные методы решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений, что представляется актуальным, так как при решении прикладных задач требуется обработка информации в режиме реального времени.

Разработке, обоснованию и программной реализации численных методов решения перечисленных проблем посвящена данная диссертация, что и определяет ее актуальность.

Цель работы

Целью исследования является моделирование ряда задач электродинамики и аэродинамики сингулярными и гиперсингулярных интегральных уравнениями и разработка численных методов, положенных в основу этого моделирования. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:

• предложены и обоснованы численные методы решения линейных и нелинейных гиперсингулярных одномерных уравнений;

• предложены и обоснованы численные методы решения линейных и нелинейных гиперсингулярных многомерных уравнений;

• разработаны и обоснованы численные методы решения нового класса сингулярных интегральных уравнений, моделирующих волновые процессы в нерегулярном волноводе;

• построена нелинейная математическая модель, описывающая распределение воздушного потока вокруг крыла конечного размаха;

• разработаны и обоснованы численные методы решения нелинейного сингулярного интегрального уравнения теории крыла;

• дана программная реализация полученных алгоритмов.

Методы исследования

В работе использованы методы функционального анализа, краевых задач, теории функций комплексного переменного, теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифракции и распространения электромагнитных волн, методы расчета электродинамических характеристик. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Романова, Елена Геннадьевна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложены вычислительные схемы решения линейных и нелинейных, одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений.

2. Разработаны алгоритмы приближенного решения некоторых задач теории волноводов, моделируемых одномерными сингулярными интегральными уравнениями.

3. Предложены вычислительные схемы решения составного особого интегрального уравнения, моделирующего задачи вычисления входного сопротивления тонкой проволочной антенны, и задачи вычисления электромагнитного поля в коаксиальном гиротроне.

4. Предложены численные алгоритмы приближенного решения волновых уравнений, описывающих распределение поля в Т-сочлененных волноводах.

5. Разработана нелинейная математическая модель распределения воздушного потока вокруг крыла конечного размаха.

6. Доказана сходимость итерационно-проекционных методов решения линейного и нелинейного уравнений теории крыла конечного размаха.

7. Разработаны пакеты программ моделирования волновых процессов в нерегулярных волноводах и циркуляции воздушного потока вокруг крыла конечного размаха (Приложения).

Заключение

В заключении обобщены основные результаты теоретических и практических исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Романова, Елена Геннадьевна, 2007 год

1. Абрамов Б.Д. О редукции краевых задач теории переноса нейтронов к сингулярным интегральным уравнениям / Б.Д. Абрамов, А.Ф. Матвеев.- Препринт ИТЭФ. М. - 1987. - № 46. - 32 с.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. - 351 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. - 632 с.

4. Бейтмен Г. Высший трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.- М.: Наука, 1974. 296 с.

5. Белоцерковский С.М. Исследования по аэродинамике современных несущих поверхностей: Дис. д-ра тех. наук М.; 1955.

6. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. - 244 с.

7. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов. М.: Наука, 1985. -256 с.

8. Бисплингхофф Р. Аэроупругость / Р. Бисплингхофф, X. Эшли, Р. Хал-фмэн. М.: ИЛ, 1959. - 800 с.

9. Боголюбов А.Н. Применение метод конечных элементов в волноводных задачах дифракции / А.Н. Боголюбов, А.Л. Делицын, A.B. Лавренова // Радиотехника, 2004. № 12. - С. 20-26.

10. Бойков И.В. Приближенное решение интегральных уравнений Фредголь-ма с интегралами в смысле главного значения Коши-Адамара // Функциональный анализ и теория функции. Казань: Изд-во КГУ, 1970. -Вып.7 - С. 3-23.

11. Бойков И. В. О применении метода механических квадратур к приближенному решению нелинейных сингулярных интегральных уравнений / / Функциональный анализ и теория функции. Сб. Казань: Изд-во КГУ, 1970. - С. 3-12.

12. Бойков И. В. Об одном методе приближенного решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений // Функциональный анализ и теория функции. Сб. Казань: Изд-во КГУ, 1970. - С. 13-21.

13. Бойков И. В. О приближенном решении нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Сб. аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во КГУ, 1970. - С. 61-72.

14. Бойков И. В. О приближенном решении некоторых типов интегральных уравнений с особенностями // Сб. аспирант, работ. Точные науки. Казань: Изд-во КГУ, 1970. - С. 73-81.

15. Бойков И. В. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР, 1972. Т. 203. - №3. - С. 511-514.

16. Бойков И. В. Приближенное решение интегро-дифференциальных уравнений с интегралом в смысле Адамара // Ученые записки Пенз. политехи. ин-т. Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т- Вып. 4, 1973. - С. 42-61.

17. Бойков И.В. Принцип компактной аппроксимации в возмущенном методе Галеркина // ДАН СССР, 1974. Т. 215. - №1. - С. 11-14.

18. Бойков И.В. О приближенном нахождении всех решений функциональных уравнений // ДАН СССР, 1974. Т. 217. - N 6. - С. 1241 - 1244.

19. Бойков И. В. Приближенные методы решения задач гравиметрии / / Вопросы теории и методики гравитационных измерений на движущемся основании. Сб.- Москва: Институт физики Земли АН СССР, 1976. С. 112-121.

20. Бойков И. В. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений и их приложения // Применение вычисл. методов в научно-техн. иссл. Межвуз.сб. Пенза: Изд-во Пенз. политехи, ин-т. -Вып. 2. - 1980. С. 3 - 18.

21. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Изд-во Саратовского ун-та, 1983 г. -с.

22. Бойков И. В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования. Пенза: Изд-во ППИ, 1983. - 508 с.

23. Бойков И. В. Аналитические методы идентефикации динамических систем. Пенза: Пенз. политехи, ин-т, 1992. - 112 с.

24. Бойков И. В. Восстановление финитных функций // Измерительная техника, 1997. №6.

25. Бойков И. В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков, Н.Ф. Добрынина, Л.Н. Домнин. Пенза: Изд-во Пенз. гос. тех. ун-та, 1996. - 187 с.

26. Бойков И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. 316 с.

27. Бойков И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных уравнений. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. 359 с.

28. Бойков И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений первого рода / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Надежность и качество: Тр. Междунар. симп. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2001. - С. 109-110.

29. Бойков И.В. Применение метода дискретных особенностей к приближенному решению некоторых задач теории волноводов/ И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Деп. в ВИНИТИ. Рег. N 1192, 2002. 12 с.

30. Бойков И.В. Приближенное решение нелинейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения крыла конечного размаха / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Надежность и качество: Тр. Междунар. симп. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. - С. 114-119.

31. Бойков И.В. Приближенные методы решения нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Труды Средне-Волжского математ. общества. Саранск: Изд-во Саран, гос. ун-та, 2006. - Т. 2. - С. 82-87.

32. Бойков И.В. Приближенное решение интегрального уравнения теории волноводов / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Надежность и качество: Тр. Междунар. симп. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - Т. 1. - С. 280-282.

33. Бойков И.В. Коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Известия вузов. Поволжский регион. 2006. - № 5. - С. 42-50.

34. Бойков И.В. Применение метода дискретных особенностей к приближенному решению некоторых волноводных задач / И.В. Бойков, Е.Г. Романова // Известия вузов. Поволжский регион. 2006. - № 6. - С. 159-169.

35. Бойкова А.И. Об одном классе интерполяционных полиномов // Оптимальные методы вычислений и их применение. Пенза: Изд-во Пенз. гос. тех. ун-та, 1996. С. 141-148.

36. Вайникко Г.М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г.М. Вайникко, И.К. Лифанов, Л.Н. Полтавский М.: Наука, 2001. - 508 с.

37. Вайнштейи Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Изд-во "Советское радио", 1966. - 430 с.

38. Васильев E.H. Алгоритмизация задач дифракции на основе интегральных уравнений. -Прикладная электродинамика. Сб. научно-методических статей. М.: Высшая школа, 1977, с. 94-128

39. Веку а Н.П. Интегральные уравнения Фредгольма с интегралами в смысле Адамара // Тр. Матем. института АН ГССР, 1939. Вып.7. - С. 113— 146.

40. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 380 с.

41. Вентцелъ Э.С. Метод компенсирущих нагрузок в задачах теории тонких пластинок и оболочек. / Э.С. Вентцель, К.Е. Джан-Темиров, A.M. Трофимов, Е.В. Ниголына. Харьков: Изд-во ХВВКИУРВ, 1992. - 91 с.

42. Воробьев Н.Ф. Аэродинамика несущих поверхностей в установившемся потоке газа. Новосибирск: Наука, 1985. - 240 с.

43. Ганделъ Ю.В., Кононенко A.C. Вестник Харьковского нацианального университета. Сер. Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления. 2005. - Т.41. - № 661. - С. 83-88.

44. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 508 с.

45. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

46. Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. М.: Наука, 1978. - 296 с.

47. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 480 с.

48. Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. М.: Наука, 1971. - 352 с.

49. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Физматлит, 1962. - с.ИОО.

50. Гур-Милънер С. И. Новый метод дискретных особенностей для определения аэродинамических сил, действующих на тонкую несущую поврхность // Тр. ЛКИ, 1974. Вып. 91. - С. 89-94.

51. Гусейнов А. И. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений / А.И. Гусейнов, Х.Ш. Мухтаров. М.: Наука, 1982. - 414 с.

52. Дмитриев В.И. Диифракция плоского электромагнитного поля на идеально проводящей полосе, погруженной в слойную среду / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров // Изв. АН СССР, Физика Земли. 1967. - №5 - С. 62-70.

53. Дмитриев В.И. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. -С. 49-54.

54. Дмитриев В.И. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 167 с.

55. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики 1981. - Т.21. - №2. - С. 355-362.

56. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 508 с.

57. Захаров Е.В. Численный анализ дифракции радиоволн / Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. М.: Радио и связь, 1982.

58. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968, - 287 с.

59. Ивашка В.П. Исследовапие волноводов методом сингулярного интегрального уравнения / В.П. Ивашка, В.К. Шугуров // Литов. физ. сб. -1979. Т. 19. - № 2. - С. 203-210.

60. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. - 304 с.

61. Канторович JI.B. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Аки-лов. М.: Наука, 1977. - 750 с.

62. Колтон Д. Метод интегральных уравнений в теории рассеяния. Д. Кол-тон, Р. Кресс М.: Мир, 1987. - 311 с.

63. Красносельский М.Г. Приближённое решение операторных уравнений / М.Г. Красносельский, Г.М. Вайникко и др. М.: Наука, 1969. - 456 с.

64. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1935. 111 с.

65. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. Л.: ГИТТЛ, 1950. - 280 с.

66. Купрадзе В Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости /В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гечелиа, М.О. Башелейншвили, Т.В. Баргуладзе. М.: Наука, 1976. 664 с.

67. Лаврентьев М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. В кн.: Труды ГАЦИ, т.118, 1932. - С. 3-56.

68. Левин Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981. - 311 с.

69. Лерер A.M. Математическиое моделирование распространения собственных волн в цилиндрических решетках при помощи импедансных граничных условий / A.M. Лерер, В.В. Махно, А.А. Ячменов // Радиотехника и электроника. 2006. -Т. 51. - № 1. - С. 46-53.

70. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей // ПММ. 1979. - Т. 43. -т. - С. 184-186.

71. Лифанов И.К. К расчету безотрывного и отрывного обтекания тел / И.К. Лифанов, A.A. Михайлов // Труды ВВИА им. Н.Е. Жуковского. 1986. - вып. 1313. - С. 137-145.

72. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

73. Лифанов И.К. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн / И.К. Лифанов, A.C. Ненашев // Дифференциальные уравнения. 2005. - Т.41. - № 1. - С. 121-137.

74. Лифанов И.К. К решению составных особых интегральных уравнений // Успехи современной радиоэлектроники. 2006. - № 8. - С. 62-67.

75. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимация. -М.: Изд-во "Мир", 1980. с. 608.

76. Марчук Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук, В.И. Агошков. М.: Мир, 1981.

77. Машковцев Б.М. Теория волноводов / Б.М. Машковцев, К.Н. Цибизов, Б.Ф. Емелин. М.: Наука, 1966. - 351 с.

78. Миттра Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Миттра, С. Ли. М.: Мир, 1974. - 323 с.

79. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Мир, 1966. - 707 с.

80. Назарчук З.Т. Идеально проводящий криволинейный экран в поле Н— поляризованной электромагнитной волны // Радиотехника и электроника. 1981. - Т. 26. - № 4. - С. 701-708.

81. Назарчук 3. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. Киев.: Наукова думка, 1989. - 256 с.

82. Натансон И.П. Конструктивная теория функции. М.-Л.: ГИФМЛ, 1949. - 688 с.

83. Неганов В.А. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линии передачи для объемных интегральных схем.СВЧ // Доклады АН СССР. 1988. - Т. 299. - № 5.- С.1124-1128.

84. Неганов В.А. Сингулярные интегральные уравнения как метод физической регуляризации некорретных электродинамических задач радиотехники и связи // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. - № 12.- С. 16-24.

85. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке. М.: Изд. АН СССР, 1947. - 260 с.

86. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 278 с.

87. Обломская Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах. // ЖВМ и МФ, 1968. Т.8, 2 - С. 417-426.

88. Панасюк В. В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, З.Т. Назарчук. -Киев.: Наукова думка, 1984. 344 с.

89. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979.- 494 с.

90. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Ко-ши специального вида. Новосибирск. Сиб. отделение: Наука, 1982. - 128 с.

91. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Л. М.: ГИТТЛ, 1948. - 400 с.

92. Романова Е.Г. Коллокационный метод решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений // Аналитические и численные методымоделирования естественнонаучных и социальных проблем: Тр. I Меж-дунар. конф. Пенза, 2006. - С. 44-47.

93. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев.: Наукова думка, 1981. - 324 с.

94. Саврук М.П. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. -Киев.: Наукова думка, 1989. 248 с.

95. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

96. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов-н/Д.: Изд-во Ростовского ун-та, 1984. - 208 с.

97. Самко С. Г. Приложения гиперсингулярных интегралов к многомерным интегральным уравнениям первого рода / С.Г. Самко, С.М. Умархаджи-ев // Тр. Матем. института АН СССР, 1985. Вып. 172. - С. 299-312.

98. Тихонов А.Н. Методы решения некорретных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука, 1986.

99. Фелъд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях // Радиотехника и электротехника. 1975. - Т.20. -М.-С. 28-38.

100. Фок В.А. Проблемы дифракции и распростронения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. - 518 с.

101. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. М.: Изд-во "Мир", 1980. - 280 с.

102. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. - Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971. - 400 с.

103. Шестопалов В.П. Дифракционная электроника. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1976. - 231 с.

104. Эшли X. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / X. Эшли, М. Лэндал. М.: Машиностроение, 1969. - 129 с.

105. Anfinogenov A.Y. On numerical solution of integral equations of planar and spatial diffraction / A.Y. Anfinogenov, I.I. Lifanov // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1992, V. 7. P. 387-404.

106. Atkinson K.E. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves // Society for Industrial and Applied Mathematics. Journal on Numerical Analysis. 1972. - V. 9. - P. 284-299.

107. Boikov I. V. Approximate solution of a gipersingular integral equations / I.V. Boikov, E.G. Romanova // International Conference on Computation Mathematics. Part first. Novosibirsk, 2004. P. 411-417.

108. Capobianco M.R. On the Numerical Solution of a Nonlinear Integral Equation of Prandtl's Type/ M.R. Capobianco, G. Criscuolo, P. Junghanns // Birkhauser Verlag. Vol. 160, 2005, - P. 53-79.

109. Ioakimidis N.I. On the uniform convergence of Gaussian quadrature rules for Cauchy principal value integrals and their derivatives // Math. Comput. 1985. - 44, N 169. - P. 191-198.

110. К ay a A.C. On the solution of integral equations with strongly singular kernels / A.C. Kaya, F. Erdogan. Quarterly of applied mathematics. - V. XLV. - № 1. - 1987. - P. 105-122.

111. Muller C. Grundprobleme der mathemanischen Theorie electromagnetischer Schwingungen.-B.-G.-H., 1957, p. 344.

112. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebverteilung von Tragflügeln // Luftfahrtforschung. Ed XV. N4, 1938, P. 153-169.

113. Paget D.F. The numerical evaluation of Hadamard finite-part integrals // Numer. Math. 36, N 4, 1981, - P. 447-453.

114. Prossdorf S. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations / S. Prossdorf, G. Shmidt // Math. Nachr. 1981. -V. 100. - P. 33-60.

115. Theocars P.S. Numerical solution of Cauchy type singular integral equation. / P.S. Theocars, N.I. Ioakamidis // Athens: Academy of Athens publ., 1977. 65 p.

116. Tsamasphyros G. On the convergence of some quadrature rules for Cauchy principal value and finite-part integrals / G. Tsamasphyros, P.S. Theocaris // Computing. 31, N 2, 1983, - P. 105-114.

117. Wiener. K. Uber die Losing der Integraleichung von Romanovsky mit der Methode der lanfenden Funkstionalkorrecturen // Univ. Halle-Wittenberg. Math. Nachrishten. 1969, - V.18 - N 6, P.787 - 789.