Численное моделирование взаимодействия частиц с подложкой при высокоскоростном нанесении покрытий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Черепанов, Роман Олегович

• Черепанов, Роман Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Черепанов, Роман Олегович

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО СОУДАРЕНИЯ

1.1. Физическая и математическая постановка задачи.

1.2. Определяющие соотношения идеально-упругопластической среды

1.3. Двумерные упругопластические течения

1.4. Уравнения состояния.

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО СОУДАРЕНИЯ

2.1. Введение

2.2. Метод Уилкинса

2.2.1. Исходная форма записи метода Уилкинса

2.2.2. Преобразованная форма представления метода Уилкинса

2.2.3. Использование локального условия устойчивости в методе Уилкинса

2.3. Гидродинамика размытых частиц

2.3.1. Метод размытых частиц

2.3.2. Проблема порядка аппроксимации в БРН и ядерная непрерывность

2.3.3. Узловая несогласованность

2.3.4. Восстановление узловой согласованности

2.3.5. Форма записи уравнений БРН-метода, адаптированная к компьютерной реализации

2.4. Моделирование процессов теплопроводности 76 2.4.1. Аппроксимация уравнений теплопроводности методом конечных разностей

2.4.2. Аппроксимация уравнений теплопроводности методом 8РН 2.5. Заключение

3. РАСЧЕТ УСЛОВИЙ НА КОНТАКТНОЙ И СВОБОДНОЙ ГРАНИЦАХ

3.1. Алгоритмы расчета граничных условий в сеточных методах

3.2. Метод Джонсона

3.2.1. Оригинальный метод Джонсона

3.2.2. Трудности оригинального метода

3.2.3. Модифицированный вариант метода

3.2.4. О выполнении условий на контактной границе

3.2.5. Сравнение и тестирование

3.3. Алгоритмы расчета граничных условий в методе размытых частиц (БРН & ХБРН)

3.4. Новый алгоритм расчет условий на контактной и свободной поверхностях

3.4.1. Изложение сути предлагаемого метода

3.4.2. Расчет условий на свободной поверхности

3.4.3. Расчет условий на контактной границе

3.5. Совмещение методов: БРН-БРН, вРН-Уилкинс и условия, необходимые для совмещения ЯРН с другими численными методами решения задач высокоскоростного соударения

3.6. Аппроксимация граничных условий для уравнений теплопереноса

3.6.1. Аппроксимация граничных условий для конечно-разностной схемы решения уравнения теплопереноса

3.6.2. Аппроксимация граничных условий для вариационной схемы Х8РН решения уравнения теплопереноса

3.7. Тестирование алгоритмов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование взаимодействия частиц с подложкой при высокоскоростном нанесении покрытий»

Современные технологии упрочнения и защиты поверху остей высоконагруженных деталей и механизмов развиваются в направ^Ггении увеличения концентрации энергетического воздействия на обрабатыв^еМуН> поверхность. Существует разнообразное специализированное оборудс^3„^ание (электронно-лучевые пушки, плазмотроны, установки детонацис^11ного напыления и другие), позволяющее получать качественное сцег^Ление разнородных материалов порошков с материалом подложки и тем с^амым создавать нужные покрытия. Однако широкое внедрение новых технологий в ряде случаев сдерживается отсутствием научно — обоснованных кР*5~гериев выбора материалов покрытия, режимов обработки и 0ТСУгсггвием теоретических моделей поведения получаемых изделий в Условиях напряженно - деформированного состояния. Необходимо отметить., что данном направлении ведутся интенсивные исследования целым рядом научных коллективов: в Тульском государственном университет^ ПОд руководством профессора Судника В.А. [1], в Липецком государственном техническом университете под руководством доктора технически^ наук Бабкина A.C. [2], в Институте электросварки им. Е.О. Патона на Украц^ pj под руководством академика Патона Б.Е, доктора технических наук Махненко В.И., и некоторых других. За рубежом работы в данном направлении ведутся в Пенсильванском университете, CUL\3 под руководством профессора Debrow Т. [4], [5]. В то же время Hejjb3iI Не отметить трансформацию научных взглядов и идей, вызванную новой научной парадигмой - физической мезомеханикой структурно неоднородных сред [6], развиваемой академиком Паниным В.Е и его учениками и последователями [7-9]. Благодаря исследованиям, выполненным в это^ области в последние 10-15 лет [10-16] стала понятна роль внутренних границ и механизмы их влияния на поведение материала при различных механических воздействиях. А это, в свою очередь, обусловило необходимость в создании новых расчетных методов и моделей для изучения динамики движения границ и формирования поверхности. Формированию неравновесных состояний в поверхностных слоях посвящены работы [17-19].

В то же время круг решаемых задач ограничен исследованием отдельных прикладных вопросов. Это связано как со сложностью математической постановки проблемы, так и трудностями ее численного решения. Другие (упрощенные) методы не дают должного результата. Поэтому актуальной научной задачей является комплексное решение трех взаимосвязанных аспектов: подбор порошкового материала покрытия — расчет различных технологических процессов нанесения покрытий — расчет напряженно - деформированного поведения материалов с покрытием при различных термомеханических воздействиях.

Актуальной научной' задачей является моделирование различных технологических процессов нанесения покрытий. Целью данной работы является моделирование процессов ударного нанесения покрытий. При таком методе нанесения покрытий используется метательное устройство, представляющие собой трубу, заполненную взрывающейся смесью газов, снабженную дозатором для помещения в нее необходимого количества напыляемого вещества в виде мелких частиц (рисунок 1.1) [20]. Частицы напыляемого вещества помещаются в подготовленную газовую смесь, после чего смесь поджигается. Образующаяся в газе ударная волна сообщает частицам некоторую скорость, а горение газа и связанное с ним тепловыделение приводят к разогреву частиц. Варьируя размеры частиц, состав смеси, время поджигания и место введения частиц в газовую трубу можно менять скорость и температуру получающегося потока напыляемых частиц. к

Рис. 1.1. Схема установки для ударного нанесения покрытий.

1 - искровой разряд, 2 - облако частиц, 3 - дозатор, 4 - облако разогнанных частиц, 5 - поверхность и взаимодействующие с ней частицы, 6 — деталь, на которую наносится покрытие.

Разогнанные таким образом частицы при соударении с поверхностью обрабатываемой детали прилипают к ней, чем и обеспечивается нанесение покрытия.

Существующие установки позволяют получить поток частиц, Летящих со скоростями до 2000м/с и температурой до 2000К. Спектр наносимых материалов очень широк, фактически это может быть любой мелкодисперсный порошок. Размеры частиц так же колеблются в Широких пределах: от нескольких десятков нанометров до сотен и тысяч микрон Особенности технологии подразумевают импульсный режим работы, то есть заполнение трубы газом, впрыск в трубу напыляемого материала, подзкИгание газовой смеси, переход на новый цикл.

В настоящее время методы контроля температуры и скорости частиц достаточно хорошо развиты и в эксперименте удается получить стабильные и хорошо повторяемые результаты. Однако сам процесс соударения горячей частицы с обрабатываемой поверхностью изучен плохо. Методы исследования здесь в основном экспериментальные и не позволяют получить точную картину явлений, происходящих собственно в момент соударения

Подробную информацию о протекающих при соударении процессах к можно получить только путем математического моделирования.

Широкий диапазон температур, получающихся на выходе частиц, и их скоростей позволяет полностью контролировать процесс напыления. Однако теоретических исследований влияния параметров потока частиц на процесс напыления и, в конечном итоге, на качество обрабатываемой поверхности нет.

Сами по себе вопросы высокоскоростного соударения тел глубоко и подробно прорабатывались разными авторами, в частности в работах [21-25]. При этом основным методом исследования являлось численное моделирование. Вопросам построения разностных схем, выбору сеток, реализации граничных условий и другим аспектам численного решения-соответствующих уравнений» так же посвящено большое количество работ, начиная от классических учебников по численным методам, таких как [26], [27] и заканчивая работами, посвященными деталям и тонкостям реализации, выбору сеток и алгоритмам разделения узлов и т.п. [25], [28-37], [82].

Высокий верхний предел скоростей частиц и их малый размер ведут к тому, что при моделировании поведения частиц в момент соударения с обрабатываемой поверхностью необходимо рассматривать процессы и упругого и упруго-пластического деформирования материалов, и при этом из-за малого- размера частиц нельзя отказываться от рассмотрения процессов теплопереноса [38].

Следует отметить, что изменения температуры могут оказывать значительное влияние на свойства материалов, тем более что диапазон температур допускает сильное изменение физико-механических свойств и может включать точки фазовых переходов и плавления/кристаллизации. Этот факт требует полноценного учета теплопроводности и зависимости свойств среды от температуры.

При напылении покрытий таким способом используются не только и даже не столько чистые материалы, сколько порошки различного рода керамик и смесевые материалы. Это требует в каждом отдельном случае искать соответствующие уравнения состояния и параметры материалов [39], [40].

Из всего вышесказанного можно выделить следующие основные моменты:

Моделирование процесса высокоскоростного напыления горячих частиц требует совместного решения уравнений динамики деформируемого твердого тела и теплопроводности.

Низкое значение минимальной скорости частиц (порядка 50 м/с) требует полноценного учета граничных условий (в отличие от гиперскоростного соударения со скоростями более 2 км/с) и не позволяет использовать для этого упрощенные подходы.

Природа материалов частиц (смеси и керамики) требует специального метода построения уравнений состояния для каждого расчета, так как экспериментальное определение параметров этого уравнения для каждого состава среды слишком затратно.

Высокий верхний предел скорости (2000 м/с) накладывает ограничения на использование сеточных методов. Имеющие место в этом случае деформации приводят к столь значительным искажениям- сеток, что возникающие погрешности становятся неприемлемо большими, а зачастую ведут к аварийному завершению счета без получения сколь-нибудь стоящих результатов.

Моделирование соударения нескольких частиц или частиц произвольной формы не позволяет заранее выделить участки контактных и свободных границ и определить тип граничных условий на них. Необходимо использовать какой-либо алгоритм автоматического построения границ и определения типов условий на них.

Так как обычно для процесса соударения горячей частицы с холодной подложкой характерно то, что материал частицы подвергается гораздо большим деформациям, чем материал подложки, необходимо иметь возможность применять разные методы моделирования для частиц(ы) и подложки.

Актуальность и новизна

Актуальность работы определяется промышленной важностью рассматриваемых процессов высокоскоростного нанесения покрытий и их недостаточной изученностью. Новизна работы заключается в использовании сложных математических моделей, адекватно описывающих происходящие при высокоскоростном нанесении покрытий процессы, разработке и применении новых численных методов решения уравнений механики деформируемого твердого тела, создании алгоритмов совмещения разных численных методов в рамках единого программного комплекса и применении его к решению поставленных задач.

Цели исследования

Целью диссертационной работы является развитие алгоритмов и методов численного моделирования процессов высокоскоростного соударения разогретых частиц с материалом подложки, протекающих в ходе ударного нанесения покрытий; численное моделирование процессов деформирования частиц наносимых покрытий; численное моделирование процессов охлаждения и теплопереноса в наносимых частицах и подложке.

Научная и практическая значимость работы

Научная значимость работы заключается в том, что расширен класс задач, решаемых методом размытых частиц.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы, позволяющие проводить численное моделирование высокоскоростных процессов нанесения покрытий с учетом разогрева частиц, что способствует сокращению времени и материальных ресурсов на проведение экспериментальных исследований, так как некоторая их часть может быть заменена компьютерными экспериментами по предлагаемым численным моделям.

Результаты работы использованы при выполнении следующих программ:

Проект 2.1.2.2398 «Теоретическое и экспериментальное исследование механизмов взаимодействия твердых тел при скоростях соударения до 8 км/с» аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)" (Минобрнауки); Проект № 2.1.2.2509 «Комплексное теоретико-экспериментальное исследование закономерностей процессов разрушения перспективных материалов и конструкций при ударном нагружении в диапазоне скоростей до 8 км/с» аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)" (Минобрнауки); Договор 01/09 с НПО им С.А.Лавочкина на тему «Экспериментальное определение предельной стойкости элементов конструкции КА «Спектр-Уф» и противометеорной защиты при воздействии высокоскоростных частиц; Договор № 05/10 с НПО им С.А.Лавочкина на тему «Численное исследование защитных свойств сеточных конструкций защитных экранов и рациональное проектирование их весовых характеристик»; Грант РФФИ №10-08-00633 «Теоретико-экспериментальное исследование ударного нагружения перспективных материалов при скоростях взаимодействия до 8 км/с»; Грант РФФИ № 10-08-00453 «Электроимпульсная генерация металлического спрея и его возможные применения в инновационных технологиях»; Грант РФФИ №07-08-00623 Исследование процесса деформирования и разрушения льда при импульсном нагружении (2007-2009); 05-08-01196а-Компьютерное моделирование поведения защитных материалов и конструкций в условиях высокоскоростного удара и взрыва (2005-2007).

По результатам работы получены два акта внедрения (ОАО «Манотомь»).

ОСНОВНЫЕ ЗА ДАЧИ РАБОТЫ

3. пешения динамических задач механики Модификация метода ИЛК ^^ ^дд проведения расчетов на деформирУеМОГО с;™Г;ро1ныхсетК». ногоугопьн—.рда динамических задач механики модификация МеТОДаУ—а^ ^ ^^ ^ „ деформируемого твердог „„„„ для повышения пользованием локального условия быстродействия. г р ^^ повышения . „„мши контактного алгори

• Модификация омошью решений. точности получаемых ^ повышения точности

4 Модификация метода размыть« ^ его к получаемых с его помощью решен рассматриваемому классу зада. ^ ^^ свободных разработка алгоритма расчета у ^

Г^аУилкинсаиметодар^ть« разработка алгоритм го астицдяярешениязад^с т? ^ ^^ моделирования пр £ТСЯ в спедуюшем:

Й^12^' метода Унлкииса моделирования упругоб°таНа МОДИФ" „ользованием сеток с произвольной формой веских течении ваннда) и локально™ условия ячеек (в частности - неструктур устойчивости. контактаого алгоритма Г.Р. Джонсона дл*

2. реотана решения задач со сложны Ф^Р ^ ^ ^ обладаюЩая

3 —™—с подходами

5.

6. 7. на свободных и

5. тя, УСЛОВИЙ на свооодш— разработан- алгоритм: ^^^ конгактнькповсрхиост« щ с мсто„ом V— ^ совмешения метода размьггых контактных —^ процесса удар„„го ианессш, покрыт"* ^ разработана Двумернаямодельр^^^ ^ уптьша„т^ рамках моде:,« " ^ теш1омассопереноса на свойс.^ влияние температуры- * проЦ материалов. ^ ^ методов. создан программ^-^

На основе разработанных « «ысокоскоростного соударе^^ комплекс фектов и. с его помощью прове«^ тел С уметом температурныФ«Р ^^ ^^ разогретЬ1^ исследование процесса УД Р частицами. ваетс9 корректность,,, физической ^

З23228^ задач подтверждается сравнением ^ ^ математической ДРУ™* <=Р~ ^ аналитическими * -ленным Р ^ законов хранения, нал^«^ зкепериментальн^мн Данн«^. обоснованностью примен*еь^ сеточной сходимости, теоретической плтгрчтеи.

6. подходов и моделей. на защиту выносятся го численного метода Унлкинса для расчет. Модификация двумерно ^ П0КШ1ЬН0Г0 условия устойчиво^ произвольных сетках и НСПО ^ контак1НЫХ границах скодь«^

Алгоритм аппроксим^ У ^ модафикацию алГорЙТМа сложной формы, предста

Джонсона. к частиц (5РН), который обеслеЧ11Ьает

3. Вариант метода размыть ^^ ^^ сог„асоВанНости повышение точ^сти , ^„ционных узлов и ^

Щ0ИЗВ0Л ^ 1риант метода 5РН включает также алгор^ границ. Предлагаемый вари расчета условий на свободных и контактных поверхностях и технологию совместного использования метода 8РН и метода Уилкхтса.

4 Результаты моделирования процесса высокоскоростного соударения разогретых частиц с подложкой,с учетом температурных эффектов.

Структура и: объем работы

Диссертация состоит из введения:, четырех глав и заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 170 страниц включая 58 рисунков, 4 таблицы, 1 приложение, 154 наименования в

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Черепанов, Роман Олегович

Заключение

Таким образом, в настоящей работе развиты методы численного решения задач механики деформируемого твердого тела: развит метод Уилкинса, существенное развитие получил метод размытых частиц, развит алгоритм Джонсона для расчета условий на контактных поверхностях скольжения; с помощью методов численного моделирования рассмотрены процессы высокоскоростного соударения разогретых частиц с материалом подложки, протекающие в ходе ударного нанесения покрытий. В результате моделирования изучено влияние размеров частиц на особенности процесса нагрева материала за счет пластических деформаций и рассмотрены характерные размеры элементов и областей влияния, при которых влияние процессов теплопереноса становится существенным.

На основе метода Уилкинса:и метода размытых частиц; разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы решения поставленных; задач. В результате работы решены следующие задачи

1. Разработана модификация метода Уилкинса решения динамических задач механики деформируемого твердого; тела для проведения расчетов на многоугольных неструктурированных сетках с использованием локального условия устойчивости

2. Разработана модификация, контактного алгоритма Г.Р. Джонсона для повышения точности получаемых с его помощью решений, в особенности- в угловых точках.

3. Развит метод размытых частиц (8РН)- на основе работ других авторов разработан метод восстановления узловой согласованности, разработаны алгоритмы повышения точности расчета условий на свободных поверхностях, предложен способ реализации граничных условий на контактных границах скольжения.

4. Предложен способ совместного использования метода размытых частиц и метода Уилкинса для решения задач рассматриваемого класса.

Разработанные методы применены к моделированию процессов соударения разогретых частиц с подложкой, определены характерные размеры частиц, при которых кондуктивный теплоперенос оказывает существенное влияние на происходящие процессы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Черепанов, Роман Олегович, 2010 год

1. Страхова Е.А., Ерофеев В.А., Судник В.А. Моделирование плазменно-дуговой наплавки с подогревом токоведущей присадочной проволоки /Известия Тульского гос. ун-та. №2,— Изд-во Тульского гос. ун-та, 2008.-С. 218-225.

2. Бабкин А.С. Разработка научных основ автоматизированного проектирования технологий сварки в защитных газах стальных конструкций: Автореф. дисс. д.т.н., спец. 05.03.06. «Технологии и машины сварочного производства».— М.: 2008. 36 с.

3. Патон Б.Е. Проблемы сварки на рубеже веков. Доклад на международной конференции «Сварка и родственные технологии в XXI веке»// Сварщик.- №1,1999.- С. 3-41.

4. Kumar A. W. Zhang, Debrow Т. Improving reliability of modeling heat and fluid flow in complex gas-metal-arc fillet welding Part I: An engineering physical model// Journal of physics D.- 2005.- Vol. 38.- P: 119-126.

5. Ray B.R., Palmer T.A., Elmer J.W., Debroy T. Heat transfer and fluid flow durng electron beam welding of 304L stainless steel alloy. // Welding research. Vol. 88 - P. 54-60.

6. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / В.Е. Панин, В.Е. Егорушкин, П.В. Макаров и др. -Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995.— Т.1.— 298 е., Т.2.— 320 с.

7. Панин В.Е., Сергеев В.П., Панин А.В Наноструктурирование поверхностных слоев и нанесение наноструктурных покрытий.— Томск,изд-во ТПУ, 2008.- 150 с.

8. Балохонов P.P. Иерархическое моделирование деформации и разрушения материалов композиционной структуры. Дисс. . д.ф.-м.н.— Томск.- 2008.- 306 с.

9. Романова В,А. Моделирование процессов деформации и разрушения в трехмерных структурно-неоднородных материалах. Дисс. . д.ф.-м.н. Томск, 2008.- 298 с.

10. Смолин И.Ю. Моделирование деформации и разрушения материалов с явным и неявным учетом их структуры. Дисс. . д.ф.-м.н. Томск. 2008.-310 с.

11. Стефанов Ю.П. Численное моделирование процессов деформирования: и разрушения геологических сред. Дисс. . д.ф.-м.н- Томск. — 2008.—, 292 с.

12. Смолин И.Ю., Бакеев P.A., Макаров П.В. Численное решение некоторых двумерных задач для упругопластической микрополярно^ среды // Вестник ПГТУ. Математическое моделирование систем ^ процессов.- 2007.-№15.-С. 142-155.

13. Тян A.B., Князева А.Г., Псахье С.Г. Нелинейные эффекты ь поверхностном слое никелида титана в условиях его неравновесной активации импульсным электронным пучком.// Изв. Вузов. Ccpt^ Физика, 2007-Т.50.-№3 — С. 35-42.

14. Лотков А.Н., Псахье С.Г. Князева А.Г. Коваль H.H. и др

15. Солоненко О.П. Высокоэнергетические процессы обработки материалов / О.П. Солоненко, А.П. Алхимов, В.В. Марусин и др. // Новосибирск: Наука, 2000. 425 с.

16. Гавриленко Т., Кирякин А., Николаев Ю., Улъяницкий В. Автоматизированный детонационный комплекс «Обь» для нанесения порошковых покрытий // Современные технологии автоматизации №4. -2006.-С. 46-50.

17. Теоретические и экспериментальные исследования высокоскоростного взаимодействия тел II под ред. A.B. Герасимова. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007г.- 572 с.

18. Зелепугин С.А., Коняев A.A., Сидоров В.Н. Хореев И.Е. Якушев В.К. Экспериментально-теоретическое исследование соударения группы частиц с элементами защиты космических аппаратов // Космические исследования.— 2008.— Т.46—j\r26.— С. 559-570.

19. Фомин В.М. Высокоскоростное взаимодействие тел / Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.А., Шабалин И.И., Бабаков В.А., Куропатенко В.Ф., Киселев А.Б., Тришин Ю.А., Садырин А.И., Киселев СЛ., Головнев И.Ф.,- Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.- 600 с.

20. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Метод свободных элементов для решения задач упругопластических тел в условиях высокоскоростного взаимодействия. // Тр. 13-й Межреспубликанской конференции,

21. Новосибирск, 22-24 июня 1993 г. Численные методы решениязадач теории упругости и пластичности: под ред. Фомина В.М.-—

22. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1995.- С. 206-216.

23. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1972.-400 с.

24. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.-418 с.

25. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Метод свободных элементов. Приложение к решению задач разрушения упругопластических тел в процессе ударного взаимодействия. Новосибирск, 1987. -38с./ Препринт №9-94.

26. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Численная реализация граничных условий в динамических контактных задачах. — Новосибирск, 1987. — 38 е./ Препринт №12-87.

27. Болеста A.B., Головнев И.Ф. Фомин В.М. Исследование процесса соударения сферического кластера меди с жесткой стенкой методом молекулярной динамики // Физическая мезомеханика-2000—Т.3.№5.~ С. 39-49.

28. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Конев A.A., Фомин В.М. Физическая мезомеханика и молекулярно-динамическое моделирование // Физическая мезомеханика. — 1998. —Т. 1. —№1. — С. 21-33.

29. Kosloff, D. and Frazier, G. A. "Treatment of hourglass patterns in low order finite element codes," Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 2.-P. 57-72.

30. Гриднева B.A., Немирович-Данченко M.M. Метод раздвоения точек сетки для численного расчета разрушения твердых тел. — Томск, 1983. — 12 с. Деп. в ВИНИТИ 14.06.83. №3258.

31. Немирович-Данченко М.М., Стефанов Ю.П. Применение конечно-разностного метода в переменных Лагранжа для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах // Геология и геофизика. —1995 .—Т.З 6-JsVi 1. С. 96-105.

32. Садырин А.И. Применение треугольных сеток к решению динамических упругопластических задач // Прикл. Пробл. Прочн. И пластич. Статика и динамика деформируемых систем — Горький — 1983. С. 39-46.

33. Кректулева Р.А., Платова Т.М. О термодинамически полном уравнении состояния смесей в области высоких давлений и температур. В сб. Прикладные вопросы деформируемых тел. Томск, Изд-во Томск, ун-та, 1980.-С. 23-28.

34. Кректулева Р.А., Платова Т.М. О термомеханических свойствах неоднородных смесевых сред в ударной волне. в сб. Механика сплошных сред. Изд-во Томск, ун-та, 1983 - С. 115-122.

35. М.В. Liu, G.R. Liu Restoring particle consistency in smoothed particle hydrodynamics //Applied Numerical Mathematics, V.56 , Issue 1, January 2006.-P. 19-36.

36. Медведев 1~1.11. Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некристаллических систем — Новосибирск: Изд-во СО РАН— 2000. — 214 с.44.