Численное моделирование турбулентной свободной конвекции в цилиндрических емкостях, включая эффекты вращения и сопряженного теплообмена тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Смирнов Сергей Игоревич

• Смирнов Сергей Игоревич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Смирнов Сергей Игоревич

Список обозначений

Введение

1. Литературный обзор

1.1. Исследования конвекции Рэлея-Бенара в стационарной, вертикально ориентированной цилиндрической емкости. Интегральная теплопередача

1.2. Низкочастотные осцилляции крупномасштабной циркуляции. Наклон емкости как способ подавления азимутальной неустойчивости КМЦ

1.3. Влияние термического сопротивления твердых стенок

1.4. Конвекция Рэлея-Бенара во вращающейся емкости

1.5. Методы численного моделирования турбулентной конвекции

2. Общая постановка задач и численный метод

2.1. Геометрия и определяющие уравнения

2.2. Численный метод дробных шагов

3. Турбулентная конвекция Рэлея-Бенара в вертикальной и слабо наклоненной цилиндрической емкости

3.1. Детали постановки вычислительных задач

3.1.1. Безразмерная форма уравнений и

определяющие параметры

3.1.2. Расчетные сетки и другие вычислительные аспекты

3.2. Расчеты конвекции в вертикальной емкости на основе

ILES метода

3.2.1. Конвекция воды (Рг = 6.4)

3.2.2. Конвекция воздуха (Рг = 0.7)

3.2.3. Результаты расчетов конвекции ртути (Рг = 0.025)

3.3. Влияние слабого наклона контейнера и неосесимметричного подогрева горизонтальной стенки: ILES расчеты

3.3.1. Параметры и граничные условия

3.3.2. Конвекция ртути (Рг = 0.025)

3.3.3. Конвекция воды (Рг = 6.4)

3.4. Прямое численное моделирование (DNS) конвекции в слабо наклоненном контейнере

3.4.1. Вычислительные аспекты

3.4.2. Результаты расчетов конвекции ртути и воды

3.5. Использование данных DNS для оценки предсказательных возможностей RANS моделей турбулентности

3.5.1. RANS модели турбулентности и постановка вычислительных задач

3.5.2. Результаты RANS моделирования конвекции ртути

3.5.3. Результаты RANS моделирования конвекции воды

4. Влияние теплопереноса в нижней и верхней стенках на турбулентную конвекцию ртути в вертикальной

цилиндрической емкости

4.1. Детали постановки вычислительных задач

4.1.1. Уравнения и определяющие параметры

4.1.2. Расчетные сетки и другие вычислительные аспекты

4.2. Результаты расчетов

5. Турбулентная конвекция Рэлея-Бенара во вращающейся цилиндрической емкости в условиях сопряженного и

несопряженного теплообмена

5.1. Детали постановки вычислительных задач

5.1.1. Уравнения и определяющие параметры

5.1.2. Расчетные сетки и другие вычислительные аспекты

5.2. Конвекция ртути

5.3. Конвекция воды

5.4. Конвекция воздуха

5.5. Обобщение данных по интегральным тепловым потокам

Заключение

Литература

Приложение А. Модели турбулентности

А.1. Модель k-ю SST

А.2. Модель рейнольдсовых напряжений (Stress-omega model)

Список обозначений

КРБ - конвекция Рэлея-Бенара; КМЦ - крупномасштабная циркуляция; RSM - Reynolds-stress model;

CD - Central-difference, центрально-разностная схема; C - удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); Cu - число Куранта; D - диаметр цилиндра, м;

ei - орт оси координат (/ = х, у, z) f- частота, с"1;

S = (gx>gy>8z)~ускорение свободного падения, м/с2;

H - высота емкости, м; h - толщина твердой стенки цилиндра, м; к - кинетическая энергия турбулентных пульсаций, м2/с2; Nu - число Нуссельта;

n - вектор внешней нормали; n - индекс временного слоя; p - давление, Па; Рг - число Прандтля;

q - вектор теплового потока, Вт/м2;

R - расстояние от текущей точки расчетной области до оси вращения, м; Ra - число Рэлея;

RMS( ) - среднеквадратическое отклонение от среднего; Ro - число Россби;

г - радиальная координата; 5 - площадь, м2; ^ - расстояние до стенки, м; Т - температура, К;

Т0 - температура в условиях гидростатического равновесия, К; t - физическое время, с;

Ь - временной масштаб свободной конвекции, с;

V = - поле скорости, м/с;

V - модуль скорости, м/с;

Уь - масштаб скорости свободной конвекции (скорость плавучести), м/с; х, = (х, у, 2) - декартовы координаты;

х{ = (х', у', 2') - система координат, связанная с цилиндром;

а - азимутальный угол;

в - коэффициент теплового расширения, К-1;

Г - отношение диаметра цилиндра к его высоте;

ДТ - перепад температур между изотермическими стенками, К;

Дt - шаг по времени, с;

5к - масштаб Колмогорова, м;

5б - масштаб Бэтчелора, м;

5у - символ Кронекера;

в - скорость диссипации кинетической энергии турбулентных пульсаций, м2/с3;

X - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);

Хе - толщина температурного пограничного слоя, м;

Хи - толщина динамического пограничного слоя, м;

ц - коэффициент динамической вязкости, Па-с;

V - коэффициент кинематической вязкости, м2/с; р - плотность, кг/м3;

х -тензор вязких напряжений, Н;

ф - угол наклона емкости;

Г2 - объем расчетной ячейки, м3;

ю = - угловая скорость вращения, с"1.

Индексы:

( )с - холодная стенка;

( )е/ - эффективный параметр подобия (в сопряженной постановке), определяемый по осредненному перепаду температур на границах раздела сред; ( )/ - жидкость; ( )н - горячая стенка; ( )5 - стенка;

( ) - безразмерная величина, осредненная по Рейнольдсу величина в рамках

ЯЛКБ расчетов, линейная интерполяция;

( )' - пульсационная величина;

( )а - осредненная по поверхности величина;

( )г - осредненная по времени величина;

( ),А - осредненная по времени и поверхности величина.

Введение

Свободноконвективные течения, возникающие вследствие пространственной неоднородности плотности в полях массовых сил, уже на протяжении многих лет привлекают внимание исследователей. Это вызвано широким распространением таких течений в ряде технических приложений, в частности, при производстве полупроводниковых материалов (выращивание кристаллов из расплава по методу Чохральского), в ядерной энергетике при использовании жидкометаллических теплоносителей, в системах охлаждения электроники, утилизации солнечной энергии и т.п. (см., например, работы [1-3]. Исследование свободноконвективных течений имеет и существенное фундаментальное значение (например, такие течения реализуются в океанах и внешнем ядре Земли, в атмосферах планет и т.п.) [4-7]. Достижения в этих областях отражены в большом количестве научных монографий и публикаций [820]. В том числе огромный вклад в исследования конвективного переноса внесли советские ученые. Их достижения отражены в работах начала 1950-хх - конца 1980-хх гг. [8-11, 13, 14].

Классической модельной задачей свободной конвекции в поле силы тяжести является течение в плоском горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу и охлаждаемом сверху - так называемая конвекция Рэлея-Бенара (КРБ). Однако в современной литературе под КРБ понимают конвекцию не только в горизонтальном слое, но также и в подогреваемых снизу замкнутых емкостях различной геометрии, подогреваемых снизу. В диссертационной работе рассматривается КРБ в цилиндрической емкости. Изучению КРБ посвящено большое число работ (см., например, обзорные работы [21, 22]).

Характерной особенностью конвективного течения в цилиндрической емкости является наличие крупных вихревых структур, которые формируют так называемую крупномасштабную циркуляцию (КМЦ). В случае емкости единичной высоты, по отношению к диаметру, КМЦ представляет из себя единичный вихрь, особенностью которого является способность время от времени совершать случайные перемещения (осцилляции) в азимутальном направлении. Азимутальные перемещения КМЦ подвержены влиянию внешних сложно контролируемых факторов, в качестве которых в экспериментальных исследованиях могут выступать: некоторая неоднородность подогрева стенок, несовершенство геометрии стенок, слабые вибрации под действием внешних возмущений и т.д. Азимутальная неустойчивость КМЦ проявляется и при численном моделировании, где в качестве «слабых» факторов, влияющих на индивидуальный характер конвекции в емкости, выступают несимметричность расчетной сетки и особенности реализации численного алгоритма. До настоящего времени расчетным исследованиям влияния «слабых» внешних факторов на турбулентную КРБ в цилиндрической емкости уделялось мало внимания.

Перемещения КМЦ в азимутальном направлении затрудняют процесс получения статистических данных о трехмерной структуре КМЦ и локальных характеристик турбулентного переноса. Ситуация улучшается, если искусственно ввести некоторый стабилизирующий внешний фактор, посредством которого КМЦ оказывается «зафиксированной» в определенном азимутальном положении. Например, в ряде экспериментальных работ было показано, что наклон емкости на небольшой угол (порядка 10) практически полностью «фиксирует» КМЦ в определенном положении. Систематические численные исследования, направленные на получение и анализ статистических данных для КМЦ в слабо наклоненной цилиндрической емкости при существенно различных числах Прандтля, в литературе практически не представлены.

Одним из вопросов, который до настоящего времени также остается мало исследованным, является влияние кондуктивного теплопереноса в ограничивающих жидкую область горизонтальных стенках на турбулентный теплообмен в емкости. Представляется, что наиболее существенным оно может оказаться в тех случаях, когда теплопроводности жидкости и твердых стенок оказываются сопоставимыми.

В связи с широким распространением КРБ в природе и технике, еще одной важной задачей является исследование влияния вращения емкости на структуру течения и теплоотдачу. Причем, если для воды и воздуха накоплен большой объем экспериментальных и расчетных данных, то число работ, в которых изучается поведение жидкометаллических теплоносителей во вращающихся емкостях относительно мало, особенно в отношении постановок с учетом влияния кондуктивного теплопереноса в горизонтальных стенках конечной толщины.

Настоящая работа направлена на исследование турбулентной свободной конвекции жидкости в цилиндрических емкостях при помощи численного моделирования. Среди используемых сегодня численных подходов к описанию турбулентных течений все более востребованным является метод прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation, DNS). Данный метод предполагает разрешение всех составляющих движения и, соответственно, является наиболее строгим и надежным подходом к моделированию турбулентности. Однако разрешение всех масштабов турбулентного движения сопряженно с большими требованиями к вычислительным ресурсам, которые очень быстро увеличиваются при продвижении вверх по числу Рейнольдса. В связи с этим большую популярность заслужил и метод «недоразрешенного» прямого численного моделирования (Under-resolved DNS), в котором роль физической диссипации на малых масштабах неявно выполняют диссипативные свойства численной схемы [23-26]. В последнее время метод «недоразрешенного» DNS все чаще позиционируется как метод ILES (Implicit Large Eddy Simulation).

Данный метод в настоящее время широко применяется и для расчета турбулентных свободноконвективных течений. В качестве примера продуктивного применения ILES подхода можно отметить работы [25, 26], в которых численная диссипация вводится благодаря свойствам схемы КАБАРЕ.

Наименее ресурсозатратным подходом к численному моделированию турбулентных течений является метод на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS). Несмотря на огромное количество разработанных на сегодняшний день полуэмпирических моделей турбулентности, результаты RANS расчетов, как правило, оказываются сильно чувствительными к выбору той или иной модели, а иногда и принципиально неспособны описать характерные особенности, свойственные конвективным течениям [27]. Однако применение RANS подхода может быть весьма целесообразным в тех случаях, когда в течении доминирует некоторая глобальная вихревая структура (например, КМЦ). Диапазон частот, отвечающих низкочастотным составляющим движения КМЦ, может довольно хорошо воспроизводиться RANS моделями, что позволяет удовлетворительно воспроизводить средние поля физических величин, кинетическую энергию турбулентности (при расчетах по двухпараметрическим моделям) и моменты второго порядка (при использовании моделей рейнольдсовых напряжений).

Исходя из изложенного выше, определены основные цели работы. Диссертационная работа направлена на:

• применение различных вычислительных подходов для численного моделирования турбулентных режимов свободной конвекции Рэлея-Бенара в стационарной и вращающейся цилиндрической емкости при различных значениях определяющих параметров задачи (числах Прандтля, Рэлея и Россби);

• численное исследование влияния «слабых» внешних факторов (наклон емкости, неоднородность нагрева горизонтальной стенки, структура вычислительной сетки) на поведение КМЦ в стационарной емкости;

• получение по методу «полного» DNS статистических данных о трехмерной структуре крупномасштабной циркуляции, локальных и интегральных характеристик турбулентного переноса в случае конвекции, развивающейся в слабо наклоненной цилиндрической емкости;

• исследование возможностей полуэмпирических RANS моделей турбулентности разного уровня сложности по предсказанию статистических характеристик турбулентной КРБ в слабо наклоненной емкости;

• численное исследование влияния кондуктивного теплопереноса в горизонтальных стенках конечной толщины на структуру турбулентной конвекции ртути в стационарной и вращающейся цилиндрической емкости;

• получение новых расчетных данных о влиянии числа Прандтля на перестройку структуры турбулентной КРБ и изменения в интегральной теплопередаче с ростом интенсивности вращения цилиндрической емкости. Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1) Численно исследовано стабилизирующее действие слабого наклона оси емкости и неоднородности нагрева нижней стенки на азимутальную ориентацию глобального конвективного вихря (КМЦ), присущего турбулентной конвекции Рэлея-Бенара в стационарной цилиндрической емкости единичной высоты.

2) Посредством прямого численного моделирования турбулентной конвекции в слабо наклоненной цилиндрической емкости, заполненной водой или ртутью, получен и проанализирован большой объем статистических данных о трехмерной структуре КМЦ, полям рейнольдсовых напряжений и турбулентного потока тепла. Полученные статистические данные применены в качестве тестовых для оценки возможностей двух популярных, разного уровня сложности,

ЯЛКБ моделей турбулентности по предсказанию локальных и интегральных характеристик турбулентной конвекции с определяющей ролью КМЦ.

3) На основе вихреразрешающего подхода исследовано влияние нестационарного кондуктивного теплопереноса в разнонагретых горизонтальных стенках конечной толщины на структуру турбулентной конвекции ртути и интегральный конвективный теплоперенос в цилиндрической емкости, включая случай её вращения вокруг собственной оси.

4) Получены новые расчетные данные о влиянии числа Прандтля на характер изменений в интегральной теплопередаче и общую перестройку структуры турбулентной конвекции Рэлея-Бенара с ростом интенсивности вращения емкости единичной высоты.

Практическая ценность работы

Опыт применения различных подходов к численному моделированию турбулентной конвекции жидкости в цилиндрических емкостях может быть использован при разработках расчетных методик разного уровня сложности, предназначенных для предсказания характеристик теплообмена в емкостях сложной формы, типичных для реальных теплообменных устройств.

Результаты расчетов с учетом эффектов сопряженности теплообмена и вращения емкости могут быть использованы, в частности, при отработках методов численного моделирования гидродинамики и теплообмена в установках для выращивания кристаллов полупроводников по методу Чохральского.

Данные о полях рейнольдсовых напряжений, полученные по методу прямого численного моделирования для случая конвекции с КМЦ в слегка наклоненной полости могут быть использованы в исследованиях, направленных на тестирование различных полуэмпирических моделей турбулентности.

Основные положения, выносимые на защиту

1) Результаты численного моделирования турбулентных режимов свободной КРБ в стационарной и вращающейся цилиндрической емкости при

различных значениях определяющих параметров задачи (числах Прандтля, Рэлея и Россби) с использованием различных вычислительных подходов;

2) Результаты численного исследования возможности азимутальной «фиксации» КМЦ посредством слабого наклона емкости или введения неоднородности нагрева горизонтальной стенки;

3) Статистические данные о трехмерной структуре КМЦ, локальные и интегральные характеристики турбулентного переноса в случае конвекции ртути или воды, развивающейся в слабо наклоненной цилиндрической емкости;

4) Результаты численного исследования влияния кондуктивного теплопереноса в горизонтальных стенках конечной толщины на конвективный теплоперенос при КРБ ртути в стационарной или вращающейся цилиндрической емкости;

5) Расчетные данные о влиянии числа Прандтля на перестройку структуры турбулентной КРБ и изменение в интегральной теплопередаче с ростом интенсивности вращения цилиндрической емкости.

Достоверность полученных результатов

Расчеты проведены с использованием разработанного в СПбПУ программного кода 81№УЕ1а§-8 [28], обстоятельно верифицированного посредством сопоставления результатов решения большого числа задач с представленными в литературе аналитическими и надежными численными решениями, а также в ходе кросс-верификационных расчетов с применением лицензионных программных гидродинамических пакетов общего назначения.

Полученные в работе результаты численного исследования турбулентной КРБ в стационарной вертикально ориентированной емкости хорошо согласуются с расчетными данными других авторов, представленными в литературе для схожих условий. Результаты расчета интегральной теплоотдачи при конвекции ртути в емкости, вращающейся с различной угловой скоростью находятся в хорошем соответствии с опубликованными экспериментальными данными.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование турбулентной свободной конвекции в цилиндрических емкостях, включая эффекты вращения и сопряженного теплообмена»

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих российских и международных конференциях и семинарах: XVI Международная конференция «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2016); XX Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 2017); XXI школа-семинар молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева (Санкт-Петербург, 2017); Научно-техническая конференция «Проблемы применения и верификации CFD кодов в атомной энергетике» (Нижний Новгород, 2018); Седьмая Российская Национальная конференция по теплообмену (РНКТ-7) (Москва, 2018); XLVII Неделя науки СПбПУ (Санкт-Петербург, 2018); Доклад на видеосеминаре по аэромеханике ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбПУ - НИИМ МГУ (Санкт-Петербург, 2018); IV Всероссийская научная конференция «Теплофизика и физическая гидродинамика» с элементами школы молодых ученых (Ялта, 2019).

Публикации по теме работы и личный вклад автора

Основные результаты исследований опубликованы в 7 работах, включая 4 статьи, опубликованные в изданиях из списка ВАК, в том числе 2 статьи, индексируемые в базах Web of Science и Scopus, а также 3 статьи в трудах конференций различного уровня.

Все представленные расчеты выполнены лично автором диссертации. Автором были разработаны отдельные компоненты программного кода SINF/Flag-S с целью учета действия массовых сил, а также ряд процедур для вычисления статистических данных.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, состоящего из 144 наименований, и приложения. Работа изложена на 153 страницах текста, включая 11 таблиц и 96 рисунков.

1. Литературный обзор

Первые исследования КРБ были проведены уже более века назад. Примерно в 1900 г. Бенар заметил, что в равномерно подогреваемом снизу слое вязкой жидкости с открытой поверхностью движение потока формируется в виде совокупности правильных шестигранных структур [31]. Через несколько лет Рэлей опубликовал свою теоретическую работу, посвященную конвективной неустойчивости жидкого слоя [32], в которой был получен критерий равновесия невязкой среды. Через несколько десятков лет, в работах [10, 33], посвященных проблемам гидродинамической неустойчивости течения, было показано, что при некотором критическом значении числа Рэлея, покоящееся состояние жидкой среды становится неустойчивым и формируется ячеистая структура течения.

На сегодняшний день накоплен большой объем экспериментальных и расчетных работ, посвященных исследованию турбулентной КРБ в областях с различной геометрией в широком диапазоне чисел Прандтля и Рэлея (в качестве примера см. обзорные работы [21, 22]).

1.1. Исследования конвекции Рэлея-Бенара в стационарной, вертикально ориентированной цилиндрической емкости. Интегральная теплопередача

Среди работ, посвященных изучению турбулентной КРБ в замкнутых полостях, имеется большой объем экспериментальных и численных исследований конвекции жидкости в цилиндрических емкостях с различным отношением диаметра емкости к ее высоте (Г = D/H). Одними из первых экспериментальных исследований турбулентной конвекции жидкости, развивающейся в цилиндрическом контейнере, являются работы [34, 35], выполненные для различных сред в широком диапазоне чисел Рэлея. Кроме того, существует

большой объем более поздних исследований КРБ, выполненных для сред с умеренными числами Прандтля, характерных для воды (Рг = 4 - 6) [36-41] и воздуха (Рг = 0.7 - 1) [39, 42-45], а также сред с низкими числами Прандтля, Рг = 0.01 - 0.025 [36, 46-51], характерных для жидкометаллических теплоносителей. Данные исследования охватывают широкий диапазон изменений параметра Г. Из перечисленных экспериментальных работ можно отметить ряд публикаций, в которых отношение сторон равнялось единице [36, 38, 40-43, 46, 47].

Среди численных исследований наибольший объем работ выполнен для сред с умеренными числами Прандтля Рг > 1 [52-62], из которых для емкости с единичным отношением сторон можно отметить [54, 57-61]. Гораздо меньшее число работ посвящено изучению турбулентной конвекции при низких числах Прандтля [63-67].

Несмотря на большой объем научных публикаций по данной тематике, как правило, акцент сделан на проведение исследований при числах Рэлея, характерных для развитого турбулентного течения, Яа > 108. Исследования при меньших числах Рэлея содержатся в относительно небольшом числе публикаций и в основном направлены на исследования конвекции жидкометаллических теплоносителей [36, 46, 47, 56, 63].

Расчетные и экспериментальные исследования конвекции воды в цилиндрической емкости при числах Рэлея Яа = 106 и 108 и соответствующие интегральные числа Нуссельта, (Ки)^, приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Расчетные и экспериментальные значения числа Нуссельта в случае конвекции воды при Яа = 106 и 108.

Яа = 106 Яа = 108

Г Рг <Ки>а Литер. источник Г Рг <Ки>а Литер. источник

8 6.8 8.3 Эксп. [35] 3 4 30.0 Эксп. [37]

12.8 4 8.1 Эксп. [37] 1 4 34.1 Эксп. [37]

2 6.4 8.2 Эксп. [68] 1 4.4 33.4 Эксп. [40]

6 6.9 8.2 Эксп. [69] 1 4.4 32.6 Расч. [54]

1 6.4 9.0 Расч. [70] 1 5.2 33.3 Расч. [58]

0.5 7 8.0 Расч. [71] 1 6.4 32.6 Расч. [60]

1 4.4 33.2 Расч. [60]

4.8 28.2 Эксп. [69]

1 6.4 33.0 Расч. [70]

1 6.4 32.5 Расч. [72]

1 4.4 32.9 Расч. [73]

6.3 6.7 30.8 Расч. [74]

Можно отметить, что при Яа = 106 проведен относительно небольшой объем исследований. Для случая, соответствующему единичному отношению сторон, имеется всего лишь единичный расчет [70]. При этом следует отметить, что интегральное число Нуссельта, полученное в [70], заметно отличается от результатов других расчетных и экспериментальных работ, выполненных как при большем, так и при меньшем значениях параметра Г (рисунок 1.1). За исключением приведенного в [70] значения (Ки>г„4 = 9.0, интегральные числа Нуссельта, полученные в других экспериментальных и численных исследованиях, лежат в интервале 8.15 ± 0.15. Скорее всего, существенное отклонение полученного в [70] значения от указанного интервала обусловлено закравшейся в работе [70] технической ошибкой именно для случая конвекции в стационарной емкости при Яа = 106.

Рисунок 1.1 - Зависимость интегрального числа Нуссельта от параметра Г. Символы показывают данные, полученные для конвекции воды при Ra = 106 в различных экспериментальных и численных работах (см. таблицу 1.1).

Большое число экспериментальных и расчетных исследований проведено при Ra = 108 (таблица 1.1). За исключением разве что экспериментов [37, 69], выполненных при более высоких параметрах Г, наблюдается хорошее согласие полученных в разных работах интегральных чисел Нуссельта между собой.

Для случая более низких чисел Прандтля набор литературных данных при единичном отношении сторон представлен в таблицах 1.2 (Рг = 0.7 - 0.8) и 1.3 (Рг = 0.025).

Таблица 1.2. Расчетные и экспериментальные значения интегрального числа Нуссельта в случае конвекции для Ra = 106 при Pг = 0.7 - 0.8.

Рг <Ки>а Литер. источник

0.7 10.3 Эксп. [43]

0.7 8.37 Расч. [59]

0.7 8.65 Расч. [61]

0.7 8.6 Расч. [75]

0.8 8.6 Расч. [76]

Таблица 1.3. Расчетные и экспериментальные значения интегрального числа Нуссельта при Рг = 0.025.

Яа <Ки>а Литер. источник Яа <Ки>а Литер. источник Яа <Ки>а Литер. источник

106 6.46 Эксп. [46] 107 9.25 Эксп. [36] 108 16.8 Эксп. [36]

5.59 Расч. [63] 12.0 Эксп. [46] 22.4 Эксп. [46]

5.55 Расч. [64] 10.1 Расч. [66] 19.1 Расч. [66]

5.43 Расч. [66] 9.11 Эксп. [78]

5.66 Расч. [77]

В отличие от результатов, полученных в случае турбулентной конвекции воды в цилиндрической емкости, при более низких числах Прандтля (Рг = 0.7 -0.8 и 0.025) наблюдается довольно сильное расхождение расчетных и экспериментальных данных. Данное несоответствие может быть связано с перетеканием тепла в экспериментах через стенки контейнера, что требует дополнительных исследований.

1.2. Низкочастотные осцилляции крупномасштабной циркуляции. Наклон емкости как способ подавления азимутальной неустойчивости КМЦ

При строго вертикальной ориентации цилиндра и осесимметричных граничных условиях у КМЦ нет преимущественного азимутального положения и поэтому ничто не препятствует ей время от времени совершать случайные перемещения в азимутальном направлении. Экспериментальные исследования подтверждают это (в качестве примера см. рисунок 1.2, заимствованный из работы [79]): в большинстве случаев присутствуют медленные низкочастотные изменения ориентации КМЦ, имеющие сильно нерегулярный характер [36, 78, 80-82]. В качестве исследуемых сред, как правило, выступают жидкие металлы [36, 78] и среды с числами Прандтля, характерными для воды [36, 80-82]. В

частных случаях азимутальное поведение КМЦ определяется весьма малыми сложно контролируемыми отклонениями от осевой симметрии, всегда имеющими место в лабораторной модели.

Следует отметить, что аналогичные явления наблюдаются не только в цилиндрических, но и в кубических емкостях. В качестве примера можно отметить экспериментальные работы [83-85], выполненные для различных сред: воды [83, 84] и воздуха [85].

Рисунок 1.2 - Изменения во времени ориентации КМЦ, полученные при Pr = 5.3: а) Г = 1, Ra = 4.7-109, б) Г = 0.5, Ra = 5.3 1010. Результаты заимствованы из [79].

Азимутальная неустойчивость КМЦ проявляется также в многочисленных численных экспериментах, посвященных исследованиям переходных и турбулентных режимов КРБ при числах Прандтля, характерных для жидких металлов [65, 86], воды [76, 86, 87] и воздуха [85]. При этом поведение КМЦ в численных исследованиях может быть вызвано несимметричностью расчетной сетки или особенностями, связанными с реализацией численного алгоритма.

Случайные смены ориентации КМЦ в азимутальном направлении не единственная особенность рассматриваемого конвективного движения. Оказывается, что, помимо азимутальных осцилляций, КМЦ может исчезать на короткий промежуток времени с последующим возрождением с совершенно иной ориентацией (cessation). Кроме того, данному течению присущи еще два вида осцилляций: «плескания» и «скручивания» (sloshing and torsional oscillations), схематически изображенных на рисунке 1.3. Характерные времена данных осцилляций, как правило, на порядок меньше, чем характерные времена

азимутальных осцилляций. Данные особенности КМЦ экспериментально изучались в работах [79, 88-91]. Осцилляции «плескания» и «скручивания» реализуются и в расчетных исследованиях (см., например, работу [92] и ссылки в ней).

Рисунок 1.3. - Схематичное изображение движения КМЦ: а) осцилляции скручивания, б) сдвиговые осцилляции. Иллюстрации заимствованы из [91].

Случайные смены азимутальной ориентации КМЦ затрудняют процесс получения осредненных трехмерных полей физических величин, характеризующих мелкомасштабную фоновую турбулентность. «Фиксация» КМЦ в определенном азимутальном положении может достигаться путем введения стабилизирующего внешнего фактора, в качестве которого, как правило, выступает небольшой наклон емкости. Данный подход широко используется в экспериментальных исследованиях, проведенных для сред с Рг = 0.025 [36] и Рг = 4 - 6 [36, 79, 88, 90, 93-96]. Например, по приведенному в [36] графику распределения температуры в точке, расположенной на границе раздела жидкость/твердая стенка от угла наклона емкости (рисунок 1.4), получено, что для Рг = 0.025 наклон контейнера на ф ~ 10 практически полностью «фиксирует» КМЦ в определенном положении.

-о -г 0 2 < 5 в L_ilia_j

Tilt angle (degrees) 1 i

Рисунок 1.4 - Зависимость осредненного по большой временной выборки перепада температур от угла наклона емкости (слева) при Г = 1, Рг = 0.025,

Ra = 3.6-108. Значения температуры фиксировали термопары (справа), расположенные на границе раздела жидкость/твердая стенка. Результаты

заимствованы из [36].

В противоположность довольно большому числу экспериментальных работ, посвященных исследованию влияния малого наклона контейнера на поведение КМЦ, в литературе отсутствуют данные, направленные на изучение влияния неопределенности в тепловых граничных условиях (например, неизотермичность нагрева стенок). Кроме того, отсутствуют какие-либо численные исследования влияния наклона емкости, неизотермичности нагрева стенок, а также топологии вычислительной сетки на азимутальную неустойчивость КМЦ.

Соответственно, одной из основных целей настоящей диссертационной работы является численное исследование стабилизирующего действия слабого наклона оси емкости и неоднородности нагрева горизонтальной стенки на азимутальную ориентацию КМЦ) и получение надежной статистики первого и второго порядков (средних полей скорости и температуры, компонентов тензора рейнольдсовых напряжений и вектора турбулентного теплового потока).

1.3. Влияние термического сопротивления твердых стенок

Исходя из накопленного на сегодняшний день объема литературных данных, посвященных численному моделированию турбулентной КРБ в замкнутых емкостях, можно заключить, что данная задача рассматривается в основном в несопряженной постановке, предполагающей задание тепловых граничных условий на внутренних поверхностях твердых стенок. Горизонтальные стенки, как правило, полагаются изотермическими, а боковая поверхность -адиабатической. Однако задание фиксированных граничных условий на внутренних поверхностях стенок не всегда достаточно точно отвечает реально протекающим физическим процессам. Подобное пренебрежение эффектами сопряженного теплообмена может приводить к значительным погрешностям в предсказании полей скорости и температуры, а также интегрального теплопереноса. Например, в работах [97-99], посвященных рассмотрению рэлей-бенаровской конвекции воды и воздуха в областях с различной геометрией, показывается, что теплопроводность стенок, охватывающих жидкий объем, может существенно влиять на среднее по поверхности число Нуссельта (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 - а) Зависимость среднего числа Нуссельта от числа Рэлея в цилиндрической емкости; б) зависимость среднего числа Нуссельта от числа Грасгофа в кубической емкости. Результаты, полученные при различных значениях отношения коэффициентов теплопроводности жидкой и твердой сред,

заимствованы из работ [97, 99].

Работы, в которых турбулентная КРБ на основе сопряженной постановки рассматривается при умеренных числах Прандтля, в основном направлены на исследование процессов конвекции при варьировании толщины и теплопроводности боковой стенки. Среди экспериментальных исследований можно выделить работы [100, 101]. Кроме того, имеется ряд численных расчетов [75, 102, 103]. В этих работах также отмечается, что учет теплопереноса в твердых стенках может сильно влиять на структуру течения и теплоперенос. Например, из рисунка 1.6, на котором приведены средние профили температуры на границе раздела сред (в зависимости от толщины боковой стенки) вдоль вертикальной координаты [103], видно, что влияние термического сопротивления стенок на поля температуры в жидкой и твердой средах оказывается очень существенным.

Рисунок 1.6 - Распределение температуры на границе раздела сред вдоль вертикальной координаты при Г = 0.5, Pr = 7, Яа = 2-108: а) вдоль всей высоты емкости, б) вблизи горизонтальной стенки. Материал стенок - плексиглас. Цвета линий соответствуют определенной толщине боковой стенки: черная -к = 0.005Я; красная - к = 0.0025Я; синяя - к = 0.0075Я; лиловая - к = 0.0125Я; зеленая - к = 0.025Я Результаты заимствованы из работы [103].

Существуют лишь единичные исследования влияния термического сопротивления горизонтальных стенок на структуру течения и теплоперенос при числах Прандтля порядка единицы [98, 104, 105]. В этом случае имеются как экспериментальные [104], так и численные [105] работы, в которых также

демонстрируется, что в зависимости от материала твердых стенок и, соответственно, отношения термических сопротивлений жидкой и твердой сред, присутствуют заметные отличия во временной эволюции конвективного переноса, вызванного внезапным нагревом нижней стенки (см. рисунок 1.7 из работы [105]). Видно, что при большем отношении теплопроводности твердой стенки к теплопроводности жидкой среды осуществляется более быстрая передача тепла через стенку, что незамедлительно сказывается на скорости образования тепловых струй (thermal plume) и дальнейшем конвективном теплопереносе.

Рисунок 1.7 - Эволюция во времени тепловой струи (thermal plume):

а), б), в) t = tb; г), д), е) t = 5tb - при Г = 0.5, Pr = 0.7, Ra = 2-109, h/H = 0.05: а), г) Xs/X/ = 1; б), д) XJXf = 10; в), е) XJXf = 100. Результаты заимствованы из [105].

Наиболее сильное влияние эффектов сопряженного теплообмена проявляется в тех случаях, когда в качестве текучей среды выступают жидкометаллические теплоносители. В этом случае теплопроводность горизонтальных стенок может оказаться сопоставима с теплопроводностью жидкой среды, что требует соответствующего учета толщины стенок при постановке численной задачи. Однако в доступной литературе очень мало работ данной направленности [77, 106].

1.4. Конвекция Рэлея-Бенара во вращающейся емкости

Как отмечалось во Введении, многие конвективные процессы в природе и технике происходят во вращающихся системах (конвекция в атмосфере, океанах и внешнем ядре Земли, теплообменные процессы в установках по выращиванию кристаллов полупроводников методом Чохральского). В связи с этим возникает вопрос, насколько влияет вращение емкости на структуру течения и теплоотдачу. Данной задаче в настоящее время уделяется большое внимание как экспериментального, так и численного характера. Экспериментальные исследования выполнены для различных сред в широком диапазоне определяющих параметров. Наиболее значительный объем данных, как и для случая невращающегося контейнера, накоплен для умеренных чисел Прандтля, характерных для воды (Рг = 4 - 6) [34, 35, 68, 69, 107-112]. Для случая более низких Рг количество работ заметно меньше. Для Рг = 0.7 можно отметить эксперимент [112], для Рг = 0.025 - работы [35, 49, 113, 114].

Накоплен также большой опыт расчетных исследований КРБ во вращающихся емкостях. Как и в экспериментах, основной акцент сделан на изучении турбулентной конвекции при числах Прандтля, характерных для воды [70-72, 107, 109, 115-117]. Меньшее число работ представлено в литературе для сред с более низкими значениями числа Прандтля: Рг = 0.7 - 0.8 [71, 72, 117] и Рг = 0.015 - 0.025 [71, 117].

По результатам исследований турбулентной конвекции во вращающихся цилиндрических емкостях был установлен ряд интересных особенностей в структуре течения и теплоотдаче, которые сильно зависят от рассматриваемой среды и интенсивности вращения контейнера.

Напомним, что при отсутствии вращения емкости единичной высоты (Г = 1) основной структурой конвективного течения является КМЦ, представляющая из себя глобальный вихрь. Подобная структура образуется во всем рассмотренном в настоящей работе диапазоне Рг. Наложение вращения слабой интенсивности

приводит к прецессии КМЦ, но не изменяет общую структуру течения и конвективный теплоперенос. Дальнейшее же увеличение скорости вращения сопровождается резкой перестройкой структуры течения, которая сильно отличается для разных сред. Например, при числах Прандтля, характерных для воды, увеличение интенсивности вращения сопровождается разрушением КМЦ и образованием вертикально ориентированных сильно вытянутых (колоннообразных) вихревых структур, берущих начало из температурных пограничных слоев [70, 72]. При дальнейшем увеличении интенсивности вращения вытянутые вихревые структуры начинают разрушаться, образуются более мелкие вихри, размеры и интенсивность которых уменьшаются при увеличении скорости вращения емкости вплоть до полного их исчезновения [70, 72].

При числах Прандтля, характерных для воздуха и ртути, рост интенсивности вращения емкости также приводит к постепенному разрушению КМЦ, но в отличие от более высоких Рг, не наблюдается четко выраженной структуры, течение представляет из себя хаотичные вихри, интенсивность которых падает при увеличении скорости вращения емкости. Дальнейшее увеличение скорости вращения емкости приводит к уменьшению интенсивности вихревых структур и впоследствии к полному их исчезновению [72, 113]. В этом случае отсутствует конвективный перенос, а перенос тепла осуществляется исключительно теплопроводностью.

Основной интересуемой исследователей величиной является интегральная теплоотдача, которая, в силу перестройки структуры конвекции, также претерпевает существенные изменения по мере роста интенсивности вращения. Результаты работ [70, 72, 107, 108, 112, 113, 115, 116], выполненных при Г = 1 для различных чисел Прандтля и Рэлея, представлены на рисунках 1.8 - 1.10. Вертикальные линии соответствуют границам переходным режимов, соответствующих описанной выше перестройке в структуре течения. Видно, что

слабая интенсивность вращения (1/^ ^ 0.4), в силу сохранения КМЦ, не приводит к какому-либо изменению числа Нуссельта. Рост интенсивности вращения сопровождается увеличением № для чисел Прандтля, характерных для воды и масла, и, соответственно, попаданием в область, так называемого, умеренного вращения (0.4 < ^ 7), и резким спадом при более низких Pr. Дальнейшее увеличение интенсивности вращения приводит к спаду № для воды и масла (область быстрого вращения, 1/^ ^ 7). Для чисел Прандтля, характерных для воздуха и ртути, области умеренного и быстрого вращения сливаются в одну (рисунок 1.8), характеризуемую спадом числа Нуссельта.

Рисунок 1.8 - Зависимость приведенного числа Нуссельта (Nu(1/Ro))г,У4/(Nu(0))Г)У4

от обратного числа Россби 1/^ при Г = 1 и Pr = 6.4 в диапазоне чисел Рэлея 107 < Ra < 1.13-109. Штрихпунктирная линия [110] отвечает границе перехода от слабой интенсивности вращения к умеренной, сплошная линия [110] - границе перехода от умеренного вращения к сильному.

Рисунок 1.9 - Зависимость (Ки(1/Ко))Г)У4/(Ки(0))Г)У4 от 1/Яо при Г = 1 и Рг = 4.38 в диапазоне чисел Рэлея 2.91-108 < Яа < 1.94010.

Рисунок 1.10 - Зависимость (Ки(1/Ко))Г)У4/(Ки(0))Гу4 от 1/Яо при Г = 1 и Яа = 108 в диапазоне чисел Прандтля 0.025 < Рг < 20. Штрихпунктирной линией обозначена граница перехода от слабой интенсивности вращения к умеренной, полученная

для Рг = 0.025 [113].

Описанные выше различия в эволюции течения и изменении интегральной теплоотдачи при различных значениях числа Прандтля связаны с соотношением толщин динамического и температурного пограничных слоев. При низких Рг динамический пограничный слой тоньше температурного и поэтому жидкость, вытягиваемая в вертикальные вихри при быстром вращении, очень горячая. Однако, в силу большой температуропроводности среды, сразу же происходит рассеивание тепла внутри емкости. При такой же интенсивности вращения, а именно аналогичных значениях числа Россби, но при относительно высоких числах Прандтля (вода и различные масла), жидкость, исходящая из температурного пограничного слоя, обладает меньшей

температуропроводностью, что позволяет вертикально ориентированным вихревым (колоннообразным) структурам простираться внутрь емкости. Такой процесс получил название «накачка» (вихри) Экмана (Ekman pumping) [35, 68, 70, 72, 107], схематическое изображение которого проиллюстрировано на рисунке 1.11.

Рисунок 1.11 - Схематическое изображение образования вихрей Экмана: а) низкие числа Прандтля; б) высокие числа Прандтля. Иллюстрации

заимствованы из [72].

Как отмечается в работе [72], механизм накачки Экмана является наиболее эффективным при умеренных Рг. При очень высоких числах Прандтля (Рг > 20) динамический пограничный слой становится очень толстым, и вихри Экмана, образующиеся в нем, практически не взаимодействуют с температурным пограничным слоем и, таким образом, являются относительно холодными. На рисунке 1.12 показано, что при Рг = 6.4 процесс «накачки» Экмана наиболее интенсивен, а при увеличении числа Прандтля вихри затухают.

а) 6) е) г)

Рисунок 1.12 - Изоповерхности температуры при Г = 1, Яа = 108, Яо = 0.3: а) Рг = 0.7; б) Рг = 6.4; в) Рг = 20; г) Рг = 55. Синие структуры соответствуют температуре Т = 0.35ДТ; красные - Т = 0.65ДТ. Результаты заимствованы из [72].

Как было отмечено выше, основной акцент в исследованиях турбулентной КРБ во вращающихся цилиндрических емкостях сосредоточен на изучении конвективных процессов при числах Прандтля, характерных для воды. Для случая более низких значений Рг работ существенно меньше. При этом, в литературе практически отсутствуют численные исследования КРБ во вращающихся цилиндрических емкостях, в которых в качестве жидкой среды рассматриваются жидкометаллические теплоносители. Проведение расчетов конвекции для среды с малым числом Прандтля (ртути) является одной из целей настоящей работы.

1.5. Методы численного моделирования турбулентной конвекции

Среди используемых на сегодняшний день вычислительных подходов к описанию турбулентных конвективных течений в областях с относительно простой геометрией, наиболее востребованным и надежным является метод прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation, DNS), предполагающий разрешение всех масштабов турбулентности (см., например, работы [60-62, 66, 70, 74, 75, 118-121], выполненные для сред с различными числами Прандтля: Рг = 0.005 - 0.02 [60, 66], 0.1 - 1 [61, 62, 66, 75, 119, 120] и 4 -6 [70, 74, 118, 121]). В недавней работе [119], где представлены результаты DNS расчетов турбулентной КРБ при Рг = 1, Ra = 108 в областях с различной

геометрической конфигурацией (в том числе, цилиндрической), акцент сделан на кросс-верификацию различных программных кодов в части предсказания интегральных тепловых потоков.

Разрешение всех масштабов турбулентного движения сопряженно с определенными требованиями к вычислительным ресурсам, которые очень быстро усиливаются при продвижении вверх по числу Рейнольдса. В связи с этим все большую популярность приобретает, так называемый, «недоразрешенный» DNS (или ILES, Implicit Large Eddy Simulation), основная идея которого состоит в том, что роль физической диссипации на малых масштабах выполняют диссипативные свойства численной схемы. Сегодня данный подход пользуется широкой популярностью (см., например, работы [52, 56, 62, 63, 70, 72, 77, 102], выполненные для сред с различными числами Прандтля: Pr = 0.025 [63, 77], 0.7 -1 [52, 56, 62, 72, 102] и 6.4 [70]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Смирнов Сергей Игоревич, 2020 год

Литература

1. Полежаев В.И. Гидромеханика, тепло- и массообмен при росте кристаллов / В кн. Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. - М.: ВИНИТИ, 1984. - Т. 18. - С. 198-269.

2. Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности / Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. 143 с.

3. Johnston J.P. Effects of system rotation on turbulence structures: a review relevant to turbomachinery flows // Int. J. Rot. Mach. - 1998. -Vol. 4 (2). - Pp. 97-112.

4. Marshall J., Schott F. Open-ocean convection: Observations, theory, and models // Rev. Geophys. - 1999. - Vol. 37 (1). - Pp. 1-64.

5. Hartmann D.L., Moy L.A., Fu Q. Tropical convection and the energy balance at the top of the atmosphere // J. Climate. - 2001. - Vol. 14 (24). - Pp. 4495-4511.

6. Heimpel M, Aurnou J. Turbulent convection in rapidly rotating spherical shells: a model for equatorial and high latitude jets on Jupiter and Saturn // Icarus. -2007. - Vol. 187 (2). - Pp. 540-557.

7. King E.M., Soderlund K.M., Christensen U.R., Wicht, J., Aurnou J.M. Convective heat transfer in planetary dynamo models // Geochem. Geophys. Geosyst. -2010. - Vol. 11 (6). - 19 pp.

8. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. -Л.: Гостехтеоиздат, 1952. - 256 с.

9. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика / Ч.1. - М.: Наука, 1965. - 639 с.

10. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука., 1972. - 392 с.

11. Соковишин Ю.А., Мартыненко О.Г. Введение в теорию свободно-конвективного теплообмена. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. - 224 с.

12. Джалурия Й. Естественная конвекция: тепло- и массообмен. - М.:Мир., 1983. - 400 с.

13. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. - Л.: Гидрометеоиздат., 1988. - 424 с.

14. Зимин В.Д., Фрик П.Г. Турбулентная конвекция. - М.: Наука, 1988. - 173

с.

15. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р.Л., Саммакия Б. Свободно-конвективные течения, тепло- и массообмен / В 2-х томах: Пер. с англ. - М.: Мир., 1991. - 1208 с.

16. Evstratov I.Yu., Kalaev V.V., Zhmakin A.I., Makarov Yu.N., Abramov A.G., Ivanov, N.G., Smirnov E.M., Dornberger E., Virbulis J., Tomzig E., Ammon W.v. Modeling analysis of unsteady three-dimensional turbulent melt flow during Czochralski growth of Si crystals // J. Crystal Growth. - 2001. - Vol. 230. - Pp. 22-29.

17. Evstratov I.Yu., Kalaev V.V., Zhmakin A.I., Makarov Yu.N., Abramov A.G., Ivanov N.G., Korsakov A.B., Smirnov E.M., Dornberger E., Virbulis J., Tomzig E., Ammon W.v. Numerical study of 3D unsteady melt convection during industrial-scale CZ Si-crystal growth // J. Crystal Growth. - 2002. - Vol. 237-239. - Pp. 1757-1761.

18. Liu L., Liu X., Wang Y. Large-eddy simulation of melt turbulence in a 300mm Cz-Si crystal growth // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2012. - Vol. 55 (1-3). - Pp. 53-60.

19. Yokoyama R., Nakamura T., Sugimura W., Ono T., Fujiwara T., Kakimoto K. Time-dependent behavior of melt flow in the industrial scale silicon Czochralski growth with a transverse magnetic field // J. Crystal Growth. - 2019. - Vol. 519. - Pp. 77-83.

20. Kalaev V., Artemyev V., Borisov D., Vorob'ev A., Kuliev A., Bystrova E., Smirnov S. Turbulent heat and mass transfer during CZ & DS SI crystal growth for

solar cells // Proc. of the International Symposium on Modeling of Crystal Growth Processes and Devices (MCGPD-2019). - 2019. - Pp. 23-27.

21. Ahlers G., Grossmann S., Lohse D. Heat transfer and large scale dynamics in turbulent Rayleigh-Benard convection // Rev. Mod. Phys. - 2009. - Vol. 81 (2). - Pp. 503-538.

22. Chilla F., Schumacher J. New perspectives in turbulent Rayleigh-Benard convection // Eur. Phys. J. E. - 2012. - Vol. 35 (58). - 25 pp.

23. Oran E.S., Boris J.P. Numerical simulation of reactive flow. - Cambridge University Press, 2001. - 529 pp.

24. Grinstein F.F., Margolin L.G., Rider W.J. Implicit Large Eddy Simulation. -Cambridge University Press, 2007. - 562 pp.

25. Головизнин В.М., Короткин И.А., Финогенов С.А. Беспараметрический численный метод для расчета термоконвекции в прямоугольных кавернах в широком диапазоне чисел Рэлея // Вычислительная механика сплошных сред. -2015. - Т. 8 (1). - С. 60-70.

26. Головизнин В.М., Короткин И.А., Финогенов С.А. Моделирование турбулентной естественной конвекции в замкнутых вытянутых по высоте областях // Вычислительная механика сплошных сред. - 2016. - Т. 9 (3). - С. 253263.

27. Spalart P.R. RANS modeling into a second century // Int. J. of CFD. - 2009. -Vol. 23 (4). - Pp. 291-293.

28. Смирнов Е.М., Зайцев Д.К. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии // НТВ СПбГПУ. - 2004. - №2 (36). - С. 70-81.

29. Smirnov E.M., Smirnovsky A.A., Schur N.A., Zaitsev D.K., Smirnov P.E. Numerical simulation of turbulent heat transfer past a backward-facing step: 2D/3D RANS versus IDDES solutions // J. Phys.: Conf. Ser. - 2016. - Vol. 745 (3). - 032016.

30. Smirnov E.M., Smirnovsky A.A., Schur N.A., Zaitsev D.K., Smirnov P.E. Comparison of RANS and IDDES solutions for turbulent flow and heat transfer past a backward-facing step // Heat Mass Transfer. - 2018. - Vol. 54 (8). - Pp. 2231-2241.

31. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquid // J. Phys. Theor.

- Appl. - 1901. - Vol. 10 (1). - Pp. 254-266.

32. Lord Rayleigh. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the underside // Phil. Mag. - 1916. - Vol. 32 (192). - Pp. 529546.

33. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. - Oxford University Press., 1961. - 652 p.

34. Nagakawa Y., Frenzen P. A theoretical and experimental study of cellular convection in rotating fluids // Tellus. - 1955. - Vol. 7 (1). - Pp. 1-21.

35. Rossby H.T. A study of Benard convection with and without rotation // J. Fluid Mech. - 1969. - Vol. 36 (2). - Pp. 309-335.

36. Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. Experimental study of high-Rayleigh-number convection in mercury and water // Dyn. Atmos. Oceans. - 1996. - Vol. 24 (1).

- Pp. 117-127.

37. Xu X., Bajaj K.M.S., Ahlers G. Heat Transport in Turbulent Rayleigh-Benard Convection // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 84 (19). - Pp. 4357-4360

38. Ahlers G., Xu X. Prandtl-Number Dependence of Heat Transport in Turbulent Rayleigh-Benard Convection // Phys. Rev. Lett. - 2001. - Vol. 86 (15). - Pp. 33203323.

39. Niemela J.J., Sreenivasan K.R. Turbulent convection at high Rayleigh numbers and aspect ratio 4 // J. Fluid Mech. - 2006. - Vol. 557. - Pp. 411-422.

40. Ahlers G., Brown E., Araujo F.F., Funfschilling D., Grossmann S., Lohse D. Non-Oberbeck-Boussinesq effects in strongly turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2006. - Vol. 569. - Pp. 409-445.

41. Brown E., Funfschilling D. Ahlers G. Anomalous Reynolds-number scaling in turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Stat. Mech. - 2007. - N 10. - P10005.

42. Castaing B., Gunaratne G., Heslot F., Kadanoff L., Libchaber A., Thomae S., Wu X.-Z., Zaleski S., Zanetti G. Scaling of hard thermal turbulence in Rayleigh-Bénard convection // J. Fluid Mech. - 1989. - Vol. 204. - Pp. 1-30.

43. Wu X.-Z., Libchaber A. Scaling relations in thermal turbulence: The aspect-ratio dependence // Phys. Rev. A. - 1992. - Vol. 45 (2). - Pp. 842-845.

44. Niemela J.J., Skrbek L., Sreenivasan K.R., Donnelly R.J. Turbulent convection at very high Rayleigh numbers // Nature. - 2000. - Vol. 404 (6780). - Pp. 837-840.

45. Ahlers G., Bodenschatz E., Funfschilling D., Hogg J. Turbulent Rayleigh-Bénard convection for a Prandtl number of 0.67 // J. Fluid Mech. - 2009. - Vol. 641. -Pp. 157-167.

46. Takeshita T., Segawa T., Glazier J.A., Sano M. Thermal turbulence in mercury // Phys. Rev. Lett. - 1996. - Vol. 76 (9). - Pp. 1465-1468.

47. Naert A., Segawa T., Sano M. High-Reynolds-number thermal turbulence in mercury // Phys. Rev. E. - 1997. - Vol. 56 (2). - Pp. R1302-R1305.

48. Horanyia S., Krebs L., Muller U. Turbulent Rayleigh-Bénard convection in low Prandtl number fluids // Int. J. Heat Mass Transf. - 1999. - Vol. 42 (21). - Pp. 3983-4003.

49. Aurnou J.M., Olson P.L. Experiments on Rayleigh-Bénard convection, magnetoconvection and rotating magnetoconvection in liquid gallium // J. Fluid Mech. - 2001. - Vol. 430. - Pp. 283-307.

50. Васильев А.Ю., Колесниченко И.В., Мамыкин А.Д., Фрик П.Г., Халилов Р.И., Рогожкин С.А., Пахолков В.В. Турбулентный конвективный теплообмен в наклонной трубе, заполненной натрием // Журнал технической физики. - 2015. -Т. 85 (9). - С. 45-49.

51. Khalilov R., Kolesnichenko I., Pavlinov A., Mamykin A., Shestakov A., Frick P. Thermal convection of liquid sodium in inclined cylinders // Phys. Rev. Fluids. -2018. - Vol. 3 (4). - 043503.

52. Verzicco R., Camussi R. Numerical experiments on strongly turbulent thermal convection in a slender cylindrical cell // J. Fluid Mech. - 2003. - Vol. 477. -Pp. 19-49.

53. Amati G., Koal K., Massaioli F., Sreenivasan K.R., Verzicco R. Turbulent thermal convection at high Rayleigh numbers for a Boussinesq fluid of constant Prandtl number // Phys. Fluids. - 2005. - Vol. 17 (12). - 121701.

54. Shishkina O., Thess A. Mean temperature profiles in turbulent Rayleigh-Benard convection of water // J. Fluid Mech. - 2009. - Vol. 633. - Pp. 449-460.

55. Шеремет М.А., Сыродой С.В. Анализ свободноконвективных режимов теплопереноса в технологических системах цилиндрической формы // Известия ТПУ. - 2010. - Т. 317 (4). - С. 43-48.

56. Silano G., Sreenivasan K.R., Verzicco R. Numerical simulations of Rayleigh-Benard convection for Prandtl numbers between 10-1 and 104 and Rayleigh numbers between 105 and 109 // J. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 662. - Pp. 409-446.

57. Li Y.-R., Ouyang Y.-Q., Peng L., Wu S.-Y. Direct numerical simulation of Rayleigh-Benard convection in a cylindrical container of aspect ratio 1 for moderate Prandtl number fluid // Phys. Fluids. - 2012. - Vol. 24 (7). - 074103.

58. Lakkaraju R., Stevens R.J.A.M., Verzicco R., Grossmann S., Prosperetti A., Sun C., Lohse D. Spatial distribution of heat flux and fluctuations in turbulent Rayleigh -Benard convection // Phys. Rev. E. - 2012. - Vol. 86 (5). - 056315.

59. Scheel J.D., Kim E., White K.R. Thermal and viscous boundary layers in turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2012. - Vol. 711. - Pp. 281305.

60. van der Poel E.P., Stevens R.J.A.M., Lohse D. Comparison between two- and three-dimensional Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2013. - Vol. 736. -Pp. 177-194.

61. Scheel J.D., Schumacher J. Local boundary layer scales in turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2014. - Vol. 758. - Pp. 344-373.

62. Horn S., Shishkina O. Toroidal and poloidal energy in rotating Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2015. - Vol. 762. - Pp. 232-255.

63. Verzicco R., Camussi R. Transitional regimes of low-Prandtl thermal convection in a cylindrical cell // Phys. Fluids. - 1997. - Vol. 9 (5). - Pp. 1287-1295.

64. Abramov A., Korsakov A. Direct numerical modeling of mercury turbulent convection in axisymmetric reservoirs including magnetic field effects // Heat Transfer Research. - 2004. - Vol. 35 (1-2). - Pp. 76-84.

65. Schumacher J., Bandaru V., Pandey A., Scheel J.D. Transitional boundary layers in low-Prandtl-number convection // Phys. Rev. Fluids. - 2016. - Vol. 1 (8). -084402.

66. Scheel J.D., Schumacher J. Global and local statistics in turbulent convection at low Prandtl numbers // J. Fluid Mech. - 2016. - Vol. 802. - Pp. 147-173.

67. Teimurazov A., Frick P. Thermal convection of liquid metal in a long inclined cylinder // Phys. Rev. Fluids. - 2017. - Vol. 2 (11). - 113501.

68. Zhong F., Ecke R.E., Steinberg V. Rotating Rayleigh-Benard convection: asymmetric modes and vortex states // J. Fluid Mech. - 1993. - Vol. 249. - Pp. 135159.

69. King E.M., Stellmach S., Aurnou J.M. Heat transfer by rapidly rotating Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2012. - Vol. 691. - Pp. 568-582.

70. Kooij G.L., Botchev M.A., Geurts B.J. Direct numerical simulation of Nusselt number scaling in rotating Rayleigh-Benard convection // Int. J. Heat Fluid Flow. -2015. - Vol. 55. - Pp. 26-33.

71. Venugopal V., De A.K., Mishra P.K. Significance of Prandtl number on the heat transport and flow structure in rotating Rayleigh-Bénard convection // J. Heat Transfer. - 2020. - Vol. 142 (1). - 012501.

72. Stevens R.J.A.M., Clercx H.J.H., Lohse D. Optimal Prandtl number for heat transfer in rotating Rayleigh-Bénard convection // New J. Phys. - 2010. - Vol. 12 (7). -075005.

73. Wei P., Xia K.-Q. Viscous boundary layer properties in turbulent thermal convection in a cylindrical cell: the effect of cell tilting // J. Fluid Mech. - 2013. - Vol. 720. - Pp. 140-168.

74. Horn S., Shishkina O. Rotating non-Oberbeck-Boussinesq Rayleigh-Bénard convection in water // Phys. Fluids. - 2014. - Vol. 26 (5). - 055111.

75. Wan Z.-H., Wei P., Verzicco R., Lohse D., Ahlers G., Stevens R.J.A.M. Effect of sidewall on heat transfer and flow structure in Rayleigh-Bénard convection // J. Fluid Mech. - 2019. - Vol. 881. - Pp. 218-243.

76. Wagner S., Shishkina O., Wagner C. Boundary layers and wind in cylindrical Rayleigh-Bénard cells // J. Fluid Mech. - 2012. - Vol. 697. - Pp. 336-366.

77. Abramov A., Smirnov E., Smirnovsky A. Numerical simulation of turbulent Rayleigh-Bénard conjugate convection of low-Pr fluid in a cylindrical container // Proc. of the 7th Baltic Heat Transfer Conf. - 2015. - Pp. 11-16.

78. Zurner T., Schindler F., Vogt T., Eckert S., Schumacher J. Combined measurement of velocity and temperature in liquid metal convection // J. Fluid Mech. -2019. - Vol. 876. - Pp. 1108-1128.

79. Xi H.-D., Xia K.-Q. Azimuthal motion, reorientation, cessation, and reversal of the large-scale circulation in turbulent thermal convection: A comparative study in aspect ratio one and one-half geometries // Phys. Rev. E. - 2008. - Vol. 78. - 036326.

80. Qui X.-L., Tong P. Large-scale velocity structures in turbulent thermal convection // Phys. Rev. E. - 2001. - Vol. 64 (3). - 036304.

81. Niemela J.J., Skrbek L., Sreenivasan K.R., Donnelly R.J. The wind in confined thermal convection // J. Fluid Mech. - 2001. - Vol. 449. - Pp. 169-178.

82. Sreenivasan K.R., Bershadskii A., Niemela J.J. Mean wind and its reversal in thermal convection // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 65 (5). - 056306.

83. Valencia L., Pallares J., Cuesta I., Grau F.X. Turbulent Rayleigh-Benard convection of water in cubical cavities: A numerical and experimental study // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2007. - Vol. 50. - Pp. 3203-3215.

84. Vasiliev A., Sukhanovskii A., Frick P., Budnikov A., Fomichev V., Bolshukhin M., Romanov R. High Rayleigh number convection in a cubic cell with adiabatic sidewalls // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2016. - Vol. 102. - Pp. 201-212.

85. Васильев А.Ю., Фрик П.Г., Kumar A., Степанов Р.А., Сухановский А.Н., Verma M.K. Динамика крупномасштабного турбулентного конвективного течения в кубе // Труды Седьмой российской национальной конференции по теплообмену (22-26 октября 2018 г., Москва). - 2018. - Т. 1. - Pp. 316-319.

86. Abramov A.G., Ivanov N.G., Smirnov E.M. Numerical study of high-Ra Rayleigh-Benard mercury and water convection in confined enclosures using a hybrid RANS/LES technique // Proc. of the Eurotherm Seminar 74 (Eindhoven, TUE). - 2003. - Pp. 33-38.

87. Васильев А.Ю., Сухановский А.Н., Степанов Р.А. Конвективная турбулентность в кубической полости при неоднородном нагреве нижней границы // Вычислительная механика сплошных сред. - 2019. - Т. 12 (1). - С. 1726.

88. Brown E., Ahlers G. Rotations and cessations of the large-scale circulation in turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. 2006. - Vol. 568. - Pp. 351386.

89. Xi H.-D., Xia K.-Q. Cessations and reversals of the large-scale circulation in turbulent thermal convection // Phys. Rev. E. - 2007. - Vol. 75. - 066307.

90. Funfschilling D., Brown E., Ahlers G. Torsional oscillations of the large-scale circulation in turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2008. - Vol. 607. - Pp. 119-139.

91. Brown E., Ahlers G. The origin of oscillations of the large-scale circulation of turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2009. - Vol. 638. - Pp. 383400.

92. Zwirner L., Khalilov R., Kolesnichenko I., Mamykin A., Mandrykin S., Pavlinov A., Shestakov A., Teimurazov A., Frick P., Shishkina O. The influence of the cell inclination on the heat transport and large-scale circulation in liquid metal convection // J. Fluid Mech. - 2020. - Vol. 884. - Pp. A18-1-A18-37.

93. Chilla F., Rastello M., Chaumat S., Castaing B. Long relaxation times and tilt sensitivity in Rayleigh-Benard turbulence // Eur. Phys. J. B. - 2004. - Vol. 40 (2). - Pp. 223-227.

94. Funfschilling D., Ahlers G. Plume motion and large-scale circulation in a cylindrical Rayleigh-Benard cell // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 92 (19). - 194502.

95. Sun C., Xia K.-Q., Tong P. Three-dimensional flow structures and dynamics of turbulent thermal convection in a cylindrical cell // Phys. Rev. E. - 2005. - Vol. 72. -026302.

96. Ahlers G., Brown E., Nikolaenko A. The search for slow transients, and the effect of imperfect vertical alignment, in turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2006. - Vol. 557. - Pp. 347-367.

97. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Конвекция Рэлея-Бенара в замкнутом объеме со стенками конечной толщины // Математическое моделирование. - 2009.

- Т. 21(10). - С. 111-122.

98. Шеремет М.А. Математическое моделирование нестационарной сопряженной термогравитационной конвекции в замкнутом наклонном цилиндре // Beстник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - №4 (3).

- С. 1272-1274.

99. Шеремет М.А. Нестационарная сопряженная термогравитационная конвекция в цилиндрической области с локальным источником энергии // Теплофизика и аэромеханика. - 2011. - Т. 18 (3). - С. 463-474.

100. Ahlers G. Effect of sidewall conductance on heat-transport measurements for turbulent Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. E. - 2001. - Vol. 63. - 015303.

101. Roche P.-E., Castaing B., Chabaud B., Hebral B., Sommeria J. Side wall effects in Rayleigh Benard experiments // Eur. Phys. J. B. - 2001. - Vol. 24 (3). - Pp. 405-408.

102. Verzicco R. Sidewall finite-conductivity effects in confined turbulent thermal convection // J. Fluid Mech. - 2002. - Vol. 473. - Pp. 201-210.

103. Stevens R.J.A.M., Lohse D., Verzicco R. Sidewall effects in Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2014. - Vol. 741. - Pp. 1-27.

104. Brown E., Nikolaenko A., Funfschilling D., Ahlers G. Heat transport in turbulent Rayleigh-Benard convection: Effect of finite top- and bottom-plate conductivities // Phys. Fluids. - 2005. - Vol. 17 (7). - 075108.

105. Verzicco R. Effects of nonperfect thermal sources in turbulent thermal convection // Phys. Fluids. - 2004. - Vol. 16 (6). - Pp. 1965-1979.

106. Ivanov N., Smirnov S. Numerical simulation of turbulent conjugate free convection in horizontal low-Pr fluid layer // Proc. of the 7th Baltic Heat Transfer Conf. - 2015. - Pp. 29-34.

107. Stevens R.J.A.M., Zhong J.-Q., Clercx H.J.H., Ahlers G., Lohse D. Transitions between turbulent states in rotating Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. Lett. - 2009. - Vol. 103 (2). - 024503.

108. Zhong J.-Q., Ahlers G. Heat transport and the large-scale circulation in rotating turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 665. -Pp. 300-333.

109. Kunnen R.P.J., Stevens R.J.A.M., Overkamp J., Sun C., van Heijst G.F., Clercx H.J.H. The role of Stewartson and Ekman layers in turbulent rotating Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2011. - Vol. 688. - Pp. 422-442.

110. Weiss S., Ahlers G. Heat transport by turbulent rotating Rayleigh-Benard convection and its dependence on the aspect ratio // J. Fluid Mech. - 2011. - Vol. 684. -Pp. 407-426.

111. Wei P., Weiss S., Ahlers G. Multiple transitions in rotating turbulent Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. Lett. - 2015. - Vol. 114 (11). - 114506.

112. Weiss S., Wei P., Ahlers G. Heat-transport enhancement in rotating turbulent Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. E. - 2016. - Vol. 93 (4). - 043102.

113. King E.M., Aurnou J.M. Turbulent convection in liquid metal with and without rotation // PNAS of the USA. - 2013. - Vol. 110 (17). - Pp. 6688-6693.

114. Aurnou J.M., Bertin V. Grannan A.M., Horn S., Vogt T. Rotating thermal convection in liquid gallium: multi-modal flow, absent steady columns // J. Fluid Mech. - 2018. - Vol. 846. - Pp. 846-876.

115. Kunnen R.P.J., Clercx H.J.H., Geurts B.J. Breakdown of large-scale circulation in turbulent rotating convection // Europhys. Lett. - 2008. - Vol. 84 (2). -24001.

116. Stevens R.J.A.M., Overkamp J., Lohse D., Clercx H.J.H. Effect of aspect-ratio on vortex distribution and heat transfer in rotating Rayleigh-Benard // Phys. Rev. E. - 2011. - Vol. 84 (5). - 056313.

117. Horn S., Schmid P.J. Prograde, retrograde, and oscillatory modes in rotating Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. - 2017. - Vol. 831. - Pp. 182-211.

118. Sakievich P.J., Peet Y.T., Adrian R.J. Large-scale thermal motions of turbulent Rayleigh-Benard convection in a wide aspect-ratio cylindrical domain // Int. J. Heat Fluid Flow. - 2016. - Vol. 61. - Pp. 193-196.

119. Kooij G.L., Botchev M.A., Frederix E.M.A., Geurts B.J., Horn S., Lohse D., van der Poel E.P., Shishkina O., Stevens R.J.A.M., Verzicco R. Comparison of

computational codes for direct numerical simulations of turbulent Rayleigh-Bénard convection // Computers & Fluids. - 2018. - Vol. 166. - Pp. 1-8.

120. Zwirner L., Shishkina O. Confined inclined thermal convection in low-Prandtl-number fluids // J. Fluid Mech. - 2018. - Vol. 850. - Pp. 984-1008.

121. de Wit X.M., Guzman A.J.A., Madonia M., Cheng J.S., Clercx H.J.H., Kunnen R.P.J. Turbulent rotating convection confined in a slender cylinder: The sidewall circulation // Phys. Rev. Fluids. - 2020. - Vol. 5 (2). - 023502.

122. Kenjeres S., Hanjalic K. Transient analysis of Rayleigh-Bénard convection with a RANS model // Int. J. Heat Fluid Flow. - 1999. - Vol. 20 (3). - Pp. 329-340.

123. Kenjeres S., Hanjalic K. Identification and visualization of coherent structures in Rayleigh-Bénard convection with a time-dependent RANS // J. Vis. -1999. - Vol. 2 (2). - Pp. 169-176.

124. Hanjalic K., Kenjeres S. Reorganization of turbulence structure in magnetic Rayleigh-Bénard convection: a T-RANS study // J. Turbul. 2000. - Vol. 1 (8). - Pp. 122.

125. Hanjalic K. One-point closure models for buoyancy-driven turbulent flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2002. - Vol. 34 (34). - Pp. 321-347.

126. Abramov A.G., Ivanov N.G., Smirnov E.M. Numerical analysis of turbulent Rayleigh-Bénard convection on the base of large eddy simulation technique // In: Proc. Int. Conf. "Advanced Problems in Thermal Convection" (Perm, Russia, Publishing of Perm State University). - 2004. - Pp. 145-150.

127. Hanjalic K., Hrebtov M. Ground boundary conditions for thermal convection over horizontal surfaces at high Rayleigh numbers // Boundary-Layer Meteorol. - 2016. Vol. 160. - Pp. 41-61.

128. Aithal S.M. Turbulent natural convection in a square cavity with a circular cylinder // J. Thermophys. Heat Tr. - 2016. - Vol. 30 (4). - Pp. 1-11.

129. Wu T., Lei C. On numerical modelling of conjugate turbulent natural convection and radiation in a differentially heated cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. -2015. - Vol. 91. - Pp. 454-466.

130. Frank A., Heidemann W., Spindler K. Electronic component cooling inside switch cabinets: combined radiation and natural convection heat transfer // Heat and Mass Transfer. - 2019. - Vol. 55 (72). Pp. 699-709.

131. Smirnov E.M., Levchenya A.M., Zhukovskaya V.D. RANS-based numerical simulation of the turbulent free convection vertical-plate boundary layer disturbed by a normal-to-plate circular cylinder // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2019. - Vol. 144. - Pp. 118573.

132. Kim J., Moin P. Application of a fractional step method to incompressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. - 1985. - Vol. 59 (2). - Pp. 308-323.

133. Jan Y.-J., Sheu T.W.-H. A quasi-implicit time advancing scheme for unsteady incompressible flow. Part I: Validation // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. - 2007. - Vol. 196 (45-48). - Pp. 4755-4770.

134. Mercader I., Batiste O., Alonso A. An efficient spectral code for incompressible flows in cylindrical geometries // Computers & Fluids. - 2010. - Vol. 39 (2). - Pp. 215-224.

135. Bevan R., Boileau E., Loon R., Lewis R., Nithiarasu R. A comparative study of fractional step method in its quasi-implicit, semi-implicit and fully-explicit forms for incompressible flows // Int. J. Numer. Method H. - 2016. - Vol. 26 (3-4). - Pp. 595623.

136. de Souza Lourenço M.A., Padilla E.L.M. An octree structured finite volume based solver // Appl. Math. Comput. - 2020. - Vol. 365. - 124721.

137. Rhie C.M., Chow W.L. Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation // AIAA Journal. - 1983. - Vol. 21 (11). - Pp. 1525-1532.

138. Yi W., Corbett D., Yuan X.-F. An improved-Rhie-Chow interpolation scheme for the smoothed-interface immersed boundary method // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 2016. - Vol. 82 (11). - Pp. 770-795.

139. Armeld S.W., Williamson N., Kirkpatrick M.P., Street R. A divergence free fractional-step method for the Navier-Stokes equations on nonstaggered grids // ANZIAM Journal (EMAC2009). - 2010. - Vol. 51. - Pp. C654-C667.

140. Menter F.R. Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Applications // AIAA Journal. - 1994. - Vol. 32 (8). - Pp. 1598-1605.

141. Menter F.R., Kuntz M., Langtry R. Ten years of industrial experience with the SST turbulence model // Turbulence, Heat and Mass Transfer 4 / Ed: Hanjalic K., Nagano Y. and Tummers M. Begell House, Inc., 2003. - Pp. 625-632.

142. Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure // J. Fluid Meeh. - 1975. - Vol. 68 (3). - Pp. 537566.

143. Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer // J. Fluid Mech. - 1978. - Vol. 86 (3). - Pp. 491-511.

144. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD. - Griffin Printing, Glendale, California, 1993. - 460 pp.

Приложение А. Модели турбулентности

А.1. Модель к-ю 88Т

Определяющими дифференциальными уравнениями в этом случае являются уравнение переноса кинетической энергии и удельной скорости ее диссипации:

dk Р—

dt dx,

dk

dx

+ Я-рР*ш£3

к у

(А.1)

Р-

d ю d

dt dx,

(м + ^t)

дю

dx,

pa

k j И t

Д-рРсо2+2(1-^)раю2

1 dk дю

о dxk dxk

Замыкающие соотношения:

_ a pk

t max (a ю, SF2)' F = th (arg2), arg2 = max

2yfk 500v

P*dю' d2ю

(А.2)

(А.3)

(А.4)

где d - расстояние до ближайшей стенки,

Д=тт(^Д0р*рЬ)), Рк=ц,

dV

dx.

dV dV,

+

dx,. dx V J 1 У

Ф = +(1 - F1 )ф2. Ф = К > a}

F = th (arg4), arg = min

тах

Jk 500v

P*bd' d2ю

CDka= max

1 dk dro 2Р°ю 2---,10

4P^2k

CD^d2

10

ю dx^ dxk

(А.5) (А.6) (А.7)

(А.8)

Константы модели:

ак= 0.5, стн= 0.85, стш1 = 0.5, р = 3/40, ах= 5/9, р* = 0.09,

стю = 0.5, ак2= 1.0, стю2 = 0.856, р2 = 0.0828, а2 = 0.44, а = 0.31.

Граничные условия на стенке: 800у

(А.9)

k = 0, m , =

d2

(А.10)

А.2. Модель рейнольдсовых напряжений (Stress-omega model)

Уравнения для рейнольдсовых напряжений выглядят следующим образом:

d_ dt

г

pV' V' = Dm + Dl + P + G + ф..-е...

Г I j I] I] I] I] Yj у

\ У

Распишем каждое из слагаемых в уравнении (А. 11).

(1) Dim

д

дх,.

dVv;

дх,.

(А.11)

(А.12)

(2) D =

д

дх.

pV V,' v+p (]+5г V'

(А.13)

Данное выражение содержит моменты более высоких порядков. Для его вычисления используется следующее замыкающее соотношение.

Dl =

д

дх.

к

дхк

(А.14)

где коэффициент а=2.

(3) P =-p

V v.'dv+vV ^

дх.

Г к

дх,,

(А.15)

(4) G] =-pP( giV]T + g.V ' T'

(А.16)

Для определения У1'Т' используется градиентная гипотеза:

V ' T' =

дт

РГ дхг

(А.17)

где Ргг = 0.8.

(5) Ф, = Р

ГдК' дУ'Л

{ + ,

(А.18)

дх. дх.

J I

Корреляция давление-скорость деформации моделируется по формулам (А.19)

(А.26).

Ф, =-С1рР*^5МЮ

у;У;~ 23 ь,к

Р -13 Ркк 5,

-Ро \р, -13 Ркк 5, ]- к у 0 [5, -13 ад,

V , =-р

V ' г; ^+V Кк ' ^

5 -1

^ - 2

дх.

дУ, , дК

дх;

V

дх. дх.

1 , У

Коэффициент определяется следующим образом:

Р^-Р*>ЕГ- Р - 0.09,

/; -

х к

1, х к * о 1 + 640х2 1 + 400х2

1 дк дю ю3 дх дх

Хк > 0

Значения остальных констант равняются:

(Хп

8 + С

8С - 2

_2 р =^2

11 ' Р0 11

С -1.8, С - 0.52.

У 0

60С2 - 4 55 .

дК дУ.

(6) е„ - 2 ц ,

дхк дхк

(А.19)

(А.20)

(А.21)

(А.22)

(А.23)

(А.24)

(А.25) (А.26)

(А.27)

Моделирование диссипативного члена осуществляется по формуле (А.28).

в] = З/Зб^р^кю. (А.28)

Для замыкания системы необходимо определить удельную скорость диссипации кинетической энергии, ю. Таким образом, совместно с уравнениями переноса компонент тензора рейнольдсовых напряжений решается еще дифференциальное уравнение переноса ю (Stress-omega model), которое имеет следующий вид [144]:

dm д

Р— = —

dt дх.

ч дю ^

дх

ю дV

+ а-т!] ^ -рРю2, (А.29)

к дх;

Ч V к У

где аю = 0.5, а = 5/9, в = 3/40. Коэффициент турбулентной вязкости в расчетах по модели рейнольдсовых напряжений определяется по следующей формуле:

ц, = ^. (А.30)

ю

В качестве граничных условий, помимо выражения для удельной скорости диссипации на стенках, (А.10), предполагается равенство нулю компонент тензора рейнольдсовых напряжений.