Численное моделирование турбулентного течения во вращающихся U-образных каналах с плоской и оптимизированной формой внутренней стенки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Панов Дмитрий Олегович

• Панов Дмитрий Олегович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Панов Дмитрий Олегович

Введение

1. Обзор результатов исследования турбулентного течения в каналах с резким поворотом потока, включая вопросы геометрической оптимизации

1.1. Экспериментальные результаты

1.2. Результаты численного моделирования

1.3. Оптимизация формы крутоизогнутых каналов

2. Математические модели и тестовые расчеты течения в U-образном канале с плоской стенкой

2.1. Математические модели

2.1.1. Базовые уравнения

2.1.2. Вихреразрешаюшая LES WALE модель

2.1.3. Модель MSST с поправкой на кривизну и вращение (MSST RC)

2.1.4. IDDES модель

2.2. Постановка задачи для тестовой конфигурации C1: канал с

открытым входом

2.3. Постановка задач для тестовой конфигурации C2: заданные условия на входе в канал

2.4. Вычислительные аспекты

2.5. LES WALE расчеты изотермического течения в тестовой конфигурации C1

2.5.1. Исследование сеточной сходимости

2.5.2. Влияние числа Рейнольдса на гидравлические потери

2.6. Результаты LES WALE и IDDES расчетов изотермического течения в тестовой конфигурации C2 при Re =

2.7. Расчетные поля скорости и характеристик турбулентности при Re = 105 в сопоставлении с экспериментом

2.7.1. IDDES подход

2.7.2. URANS подход

2.8. Гидравлические потери

2.8.1. Влияние входных условий

2.8.2. Влияние вращения

2.8.3. Влияние метода моделирования: URANS и IDDES

2.9. Теплообмен в тестовой конфигурации С2

3. Влияние вращения на вихревую структуру отрывного течения и теплообмен в U-образном канале с плоской внутренней стенкой

3.1. Структура течения, предсказываемая по IDDES и URANS подходам при тестовых значениях параметра вращения (Ro = 0 и Ro = ±0.2)

3.2. Характеристики теплообмена, рассчитанные по IDDES и URANS подходам при Ro = 0 и Ro = ±0

3.3. Анализ многообразия и классификация картин поперечного течения: URANS расчеты при изменении параметра вращения в широком диапазоне

4. Методические аспекты оптимизации формы обтекаемых потоком стенок

4.1. Двухуровневый подход к решению задачи однокритериальной оптимизации

4.1.1 Общие положения

4.1.2. Суррогатная модель на основе метода интерполяции радиальными

базисными функциями

4.1.3 Оценка работоспособности реализованного алгоритма оптимизации

4.2. Методика многокритериальной оптимизации

4.3. Параметризация геометрии цилиндрической внутренней стенки. Генерация расчетных сеток

4.4. Программная реализация процедуры поиска оптимальной геометрии

5. Одно- и двухкритериальная оптимизация формы внутренней стенки U-образного канала при нескольких значениях параметра вращения

5.1. Предварительные замечания

5.2. Результаты однокритериальной оптимизации, направленной на поиск минимума гидравлических потерь

5.2.1 Оптимальные формы внутренней стенки и выигрыш в гидравлических потерях

5.2.2 Анализ полей течения в каналах оптимальной формы по данным RANS и IDDES расчетов

5.2.3 Теплообмен в каналах оптимальной формы

5.3. Результаты двухкритериальной оптимизации: случай обогреваемого

неподвижного канала

Заключение

Основные обозначения

Литература

Актуальность темы исследования

Трехмерные каналы с крутым поворотом потока на 180° (и-образные каналы) характерны для петлевых схем внутреннего охлаждения сопловых и рабочих лопаток газовых турбин, статорных и роторных частей электрических машин, компактных теплообменных аппаратов и аппаратов химических технологий. Поворот канала можно считать крутым, если радиус кривизны его средней линии меньше размера поперечного сечения канала в плоскости изгиба. Необходимость применения каналов с крутым поворотом обычно предопределяется стремлением наиболее эффективно использовать ограниченное пространство при размещении протяженного тракта для течения рабочей среды. Высокий уровень теплопередачи в таких каналах часто обеспечивается турбулентным режимом течения воздуха с высокими значениями числа Рейнольдса (Яв ~ 105).

Турбулентному течению в неподвижных и-образных каналах присуще сложное поведение, которое определяется, с одной стороны, взаимодействием возникающего на повороте интенсивного вторичного (поперечного) течения с обширным и весьма протяженным отрывом сразу за поворотом, а, с другой стороны, сильно неравновесной турбулентностью, развивающейся в условиях такого взаимодействия. При вращении и-образного канала отмеченные особенности дополняются эффектами силы Кориолиса, обусловливающей развитие «собственных» продольных крупномасштабны вихревых структур на всем протяжении канала, и тоже влияющей на интенсивность турбулентного переноса. Во всех указанных случаях получение надежных предсказательных данных о детальной структуре трехмерного течения, характеристиках турбулентности и теплоотдаче представляет собой нетривиальную задачу.

Известные недостатки крутоизогнутых и-образных каналов - это их высокое гидравлическое сопротивление и ярко выраженный нестационарный характер течения с крупномасштабными пульсациями потока, вызванными отрывным течением на повороте. Оба недостатка существенно снижают эффективность и эксплуатационные

характеристики теплопередающих устройств, включающих такие каналы. Как следствие, проектирование проточных частей с крутоизогнутыми каналами тесно связано с задачей оптимизации, нацеленной на поиск геометрии, обеспечивающей оптимальное соотношение между гидравлическими потерями и интенсивностью теплоотдачи.

Степень разработанности научной проблемы

Наибольший вклад в развитие методик численного моделирования турбулентного течения и теплообмена во вращаю-щихся и неподвижных крутоизогнутых U-образных каналах с прямой разделительной стенкой внесли исследования следующих авторов: B.E. Launder, H. Iacovides, K. Suga, T. Arts, A. Turan, K.M. Guleren, T.J. Craft, T. Bo, H.Y., T. Verstraete. Большинство из пред-ставленных в литературе методик основано на применение RANS подхода. Точность предсказания характеристик течения во вращающихся U образных каналах при приме-нении вихреразрешающих подходов изучена слабо.

Наибольший вклад в формирование и развитие методов оптимизации формы неподвижных U образных каналов внесли исследования следующих авторов: P. Ireland, T. Arts, H. Namgoong, C. Son, T. Verstraete. Исследований, посвященных оптимизации вра-щающихся U образных каналов, автору найти не удалось.

Цели и задачи исследования

Цели и задачи диссертационной работы заключаются в следующем.

• Отработка методики использования вихреразрешающих подходов при моделировании турбулентного течения и теплообмена в крутоизогнутых вращающихся и неподвижных U-образных каналах прямоугольного сечения; сопоставление результатов, получаемых путем вихреразрешающих и RANS расчетов.

• Расчетное исследование (в рамках URANS-подхода) влияния интенсивности и направления вращения на вихревую структуру течения в U-образном канале квадратного сечения для случая плоской внутренней стенки, представляющей собой прямую пластину со скругленной кромкой.

• Отработка двухуровневого метода оптимизации, включая выбор математического метода для построения суррогатной модели, создание алгоритма оптимизации, а также программных модулей, обеспечивающих автоматическую связку с гидродинамическими программными комплексами общего назначения Ansys Fluent и Ansys Icem CFD.

• Однокритериальная оптимизация геометрии внутренней стенки U-образного канала при выборе в качестве (минимизируемой) целевой функции интегральной величины потерь полного давления на участке поворота; исследование влияния наложенного вращения на оптимальную форму внутренней стенки.

• Двухкритериальная оптимизация геометрии внутренней стенки неподвижного U-образного канала при выборе в качестве критериев оптимизации интегральных потерь полного давления и общего теплосъема на участке поворота обогреваемого канала.

Научная новизна

Выработаны методические рекомендации к высокоточному численному моделированию турбулентного течения несжимаемой жидкости в крутоизогнутом U-образном канале на основе методов LES и RANS/LES, включая требования к выбору размерности расчетной сетки (при значениях Re = 0(104.. ,105)), временного шага и продолжительности выборки для получения статистически достоверных данных.

Получены новые расчетные данные о влиянии трудно контролируемых в экспериментах неоднородностей в распределении скорости перед входом в участок поворота U-образного канала прямоугольного сечения на сложное поле трехмерного турбулентного течения ниже по потоку.

В результате многовариантных расчетов впервые получены и систематизированы данные о влиянии сильного изменения скорости и направления вращения крутоизогнутого U-образного канала на вихревую структуру осредненного по Рейнольдсу течения. Впервые предложена обобщающая классификация возможных картин вторичного течения (с четырьмя основными конфигурациями), которые формируются при комплексном проявлении эффектов, обусловленных кривизной стенок канала и его вращением вокруг оси, нормальной к плоскости изгиба. Дан анализ

роли продольных структур типа вихрей Дина и Гёртлера в формировании общей картины вторичных течений и отрывных зон за поворотом.

Разработана и апробирована вычислительная методология гидродинамического совершенствования проточных элементов с турбулентным движением среды, согласно которой поиск оптимальной геометрии осуществляется по двухуровнему методу оптимизации с пополнением базы численных решений на основе (U)RANS приближения, а уточненная оценка предсказываемого выигрыша определяется сопоставлением функционалов решений, полученных для исходной и оптимальной геометрии на основе вихреразрешающего подхода.

Впервые исследовано влияние вращения U-образного канала вокруг оси, нормальной к плоскости изгиба, на форму внутренней стенки, оптимальной по критерию «минимум гидравлических потерь».

Впервые выполнена двухкритериальная оптимизация геометрии внутренней стенки неподвижного обогреваемого U-образного канала по критериям «гидравлические потери - теплосъем на участке поворота»; получен фронт Парето оптимальных решений в соответствующих координатах.

Теоретическая и практическая значимость исследования

Методическая информация, накопленная в результате применения методов LES и RANS/LES для тестовых расчетов течения в крутоизогнутом U-образном канале квадратного сечения, может непосредственно использоваться другими исследователями при постановке и проведении вихреразрешающих расчетов турбулентного течения в искривленных каналах различной геометрии.

Результаты по оптимизации формы внутренней стенки крутоизогнутого U-образного канала, а также разработанная классификация возможных картин поперечного течения, формирующегося в канале при разных значениях параметрах вращения, могут быть полезны при решении инженерных задач по совершенствованию конвективных систем охлаждения вращающихся и неподвижных элементов машин.

Представленная в диссертации методика однокритериальной и многокритериальной оптимизации позволяет решать широкий спектр задач геометрической оптимизации и может быть использована при разработках

вычислительных методик, нацеленных на оптимизацию гидродинамических элементов и систем различного назначения.

Методология и методы исследования.

Гидродинамические расчеты проведены с использованием пакета ANSYS Fluent (версия 16.2), при моделировании турбулентности использованы RANS и вихреразрешающие подходах.

Задача оптимизации решена с помощью двухуровневого подхода с применением суррогатной модели целевой функции.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Классификация картин вторичного течения в крутоизогнутом U-образном канале в зависимости от интенсивности и направления его вращения вокруг оси, нормальной к плоскости изгиба.

2. Методология оптимизации проточных элементов, сочетающая RANS-вычисления на основе двухуровневого метода поиска оптимальной геометрии и расчеты по RANS/LES методу для уточнения предсказываемого выигрыша в значении целевой функции.

3. Численные данные, отражающие влияние вращения на локальные и интегральные характеристики турбулентного течения в U-образном канале исходной и оптимизированной геометрии.

4. Совокупность оптимальных решений и вид фронта Парето, определенный в результате двухкритериальной оптимизации формы внутренней стенки обогреваемого U-образного канала по критериям «гидравлические потери - теплосъем на участке поворота».

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Гидродинамические расчеты проведены с использованием пакета ANSYS Fluent (версия 16.2), обстоятельно верифицированного разработчиками и широко применяемого сегодня как для прикладных, так и академических исследований. Сопоставление расчетных данных, полученных для тестовых конфигураций на обоснованно выбранных сетках показало хорошую согласованность с представленными в литературе результатами экспериментов. Анализ влияния

различного по интенсивности глобального вращения на структуру трехмерного турбулентного течения, развивающегося в U-образном канале, выполнен на основе устоявшихся представлений об эффектах инерциальных массовых сил во внутренних течениях. Разработанный алгоритм оптимизации, а также включенный в него метод аппроксимации многомерных функций, основательно проверен на ряде известных тестовых функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование турбулентного течения во вращающихся U-образных каналах с плоской и оптимизированной формой внутренней стенки»

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих российских и международных конференциях и семинарах: XXI школа-семинар молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева (Санкт-Петербург, 2017); Всероссийская конференция по аэрогидродинамике, посвященной 100-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (Санкт-Петербург, 2017); Conference on Modelling Fluid Flow XXIII (Будапешт, 2018); Международная конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности» (Москва, 2018); XXV всероссийский семинар с международным участием по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2018); Седьмая российская национальная конференция по теплообмену (Москва, 2018); XI Семинар ВУЗов по теплофизике и энергетике (Санкт-Петербург, 2019).

Публикации по теме работы и личный вклад автора

Основные результаты исследований опубликованы в 9-ти работах, включая 3 статьи, опубликованные в изданиях из списка ВАК (одна статья с индексацией в базах Web of Science и Scopus), а также 6 статей в периодических изданиях и трудах конференций различного уровня.

Отработка методик, проведение расчетов и анализ результатов выполнены лично автором. Автором разработаны и программно реализованы алгоритмы оптимизации.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, состоящего их 72 наименований. Работа изложена на 172 страницах текста, включая 12 таблиц и 90 рисунков.

1. Обзор результатов исследования турбулентного течения в каналах с резким поворотом потока, включая вопросы геометрической оптимизации

Настоящий раздел не претендует на исчерпывающее представление и анализ весьма большого числа работ, посвященных течению, теплообмену и оптимизации сильно изогнутых каналов. Здесь представлены и обсуждаются лишь те опубликованные работы, результаты которых непосредственно использовались в рамках диссертационного исследования или близки к нему.

1.1. Экспериментальные результаты

В авторитетном Справочнике [1] диаграмма 6-17 «Колена и-образной формы (180°); прямоугольное сечение» составлена со ссылкой на работу [2]. В ней содержатся экспериментальные данные о потерях давления в крутоизогнутых каналах (коленах) с разными прямоугольными сечениями, включая квадратное.

Схема воздушной экспериментальной установки, на которой проводилось исследование [2], показана на Рисунке 1.1. На схеме показаны элементы установки и отборы статического давления, дающие представление о методике получения гидравлических потерь. Канал изображен для одного из исследованных вариантов изгиба Rc/H = 0.65, модель которого использована нами в валидационных расчетах (см. Главу 2). Канал квадратного сечения со стороной Н = 150 мм включал колено и два прямолинейных участка: входной длиной порядка одного калибра и выходной длиной 15 калибров. Воздух в установку поступал из атмосферы через плавный конфузор. Проточная часть установки заканчивалась цилиндрическим ресивером и расходоизмерительным соплом.

Рисунок 1.1 - Схема экспериментальной установки [2].

Суммарные потери определялись перепадом статического давления между входным и выходным сечениями канала. Потери в повороте находились путем вычитания потерь на трение из общих потерь. Коэффициент потерь на трение считался постоянным и равным 0.015L/H, где L расстояние между точками отбора давления, рассчитанное по центральной линии канала. Экспериментальные данные о потерях давления получены в диапазоне значений числа Рейнольдса от 5-104 до 3-105. Установлено, что в этом диапазоне коэффициент гидравлических потерь слабо зависит от числа Рейнольдса.

В работе [3], выполненной на кафедре «Гидроаэродинамика, горение и теплообмен» СПбПУ, представлены экспериментальные данные о потерях давления при течении воздуха в и-образном канале, конфигурация которого показана на Рисунке 1.2. Проточная часть экспериментальной установки состояла из канала квадратного сечения со стороной Н = 24 мм. Воздух засасывался в канал из атмосферы через входной конфузор с малым радиусом скругления. Протяженность входного и выходного прямых участков составляла 6Н, относительный радиус изгиба - Яс/Н = 0.65.

Эои = 18мм

Ъ

Рисунок 1.2 - и-образный канал, исследованный в СПбПУ [3]

На плоской торцевой стенке канала располагалось 12 дренажных отверстий для отбора статического давления. Расстояние между отверстиями равно Н. Первое и последнее отверстия находились на расстоянии 0.54Н от входа и выхода. Расстояние от внутренней изогнутой стенки до отверстий составляло 0.33Н. Коэффициент гидравлического сопротивления рассчитывался по перепаду давления между вторым от входа и предпоследним дренажным отверстиями. Измерения проведены в диапазоне значений числа Рейнольдса от 3.5 103 до 6 104.

На Рисунке 1.3 представлены полученные эксперименте данные, а также аппроксимирующая зависимость (сплошная линия):

£ = 8.71-Яв"0-154. (1.1)

Штриховая линия на Рисунке 1.3 отмечает значение коэффициента потерь £ = 1.56, полученное в [2] для Яв > 5-104. Видно, что данные, аппроксимированные по формуле (1.1), с ростом числа Рейнольдса приближаются к этому значению.

з.о

£

2.8

2.6

2.0

2.2

1.6

1.8

1.4

О

20000 40000 60000 ^ 80000

Рисунок 1.3 - Коэффициент гидравлических потерь: сплошная линия - зависимость (1.1), пунктирная линия - данные [2], символы - данные [3]

В работах [4-6] представлены результаты комплексных экспериментальных исследований, выполненных в Институте науки и технологии Университета Манчестера (UMIST). В работах содержаться данные о распределениях давления, скорости и турбулентных характеристик при течении воды в неподвижном и вращающемся U-образном канале с осью вращения, перпендикулярной плоскости изгиба в колене. Схема экспериментальной установки показана на Рисунке 1.4. Канал имел квадратное сечение со стороной H = 50мм, относительный радиус изгиба в колене составлял RC/H = 0.65, длина прямого входного участка канала -10H, длина прямого выходного участка - 9.6H. Для выравнивания поля скорости во входном участке располагался ряд сеточных экранов и трубчатый хонейкомб. Все измерения выполнены для вращающегося и неподвижного канала при следующих значениях режимных параметров: число Рейнольдса Re = 105, параметр вращения Ro = 0.2 при вращении против часовой стрелки и Ro = -0.2 - по часовой стрелке (Рисунок 1.4). Отметим, что результаты данных работ считаются эталонными и используются для валидации моделей турбулентных течений [7-15].

Рисунок 1.4 - Экспериментальный канал по данным работ [4-6]

Работы [4, 5] содержат результаты измерения методом ЛДИС компонент поля осредненной скорости и компонент тензора рейнольдсовых напряжений в сечениях на прямом участке перед поворотом, в колене и в сечениях на прямом участке за поворотом. В работах выявлены основные закономерности течений, а именно: ускорение потока около внутренней стенки перед и в начале поворота и на внешней стенке в конце поворота, образование глобальной отрывной зоны на внутренней стенке примерно с середины поворота и далее вниз по потоку, генерация турбулентности на границах отрывных зон. Авторами отмечено, что в случае положительного направления вращения канала длина отрывной зоны за поворотом равна примерно 6Н. Для неподвижного канала и канала, вращающегося в отрицательном направлении, длина отрывной зоны равна примерно (2...3)И. Авторы объясняют это различие влиянием силы Кориолиса, аргументируя тем, что в случае положительного направления вращения сила Кориолиса сонаправлена с центробежной силой инерции и препятствует возвращению высокоскоростного потока к внутренней стенке, что и приводит к увеличению отрывной зоны.

Рассуждения авторов строятся так, как будто влияния кривизны и вращения на структуру течения независимы, и в потоке реализуется «линейное» суммирование/вычитание воздействий, характерных для эффектов массовых сил.

В работе [6], примыкающей к обсуждаемым, представлены данные о распределении статического давления вдоль средней линии на торцевой плоской стенке вращающегося и неподвижного канала. Результаты измерений демонстрируют существенный рост потерь давления, начиная с середины поворота. Как отмечено авторами основной вклад в потери давления вносит глобальная отрывная зона на внутренней стенке канала.

Данные, приведенные в работах [4-6], подробно обсуждаются в Главе 2, где они сравниваются с данными собственного численного моделирования.

К работам [4-6] близка работа [16]. В ней представлены результаты экспериментального исследования течения и теплообмена в неподвижном U-образном канале квадратного сечения с радиусом изгиба RC/H = 0.76. Исследование выполнено методом PIV при Re = 4-104. В работе представлены распределения модуля скорости и характеристик турбулентности для различных сечений канала, распределения давления и теплового потока на стенках канал. Данная, хорошо задокументированная работа, является одним из VKI-тестов, предназначенных для валидации различных подходов к численному моделированию турбулентных течений. Тем не менее, результаты [16] не использовались нами для валидации вихреразрешаюших подходов, так как в работе исследование течения в условиях вращения не представлено.

Упомянем здесь еще две работы, выполненные в UMIST, но не использованные нами для валидационных расчетов. В [17] представлены результаты исследования методом LDV течения во вращающихся и неподвижных U-образных каналах c нескруглённой внешней стенкой и тонкой перегородкой, толщиной 0.13H. Сечение канала было близко к квадратному (22x25мм). Рассмотрено течение при относительно малом числе Рейнольдса Re = 1.4-104 и параметре вращения - Ro = 0.082. В работе показаны профили скорости, векторные поля и характеристики турбулентности в различных сечениях. В работе [18]

представлены результаты PIV исследования течения при числе Рейнольдса равном 3-104 для неподвижного канала квадратного сечения с относительно более толстой перегородкой (0.25H).

В работе [19], выполненной также сотрудниками UMIST и являющейся продолжением работ [4-6], представлены результаты исследования теплообмена в неподвижном U-образном канале той же геометрии (Рисунок 1.5). Рассмотрен воздушный поток при числе Рейнольдса Re = 9.5-104, близком к исследованному (Re = 105) в работах [4-6]. Температура внешней и внутренней стенок измерялась методом жидких кристаллов. В работе представлены распределения локального числа Нуссельта на внутренней и внешней стенке канала, а также графики зависимости осредненного по сечению числа Нуссельта от продольной координаты. Отмечено сильное влияние вторичных течений и отрыва потока на теплообмен в повороте и за поворотом. Так на расстоянии 5H за поворотом теплоотдача оказываются в полтора раза выше чем перед поворотом, а максимальные значения теплоотдачи, наблюдаемые в зоне максимальной скорости на внешней стенке и в точке присоединения отрыва на внутренней стенке, в 2-2.5 раза выше чем теплоотдача перед поворотом. Данная работа, в сочетании с работами [4-6], формирует хорошо задокументированную серию исследований, подходящих для валидации численного исследования.

хонейкомб

Рисунок 1.5 - Конфигурация канала в работе [19]

В работе [20] рассмотрен теплообмен в и-образном канале с нескругленной внешней стенкой и такой же, как в работах [4-6,19] толщиной внутренней скругленной стенки. В отличие от работы [19], в работе [20] рабочей средой

служила вода и был исследован теплосъем не с боковых, а с торцевых стенок канала. Рассмотрены случаи вращающегося и неподвижного канала, ось вращения направлена параллельно торцевым стенкам канала. Для измерения температуры стенок так же, как в работе [19], использован метод жидкокристаллических индикаторов. Результаты получены при тех же числах Россби и Рейнольдса, что и в работах [4-6]. Показано, что вращения приводит к интенсификации теплообмена на прямых участках до и после поворота для стороны давления и уменьшает теплообмен на стороне разрежения (название сторон дано в соответствии с направлением силы Кориолиса).

В работе [21], являющейся продолжением работы [20], рассмотрен неподвижный и вращающийся канал с входным прямым участком квадратного сечения и выходным прямым участком прямоугольного сечения (отношение сторон 1:2). Исследована теплоотдача от торцевых стенок канала при значениях параметра вращения 0.4 и числа Рейнольдса 3.6-104 и 105. Внутренняя стенка для канала в работе [21] чуть шире (0.333Н), чем в работах [4-6,19,20] (0.3Щ Теплообмен исследован также для случая неподвижного канала с воздухом в качестве рабочей среды. Для измерения температуры стенок так же, как в работах [19,20], использована техника жидких кристаллов. Кроме того, в работе [21] предпринята попытка уменьшения отрывной зоны за поворотом путем профилирования внутренней стенки. Как и в работе [20], в работе [21] показано, что наличие вращения приводит к интенсификации теплообмена на прямых участках до и после поворота для стороны давления, и наоборот, уменьшает теплообмен для стороны разрежения. Профилирование стенки не привело к существенным изменениям в передаваемом количестве тепла.

В работе [22] исследованы характеристики вращающейся и неподвижной системы и-образных каналов квадратного сечения с радиусом кривизны RC/H = 0.72. Температура стенок измерялась термопарами. Основная цель работы -построение эмпирических корреляций зависимости теплообмена от параметра вращения и параметров потока (отношения температур воздуха и стенки, числа Рейнольдса), а также создание базы данных для тестирования различных моделей

турбулентности. Особое внимание уделено эффекту плавучести. Результаты получены для воздуха в качестве рабочей среды и диапазона чисел Рейнольдса Re = 1.25-104^5-104. Показан немонотонный характер изменения локальной теплоотдачи при увеличении параметра вращения. В работе [23] проведено исследование теплообмена при течении воздуха с числами Рейнольдса от 6-103 до 4-104 в неподвижных U-образных каналах квадратного сечения c нескругленной внешней и внутренней стенкой, толщиной 0.25H. В работе представлены изображения распределений теплового потока на внутренней и внешней стенках канала, а также графики осредненного по сечению теплового потока.

К сожалению, данные работ [20-23] не содержат детальной информации о структуре течения, что не позволяет использовать результаты, содержащиеся в них, в качестве тестовых.

1.2. Результаты численного моделирования

Как уже было отмечено, результаты работ [4-6, 16, 19] часто используются в качестве тестовых для валидации различных подходов к численному моделированию структуры турбулентного течения в U-образных каналах с резким поворотом потока [7-15, 24-26]. Результаты работ [7-9, 24] и ряд других работ [27, 28] показывают, что использование RANS-подхода с моделями изотропной турбулентной вязкости не позволяет получить точного совпадения с экспериментальными данными при моделировании течений с крупномасштабными отрывными зонами. В работах [8,10, 12-15] представлены результаты расчетов полей скорости, полученные при использовании RANS подхода с моделями рейнольдсовых напряжений (Second Moment Closure, SMC). По данным из этих работ можно заключить, что среди моделей рейнольдсовых напряжений наилучшие результаты дает низкорейнольдсовая модель TCL SMC (Two-Component-Limit SMC) [10]. Тем не менее, эта модель недооценивает протяженность отрывной области на выходе из поворота, по крайней мере, в случае неподвижного канала.

Дальнейший прогресс в повышении качества предсказательных расчетов связан с применением вихреразрешающих подходов [11, 25, 26]. Авторы работы [11] использовали LES-WALE подход в сочетании с высокорейнольдсовыми пристенными функциями (модель из семейства Wall-Modeling LES). В случае неподвижного канала результаты лучше согласовались с экспериментом [4, 5], чем результаты, полученные в работе [10] по модели TCL SMC. Вместе с тем в работе остались расхождения расчетных и экспериментальных профилей скорости, особенно, в сечениях, расположенных несколько ниже по потоку от отрывной области. Также в работе [11] дается анализ течения и продемонстрированы различные системы парных вихрей для случаев неподвижного и вращающегося канала. Отмечено отсутствие явно выраженных вторичных течений в случае положительного направления вращения канала. Наличие или отсутствие вторичных вихрей авторы связывают с суммированием или вычитанием силы Кориолиса и центробежной силы в повороте.

Общий анализ результатов, представленных в работах [10, 11], приводит к заключению, что причинами оставшихся расхождений между данными расчетов и измерений поля скорости в тестовой конфигурации [4, 5] могут быть не только погрешности измерений, несовершенство модели турбулентности и сеточная чувствительность численного решения, но и неполное соответствие постановки вычислительной задачи условиям эксперимента. Прежде всего это касается неопределенностей в задании условий на входе в расчетную область. К сожалению, данные измерений в работах [4, 5] для сечения, расположенного выше по потоку от поворота и служащего входным сечением в расчетных моделях, ограничены лишь двумя профилями продольной скорости. Более того, эти профили несимметричны, с различной толщиной пристенных слоев на противоположных стенках. Все это приводит к невозможности достаточно полной реконструкции входных условий и к некоторому произволу даже в выборе начальной толщины пристенного слоя. Как следствие, возникает вопрос о чувствительности результатов численного моделирования к входным условиям. Это подтверждается данными работ [25, 26], в которых приведено сравнение результатов LES моделирования с данными

эксперимента [16], где удалось создать симметричный профиль скорости на входе. Сравнение показывает хорошее согласие расчетных и экспериментальных данных, как для случая стандартной геометрии, в которой течение характеризуется крупномасштабными отрывными зонами, так и для случая практически безотрывного течения в оптимальной геометрии.

Стоит подчеркнуть, что применение вихреразрешающих LES подходов связано со значительными вычислительными затратами, особенно, когда число Рейнольдса приближается к 105, поэтому исследования такого рода встречаются довольно редко. Так работы [25, 26] были опубликованы относительно недавно, в 2011 и 2019 годах, а в работе [11], опубликованной в 2007 году, использован WMLES подход с высокорейнольдсовыми пристенными функциями, который не позволяет в достаточной мере разрешить пристенные слои, особенно во вращающемся канале. Разумным решением для воспроизведения течения в канале, при больших числах Рейнольдса является использование гибридных RANS-LES подходов, в частности IDDES подхода [29]. Такие подходы позволяют частично разрешать турбулентные пульсации, создаваемые крупными вихревыми структурами на удалении от стенки, и моделировать с помощью RANS подхода более универсальные мелкомасштабные вихревые структуры, расположенные в пристенной области. Это снижает требование к сеткам в пристенной области, позволяет использовать большие поперечные и продольные шаги сетки и в конечном итоге существенно экономит вычислительные ресурсы.

1.3. Оптимизация формы крутоизогнутых каналов

Существует ряд работ [24, 30-39], посвященных математической оптимизации формы каналов с крутым изгибом на 180°. В этих работах оптимизационные базы данных создавались путем многовариантного RANS моделирования стационарных течений в неподвижных каналах, а критериями оптимизации служили теплоотдача и потери давления. В работах [9, 31, 32] с помощью методов перебора большого количества вариантов проведен поиск формы неподвижных каналов, обеспечивающей минимальные потери давления в

повороте. Для этого были использованы либо данные эксперимента [31, 32], либо расчетные данные [9]. В работах [24, 30, 33-39] проведена строгая математическая оптимизация формы и-образных каналов.

В работе [30] рассмотрена однокритериальная оптимизация неподвижного канала с начальным радиусом изгиба RC/H = 0.643 при Яв = 105. В ходе оптимизации изменялась форма внутренней стенки. Оптимизация проводилась с использованием программного кода iSIGHT [40] на основе суррогатного модели для целевой функции и метода планирования эксперимента. Цилиндрическая внутренняя стенка была параметризована двумерными сплайнами, внешняя стенка оставалась в процессе оптимизации неизменной. Для расчета течения использовался подход с моделью турбулентности Спаларта-Алмараса. В

результате оптимизации было достигнуто снижение потерь давления на 51%.

Дополнительная, трехмерная оптимизация внутренней стенки канала, взятого из работы [30], проведена в работе [33]. В работе использованы те же, что и в работе [30] подходы к оптимизации и гидродинамическим расчетам. В результате удалось добиться дополнительного снижения потерь в канале на 63% против 51%, полученных в работе [30]. Кроме того, в работе [33] представлено сравнение результатов численного моделирования и экспериментальных данных. Сравнение показало различия в потерях давления на уровне 15% для канала стандартной геометрии и менее 5% для случая трехмерной оптимальной геометрии. Также, стоит отметить, близость расчетных придонных линий тока для оптимальной геометрии к экспериментальным. Хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных в случае оптимальной геометрии можно объяснить отсутствием крупномасштабных отрывов потока.

В работе [24] представлены результаты оптимизации для неподвижного U-образного канала с радиусом изгиба RC/H = 0.76. Цилиндрическая геометрия внешней и внутренней стенки задавалась двумерными кривыми Безье. Алгоритм оптимизации включал построение поверхности отклика на основе метода кригинга [41] и генетический алгоритм для поиска минимума поверхности отклика. Численное моделирование течения проводилось с применением подхода с

низкорейнольдсовой версией к-в модели турбулентности Лаундера-Шарма. В результате оптимизации было показано снижение потерь в канале на 38% по сравнению с стандартной геометрией.

В работе [34] излагаются результаты, которые являются продолжением исследований, описанных в работе [24]. Представлены результаты, полученные в результате многокритериальной оптимизации и построения фронта Парето двух целевых функций: потерь полного давления и теплоотдачи. Авторам удалось построить множество геометрий, в которых потери полного давления меньше, чем в стандартной геометрии, а теплоотдача выше, чем в стандартной геометрии. При этом, отмечена тенденция к опережающему росту потерь давления с ростом теплоотдачи.

В работе [35] сделана попытка дополнительного снижения потерь полного давления по сравнению с результатом работы [24]. Полученные с помощью оптимизации усложненные пространственные формы канала построены на основе трехмерных сплайнов Безье. В этом случае варьировалась форма всех стенок. В связи с большим количеством параметров, задающих геометрию, для оптимизации был разработан и использован специальный аdjoint подход. В результате оптимизации было показано снижение потерь в канале на 60%.

В работе [36], являющейся продолжением работы [35], решена двухкритериальная задача оптимизации. В работе использованы те же подходы, что и в работе [35]. Для моделирования турбулентных течений была использована SST модель Ментера. Авторам удалось получить целую серию оптимальных форм канала, соответствующих фронту Парето для теплоотдачи и потерь полного давления. Как обычно, общая тенденция говорит о более быстром росте потерь давления при попытке увеличить теплоотдачу. Так, увеличение теплоотдачи в канале примерно на 40%, по сравнению с каналом обычной геометрии, приводит к повышению потерь давления более чем в 4 раза. При уменьшении потерь давления в два раза теплоотдача в канале падает несущественно, примерно на 24% по сравнению со стандартной геометрией.

В работе [37] рассмотрена оптимизация неподвижного канала с относительным радиусом изгиба Rc/H = 0.6 при Re = 2.5-104. Рассмотрены каналы с дефлектором в повороте и без него. В ходе оптимизации изменялась форма всех стенок и дефлектора. Оптимизация проводилась с использованием подхода аdjoint. Для расчета турбулентного течения в каналах различных геометрий был применен RANS подход в сочетании со стандартной k-s моделью. В результате оптимизации достигнуто снижение потерь давления примерно на 60%. Добавление дефлектора дало дополнительное, небольшое (порядка 2%) снижение потерь.

Стремление ускорить трудоемкий процесс оптимизации приводит к разработке новых подходов [38, 39]. Как и в работе [30], в работе [38] рассмотрен неподвижный канал с относительным радиусом изгиба Rc/H = 0.643 при Re = 105. В работе [38] использован быстрой подход к оптимизации геометрии, который сочетает в себе adjoint подход и представление геометрии в виде пористого тела, заданного на вспомогательной грубой сетке. Значение пористости равное единице соответствует стенке, а нулевое значение проточной части. В процессе оптимизации, для каждой ячейки вспомогательной сетки определяется пористость, позволяющая минимизировать потери давления. Далее проводились грубые гидродинамические расчеты с использованием этой сетки. Авторы подчеркивают, что расчеты с использованием сеток такого типа не позволяют корректно описать пристенный слои и течение в целом. Поэтому итоговая геометрия подвергалась процедуре реконструкции (сглаживания), после чего для нее строилась подробная расчетная сетка, и проводилось уточненное численное моделирование течения. В ходе оптимизации изменялась форма внешней и внутренней стенки. Для RANS расчета течения применены модель Спаларта-Алмараса и SST модель Ментера. Исследована зависимость решения от качества вспомогательной сетки, показано, что для получения достоверных результатов, в двумерном случае, нужно описывать геометрию сеткой с размерностью 20000 ячеек. В результате оптимизации достигнуто снижение потерь давления на 27% против 51% снижения, полученного в работе [30].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панов Дмитрий Олегович, 2022 год

Литература

1. Idelchik I.E. Handbook of Hydraulic Resistance / 3rd Edition. - New York: Begell House Inc.,1975. - 559 pp.

2. Веревкин Н.Н., Гидравлические сопротивления изолированных и составных колен прямоугольного сечения / Москва: ЦАГИ: Промышленная аэродинамика, №7, 1956 - 86 c.

3. Панов Д.О., Юхнев А.Д. Потери давления в канале с резким поворотом на 180°. Результаты URANS- и LES-расчетов в сопоставлении с данными измерений // Тепловые процессы в технике. - 2018 - Т. 10, №5-6 - С. 192-197

4. Cheah S.C., Iacovides H., Jackson D.C., Ji H., Launder B.E. LDA investigation of the flow development through a rotating U-bend of strong curvature // The 5th International Symposium on Refined Flow Modeling and Turbulence Measurements. -1993 - Pp. 269-276.

5. Cheah S. C., Iacovides H., Jackson D. C., Ji H., Launder B. E. LDA Investigation of the Flow Development Through Rotating U-Ducts // ASME. J. Turbomach. - 1996 -Vol. 118(3) - Pp. 590-596.

6. Iacovides H., Jackson D. C., Ji H., Kelemenis G., Launder B. E., Nikas K. LDA Study of the Flow Development Through an Orthogonally Rotating U-Bend of Strong Curvature and Rib-Roughened Walls // ASME. J. Turbomach. - 1998 - Vol. 120(2) - Pp. 386-391.

7. Bo T., Iacovides H., Launder B.E. Convective discretization schemes for the turbulence transport equations in flow predictions through sharp u-bends // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. - 1995 - Vol. 5(1) - Pp. 33-48.

8. Iacovides H., Launder B.E., Li H.Y. The computation of flow development through stationary and rotating U-ducts of strong curvature // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 1996 - Vol. 17(1) - Pp. 22-33.

9. Levchenya A.M., Lipnitskaya S.N. Optimization of a Shape of a Square-Sectioned U-bend for the Loss Reduction: 3D Numerical Simulation of Turbulent Flow // Thermal Processes in Engineering. - 2011 - Vol. 12 - Pp. 537-544.

10. Suga K. Predicting turbulence and heat transfer in 3-D curved ducts by near-wall second moment closures // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2003

- Vol. 46(1) - Pp. 161-173.

11. Guleren K.M., Turan A. Validation of large-eddy simulation of strongly curved stationary and rotating U-duct flows // International Journal of Heat and Fluid Flow. -2007 - Vol. 28(5) -Pp. 909-921.

12. Craft T.J., Launder B.E. A Reynolds stress closure designed for complex geometries // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 1996 - Vol. 17(3) -Pp. 245-254.

13. Ghazali M.F., Rahim M.F.A. CFD Prediction of Heat and Fluid Flow through U-Bends using High Reynolds-number EVM and DSM Models // Procedia Engineering.

- 2013 - Vol. 53 - Pp. 600-606.

14. Iacovides H., Launder B.E., Li H.-Y. Application of a reflection-free DSM to turbulent flow and heat transfer in a square-sectioned U-bend // Experimental Thermal and Fluid Science. - 1996 - Vol. 13(4) - Pp. 419-429.

15. Okita Y., Iacovides, H. Comparisons of High-Reynolds-Number EVM and DSM Models in the Prediction of Heat and Fluid Flow of Turbine Blade Cooling Passages // ASME. J. Turbomach. - 2003 - Vol. 125(3) - Pp. 585-597.

16. Coletti F., Verstraete T., Bulle J., Van der Wielen T., Van den Berge N., Arts T. Optimization of a U-Bend for Minimal Pressure Loss in Internal Cooling Channels— Part II: Experimental Validation // ASME. J. Turbomach. - 2013 - Vol. 135(5) - 051016.

17. Liou T., Chen C. LDV Study of Developing Flows Through a Smooth Duct With a 180 deg Straight-Corner Turn // ASME. J. Turbomach. - 1999 - Vol. 121(1) - Pp. 167-174.

18. Son S.Y., Kihm K.D., Han J.-C. PIV flow measurements for heat transfer characterization in two-pass square channels with smooth and 90° ribbed walls // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2002 - Vol. 45(24) - Pp. 4809-4822.

19. Iacovides H., Jackson D. C., Kelemenis G., Launder B. E. The Measurement of Local Wall Heat Transfer in Stationary U-Ducts of Strong Curvature, With Smooth and Rib-Roughened Walls // ASME. J. Turbomach. - 2000 - Vol. 122(2) - Pp.386-392.

20. Iacovides H., Jackson D. C., Kelemenis G., Launder B. E., Yuan Y.-M. // Experiments on local heat transfer in a rotating square-ended U-bend // Int Journal of Heat and Fluid Flow. - 1998 - Vol 20 - Pp 302-310.

21. Iacovides H., Kounadis D., Xu Z. Experimental study of thermal development in a rotating square-ended U-bend // Experimental Thermal and Fluid Science - 2009 -Vol. 33(3) - Pp. 482-494

22. Wagner J. H., Johnson B. V., Hajek T. J. Heat Transfer in Rotating Passages With Smooth Walls and Radial Outward Flow // ASME. J. Turbomach. - 1991 - Vol. 113(1) - Pp. 42-51.

23. Srinath V., Ekkad J.-C. Detailed heat transfer distributions in two-pass square channels with rib turbulators // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1997 - Vol. 40(11) - Pp. 2525-2537.

24. Verstraete T., Coletti F., Bulle J., Vanderwielen T., Arts T. Optimization of a U-Bend for Minimal Pressure Loss in Internal Cooling Channels—Part I: Numerical Method // ASME. J. Turbomach. - 2013 - Vol. 135(5) - 051015.

25. Gourdain N., Gicquel L., Fransen R., Collado E., Arts T. Application of RANS and LES to the Prediction of Flows in High Pressure Turbine Components // Proceedings of the ASME 2011 Turbo Expo: Turbine Technical Conference and Exposition - 2011 -Vol. 7 - Pp. 1773-1785.

26. Giacomo A., Verstraete T., Koloszar L., Beeck J. Comparison of large eddy simulation and Reynolds-averaged Navier-Stokes evaluations with experimental tests on U-bend duct geometry // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part A: Journal of Power and Energy. - 2019 - 6 p.

27. Vogel J. C., Eaton J. K. Combined Heat Transfer and Fluid Dynamic Measurements Downstream of a Backward-Facing Step // ASME. J. Heat Transfer. November - 1985 - Vol. 107(4) - Pp. 922-929.

28. Buice C. U., Eaton J. K. Experimental Investigation of Flow Through an Asymmetric Plane Diffuser // J. Fluids Eng - 2000 - Vol. 122(2) - Pp. 433-435.

29. Gritskevich M., Garbaruk A., Schütze J., Menter F. Development of DDES and IDDES formulations for the k-® shear stress transport model // Flow, Turbulence and Combustion. - 2012 - Vol. 88 (3) - Pp. 431-449.

30. Namgoong H., Son C., Ireland P. U-Bend Shaped Turbine Blade Cooling Passage Optimization // 12th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference. - 2008 -9 p.

31. Metzger D. E., Plevich C. W., Fan C. S. Pressure Loss Through Sharp 180 Deg Turns in Smooth Rectangular Channels // J. Eng. Gas Turbines Power. - 1984 - Vol. 106 - Pp. 677-681.

32. Liou T., Tzeng Y., Chen C. Fluid Flow in a 180 deg Sharp Turning Duct With Different Divider Thicknesses // ASME. J. Turbomach. - 1999 - Vol. 121(3) - Pp. 569576.

33. Namgoong H., Son C., Ireland P. Optimisation of a 180° U-shaped bend shape for a turbine blade cooling passage leading to a pressure loss coefficient of approximately 0.6 // Journal of Aerospace Engineering. - 2016 - Vol. 230 -Pp. 1371 - 1384.

34. Verstraete T., Li J. Multi-Objective Optimization of a U-Bend for Minimal Pressure Loss and Maximal Heat Transfer Performance in Internal Cooling Channels // ASME Turbo Expo 2013: Turbine Technical Conference and Exposition. - 2013 - Vol. 3A - V03AT12A041.

35. Verstraete T., Müller L., Müller J.-D. Adjoint-Based Design Optimisation of an Internal Cooling Channel U-Bend for Minimised Pressure Losses // International Journal of Turbomachinery, Propulsion and Power. - 2017 - Vol. 2(2) - Pp. 1-10.

36. He P., Mader A., Joaquim R., Martins R., Maki K. Aerothermal Optimization of Internal Cooling Passages Using a Discrete Adjoint Method // AIAA 2018-4080. -2018 - Pp. 1-16.

37. Ahmed O., Khairy E., Mohamed M. Pressure Loss Reduction in U-Bend Using the Adjoint Method // 17th International Conference on AEROSPACE SCIENCES & AVIATION TECHNOLOGY, ASAT. - 2017 - Pp. 1-18.

38. Kim C., Son C. Rapid design approach for U-bend of a turbine serpentine cooling passage // Aerospace Science and Technology. - 2019 - Vol. 92 - Pp. 417-428.

39. Akin M. B., Sanz W. A Quasi First Order Optimization Method and Its Demonstration on the Optimization of a U-Bend // In ASME Turbo Expo 2015: Turbine Technical Conference and Exposition. - 2015 - Pp. 1-15

40. Van der Velden A., Koch P. Isight Design Optimization Methodologies / Cleveland: ASM, 2010 - 24 pp.

41. Martin J. D., Simpson T. W. Use of Kriging Models to Approximate Deterministic Computer Models // AIAA J. - 2005 - Vol. 43(4) - Pp. 853-863.

42. Hajgato G., Gyires-Toth B., Paal G. Predicting the Flow Field in a U-Bend with Deep Neural Networks // Proceedings of Conference on Modelling Fluid Flow. CFD -2018 - Pp. 1-8.

43. Nikuradse J. Untersuchungen über turbulen-te Strömungen in nicht kreisförmigen Rohren // In-genieur-Archiv - 1930 - Vol. 1(3) - Pp. 306-332.

44. Melling A., Whitelaw J. Turbulent flow in a rectangular duct // Journal of Fluid Mechanics. -1976 - Vol. 78(2) - Pp. 289-315.

45. Gessner F.B., Po J.K., Emery A.F. Measurements of developing turbulent flow in a square duct // Turbulent Shear Flows. - 1979 - Pp. 119-136.

46. Smirnov P. E., Menter, F. R. Sensitization of the SST Turbulence Model to Rotation and Curvature by Applying the Spalart-Shur Correction Term // ASME. J. Turbomach. - 2009 - Vol. 131(4) - 041010 (8p.)

47. Nicoud F., Ducros F. Subgrid-Scale Stress Modelling Based on the Square of the Velocity Gradient Tensor // Flow, Turbulence and Combustion - 1999 - Vol. 62 -Pp. 183-200.

48. ANSYS Fluent Theory Guide. Release 14.0 / ANSYS Inc., 2011. - 826 pp.

49. Kolar V. Vortex identification: New requirements and limitations // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 2007 - Vol. 28(4) - Pp. 638-652.

50. Bock H. G., Egartner W., Kappis W., Schulz V. Practical Shape Optimization for Turbine and Compressor Blades by the Use of PRSQP Methods // Optimization and Engineering - 2002 - Vol. 3 - Pp. 395-414.

51. Papadimitriou D.I., Giannakoglou K.C. A continuous adjoint method with objective function derivatives based on boundary integrals, for inviscid and viscous flows // Computers & Fluids. - 2007 - Vol. 36(2) - Pp. 325-341.

52. Gauger N.R. Aerodynamic shape optimization using the adjoint Euler equations // GAMM Workshop on Discrete Modelling and Discrete Algorithms in Continuum Mechanics. - 2001 - Pp. 87-96.

53. Balagangadhar D., Roy S.. Design sensitivity analysis and optimization of steady fluid-thermal systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2001 - Vol. 190(42) - Pp. 5465-5479.

54. Falco I.D. An introduction to Evolutionary Algorithms and their application to the aerofoil design problem - Part I: the Algorithms // Von Karman Lecture Series on Fluid Dynamics - 1997 - Pp. 1-23

55. Foli K., Okabe T., Olhofer M., Jin Y., Sendhoff B. Optimization of micro heat exchanger: CFD, analytical approach and multi-objective evolutionary algorithms // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2006 - Vol. 49(5-6) - Pp. 1090-1099.

56. Egorov I., Kretinin G., Leshchenko I., Kuptzov S. IOSO Optimization Toolkit - Novel Software to Create Better Design // 9th AIAA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization - 2002 - Pp. 2002-5514.

57. Alsalihi Z., Van den Braembussche R.A. Evaluation of a design method for radial impellers based on artificial neural network and genetic algorithm // 6th Biennial Conference on Engineering Systems Design and Analysis. - 2002 - Pp. 1-18

58. Dumas L., Muyl F., Herbert V. Hybrid method for aerodynamic shape optimization in automotive industry // Computers & Fluids. - 2004 - Vol. 33(5-6) - Pp. 849-858.

59. Verstraete T., Alsalihi Z., Van den Braembussche R. A. Multidisciplinary Optimization of a Radial Compressor for Microgas Turbine Applications // ASME. J. Turbomach. - 2010 - Vol. 132(3) - Pp. 1291-1299.

60. Wang X.D., Hirsch C., Kang S., Lacor C. Multi-objective optimization of turbomachinery using improved NSGA-II and approximation model // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering - 2011 - Vol. 200(9-12) - Pp. 883-895.

61. Fornberg B., Wright G. Stable computation of multiquadric interpolants for all values of the shape parameter // Computers & Mathematics with Applications. - 2004 -Vol. 48(5-6) - Pp. 853-867.

62. Fornberg B., Wright G., Larsson E. Some observations regarding interpolants in the limit of flat radial basis functions // Computers & Mathematics with Applications.

- 2004 - Vol. 47(1) - Pp. 37-55.

63. Бахвалов Ю. Н., Малыгин Л. Л., Черкас П. С. Метод машинного обучения на основе алгоритма многомерной интерполяции и аппроксимации случайных функций // Вестник Череповецкого государственного университета. — 2012. —Т. 2, № 2. — С. 7-9.

64. Бахвалов Ю.Н., Копылов И.В. Обучение и оценка обобщающей способности методов интерполяции // Компьютерные исследования и моделирование. - 2015 - Т. 7, № 5 - С. 1023-1031.

65. Montgomery D.C. Design and Analysis of Experiments / New York: Wiley, 1997. - 688 pp.

66. Bochkanov S. ALGLIB User Guide [Электронный ресурс] - 2019 - режим доступа: http://www.alglib.net/docs.php.

67. Vent W., Rechenberg I. Evolutionsstrategie — Optimierung technischer Systeme nach Prinzipien der biologischen Evolution. / Stuttgart :Frommann-Holzboog-Ver-lag,1973. - 337 pp.

68. Rosenbrock H. An Automatic Method for Finding the Greatest or Least Value of a Function // The Computer Journal. - 1960. - Vol. 3(3) - Pp. 175-184.

69. Miettinen K. Nonlinear Multiobjective Optimization / Springer, 1999 - 293 pp.

70. Piegl L. Fundamental Developments of Computer Aided Geometric Design / San Diego, CA: Academic Press, 1993. - 414 pp.

71. ANSYS ICEM CFD User's Manual. Release 16.2 / ANSYS Inc,2015. - 320 pp.

72. Menter F R, Langtry R, Kuntz M (2003) Ten years of industrial experience with the SST turbulence model. // Turbulence, Heat and Mass Transfer 4 , Begell House Inc.

- 625-632 pp.