Численное моделирование трехмерных задач тепло- и массопереноса в криолитозоне тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Степанов Сергей Павлович

• Степанов Сергей Павлович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Степанов Сергей Павлович

1.3.3 Результаты расчетов

1.4 Свободная конвекция

1.4.1 Постановка задачи

1.4.2 Аппроксимация задачи свободной конвекции

1.4.3 Результаты расчетов

1.5 Выводы

2 Температурное поле многолетнемерзлого грунтового основания железной дороги

2.1 Введение

2.2 Численное решение двумерной задачи

2.2.1 Постановка задачи

2.2.3 Влияние теплоизоляции (пеноплекс) и сезонно-

охлаждающего устройства (СОУ)

2.2.4 Сравнение с натурными данными

2.3 Численное решение трехмерной задачи

2.3.1 Численное исследование теплового режима грунта

2.3.2 Влияние теплоизоляции (пеноплекс) и сезонно-охлаждающего устройства (СОУ)

2.4 Выводы

3 Тепловой режим теплиц в условиях Крайнего Севера

3.1 Введение

3.2 Расчет теплопотерь для различных типов

теплиц

3.3 Численное исследование распространения тепла в теплице

3.4 Свободно-конвективное движение в теплице

3.5 Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование трехмерных задач тепло- и массопереноса в криолитозоне»

Введение

При промышленном освоении Севера и Северо-Востока страны важное значение приобретает вопрос строительства инженерных сооружений и зданий. Основными особенностями проектирования, строительства и эксплуатации объектов на многолетнемерзлых грунтах являются необходимость учета теплообмена с окружающей средой. Прикладные исследования этой проблемы чаще всего основаны на предположении о стационарности процесса теплообмена и не обеспечивают необходимую точность прогноза. Возникает необходимость составления прогноза динамики изменения температурного режима грунтов, что является необходимым элементом инженерно-геологического обоснования строительства геотехнических объектов в условиях криолитозоны.

Многолетнемерзлые грунты характеризуются различным происхождениям, неравномерностью мощности, наличием локализованных таликов, большим диапазоном температурного режима, различной льдонасыщенностью, структурно-текстурными особенностями и большим разнообразием состава и других свойств, исследования в этом направлении обобщены в монографиях О. Андер-сланда [3,4], Г.А. Аксельруда [66,67], В.Н. Ашихмина [70], Л.М. Батунера [71], Н.М. Беляева [72], Р. Берда [73], Ю.М. Дядькина [88], Н.С. Иванова [89, 90]. Следовательно, изучение состава, состояния, строения, температурного режима вечномерзлых грунтов на территории строительства представляет с собой большую, самостоятельную и сложную задачу. Характеристики вечномерзлых грунтов могут изменяться как во времени, так и в пространстве [3,25,75,82,88,96,97]. Указанные изменения в зависимости от вызывающих их факторов можно разделить на две группы:

• естественные изменения природной среды;

• воздействия внешних факторов (строительство и т.д.).

строительство и эксплуатация проектируемых объектов практически невозможно. Это подтверждается весьма значительной долей деформируемых и разрушаемых инженерных объектов, сооружаемых на вечной мерзлоте. Прогнозирование температурного режима грунта является ключевой задачей для обеспечения сохранности при строительстве зданий и сооружений в регионах Крайнего Севера.

В 1970-х гг. в области инженерного мерзлотоведения в России и за рубежом были получены интересные научные результаты основанные на лабораторных опытах, натурных экспериментах и наблюдениях за динамикой теплообмена и взаимодействия сооружений со средой, они обобщены в монографиях Ю.Я. Вел-ли [85], Е.В. Втюрина [86], Ю.М. Дядькина [88], Л.Н.Хрусталева [114,115], В.В. Докучаева [87], Г.М. Фельдмана [112]. Были обобщены результаты многолетних экспериментальных исследований физико-механических свойств мерзлых и оттаивающих грунтов Сибири, проведенных в полевых и лабораторных условиях, в работах Н.Н. Беляева [72], Г. Карслоу [92], А.В. Лыкова [96,97]. В отмеченных работах изложены основные закономерности изменения физико-механических свойств мерзлых и оттаивающих грунтов в зависимости от температуры и основных физических показателей, а также взаимосвязи этих свойств.

Тепловые расчеты имеют огромное практическое значение в мерзлотоведении, так как именно они необходимы для прогнозирования изменения теплового режима грунта при строительстве в условиях криолитозоны. Численное исследование теплофизических процессов проводятся в ведущих научных центрах. Учет процессов промерзания-протаивания грунтов обуславливает трудности при проведении расчетов.

Первой задачей прогноза является оценка вероятных изменений мощности и вертикального строения вечномерзлых грунтов, сезонного оттаивания и промерзания грунтов в результате влияния зданий и сооружений. После решение данной задачи становится возможным разработка рекомендаций по размещению проектируемых зданий и сооружений, что позволяет более детально изучить

условия необходимые для разработки технических решений оснований и фундаментов. Дальше сформулируем задачу прогноза, которая состоит в определении изменений температурного режима, распространения, мощности и вертикального строения вечномерзлых грунтов.

Прогноз изменений температурного режима грунтов может выполняться приближенными аналитическими методами и численными методами. В настоящее время исследование изменений температурного режима грунтов является необходимым элементом инженерно-геологического обоснования строительства объектов в районах многолетнемерзлых грунтов. При сезонном оттаивании мерзлых грунтов изменяются их физико-геологические свойства. Для описания этих процессов используется многочисленные постановки задач и математические модели. Они базируются на фундаментальных законах механики сплошных сред и обобщены в монографиях Дюма [13], Н.А. Гершенфелда [18], Мейера [41], А.А. Самарского и П.Н Вабищевича [76], В.И. Васильева [82], Г.Г. Цыпкина [116] и в других работах [55,68-70,95,99,100,111].

В различных областях прикладной науки большое количество проблем возникает при решении задач с фазовыми превращениями. Граница фазового перехода зависит от времени и ее местоположение должно определяться как часть решения, тем самим такие задачи являются нелинейными. В общем случае нелинейность, связанная с фазовыми превращениями, значительно усложняет анализ этого класса задач [93,94].

Первым примером подобных задач является задача с таянием льда, которая впервые рассматривалась Стефаном и после которого такие задачи называются задачами Стефана. Корректность постановки задачи Стефана изучалась в работах А.М. Мейрманова [98], Л.И. Рубинштейна [105]. В последние годы широко используется численные методы исследования задач Стефана [1,6,17,21,24,31,32,37,38,42,47,48,52,56,59,83,106]. Основными особенностями численного решения является локализация области фазового перехо-

да. Для математического моделирования процессов теплопереноса с фазовыми переходами широко используется классическая модель Стефана с постоянной температурой на границе фазового перехода [S1,105,107,108].

При численном решении задачи Стефана используется два основных подхода: методы с выделением границы раздела фаз и методы сквозного счета [74,77,91,101,108-110]. В первом подходе используются методы, в которых положение свободной границы фазового перехода определяется на каждом временном слое положением соответствующих узлов. Например, в одномерном случае адаптация к границе раздела фаз может осуществляться за счет использования переменных шагов по времени (ловля фронта в узел сетки). Также к первой группе можно добавить методы с выпрямлением фронта, когда используется динамическая сетка с постоянной структурой узлов на границе раздела фаз. Эти методы плохо приспособлены к решению многомерных задач с связи с алгоритмическими сложностями и большими вычислительными затратами [77,108].

Для приближенного решения многомерных задач широкое распространение получили методы сквозного счета, они обобщены в работах O.A. Олейни-ка [101], С.Л. Каменомостской [91], Б.М. Будака [74], A.A. Самарского [109]. Для этого используется обобщенная формулировка классической модели Стефана, при которой условия Стефана включаются в само уравнение теплопроводности с применением дельта-функции. Выделение или поглощение тепла при фазовом переходе соответствует наличию сосредоточенной теплоемкости на границе фазового перехода.

При исследовании промерзания грунта, для укрепления фундаментов часто используются методы замораживания грунтов [2,25,50,53,84,85,87,113,115]. Замораживание грунтов может производиться с помощью специальных установок-холодильников или с помощью сезонно-охлаждающих установок. Для моделирования таких задач обычно используется система грунт-труба. Система грунт-труба широко используется в инженерных приложениях. Например, такими си-

стемами описывается тепловое взаимодействие многолетнемерзлых грунтов с проложенными в них трубопроводными системами, заполненными теплоносителями. Они могут существенно влиять на температурное состояние вмещающих грунтов и, следовательно, на их термомеханические характеристики. Системы сезонно-охлаждающих устройств (СОУ) устанавливаются с целью формирования массива мерзлых грунтов под фундаментами зданий и инженерных сооружений для предотвращения их размораживания в летне-осенний период. Кроме того, есть и другой класс трубопроводных систем получивших широкое распространение, так называемые, тепловые насосы. Они используются для отвода тепла из грунта, и обогрева зданий. Математические модели таких систем также описываются системами грунт-труба. Математическая модель изучаемого процесса состоит из уравнений тепло- и массопереноса и учитывает фазовый переход поровой влаги. Для таких моделей существует ,как отмечено выше, два подхода учета фазового перехода. Первый — это когда граница фазового перехода ловится на сеточном уровне и расчет теплопереноса может происходит в области занятой талой зоной. Второй подход основан на использовании двухфазной модели Стефана и является наиболее адекватным для изучаемого процесса. В этом подходе граница фазового перехода представляется в виде зоны размазывания, когда фазовый переход происходит в заданном интервале температур [20,54,79,80].

При вычислительной реализации моделей тепло- и массопереноса в крио-литозоне необходимо строить геометрические области и расчетные сетки таким образом, чтобы геометрическая область труб сеточно разрешалась. Тем самым, расчетные сетки для учета строения и расположения системы труб должны быть неструктурированные. Расчетные сетки для подобных областей будут иметь области локального сгущения в окрестности труб и при дискретизации будут приводить к очень большим системам уравнений. Альтернативный подход, используемый в данной работе основывается на понижении размерности модели на

трубе и сведении ее к одномерной гидравлической модели. Далее определяющие уравнения аппроксимируются при предположении непрерывности поля температур. Аналогичные методы используются при моделировании трещин в нефтегазоностных пластах, в рамках дискретных моделей трещин [33, 34, 36]. Полученная дискретная задача содержит систему линейных уравнений для каждого временного слоя в каждом узле расчетной сетки. Полученную таким образом систему уравнений для нахождения распределения температуры можно улучшить добавив учет конвективного переноса тепла (тепло- и массопереноса). Для расчета скорости фильтрации в грунте используется закон Дарси и уравнение сохранения массы для случая несжимаемой жидкости. Наличие фазового перехода, возникновение зоны мерзлого грунта вокруг замораживающих труб и поверхности грунта обусловлено влиянием низкой температуры хладагента в трубе и температуры окружающей среды. Температура окружающего воздуха можно считать периодической, она хорошо описывается синусоидой [102-104]. Для численного решения задачи фильтрации поровой воды в грунте используется метод фиктивных областей в мерзлом грунте, рассмотренный в работе [63,82].

Для сохранения устойчивости и обеспечения минимальных деформаций грунтового основания насыпей железной дороги необходимы не только экспериментальные исследования, но и численная оценка динамики температурного режима грунтов под насыпью железнодорожного полотна. В процессе строительства земляного полотна железной дороги нарушаются естественные условия функционирования ландшафтов (вырубка леса, нарушения напочвенных покровов, возведение насыпи и т.д.), изменяются его тепловые и физико-механические свойства. Это приводит к активации нежелательных криогенных процессов угрожающих устойчивости земляного полотна и препятствующих нормальной эксплуатации инфраструктуры железной дороги.

Одним из наиболее важных вопросов практической теплопередачи является оценка теплопотерь зданий. Моделирование распределения температуры в зда-

ниях и в окружающих почвах позволяет делать расчет потерь тепла через стены, крыши и пол в течения года. Основной особенностью таких задач является то, что свободная конвекция описывается системой уравнений конвективного переноса. По аналитическим и численным решениям этих уравнений имеется большое количество работ [11,19,22,23,29,51,57,61]. Чтобы иметь возможность численно моделировать сложные реальные процессы конвективного теплообмена, во многих работах прибегают к допущениям, упрощающим математическую модель и ее решение [5,10,28,29,45,58]. Такие методы имеют ограниченную область применения и работают не для всех случаев.

Прикладные задачи связаны с необходимостью решения краевых задач в трехмерных и достаточно сложных геометриях. Для учета геометрических факторов мы должны использовать нерегулярные расчетные сетки с мелким шагом.

Для численного моделирования физических процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных существует множество вычислительных пакетов различного уровня абстракции. Одним из них является вычислительная платформа FEniCS [39]. FEniCS — это вычислительная платформа для численного решения краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных методом конечных элементов. Она позволяет проводить численные расчеты для задач из многих областей инженерии и науки. FEniCS позволяет автоматизировать решение линейных и нелинейных задач и использовать различные варианты библиотек решателей задач линейной алгебры, такие как PETSc [7,43,44], Trilinos/Epetra [26,27], uBLAS [65] и MTL4 [40]. Имеется поддержка параллельных вычислений, позволяет использовать большое количество типов конечных элементов [8,14-16,30,39] (разрывные методы Галеркина, векторные элементы и др.).

Вычислительная платформа FEniCS доступна для нескольких платформ и операционных систем, таких как Linux, Windows и Mac OS. FEniCS предоставляет возможность использования языков программирования C++ и Python.

Большая часть функциональных возможностей БЕшС8 представлены библиотекой БоШп. Эта библиотека позволяет решать задачи для моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, а также обладает функционалом для работы с расчетными сетками. Имеются некоторые дополнительные утилиты автоматизирующее процесс построения матрицы и правой части из вариационной постановки задачи, утилиты для конвертации сетки и др. Все это дает широкие возможности использования БЕшС8 для численного моделирования широкого круга задач инженерных и научных вычислений.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей, вычислительных алгоритмов для задач тепло- и массопереноса в проблеме рационального природопользования в условиях криолитозоны.

В первой главе разрабатывается вычислительный инструментарий на примерах модельных задач. Исследуется неявные схемы для решения задачи Стефана. Рассматривается математическая модель, описывающая замораживание грунта с использованием термостабилизирующей горизонтально— естественнодействующей трубчатой системы. Приводится численное моделирование естественной (свободной) конвекции на модельной задаче для разработки вычислительного инструмента для численного моделирования распространения тепла внутри теплицы. Вычислительные алгоритмы реализуются с использованием метода конечных элементов для аппроксимации по пространству на неструктурированных расчетных сетках, позволяющего проводить численное моделирование в областях со сложной геометрией с учетом слоистой структуры грунта, в том числе и на параллельных вычислительных системах.

Во второй главе рассматриваются проблемы численного моделирования динамики температурного режима грунтовых оснований железных дорог в зоне распространения многолетнемерзлых грунтов. Сформулировано граничное условие, отражающие полный комплекс основных региональных характеристик климата, а не только температуру воздуха. С помощью созданного программного

продукта численно исследуются влияние теплоизоляции при различном его расположении, а также влияние использования сезонно-охлаждающих устройств. Численное решение задачи приводится в двумерной и трехмерной постановках. В трехмерном случае проводится численное исследование эффективности использования различных решателей и предобуславливателей.

В третьей главе рассматривается численное моделирование температурного режима круглогодичных теплиц, возводимых в зоне распространения мно-голетнемерзлых грунтов с учетом естественной конвекции воздуха. Математическая модель описывающая движение воздуха в поле силы тяжести за счет неравномерности температурного поля описывается приближением Буссинеска для системы уравнений Навье -Стокса и уравнения теплопроводности с конвективным слагаемым. Для численного решения последнего уравнения при существенном преобладании конвективных слагаемых над кондуктивными предлагается использовать схемы аппроксимации со стабилизацией. Численно исследуется влияние теплоизоляции основания теплицы. Проводится численные расчеты теплопотерь через стены, кровлю теплицы для различных типов теплиц с использованием СНИПов.

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору Вабищевичу Петру Николаевичу за научное руководство и Васильевой М.В. за научное наставничество и оказание всесторонней поддержки. Автор выражает благодарность своим коллегам по научно-исследовательской кафедре «Вычислительные технологии» СВФУ за полезные советы и помощь редактировании работы, а также сотрудникам лаборатории геотермии криолитозо-ны Института мерзлотоведения СО РАН им. П.И.Мельникова за предоставление экспериментальных и натурных данных по системе «земляное полотно» проблемных участков железной дороги «Амуро-Якутская магистраль».

Глава 1

Численные решения задач тепло- и массопереноса с

фазовыми переходами

Исследуются математические модели для численного решения задач тепло-и массопереноса с фазовыми переходами. Для моделирования теплового режима грунтов используется уравнение теплопроводности с учетом фазовых переходов поровой влаги (вода-лед) [108]. Строится модель теплопереноса в системе грунт-труба. Приводится численное решение задачи свободной конвекции с использованием приближения Буссинеска [12,64]. Вычислительные алгоритмы строятся на основе метода конечных элементов [8,16,39,60], что позволяет наиболее полно учитывать геометрию и строение моделируемых объектов. Для аппроксимации по времени используется стандартная чисто неявная разностная схема [62, 106]. Рассматривается линеаризация по предыдущему временному слою, также итерационный метод Ньютона для решения нелинейных задач [35, 39]. Программная реализация базируется на компонентах свободных библиотек численного анализа.

1.1 Введение

При строительстве зданий или инженерных сооружений на многолетнемерз-лых основаниях необходимо проводить численное исследование температурного режима грунтовых оснований и фундаментов с учетом процессов тепло- и мас-сопереноса с фазовыми переходами [82,89,98,109,112]. Прогнозирование термомеханического состояния протаивающих-промерзающих насыщенных грунтов и их взаимодействие с зданиями и сооружениями сегодня является особенно актуальной с учетом глобального потепления.

пользуется закон сохранения энергии с учетом фазовых переходов поровой влаги (вода-лед). При построении математической модели учитываются основные климатические факторы: амплитуда среднегодовых колебаний температуры воздуха, радиационно-тепловой баланс, высота и плотность снежного покрова [102, 103]. Количественные значения основных климатических параметров необходимы для построения математической модели, применение которых позволяет прогнозировать изменения температурного режима грунтов и, развитие криогенных процессов и их воздействие на глубину протаивания грунта.

Особенностью моделирования рассматриваемых проблем криолитозоны является ярко выраженная геометрическая разномасштабность моделируемых объектов. Таким образом, даже при использовании существенно неравномерных расчетных сеток, размеры этих сеток получаются достаточно большими: типичная расчетная сетка содержит несколько миллионов ячеек. Численное решение таких задач в настоящее время невозможно без применения вычислительных систем параллельной архитектуры. В настоящее время нет программного обеспечения для прогнозирование температурного режима и механического состояния грунтов в условиях вечной мерзлоты, учитывающего вышеприведенные особенности. Существующие на сегодня прикладные программы для моделирования динамики мерзлых оснований с учетом фазовых переходов созданы в основном на базе конечно-разностных методов. Поэтому имеют существенные ограничения со сложной геометрией расчетной области и по этой причине не позволяют учитывать в полной мере все геометрические особенности моделируемых объектов.

1.2 Задача теплопереноса с фазовыми переходами

Основные подходы математического моделирования теплопереноса в мно-голетнемерзлых грунтах строятся на идее локализации области фазового перехода. Для моделирования процессов теплопереноса с фазовыми превращениями используется классическая модель Стефана с постоянной температурой на границе фазового перехода [81,105,108,116,117]. При численном исследовании модели Стефана существуют два основных подхода: методы с выделением границы раздела фаз и методы сквозного счета. В первом подходе используется методы, в которых положение свободной границе фазового перехода определяется на каждом временном слое положением соответствующих узлов. Для приближенного решения многомерных задач широкое распространение получил второй подход, заключающийся в построении методов сквозного счета. В нем используется обобщенная формулировка классической задачи Стефана, при которой условия Стефана включаются в само уравнение теплопроводности с применением дельта-функции.

1.2.1 Двумерная задача Стефана

Будем предполагать, что фазовый переход вода-лед происходит при некоторой заданной температуре фазового перехода Т* в области О = О- и О+ (смотри рис. 1.1). Здесь О+^) — область занятая талым грунтом, где температура превышает температуру фазового перехода:

о+(г) = [х\х е О, т(х,г) > т*}, и О-(г) — область занятая мерзлым грунтом:

О-(£) = [х\х е О, Т(х,г) < Т*}.

Г1

г

* 5 ... _ + * «. -

п-

г

Г3

Рисунок 1.1: Расчетная область.

Тепловое состояние грунта может быть выражена двумя функциями: энтальпией Н(ж,£), температурой Т(ж,£). Энтальпия является монотонно возрастающей функцией температуры, имеющий скачок в точке замерзания грунтовой воды при (Т = Т*):

Н (Т ) =

Н- = р-с-Т, Т <Т*,

Н+ = р+Ь + р-с-Т* + р+с+(Т - Т*), Т > Т*,

где Ь — удельная теплота фазового перехода, р+,с+ и р~, с- — плотность и удельная теплоемкость талой и мерзлой зоны, соответственно.

Поскольку рассматривается процесс распространения тепла в насыщенной пористой среде, то для коэффициентов имеем:

с~р~ = (1 - т)с8Ср8С + тсгрг, с+р+ = (1 - т)с8Ср8С + теп,рш,

где т - пористость. Индексы вс^^ соответствуют пористой среде, воде и льду. Для коэффициентов теплопроводности в талой и мерзлой зоне имеем аналогич-

ные соотношения:

Л = (1 — т)Х8С + \+ = (1 — т)Хзс + тХи}.

Определим индикаторную функцию ф:

Ф = Ф(Т) =

0, т <т*

1, т>т*

и запишем энтальпию в следующем виде:

н = Нх + р+Ьф,

где

Нх =

р с Т, х е О ,

р~с~Т* + р+с+(Т — Т*), х е О+.

Для Нх верны следующие соотношения:

дН\

р с

Р+С+

дТ

дТ ~дЪ'

х е О

х

е О+.

дН\

дхп

=

р с

Р+С+

дТ

дХ{

дТ

дхп

, % = 1,2,3, х е О—, , г = 1, 2,3, х е О+.

Уравнение сохранения энергии в энтальпийной формулировке во всей области О = О — и О+ имеет вид:

дН

~дъ

— а1у (Л grad Т) = 0.

(1.1)

Уравнение (1.1) запишем в следующем виде:

дТ дф СШ— + рь^^т — div (Х(ф) grad Т) = 0,

(1.2)

для коэффициентов уравнения имеем следующие соотношения:

с

= р с + ф(р+с+ — р с )

\(ф) = + ф(\+ ).

На практике фазовые превращения происходят в малом интервале температуры [Т* - А,Т* + А]. В качестве приближения для функции ф можно взять

функцию Фа:

0, Т <Т* - А,

Фа(Т, А)={

Т-Т * + А

, Т* — А <Т<Т* + А,

2А

Поскольку

1, Т > Т* + А.

дфА дфА дТ ^ дТ = Фа

dt дТ dt

dt

где

то

Фа =

9фа дТ ,

фа = <

о, Т < Т* — А,

, Т* — А <Т<Т* + А,

2А

0, Т > Т* + А.

V

Таким образом, получим следующее уравнение для температуры во всей расчетной области

дТ

(с(Фа) + рМА) — &у(\(Фа) grad Т) = 0,

которое является нелинейным уравнением параболического типа [108]. Уравнение (1.3) дополняется начальным условием:

Т(х, 0) = То, х е П. 18

(1.3)

1

Граничные условия формулируются следующим образом:

дТ

-Х(Фд)^ = а(Т - Тагг), ж е Гь (1.5)

-Х(фд)^ = 0, ж е Г2, (1.6)

оп

Т = Тс, ж е Гз, (1.7)

где а — коэффициент конвективного теплообмена, Та,1Г — температура наружного воздуха.

1.2.2 Конечно-элементная дискретизация

Для численного решения задачи проведем аппроксимацию уравнения (1.3) с учетом граничных условий с использованием метода конечных элементов [39]. Умножим уравнение для температуры на функцию V и проинтегрируем его с использованием формулы Грина. Это даст

/ (с(Фд) + р1 Ьф'Д) + [ (Х(фд) grad Т, grad у) Ах +

т ш JQ

Г (1.8)

+ а(Т - Тагг= 0, У^ е Н

•/Г1

Здесь Н— пространство Соболева, состоящее из функций V таких, что V2 и |2 имеют конечный интеграл.

Определим равномерную, для простоты, сетку по времени

шт = {Г = п • т, п = 0,1,...,ЛЬ, тЩ = гтах},

и проведем аппроксимацию по времени с использованием стандартной чисто неявной схемы. Для линеаризации уравнения воспользуемся простейшей линеаризацией, когда коэффициенты определяются по значениям с предыдущего вре-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степанов Сергей Павлович, 2018 год

Литература

1. Alexiades V. Mathematical modeling of melting and freezing processes. — CRC Press, 1992.

2. Andersland O. B., Ladanyi B. An introduction to frozen ground engineering. — Chapman & Hall, 1994.

3. Andersland O. B, Ladanyi B. Frozen ground engineering. — John Wiley & Sons, 2004.

4. Andersland O. B, Ladanyi B. An introduction to frozen ground engineering. — Springer Science & Business Media, 2013.

5. Application of a large eddy simulation model to study room airflow / S. J. Emmerich, K. B. McGrattan, S. Kato, A. J. Baker // Ashrae Transactions. — 1998. —Vol. 104. —P. 1128.

6. Ascher U. M. Numerical methods for evolutionary differential equations. — Society for Industrial Mathematics, 2008.

7. Balay S., Gropp W. D., et al. L. Curfman McInnes. Efficient Management of Parallelism in Object Oriented Numerical Software Libraries. — 1997. — P. 163202.

8. Braess D. Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics. — Cambridge University Press, 2007.

9. Brenner S., Scott L. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. — New York : Springer-Verlag, 2007.

10. Brooks A. N., Hughes T. JR. Streamline upwind/Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible

Navier-Stokes equations // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 1982. - Vol. 32, no. 1-3. - P. 199-259.

11. Chorin A. J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations // Mathematics of computation. - 1968. - Vol. 22, no. 104. - P. 745-762.

12. Christon M. A., Gresho P. M., Sutton S. B. Computational predictability of time-dependent natural convection flows in enclosures (including a benchmark solution) // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2002. -Vol. 40, no. 8. - P. 953-980.

13. Dym C. Principles of mathematical modeling. - Academic press, 2004.

14. Eriksson K., Johnson C. Adaptive finite element methods for parabolic problems I: A linear model problem // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1991. — Vol. 28, no. 1.-P. 43-77.

15. Eriksson K., Johnson C. Adaptive finite element methods for parabolic problems IV: Nonlinear problems // SIAM Journal on Numerical Analysis.- 1995. — Vol. 32, no. 6. - P. 1729-1749.

16. Ern A., Guermond J. Theory and practice of finite elements. - Springer Science & Business Media, 2013. - Vol. 159.

17. Forsythe G. E., Wasow W. R. Finite Difference Methods for Partial Differential Equations. - New York : Wiley, 1960.

18. Gershenfeld N. A. The nature of mathematical modeling.- Cambridge university press, 1999.

19. Goda K. A multistep technique with implicit difference schemes for calculating two-or three-dimensional cavity flows // Journal of Computational Physics. -1979. - Vol. 30, no. 1. - P. 76-95.

20. Gornov V. F., Stepanov S. P., Vasilyeva M. V. et al. Mathematical modeling of heat transfer problems in the permafrost // AIP Conference Proceedings / AIP. — Vol. 1629. — 2014. — P. 424-431.

21. Grossmann C., Roos H. G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential equations. — Springer Verlag, 2007.

22. Guermond J. L., Minev P., Shen J. An overview of projection methods for incompressible flows // Computer methods in applied mechanics and engineering. — 2006. — Vol. 195, no. 44. — P. 6011-6045.

23. Guermond J. L., Shen J. A new class of truly consistent splitting schemes for incompressible flows // Journal of computational physics. — 2003.— Vol. 192, no. 1. —P. 262-276.

24. Gustafsson B. High order difference methods for time dependent PDE. — Springer Verlag, 2008.

25. Harris J. S. Ground Freezing in Practice. — Thomas Telford Limited, 1995.

26. An overview of Trilinos : Rep. / Technical Report SAND2003-2927, Sandia National Laboratories ; Executor: M. Heroux, R. et al. Bartlett: 2003.

27. Trilinos Developers Guide : Rep. : SAND2003-1898 / Sandia National Laboratories ; Executor: M. A. Heroux, J. M. Willenbring, R. Heaphy : 2003.

28. Hoffman J., Jansson J., Nazarov M. A general Galerkin finite element method for the compressible Euler equations // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2008.

29. Hoffman J., Johnson C. G2 for Navier-Stokes Equations // Computational Turbulent Incompressible Flow: Applied Mathematics: Body and Soul 4. — 2007. —P. 209-218.

30. Hughes T. JR. The finite element method: linear static and dynamic finite element analysis. - Courier Corporation, 2012.

31. Hundsdorfer W. H., Verwer J. G. Numerical solution of time-dependent advection-diffusion-reaction equations. - Springer Verlag, 2003.

32. Johnson G. M. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. - Cambridge : Cambridge University Press, 1987.

33. Karimi-Fard M., Durlofsky L. J., Aziz K et al. An efficient discrete fracture model applicable for general purpose reservoir simulators // SPE Reservoir Simulation Symposium / Society of Petroleum Engineers. - 2003.

34. Karimi-Fard M., Firoozabadi A. et al. Numerical simulation of water injection in 2D fractured media using discrete-fracture model // SPE annual technical conference and exhibition / Society of Petroleum Engineers. - 2001.

35. Kelley C. T. Solving nonlinear equations with Newton's method. - SIAM, 2003.

36. Kim J., Deo M. D. Finite element, discrete-fracture model for multiphase flow in porous media // AIChE Journal. - 2000. - Vol. 46, no. 6. - P. 1120-1130.

37. Knabner P., Angermann L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. - Springer Verlag, 2003.

38. Larsson S., Thomee V. Partial differential equations with numerical methods. -Springer Verlag, 2003.

39. Logg A., Mardal K.-A., Wells G. Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. - Springer Science & Business Media, 2012.

40. MTL4 (The Matrix Template Library 4). - http://www.simunova.com/ de/node/24.

41. Meyer W. J. Concepts of mathematical modeling. — Courier Corporation, 2012.

42. Mitchell A. R., Griffiths D. F. The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. — Chichester : Wiley, 1980.

43. PETSc Users Manual : Rep. : ANL-95/11 - Revision 3.2 / Argonne National Laboratory ; Executor: S. Balay, J. Brown, et al. : 2011.

44. Balay S., Brown J., Buschelman K. et al. PETSc Web page.— 2011.— http://www.mcs.anl.gov/petsc.

45. Pain C. C., Eaton M. D., Smedley-Stevenson R. P. et al. Streamline upwind Petrov-Galerkin methods for the steady-state Boltzmann transport equation // Computer methods in applied mechanics and engineering. — 2006. — Vol. 195, no. 33. —P. 4448-4472.

46. Pavlova N. V., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V. Mathematical modeling of thermal stabilization of vertical wells on high performance computing systems // International Conference on Large-Scale Scientific Computing / Springer. — 2013. —P. 636-643.

47. Quarteroni A., Valli A. Numerical approximation of partial differential equations. — Springer Science & Business Media, 2008. — Vol. 23.

48. Richtmyer R. D., Morton K. W. Difference Methods for Initial-Value Problems. — New York : Wiley, 1967.

49. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — Society for Industrial Mathematics, 2003.

50. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Iliev O. P. et al. Numerical simulation of convection/diffusion phase change problems—a review // International journal of heat and mass transfer. — 1993. — Vol. 36, no. 17. — P. 4095-4106.

51. Schäfer M., Turek S., Durst F. et al. Benchmark computations of laminar flow around a cylinder // Flow simulation with high-performance computers II. — Springer, 1996. — P. 547-566.

52. Smith G. D. Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods. — Oxford university press, 1985.

53. Stepanov S. P., Sirditov I. K., Vabishchevich P. N.et al. Numerical Simulation of Heat Transfer of the Pile Foundations with Permafrost // International Conference on Numerical Analysis and Its Applications / Springer. — 2016.— P. 625-632.

54. Stepanov S. P., Vasilyeva M. V., Vasilyev V. I. Numerical simulation of the convective heat transfer on high-performance computing systems // AIP Conference Proceedings / AIP Publishing. — Vol. 1773. — 2016. — P. 110011.

55. Strang G., Aarikka K. Introduction to applied mathematics. — Wellesley-Cambridge Press Wellesley, MA, 1986. — Vol. 16.

56. Strikwerda J. C. Finite difference schemes and partial differential equations. — Society for Industrial Mathematics, 2004.

57. Temam R. Sur l'approximation de la solution des equations de Navier-Stokes par la methode des pas fractionnaires (II) // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1969. — Vol. 33, no. 5. — P. 377-385.

58. Tezduyar T. E. Stabilized finite element formulations for incompressible flow computations // Advances in applied mechanics. — 1991. — Vol. 28. — P. 1-44.

59. Thomas J. W. Numerical Partial Differential Equations. Finite Difference Methods. — Berlin : Springer-Verlag, 1995.

60. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. — Springer, 1984. —Vol. 1054.

61. Turek S. Efficient Solvers for Incompressible Flow Problems: An Algorithmic and Computational Approache. — Springer Science & Business Media, 1999. — Vol. 6.

62. Vabishchevich P. N. Time step for numerically solving parabolic problems // International Conference on Finite Difference Methods / Springer. — 2014.— P. 96-103.

63. Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V., Pavlova N. V. Numerical simulation of thermal stabilization of filter soils // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2015. — Vol. 7, no. 2. — P. 154-164.

64. Wakashima S., Saitoh T. S. Benchmark solutions for natural convection in a cubic cavity using the high-order time-space method // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2004. — Vol. 47, no. 4. — P. 853-864.

65. Walter J., Koch M. et al. uBLAS // Boost C++ software library available from http://www. boost. org/doc/libs. — 2006.

66. Аксельруд Г. А., Альтшулер М. А. Введение в капиллярно-химическую технологию // М.: Химия. — 1983. — Vol. 264. — P. 3.

67. Аксельруд Г. А., Лысянский В. М. Экстрагирование:(Система твердое тело-жидкость). — Химия. Ленингр. отд., 1974.

68. Аргунова К. К., Бондарев Э. А., Рожин И. И. Тепловое взаимодействие нефтедобывающих скважин с многолетнемерзлыми горными породами // Наука и образование. — 2008. — no. 4. — P. 78-83.

69. Аргунова К. К., Бондарев Э. А., Рожин И. И. Изучение влияния нефтедобывающих скважин Ванкорского месторождения на тепловой режим грунтов // Инженерная экология. — 2009. — no. 2. — P. 43.

70. Ашихмин В. Н., Гитман М. Б., Келлер И. Э. и др. Введение в математическое моделирование. — Общество с ограниченной ответственно-стью"Логос 2004.

71. Батунер Л. М., Позин М. Е. Математические методы в химической технике. — 1963.

72. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности: В 2-х частях: Учебное пособие. — Высшая школа, 1982.

73. Берд Р, Стьюарт В, Лайтфут Е. Явления переноса. — 1974.

74. Будак Б. М, Соловьева Е. Н., Успенский А. Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1965.— Vol. 5, no. 5.— P. 828-840.

75. Бэррер Р. Диффузия в твердых телах: Пер. с англ. — Изд-во иностр. лит, 1948.

76. Вабищевич П. Н. Численное моделирование. — Москва : Издательство Московского книверситета, 1993.

77. Вабищевич П. Н. Вычислительные методы математической физики. Нестационарные задачи. — Москва : Вузовская книга, 2009.

78. Вабищевич П. Н., Варламов С. П., Васильев В. И. и др. Математическое моделирование теплового режима железнодорожного полотна в условиях криолитозоны // Вестник Северо-Восточного федерального университета им. МК Аммосова. — 2013. — Vol. 10, no. 5.

79. Вабищевич П. Н., Варламов С. П., Васильев В. И. и др. Численное моделирование температурного поля многолетнемерзлого грунтового основа-

ния железной дороги // Математическое моделирование. — 2016. — Уо1. 28, по. 10. —Р. 110-124.

80. Вабищевич П. Н., Васильева М. В., Горнов В. Ф. и др. Математическое моделирование искусственного замораживания грунтов // Вычислительные технологии. — 2014. — Уо1. 19, по. 4. — Р. 19-31.

81. Вабищевич П. Н., Илиев О. П. Численное решение сопряженных задач тепло-и массопереноса с учетом фазового перехода // Дифференц. уравнения. — 1987. — Уо1. 23, по. 7. — Р. 1127-1132.

82. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е. и др. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. — М.:Наука, 1996.

83. Васильев В.И., Сидняев Н.И., Федотов А.А. и др. Моделирование распределения нестационарных температурных полей в зонах вечной мерзлоты при проектировании геотехнических сооружений. — М.:Курс, 2017.

84. Васильев В. И., Васильева М. В., Степанов С. П. и др. Математическое моделирование температурного режима грунтов фундаментов в условиях многолетнемерзлых пород // Вестник Московского государственного технического университета им. НЭ Баумана. Серия «Естественные науки». — 2017. —по. 1 (70). —Р. 142-159.

85. Велли Ю Я. Здания и сооружения на Крайнем Севере: справочное пособие. — Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строит. материалам, 1963.

86. Втюрина Е. А., Втюрин Б. И. Льдообразование в горных породах. — Наука, 1970.

87. Докучаев В. В. Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах. — Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строит. материалам, 1963.

88. Дядькин Ю. Д., Зильберборд А. Ф. Тепловые и механические процессы при разработке полезных ископаемых: горные работы в массиве мерзлых пород. — Наука, 1965.

89. Иванов Н. С. Теплообмен в криолитозоне. — Изд-во Академии наук СССР, 1962.

90. Иванов Н. С. Тепло-и массоперенос в мерзлых горных породах. — Наука, 1969.

91. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана // Математический сборник.— 1961. — Vol. 53, no. 4. — P. 489-514.

92. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел. — 1964.

93. Колдоба А. В., Повещенко Ю. А., Попов Ю. П. Об одном алгоритме решения уравнения теплопроводности на неортогональных сетках // Дифференциальные уравнения. — 1985. — Vol. 21, no. 7. — P. 1273-1276.

94. Колдоба А. В., Повещенко Ю. А., Попов М. В. и др. Математическое моделирование лазерного спекания двухкомпонентных порошковых смесей // Препринты Института прикладной математики им. МВ Келдыша РАН. — 2009. —no. 0. —P. 38-15.

95. Крылов Д. А., Сидняев Н. И., Федотов А. А. Математическое моделирование распределения температурных полей // Математическое моделирование. — 2013. — Vol. 25, no. 7. — P. 3-27.

96. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — 1967.

97. Лыков А. В. Тепломассообмен. Справочник. — 1978.

98. Мейрманов А. М. Задача Стефана. — Изд-во"Наука,"Сибирское отд-ние, 1986.

99. Меламед В. Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых переходах. — Наука, 1980.

100. Мещерин И. В., Калмыков А. М., Сидняев Н. И. и др. Задача определения температурного поля в мерзлых грунтах // Альманах современной науки и образования. — 2012. — по. 7. — Р. 90-93.

101. Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана // ДАН СССР. — 1960. — Уо1. 135, по. 5. — Р. 1054-1057.

102. Павлов А. В. Теплофизика ландшафтов. — Наука. Сиб. отд-ние, 1979.

103. Павлов А. В. Расчет и регулирование мерзлотного режима почвы. — Наука, Сибирское отд-ние, 1980.

104. Павлов А. В., Перльштейн Г. З., Типенко Г. С. Актуальные аспекты моделирования и прогноза термического состояния криолитозоны в условиях меняющегося климата // Криосфера Земли. — 2010. — Уо1. 14, по. 1. — Р. 312.

105. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. — Звайгзне, 1967.

106. Самарский А. А. Теория разностных схем. — Москва : Наука, 1989.

107. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. — Москва : Наука, 1976.

108. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача.— Москва, Едиториал УРСС, 2003.

109. Самарский А. А., Моисеенко Б Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1965. — Уо1. 5, по. 5. — Р. 816-827.

110. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — Наука, 1978.

111. Сидняев Н. И., Федотов А. А., Мельникова Ю. С. Управление распределением температурных полей в криолитозоне // Academia. Архитектура и строительство. — 2010. — no. 3.

112. Фельдман Г. М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. — Наука, 1973.

113. Хакимов Х. Р. Вопросы теории и практики искусственного замораживания грунтов. — Изд-во Академии наук СССР, 1957.

114. Хрусталев Л. Н. Температурный режим вечномерзлых грунтов на застроенной территории. — Наука, 1971.

115. Хрусталев Л .Н., Никифоров В. В., Войтковский К. Ф. Стабилизация вечномерзлых грунтов в основании зданий. — Наука. Сиб. отд-ние, 1990.

116. Цыпкин Г. Г. Течения с фазовыми переходами в пористых средах. — Физ-матлит, 2009.

117. Цытович Н. А., Сумгин М. И. Основания механики мерзлых грунтов.— Изд-во Академии наук СССР, 1937.