Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Артюшкова, Марина Евгеньевна

• Артюшкова, Марина Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Артюшкова, Марина Евгеньевна

1 Введение

1.1 Актуальность исследований

1.2 Цели и задачи работы.

1.3 Защищаемые положения.

1.4 Научная новизна.б

1.5 Теоретическая и практическая ценность.

1.6 Апробация работы.

1.7 Содержание работы.

2 Теория Ферстенберга для уравнения Якоби

2.1 Постановка задачи.

2.2 Модель Я. Б. Зельдовича.

2.3 Уравнение Якоби па геодезической.

2.4 Случайная кривизна.

2.5 Мультипликативное решение уравнения Якоби.

2.6 Теория Ферстенберга для произведения независимых случайных матриц.

2.7 Задачи численного эксперимента

3 Численное моделирование решений уравнения Якоби и статистических моментов

3.1 Постановка задачи.

3.2 Численный эксперимент.

3.3 Генераторы случайных чисел.

3.4 Результаты численного исследования.

3.4.1 Типичная реализация поля Якоби.

3.4.2 Среднее и высшие статистические моменты модуля поля Якоби

3.4.3 Среднее поле Якоби

3.5 Обсуждение результатов главы

4 Численное моделирование распределения сопряженных точек на геодезической со случайной кривизной

4.1 Постановка задачи.

4.2 Численный эксперимент.

4.3 Результаты численного исследования.

4.4 Обсуждение результатов главы.

5 Моделирование мелкомасштабного динамо уравнением Якоби

5.1 История исследования проблемы мелкомасштабного динамо

5.2 Уравнение Якоби и уравнение индукции.

5.3 Модель с обновлением. Результаты численного исследования

5.4 Модели с эффектом памяти. Результаты численного исследования

5.5 Обсуждение результатов главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной»

1.1 Актуальность исследований

Еще в 1964 году Я. Б. Зельдович обратил внимание на то, что влияние небольших неоднородностей плотности во Вселенной, которые присутствуют в ней, несмотря на ее исключительную степень однородности и изотропии, не сводится к флуктуациям сети изотропных геодезических и некоторому шуму, вносимому таким образом в космологические тесты [Зельдович 1964]. Оказывается, что возникает небольшое систематическое искажение космологических тестов, которые делают Вселенную, кривизна пространственного сечения которой в среднем равна пулю, в определенной степени похожей на открытую космологическую модель. Удается ввести понятие эффективной кривизны, которая оказывается отрицательной и пропорциональной величине неоднородностей. Во Вселенной с неоднородностями наблюдатель, измеряющий кривизну пространственного сечения путем сопоставления угловых размеров и расстояния до стандартного объекта, получит вместо осредненного значения кривизны, равного нулю, ее эффективное значение, которое окажется отрицательным.

Несмотря на большой аналитический прогресс в изучении эффекта Я. Б. Зельдовича, представляется необходимым поддержать эти результаты данными численного моделирования. Во-первых, аналитические результаты представляют собой некоторые утверждения об асимптотическом поведении решений без оценки скорости выхода на ассимптотику. Во-вторых, теория в полной мере использует модель флуктуаций как случайного поля. Эта модель хорошо зарекомендовала себя в физике, но все же она не всегда может адекватно применяться к конкретным физическим задачам; в контексте космологии на эту ограниченность указывал Я. Б. Зельдович. Поскольку аналитические результаты о поведении решений уравнения Якоби [Ламбурт и др. 2003а] кардинально нарушают привычные представления статистической физики, их верификация методами численного моделирования представляется необходимой. В то же время такие работы практически отсутствуют в литературе.

Работа Я. Б. Зельдовича [Зельдович 1964] была одной из ранних работ, в которых были обнаружены неожиданные свойства уравнений со случайными коэффицентами. В дальнейшем изучение этих явлений проходило в основном на материале физики конденсированного состояния, где они входят в круг явлений локализации (физика твердого тела) и перемежаемости (гидродинамика). Уравнение Якоби интересно не только в космологическом контексте, но и как достаточно простое модельное уравнение, на котором поведение решений уравнений со случайными коэффициентами можно изучить гораздо глубже, чем на сложных уравнениях физики конденсированного состояния.

В частности, модель уравнения Якоби, описывающая эффект Я. Б. Зельдовича, может быть использована и в приложении к магнитной гидродинамике в задаче турбулентного динамо. Аналитическое исследование обеих задач опирается на общие свойства матричных операторов, такие как некоммутативность и унимодулярность, поэтому уравнение Якоби может рассматриваться как модель мелкомасштабного динамо. Преимущество этой простой модели в рамках обыкновенных дифференциальных уравнений перед известными трехмерными аналогами в численном эксперименте состоит в том, что для уравнения Якоби реально получить огромный объем выборки случайных реализаций, который позволяет оценить среднее и статистические моменты.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Артюшкова, Марина Евгеньевна

Заключение

В заключение сформулируем еще раз положения, выносимые на защиту.

1. Численно продемонстрирован экспоненциальный рост и эффект перемежаемости поля Якоби. Численно получен показатель скорости роста решения уравнения Якоби, который совпадает с теоретическим показателем с высокой точностью.

2. Численно показано, что функция распределения расстояний между сопряженными точками на геодезической напоминает распределение Пуассона, а также выявлены небольшие отличия от этого распределения. Получена оценка среднего расстояния между сопряженными точками, которая с высокой точностью совпадает с теоретическими данными.

3. Показано, что рассматриваемая модель эффекта Я. Б. Зельдовича может служить моделью для задачи мелкомасштабного динамо в магнитной гидродинамике.

4. Оценен объем выборки случайных реализаций необходимый для моделирования среднего и статистических моментов уравнения Якоби, этот объем оказался неожиданно большим, порядка 105.

5. Показано, что эффекты памяти, присутствующие в реальном физическом процессе, увеличивают перемежаемость.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Артюшкова, Марина Евгеньевна, 2006 год

1. Артюшкова и Соколов 2003а. М. Е. Артюшкова, Д. Д. Соколов. Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной. // Сб. "Актуальные проблемы внегалактической астрономии, тезисы ежегодной конференции", Пущино, 2003.

2. Артюшкова и Соколов 2003b. М. Е. Артюшкова, Д. Д. Соколов. Численное моделирование распределения сопряженных точек на геодезической со случайной кривизной. // Вычислительные методы и программирование, 2003, - Т. 5(2), - С. 172-177.

3. Артюшкова и Соколов 2005. М.Е. Артюшкова, Д.Д. Соколов. Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной. // Астрономический журнал, 2005, - Т. 49, -Р. 584-589.

4. Гантмахер 1967. Ф. Р. Гантмахер Теория матриц. // М.: Наука, 1967.

5. Жаров и др. 2000. В. Е. Жаров, М. В. Сажин, Н. А, Чуйкова. Влияние нестабильности земной и небесной систем координат на определениепараметров ориентации Земли. // Астрой, ж., 2000, - Т. 77(2), -С. 144-160.

6. Зельдович 1964. Я. Б. Зельдович. Наблюдения во Вселенной, однородной лишь в среднем. // Астрономический журнал, 1964, - Т. 41, - С. 1924.

7. Зельдович и др. 1987. Я. Б. Зельдович, С. А. Молчанов, А. А. Рузмайкии, Д.Д. Соколов. Перемежаемость в случайной среде. // УФН, 1987, - Т. 152(1), - С. 3-32.

8. Зельдович и Новиков 1975. Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. Строение и эволюция Вселенной. // М.: Наука, 1975.

9. Казанцев 1967. А. Казанцев. Об усилении магнитного поля проводящей жидкостью. // ЖЭТФ, 1967, - Т. 53, - С. 1806-1813.

10. Кнут 1977. Д. Е. Кнут. Искусство программирования на ЭВМ (т. 2). // М.: Мир, 1977.

11. Ламбурт и др. 2000b. В. Г. Ламбурт, ДД. Соколов, В.Н. Тутубалин. Турбулентная диффузия в межзвездной среде. // Астрономический журнал, 2000, Т. 77, N 10, - С. 743-749.

12. Ламбурт и др. 2003а. В. Г. Ламбурт, Д. Д. Соколов, В. Н. Тутубалин. Поля Якоби на геодезических со случайной кривизной. // Математические заметки, М.: Наука, - 2003, - Т. 74(3), - С. 416-424.

13. Ламбурт и др. 2003b. В. Г. Ламбурт, Э. Р. Розендорп, Д. Д. Соколов,

14. Ламбурт и др. 2003с. В. Г. Ламбурт, Э. Р. Розендорп, Д. Д. Соколов, В. Н. Тутубалип. Геодезические со случайной кривизной на римановых и псевдоримановых многообразиях. // Сб. "Труды геометрического семинара", Казань, 2003, - С. 99.

15. Ламбурт 2006. В. Г. Ламбурт. Сопряженные точки на геодезической со случайной кривизной. // Математические заметки, 2006, - Т. 79(1),- С. 95-101.

16. Ландау и Лифшиц 2001 . Л. Д. Ландау, Е. М Лифшиц. Теория поля (8-е издание). // М.: Наука, 2001. - Т. 2.

17. Молчанов и др. 1985. С. А. Молчанов, А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов. Кинематическое динамо в случайном потоке. // УФН, 1985, - Т. 145(4), - С. 593 - 628.

18. Рузмайкин и др. 1988. А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов, А. М. Шукуров. Магнитные поля галактик. // М.: Наука, 1988.

19. Сажин 1996. М. В. Сажин. Фундаментальный предел точности ас-трометрических измерений. // Письма в Астрон. ж., 1996, - Т. 22,1. C. 643-647.

20. Синг 1963. Дж. Сит. Общая теория относительности. // М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

21. Тутубалин 1992. В. Н. Тутубалин. Теория вероятностей и случайных процессов. // М.: Изд-во МГУ, 1992.

22. Artyushkova at al. 2005b. M. E. Artyushkova, E. V. Ivanova, D. D. Sokoloff. Intermittency in dynamo and Jacobi equations. // International Conference on Theoretical Physics, Abstracts, Moscow, Lebedev Institute, 2005, - P. 80.

23. Artyushkova and Sokoloff 2006. M. E. Artyushkova, D. D. Sokoloff. Modelling small-scale dynamo by Jacobi equation. // Magnetihydrodynamics, 2006, - V. 42(1), - P. 3-19.

24. Belyanin at al. 1993. M. Belyanin, A. Shukurov and D. Sokoloff. Simple models of nonlinear fluctuation dynamo. // Fluid Mechanics of Astrophysics and Geophysics, 1993 - V.68, - P. 237-261.

25. Brandenburg and Subramanian 2000. A. Brandenburg, K. Subramanian. Large scale dynamos with ambipolar diffusion nonlinearity Authors.// Astronomy and Astrophysics, 2000, - V. 361, - P. 33-36.

26. Brandenburg 2002. A. Brandenburg. Numerical simulations of turbulent dynamos. // Highlights of Astronomy, 2002, - V. 12, - P. 742-744.

27. Brandenburg and Subramanian 2005. A. Brandenburg, K. Subramanian. Astrophysical magnetic fields and nonlinear dynamo theory.// Physics Reports, 2005, - V. 417, - P. 1-209.

28. Birkoff 1937. G. D. Birkoff. On product integration. // Journ of Math, and Phys., -1937, V. 16, - P. 104 - 132.1.I

29. Chertkov at al. 1999. M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov and M. Vergassola. Small-scale turbulent dynamo. // Phys. Rev. Lett., 1999, - V. 83, - P. 4065-4069.

30. De Felice, Clarke 1990. F. De Felice, C.J.S. Clarke. Relativity on curved manifolds. // Cambridge, 1990.

31. Elperin at al. 2001. T. Elperin, N. Kleeorin, I. Rogachevskii and D. Sokoloff. Strange behavior of a passive scalar in a linear velocity field. // Phys. Rev. E., 2001, - V. 63, - P. 04305-7.

32. Elperin at al. 2002. T. Elperin, N. Kleeorin, V. L'vov, I. Rogachevskii and D. Sokoloff. The clustering instability of inertial particles spatial distribution in turbulent flows. // Phys. Rev. E., 2002, - V. 66, - P. 036302-16.

33. Furstenberg 1963a. H. Furstenberg. Noncommuting random products. // Trans, of Amer. Math. Soc., 1963, - V. 108 (3), - P. 377-428.

34. Furstenberg 1963b. H. Furstenberg. A Poisson formula for semi-simple Lie groups. // Annals of Mathematics, 1963, - V.77(2), - P. 335-386.

35. Kleeorin at al. 2002. N. Kleeorin, I. Rogachevskii and D. Sokokloff. Magnetic fluctuations with zero mean field in a random fluid with a finite correlation time and a small magnetic diffision. // Phys. Rev. E., 2002, - V. 65, -P. 036303-7.

36. Krause, Radler 1980. F. Krause, K.-H. Radler. Mean field magnetohydrodynamics and Dynamo theory. // Pergamon Press, Oxford., 1980.

37. Meneguzzi at al. 1981. M. Meneguzzi, U. Frish, A. Pouquet. Helical and nonhelical turbulent dynamos. // Phys. Rev. Lett., 1981, - V. 47, -P. 1060-1064.

38. Moss 1982. D. Moss. Polytropic stellar models with a core-dynamo magnetic field.// Monthly Notices, 1982, - V. 199, P. 321-330.

39. Sazhin at al. 1998. M. V. Sazhin, V. E. Zharov, A. V. Volynkin, et al. Microarcsecond instability of the celestial reference frame. // Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1998, - V. 300, - P. 287 - 291.

40. Sazhin at al. 2001. M. V. Sazhin, V. E. Zharov, T. A. Kalinina. Parallax distortion by weak microlcnsing effect. // Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 2001, - V. 323, - P. 952.-964.

41. Schekochihin at al. 2004. A. Schecochihin, S. Cowley and S. Taylor. Simulations of the small-scale turbulent dynamo. // Astrophysical J., -2004, V. 9, - P. 276-307.

42. Schlesinger 1908. L. Schlesinger. Vorlesungen uber lineare Differentialgleichungen. // Berlin, 1908.

43. Schlesinger 1922. L. Schlesinger. Einfuhrung in die Theorrie der gewohnlichen Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage. // Berlin, 1922.

44. Zeldovich et al. 1984. Ya.B. Zeldovich, A.A. Ruzmaikin, S.A. Molchanov,D.D. Sokoloff Kinemaic Dynamo Problem in a Linear Velocity Field. // J.Fluid Mech., 1984, - V. 144, - P. 1 - 32.

45. Zeldovich at al. 1988. Ya. B. Zeldovich, A. A. Ruzmaikin, S. A. Molchanov, D. Sokoloff. Intermittency, diffusion and generation in a nonstationary random medium. // Sov. Sci. Rev., C. Math. Phys., 1988, - V. 7, P. 1 -110.

46. Zeldovich at al. 1990. Ya. B. Zeldovich, A.Ruzmaikin and D. Sokoloff. The Almighty Chance.// World Sci. Publ., 1990.