Численное моделирование процессов необратимого динамического деформирования и разрушения повреждаемых сред и конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Нехаева, Ольга Валентиновна

• Нехаева, Ольга Валентиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нехаева, Ольга Валентиновна

Введение.

Глава 1 Математическое моделирование динамических процессов микро- и макроразрушения твердых тел.

§1 Термомеханическая модель.

§2 Основные предположения.

§3 Задача о расширении и схлопывании сферической поры в вязкопластическом материале

§4 Система определяющих уравнений модели повреждаемой термоупруговязкопластической среды.

Глава 2 Численное моделирование динамического деформирования и разрушения толстостенных оболочек в одномерной постановке.

§1 Постановка задачи.

§2 Результаты расчетов для сферической оболочки.

§3 Результаты расчетов для цилиндрической оболочки.

§4 Выводы.

Глава 3 Численное моделирование процессов необратимого деформирования и разрушения двухслойной сферической оболочки, заполненной жидкостью, при столкновении с препятствием .:.

§1 Постановка задачи.

§2 Модель внешнего керамического слоя.

§3 Модель внутреннего алюминиевого слоя.

§4 Сглаживание по Лаксу.

§5 Критерий начала макроразрутттения слоев оболочки.

§6 Модель поведения заполнителя оболочки (воды).

§7 Постановка граничных и начальных условий.

§8 Метод численного расчета.

§9 Метод построения расчетных сеток для областей сложной конфигурации.

§10 Конечно-разностная схема.

§11 Конечно-разностные уравнения.

§12 Реализация граничных условий.

§13 Контактная поверхность.

§14 Константы алюминиевой оболочки.

§15 Результаты расчетов при высоких скоростях.

§16 Результаты расчетов при низких скоростях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование процессов необратимого динамического деформирования и разрушения повреждаемых сред и конструкций»

Задача удара рассматривалась многими исследователями как теоретически, так и экспериментально, поскольку это необходимо для разработки образцов новой техники, работающей в сложных динамических условиях. А также ограниченность материальных и энергетических ресурсов выступает еще одним фактором, требующем найти хотя бы частичную замену дорогостоящим и трудоемким экспериментальным исследованиям и испытаниям.

Целью данной работы является разработка алгоритмов численного моделирования и проведение исследований конкретных процессов динамического деформирования конструкций вплоть до разрушения.

Для того, чтобы выполнить численное моделирование необходимо решить две основные проблемы:

1. Выбрать модели для каждого материала, реалистично и достаточно полно описывающие процессы, происходящие в материале.

2. Создать численные алгоритмы, позволяющие рассчитывать движения материалов с большими деформациями и разрушениями при наличии свободных и контактных поверхностей.

Большинство численных методов ориентировано на один из традиционных подходов: Эйлеров или Лагранжев подход.

Достоинством эйлеровых схем является возможность вести расчеты процессов с большими деформациями. К недостаткам относится сложность реализации граничных условий на свободной поверхности и вблизи границы контакта, где приходится применять специальные процедуры [46, 47], чтобы добиться приемлемой точности.

Достоинством же лагранжева похода является относительная простота реализации условия на свободных и контактных границах [73]. Но возникают значительные трудности при проведении расчетов с большими деформациями, когда происходят значительные искажения сетки, вплоть до самопересечения ребер ячеек. Это требует перестройки разностной сетки с использованием интерполяции.

Стремление сочетать достоинства обоих подходов привело к созданию гибридных методов [71, 3, 42, 64, 65, 80], которые натпли широкое применение для решения задач взаимодействия тел [87, 10, 61].

Использование подвижных сеток делает границы счетных областей лагранжевыми. а внутри строится разностная сетка, учитывающая структуру течения, которая является эйлеровой относительно движения материала [8, 36, 12, 60, 72]. Основная трудность состоит в построении подходящей сетки. Алгоритмы построения сеток на основе вариационных принципов или квазиконформных отображений очень сложны в реализации и требуют больших затрат времени [40].

При выборе метода расчета в первую очередь необходимо выбрать способ аппроксимации дифференциальных уравнений. Одной из самых распространенных является конечно-разностная схема типа "крест". Она впервые, по-видимому, была применена к расчету упругопластических течений М.Уилкинсом [70]. Схема имеет второй порядок точности, но в граничных ячейках порядок аппроксимации снижается до первого из-за применения фиктивных ячеек.

Методика М.Уилкинса легко обобщается на случай расчета упругопластических тел, подвергающихся разрушению в процессе действия импульсного нагружения, в частности, на модели, учитывающие образование и размножение микродефектов с последующим макроразруптением.

Очень важной задачей является создание методов расчета контактного взаимодействия, поскольку точность расчета контактных границ определяет точность решения задачи в целом. Сложность реализации состоит в том, что необходимо удовлетворить не только динамическим, но и кинематическим условиям на поверхности, подлежащей определению. Для преодоления этой проблемы в ряде работ [70, 77, 88, 68] поверхность одного из взаимодействующих тел объявляется ведущей (master), а поверхность другого тела - ведомой (slave). Для ведомой поверхности ведущая является, в общем случае, жесткой криволинейной границей, вдоль которой происходит скольжение материала ведомого тела в течение одного тттага по времени.

Данное упрощение натттло широкое применение в программах расчета нестационарных процессов. Однако, такое упрощение оправдано только в случае обладания ведущим телом большим акустическим импедансом по сравнению с ведомым. Основной недостаток этих алгоритмов расчета поверхности контакта состоит в том, что вносится асимметрия в расчет контактных границ; и смена роли границ;, возможно, приведет к другому результату.

Интересная попытка симметризовать контактные границы при несимметричном алгоритме расчета сделана в работе [24], а именно - выбирать за основную границы взаимодействующих тел по очереди. Однако полной симметрии граттип, при этом, по-видимому, добиться трудно.

В работе [62] предложен симметричный алгоритм расчета контактных границ для одномерного случая (одноосная деформация). Развитие данного алгоритма на двумерный случай проведено с помощью метода штрафов [63], где для определения нормальных сил реакции, действующих на поверхности контакта, вводятся приближенные соотношения, учитывающие разности перекрытия счетных областей, занимаемых телами. Трение на контактной поверхности отсутствует. Более совершенный лагранжев алгоритм расчета контактных границ; взаимодействующих деформируемых сред, как в одномерном, так в двумерном и трехмерном случаях, учитывающий, в частности, трение, описан в работе [69]. Однако, в пространственных случаях алгоритм достаточно трудоемок и сложен в реализации.

Опыт использования численных методов решения одномерных и двумерных динамических задач деформирования и разрушения твердых тел позволяет сделать вывод о перспективности применения явных лагранже-вых конечно-разностных схем, поскольку при сравнимой точности решения, лагранжевы схемы обладают логической простотой в реализации и предъявляют менее жесткие требованиия к ЭВМ, нежели эйлеровы и смешанные схемы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Реализовано численное решение одномерных и двумерных задач с учетом как микроразрутттения двух типов (вязкое типа образования и развития микропор, по сдвиговому механизму) до полного разрушения конструкций, с учетом температурных эффектов, их взаимосвязности с процессами необратимого деформирования и микроразрутттения.

- В двумерной задаче, кроме того, впервые проведен расчет двухслойной осесимметричной конструкции из повреждаемых материалов, заполненной жидкостью, с учетом кавитации жидкости.

На защиту выносятся:

- Методика расчета одномерных и двумерных осесимметричных задач динамики необратимого деформирования и разрушения сред и конструкция.

- Результаты численного решения задач динамического деформирования и разрушения толстостенных сферических и цилиндрических оболочек в одномерной постановке с учетом микроразрушения двух типов.

- Результаты численного решения задачи динамического деформирования и разрушения двухслойной сферической оболочки, заполненной жидкость, при столкновении с препятствием.

Результаты работы докладывались на следующих научных форумах:

- Конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. Апрель

2004 года, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова.

- Конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. Апрель

2005 года, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова.

- Конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. Апрель 2007 года, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова.

- Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, повятценный 95-летию рождения А.А. Ильютпина (Москва, 19-20 янв. 2006 г.)

- 11-ая Международная конференция по разрушению (Италия, Турин, 20-25 марта 2005 г.)

-1-ая Международная конференция по вычислительным методам в науке и инженерном деле (о. Санторини, Греция, 25-27 мая 2005 г.)

-XXXIII летняя ттткола-конференция достижения в решении проблем механики"(С.-Петербург (Репино) 28-июня-5 июля 2005 г.).

-III Европейская конференция по вычислительной механике (Лиссабон, Португалия, 5-9 июня, 2006 г.).

- Конференция по вычислительным методам в динамике и сейсмостойкости конструкций (о. Крит, Греция , 13-16 июня, 2007 г.).

По теме диссертации опубликовано 17 работ.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Нехаева, Ольга Валентиновна

Заключение

Таким образом, получены следующие основные результаты.

1. Разработана методика расчета одномерных и двумерных осесимметрич-ньтх задач динамики необратимого деформирования и разрушения сред и элементов конструкций.

2. Впервые численно исследованы задачи необратимого динамического деформирования и разрушения тостостенной сферической и цилиндрической оболочки с учетом как микроразрушения с образованием и развитием дефектов типа микропор и полос адиабитического сдвига, так и макроразрушения вплоть до полного разрушения конструкций.

3. Впервые численно исследованы в двумерной постановке необратимые динамические процессы деформирования, микро- и макроразрутттения осесимметричной двуслойной оболочечной конструкции, заполненной жидкостью, при внешнем ударном воздействии на нее. Выявлены основные закономерности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нехаева, Ольга Валентиновна, 2008 год

1. Аптуков В.Н. Модель термоупругопластической поврежденной среды. Приложение к откольному разрутттению//ФГВ. 1986 -N 6. с. 120-130.

2. Белов Н.Н., Демидов В.Н., Ефремова JI.B, и др. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара и сопуствующих физических явлений// Изв-я высттт.учебньтх завед.Физика.-1992.-№8.-С.5-48

3. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике.- М.: Наука,- 1982.-392 с.

4. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ "Астрам/Препринт № 326. М.: ИПМ АН СССР, 1988. 64 с.

5. Вакуленко А.А., Качанов JI.M. Континуальная теория среды с трещинами// Изв АН СССР. МТТ. 1971. Ж 4. С. 159-166

6. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972.

7. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1978. -304 с.

8. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М.: Наука.- 1976.-400 С.

9. Голубев В.К. О расширении пор в пластических металлах при отколах // ПМТФ. 1983. -т. С. 159-165.

10. Гриднева В.А., Шахтмейстер Л.И. Исследование удара под углом методом "крупных частиц"//Вопросы механики и прикладной математики.-Томск, 1983. -С. 85-90.

11. Динамика удара/ Зукас Дж.А., Николас Т., Свифт Х.Ф. и др. М.: Мир, 1985. - 296 с.

12. Заппаров К.И., Кукуджанов В.Н. Импульсное неизотермическое деформирование упругопластических оболочек//Численньте методы решения задач упругости и пластичности: Матер. VIII Всесоюз. конф. -Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1984.-С. 16-142.

13. Иванов А.Г., Кочкин Л.И., Новиков В.Ф., Фоломеева Т.М. Высокоскоростное разрушение тонкостенных труб из мягкой стали //ПМТФ. -1983.-ДО 1.-С.112-117.

14. Ильютпин А.А. Об одной теории длительной прочности//Инж.ж. Механ. твердого тела. 1967. № 3. С. 21-35.

15. Илыотпин А.А. Механика сплошной среды . -М.: МГУ, 1971, 247 с.

16. Ильютпин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Наука, 1963. 272 с.

17. Ильютпин А.А. Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.

18. Канель Г.И., Разоренов С.В., Уткин А.В., Фортов В.Е. Ударно-волновьте явления в конденсированных редах. М.: "Яну-К", 1996. - 408 с.

19. Качанов JI.M. О времени разрушения в условиях ползучести//Изв. АН СССР. ОТН. 1958.Ж 8. С. 26-31

20. Качанов JI.M. Основы механики разрушения М.: Наука, 1974. 311 с.

21. Киселев А.Б. О граничных условиях для задач МДТТ с центральной и осевой симметрией // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 6. С. 105-107.

22. Киселев А.Б. Математическое моделирование динамического деформирования и комбинированного микроразрутттения термоупруговязкошта-стической среды// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. №6. С. 32-40

23. Киселев А.Б. Развитие метода Уилкинса для ретттения трехмерных задач соударения деформируемых тел//Взаимодействие волн в деформируемых средах. -М.: МГУ, 1984.- С. 87-100.

24. Киселев А.Б., Лукьянов А.А., Тьерсилен М. Численное моделирование динамики распространения криволинейных трещин гидроразрыва //Вестн. Моск. ун-та.Матем. Механ. 2004. № 1. С.36-41

25. Киселев А.Б., Нехаева О.В.Численное моделирование динамического деформирования и разрутттения толстостенной сферической оболочки// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. №5. С. 53-58.

26. Киселев А.Б., Нехаева О.В.Численное моделирование динамического деформирования и разрутттения толстостенной цилиндрической оболочки// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. №2. С. 33-37.

27. Киселев А.Б., Нехаева О.В. Численное моделирование процессов необратимого деформирования и разрушения двухслойной сферической оболочки, заполненной жидкостью, при столкновении с препятствием:

28. Проблемы динамики деформируемых твердых тел и горных пород. Сб. статей к 75-летию Е.Й.Шемякина//Под ред. Д.Д.Ивлева и Н.Ф. Морозова-М.:ФизМатЛит, 2006. С. 320-338.

29. Упругость и неупругость. Материалы Межд. научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, поев. 95-летию со дня рождения А.А. Ильютттина.-М.:ЛЕНАНД, 2006. С. 332-337.

30. Киселев А.Б., Юматттев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругопластической среды// Прикл. механ. и техн. физика. 1990. №5. С. 116-123.

31. Киселев А.Б., Юматттев М.В. О критериях динамического разрутттения термоупругопластической среды// Вестн. Моск. Ун-та. Матем. Механ. 1990. № 4. С. 38-44.

32. Киселев А.Б., Юматттев М.В. Математическая модель деформирования и разрутттения твердого топлива при ударном нагружении // ПМТФ.1992, № 6. С. 126-134.

33. Колобанова А.Е., Одинцов В.А., Чудов JT.A. Распространение трещины в цилиндре, нагруженном взрьтвом//Изв. АН СССР. МТТ. -1982.-№1.-С.138-149.

34. Коттдауров В.И. Тензорная модель континуального разрутттения твердых тел// Научные труды Института теплофизики экстремальных состояний ОИВТ РАН. Вьтп. З.М.: ОИВТ РАН, 2000.

35. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термодинамики конденсированной среды. М.: МФТИ, 2002. 336 с.

36. Кондауров В.И., Никитин JI.B. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.:Наука, 1990 - 207 с.

37. Кондауров В.И, Петров И.Б., Холодов А.С. Численное моделирование процесса внедрения жестоко тела вращения в упругопластическую среду //ПМТФ. -1984.-ДО4.- С. 132-139.

38. Кузнецов Н.М. Уравнения состояния и теплоемкость воды в широком диапазоне термодинамических параметров // ПМТФ. 1961. № 1. С. 112120.

39. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред//Успехи механики. 1985. Т. 8. №.4. С. 21-65. .

40. Кукуджанов В.Н. Микроскопическая модель разрушения неупругого материала и ее применение к исследованию локализации деформаций// Изв. РАН. МТТ. 1999. №4. С. 72-87

41. Кулачкова Н.А., Сахабутдинов Ж.М. Построение расчетных сеток для областей сложной конфигурации// Числ. методы механики спл. среды. Т. 16. № Новосибирск: Изд. ВЦ и ИТМ СО АН СССР, 1985. С. 68-76

42. Майборода В.П., Кравчук А.С., Холин Н.Н. Скоростное деформирование конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1986-264 с.

43. Минин В.Ф., Мусатов В.В., Селезнев А.И., Фрумин B.JI. Модицикация метода "крупных частиц"для решения двумерных нестационарных задач механики сплошных сред//Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1985. Вып. 73-С. 78-85.

44. Москвитин В.В, Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 с.

45. Нетребко А.В. Использование волновых экспериментов для определения параметров модели упругопластического тела// Вестн. Моск. ун-та. Ма-тем. Механ. 1992. №1. С. 83-88.

46. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. 271 с.

47. Николе Б. СЭЛ-совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. Числ. методы в мех. жидкости .М. Мир, 1973.-С. 165-173.

48. Нох В.Ф. СЭЛ -совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. Вычислительные методы в гидродинамике /Под ред. Б.Олдера, С.Фернбаха, М. Ротенберга . -М.: Мир, 1967.-С. 128-184

49. Огородников В.А., Тюлькин Е.С., Иванов А.Г. Прочность и вязкость металлов в широком диапазоне изменения скорости деформации //ПМТФ. -1995,-№3.-С. 134-140.

50. Одинцов В.А., Чудов Л.А. Расширение и разрушение оболочек под действием продуктов детонации// Проблемы динамики упругопластических сред . -М.: Мир, 1975. -С. 85-154.

51. Одинцов В.А. Механизм рузруптения цилиндров//Вопросы физики взрыва и удара: Сб.ст. МВТУ им. Н.Э. Баумана. -1980, вьтп.1.

52. Одинцов В.А. Бимодальное распределение фрагментов цилин-дров//ФГВ. 1991.-№5.-С. 118-122.

53. Одинцов В.А. Двумерное распределение осколков цилиндров по массе и характеристике формы //ФГВ. -1993.-Ж.-С.129-133.

54. Одинцов В.А., Шкалябин И.О. Дробящее действие смесевых ВВ в унифицированных цилиндрах //ФГВ.-1994.-№3-С.147-150.

55. Победря Б.Е. О термодинамических критериях прочности в механике композитов //Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. М.-ФИЗМАТЛИТ, 2006. С. 545-568.

56. Прагер В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Изд-во иностр. литературы, 1963.- 311 с.

57. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. -М.:Мир, 1968. 176 с.

58. Работнов Ю.Н. Механизм длительного разрушения// Сб. "Вопросы прочности материалов и конструкций". М.:Изд-во АН СССР, 1959. С. 5-7

59. Работнов Ю.Н. Механика твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

60. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.:ФМ, 1961. 400 с.

61. Реснянский А.Д., Мержиевский Л.А. Применение метода подвижных сеток в задачах разрушения твердых тел //Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1984,-Вып. 66.-С.150-157.

62. Робул Г.И. Применение метода частиц в ячейках к решению задач с вы-сокоскорорстном ударе //Числ. методы в аэродинамике. -М.; МГУ, 1980.-№5.-С. 76-84.

63. Садьтрин А.И. К определению контактных усилия при соударении упругопластических тел//Прикл. проблемы прочности и пластичности.-Горький: 1976-Вьтп. 3.-С.70-73.

64. Садрин А.И. Конечно-разностныая аппроксимация граничных условий в динамической контактной задаче//Прикл. проблемы прочности и пластичности.-1979.-Вып. 13.-С. 51-56.

65. Сапожников Г.А. Совместный метод потоков жидкости и частиц в ячейках для расчета газодинамических течений//Вопросы разработки и эксплуатации пакетов прикл. программ.-Новосибирск,-1981.-С. 89-97.

66. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1-2. М.: Наука, 1970.

67. Смирнов Н.Н. "Космический мусор"и его математические модели. Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород.М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2006. С. 684-754.

68. Таран М.Д. и др. О моделировании схлопывания квазисферических мишеней в твердотельных конусах М.: 1980.-23 с.-(Препринт /АН СССР. Ин-т прикл математики; № 127)

69. Фомин В.М., Гулидов А.И., Киселев А.Б. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск, Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.

70. Уилкинс М.Л. Расчет упруго-пластических течений// Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. 212-263.

71. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для решения задач гидродинамики //Вычисл. методы в гидродинамике /Под ред. Б. Олдера, С.Фернбаха, М. Ротнберга.- М.: Мир,1967. -С. 316-342.

72. Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный ме-тод//Численные методы в механике жидкостей. -М.:Мир, 1973. -С. 156-164.

73. Anderson С.Е. Jr. An overview of the hydrocodes//Int.J. Impact Engng. -1987.-Vol.5.-P.33-59.

74. Bazant Z. P. Reminiscences on four decades of struggle and progress in softening damage and size effect. Concr. J. (Japan Concr. Inst.), (2002) 40, 16-28.

75. Bolotin V. V. Mechanics of Fatigue., CRC Press, Boca Florida, 1999. 460p.

76. Continuum Damage Mechanics. Theory and Application. CISM. Lectures / Eds. O. Krajcinovic, J. Lemaitre. Vien: Springer, 1987.

77. Johnoson G.R. Analysis of elastic-plastic impact involving severe distortions //J. Appl. Mech.-1976.-v. 43-P.439-444.

78. Kiselev A.B., Lukyanov A.A. Mathematical modeling of dynamic processes of eversible deforming, micro- and macrostructure of solids and structures // Int. J. of Forming Processes. 2002. Vol. 5. No. 2-3-4. P. 351-362.

79. Lax P.D. Weak solution of nonlinearhyperbolic equation and their numerical computation. Comm. Pure and Appl. Math. - 1954. Vol. 7. - P. 158-193.

80. Marder B.M. GAP -a PIC -type fluid code//Math. Comput. 1975.-Vol. 29,-P. 434-446.

81. Olive F., Nicaud A., Marillean J., Loichot R. Rupture behavior of metals in explosive expansion // Mechanical properties at high strain rate: Proc. 2-nd conf. (Pxford, 1979).-Bristol, London, 1980. -P.242-251.

82. Space Debris. Hazard Evolution and Natigation. Ed. by N.N. Smirnov. L. and N.Y.: Taylor and Freencis, 2002. -222p.

83. Wilkins M.L. Modelling the behaving of materials// Structural impact and crushworthiness: Proc. Intern. Conf., L. and N.Y., 1984. V.2. P. 243-287.

84. Динамика удара/Зукас Дж., Николас Т., Свифт Х.Ф. и др. М.: Мир, 1085. 296 с.

85. Композиционные материалы: Справочник/Под ред. В.В.Васильева и Ю.М. Тарнопольского.- М.: Машиностроение, 1990.- 512 с.

86. Высокоскоростные ударные явления/Под ред. В.Н. Николаевского. -М.:Мир, 1973,- 528 с.

87. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики/Под ред. К.И. Бабенко.-М.: Наука. -1979.-295 с.