Численное моделирование пространственного обтекания заостренных тел сверхзвуковым потоком вязкого газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Пафнутьев, Владислав Викторович

• Пафнутьев, Владислав Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пафнутьев, Владислав Викторович

Оглавление.

Введение.

Г Л А В А I. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕСТОКСА И РЕЙНОЛЬДСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОСТРАНСТВЕННЫМ СВЕРХЗВУКОВЫМ ТЕЧЕНИЯМ ГАЗА.

1.1. Постановка задачи.

1.1.1. Дифференциальные уравнения НавьеСтокса.

1.1.2. Граничные и начальные условия.

1.2. Осредненные по Рейнольдсу уравнения НавьеСтокса.

1.3. Аппроксимация уравнений.

1.4. Решение нелинейных сеточных уравнений.

1.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

1.6. Об эффективности численного решения сеточных уравнений.

1.7. Построение расчетной сетки.

Г Л А В А И. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ В СОВРЕМЕННОМ НАУЧНОМ ИССЛЕДОВАНИИ.

2.1. Обзор существующих методов визуализации данных.

2.1.1. Графики зависимостей.

2.1.2. Поля функций.

2.1.3. Изолинии и линии специального вида.

2.1.4. Траектории и линии тока.

2.1.5. Векторные диаграммы и поля направлений.

2.1.6. Поверхности в пространстве.

2.1.7. Изоповерхности в пространстве.

2.2. Использование графических библиотек.

2.3. Базовые алгоритмы.;.

2.3.1. Цветовые поля.

2.3.2. Изолинии.

2.3.3. Линии тока.

2.3.4. Картины LIC.

2.3.5. Предельные линии тока.

2.3.6. Изоповерхности.

2.4. Вспомогательные алгоритмы.

2.4.1. Алгоритмы поиска и восполнения в 2D.

2.4.2. Алгоритмы поиска и восполнения в 3D.

2.5. Визуализация вихревых течений.

2.6. Интерфейс программ визуализации.

2.6.1. Элементы управления и базовые средства.

2.6.2. Использование анимации.

2.6.3. Скрипты и автоматизация выполнения и обработки.

ГЛАВА III. ОСТРЫЙ КРУГОВОЙ КОНУС В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ВЯЗКОГО СОВЕРШЕННОГО ГАЗА.

3.1. Верификация численного алгоритма.

3.2. Тонкий острый круговой конус при числе М = 4.

3.2.1. Структура поля течения.

3.2.2. Местные аэродинамические характеристики.

3.2.3. Суммарные аэродинамические характеристики.

3.3. Тонкий острый круговой конус при числе М = 5.

3.3.1. Структура поля течения.

3.3.2. Местные аэродинамические характеристики.

3.3.3. Суммарные аэродинамические характеристики.II

3.4. Влияние числа Маха.

Г Л А В А IV. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ОСТРОГО КОНУСА НА СТРУКТУРУ ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ И АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ.

4.1. Структура поля течения.

4.2. Местные аэродинамические характеристики.

4.2.1. Нулевой угол атаки.

4.2.2. Ненулевой угол атаки.

4.3. Суммарные аэродинамические характеристики.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование пространственного обтекания заостренных тел сверхзвуковым потоком вязкого газа»

Численное решение газодинамических задач на основе полных уравнений Навье-Стокса или уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях является одним из основных направлений развития вычислительной аэродинамики. Однако широкое применение подобных расчетов в научных и промышленных целях до сих пор сдерживается высокой стоимостью, связанной с необходимыми для их выполнения огромными затратами вычислительных ресурсов. По этой причине поиск экономичных численных методов наряду с совершенствованием вычислительной техники, в частности персональных компьютеров (ПК), является необходимым условием развития вычислительной аэродинамики.

На данном этапе развития ПК речь может идти лишь о моделировании пространственного сверхзвукового обтекания тел относительно простой конфигурации, например, острых эллиптических конусов. Они образуют двухпараметрическое семейство тел. Этими параметрами являются коэффициент эллиптичности 5 = Ыа, где a, b - большая и малая полуоси эллипса, и угол 0к полураствора конуса в плоскости большой полуоси. Поверхность конических тел описывается аналитическими формулами, поэтому при численном анализе уравнений динамики вязкого газа не возникает особых проблем с вычислением метрических коэффициентов и построением расчетной сетки. Кроме того, острые эллиптические конуса часто используются в качестве элементов сверхзвуковых летательных аппаратов, поэтому исследование об

-v. текания этих тел представляет не только научный, но и прикладной интерес.

В силу сказанного неудивительно, что сверхзвуковое обтекание острых конусов изучено теоретически и экспериментально в достаточно широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи. Результаты этих исследований обобщены, например, в [Башкип В.А., 1984], [Башкин В.А., Дубин Г.Н., 2000].

Экспериментальные исследования охватывают преимущественно два интервала по числу Маха. Первый из них включает в себя околозвуковые и малые сверхзвуковые скорости движения (0,6 < Мда < 3), второй - гиперзвуковые скорости, при которых проявляются эффекты разреженного газа (Моо > 10). Типичным примером первого направления служат работы [Jorgensen L.H., 1957; Реаке D.J., Owen F.K., Higuchi Н., 1978], второго - работа [Красильщиков А.П., Носов В.В., 1976]. Отметим, что первый интервал чисел Маха активно осваивался авиационной техникой, второй — космической. Экспериментальные исследования острых конических тел при больших числах Маха конечно также проводились, однако предпочтение отдавалось изучению затупленных конических тел по условиям аэродинамического нагревания.

Согласно этим исследованиям при больших числах Рейнольдса структура поля течения около тонкого кругового конуса с углом полураствора 0к, установленного под углом атаки а в сверхзвуковом потоке, определяется в основном углом атаки.

При малых углах атаки (ct/Gk < 0,8) обтекание конуса является безотрывным и симметричным. При этом в плоскости симметрии течения на наветренной стороне конуса располагается линия растекания, а на подветренной стороне - линия стекания. На этих линиях в поперечном сечении конуса давление принимает экстремальные значения, и, следовательно, поперечное течение в пограничном слое направлено от линии растекания к линии стекания.

При умеренных и больших углах атаки (0,8 < a/0k) на подветренной стороне конуса наблюдается поперечный отрыв пограничного слоя. Согласно эксперименту при числе М» = 1,8 [Peake D.J., Owen F.K., Higuchi Н., 1978] наблюдается симметричный отрыв потока при углах атаки a/0|< ^ 3,2, что обуславливает симметричность обтекания конуса, и несимметричный отрыв потока при углах атаки a/0k > 3,2, что вызывает несимметричность течения газа около конуса и появление боковой силы. При этом с ростом числа Маха предельное значение угла атаки увеличивается.

При проведении теоретических исследований по сверхзвуковому обтеканию острых конусов широко использовалась классическая асимптотическая постановка задачи - невязкое течение плюс невзаимодействующий пограничный слой.

В рамках классической постановки задачи невязкое течение около эллиптического конуса при малых и умеренных углах атаки является коническим, а решение уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя при коническом внешнем течении является автомодельным и сводится к интегрированию системы двухмерных уравнений параболического типа. В турбулентном пограничном слое течение газа неавтомодельно, и решение задачи сохраняет существенно пространственный характер (см., например, [Алексин В.А., 2003]).

Поскольку классические уравнения пограничного слоя не позволяют корректно описать течение на подветренной стороне конуса, то для решения задачи часто используются модифицированные уравнения пограничного слоя, в которых учитываются влияния центробежных сил и диффузии в окружном направлении (см., например, [Lin Т.С., Rubin S.G., 1973]). Влияние этих дополнительных членов является малым на линии растекания и на наветренной стороне и становится существенным на подветренной стороне конуса, в особенности в окрестности точки отрыва пограничного слоя. Применение этого подхода позволяет получить корректное решение задачи при малых и умеренных углах атаки, а результаты расчетов достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Однако в рамках асимптотического подхода определяются поля течения и местные аэродинамические характеристики лишь в области безотрывного обтекания тела. Как показывают результаты теоретических и экспериментальных исследований, в областях отрывного течения образуются местные «пики» теплового потока, которые оказывают заметное влияние на аэродинамическое нагревание обтекаемой поверхности и знание которых представляет большой интерес для прикладных задач.

В связи с этим необходимо решение задачи на основе полных уравнений динамики вязкого газа.

Ряд теоретических исследований по сверхзвуковому обтеканию конических тел выполнено в предположении о коническом характере течения вязкого газа, благодаря которому численное интегрирование нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса или Рейнольдса сводится к решению нестационарной двухмерной задачи (см., например, [McRae D.S., Hus-saini M.Y., 1978]). Результаты расчетов с использованием такого приближенного подхода достаточно хорошо согласуются с соответствующими экспериментальными данными. Число работ, посвященных численному моделированию сверхзвукового обтекания острых конусов на основе полных уравнений динамики вязкого газа, сравнительно невелико, и в них, как правило, речь идет об апробации численного алгоритма.

В настоящее время авиационная и космическая техника начинают осваивать большие сверхзвуковые скорости, и возникает потребность в изучении обтекания острых тонких конусов сверхзвуковым потоком при больших числах Маха под углом атаки на основе уравнений динамики вязкого газа, что и является одной из целей диссертации.

В рамках вычислительной аэродинамики разработано много различных подходов к численному решению уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса. Среди них - метод, основанный на неявной конечно-разностной схеме Бима и Ворминга [Beam R., Warming R.F., 1978], и его дальнейшая модификация [Steger J.L., 1978; Hollanders Н., Devezeaux de Lavergne D., 1987]. В этой схеме вводятся нефизические сглаживающие члены, содержащие вторые и четвертые производные от зависимых переменных и служащие для подавления осцилляций сеточных функций. Оригинальный подход к аппроксимации уравнений Навье-Стокса предложен в работах Толстыха А.И. [см., например, Толстых А.И., 1981]. Он основан на применении разностной схемы третьего порядка точности на компактном шаблоне. Однако эти и многие другие методы не гарантируют от осцилляций сеточных функций в областях резкого изменения газодинамических величин.

К наиболее надежному классу разностных схем для решения уравнений Эйлера методом сквозного счета относится монотонная схема Годунова [Годунов С.К. 1959]. Применение ее для решения уравнений Навье-Стокса долго сдерживалось невысокой точностью (первым порядком аппроксимации). В 80-е годы были созданы эффективные разностные схемы, сохраняющие свойство монотонности при повышении порядка аппроксимации [Федо-ренко Р.П., 1962; Колган В.П., 1972; Гущин В.А., Щенников В.В., 1974; Ча-краварти С.Р., Жем К.Й., 1987] и получившие название TVD [Chakravarthy S.R., Osher S., 1983; Harten A1983]. Это позволило существенно расширить класс решаемых задач в рамках уравнений Эйлера, а также распространить эти схемы на решение задач газовой динамики с учетом вязкости и теплопроводности. Так, например, в работе [Иванов М.Я., Крупа В.Г., Нигматул-лин Р.З., 1989] с применением такой схемы получены результаты численного моделирования околозвуковых режимов обтекания в рамках уравнений Навье-Стокса. Дальнейшее развитие этой схемы для решения параболизован-ных уравнений Навье-Стокса предложено Копченовым В.И. и Ласкиным И.Н. [1996]. Подобная разностная схема использована также для решения задачи взаимодействия ударной волны с турбулентным пограничным слоем [Fedorova N.N., Fedorchenko LA., Schulein E., 2001].

С вычислительной точки зрения наиболее трудоемкой частью алгоритмов решения полных уравнений газовой динамики является итерационный процесс получения стационарного решения. Эта трудоемкость в явных методах установления связана с ограничением на временной шаг по числу Куранта, в неявных методах — с выполнением матричных операций. Для неявных методов чаще других используются различные варианты метода приближенной факторизации и метод Гаусса - Зейделя, опирающийся на диагональное доминирование линейного оператора. Большое распространение получили неявные схемы переменных направлений [Douglas J., GunnJ.E., 1964]. Дальнейшим развитием этого направления явились неявные разностные схемы, основанные на линеаризации уравнений для приращений искомых функций и приближенной факторизации (расщепления) [Белоцерковский О.М., Гущин В.А., [Ценников В.В., 1975; Ковеня В.М., Яненко Н.Н., 1981; Толстых А.И., 1981].

Наиболее законченным в математическом смысле можно считать применение неявных разностных схем с последующей линеаризацией и решением системы сеточных уравнений по методу Ньютона [Егоров КВ., Зайцев O.JI., 1991]. Этот подход был разработан для численного интегрирования нестационарных двухмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности и реализован в комплексе программ применительно к персональным компьютерам (ПК). Затем он интенсивно использовался для решения ряда сверхзвуковых задач внешней и внутренней аэродинамики: круговой цилиндр, сфера, плоский и осесимметричный каналы [Башкин ВА., Егоров И.В., Иванов Д.В., 1998]. Развитие ПК, повышение их быстродействия и оперативной памяти позволяет ставить вопрос об обобщении указанного подхода на моделирование пространственных сверхзвуковых течений на основе нестационарных трехмерных уравнений динамики вязкого газа, что и является одной из целей данной диссертационной работы.

При переходе от двухмерных задач к решению трехмерных задач резко возрастает объем получаемого расчетного материала и остро встает вопрос о создании программного обеспечения по обработке, анализу и визуализации результатов расчетов. В настоящее время имеется достаточно много публикаций, посвященных разработке методов визуализации; поэтому важно отобрать наиболее эффективные подходы, модифицировать их и реализовать в комплексе программ применительно к используемому классу ПК. Создание такого комплекса сервизных программ также является одной из целей диссертационной работы.

Диссертационная работа связана с актуальным направлением вычислительной аэродинамики - численным моделированием на основе уравнений динамики вязкого газа - и ставит следующие цели:

• Обобщить подход, показавший свою эффективность при исследовании двухмерных аэродинамических задач, на численное моделирование пространственных сверхзвуковых течений вязкого газа на основе нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса и реализовать его на персональных компьютерах.

• Создать программный комплекс по визуализации и анализу расчетных данных, получаемых при решении двух- и трехмерных аэродинамических задач.

• В предположении о симметрии течения исследовать структуру поля течения и аэродинамические характеристики тонких острых эллиптических конусов, обтекаемых сверхзвуковым потоком вязкого газа под углом атаки, и изучить влияние на них определяющих параметров задачи.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 66 наименований.

Во введении освещена роль вычисленной аэродинамики на современном этапе научных исследований, сформулирована цель диссертационной работы и приведена краткая аннотация ее глав.

Первая глава посвящена описанию постановки задачи по трехмерным течениям вязкого газа и численному моделированию на основе уравнений

Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рей-нольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.

Во второй главе проведен обзор современных методов визуализации при численном исследованиях. Описаны некоторые алгоритмы, используемые в программах визуализации и анализа двух- и трехмерных течений.

Третья глава посвящена моделированию обтекания острых круговых конусов, установленных в сверхзвуковом потоке под малыми и умеренными углами атаки. Проведена верификация численного моделирования путем сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными. Проанализирован обширный расчетный материал по влиянию определяющих параметров задачи на структуру поля течения, местные и суммарные аэродинамические характеристика конуса.

В четвертой глава рассматривается обтекание острых эллиптический конусов сверхзвуковым потоком вязкого совершенного газа. Исследовано влияние формы поперечного сечения тела, угла атаки, чисел Рейнольдса и Маха на структуру поля течения, местные и суммарные аэродинамические характеристики.

В заключении кратко сформулированы основные выводы, вытекающие из опыта практического применения разработанного метода численного моделирования сверхзвуковых отрывных течений вязкого газа.

Г JIА В А I. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И РЕЙНОЛЬДСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОСТРАНСТВЕННЫМ СВЕРХЗВУКОВЫМ ТЕЧЕНИЯМ ГАЗА

При теоретическом анализе газодинамических задач все большую роль играет численное моделирование на основе интегрирования уравнений Навье-Стокса (ламинарное течение) или осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (ламинарное, ламинарно-турбулентное и развитое турбулентное течение).

Метод численного решения уравнений Навье-Стокса, разработанный ранее [Багикин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., 1997] для исследования ламинарного и турбулентных сверхзвукового обтекания плоских и осесиммет-ричных тел (двухмерная задача), был распространен на решение трехмерных сверхзвуковых ламинарных и ламинарно-турбулентных течений газа.

1.1. Постановка задачи

В рамках механики сплошной среды движение газообразной среды в общем случае описывается нестационарными трехмерными уравнениями Навье-Стокса, которые служат основой для прямого численного моделирования турбулентного течения.

Для изучения прикладных задач широко применяются уравнения Рейнольдса, которые выводятся из уравнений Навье-Стокса, с использованием гипотезы Буссинеска относительно напряжений Рейнольдса. Эти уравнения являются основой настоящего метода численного моделирования.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Пафнутьев, Владислав Викторович

Выводы

1. Подход, доказавший свою эффективность при исследовании двухмерных аэродинамических задач, обобщен на численное моделирование пространственных сверхзвуковых течений вязкого газа на основе нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях с использованием 4 двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности и реализован в комплексе универсальных программ применительно к персональным компьютерам.

2. Создан программный пакет по обработке, визуализации и анализу расчетного материала.

3. Сопоставления расчетных и экспериментальных данных по местным и суммарным аэродинамическим характеристикам исследованных тел при сверхзвуковых скоростях показали их хорошее согласование между собой и позволяют сделать вывод о корректности численного моделирования и достоверности получаемых результатов.

4. Получены и проанализированы результаты расчетов по обтеканию тонких острых эллиптических конусов сверхзвуковым потоком вязкого газа в широком диапазоне параметров подобия, которые представляют большой интерес для прикладной аэродинамики.

5. Согласно расчетам при больших числах Рейнольдса обтекание конусов является безотрывным при углах атаки а < arctg(5-tg9k) ~ 59k и отрывным при углах атаки а > arctg(5-tg9k) « 59k. При этом структура поля отрывного течения на подветренной стороне конуса зависит от числа Рейнольдса и режима движения газа. При ламинарном режиме по мере увеличения числа Re происходит усложнение структуры отрывного течения из-за появления вторичного и при определенных условиях даже третичного отрыва и присоединения потока. Турбулизация движения газа обуславливает упрощение структуры течения в отрывной зоне и сокращение ее геометрических размеров вследствие исчезновения третичного и вторичного отрыва и присоединения потока.

6. По мере увеличения угла атаки уменьшается вклад подветренной стороны конического тела в создании суммарных аэродинамических характеристик, но события, происходящие на подветренной стороне тела, важны с точки зрения аэродинамического нагревания. Наличие поперечного отрыва потока и присоединение его в плоскости симметрии приводит к замене линии стекания линией растекания, что обуславливает появление местных «пиков» теплового потока. Эти «пиковые» значения теплового потока могут быть сопоставимыми с максимальными тепловыми потоками на наветренной стороне конуса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пафнутьев, Владислав Викторович, 2003 год

1. Бабаев И.Ю., Башкин В.А., Егоров И.В., 1994. Численное решение уравнений Навье-Стокса с использованием итерационных методов вариационного типа // Ж. вычисл. математики и мат. физики. Т. 34. № 11. С. 1693-1703.

2. Бабенко К.И., Воскресенский Т.П., Любимов А.Н., Русанов В.В., 1964. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом // М., «Наука».

3. Башкин В.А., 1967. Ламинарный пограничный слой на бесконечно длинных эллиптических цилиндрах при произвольном угле скольжения // Известия АН СССР. МЖГ. № 5. С. 76-82.

4. Башкин В.А., 1984. Треугольные крылья в гиперзвуковом потоке // М.: Машиностроение, 1984, 136 с.

5. Башкин В.А., Дудин Г.Н., 2000. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа // М.: Наука. Физматлит. 288 с.

6. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., 1997.6. Влияние высоты "горла" на аэродинамические характеристики гиперзвукового воздухозаборника на расчетном режиме // Ученые записки ЦАГИ. Т. 28. № 3-4. С. 128-143.

7. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., 1997.В. Применение метода Ньютона к расчету внутренних сверхзвуковых отрывных течений // ПМТФ. № 1. С. 30-42.

8. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., 1998. Торможение сверхзвукового потока в плоских и осесимметричных каналах // Известия РАН. МЖГ. № 2. С. 143- 152.

9. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., 1998. Торможение сверхзвукового потока в плоских и осесимметричных каналах // Известия РАН. МЖГ. № 2. С. 143- 152.

10. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., Пафнутьев В.В. 2002. Пространственное ламинарное обтекание осесимметричных тел сверхзвуковым потоком газа // Журн. вычисл. математики и матем. физики. -Т. 42, № 12

11. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., Пафнутьев В.В. 2003. Острый круговой конус в сверхзвуковом потоке вязкого совершенного газа // Ученые записки ЦАГИ, Т. 34, № 3- 4, С.

12. Башкин В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., Пляшечник В.И. 2003. Теоретическое и экспериментальное исследование обтекания тонкого острого кругового конуса под углом атаки сверхзвуковым потоком газа // Изв. РАН, МЖГ. — № 1

13. Белоцерковский О.М., 1984. Численное моделирование в механике сплошных сред//М.: Наука. С. 520.

14. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В., 1975. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 15. № 1. С. 200-207.

15. Ван-Дайк М., 1967. Методы возмущений в механике жидкости // М., Мир.

16. Гиневский А.С., Иоселевич В.А., Колесников А.В., Лапин Ю.В., Пипиленко В.Н., Секундов А.Н., 1978. Методы расчета турбулентного пограничного слоя // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М., Москва. С. 155-304.

17. Гогиш Л.В, Степанов Г.Ю, 1979. Турбулентные отрывные течения // М.: Наука. С. 368.

18. Годунов С.К., 1959. Конечно-разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений газовой динамики // Мат. сб. Т. 47. С. 271291.

19. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я.,Крайко А.Н., Прокопов Г.П., 1976. Численное решение многомерных задач газовой динамики // М.: Наука. С. 400.

20. Гущин В.А., Щенников В.В., 1974. Об одной монотонной разностной схеме второго порядка точности // Ж. вычисл. математики и мат. физики. Т. 14. №3. С. 789-792.

21. Егоров И.В., Зайцев O.JI., 1991. Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье Стокса методом сквозного счета // Ж. вычисл. математики и мат. физики. Т. 31. № 2. С. 286-299.

22. Иванов М.Я., Крупа В.Г., Нигматуллин Р.З., 1989. Неявная схема С.К. Годунова повышенной точности для интегрирования уравнений уравнений Навье Стокса//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 29. № 6. С. 888 - 901.

23. Каримов Т.Х., 1983. О некоторых итерационных методах решения нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве // Докл. АН СССР. Т. 269. №5. с. 1038- 1046.

24. Ковеня В.М., Яненко Н.Н., 1981. Метод расщепления в задачах газовой динамики// Новосибирск: Наука, 1981.

25. Колган В.П., 1972. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. Т. 3. № 6. С. 68 77.

26. Копченое В.И., Ласкин И.Н., 1996. Об одной конечно-разностной схеме для численного решения параболизованных уравнений Навье Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 36. № 2. С. 126 - 137.

27. Красильщиков А.П., Носов В.В. О некоторых особенностях аэродинамических характеристик конусов в вязком гиперзвуковом потоке. // Сб. «Аэромеханика». М.: Наука, 1976. С. 199-207

28. Лисейкин В.Д., 1996. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // Ж. вычисл. матем. и мамем. физ. Т. 36. № 1. С. 3-41.155

29. Лойцянский Л.Г., 1973. Механика жидкости и газа//М.: Наука., 848 с.

30. Любимов А.Н., Русанов В.В, 1970. Течение газа около тупых тел // М.: Наука.

31. Марчук Г.И., 1980. Методы вычислительной математики // М.: Наука.

32. Нейланд В.Я., 1974. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений.//Труды ЦАГИ. Вып. 1529.

33. Нейланд В.Я., 1981. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа // Успехи механики. Т. 4. Вып. 2.

34. Самарский А.А., Николаев Е.С., 1994. Методы решения сеточных уравнений //М.: Наука, 1978.

35. Сборник, 1964. Материалы к расчету коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи //Труды ЦАГИ. Вып. 937.

36. Седов Л.И., 1966. Методы подобия и размерности в механике // Физматгиз, Москва.

37. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л., 1987. Асимптотическая теория отрывных течений // М.: Наука. С. 256.

38. Толстых А.И., 1981. О неявных схемах повышенной точности для систем уравнений // Т. 21. № 2. С. 339-354.

39. Федоренко Р.П., 1962. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 2. № 6. С. 1122 1128.

40. Хейз У.Д., Пробстин П.Ф., 1962. Теория гиперзвуковых течений // М.: Изд. иностр. лит.

41. Чакраварти С.Р., Жем К.Й., 1987. Расчет трехмерных сверхзвуковых течений с дозвуковыми зонами на основе уравнений Эйлера // Аэрокосмическая техника. № 11. С. 22-35.

42. Чей Ю.Ю., 1969. Экспериментальное исследование кругового конуса, установленного под углом атаки, в гиперзвуковом потоке // Ракетная техника и космонавтика. Т. 7. № 10. С. 255-256.

43. Чжен П., 1972. Отрывные течения // М.: Мир. Т. 1-3.

44. ШлихтингГ., 1974. Теория пограничного слоя //М.: Наука. С. 712.

45. Babikov Р.Е., Yegorov I.V., 1988. On one version of the adaptive grid generation to solve evolution problems // Proc. Soviet Union-Japan SCFD. Khabarovsk, 1988. V. 2. P. 222 227.

46. BeamR., Warming R.F., 1978. An implicit factored scheme for the compressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal. V. 16. P.393-402.

47. Cabral В., Leedom L., Imaging vector fields using Line Integral Convolution //Proc. of SIGGRAPH '93. In Computer Graphics 27, 1993, ACM SIGGRAPH, pp. 263-272.

48. Chakravarthy S.R., Osher S., 1983. High resolution applications of the Osher upwind scheme for the Euler equations I I AIAA Paper, 83-1943. P. 363-372.

49. Chang C.-C., Lei S.-Y., 1996. On the Sources of Aerodynamic Forces: Steady Flow Around a Cylinder or Sphere // Proc. Roy. Soc. London. A. V. 452. N 1954. P. 2369-2395.

50. Douglas J., Gunn J.E., 1964. A general formulation of alternating direction implicit methods. Part 1. Parabolic and hyperbolic problems // Numer. Math. V. 6. N 5. P. 428-453.

51. Fedorova N.N., Fedorchenko LA., Schulein E., 2001. Experimental and numerical study of oblique shock wave / turbulent boundary layer interection at M=5 // Computational Fluid dynamics Journal. V. 10. N 3. P. 376-381.

52. Forsell L. K., Visualizing Flow over Curvilinear Grid Surfaces using Line Integral Convolution // Proceedings of IEEE Visualization '94, 1994, pp. 240-247

53. Harten A., 1983. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal Computational Physics. V. 49. P. 357-372.

54. Hollanders H., Devezeaux de Lavergne D., 1987. High speed laminar near wake flow calculations by an implicit Navier Stokes solver // AIAA Paper, 87-1157. P. 598-607.

55. JeongJ., Hussain F., On the identification of vortex // J. Fluid Mech. 1995, Vol. 258, pp. 69-94.

56. Marvin J.G., Coakley T.J., 1990. Turbulence Modeling for Hypersonic Flows // The third joint joint Europe / US short course in hypersonics. At the RWTH Aachen University of Technology D - 5100 Aachen, FRG.

57. McRae D.S., Hussaini M.Y. Numerical simulation of supersonic cone flow at high angle of attack// High Angle of Attack Aerodynamics. AGARD-CP-247. 1978. P. 23-1 -23-10

58. Peake D.J., Owen F.K., Higuchi H. Symmetric and asymmetric separations about a yawed cone.//High Angle of Attack Aerodynamics. AGARD-CP-247. 1978. P. 161-16-27

59. Roe P.L, 1981. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference scheme // J. Comput. Phys. V. 43. P. 357-372.

60. Saad Y.t Shultz M.H., 1986. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Scient. And Statist. Comput. V. 7. N 3. P. 856-869.

61. Stalling D., Hege H. C., Fast and Resolution Independent Line Integral Convolution // Computer Graphics Proceedings '95, ACM SIGGRAPH, 1995, pp. 249-256.

62. Steger J.L., 1978. Implicit finite-difference simulation of flow about arbitrary two-dimensional geometries // AIAA Journal. V. 16. P. 679-686.

63. Wegenkittl R., Groller E., 1997. Fast Oriented Line Integral Convolution for Vector Field Visualization via the Internet // IEEE Visualization '97 Proceedings, pp. 119-125.