Численное моделирование пространственного обтекания локализованного орографического препятствия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.12, кандидат физико-математических наук Гранберг, Игорь Григорьевич

• Гранберг, Игорь Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гранберг, Игорь Григорьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. КРАТКИЙ ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ РАБОТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ГОРНЫХ ВОЛН.

1.1. Основное уравнение линеаризованной задачи стационарного обтекания препятствия в атмосфере Земли.

1.2. Обтекание препятствий в рамках однослойной модели атмосферы.

1.3. Многослойные модели атмосферы. Захваченные волны.

1.4. Теоретическое и лабораторное моделирование волн конечной амплитуды. Особенности решения проблемы, связанные с численным моделированием.

ГЛАВА. 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕР'Ш ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ПРЕ- -ПЯТСГВЙЯ ПОТОКОМ НЕСЖИМАЕМОЙ СГАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ.

2.1. Решение задачи с введением функции тока.

2.2. Метод решения в " К , Р " системе.

2.3. Введение "f" системы координат. Линеаризованная задача в " 9 " системе координат.

2.4. Решение нелинейной задачи в " р " системе координат.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ УЕДИНЕННОГО ПРЕПЯТСТВИЯ ПОТОКОМ НЕСЖИМАЕМОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖВДКОСГИ.

3.1. Постановка задачи и методика ее численного интегрирования в " р " системе координат.

3.2. Апробация метода, Моделирование гидродинамической неустойчивости,

3.3, Исследование влияния сдвига скорости потока на характер обтекания препятствия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование пространственного обтекания локализованного орографического препятствия»

Изучение общей циркуляции атмосферы, краткосрочный и дол -госрочный прогноз погоды зависят от правильного учета процессов различного масштаба. Возмущения воздушного потока, вносимые орографией, фактически занимают весь метеорологический спектр -от сотен метров до сотен километров - /мезомасштабные/ и от со -тен до десятков тысяч километров / крупномасштабные /. В данном исследовании речь будет идти об орографических возмущениях ме -зометеорологического масштаба от 100м; до 100км,; на процессы такого масштаба ускорение Коришгиса практически не оказывает влияния.

О важности изучения орографических воздействий на атмос -ферные процессы свидетельствует хотя бы тот факт, что в 1982 г, был проведен международный эксперимент АЛЬПЭКС - основная цель которого заключалась в детальном исследовании структуры воздуш -ных потоков над Альпийскими горами и воздействии этого горного массива на атмосферные процессы.

Орографические неоднородности, влияя на общее барическое поле, оказывают воздействие на тропосферу и даже верхнюю атмос -феру. Для мезомасштабных процессов характерно образование так называемых горных или стоячих волн,^которые либо образуют об -лачные системы, либо бывают невидимы и тогда представляют осо -бенную опасность при полетах самолетов, планеров.

С метеорологической точки зрения, атмосфера подобна тон -кой пленке жидкости с вертикальным градиентом плотности. Со сто -яние такой жидкости в каждый момент времени X, в каждой точке / Х; У; 2 / описывается вектором скорости U / U, г/, иг /, давлением р , плотностью , температурой Т . Они определяются из уравнений сохранения массы, количества движения и уравне -ния состояния.

Исследования горных волн можно разделить на двумерные и трехмерные. Превалируют двумерные задачи, моделирующие перете -кание через цилиндрические хребты. Хорошее качественное объяс -нение наблюдаемым явлением удалось получить уже при рассмотре -нии линейных задач, которым посвящено достаточно много работ. К сожалению, линейная теория для гор с высотой > 0,5 км- уже перестаёт давать удовлетворительные результаты, да и задача становится внутренне противоречивой, так как возмущения нельзя уже считать малыми.

При исследовании двумерных горных волн конечной амплиту -ды с помощью нелинейных уравнений были объяснены явления не описывающиеся линейной теорией, например, явление опрокидывания -образования областей, где более тяжёлая жидкость поднимается над более легкой, блокирование нижних слоев воздуха.

В связи с тем, что большинство гор имеют сложную пространственную структуру, при моделировании таких процессов необходи -мо решать трехмерную задачу и система уравнений, описывающая такой процесс является существенно нелинейной. Потенциально наиболее сильным методом . решения такой полной нестационарной системы уравнений является её численное интегрирование при пра -вильной постановке граничных условий и, что очень существенно, правильном переносе условий на бесконечности на границы расчетной области.

Целью работы является численное интегрирование простран ственной задачи обтекания препятствий потоком стратифицированной жидкости, моделирующим реальный процесс мезометеорологического масштаба.

Данное исследование включает : I/ решение двумерных задач обтекания в терминах " вихрь -функ ция тока п

2/ разработку методики численного интегрирования трехмерной задача в " U;p " системе /прямое интегрирование исходных уравнений/.

3/ численное интегрирование как. двумерной, так и трёхмерной задачи обтекания в и Р " системе координат.

4/ исследование влияния сдвига скорости на характер пространствен» ного обтекания препятствий потоком- несжимаемой расслоенной жидкости.

В настоящей^ работе впервые проведено интегрирование полной нелинейной системы уравнений стационарной пространственной задачи обтекания? изолированного препятствия потоком несжимаемой стратифицированной жидкости, имеющим как вертикальный, так и горизонтальный сдвиги скорости. Для решения этой задачи предложен новый алгоритм численного интегрирования исходной системы уравнений, основанный на переходе к и р " системе координат, связанной с потоком .

Интегрирование системы уравнений движения несжимаемой жидкости производится без решения: эллиптического уравнения, благодаря чему предлагаемый метод существенно является более экономичным.

Впервые путём численного интегрирования пространственной нелинейной задачи обтекания препятствия смоделировано: обтекание, а не только перетекание потока через препятствие. потоком жидкости, имеющим как вертикальный, так и горизонтальный сдвиг скорости.

Исследовано влияние сдвига скорости на образование подветренных захваченных волн и характер как перетекания, так и обтекания потоком препятствий. Предложены рекомендации о выборе направлений, благоприятных для полётов самолётов в горных районах.

Разработанные методы решения двумерной задачи обтекания в терминах "вихрь - функция тока", двумерной и трёхмерной задачи обтекания в " U , Р " системе, 3/ двумерной и трехмерной задачи обтекания в " Р " системе координат, позволяют путем численного моделирования решать задачи обтекания препятствий произвольной гладкой формы и практически любых профилях скорости и расслоения натекающего потока / лишь бы в натекающем потоке скорость не меняла знака и плотность монотонно убывала с высотой /.

Результаты работы использованы в научно - исследовательской работе соответствующих учреждений, что отражено в актах приемки законченных НИР ИФА за 1983 г.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений.

Заключение диссертации по теме «Геофизика», Гранберг, Игорь Григорьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из обзора состояния теоретических и экспериментальных исследований влияния гор на атмосферные процессы,сделанного в Главе I,ясно,что основной прогресс в этой ооласти иудет связан с прямым интегрированием системы нелинейных уравнений,описывающих эти процессы.Анализу различных подходов к решению этой проблемы, приме нению существующих и разраоитке новых методов численного интегрирования задачи обтекания препятствия потоком жидкости / воздуха / посвящены Главы И и III.

В Главе II проведен анализ методов решения двумерных задач обтекания,т.е.задачи обтекания бесконечного хребта,расположенного перпендикулярно к потоку.Для такой задачи предложен и реализован метод решения,связанный с введением функции тока и обобщенного вихря,которые вместе с плотностью и составляют систему искомых функций,для которой получается <с использованием условия несжимаемости-/соленоидальности / замкнутая система уравнений. Результаты,полученные таким методом,подтвердились в эксперименте ' на модели [22] .Разработанный мет1йгйшел признание как в отече

Недостатками,как отмечалось выше,является то,что,во-первых,в случае трех измерений резко возрастает его трудоемкость;во-вторых, для ооластей со сложным рельефом велики ошибки аппроксимации при решении уравнения переноса вихря вдоль твердой границы,что приводит к распространению ошибки внутрь осласти и в итоге не удается получить развитую волновую картину ; в-третьих,ввиду несогласованности граничных условий,на входе потока образуется "паразитная" волна.Таким ооразом,этот метод,при условии уменьшения погрешностей,связанных с граничными условиями,является вполне аппрооированным и пригодным для решения двумерных задач оотека-ния указанного типа. ственной,так и в иностранной литературе

С целью разработки более экономичного метода решения трехмерных задач в Главе II рассмотрены два других подхода.

В первом из них в качестве искомых функций выбирались (J Р , Р , т.е. интегрировалась так называемая " Ц , р " система. Этот метод развит и успешно применяется для решения задач обтекания препятствия однородной жидкостью. Обобщение на случаи стратифицированной жидкости, сделанное в Главе II, выявило ряд специфических особенностей и сложностей расчета течений расслоенной жидкости, связанное с численным моделированием. Несмотря на трудоемкость, особенно в случае препятствий со сложным рельефом, такой метод,будучи при его усовершенствовании все-таки более эффективны^ , чем решение задачи в терминах вихрь-функция тока, остается одним из основных универсальных методов решения трехмерных нестационарных задач обтекания препятствия потоком несжимаемой расслоенной жидкости.

Проблему точного учета нижнего граничного усовия южно решать, перейдя к системе координат, в которой поверхность Земли является координатной поверхностью, т.е. системы "сигма-типа" [30] . По аналогии с Q -координатной системой /применяемой для моделей с сохранением потенциальной температуры/, для несжимаемой расслоенной жидкости, в которой логарифм плотности имеет смысл энтропии [25] и является сохраняющейся величиной, в данной работе введена " ^ " координатная система. В новой " Р "системе координат предложен и реализован метод численного интегрирования системы уравнений, полученной из исходной системы уравнений /записанных в декартовой системе координат/.

В Главе II этот метод применен к решению двумерной задачи, а в Главе III обобщен на случай трех измерений. Результаты применения метода для двумерной задачи использованы в научно-исследовательской работе соответствующих учреждений, что отражено в актах приемки законченных НИР ИФА АНСССР за 1983г.

Хотя разработанный метод может быть применен и для решения нестационарных задач, в данной работе рассматривалось получение стационарных решений, так как целью работы являлось моделирование устойчивых /порядка нескольких часов/ орографических подветренных волн.

С целью сопоставления с результатами классических работ по решению линеаризованных задач, вначале было получено приближенное "полуаналитическое" решение для случая плавных гор или малых возмущений, а затем численно проинтегрирована нелинейная система стационарных уравнений. Результаты решения линеаризованной задачи согласуется с хорошо известными работами /13/, /45/. В то же время они получены при более общих предположениях о граничных условиях, форме препятствия, профилях скорости и плотности натекающего потока.

Принципиально новым подходом к алгоритму численного интегрирования нелинейной системы стационарных уравнений является решение задачи обтекания несжимаемой жидкости без использования эллиптического уравнения. Собственно говоря, эти два момента, т.е. выбор в качестве вертикальной координаты величины, являющейся постоянной вдоль линии тока стационарной задачи, возможность интегрирования получающейся системы уравнений без использования эллиптического уравнения, и составляют существо разработанного метода. Такой подход применим для любой системы уравнений, в которой есть уравнение сохранения какой-либо монотонной термодинамической величины.

Сопоставление результатов моделирования двумерных течений, приведенных на рис. 7, 9, 10 с результатами работы /45/, показывает, что реализованные режимы, как и следовало ожидать, исходя из параметров рассматривавшихся задач, относятся к области " критического " обтекания с частичным блокированием и скачком в зоне статической неустойчивости.

Рассмотренные в работе примеры,моделирующие трехмерное обтекание,делятся на три основные группы.К первой относятся примеры, моделирующие обтекание препятствия потоком потенциальной / т.е. Ц =tonsf/ жидкости / рис.12т15,17 /.При этом примеры 12 и 17 получены при полном совпадении параметров препятствия, граничных условий и натекающего потока,но для разных режимов подхода к стационированию,что,поввдимому,является следствием неединственности решения нелинейной стационарной задачи. Вэзникаю-щее по оси течения квази-двумерное течение с F0^-О.Ц / в терминах работы [1{5]/ относится либо к докритическому / резонансному по Дородницину [Jb]/ режиму,либо к частичному блокированию со скачком,т.е.переходит через кривую БЕ / рис.5 /,хотя такое сопоставление весьма условно.

Примеры 12 и 13 отличаются верхним граничным условием. Это привело к тому,что при общности получившегося решения"резо-нансного докритического" типа с вертикально-распространяющимися вверх волнами,в примере 12 можно выделить и все другие типы волн:расходящиеся,захваченные,поперечные; а в примере 13 вертикально-распространяющаяся вверх волна вызывает,как следствие внезапного удара потока о препятствие,только отчетливо выраженную поперечную волну.Заметим также,что для примеров 12 и 17 волны направлены под углом как по потоку, так и против него, Это вызвано,видимо,как отражением энергии от верхней границы, так и отражением от осевого двумерного течения,играющего,как указывалось выше,роль дополнительной твердой стенки,которая увеличивает амплитуду волн по вертикали и может вызывать дополнительные поперечные волны.

Введение в натекающий поток постоянного вертикального сдвига скорости вызывает появление расхолящихся волн вне зависимости от знака ^, граничных условий и режима подхода к ста-вдонированию. Общим для примеров с вертикальным сдвигом скорости является практическое отсутствие вертикально-распространяющихся волн и наличие резкого скачка в зоне статической неустойчивости.Характер распространения волн тот же,что и для примеров без сдвига,так как вызывающие их факторы остались без изменения. Превалируют для течений с отрицательным сдвигом скорости поперечные волны и,в меньшей степени,захваченные волны второго рода [29] .Рост скорости ветра с высотой вызывает,в основном,захваченные волны.Характер установления решения для примеров 20,21, 22 подтверждает предположение о неединственности стационарного режима и,как следствие,возможности гистерезиса при решении нестационарной задачи.

Третья группа примеров,для которых натекающий поток имеет постоянный горизонтальный сдвиг скорости,т.е. rConS"t также обладает рядом общих характерных свойств.В силу отсутствия для таких примеров вертикального осевого двумерного течения, в подветренной области исчезают поперечные волны,вызванные этим эффектом; увеличивается устойчивость течения,исчезает скачок скорости за препятствием,усиливается образование расходящихся волн,и уменьшается образование захваченных волн.Поверхности

Зи постоянного 9 »п0 меРе уменьшения f и увеличения ^ начинают приобретать седловой характер,что позволяет сделать предположение о разбиении такой поверхности при на 4 области с двумя накрест расположенными "циклонами" и "антициклонами", соответственно. Это явление еще более усиливается при рассмотрении примера как с горизонтальным,так и вертикальным положительным сдвигами скорости.Для такого течения вновь увеличивается образование захваченных подветренных волн,т.е.прослеживается прямая связь между вертикальным положительным сдвигом ветра и образованием захваченных волн.Из сопоставления рис.12,

13,17 с рис.18-28 видно,что наличие любого сдвига ветра улучшает условия для ооразования подветренных захваченных волн.

Из цримеров 23 - 28 очевидна правильность применяемого в линейных стационарных задачах граничного условия для выделения единственного решения о затухании возмущений " навстречу " потоку.

Для всех примеров 12 - 28 вертикальная осевая плоскость, проходящая через вершину по ходу потока,оказывается выделенным направлением,где волны имеют наибольшие амплитуды , что согласуется с данными натурных наблюдений [1 j] .В течениях с вертикальным сдвигом скорости на этом направлении может возникать "скачок" или зона статистической неустойчивости. В то же время введение горизонтального сдвига скорости убирает "скачок" и оказывает сглаживающее воздействие на волны,уменьшая их амплии, туду,хотя " выделенность " направления остается.Прична этого кроется,видимо,в большей возможности для частиц обтекать препятствие . Наименее возмущенным вертикальным сечением оказывается плоскость X , ? ,находящаяся на расстоянии 1/4 ширины препятствия от осевой плоскости и параллельная ей.

В заключение заметим,что,так как результаты,полученные для несжимаемой жидкости можно перенести на сжимаемую с плотно

II dPc. , i V 1 <*£н стью, удовлетворяющей соотношению ofe С/" ?и где рс. ~ для сжимаемой жидкости, J>H - для несжимаемой / / см. /,МЁри таком выборе плотностного расслоения механизм образования волн,ввиду совпадения частот ьрента-Взйсяля,моделируется для атмосферы (хотя амплитуды волн, по видимому, будут отличаться). Остается вопрос об изменении плотности вдоль линии тока. Согласно [2 ^](у^оо(^);/где f« - плотность натекающего потока/, и для рассмотренных примеров / где X'b^L / изменение плотноV

Сти вдоль линии тока можно не учитывать.

Сформулируем основные результаты и выводы работы : I/ Предложен и реализован метод численного интегрирования двумерной задачи обтекания бесконечного хребта потоком идеальной расслоенной жидкости.

2/ Разработан и аппробирован на модели однородной несжимаемой жидкости метод численного интегрирования нестационарной задачи обтекания препятствия потоком несжимаемой расслоенной жидкости при самых общих предположениях о характере натекающего потока и формах препятствия.

3/ Предложена новая -система координат,относящаяся к системе " сигма - типа ",для которой нижняя координатная поверхность совпадает с топографической.

4/В новой " Р" - системе координат решена приближенно линеаризованная задача,рассмотренная при более общих предположениях,чем ранее выполненные работы.

5/ Разработан и реализован как для двумерной,так и для трехмерной стационарной задачи обтекания новый численный метод интегрирования системы уравнений в "р" -системе координат без использования эллиптического уравнения,что значительно повышает экономичность задачи. б/ С помощью нового метода получен ряд примеров конкретного обтекания препятствий и прослежено влияние на характер обтекания сдвига скорости натекающего потока,что позволяет сделать следующие выводы: а/ при одной и той же форме препятствия и структуре натекающего потока возможны несколько стационарных режимов; б/ при обтекании уединенного симметричного препятствия волны в осевой вертикальной плоскости по ходу потока имеют наибольшие амплитуды; в/ в течениях с вертикальным сдвигом скорости за горой может возникать скачок или зона статической неустойчивости ; г/ при наличии горизонтального сдвига скорости за горой скачок не возникает и устойчивость течения повышается ; д/ в течениях со сдвигом скорости препятствие генерирует поперечные волны,благодаря чему наименее возмущенными являются вертикальные сечения вдоль потока,расположенные справа и слева от вершины на расстоянии ~ - - длины поперечной волны. Можно пред7 положить,что такие направления являются благоприятными для полетов самолетов в случае уединенной горы или пика,возвышающегося над хребтом. Для иллюстрации на рис. 30, 31 схематически показаны области, 11 опасные " для полетов шлой авиации в pat -оне препятствия с параметрами, соответствующими рассматривав -шемуся в работе, и для течений с такими же, как в работе, чис -лами Фруда.

В заключение автор выражает глубокую благодарность ака -демику Александру Михайловичу Обухову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, профессору. Евгению Михайловичу Добрышману за научное руководство работой, старшему научному сотруднику Василию Михайловичу Пономареву за полезное обсузвде-ние результатов, сотрудникам Вычислительного отдела ИФА за помощь в проведении расчетов и оформлении результатов работы.

Ill I

Рис. 30, 31. Схематическое изображение зон / заштрихованные области /, где амплитуда волновых возмущений превышает 20% от максимальной высоты,препятствия, а угол наклона линий тока более чем в 2 раза превышает максимальный угол наклона препятст*-вия. Рис. 30 соответствует двумерной^ перетеканию через хребет, рис. 31 - пространственному обтеканию препятствия потоком не -сжимаемой стратифицированной жидкости. рис. 31.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гранберг, Игорь Григорьевич, 1984 год

1. Бабенко К.И., Введенская Н.Д., Орлова М.Г. Краевая задача для уравнений Навье - Отокса в плоской задаче обтекания. Препринт ИПМ, № 39, с.41, 1971.

2. Бибикова Т.Н., Журба Е.В., Кисельникова В.З., Кожевников В.Н. Подветренные орографические возмущения в 1фыму. Труды МГЦ, 238, с.93-111, I98E.

3. Вычислительные методы в гидродинамике. М. "Map", с.384, 1967.

4. Горовая Е.Н., Ривкинд В.Я. 0 расчете плоских и пространственных течений для уравнений Навье Отокса. Газодинамика и теплообмен. Ученые записки ЛГУ. №384, Изд-во ЛГУ, с.5-17, 1975.

5. Госсард Е.Е. и Хук У.Х., Волны в атмосфере. М. "Мир", 532 е., 1978.

6. Гранберг И.Г. Численная проверка критериев устойчивости зональных течений относительно малых возмущений. Изв. АН СССР, т.5, № 2, c.I3I-I42, 1969.

7. Гранберг И.Г., Дикий Л.А. Стационирование в линейной задаче обтекания гор воздушным потоком. Изв. АН СССР, ФАО, т. 8, №3, 264-269 с., 1972.

8. Гранберг И.Г. Численное моделирование задачи обтекания гор воздушным потоком. Изв. АН СССР, ФАО, т.15, №12, 1235-1243, 1979.

9. Гранберг И.Г. Пространственная задача обтекания препятствия потоком несжимаемой стратифицированной жидкости / численное моделирование /. Изв. АН СССР, ФАО, т.19, И ; с.357-365, 1983.

10. Гранберг И.Г. О влиянии сдвига скорости потока на характер обтекания препятствий несжимаемой стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР, ФАО, т.19, № II, C.II39-II50, 1983.

11. Груздев А.И., Еланский Н.Ф. Наблюдения озона в области горных подветренных волн. Изв. АН СССР, ФАО, в печати.

12. Гутман Л.Н. Введение в нелинейную теорию мезометеорологических процессов. Л. Гидрометеоиздат, с.295, 1969.

13. Дородницын А. А. Влияние рельефа земной поверхности на воздушные течения. Труды ЩП, вып.21/48/, с.3-25, 1950.

14. Кожевников В.Н. Орографические возмущения в двумерной стационарной задаче. Изв. АН СССР, ФАО, т.4, № I, с.33-52, 1968.

15. Кожевников В.Н. Обзор современного состояния теории мезомас-штабных орграфических неоднородностей поля вертикальных токов.-1£уды ЦАО, вып.98, с. 3-40, 1970.

16. Кожевников В.Н., Козодеров В.В.7 Теоретическая картина обтекания Крымского хребта в районе Ялты. Изв. АН СССР, ФАО, т.6,1. Jfc 10, с. 979-988, 1970.

17. Кожевников В.Н., Бибикова Т.Н., Журба Е.В. Орографические возмущения атмосферы над Северным Уралом. Изв, АН СССР, ФАО, т.13, № 5, с.451-461, 1977.

18. Кожевников В.Н., Зидлев Н.Н., Перцев Н.Н. Волновое сопротивление от мезомасштабных гор. Изв. АН СССР, ФАО, т.17, № 3, с.227-235, 1981.

19. Кожевников г В.Н., Лосев А.С. О п<эстроении модели обтекания при точном выполнении граничного условия на цилиндрическом профиле. Вестник МГУ, т.23, с.43-50, 1982.

20. Лялина О.А., Софиев Е.И. Экспериментальные исследования волн и вертикальных движений в районе аэропорта Красноводск. Метеорология и гидрология, т.II, № I, с.49-53, 1980.

21. Мусаэлян Ш.А. Волны препятствий в атмосфере. Л. Гидрометиз-дат, 143с., 1962.

22. Нурумов С.Ж. Лабораторное моделирование процессов формирования орографических волн в атмосфере. Изв. АН СССР, ФАО, т.10, № 10, с.1083-1086, 1974.

23. Обухов A.M. "К динамике расслоенной жидкости". ДАН, 1:145, В6, с.1239-1242, 1962.

24. Пекелис Е.М. Численный расчёт орографических возмущений конечной амплитуды (плоская задача). Изв. АН СССР, ФАО, т.2, № II, с.III3-II25, 1966.

25. Пекелис Е.М. К вопросу о решении задачи Коши в конечных разностях. Труды ГМЦ, вып. 151, с.43-64, 1974.

26. Прямое численное моделирование течений газа (численный эксперимент в газовой динамике)i Под ред. Белоцерковского О.М. М., Изд. ВЦ АН СССР, 176с., 1978.

27. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М., "Наука", 688с. 1978.

28. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., "Мир", 616с., 1980

29. Скорер Р.С. Аэрогидродинамика окружающей среды. М., "Мир", 552с., 1980.30. "Численные методы, используемые в атмосферных моделях". Л., Гидрометеоиздат, 360с., 1982.

30. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, "Наука", 195с., 1967.

31. Baines P.G. Observations of stratified flow over two-dimenty-sional obstacles in fluid of finite depth. Tellus, v.31, p.351-371, 1979,

32. Bell R.S., Thompson R.O.R.Y. Valley ventilation by cross winds. J.Fluid Mech., v.96, p,757-767, 1980.

33. Booker J,R,, Bretherton F,P, The critical layer for internal gravity waves in a shear flow. J.Fluid Mech,, v.27» p.513-539, 1967.

34. Breeding R,J, A nonlinear investigation of critical levels for internal atmospheric gravity waves, J.Fluid Mech,, v,50j p. 54-5-563, 1971.

35. Bretherton F.P. Momentum transport by gravity waves. Quart.J. Roy.Meteor.Soc., v.95, p.215-243, 1969.

36. Claus A. Large amplitude motion of a compressible fluid in the atmosphere. J.Fluid Mech., v.19, p.267-289, 1964.

37. Davis R.E. The two-dimensional flow of a stratified fluid over an obstacle. J.Fluid Mech., v.36, p.127-143, 1969.

38. Drasin P.G. On the steady flow of a fluid of variable density past an obstacle. Tellus, v.13, p.239-251,

39. Foldvik A., Wurtele M. The computation of the transient gravity wave. Geophys.J.Roy.Astron.Soc., v.13, p.167- » 1967.

40. Forchgott J. Wave streaming in the lee of mountain ridges. Bull.Met.Czech., v.3, p.49, 1949.

41. Houghton D.D., Kasahara A. Nonlinear shallow fluid flow over an isolated ridge. Commun.Pure Appl.Mech., v.21, p.1-23, 1968.

42. Klemp J.B., Lilly D.K. Numerical simulation of hydrostatic mom tain waves. J.Atmos.Sci., v.35, p.78-107, 1978.

43. Klemp J.B., Lilly D.K. Orographic effects in planetary flows. GARP, № 23, p.116-144, 1980.

44. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids I. A theoretical investigation. Tellus, v.5, p.42-58, 1953.

45. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids II. Experiments with a two-fluid system. Tellus, v.6, p.97-115, 1954,

46. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids 11Г; Continuous density gradients* Tellus, v.7» p. 341-357, 1955.

47. Long R.R. Blocking effects in flow over obstacles. Tellus, v.21 p.471-480, 1970.

48. Long R.R. Finite amplitude disturbances in the flow of inviscic rotating and stratified fluids ober obstacles. Ann.Rev.Fluid Mech., v.4, p.59-92, 1972.

49. Long R.R. Some experimental observations of upstream disturbances in a two-fluid system. Tellus, v.26, p.515-517, 1974.

50. Lyra G. Theorie der stationaren Leewellenstromung in freien Atmosphare. Z.angew.Math.und Mech., Bd.25, H.1, Ш.558-552, 195E

51. Miles J.W. On the disturbed motion of a plane vortex sheet. J.Fluid Mech., v.4, p.558-552, 1958.

52. Miles J.W,^On the generation of surface waves l^y shear flows.1., ' '

53. Part 5. Kelvin-Helmholtz instability. J.Fluid Mech'., v.6, p.585-598, 1959.

54. Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flows. J. Fluid Mech., v.10, p.496-508, 1961.

55. Miles J.W. Lee waves in a stratified flow. Part 1. Thin barriei J.Fluid Mech., v.52, № 5, p.549-567, 1968.

56. Queney P. Theory of perturbations in stratified currents with applications of airflow over mountain barriers. Dept. of Meteox Univ. of Chicago, Misc. Report № 25, 1947.

57. Riley J.J., Lin H-P., Geller F.W. A numerical and experimental study of stably stratified flow around complex terrain. Flow Research Inc;, Washington, D.C., Report № 58,

58. Scorer R.S. Theory of waves in the lee of mountains. Quart.J. Roy.Meteor.Soc., v.75, №? 525, p.41-56, 1949.

59. Scorer R.S. Airflow over an isolated hill. Quart.J.Roy.Meteor. Soc., v.82, p.75-81, 1955.

60. Sheppard P.A. Airflow over mountains. Quart.J.Roy.Meteor.Soc«, v.82, p.528-529, 1956.

61. Smith R.B. The generation of lee waves by the Blue Ridge. J. Atmos.Sci., v.55, p.507-519, 1976.

62. Smith R.B. The steeping of hydrostatic mountain waves, J.Atmos. Sci., v.54, NS 10, p.1654-1654, 1977,

63. Smith E.B. The influence of mountains on the atmosphere. Adv. Geophys., v. 21, p.87-250, 1979.

64. Smith R.B. Linear theory of stratified hydrostatic flow past an isolated mountain. Tellus, v.52, p.548-565, 1980,

65. Tih C.S. Exact solutions for steady two-dimensional flow of a stratified fluid. J.Fluid Mech., v.9, p.161-174, 1960.

66. Yih C.S., Guna C.K. Hydraulic jump in a fluid system of two layers. Tellus, v.7, p.558-566, 1955.

67. Williams G.P. Numerical integration of the three-dimensional Navier-Stokes equations for incompressible flow. J.Fluid Mech., v.57, Pt.4, p.727-750, 1969.

68. Wippermann F. The applicability of several approximations in mesoscale modelling. A linear approach. Contrib.Atmos.Phys., № 2, p.298-508, 1981.