Численное моделирование нестационарных турбулентных течений жидкости со свободной поверхностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Храбрый, Александр Иосифович

• Храбрый, Александр Иосифович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Храбрый, Александр Иосифович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Моделирование течений жидкости со свободной поверхностью (обзор)

1.1. Методы численного моделирования течений со свободной поверхностью

1.1.1. Лагранжевы методы

1.1.2. Метод маркеров в ячейках (Marker-and-Cell (MAC) Method)

1.1.3.Метод поверхностных маркеров (Surface Marker Method)

1.1.4. Метод объемной доли жидкости в ячейках (Volume-of-Fluid (VOF) method)

1.1.5. Метод функций уровня (Level-set method)

1.2. Расчеты сложных течений со свободной поверхностью

2. Математическая модель и основные положения метода конечных объемов

2.1. Математическая модель

2.1.1. Уравнения движения жидкости со свободной поверхностью в методе VOF

2.1.2. Моделирование турбулентности

2.2. Основные положения метода конечных объемов

2.2.1. Введение контрольных объемов

2.2.2. Схемы аппроксимации конвективных потоков

2.2.3. Схемы аппроксимации производной по времени

2.2.4. Форма записи уравнения неразрывности и уравнения переноса маркер-

функции

3. Тестирование известных численных схем для решения уравнения переноса маркер-функции

3.1. Описание схем аппроксимации уравнения переноса маркер-функции

3.1.1. Предварительные замечания

3.1.2. Диаграмма нормализованной переменной (NVD) и критерий локальной ограниченности (СВС)

3.1.3. Схема CICSAM (Compressive Interface Capturing Scheme for Arbitrary Meshes)

3.1.4. Схема URIC (High Resolution Interface Capturing scheme)

3.1.5. Схема M-CICSAM

3.2. Систематическое тестирование схем

3.2.1. Предварительное сравнение «стандартных» и «сжимающих» схем

3.2.2. Систематическое исследование работоспособности «сжимающих» схем

3.2.3. Выводы по схемам аппроксимации уравнения конвективного переноса маркер-функции

4. Разработка оригинальных составляющих метода VOF и его программная реализация

4.1. Дополнительные вычислительные приемы для улучшения качества решения

уравнения переноса маркер-функции

4.1.1. Методика дополнительного «обострения» фронта

4.1.2. Методика дополнительной «диффузии» маркер-функции вблизи стенки

4.1.3. Методика дробных шагов

4.2. Метод решения уравнений гидродинамики

4.2.1. Вычисление конвективных потоков

4.2.2. Вычисление диффузионных потоков

4.2.3. Аппроксимация по времени

4.2.4. Вычисление градиента давления

4.2.5. Дискретизация уравнения неразрывности и алгоритм численной «перевязки» полей скорости и давления

4.2.6. Линейный солвер и параллелизация вычислений

4.2.7. Общий алгоритм продвижения по физическому времени

5. Тестирование разработанной методики на двумерных задачах. Исследования сеточной сходимости решения и оценка значимости вязких эффектов

5.1. Простейшая задача об обрушении дамбы

5.2. Задача об обрушении дамбы при наличии слоя воды в защищаемой зоне

5.3. Задача о натекании потока на трапециевидное препятствие после обрушения дамбы

5.4. Задача о натекании потока на треугольное препятствие после обрушения дамбы

5.4.1. Влияние учета пристеночного трения

5.4.2. Влияние коррекции на кривизну линий тока в SST модели турбулентности

5.4.3.Масштабный эффект

5.5. Задача о взаимодействии потока, возникшего при обрушении дамбы, с вертикальной стенкой

5.5.1. Результаты основной серии расчетов

5.5.2. Отдельные аспекты влияния модели турбулентности

5.6. Задача о натекании потока на квадратное препятствие после обрушения дамбы

5.6.1. Расчеты без учета вязких эффектов

5.6.2. Расчеты с учетом эффектов турбулентности и пристеночного трения

6. Приложение разработанного вычислительного инструментария к решению отдельных задач практической направленности

6.1. Задача о натекании потока на одиночное препятствие в форме параллелепипеда

после обрушения дамбы

6.2. Задача о нестационарном натекании потока на множественные препятствия

6.3. Задача о плескании воды в баке

Заключение

Список литературы

Работы автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование нестационарных турбулентных течений жидкости со свободной поверхностью»

Введение

Течения со свободной поверхностью встречаются практически везде, где имеется жидкость. Они играют огромную роль во многих сферах взаимодействия человека с природой и в технике. При этом такие важные для практики течения как плескание жидкости в баке, набегание волны на берег или на препятствия различной формы сопровождаются весьма сильной деформацией свободной поверхности, вплоть до опрокидывания волн с образованием разного масштаба пузырей и капель. Экспериментальное исследование подобных течений зачастую сопряжено со значительными трудностями и затратами. В настоящее время натурный эксперимент во все большей степени заменяется численным моделированием.

Большинство интересных с практической точки зрения течений со свободной поверхностью являются турбулентными; многие из них сопровождаются натеканием потока на те или иные препятствия, что может приводить к отрыву вязкого придонного слоя. При численном моделировании этих течений, как правило, используют одну из полуэмпирических моделей турбулентности (среди них наиболее популярными в настоящее время являются модели к<о ББТ и к-г), однако в большинстве опубликованных работ оставлен без рассмотрения вопрос о степени влияния учета турбулентности (как в ядре потока, так и в пристенных областях) на получаемое решение, равно как и вопрос о применимости используемой модели турбулентности для данного класса течений. Также зачастую не уделялось должного внимания вопросу качества полученного численного решения, его независимости от схемных факторов.

Для аккуратного учета эффектов турбулентности и вязких пристеночных эффектов, в том числе для правильного предсказания отрыва придонного пограничного слоя, необходимо обеспечить численное решение, практически сошедшееся по сетке. Это означает необходимость использования весьма густых расчетных сеток в целом по расчетной области, в сочетании с сильным сгущением к нижней стенке (так называемых «низкорейнольдсовых» сеток). Данные требования в условиях необходимости проведения нестационарных трехмерных расчетов приводят к большим затратам вычислительных ресурсов, что до недавнего времени делало проведение подобных расчетов практически невозможным. Открывшиеся сегодня, в связи с ростом компьютерных мощностей, возможности изменяют ситуацию, и проведение аккуратных расчетов турбулентных нестационарных течений жидкости со свободной поверхностью, с накоплением опыта по преодолению возможных трудностей методического характера, является актуальной задачей.

Существует .множество различных методов расчета течений со свободной поверхностью, в которых используются разные способы определения ее положения. В методах, основанных на лагранжевом подходе, свободная поверхность отслеживается либо узлами подвижной

расчетной сетки, либо (в бессеточных методах) частицами, переносящими материальные и динамические свойства среды. В эйлеровых методах для определения положения свободной поверхности (перемещающейся по расчетной сетке) вводятся различные движущиеся вместе со средой и не влияющие на ее динамику маркеры. В роли последних могут выступать как точечные частицы, расположенные вдоль свободной поверхности или во всем объеме жидкости, так и пространственная маркер-функция, подчиняющаяся уравнению конвективного переноса. Каждая из упомянутых методик имеет свои достоинства и недостатки (ограничения).

В настоящее время наиболее популярными являются методы, основанные на использовании маркер-функции, вводимой тем или иным способом. Весьма, если ие наиболее технологичным является использование в роли маркер-функции объемной доли жидкости (меняющейся в пределах от 0 до 1). В этом случае свободной поверхности соответствует изоповерхность со значением маркер-функции равным 0,5. Данный метод расчета течений жидкости со свободной поверхностью называют методом VOF (Volume-Of-Fluid). В современной литературе представлено множество примеров численной реализации метода VOF, отличающихся в тех или иных составляющих численного алгоритма. Метод VOF реализован также во многих известных коммерческих CFD-кодах, таких как ANSYS Fluent, ANSYS CFX, Flow-3D, Star-CCM и др. Он имеет множество положительных отзывов в литературе как относительно экономичный в отношении вычислительных затрат и пригодный для расчета течений с сильной деформацией свободной поверхности. Широкий спектр вариантов реализации метода VOF требует проведения методических исследований, что явилось одной из составляющих диссертационной работы.

Следует особо отметить, что использование маркер функции, представляющей собой объемную долю жидкости, позволяет рассматривать систему жидкость-газ как единую среду с переменными материальными свойствами (линейно связанными со значением маркер-функции). Данный подход сегодня является наиболее распространенным (именно он использован при реализации метода VOF в кодах ANSYS Fluent, ANSYS CFX, Star-CCM). Этот подход был использован и в настоящей работе.

Ощутимые затраты вычислительных ресурсов при расчетах сложных течений со свободной поверхностью делают актуальной задачу поиска эффективных численных схем для решения уравнений метода VOF, позволяющих достичь требуемой точности решения при сравнительно низких требованиях к густоте расчетной сетки и шагов по времени. Важной составной частью этой задачи является выбор схемы для аппроксимации уравнения конвективного переноса маркер-функции. Известно, что схемы, традиционно используемые для аппроксимации конвективных слагаемых, не подходят для решения этого уравнения, так как приводят к сильному «размытию» области, в которой маркер-функция должна резко меняться

от 0 до 1, на множество ячеек расчетной сетки из-за численной диффузии, а также неспособны «удержать» значения маркер-функции внутри допустимого интервала 0-1. В литературе предложен ряд специальных, т.н. «сжимающих» схем для аппроксимации этого уравнения, обладающих различными характеристиками в плане устойчивости, чувствительности к качеству расчетной сетки и пр. Детальное сравнение этих схем является одной из актуальных задач.

Цели работы

Исходя из вышесказанного, настоящая диссертационная работа направлена на:

1) Разработку основанного на методе VOF численного алгоритма для расчета течений жидкости со свободной поверхностью в условиях сильной деформации последней и с возможным отрывом вязкого придонного слоя перед препятствием.

2) Отработку эффективных численных схем для решения системы уравнений метода VOF, позволяющих достичь требуемой точности решения при сравнительно низких требованиях к густоте расчетной сетки и шагов по времени.

3) Программную реализацию разработанного численного алгоритма. Верификацию разработанного программного кода на ряде тестовых задач путем сравнения с экспериментальными данными, аналитическими решениями и расчетами, проведенными с использованием других кодов.

4) Проведение систематического исследования роли турбулентности и вязких эффектов в придонной области в нестационарных течениях жидкости со свободной поверхностью, включая случаи натекания потока на препятствия различной формы. Оценку применимости популярных моделей турбулентности SST и к- s при расчетах рассматриваемого класса течений.

5) Применение разработанного программного кода для решения модельных задач практической направленности, включая определение нагрузок, действующих на одиночные и множественные препятствия в форме параллелепипедов.

Тестирование численных схем для решения системы уравнений метода VOF и программная реализация разработанного численного алгоритма в настоящей работе проводились путем расширения возможностей гидродинамического программного кода SINF/Flag-S (далее по тексту просто Flag-S), разрабатываемого на кафедре гидроаэродинамики СПбПУ и исходно не предназначавшегося для расчета течений со свободной поверхностью. Авторской версии кода, ориентированной на расчет течений со свободной поверхностью, присвоено название Flag-FS (Flag - Free Surface).

Научная новизна работы

1. На серии тестовых задач показано превосходство «сжимающей» схемы М-ОСБАМ над другими известными схемами, применяемыми для решения уравнения конвективного переноса маркер-функции в методе У(Ж

2. Разработана оригинальная методика дополнительного обострения межфазной границы, позволяющая улучшить качество численного решения уравнения конвективного переноса маркер-функции с применением «сжимающих» схем.

3. Предложен способ введения искусственной диффузии маркер-функции для устранения артефактов, возникающих при численном решении задачи о растекании жидкости по сухой стенке с аккуратным разрешением вязкого подслоя.

4. Разработан новый подход к аппроксимации конвективной части уравнений гидродинамики при реализации метода УОР, позволяющий существенно уменьшить сеточную зависимость решения по сравнению с традиционными численными схемами.

5. Проведено систематическое исследование значимости учета эффектов турбулентности при численном моделировании течения, развивающегося после обрушения дамбы и взаимодействующего с препятствием.

6. Получены новые данные о влиянии вязких пристенных эффектов при натекании потока жидкости со свободной поверхностью на препятствия различной формы.

7. Получено численное решение существенно трехмерной задачи о натекании потока на множественные однорядные и двухрядные препятствия и выполнен сопоставительный анализ действующих на них нагрузок.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных в работе результатов обеспечена следующим:

- положительной практикой использования метода УОР, представленной в многочисленных литературных источниках;

- систематической проверкой получаемых решений на независимость от используемой расчетной сетки, шагов по времени,

- хорошим согласованием результатов расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и результатами расчетов, полученными по другим программным кодам.

Практическая значимость работы

Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем: • разработанный программный код Р^-РБ позволяет моделировать течения жидкости со

свободной поверхностью, включая случаи ее сильной деформации, с аккуратным

разрешением эффектов придонного трения, в том числе при натекании потока на различные препятствия;

• разработанные рекомендации по выбору схем для аппроксимации уравнений, решаемых при использовании метода VOF, и предложенные модификации схем способствуют уменьшению затрат вычислительных ресурсов при расчетах течений со свободной поверхностью;

• накопленный опыт численного анализа натекания потока на различные препятствия с использованием «высоко-» и «низкорейнольдсовых» расчетных сеток может быть полезен для проведения расчетов данного класса течений практической направленности;

• предложенная методика искусственной диффузии маркер-функции вблизи стеиок обеспечивает возможность корректного учета пристеночного трения при расчете растекания жидкости по сухой поверхности с использованием «низкорейнольдсовых» сеток.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на российских и международных конференциях и семинарах: международной конференции по вычислительной гидродинамике (ICCFD-6) (С.-Петербург, 12-16 июля 2010г.); европейской конференции по вычислительным технологиям в прикладной науке и инженерии (ECCOMAS) (Вена, Австрия, 10-14 сентября 2012г.); международной научной конференции "Супервычисления и математическое моделирование" (Саров, 1-5 октября 2012г.); европейской конференции по вычислительной гидродинамике (ECFD-VI) (Барселона, Испания, 20-25 июля 2014г.); суперкомпьютерной научной конференции "Научный сервис в сети Интернет" (г. Новороссийск, 22-27 сентября 2014г.); межвузовском видеосеминаре по аэромеханике (ЦАГИ - ИТПМ СО РАН - СПбПУ - НИИМ МГУ, 11 ноября 2014г.).

Публикации по теме диссертации и личный вклад автора

Основные результаты работы изложены в восьми научных публикациях, приведенных в конце диссертации, в том числе три публикации в рецензируемых научных изданиях, определенных ВАК.

В получение результатов, вошедших в диссертационную работу, автор внес определяющий вклад: он принимал активное творческое участие в разработке численного алгоритма для расчета течений жидкости со свободной поверхностью, а его программная реализация, а также все расчеты, результаты которых представлены в диссертации, их обработка и анализ выполнены им лично. Соавторы публикаций - д.ф.-м.н. Смирнов Е.М. и к.ф.-м.н. Зайцев Д.К. - осуществляли консультирование по вопросам, связанным,

соответственно, с моделированием турбулентности и со свойствами численных схем, а также по постановкам задач и интерпретации полученных результатов; д.т.н. Горячев В.Д. оказал содействие в графическом представлении результатов решения задачи о натекании потока на множественные препятствия.

Положения, выносимые на защиту

Результаты сравнительного анализа работоспособности различных численных схем, применяемых для аппроксимации уравнения конвективного переноса маркер-функции в методе У(Ж

Численные методики, разработанные для улучшения качества решения уравнения переноса маркер-функции.

Результаты тестовых расчетов течений жидкости со свободной поверхностью в сопоставлении с экспериментальными данными.

Результаты численного исследования роли турбулентности и пристеночного трения в течениях жидкости со свободной поверхностью применительно к задачам о натекании потока на препятствия различной формы.

Результаты сопоставительного численного анализа величин нагрузок, действующих на множественные однорядные и двухрядные препятствия в форме параллелепипедов при натекании на них потока жидкости.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения.

Во введении обосновывается актуальность темы и формулируются основные цели исследования.

В первой главе диссертации приводится обзор литературы по тематике работы: даны описания и классификация различных методов расчета течений со свободной поверхностью и приведены примеры расчетов интересных с практической точки зрения течений. Обосновывается актуальность задач диссертационного исследования и выбор метода УОР.

Во второй главе приведены уравнения, описывающие, согласно методу УОР, турбулентные течения со свободной поверхностью (включая формулировки используемых в настоящей работе моделей турбулентности ББТ и к-с и пристенных функций для них), а также изложены основные положения методики дискретизации этих уравнений (по методу конечных объемов). Приведены схемы второго порядка, традиционно применяемые для аппроксимации конвективных потоков и производных по времени.

В третьей главе представлены методика и результаты систематического тестирования известных схем для аппроксимации уравнения переноса маркер-функции. Рассматриваются как

«традиционные» противоиоточные схемы первого и второго порядка, так и специализированные «сжимающие» (две наиболее популярные в настоящее время схемы CICSAM и HRIC и относительно недавно появившаяся схема M-CICSAM), а также метод геометрической реконструкции, реализованный в коммерческом программном пакете ANSYS Fluent; в сочетании с различными схемами аппроксимации по времени. Даны формулировки исследуемых «сжимающих» схем и изложены базовые принципы методики их построения.

В четвертой главе описаны особенности реализации метода VOF в настоящей работе. Представлены разработанные автором вычислительные приемы для улучшения качества решения уравнения переноса маркер-функции, в том числе методика дополнительного обострения межфазной границы и методика введения искусственной диффузии маркер-функции вблизи стенки. Изложены элементы численной методики, применяемой для аппроксимации различных частей уравнений переноса импульса и параметров турбулентности, в том числе оригинальные подходы к аппроксимации конвективной части уравнений и градиента давления в уравнении баланса импульса. Дано описание вычислительного алгоритма в целом.

Пятая глава посвящена тестированию разработанной численной методики и оценке значимости вязких эффектов при натекании потока жидкости со свободной поверхностью на препятствие, а также применимости моделей SST и к-г при расчете данного класса течений. Рассматриваются препятствия различной формы (пологие и крутые); результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными.

В шестой главе представлены результаты расчетов отдельных, интересных с практической точки зрения течений со свободной поверхностью: натекания потока на одиночное препятствие и на множественные препятствия в форме параллелепипедов (приведены результаты исследования нагрузок, действующих на препятствия при их различном взаимном расположении), а также плескания жидкости в баке.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в работе.

1. Моделирование течений жидкости со свободной поверхностью (обзор)

Под свободной поверхностью жидкости понимается граница между жидкостью и находящимся над ней газом. Поскольку плотность жидкости на несколько порядков больше плотности газа, влиянием газа на движение жидкости, как правило, можно пренебречь, полагая, что жидкость движется независимо от движения газа или «свободно». В более общем случае движения двух или нескольких несмешивающихся жидкостей со сравнимыми плотностями, а также в условиях образования и последующего всплытия пузырей газа в жидкости (например, вследствие опрокидывания волны, бегущей по поверхности жидкости), пренебречь движением одной из жидкостей (или газа) нельзя. В любом случае, при решении задач о движении несмешивающихся жидкостей необходимо определять форму и положение границы раздела, которая может подвергаться весьма сильной деформации. Довольно подробные обзоры методов решения таких задач можно найти, например, в следующих работах: [3, 5, 6, 92, 93, 95, 110,111].

1.1. Методы численного моделирования течений со свободной поверхностью

По способу дискретизации уравнений движения среды численные алгоритмы решения задач о движении несмешивающихся жидкостей можно разделить на лагранжевы и эйлеровы.

Лагранжевы методы основаны на записи уравнений движения среды в лагранжевых координатах, связанных с частицами движущейся среды. Для получения дискретных аналогов таких уравнений можно использовать набор узловых точек, перемещающихся вместе со средой, будь то узлы расчетной сетки (сеточные лагранжевы методы) или просто точечные частицы, не связанные друг с другом сеточными линиями (бессеточные лагранжевы методы). В любом случае, данные узловые точки, перемещаясь вместе со средой, автоматически отслеживают положение межфазной границы.

В эйлеровых алгоритмах для дискретизации уравнений движения среды используется, как правило, неподвижная расчетная сетка (в ряде случаев сетка может быть деформируемой в определенных пределах, например, для учета перемещения твердых границ). При этом межфазная граница перемещается по сетке, и для определения ее положения нужны специальные методики.

В англоязычной литературе также используется деление алгоритмов на interface capturing и interface tracking (устоявшихся русских терминов нет) в зависимости от способа определения положения контактной поверхности. К первой группе относят эйлеровы подходы,

в которых положение интерфейса восстанавливается по получаемому объемному распределению т.наз. маркеров (возможно использование дискретных маркеров-частиц или непрерывных маркеров-функций). В методах второй группы граница раздела непосредственно отслеживается связанными с ней поверхностными маркерами (дискретными или непрерывными) или узлами расчетной сетки.

Отдельно можно выделить группу т.наз. методов граничных интегральных уравнений, в которых не производится дискретизация уравнений и, следовательно, не требуются узловые точки внутри расчетной области. Расчетная сетка внутри области либо вообще не используется, либо используется только для подготовки данных к расчету и анализу результатов. Для расчетов используется поверхностная сетка, размерность которой на единицу меньше размерности решаемой задачи. Однако с данными методами связан ряд сложностей и ограничений, и в настоящее время они практически не используются.

Ниже дана краткая сравнительная характеристика наиболее известных методов решения задач со свободной поверхностью.

Отличительной особенностью и главным достоинством данной группы методов является отслеживание границы раздела узлами деформируемой расчетной сетки (рисунок 1.1), что позволяет максимально точно описывать свободную поверхность и проводить учет сложных граничных условий, например, сил поверхностного натяжения. Однако практическое применение лагранжевых методов, как правило, ограничено случаем относительно простых течений с небольшой деформацией свободной границы. Для расчета сложных течений, в которых граница раздела разрушается или пересекает себя (опрокидывание волны, распад и соединение пузырей, заполнение резервуаров и другие), использование сеточных лагранжевых методов сопряжено со значительными сложностями или невозможно.

1.1.1. Лагранжевы методы

1.1.1.1. Сеточные методы

Рисунок 1.1. Представление свободной поверхности в лагранжевых методах

Концептуально наиболее простым методом отслеживания положения границы раздела является использование лагранжевой сетки, узлы которой движутся вместе с жидкостью, так что граница раздела автоматически отслеживается узлами расчетной сетки. Эта идея использована, в частности, в методе L1NC (Lagrangian Method for Incompressible Flow) в работах [2, 36, 41, 44, 45, 59, 60, 125]. Однако такой подход применим только для узкого класса задач, в которых относительные перемещения частиц жидкости (и, соответственно, деформация расчетной сетки) невелики как, например, в случае слабых колебаний жидкости в баке.

Проблема чрезмерной деформации лагранжевой сетки при течении жидкости отчасти решается применением комбинированного лагранжево-эйлерова подхода ALE (Arbitrary Lagrangian - Eulerian), предложенного в работе [50], и развитого впоследствии в работах [57, 58, 80, 123]. В методе ALE описание движения жидкости проводится на подвижной сетке, деформируемой в соответствии с перемещением свободной поверхности (рисунок 1.2). В рамках данного подхода для определения положения свободной поверхности можно использовать, например, метод высоты поверхности (Surface Height Method) [92, 93], в котором изменение (эволюция) высоты свободной поверхности H{x,y,t) описывается кинематическим уравнением (1.1), выражающим тот факт, что свободная поверхность движется вместе с жидкостью (здесь u, v, w - компоненты скорости на свободной поверхности). Однако метод оказывается непригодным при сильной деформации свободной границы.

дН дН дН

--ь и-- + V-= W

dt дх ду

(1.1)

Рисунок 1.2. Деформация сетки при расчете перетекания потока через полуцилиндр с

использованием ALE метода

1.1.1.2. Бессеточные методы

Альтернативой сеточным лагранжевым методам могут выступить бессеточные методы частиц. В этих методах среда (жидкость и/или газ) заменяется набором точечных частиц, несущих ее физические характеристики (скорость, плотность, давление и пр.). Частицы не

связаны между собой сеточными линиями и не ограничены таким образом в своих перемещениях в пространстве. По значениям физических величин, приписанных частицам, разбросанными в некой области, могут быть аппроксимированы непрерывные распределения (поля) этих величин в этой области. Для этого может быть использована т.н. функция ядра, традиционно применяемая в задачах статистики для приближенного вычисления распределения плотности вероятности по набору разбросанных в пространстве значений (см., к примеру, [98, 106]). С использованием восстановленных таким образом полей величин, уравнения движения среды могут быть переформулированы в уравнения, связывающие движения соседних частиц (входящие в уравнения пространственные производные от той или иной величины могут быть вычислены с использованием соответствующих пространственных производных от функции ядра).

Впервые такой подход был продолжен независимо друг от друга в работах [39] и [77] (во второй работе было привнесено общепринятое на сегодняшний день название метода Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)). В русскоязычной литературе устоявшимся является название Метод сглаженных частиц.

Изначально метод SPH предназначался для расчета астрофизических явлений (формирование звезд и пр.). Помимо этого он нашел применение при расчетах течений сжимаемого газа. Впоследствии были предложены формулировки метода SPH для расчета течений несжимаемой жидкости. Здесь принципиально можно выделить два подхода. В первом из них для обеспечения условия бездивергентности поля скорости решается специальное уравнение Пуассона для давления, см., к примеру, [25, 54, 139]. Этот подход обеспечивает высокую точность результатов при расчетах течений со свободной поверхностью, однако требует дополнительных затрат вычислительных ресурсов на решение уравнения Пуассона. Во втором подходе жидкость считается слабо-сжимаемой, и для нее записывается специальное (искусственное) уравнение состояния, связывающее величины плотности и давления. Метод корректно работает в условиях, когда характерные скорости течения много меньше эффективной скорости звука. Благодаря простоте и сравнительно низким вычислительным затратам метод получил широкое распространение (см., к примеру, [8,22, 55, 79, 122]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Храбрый, Александр Иосифович, 2014 год

Список литературы

1. Багаев, Д.В. Численное моделирование работы водометного движителя на начальном этапе движения / Д.В. Багаев, А.Е. Таранов // Труды Крыловского государственного научного центра. — 2013. — Вып. 78 (362). — С. 65-68.

2. Батлер, Т.М. Развитие метода LINC. — Численные методы в механике жидкостей / Т.М. Батлер // Мир. — 1973. - С. 146-155.

3. Бураго, Н.Г. Численное решение задач МСС с подвижными границами раздела: дис. на соискание уч. ст. д-ра физ.-мат. наук / Н.Г. Бураго — М.: РАН. ИПМ, 2003. — 222 с.

4. Голуб, Дж. Матричные Вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун — М.: Мир, 1999. —

553 с.

5. Давыдов, Ю.М. Численное исследование тейлоровской неустойчивости в нелинейном приближении / Ю.М. Давыдов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. Наука. — 1978. — № 3. — С. 67-69.

6. Поттер, Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер. — М.: Мир, 1975.

7. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкости / К. Флетчер — М.: Мир, 1991. —Т.1. 502 е., Т.2. 552 с.

8. Adami, S. A conservative SPH method for surfactant dynamics / S. Adami, X. Hu, N. Adams //Journal of Computational Physics. — 2010. — Vol. 229 (5). — P. 1909-1926.

9. Aliabadi, S. High Performance Computing of Fluid-Structure Interactions in Hydrodynamics Applications Using Unstructured Meshes with More than One Billion Elements / S. Aliabadi, A. Johnson, J. Abedi, B. Zellars //Proceedings of the 9th International Conference on High Performance Computing (IliPC 02), Springer-Verlag, London, UK, 2002. — P. 519-533.

10. ANSYS FLUENT 14.0 Theory Guide. ANSYS Inc., 2011.

11. Ashgriz, N. FLAIR: Flux line-segment model for advection and interface reconstruction. / N. Ashgriz, J.Y. Poo //J. Comput. Phys. — 1991. — Vol. 93. — P. 449-468.

12. Barret, R. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods / R. Barret, M.W. Berry, T.F. Chan et al. — SIAM, Phildelphia, 1993. — 112 p.

13. Biscarini, C. CFD modelling approach for dam breakflow studies / C. Biscarini, S. Di Francesco, P. Manciola// Hydrology and Earth System Sciences. — 2010. — Vol. 14. — P. 705-718.

14. Brackbill, J.U. A continuum method for modeling surface tension / J.U. Brackbill, D.B. Kothe, C. Zemach. // Journal of Computational Physics. — 1992. — Vol. 100 (2). — P. 335-354.

15. Chang, Y.C. A level set formulation of eulerian interface capturing methods for incompressible fluid flows. / Y.C. Chang, T.Y. Hou, B. Merriman, S. Osher // Journal of computational physics. — 1996. — Vol. 124. — P. 449-464.

16. Chen, U.C. Time-Domain Simulation of Propeller-Ship Interactions under Turning Conditions / H.C. Chen, S.K. Lee // Proceedings of the 16th ASCE Engineering Mechanics Conference, University of Washington, Seattle, July 2003. — Paper No. EM-2003-137.

17. Chien, K.-Y. Predictions of Channel and Boundary-Layer Flows with a Low-Reynolds-Number Turbulence Model / K.-Y. Chien // AIAA Journal. — 1982. — Vol. 20, No. 1, — P. 33-38.

18. Chou, S.K.. Simulating the self-propulsion test by a coupled viscous/potential flow computation / S.K. Chou, C.Y. Hsin, W.C. Chen, S.W. Chau // JSME International Journal. — 2003. — No. 4. —P. 382-390.

19. Cleary, P W. Flow modelling in casting processes / P.W. Cleary, J . Ha // Appl. Math. Modelling. — 2002. — Vol. 26. — P. 171-190.

20. Colagrossi, A. Dottorato di Ricerca in Meccanica Teorica ed Applicata XVI CICLO A meshless Lagrangian method for free-surface and interface flows with fragmentation: PhD Thesis / A. Colagrossi. — Universita di Roma, La Sapienza, 2004.

21. Colagrossi, A. Experimental and Numerical Investigation of 2D Sloshing with Slamming //

A. Colagrossi, C. Lugni, M. Greco, O.M. Faltinsen / Proceedings of the 19th International Workshop on Water Waves and Floating Bodies (IWWWFB), Cortona, Italy, 2004.

22. Colagrossi, A. Numerical simulation of interfacial flows by smoothed particle hydrodynamics / A. Colagrossi // Journal of Computational Physics. — 2003. — Vol. 191 (2). — P. 448-475.

23. Crespo, A.J.C. 2D SPH validation - effect of wet bottom on dam break evolution / A.J.C. Crespo // SPH European research interest community SIG. — 2007. — Vol. 6. — 3 p.

24. Cueille, P.-V. Modélisation par SPH des phénomènes de diffusion présents dans un écoulement fluide: PhD Thesis / P.-V. Cueille. — INSA, Toulouse, France, 2005.

25. Cummins, S.J. An SPH projection method / S.J. Cummins, M. Rudman // Journal of Computational Physics. — 1999. — Vol. 152 (2). — P. 584-607.

26. Daly, B.J. A technique for including surface tension effects in hydrodynamic calculations /

B.J. Daly // J. Comput. Phys. — 1969. — Vol. 4. — P. 97-117.

27. Daly, B.J. Numerical Study of the Effect of Surface Tension on Interface Instability / B.J. Daly // Phys. Fluids. — 1969. — Vol. 12. — P. 1340-1354.

28. Deardorff, J.W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers / J.W. Deardorff// J. Fluid Mechanics. — 1970. — Vol. 41 (2). — P. 453-480.

29. Delorme, L. Sloshing Flows. Experimental Investigation and Numerical Simulations with Smoothed Particle Hydrodynamics: PhD thesis / L. Delorme. — Technical University of Madrid (UPM), 2009.

30. Delorme, L. Sloshing loads simulation in LNG tankers with SPH / L. Delorme, A.S. Iglesias, S.A. Perez // International Conference on Computational Methods in Marine Engineering. Barcelona, 2005.

31. Dhinesh, G. Sub domain based numerical modeling of ship hull propeller interaction / G. Dhinesh, V.A. Subramanian, K. Murali // Proceedings of the 3rd International Conference In Ocean Engineering, ICOE 2009, Chennai, 1-5 February 2009.

32. Eswaran, V. An examination of forcing in direct numerical simulations of turbulence / V. Eswaran, S.B. Pope // Computers and Fluids. — 1988. — Vol 16 (3). — 257-278.

33. Eswaran, V. Direct numerical simulations of the turbulent mixing of a passive scalar / V. Eswaran, S.B. Pope // Physics of Fluids. — 1988. — Vol. 31 (3). — P. 506-520.

34. Ferziger, J.M. Computational Methods for Fluid Dynamics / J.M. Ferziger, M. Peric. — Springer-Verlag, Berlin, Germany, 2002. — 423 p.

35. Gaskell, P.H. Curvature-compensated convective-transport: SMART, A new boundedness-preserving transport algorithm / P.H. Gaskell, A.K.C. Lau // Int. J. Numer. Methods Fluids. — 1988.

— Vol. 8. — Issue 6. — P. 617-641.

36. Gerbeau, J.F.. A quasi-newton algorithm based on a reduced model for fluid-structure interaction problems in blood flows: technical report 4691/ J.F. Gerbeau, M. Vidrascu. — INRIA, 2003.

37. Ghassemi, H. Hydrodynamic characteristics of the surface-piercing propellers for the planing craft / H. Ghassemi // Journal of Marine Science and Application. — 2009. — Vol. 8. — P. 267-274.

38. Gingold, R.A. Kernel estimates as a basis for general particle methods in hydrodynamics / R.A. Gingold, J.J. Monaghan // J. Comput. Phys. — 1982. — Vol. 46. — P. 429-453.

39. Gingold, R.A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars / R.A. Gingold, J.J. Monaghan // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1977.

— Vol. 181. —P. 375 89.

40. Givi, P. Model-free simulations of turbulent reactive flows / P. Givi // Progress in Energy and Combustion Science.— 1989. —Vol. 15. —P. 1-107.

41. Glimm, J. 3-Dimensional front tracking / J. Glimm, J.W. Grove, X.L. Li, K.-M. Shyue, Y. Zeng, Q. Zhang // SIAM J. sci. computing. —1998. — Vol. 19. — P. 703-727.

42. Grenier, N. Modélisation numérique par la méthode SPH de la séparation eau-huile dans les séparateurs gravitaires: PhD Thesis /N. Grenier. — Ecole Centrale de Nantes, France, 2009.

43. Guilcher, P.M. Simulation of liquid impacts with a two-phase parallel SPH model / P.M. Guilcher, G. Oger, L. Brosset, E. Jacquin, N. Grenier, D.L. Touze // Proceedings of the 20th International Offshore and Polar Engineering Conference (ISOPE 2010), Beijing, China, 2010. — P. 44-52.

44. Hackbusch, W. Multi-Grid Methods and Applications / W. Hackbusch // Springer-verlag. Berlin, 1985.

45. Hansbo, P. A free-lagrange finite element method using space-time elements / P. Hansbo // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2000. — Vol. 188. — P. 347-361.

46. Harlow, F.H. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow / F.H. Harlow, J.E.Welch // Phys. Fluids. — 1965. — Vol. 8. — P. 2182-2189.

47. Harlow, F.H. Relativistic fluid dynamics calculations with the particle-in-cell technique. / F.H. Harlow, A. A. Amsden, J.R. Nix // Journal of computational physics. — 1976. — Vol. 29. —

P. 119-129.

48. Himei, K. Numerical Analysis of Unsteady Open Water Characteristics of Surface Piercing Propeller / K. Himei // Proceedings of the Third International Symposium on Marine Propulsors (SMP'13), Launceston, Tasmania, Australia, May 2013. — P. 292-297.

49. Hinatsu, M. Two-Phase flows for joint research / M. Hinatsu, Y. Tsukada, R. Fukasawa, Y. Tnanaka// Proceedings of SRI-TUIIH mini Workshop on Numerical Simulation of Two-Phase Flows, Tokyo, Japan, 2001. —P. 12-19.

50. Ilirt, C.W. An arbitrary lagrangian-eulerian computing method for all speeds / C.W. Hirt,

A.A. Amsden // J. comput. phys. — 1974. — Vol. 14. — P. 227-253.

51. Hirt, C.W. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries. / C.W. Hirt,

B.D. Nichols // Journal of computational physics. — 1981. — Vol. 39. — P. 201-226.

52. Hogg, P.W. An implicit algorithm for capturing sharp fluid interfaces in the volume of fluid advection method: technical report DL-TR-2006-001 / P.W.Hogg, X.J. Gu, D.R.Emerson. — Daresbury Laboratory, Warrington, United Kingdom, 2006. — 26 p.

53. Hu, C. Numerical Simulation and Experiment on Dam Break Problem // C. IIu, M. Sueyoshi / Journal of Marine Science and Application. — 2010. — Vol. 9. — P. 109-114.

54. Hu, X. A constant-density approach for incompressible multi-phase SPH / X. Hu, N. Adams // Journal of Computational Physics. — 2009. — Vol. 228 (6). — P 2082-2091.

55. Hu, X. A multi-phase SPH method for macroscopic and mesoscopic flows / X. Hu, N. Adams // Journal of Computational Physics. — 2006. — Vol. 213 (2). — P 844-861.

56. Huang, S. A coupled analysis of nonlinear sloshing and ship motion / S. Huang; W. Duan; II. Zhang//Journal of Marine Science and Application. — 2012. — Vol. 11. — P. 427-436.

57. Huerta, A. Viscous flow with large free surface motion / A. Huerta, W.K. Liu // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1988. — Vol. 69. — P. 277-324.

58. Hugues, T.J.R. Lagrangian-Eulerian finite element formulation for incompressible viscous flows / T.J.R. Hugues, W.K. Liu, T.K. Zimmermann // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1981.

— Vol.29. —P. 329-349.

59. Idelsohn, S.R. Lagrangian formulations to solve free surface incompressible inviscid fluid flows / S.R. Idelsohn, M.A. Storti, E. Onate // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2001. — Vol. 191. —P. 583-593.

60. Jan, Y.J. A front tracking method for the computations of multiphase flow / Y.J. Jan // Journal of computational physics. — 2001. — Vol. 169. — P. 708-759.

61. Janosi, I.M. Turbulent drag reduction in dam-break flows / I.M. Janosi, D. Jan, K.G. Szabo, T. Tamas // Experiments in Fluids. — 2004. — Vol. 37(2). — P. 219-229.

62. Jasak, H. High resolution NVD differencing scheme for arbitrarily unstructured meshes /II. Jasak, H.C. Weller, R.I. Issa, A.D. Gosman // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1999. — Vol. 31.—

P 431-449.

63. Johannessen, T.B. Extreme Wave Effects on Deep Water TLPs - Lessons Learned from the Snorre A Model Tests / T.B. Johannessen, S. Haver, T. Bunnik, B. Buchner // Proceedings of the Deep Offshore Technology Conference (DOT), Houston, November 28-30, 2006.

64. Kato, M. The Modeling of Turbulent Flow Around Stationary and Vibrating Square Cylinders / M. Kato, B.E. Launder // Proceedings of the 9th Symposium on Turbulent Shear Flows, Kyoto, August 1993. —P. 10.4.1-10.4.6.

65. Kawamura, T. Numerical simulation of the flow about self-propelling tanker models // T. Kawamura, H. Miyata, K. Mashimo. / Journal of Marine Science and Technology. — 1997. — No. 2.

— P. 245-256.

66. Khezzar, L. Water sloshing in rectangular tanks - an experimental investigation & numerical simulation / L. Khezzar, A.C. Seibi, A. Goharzadeh // International Journal of Engineering.

— 2009. — Vol. 3. — Issue 2. — P. 174-184.

67. Kleefsman, K.M.T. A VoIume-of-Fluid based simulation method for wave impact problems / K.M.T. Kleefsman, G. Fekken, A.E.P. Veldman // Journal of Computational Physics. — 2005. — Vol.206. —P. 363-393.

68. Kocaman, S. The effect of lateral channel contraction on dam break flows: Laboratory experiment / S. Kocaman, H. Ozmen-Cagatay // Journal of Hydrology. — 2012. — Vol. 432-433. — P. 145-153.

69. Lafaurie, B. Modelling merging and fragmentation in multiphase flows with SURFER / B. Lafaurie, C. Nardone, R. Scardovelli, S. Zaleski, G. Zanetti // Journal of computational physics. — 1994, —Vol. 39. —P. 134-147.

70. Lam, C.K.G. Modified form of the k-z model for predicting wall turbulence / C.K.G. Lam, K.A. Bremhorst // J. Fluids Engineering. — 1981. — Vol. 103. — P. 456-460.

71. Launder, B.E. Application of the Energy-Dissipation Model of Turbulence to the Calculation of Flow Near a Spinning Disc / B.E. Launder, B.I. Sharma // Letters in Heat and Mass Transfer. —1974.—Vol. 1,No. 2. — P. 131-138.

72. Launder, B.E. The Numerical Computation of Turbulent Flows / B.E. Launder, D.B. Spalding // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1974. — Vol. 3. — P. 269289.

73. Leonard, B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation / B.P. Leonard // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1979. — Vol.19. — P. 59-98.

74. Leonard, B.P. The ULTIMATE conservative difference scheme applied to unsteady onedimensional advection / B.P. Leonard // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1991. — Vol. 88. —P. 17-74.

75. Liu, J. Numerical simulation of flows with moving interfaces. / J. Liu, D.B. Spalding // Physico chemical hydrodynamics. — 1988. — Vol. 10 (5/6). — P. 625-637.

76. Liu, Y. Numerical Simulation of Motion Response of an Offshore Observation Platform in Waves // Y. Liu, D. Wan / Journal of Marine Science and Application. — 2013. — Vol. 12. — P. 8997.

77. Lucy, L.B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis / L.B. Lucy // Astron. J. — 1977. — Vol. 82 (12). — P 1013-1024.

78. Lungu, A. Free-Surface Flow around an Appended Hull / A. Lungu, F. Pacuraru // Proceedings of the 25 th IAIIR Symposium on Hydraulic Machinery and Systems, Timisoara, 2010. — Vol. 2. — P. 628-635.

79. Marrone, S. 8-SPH model for simulating violent impact flows / S. Marrone, M. Antuono, A. Colagrossi, G. Colicchio, D. Le Touze, G. Graziani // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2011. — Vol. 200. — P. 1526-1542.

80. Maury, B. Direct simulations of 2d fluid-particle flows in biperiodic domains // B. Maury / J. comput. phys. — 1999. — Vol. 156. — P. 325-351.

81. Mencinger, J. An Alternative Finite Volume Discretization of Body Force Field on Collocated Grid / J. Mencinger// Finite Volume Method - Powerful Means of Engineering Design; ed. R. Petrova, ISBN: 978-953-51-0445-2,2012. — P. 101-116.

82. Menter F.R. Ten years of Industrial Experience with the SST turbulence model / F.R. Menter, R. Langtry, M. Kuntz // Proceedings of the 4th International Symposium on Turbulence, Heat and Mass Transfer, Antalya, Turkey, 12-17 October, 2003.

83. Menter, F.R. Zonal Two Equation k-omega Turbulence Models for Aerodynamic Flows / F.R. Menter. — AIAA Paper 93-2906, July 1993.

84. Mitra, S. A 3D fully coupled analysis of nonlinear sloshing and ship motion / S. Mitra, C.Z. Wang, J.N. Reddy, B.C. Khoo // Ocean Engineering. — 2012. — Vol. 39. — P. 1-13.

85. Moin, P. Numerical investigation of turbulent channel flow / P. Moin, J. Kim // J. Fluid Mechanics. — 1982. — Vol. 118. — P. 341-377.

86. Monaghan, J.J. Gravity currents and solitary waves / J.J. Monaghan // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1996. — Vol. 98. — P. 523-533.

87. Monaghan, J.J. Solitary waves on a Cretan beach / J.J. Monaghan, A. Kos // Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering. — 1999. — Vol. 125 (3), P. 145-154.

88. Monaghan, J. J. SPII compressible turbulence / J.J. Monaghan // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2002. — Vol. 335. — P. 843-852.

89. Morris, J.P. Simulating Surface Tension with Smoothed Particle Hydrodynamics / J.P. Morris // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2000. — Vol. 33 (3). — P. 333353.

90. Muscari, R. Numerical simulation of the flow past a rotating propeller behind a hull / R. Muscari, A. Di Mascio.// Proceedings of the 2nd International Symposium on Marine Propulsors (SMP '11), Hamburg, Germany, June 2011.

91. Muzaferija, S. A two-fluid Navier-Stokes solver to simulate water entry / S. Muzaferija, M. Peric, P. Sames, T. Schelin // Proceedings of the 22 Symposium on Naval Hydrodynamics, Washington DC, August 9-14,1998. — P. 638-651.

92. Nichols, B.D. Calculating Three-Dimensional Free Surface Flows in the Vicinity of Submerged and Exposed Structures / B.D. Nichols, C.W. Hirt // J. Comp. Phys. — 1971. — Vol. 12. — P. 234-246.

93. Nichols, B.D. Methods for calculating multidimensional, transient free surface flows past bodies / B.D. Nichols, C.W. Hirt // Proceedings of the First International Conf. On Num. Ship Hydrodynamics. Gaithersburg, ML. Oct. 20-23, 1975.

94. Nugent, S. Liquid drops and surface tension with smoothed particle applied mechanics/S. Nugent, H.A. Posch//Physical Review E. — 2000. — Vol. 62 (4). — P. 4968-4975.

95. Osher, S. Front propagating with curvature-dependent sped: algorithms based on hamilton-jacobi formulations / S. Osher, J.A. Sethian // J. Comput. Phys. — 1988. — Vol. 79. — P. 12.

96. Ozmen-Cagatay, H. Dam-break flow in the presence of obstacle: experiment and CFD simulation / H.Ozmen-Cagatay, S. Kocaman // Engineering Applications of Computational Fluid Mechanics. — 2011. — Vol. 5. — P. 541-552.

97. Park, I.R. A volume-of-fluid method for incompressible free surface flows / I.R. Park, K.S. Kim, J. Kim, S.II. Van//Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 2009. — Vol. 61. — P. 1331-1362.

98. Parzen E. On estimations of a probability density and mode // Ann. Math. Stat. — 1962. — Vol. 33. —P. 1065-76.

99. Patankar, S.V. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows / S.V. Patankar, D.B. Spalding // Int. J. of Heat and Mass Transfer. — 1972, —Vol. 15. —Issue 10. —P. 1787-1806.

100. Patel, V.C. Turbulence Models for Near-Wall and Low Reynolds Number Flows: A Review / V.C. Patel, W. Rodi, G. Scheuerer // AIAA Journal. — 1985. — Vol. 23, No. 9. — P. 13081319.

101. Pu, J.H. Smoothed Particle Hydrodynamics Simulation of Wave Overtopping Characteristics for Different Coastal Structures / J.H. Pu, S. Shao // The Scientific World Journal. — 2012. —Article ID 163613, 10 p.

102. Rafiee, A. Study of liquid sloshing: Numerical and experimental approach / A. Rafiee, F. Pistani, K. Thiagarajan // Computational Mechanics. — 2011. — Vol. 47. — P. 65-75.

103. Reynolds, O. On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion / O. Reynolds // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. —Vol. 186. —P. 123-164.

104. Rhie, C.M. A numerical study of the turbulent flow past an isolated airfoil with trailing edge separation/ C.M. Rhie, W.L. Chow//AIAA Journal. — 1983. —Vol. 21. —P. 1525-1532.

105. Rogallo, R.S. Numerical simulation of turbulent flows / R.S. Rogallo, P. Moin // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1984. — Vol. 16. — P. 99-137.

106. Rosenblatt, M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function / M. Rosenblatt // Ann. Math. Stat. — 1956. — Vol. 27. — P. 832-837.

107. Rudman, M. Modelling sloshing in LNG tanks / M. Rudman, P. W. Cleary // Proceedings of the 7th International Conference on CFD in the Minerals and Process Industries CSIRO, Melbourne, Australia, 9-11 December. 2009. — P. 1-6.

108. Rudman, M., Volume-tracking methods for interfacial flow calculations / M. Rudman // Int. J. Numer. Methods Fluids. — 1997. — Vol. 24. — P. 671 -691.

109. Saad, Y. Iterative Methods For Sparse Linear Systems. Second Edition / Y. Saad. — SIAM, Phildelphia, 2003. — 528 p.

110. Scthian, J.A. Level set methods: evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science / J.A. Sethian. — Cambridge university press, 1996.

111. Sethian, J.A. Tracking interfaces with level sets / J.A. Sethian // American scientist. — 1998. — Vol. 85. — P. 254-263.

112. Shur M.L. A hybrid RANS-LES model with delayed DES and wall-modeled LES capabilities / M.L. Shur, P.R. Spalart, M.Kh. Strelets, A. Travin // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2008. — Vol. 29. — P. 1638-1649.

113. Shur, M.L. Detached-eddy simulation of an airfoil at high angle of attack. / M.L. Shur, P.R. Spalart, M. Strelets, A. Travin // Engineering Turbulence Modelling and Experiments 4; ed. W. Rodi, D. Laurence. — Oxford, UK: Elsevier Sci., 1999. — P. 669-678.

114. Smirnov, E.M. Modification of Wall Boundary Conditions for Low-Re k-co Turbulence Models Aimed at Grid Sensitivity Reduction / E.M. Smirnov, D.K. Zaitsev // European Conference for Aerospace Sciences, July 4—7th 2005, Moscow (EUCASS 2005), CD-ROM proceedings, ID 2.09.06, 7 p.

115. Smirnov, P.E. Sensitization of the SST Turbulence Model to Rotation and Curvature by Applying the Spalart-Shur Correction Term / P.E. Smirnov, F. Menter // Journal of Turbomachinery.

— 2009. —Vol. 131 (4). —P. 1-8.

116. Soares-Frazao, S. Experiments of dam-break wave over a triangular bottom sill / S. Soares-Frazao // Journal of Hydraulic Research. — 2007. — Vol. 45, extra issue. — P. 19-26.

117. Spalart, P.R. A new version of detached-eddy simulation, resistant to ambiguous grid densities / P.R. Spalart, S. Deck, M.L. Shur, K.D. Squires, M.Kh. Strelets, A. Travin // Theor. Comp. Fluid Dyn. — 2006. — Vol. 20. — P. 181-195.

118. Spalart, P.R. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach / P.R. Spalart, W.-II. Jou, M. Strelets, S.R. Allmaras // Advances in DNS/LES; ed. C. Liu, Z. Liu. — Columbus, Ohio: Greyden Press, 1997. — P. 137-147.

119. Springel, V. Cosmological smoothed particle hydrodynamics simulations: the entropy equation / V. Springel, L. Hernquist // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2002.

— Vol. 333. —P. 649-64.

120. Stern, F. A viscous-flow approach to the computation of propeller-hull interaction / F. Stern, II.T. Kim, V.C. Patel et al // Journal of Ship Research. — 1988. — Vol. 32. — P. 246-262.

121. Strelets, M. Detached eddy simulation of massively separated flows / M. Strelets // Presented at the 39th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, January 8-11,2001. — Paper No. AIAA-2001-0879.

122. Tartakovsky, A.M. Simulations of reactive transport and precipitation with smoothed particle hydrodynamics / A.M. Tartakovsky, P. Meakin, T.D. Scheibe, R. Eichlerwest, R.M.E. West // Journal of Computational Physics. — 2007. — Vol. 222 (2). — P. 654-672.

123. Tezduyar, T.E. A new strategy for finite element computations involving boundaries and interfaces - the deforming-spatial-domain/space-time procedure: II. computations of free surface flows, two-liquid flows, and flows with drifting Cylinders / T.E. Tezduyar, M. Behr, S. Mittal, J. Liou // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1992. — Vol. 94. — P. 353-371.

124. Thompson, E. Use of pseudo-concentrations to follow creeping viscous flows during transient analysis. / E. Thompson // International Journal for numerical methods in engineering. — 1986. — Vol. 6. — P. 749-761.

125. Tryggvason, G. A front-tracking method for the computations of multiphase flow / G. Tryggvason, B. Bunner, A. Esmaeeli, D. Juric, N. Al-Rawahi, W. Tauber, J. Han // J. Comput. Phys.

— 2001. — Vol. 169. — P. 708-759.

126. Ubbink, O. A method for capturing sharp fluid interfaces on arbitrary meshes / O. Ubbink, I. Issa, // J. Comput. Phys. — 1999. — Vol. 153. — P. 26-50.

127. Ubbink, O. Numerical predictions of two fluid systems with sharp interfaces: PhD Thesis / O. Ubbink — Department of Mechanical Engineering, Imperial College, University of London, 1997.

128. Van Der Vorst, H.A. Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi CG for the solution of nonsymmetric linear systems /11. A. Van Der Vorst // SIAM J. Sci. Statist. Comput. — 1992. —Vol. 13. —P. 631-644.

129. Vandoormaal, J. P. Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows / J. P. Vandoormaal, G. D. Raithby // Numer. Heat Transfer. — 1984. — Vol. 7. — P. 147163.

130. Waclawczyk, T. Comparison of CICSAM and URIC high-resolution schemes for interface capturing / T. Waclawczyk, T. Koronowicz // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. — 2008.

— Vol. 46 (2). —P. 325-345.

131. Waclawczyk, T. Modelling of the free surface flows with high resolution schemes / T. Waclawczyk, T. Koronowicz // Chem. Proc. Eng. — 2006. — Vol. 27 (3/1). — P. 783-802.

132. Waclawczyk, T. Modelling of the wave breaking with CICSAM and URIC highresolution schemes / T. Waclawczyk, T. Koronowicz // ECCOMAS CFD, Egmond aan Zee, Netherlands, September 5-8, 2006, CD-ROM Proceedings, 19 p.

133. Waclawczyk, T. Remarks on prediction of wave drag using VOF method with interface capturing approach / T. Waclawczyk, T. Koronowicz // Archives of Civil and Mechanical Engineering.

— 2008. — Vol. 8. — P. 5-14.

134. Wemmenhove, R. Numerical simulation of sloshing in LNG tanks with a compressible two-phase model / R. Wemmenhove, R. Luppes, A.E.P. Veldman, T. Bunnik// Proceedings of the 26th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering, San Diego, California, USA, 2007.

135. Wemmenhove, R. Numerical simulation of two-phase flow in offshore environments: PhD thesis / Rik Wemmenhove. — University of Groningen, 2008. — 141 p.

136. Wesseling, P. Principles of Computational Fluid Dynamics / P. Wesseling — New York '.Springer-Verlag, 2000. — 644 p.

137. Wilcox, D.C. Re-assessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models / D.C. Wilcox // AIAA Journal. — 1988. — Vol. 26, No. 11. — P. 1299-1310.

138. Wilcox, D.C. Turbulence Modeling for CFD / D.C. Wilcox. — 2nd ed. — DCW Industries Inc., La Cañada, CA, USA, ISBN 0-9636051-5-1, 1998. — 540 p.

139. Xu, R. Accuracy and stability in incompressible SPH (ISPH) based on the projection method and a new approach / R. Xu, P. Stansby, D. Laurence // Journal of Computational Physics, 2009. — Vol. 228 (18). — P. 6703-6725.

140. Yakhot, V. Development of turbulence models for shear flows by a double expansion technique / V. Yakhot, S.A. Orszag, S. Thangam, T.B. Gatski, C.G. Speziale // Physics of Fluids. — 1992. —Vol. 4 (7). —P. 1510-1520.

141. Yakhot, V. Renormal isation group analysis of turbulence. I. Basic theory / V. Yakhot, S.A. Orszag // SIAM J. Scientific Computing. — 1986. — Vol. 1. — P. 3-51.

142. Young, Y.L. Analysis of supercavitating and surface-piercing propeller flows via BEM / Y.L. Young, S.A. Kinnas // Journal of Computational Mechanics. — 2003. — Vol. 32. — P. 269-280.

143. Young, Y.L. Fluid and Structural Modeling of Cavitating Propeller Flows / Y.L. Young, S.A. Kinnas // Proceedings of the 5th International Symposium on Cavitation (CAV2003), Osaka, Japan, November 1-4, 2003. — P. OS-7-012.

144. Zhao, W. Coupled analysis of nonlinear sloshing and ship motions / W. Zhao, J. Yang, Z. Hu, L. Tao // Applied Ocean Research. — 2014. — Vol. 47. — P. 85-97.

Работы автора по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Khrabry АЛ., Smirnov Е.М., Zaytsev D.K. Solving the Convectivc Transport Equation with Several High-Resolution Finite Volume Schemes: Test Computations // Computational Fluid Dynamics 2010. - New-York: Springer, 2011. - 954 p. - P. 535-540.

2. Khrabry АЛ., Smirnov E.M., Zaytsev D.K. Free surface flow computations using the M-CICSAM scheme added with a sharpening procedure // Proceedings of the 6th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2012), Vienna, Austria, 10-14 September 2012. - CD-ROM. - Vienna University of Technology, Austria, ISBN: 978-39502481-9-7.2 p.

3. Зайцев Д.К., Смирнов E.M., Храбрый А.И. Расчет течений со свободными поверхностями: влияние схемных факторов и модели турбулентности // Труды 14-й международной конференции «Супервычисления и математическое моделирование», Саров, 15 октября 2012. - Саров, ФГУП «РФЯЦ ВНИИЭФ», 2013. - 624 с. - С. 282-292.

4. Храбрый А.И., Смирнов Е.М., Зайцев Д.К. Влияние модели турбулентности на результаты расчета обтекания препятствия потоком воды после обрушения дамбы // Научно-технические ведомости СПбГПУ.-2013.-№1 (165).-С. 182-187.

5. Храбрый А.И., Зайцев Д.К., Смирнов Е.М. Численное моделирование течений со свободной поверхностью на основе метода VOF // Труды ЦНИИ им. акад. А. II. Крылова (Труды Крыловского государственного научного центра). - 2013. - Выи. 78 (362). — С. 53-64.

6. Khrabry А Л., Smirnov Е.М., Zaytsev D.K. Numerical Study of wall friction effects on dam-break flows in the presence of an obstacle // 6th European Conference on Computational Fluid Dynamics (ECFD VI), 20-25 July 2014, Barcelona, Spain, - p. 1-2.

7. Храбрый А.И., Зайцев Д.К., Смирнов E.M., Горячев В.Д. Численное моделирование нестационарного натекания потока воды на один и два ряда трехмерных препятствий // Труды международной суперкомпыотерной конференции "Научный сервис в сети Интернет", г. Новороссийск, 22-27 сентября 2014. - CD-ROM. - М.: Изд-во МГУ, 2014. - 497 с. - С. 388-394.

8. Храбрый А.И., Смирнов Е.М., Зайцев Д.К. Расчет нестационарных волновых течений с отрывом вязкого придонного слоя // Сборник трудов научного форума с международным участием XLIII «Неделя науки СПбПУ», С.-Петербург, 1-6 декабря 2014г. - СПб: Изд-во Политехи, ун-та, 2014. - 320 с. - С. 47-53.