Численное моделирование нелинейных волновых пакетов (бризеров) в стратифицированных средах в рамках уравнений Эйлера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Лобовиков Павел Викторович

• Лобовиков Павел Викторович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Лобовиков Павел Викторович

Введение

Глава 1. Математические модели внутренних волн

1.1. Введение

1.2. Система уравнений Эйлера несжимаемой жидкости

1.3. Слабонелинейная теория длинных внутренних волн

1.3.1. Эволюционные уравнения КдВ-иерархии и их аналитические решения

1.3.2. Учёт эффекта вращения Земли: уравнение мКдВ-Островского

1.4. Численные модели внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости

1.4.1. Полнонелинейная численная модель MITgcm

1.4.2. Программный комплекс IGWResearch

1.5. Инициализация вычислительной модели MITgcm для решаемого класса задач и анализ результатов полнонелинейных расчетов

1.6. Выводы

Глава 2. Влияние особенностей топографии и вращения Земли на динамку бризеров внутренних волн

2.1. Введение

2.2. Генерация бризеров внутренних волн в рамках уравнений Эйлера

2.3. Трансформация бризеров первой моды над донным уступом в трехслойной жидкости

2.4. Исследование влияния вращения Земли на трансформацию бризера внутренних волн

2.5. Выводы

Глава 3. Воздействие внутренних гравитационных волн на подводные сооружения

и перенос частиц нейтральной плавучести

3.1. Введение

3.2. Оценка потенциальных нагрузок на подводные гидротехнические сооружения при прохождении бризеров

3.2.1. Математическая модель воздействия волн на препятствия и сооружения

3.2.2. Воздействие бризеров на цилиндрические подводные опоры

3.3. Перенос частиц жидкости нейтральной плавучести бризерами внутренних волн

3.3.1. Оценка сдвига частиц при прохождении бризера внутренних волн в рамках слабонелинейной теории

3.3.2. Траектории движения частиц при прохождении бризера внутренних волн в

рамках полнонелинейных уравнений Эйлера

3.4. Выводы

Заключение

Приложение 1. Структура проекта М1Т§еш и его адаптация под решаемые задачи

Приложение 2. Программный комплекс для спектрального анализа и расчета характеристик устойчивости волновых полей

Приложение 3. Программный комплекс для расчета и визуализации нагрузок и моментов, воздействующих на гидротехнические сооружения при прохождении внутренних

волн

Приложение 4. Программный комплекс для расчета полей скорости и траектории жидких частиц нейтральной плавучести при распространении внутренних гравитационных

волн

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование нелинейных волновых пакетов (бризеров) в стратифицированных средах в рамках уравнений Эйлера»

Актуальность диссертационной работы

Внутренние гравитационные волны являются одной из важнейших составляющих волновых движений в стратифицированных водоемах [Миропольский, 1981; Краусс, 1968; Baines, 1995; Морозов, 1985; Булатов и Владимиров, 2010]. Такие волны возникают и распространяются на границах раздела слоев различной плотности в стратифицированной жидкости. Волновая динамика внутренних волн достаточно хорошо изучена для двухслойной стратификации, которая в первом приближении описывает распределение плотности воды по глубине для многих водоемов [Chen, 2007; Maderich et al., 2009, 2010; Talipova et al., 2013; Талипова и др., 2015, 2016]. Также в настоящий момент появляется большое количество работ, посвященных исследованиям волновой динамики в трехслойной жидкости, где можно наблюдать более сложные динамические режимы [Kurkina et al., 2015; Mercier et al., 2011]. Подобная стратификация с двумя выраженными скачками плотности встречается в отдельные сезоны в различных акваториях, например, в Южно-Китайском [Yang et al., 2010] и Балтийском [Lepparanta et al., 2009] морях. Волновые процессы, протекающие в трехслойной жидкости, были исследованы в ряде работ, как в рамках слабонелинейной теории [Grimshaw et al.,1997; Талипова и др., 1999], так и в рамках полнонелинейных моделей [Lamb, 2000; Ru-bino et al., 2001; Rusas and Grue, 2002]. Однако некоторые важные аспекты волновой механики в трехслойной жидкости изучены недостаточно подробно, например, на сегодняшний день достаточно слабо исследован класс длинных нелинейных локализованных пакетов -бризеров, существование которых, в том числе и в трехслойной жидкости, теоретически предсказано в работах [Wadati, 1973; Pelinovsky and Grimshaw, 1997; Grimshaw et al., 1997]. Долговременное распространение такого пакета было подтверждено численным моделированием в рамках уравнений Эйлера [Lamb et al., 2007].

Распространение бризероподобных волн наблюдалось в реальном океане, например, в [Lee et al., 2006] приведены результаты исследования поля внутренних волн у побережья Южной Кореи, где зафиксирован бризероподобный пакет внутренних волн, следующий за группой уединенных волн - солитонов (см. рис. 1).

Достаточно локализованный волновой пакет, выделенный при анализе записей внутренних волн в Андаманском море, также приведен в книге [Osborne, 2010] (рис. 2).

Еще один, и, пожалуй, самый убедительный пример наблюдений бризероподобных внутренних волн рассмотрен в работе [Shroyer et al., 2010]. Здесь приведены записи волнового пакета на шельфе Нью Джерси в Атлантическом океане (рис. 3).

Рис. 1. Наблюдения солитоноподобных и бризероподобных волн у побережья Южной Кореи [Lee et al., 2006]

Рис. 2. Наблюдения солитоноподобных и бризероподобных волн в Андаманском море [Osborne, 2010]

11.25 11.5

с^. (кт)

Рис. 3. Запись бризероподобных пакетов (2), идущих за солитоном второй моды на шельфе Атлантики [Shroyer et я!., 2010]

Записи внутренних волн в Ирландском море показаны в работе [Vlasenko et al., 2014] (рис. 4). Здесь также можно выделить волновые пакеты, и возможность образования бризе-роподобных волн подтверждалась численным моделированием [Vlasenko and Stashchuk, 2015].

177 5 178 178 5 179 T(degr)

Day 2012

Рис. 4. Наблюдения бризероподобных пакетов в Ирландском море [Vlasenko et al., 2014]

Однако, подтвердить принадлежность этих пакетов к классу бризероподобных волн можно, лишь имея наблюдения в нескольких последовательных точках вдоль трассы распространения этих волн, а такие данные практически отсутствуют. Сотрудники кафедры «Прикладная математика» участвуют в проекте по созданию и поддержанию в актуальном состоянии базы данных внутренних волн [https://lmnad. nntu.ru/ru/projects/igwatlas online], где отражены все опубликованные в открытых источниках на сегодняшний день наблюдения внутренних волн. Так что актуальность исследования бризеров внутренних волн очевидна.

Поскольку натурные наблюдения бризероподобных волн затруднены, а лабораторное моделирование таких волн тоже достаточно непростое, то численное моделирование пока является единственным инструментом исследования свойств и динамики бризеров внутренних волн. Эти исследования ведутся как в рамках приближенных моделей [Пелиновский и др., 2000; Clarke et al., 2000; Nakoulima et al., 2004; Grimshaw et al., 2010a; Barros et al., (in press)], так в рамках нелинейных уравнений Эйлера или Навье - Стокса [Rouvinskaya et al., 2015].

Так, численным моделированием было подтверждено долговременное распространение бризероподобной волны в рамках основных уравнений гидродинамики [Lamb et al., 2007], исследована генерация бризеров внутренних волн первой моды при взаимодействии солито-на второй моды с уступом дна или сдвиговым течением [Terletska et al., 2016; Zhang et al., 2018], а также основные аспекты динамики бризеров длинных внутренних волн во вращающемся бассейне [Rouvinskaya et al., 2015].

Внутренние волны большой амплитуды могут заметно воздействовать на опоры гидротехнических сооружений: мостов, платформ, причалов и т.д. В литературе имеются данные о повреждении опоры платформы внутренней волной большой амплитуды в Андаманском море [Fraser, 1999]. При прохождении пакета внутренних волн большой амплитуды опора платформы накренилась на угол 3°. Это привело к смещению этой опоры на 2 м, и напряжение якорной цепи выросло на 25%. Сильные течения, возникающие при прохождении внутренних волн большой амплитуды, также увеличивают напряжения в трубах и ведут к размывам под ними. Возможность предсказать такие волны даст большой вклад в безопасность нефтегазовых промыслов. Сравнение между действием на платформу поверхностных и внутренних волн показало [Song et al., 2011], что в горизонтальном направлении действие внутренних волн составляет только 9% от результирующего действия поверхностной волны за годовой период повторяемости и 5% от волны за 50-летний период повторяемости. В вертикальном же направлении силы, вызванные внутренней волной, в 30 раз больше сил от поверхностной волны с годовым периодом повторяемости и в 1.7 раза больше, чем от волны с 50-летним периодом повторяемости. Внутренние волны сильнее влияют на дно под платформой, чем поверхностные. Вышесказанное показывает актуальность исследования нагрузок на опоры гидротехнических сооружений, вызванные нелинейными внутренними волнами, в том числе, и бризероподобными.

Перенос примесей и транспорт донных наносов занимают большой раздел в механике жидкости и газа. Исследование переноса примесей и транспорта наносов внутренними волнами большой амплитуды весьма актуально, поскольку шельфовая зона океана сейчас активно вводится в хозяйственную деятельность, а полученные результаты используются при проектировании подводных и надводных сооружений газо- и нефтедобычи, устройстве рыбных «ферм», прокладке по дну океана трубопроводов и т.д. Собственно расчет трансформации волн большой амплитуды в шельфовой зоне проводился в рамках различных моделей (см., например, [Karl et al., 1986; Grimshaw et al., 2004, 2007; Vlasenko and Stashchuk, 2015; Талипова и др., 2014; Талипова и др., 2015; Kurkina and Talipova, 2011a; Kurkina et al., 2017; Rippert et al., 2017]). Полученное поле скорости используется для оценок переноса примесей и донных осадков [Куркина и др., 2016; Rouvinskaya et al., 2017; Zhang et. al., 2019]. Так в работе [Сёмин, 2016], показаны траектории частиц пассивной примеси, рассчитанные при прохождении солитона внутренней волны в рамках уравнений Эйлера (рис. 5).

В статье [Reeder et al., 2011] показаны экспериментальные результаты измерений переноса песка на шельфе Южно - Китайского моря интенсивными внутренними волнами. Перенос уединенными внутренними волнами донных отложений на Португальском шельфе рассчитывался в рамках слабонелинейной модели в работе [Zhang et al., 2019]. Таким образом,

исследование транспорта наносов внутренними волнами ведется очень интенсивно, и исследование переноса отложений бризерами безусловно является новым и перспективным.

Уже из перечисленного следует актуальность и практическая важность исследования нелинейных волновых пакетов (бризеров) в стратифицированных бассейнах.

X

Рис. 5. Траектории частиц пассивной примеси, в начальный момент времени расположенных около поверхности (а), в пикноклине (б) и около дна (в): символ «о» - начальное положение частицы, символ «*» - конечное положение частицы

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертации является исследование динамики нелинейных пакетов (бризеров) гравитационных волн в стратифицированных бассейнах, транспорта частиц и силового воздействия на препятствия. В связи с чем решаются следующие задачи:

1. Генерация бризеров в рамках уравнения Эйлера с помощью аналитических решений слабонелинейной теории внутренних волн, основанной на интегрируемых уравнениях КдВ-иерархии.

2. Моделирование трансформации бризера на уступе дна при различных параметрах бризера и уступа.

3. Оценка влияния вращения бассейна на долговременную эволюцию бризера.

4. Исследование эффектов силового воздействия бризера на цилиндрические опоры малого диаметра.

5. Расчеты движения жидких частиц нейтральной плавучести в поле бризера.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами исследований:

1. Предложен способ генерации внутренних бризеров в рамках полнонелинейных уравнений Эйлера с помощью аналитических решений слабонелинейной теории. Показано, что сгенерированный таким образом бризер является многомодовым.

2. Исследована трансформация внутренних бризеров с различными параметрами на подводном уступе в трехслойном потоке. Продемонстрировано образование нескольких бри-зеров в результате такой трансформации. Показано, что амплитуды прошедших волн могут возрастать до 35% в верхнем пикноклине и уменьшаться до 32% в нижнем пикно-клине по отношению к амплитуде падающего бризера. Показано, что отражение при выбранных конфигурациях уступа слабое, амплитуды отраженных волн, в общем, не превышают 4% амплитуды исходного бризера. Отмечено, что в прошедших волнах возникают области с низкими значениями чисел Ричардсона.

3. Исследовано влияние силы Кориолиса на динамику внутренних бризеров в симметричном трехслойном потоке в рамках уравнения мКдВ-Островского. Показано, что наиболее сильная трансформация волнового поля под действием вращения Земли наблюдается в бризерах с относительной шириной спектра ~ 3, при этом спектр сдвигается в область низких частот на 30%. Отмечается также явление квази-рекурренции бризеров.

4. Проведены оценки потенциальных нагрузок на подводные цилиндрические сваи при прохождении сильнонелинейных бризеров внутренних волн. Полученные оценки изгиб-ных моментов могут применяться в инженерных изысканиях.

5. Рассчитаны траектории движения жидких частиц нейтральной плавучести в поле бризера внутренних волн. Показано, что линейная теория недооценивает смещения частиц практически в два раза по сравнению со слабонелинейной теорией, и до 2.5 раз по сравнению с полнонелинейной теорией.

Положения, выносимые на защиту

1. Способ генерации внутренних бризеров в рамках полнонелинейных уравнений Эйлера с помощью аналитических решений слабонелинейной теории.

2. Характеристики прошедших и отраженных внутренних волн, в том числе и бризеров, возникающих на подводных слабо отражающих уступах в трехслойном потоке при трансформации начального бризера с различными параметрами.

3. Оценки влияния эффектов вращения Земли на динамику бризеров в симметричном трехслойном потоке.

4. Величины нагрузок на опоры малого диаметра при прохождении бризеров внутренних волн с различными амплитудами.

5. Оценки вертикальных и горизонтальных смещений частиц нейтральной плавучести при прохождении бризеров внутренних волн в рамках линейной, слабонелинейной и полнонелинейной моделей.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обоснована выбором апробированных физических моделей, математической корректностью постановок гидродинамических задач, строгим использованием аналитических и численных методов, сопоставлением с известными результатами в частных случаях.

Практическая значимость результатов работы

Предложенный в работе способ получения внутренних бризеров в рамках уравнений Эйлера позволяет сформулировать начальные условия для локализованных нелинейных волновых пакетов, распространяющихся в рамках полнонелинейных уравнений Эйлера. Полученные в работе результаты моделирования динамики бризеров могут применяться для изучения природных процессов в прибрежной зоне океанов, морей и озер. Сделанные оценки воздействия внутренних волн на подводные сооружения могут быть полезны при проведении работ на шельфе российских морей, связанных с нефте- и газодобычей, поиском и освоением минеральных ресурсов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлены на конференциях: Генеральная Ассамблея Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2018), XIV Всероссийская конференция «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (Санкт-Петербург, 2018), Всероссийская научная конференция «Моря России: методы, средства и результаты исследований» (Севастополь, 2018), XV и XVII Международные молодежные научно-технические конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2016, 2018), 28-ая Всероссийская научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ» (Нижний Новгород, 2018), XXII, XXIII, XXIV и XXV Международные научно-технические конференции «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2016, 2017, 2018, 2019), XXVIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Иркутск, 2017), XXIII Нижегородская сессия молодых ученых (Нижний Новгород, 2018).

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Нижегородском государственном техническом университете им. Р. Е. Алексеева (Нижний Новгород, Россия).

Программный комплекс для расчета и визуализации нагрузок и моментов, воздействующих на гидротехнические сооружения при прохождении внутренних волн, разработанный с участием автора диссертации, был представлен на XXI Московском международном Салоне изобретений и инновационных технологий «Архимед», а коллектив разработчиков, был награжден серебряной медалью за данную разработку.

Полученные результаты используются в российских исследовательских проектах, выполняемых при участии автора диссертации:

• Гранты Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-6637.2016.5 «Волны большой амплитуды в прибрежной зоне» и НШ-2685.2018.5 «Нелинейные процессы в прибрежной зоне: теоретические модели, численное моделирование и методы измерения»);

• Научно-исследовательские работы в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (задания № 5.30.2014/К «Нелинейные внутренние волны в океане: теория и моделирование» и № 5.1246.2017/4.6 «Интенсивные внутренние волны в океане с учетом реальных полей плотности и течений: теория, анализ натурных данных, лабораторное и численное моделирование»).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 24 печатных работ, включая 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК и/или входящих в международные базы цитирования WoS и Scopus, 8 статей в трудах всероссийских конференций, 3 авторских свидетельства и тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК и/или входящих в международные базы цитирования WoS и Scopus:

Л 1. Лобовиков П.В., Куркина О.Е., Куркин А.А., Кокоулина М.В. Трансформация бризера внутренних волн первой моды над вертикальным уступом в трехслойной жидкости // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55. № 6. Л 2. Лобовиков П.В., Куркина О.Е., Куркин А.А. Трансформация внутренних бризеров в трехслойном океане с учетом вращения Земли // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2019. № 3 (126). С. 24 - 35.

Л 3. Rouvinskaya E., Kurkina O., Kurkin A., Lobovikov P. Particle transport by internal breathers // Proceedings of 13th International MEDCOAST Congress on Coastal and Marine Sciences, Engineering, Management and Conservation. MEDCOAST 2017. 2017. V. 2. P. 1179 - 1191. Л 4. Rouvinskaya E., Kurkina O., Kurkin A., Lobovikov P. Internal breathers' loads on marine facilities breathers // Proceedings of 13th International MEDCOAST Congress on Coastal and Marine Sciences, Engineering, Management and Conservation. MEDCOAST 2017. 2017. V. 2. P. 1191 - 1202. Статьи в трудах всероссийских конференций: Л 5. Талалушкина Л.В., Куркина О.Е., Куркин А.А., Лобовиков П.В. Конкуренция нелинейности и неоднородности в рамках слабонелинейных моделей КдВ-иерархии для уединенных волн в двухслойной жидкости с неровным дном // Материалы XXIX

Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (ИСТ-2018). Нижний Новгород, 2018. С. 256-260.

Л 6. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Программный комплекс для моделирования и визуализации траекторий движения частиц, процессов взмучивания осадков и воздействия на опоры гидротехнических сооружений при распространении нелинейных длинных внутренних волн // Материалы 28-й Всероссийской научно-методической конференции по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ-2018». Нижний Новгород. 2018. С. 207-213.

Л 7. Куркин А.А., Куркина О.Е., Рувинская Е.А., Зайцев А.И., Лобовиков П.В., Король А.А., Гиниятуллин А.Р. Наблюдения, моделирование и анализ внутренних гравитационных волн в дальневосточных морях России // Труды XIV Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». Санкт-Петербург. 2018. С. 204-207.

Л 8. Куркин А.А., Талалушкина Л.В., Родин А.А., Куркина О.Е., Лобовиков П.В., Лиходеев Н.М., Земляникин А.Ю. Экспериментальное и численное исследование нелинейных внутренних волн // Сборник трудов Международного симпозиума «Мезомасштабные и субмезомасштабные процессы в гидросфере и атмосфере». Москва. 2018. С. 216-219.

Л 9. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Трансформация бризера внутренних волн первой моды над вертикальным уступом в трехслойной жидкости // XXIII Нижегородская сессия молодых ученых (технические, естественные, математические науки): материалы докладов. Нижний Новгород. 2018. С. 202-205.

Л 10. Кокоулина М.В., Лобовиков П.В., Куркина О.Е. Исследование влияния фоновых течений на форму солитонов и бризеров модифицированного уравнения Кортевега-Де-Вриза // Материалы XXV Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (ИСТ-2019). Нижний Новгород. 2019. С. 1007-1011.

Л 11. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Трансформация внутреннего бризера над донным уступом // Материалы XXV Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (ИСТ-2019). Нижний Новгород. 2019. С. 1065-1069.

Л 12. Куркина О.Е., Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркин А.А., Гиниятуллин А.Р. Исследование влияния эффектов вращения земли на трансформацию бризера внутренней волны в трехслойном океане // Материалы XXV Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (ИСТ-2019). Нижний Новгород. 2019. С. 1070-1075.

Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

Л 13. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Исследование динамики полнонелинейного бризера первой моды при распространении над донным уступом // Моря России: методы, средства и результаты исследований. Севастополь. 2018. C. 7071

Л 14. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Расстояние переноса жидких частиц нейтральной плавучести при распространении внутренних гравитационных волн // Материалы XXII Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии». Нижний Новгород. 2016. С. 431-432.

Л 15. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Вероятностная оценка превышения пороговых скоростей в придонном слое при распространении солитона // Материалы XXII Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии». Нижний Новгород. 2016. С. 432.

Л 16. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Программный комплекс для расчета полей скорости и траектории жидких частиц нейтральной плавучести при распространении внутренних гравитационных волн // Материалы XV Всероссийской молодежной научно - технической конференции «Будущее технической науки». Нижний Новгород. 2016. С. 551.

Л 17. Талалушкина Л.В., Лобовиков П.В. Уточненное уравнение Кортевега-де Вриза для внутренних волн на границе раздела в двухслойной жидкости с учетом переменной глубины дна // Материалы XVIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Иркутск. 2017. С. 56.

Л 18. Талалушкина Л.В., Лобовиков П.В. Уточненные нелинейные эволюционные уравнения для внутренних волн над неровным дном // Материалы Всероссийской конференции НеЗаТеГиУс. Москва, 2018. С. 257.

Л 19. Talalushkina L., Kurkina O., Lobovikov P., Tyugin D. Competition of nonlinearity and in-homogeneity in the framework of weakly-nonlinear KdV-type models for interfacial solitary waves in a two-layer fluid // Geophysical Research Abstracts. 2018. V. 20. P. EGU2018-2231-4.

Л 20. Lobovikov P., Krylov S., Rouvinskaya E., Kurkina O., Kurkin A. Transformations of mode-I internal breathers over a bottom step in a two-layer fluid // Geophysical Research Abstracts. 2018. V. 20. P. EGU2018 - 2182-1.

Л 21. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Моделирование и анализ процессов трансформации бризера первой моды над неровным дном // Сборник материалов XVII Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки». Нижний Новгород. 2018. С. 318.

Авторские свидетельства: Л 22. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. «Программный комплекс для расчета полей скорости и траектории жидких частиц нейтральной плавучести при распространнии внутренних гравитационных волн». Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015660336 от 29 сентября 2015 г. Л 23. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А., Лобовиков П.В. «Программный комплекс для расчета и визуализации нагрузок и моментов, воздействующих на гидротехнические сооружения при прохождении внутренних волны». Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017619971 от 12 сентября 2017 г.

Л 24. Лобовиков П.В., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Кокоулина М.В., Куркин А.А., Гиния-туллин А.Р. «Программный комплекс для спектрального анализа и расчета характеристик устойчивости волновых полей». Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018663763 от 2 ноября 2018 г.

Личный вклад автора

В совместных работах научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Куркину А.А. и к.ф.-м.н., доц. Куркиной О.Е. принадлежат постановки задач и выбор методов исследований. Во всех работах автор диссертации выполнял большинство численных и аналитических расчётов самостоятельно, а также принимал непосредственное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. В численных расчетах, результаты которых представлены в [Л1-Л4], принимала участие к.ф.-м.н. Е.А. Рувинская. В разработке и реализации некоторых численных алгоритмов [Л25] принимали участие к.ф.-м.н. Гиниятуллин А.Р. и магистрант Кокоулина М.В. В подготовке данных для работы [Л9] принимали участие к.ф.-м.н. Родин А.А. и аспирант Талалушкина Л.В., а для работы [Л21] - магистрант Крылов С.В. Выражаю огромную благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Куркину А.А. за большую помощь и безграничное терпение, проявленное при обсуждении настоящей диссертации. Благодарю всех своих соавторов за плодотворную совместную работу.

Также благодарю коллектив кафедры «Прикладная математика» и научно-исследовательской лаборатории «Моделирования природных и техногенных катастроф в интересах устойчивого промышленного развития страны и региона» Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева за создание благожелательной, творческой атмосферы, позволившей автору эффективно подготовить диссертацию.

Спасибо моей семье и друзьям за терпение и поддержку.

Глава 1. Математические модели внутренних волн 1.1. Введение

Существование волновых движений в стратифицированной среде описывается в ряде книг по механике жидкости [Кочин и др., 1963; Седов, 1970; Сретенский, 1977]. Их характеристикам и динамике в океанической среде посвящен ряд специализированных книг [Миро-польский, 1981; Краусс, 1968; Булатов и Владимиров, 2010; Рувинская и др., 2014]. Для описания генерации и распространения внутренних гравитационных волн создан ряд физико-математических моделей, которые могут применяться как к результатам лабораторных экспериментов, так и к реальным природным условиям. В основе первого класса таких моделей лежит слабонелинейная теория длинных внутренних волн, приводящая к одномерным нелинейным эволюционным уравнениям. К преимуществам таких моделей можно отнести то, что они легко обобщаются для горизонтально неоднородных жидкостей и не столь ресурсоемки в плане вычислительных затрат. Второй класс моделей базируется на исходной системе уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости (двумерной или трехмерной) и их прямом численном интегрировании. Такие модели требуют больших вычислительных мощностей, однако, позволяют решать широкий спектр задач механики жидкости и океанологии.

В этой главе дается краткий обзор используемых в работе гидродинамических моделей стратифицированных невязких потоков жидкости, основанных на уравнениях Эйлера. В п. 1.2 приводится известная система уравнений Эйлера несжимаемой жидкости. Раздел 1.3 посвящен описанию слабонелинейной модели внутренних гравитационных волн в слоистых жидкостях, приводящих к уравнениям КдВ-типа. В п. 1.4 дано описание численных моделей решения уравнений Эйлера как полнонелинейных, так и слабонелинейных: М1Т§сш и Ю-WResearch. В п. 1.5 обсуждаются вопросы инициализации численной модели М1Т§еш и анализа результатов полнонелинейных расчетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лобовиков Павел Викторович, 2019 год

Список литературы

1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир. 1987. 480 с.

2. Авербух Е.Л., Куркина О.Е., Куркин А.А., Тюгин Д.Ю. Численное моделирование динамики пленок поверхностно-активных веществ в поле уединенных внутренних волн на примере условий Балтийского моря // Экологические системы и приборы, 2012. V. 10. C. 63-72.

3. Алешков Ю.З. Теория взаимодействия волн с преградами. Ленинград, Издательство Ленинградского университета. 1990. 371 с.

4. Бровченко И., Мадерич В., Семин С., Степанянц Ю., Терлецкая Е. Моделирование трансформации волновых пакетов поверхностных волн в водоёме с резким изменением глубины // Прикладна пдромехашка. 2015. Т. 17. N 1. С. 3-9.

5. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Динамика негармонических волновых пакетов в стратифицированных средах. - М.: Наука, 2010. 470 с.

6. Булатов В. В., Владимиров Ю. В., Моделирование волновой динамики неоднородных и нестационарных стратифицированных сред // Матем. моделирование.2010. Т. 22. № 12. C.3-12

7. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Волны в стратифицированных средах. - М.: Наука, 2015. 735 с.

8. Вольцингер Н.Е., Андросов А.А., Клеванный К.А., Сафрай А.С. Океанологические модели негидростатической динамики. Обзор. // Фундаментальная и прикладная гидрофизика, 2018. Т. 1. № 1. С. 45 - 62.

9. Езерский А.Б., Полухина О.Е., Броссар Ж., Маран Ф., Мутбази И., Динамика солитонов возбуждаемых в резонаторах на поверхности мелкой воды // Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т.1-2. №1-2. С.138-158.

10. Краусс В. Внутренние волны. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 272 с.

11. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика часть 1. - М.: Физма-тлит, 1963. 584 с.

12. Куркина О.Е., Куркин А.А., Гиниятуллин А.Р. О переносе частиц при распространении уединенных внутренних гравитационных волн // Известия АИН им. Прохорова. 2011. Т . C. 92-102.

13. Куркина О.Е., Куркин А.А., Рувинская Е.А., Пелиновский Е.Н., Соомере Т. Динамика солитонов неинтегрируемой версии модифицированного уравнения Кортевега - де Ври-за // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 95. № 2. С. 98-103

14. Куркина О.Е., Куркин А.А, Пелиновский Е.Н., Семин С.В., Талипова Т.Г., Чураев Е.Н. Структура течения в солитоне внутренней волны // Океанология. 2016. Т. 56. № 6. С. 845-851.

15. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. - Л.: Гидро-метеоиздат. 1981. 302 с.

16. Морозов Е.Г. Океанские внутренние волны. - М.: Наука, 1985. 151 с.

17. Ньюмэн Дж.Н. Морская гидродинамика. - Л.: Судостроение, 1985. 367 с.

18. Островский Л.А., Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане // Океанология. 1978. Т. 18. С. 119

19. Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е., Лэмб К. Нелинейные внутренние волны в океане, стратифицированном по плотности и течению // Океанология. 2000. Т. 40. № 6. С. 805815.

20. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А., Зайцев А.И. Моделирование воздействия внутренних волн на морские платформы для гидрологических условий шельфовой зоны о. Сахалин // Фундаментальная и прикладная гидрофизика, 2017. Т. 10. № 4. С. 61-70.

21. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн в слоистых жидкостях. - Нижний Новгород: НГТУ, 2014. 160 с.

22. Сабинин К.Д., Коняев К.В. Волны внутри океана. - СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. 272 c.

23. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1973. 584 с.

24. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. - М.: Наука, 1977. 816 с.

25. Талипова Т.Г., Куркина О.Е., Рувинская Е.А., Пелиновский Е.Н. Распространение уединенных внутренних волн в двухслойном океане переменной глубины // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2015. Т. 51. № 1. С. 103-112.

26. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Куркина О.Е., Гиниятуллин А.Р. Отражение длинных внутренних волн малой амплитуды от подводного откоса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2014. Т. 50. № 4. С. 484-488.

27. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Куркин А.А., Куркина О.Е. Моделирование динамики интенсивных внутренних волн на шельфе // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2014. Т. 50. № 6. С. 714-723.

28. Талипова Т.Г., Пелиновский Е.Н., Лэмб К., Гримшоу Р., Холловей П. Влияние кубической нелинейности на трансформацию интенсивных внутренних волн // Доклады АН. 1999. Т. 364. № 6. С. 824 - 827.

29. Терлецкая Е., Мадерич В., Бровченко И. Взаимодействие уединенных внутренних волн при фронтальном столкновении // Прикладна гщромехашка. 2011. Т. 13. C. 68-77

30. Терлецкая Е.В. Взаимодействие внутренних уединенных волн второй моды с подводной ступенькой // Прикладна пдромехашка. 2014. Т. 16. С. 70-75.

31. Терлецкая Е., Семин С., Талипова Т., Смирнов Д., Бровченко И. Трансформация внутренних уединенных волн понижения над донной ступенькой в трёхслойной стратифицированной жидкости // Прикладна пдромехашка. 2015. Т. 17. С. 56-63.

32. Товстик П.Е., Товстик T.M., Шеховцов А.С., Шеховцов В.А., Движение плавающего цилиндра на волнении // Вестник СПбГУ. 2012. № 3. С. 137-143.

33. Тюгин Д.Ю., Куркина О.Е., Куркин А.А. Электронный атлас кинематических и нелинейных параметров внутренних гравитационных волн в мировом океане/ // Датчики и системы. 2011. Т. 12. № 151. С. 39 - 52.

34. Тюгин Д.Ю., Куркина О.Е., Куркин А.А. Программный комплекс для численного моделирования внутренних гравитационных волн в Мировом океане. // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2011. Т. 4. № 2. С. 32-44.

35. Тюгин Д.Ю., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Куркина О.Е. Повышение производительности программного комплекса для моделирования внутренних гравитационных волн IGWRESEARCH с помощью INTEL ®PARALLELSTUDIOXE 2013 // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2012. Т. 5. № 3. С. 89-95.

36. Халфин И.Ш. Воздействие волн на морские нефтегазопромысловые сооружения. - М.: Недра. 1990. 313 с.

37. Хартиев С.М., Соловьев А.Н., Матишов Д.Г. Условия устойчивости внутренних волн в непрерывно стратифицированных турбулентных течениях с вертикальным сдвигом скорости // Вестник южного научного центра РАН. 2011. Т. 7. №3. С. 44-54.

38. Adcroft A., Campin J.-M. MITgcm User Manual. Cambridge: MIT. 2011. 455 p.

39. Alias A., Grimshaw R.H.J., Khusnutdinova K.R. On strongly interacting internal waves in a rotating ocean and coupled Ostrovsky equations // Chaos. 2013. V. 23. No. 2. P. 023121.

40. Baines P.G. Topographic effects in stratified flows. - Cambridge: Cambridge university press. 1995. 482 p.

41. Barros R., Choi W., Milevsky P.A. Strongly nonlinear effects on internal solitary waves in three-layer flows // Journal of Fluid Mech. (in press)

42. Bogucki D.J., Redekopp, L.G. A Mechanism for sediment resuspension by internal solitary waves // Geophys. Res. Lett. 1999. V. 26. P. 1317-1320

43. Bogucki D., Dikky T., Redekopp L.G. Sediment resuspension and mixing by resonantly generated solitary waves // J. Phys. Oceanogr. 1997. V. 7. P.1181 - 1196

44. Boyer T. P., Antonov J. I., Garcia H. E. et al. World Ocean Database 2005. (Ed. by S. Levitus). NOAA Atlas NESDIS 60. U. S. Government Printing Office. Washington/ D. C. 2006. 190 p.

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

Cai S., Long X., Gan Z. A method to estimate the forces exerted by internal solitons on cylindrical piles // Ocean Engineering. 2003.V. 30. No. 5. P. 673-689.

Cai S., Long X., Wang S., Forces and torques exerted by internal solitons in shear flows on cylindrical piles //Applied Ocean Research. 2008. V. 30. No. 1. P. 72-77. Chen Ch.-Y.V. An experimental study of stratified mixing caused by internal solitary waves in a two-layered fluid system over variable seabed topography //Ocean Engineering. 2007. V. 34. P.1995-2008.

Clarke S., Grimshaw R., Miller P., Pelinovsky E., Talipova T. On the generation of solitons and breathers in the modified Korteweg - de Vries equation // Chaos. 2000. V. 10. No. 2. P. 383-392.

Du T., Sun L., Zhang Y., Bao X., Fang X. An estimation of internal soliton forces on a pile in the ocean // J. Ocean Univ. China. 2007. V. 6. No. 2. P. 101-116.

Fofonoff N., Millard R. Jr. Algorithms for computation of fundamental properties of seawater // UNESCO Technical Papers in Marine Science. 1983. No. 44. P. 15-25. Fraser N. Surfing an oil rig // Energy Rev. 1999. V. 20. No.4. Feb/Mar

Grimshaw R.H.J. Evolution equations for weakly nonlinear, long internal waves in a rotating fluid // Stud. Appl. Math. 1985. V.73. P. 1-33.

Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. The modified Korteweg-de Vries equation in the theory of the large-amplitude internal waves //Nonlinear Processes in Geophysics. 1997. V. 4. P.237-250.

Grimshaw R., Pelinovsky E, Talipova T. Solitary wave transformation in a medium with signvariable quadratic nonlinearity and cubic nonlinearity // Physica D. 1999. V. 132. P. 40-62. Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E., Talipova T. Wave group dynamics in weakly nonlinear long - wave models // Physica D. 2001. V. 159. No. 1-2. P. 35-57. Grimshaw R., Pelinovsky D.E., Pelinovsky E.N., Slunyaev A. Generation of large-amplitude solitons in the extended Korteweg-de Vries equation // Chaos. 2002. V. 12. № 4. P. 10701076.

Grimshaw R., Pelinovsky E., Poloukhina O. Higher-order Korteweg-de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with a free surface // Nonlinear Processes in Geophysics. 2002. V. 9. No. 3-4. P. 221-235.

Grimshaw R, Pelinovsky E., Talipova T., Kurkin A. Simulation of the transformation of internal solitary waves on oceanic shelves // J. Phys. Oceanogr. 2004. V. 34. P. 2774-2791. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T., Ruderman M., Erdely R. Short-living large-amplitude pulses in the nonlinear long-wave models described by the modified Korteweg - de Vries equation // Studied of Applied Mathematics. 2005. V. 114. No. 2. P. 189 - 210.

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Modeling internal solitary waves in the coastal ocean //Survey in Geophysics. 2007. V. 28. No. 2. P. 273-298.

Grimshaw R., Helfrich K. Long-time solutions of the Ostrovsky equation // Stud. Appl. Math. 2008. V.121. P. 71-88.

Grimshaw R., Talipova T., Pelinovsky E., Kurkina O. Internal solitary waves: propagation, deformation and disintegration // Nonlin. Processes Geophys. 2010a. V. 17. P. 633 - 649. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Nonreflecting internal wave beam propagation in the deep ocean // J. Phys. Oceanography. 2010b. V. 40. No. 4 P. 802-813.

Grimshaw R., Stepanyants Y., Alias A. Formation of wave packets in the Ostrovsky equation for both normal and anomalous dispersion // Proceedings of the Royal Society A. 2016. V. 472 № 2185. P.20150416.

Helfrich K.R., Melville W.K. Long nonlinear internal waves // Ann. Rev.Fluid Mech. 2006. V. 38. P. 395.

Holloway P.E., Pelinovsky E.N., Talipova T.G., Barnes B. A nonlinear model of internal tide transformation on the Australian North West shelf // J. Phys. Oceanogr. 1997. V. 27. № 6. P. 871-896.

Holloway P, Pelinovsky E., Talipova T. A Generalized Korteweg - de Vries Model of Internal Tide Transformation in the Coastal Zone //J. Geophys. Res. 1999. V. 104. No. C8. P. 1833318350.

Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves on two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan, 1978. V. 45. P. 674.

Karl R., Helfrich W., Melville K. On long nonlinear internal waves over slope-shelf topography // J. Fluid Mech. 1986. V. 167. P. 285-308.

Koop C.G., Butler G. An investigation of internal solitary waves in two-fluid system // J. Fluid Mech., 1981. V. 112. P. 225 - 251.

Kurkina O., Talipova T. Huge internal waves in the vicinity of Spitsbergen Island (Barents Sea) // Natural Hazards Earth System Sciences. 2011a. V. 11. P. 981-986. Kurkina O.E., Kurkin A.A., Soomere T., Pelinovsky E.N., Rouvinskaya E.A. Higher-order (2 + 4) Korteweg-de Vries-like equation for interfacial waves in a symmetric three-layer fluid // Physics of Fluids. 2011b. V. 23. No. 11. P. 116602

Kurkina O.E., Kurkin A.A., Rouvinskaya E.A., Soomere T. Propagation regimes of interfacial solitary waves in a three-layer fluid // Nonlinear Processes in Geophysics. 2015. V. 22. P. 117132.

74. Kurkina O., Talipova T. , Soomere T., Kurkin A., Rybin A. The impact of seasonal changes in stratification on the dynamics of internal waves in the Sea of Okhotsk // Estonian Journal of Earth Sciences. 2017. V. 66. No. 4. P. 238-255

75. Lamb K.G. Numerical experiments of internal wave generation by strong tidal flow across a finite-amplitude bank edge // J. Geophys. Res. Oceans. 1994. V. 99. P. 843-864.

76. Lamb K., Polukhina O., Talipova T., Pelinovsky E., Xiao W., Kurkin A.. Breather generation in the fully nonlinear models of a stratified fluid //Physical Rev. E. 2007. V. 75. No. 4. P. 046306.

77. Lamb K.G., Warn-Varnas A. Two-dimensional numerical simulations of shoaling internal solitary waves at the ASIAEX site in the South China Sea // Nonlin. Processes Geophys. 2015. V. 22. P. 289-312,

78. Lee J.-H., Lozovatsky I., Jang S.-T., Jang Ch.-J., Hong Ch.-S., Fernando H.J.S. Episodes of nonlinear internal waves in the Northern East China Sea // Geophysical Research Letters. 2006. V. 33. P. L18601.

79. Lepparanta M., Myrberg K. Physical Oceanography of the Baltic Sea. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer. 2009. 378 p.

80. Lighhill M.J. Fundamentals ^nceming wave loading on offshore structures // Journal of Fluid Mechanics. 1986. V. 173. P. 667-681.

81. Mak Kinnan J.A., Gregg M.C. Mixing on the late-summer new England shelf-solibores, shear and stratification // Preprint. AGU. 1999. V. 4. P.19

82. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Pelinovsky E., Choi B.H., Brovchenko I., Terletska K., Kim D.C. Internal solitary wave transformation at the bottom step in two-layer flow: the Gardner and Navier-Stokes frameworks // Nonlinear Processes in Geophysics. 2009. V. 16. P. 33-42.

83. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Pelinovsky E., Choi B.H., Brovchenko I., Terletska K. Interaction of a large amplitude interfacial solitary wave of depression with a bottom step // Phys. Fluids. 2010. V.22. P. 076602.

84. Mercier M.J., Vasseur R., Dauxois T. Resurrecting dead-water phenomenon // Nonlinear Processes in Geophysics. 2011. V. 18. P. 193-208.

85. Morison, J. R., O'Brien, M. P., Johnson, J. W. & Schaaf, S. A. The forces exerted by surface waves on piles // Petroleum ^ansactions AIME. 1950. V. 189. P. 49-157.

86. Muller P., Briscoe M. Diapycnal mixing and internal waves // Oceanography. 2000. V.13. No. 2. P. 98-103.

87. Nakoulima O., Zahibo N., Pelinovsky E., Talipova T., Slunyaev A., Kurkin A. Analytical and numerical studies of the variable-coefficient Gardner equation // Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 152. No. 2. P. 449-471.

88. Obregon M., Stepanyants Y. On Stationary Solutions of the Reduced Gardner-Ostrovsky Equation // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. 2014. V.3. No. 4. P. 445-456.

89. Obregon M., Raj. N., Stepanyants Y. Adiabatic decay of internal solitons due to Earth's rotation within the framework of the Gardner-Ostrovsky equation // Chaos. 2018. V. 28. No. 3. P. 033106.

90. Osborne A.R. Nonlinear ocean waves and the inverse scattering transform. - San Diego: Elsevier, 2010. 944 p.

91. Ostrovsky L.A., Stepanyants Y.A. Interaction of solitons with long waves in a rotating fluid // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2016. V. 333. P. 266-275.

92. Pelinovsky E., Polukhina O., Slunyaev A., Talipova T. Internal solitary waves // Chapter 4 in the book "Solitary Waves in Fluids". WIT Press. Southampton, Boston. 2007. P. 85 - 110.

93. Pelinovsky D., Grimshaw, R. Structural transformation of eigenvalues for a perturbed algebraic soliton potential // Phys. Lett. A. 1997. V. 229. P.165 - 172.

94. Reeder D.B., Ma B.B., Yang Y.J. Very large subaqueous sand dunes on the upper continental slope in the South China Sea generated by episodic, shoaling deep-water internal solitary waves // Marine Geology. 2011. V. 279. P. 12-18.

95. Rippeth T.P., Vlasenko V., Stashchuk N., Scannell B.D., Green J.A.M., Lincoln B.J., Bacon Sh. Tidal Conversion and Mixing Poleward of the Critical Latitude (an Arctic Case Study) // Geoph. Res. Lett. 2017. V. 44. P. 1-9.

96. Rouvinskaya E., . Kurkin A., Kurkina O. Modeling of sedimentation and resuspension processes induced by intensive internal gravity waves in the coastal water systems with the use of the advection-diffusion equation for sediment concentration // Geophysical Research Abstracts. 2017. V. 19. EGU2017-17

97. Rouvinskaya E., Talipova T., Kurkina O., Tyugin D., Soomere T. Transformation of internal breathers in the idealised shelf sea conditions // Continental Shelf Research. 2015. V. 110. P. 60-71.

98. Rubino A., Brandt P., Weigle R. On the dynamics of internal waves in a nonlinear, weakly nonhydrostatic three-layer ocean // J. Geophys. Res. 2001. V. 106. P. 26899-26915.

99. Rusas P.-O., Grue J. Solitary waves and conjugate flows in a three-layer fluid // European J. Mech. B/Fluids. 2002. V. 21. P. 185-206.

100. Shroyer E.L., Moum J.N., Nash J.D. Mode 2 waves on the continental shelf: Ephemeral components of the nonlinear internal wavefield // Jour. Geophys. Res. 2010a. V. 115. P. C07001.

101. Shroyer E.L., Moum J.N., Nash J.D. Energy transformations and dissipation of nonlinear internal waves over New Jersey's continental shelf //Nonlinear Processes in Geophysics. 2010b. V.17. P. 345-360.

102. Si Z., Zhang Y., Fan Z. A numerical simulation of shear forces and torques exerted by large-amplitude internal solitary waves on a rigid pile in South China Sea // Applied Ocean Research. 2012. V. 37. P.127-132.

103. Slyunyaev A.V. Dynamics of Localized Waves with Large Amplitude in a Weakly Dispersive Medium with a Quadratic and Positive Cubic Nonlinearity // JETP. 2001. V. 92. P. 529-534

104. Song Z.J., Teng B., Gou Y., Lu L., Shi Z.M., Xiao Y., Qu Y. Comparisons of internal solitary wave and surface wave actions on marine structures and their responses // Applied Ocean Research. 2011. V. 33. No. 2. P. 120-129.

105. Talipova T., Terletska K., Maderich V., Brovchenko I., Jung K.T., Pelinovsky E., Grimshaw R. Internal solitary wave transformation over the bottom step: loss of energy // Phys. Fluids. 2013. V. 25. P. 032110.

106. Teague W.J., Carron M.J., Hogan P.J. A Comparison between the Generalized Digital Environmental Model and Levitus Climatologies // J. Geophys. Res. 1990. V. 95(C5). P. 71677183.

107. Terletska K., Jung K.T., Talipova T., Maderich V., Brovchenko I., Grimshaw R. Internal breather-like wave generation by the second mode solitary wave interaction with a step // Phys. Fluids. 2016. V. 28. P. 116602.

108. Toschi F., Bodenschatz E. Lagrangian properties of particles in turbulence // Annu. Rev. Fluid Mech. 2009. V. 41. No 1. P. 375-404.

109. Vlasenko V., Stashchuk N. Internal tides near the Celtic Sea shelf break: A new look at a well-known problem // Deep-Sea Res. 2015. V. 103. P. 2436.

110. Vlasenko V., Stashchuk N., Inall M., Hopkins J. Tidal energy conversion in a global hotspot: on the 3D dynamics of baroclinic tide sat the Celtic Sea shelf break // J. Geophys. Res. -Oceans. 2014. V. 119. 3249-3265.

111. Wadati M. The Modified Korteweg-de Vries Equation // Jour. Phys. Society Jpn. 1973. V. 34. P.1289.

112. Wessels F., Hutter K. Interaction of internal waves with a topographic sill in a two-layered fluid // J. Phys. Oceanogr. 1996. V. 26. No. 5. P. 5-20.

113. Xie J., Jian Y., Yang L. Strongly nonlinear internal soliton load on a small vertical circular cylinder in two-layer fluids // Applied Mathematical Modelling. 2010. V. 34. No. 8. P. 20892101.

114. Xie J., Xu J., Cai S. A numerical study of the load on cylindrical piles exerted by internal solitary waves // Journal of Fluids and Structures. 2011. V. 27. No. 8. P. 1252-1261.

115. Xu C., Stastna M. On the interaction of short linear internal waves with internal solitary waves // Nonlin. Processes Geophys. 2018. V. 25. P. 1-17.

116. Yang Y.J., Fang Y.C., Tang T.Y., Ramp S.R. Convex and concave types of second baroclinic mode internal solitary waves // Nonlinear Processes in Geophysics. 2010. V. 17. P. 605-614.

117. Zhang P., Xu Zh., Li Q., Yin B., Hou Y., Liu A.K. The evolution of mode-2 internal solitary waves modulated by background shear currents // Nonlin. Processes Geophys. 2018. V. 25. P. 441-455.

118. Zhang W., Didenkulova I., Kurkina O., Cui Y., Haberkern J., Aepfler R., Santos A.I., Zhang H., Hanebuth T.J.J. Internal solitary waves control offshore extension of mud depocenters on the NW Iberian shelf // Marine Geology. 2019. V. 409. P.15-30.