Численное моделирование нелинейного деформирования составных оболочек вращения при неосесиметричном термосиловом нагружении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Моисеева, Валерия Евгеньевна

• Моисеева, Валерия Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моисеева, Валерия Евгеньевна

Основные обозначения и сокращения Введение

Глава 1. Основные соотношения, метод и алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния непологих оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом геометрической и физической нелинейностей и зависимости свойств материала от температуры

1.1.Постановка задачи и соотношения для расчета напряженно-деформированного состояния тонких гибких оболочек вращения с учетом физической нелинейности при неосесимметричном термосиловом нагружении.

1.2.Метод и алгоритм расчета неосесимметричного геометрически и физически нелинейного напряженно-деформированного состояния оболочек вращения с применением тригонометрических рядов.

1.3.Численное исследование нелинейного напряженно-деформированного состояния кольцевой пластины, сферической и вытянутой эллипсоидальной оболочек с центральным отверстием под действием неосесимметричной нагрузки

1.4. Деформирование оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны при неосесимметричном нагружении

Глава 2. Нелинейное деформирование составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении

2.1. Алгоритм расчета неосесимметричного напряженно-деформированного состояния составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом в геометрически и физически нелинейной постановке.

2.2.Расчет напряженно - деформированного состояния крупногабаритного бака для криогенной жидкости при неосесиметричном термосиловом нагружении с учетом геометрической и физической нелинейностей

Глава 3. Численное исследование напряженно-деформирован- 94 ного состояния оболочек вращения с полюсом при неосесимметричном термосиловом нагружении

3.1.Методика расчета напряженно - деформированного 94 состояния непологих нетонких замкнутых в полюсе оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении

3.2.Малые прогибы нетонкой полусферической оболочки с 102 полюсом под действием неосесимметричного термосилового нагружения.

3.3.Геометрически и физически нелинейное деформирование 110 сферической и эллипсоидальных оболочек с полюсом под действием неосесимметричного нагружения.

3.4.0 влиянии пути термосилового нагружения на напряженно- 119 деформированное состояние и критические нагрузки оболочек вращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование нелинейного деформирования составных оболочек вращения при неосесиметричном термосиловом нагружении»

Развитие и совершенствование строительных, авиационных, космических, судостроительных и других конструкций во многих случаях связано с использованием тонкостенных элементов, находящихся под действием силовых нагрузок и температурного поля. Значительный класс таких элементов конструкций моделируют оболочками вращения различного меридионального сечения. Возрастающие требования к прочности элементов конструкций, усложнение условий эксплуатации приводят к необходимости использования нелинейных моделей деформирования для исследования их напряженно-деформированного состояния (НДС). Расчеты оболочечных конструкций в основном базируются на численных или численно-аналитических методах решения краевых задач, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами и поддаются точному интегрированию только в исключительных случаях. Точные решения, полученные аналитически [4,6,25,40,88,90,92,101,114], занимают особое место в теории оболочек. Такие решения являются основой для предварительной качественной оценки прочности конструкции и контроля результатов численного решения, хотя они обычно и могут быть получены в простейших задачах. Поэтому разработка эффективных численных методов расчета НДС непологих оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом геометрической и физической нелинейностей и реализация их в виде программных комплексов представляет собой актуальную проблему.

Данная работа посвящена разработке методики численного расчета нелинейного НДС оболочечных конструкций, составленных из непологих тонких оболочек вращения, замкнутых в окружном направлении, находящихся под действием неосесимметричного термосилового нагружения. Отдельные оболочки соединяются между собой непосредственно или с ветвлением по линии сопряжения, где сходятся более двух оболочек. Толщина конструкции изменяется по меридиану. На конструкцию действуют неосесимметричные поверхностные нагрузки, которые изменяются по меридиану и параллели, а также температурное поле, переменное по меридиану, параллели и толщине. Упругие и теплофизические характеристики и диаграмма деформирования материала могут зависеть от температуры.

Используются соотношения теории оболочек Кирхгофа-Лява в геометрически нелинейной постановке при умеренных поворотах (в рамках среднего изгиба) [95] и физически нелинейной постановке по теории малых упруго-пластических деформаций без учета разгрузки для сжимаемого материала [69]. Влияние температурного поля учитывается по теории Дюгамеля-Неймана [73,88]: полная деформация тела является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, отвечающего известному из классической теории теплопроводности температурному полю.

Далее приводится краткий обзор работ, посвященных численным методам расчета НДС оболочек вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении. В обзор включены, в основном, работы последних 20 лет, примыкающие к теме данной работы. Более широкие исторические обзоры, анализирующие методы расчета напряженно-деформированного состояния оболочек вращения при осесимметричных и неосесимметричных термосиловых воздействиях, содержатся в [23,50,53,56-58,130]. В обзорах [68,94,131] прослеживается развитие методов определения физически нелинейного НДС и устойчивости оболочек. В работах [62,102], а также в монографиях [20,124] представлен обзор методов расчета НДС оболочек сложной геометрии. Библиография, посвященная температурной задаче, в том числе в теории пластин и оболочек, приведена в библиографических указателях [75,123]. Обзорные работы [16,104,136] посвящены перспективам развития теории оболочек и вопросам вычислительной реализации ее математических моделей.

Крупные достижения в разработке и развитии современных методов численного решения широкого круга задач теории оболочек и пластин принадлежат Артюхину Ю.П. [1], Валишвилли H.B. [7,8], Виноградову Ю.И. [10-12], Воровичу И.И. [14-16], Танеевой М.С. [23,25,26], Ганиеву Н.С. [41], Голованову А.И. [45,46], Грибанову В.Ф. [49], Грибову А.П. [1,48], Григолюку Э.И. [50,53,55], Григоренко Я.М. [56-62], Кабанову В.В. [50], Коровайцеву А.В. [79], Корнишину М.С. [76], Крысько B.JI. [83,84], Мяченкову В.И. [96,97], Паймушину В.Н. [20,102], Шалашилину В.И. [55], F. Budiansky [125], T.M.V. Kaiser'y [129], N. Noda [131], W. Wunderlich'y [134], O.C. Zienkiewicz'y [135,136] и др. При решении сложных краевых задач теории оболочек вращения используются методы, развитые на основе методов конечных разностей [76-78,121,125], вариационных [15,19, 42,43,71,115], конечных элементов [45,46,126,128,133,135], граничных элементов [1,48], коллокации [106], численного интегрирования [23-26,5658]. При этом разрешающие уравнения задачи должны согласовываться с используемым методом решения. В монографиях [25,57] отмечается, что одним из эффективных способов решения краевых задач теории оболочек вращения является подход, когда разрешающие уравнения (одномерные или приведенные к одномерным одним из методов разделения переменных) представляются в каноническом виде - в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; такая система уравнений выгодно отличается от любого другого представления тем, что в ней присутствуют производные первого порядка только от разрешающих функций. К канонической системе уравнений, линейной для fo задачи в. линейной постановке или линеаризованной методом последовательных приближений для задачи в нелинейной постановке, применяется устойчивый численный метод ортогональной прогонки [44, 57]. Трудности, связанные с неустойчивостью счета при численном решении линейных краевых задач статики тонких оболочек вращения, обсуждались в ряде работ и предлагались методы их преодоления. В работах [10,11] предлагается подход, для которого характерно совместное использование аналитических и численных методов. Численные значения интеграла системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяются с помощью матричного ряда Тейлора, который получается методом Пикара последовательных приближений. В работах [12,79] в отличие от процедуры С.К. Годунова предлагается метод частичной дискретной ортогонализации: показано, что в предлагаемых методах операция ортогонализации вектора частного решения к другим векторам не является необходимой и сохраняется ортогонализация только векторов, образующих фундаментальную систему решений, что сокращает вычислительную процедуру.

При численном интегрировании уравнения равновесия в полюсе (г = 0) непосредственно не применимы, т.к. содержат выражения вида г~а, а > 0. Известны различные подходы для преодоления этой трудности, в зависимости от применяемого численного метода и используемых уравнений [8,24,60,77,103]. В статье [24] используется известная идея [82], когда в малой окрестности полюса [0,Ду] уравнения задачи разрешаются с достаточной точностью. Полученные разложения для разрешающих функций позволяют рассмотреть задачу на интервале [As,sH], на котором уравнения не имеют особенностей.

Нелинейные задачи теории оболочек представляют собой нелинейные краевые задачи, зависящие от многих параметров.

Особенности задачи определяют выбор параметра шагового процесса. Естественным ведущим параметром задачи можно считать параметр нагружения. При построении зависимости «параметр нагружения -прогиб» возникают трудности, связанные с прохождением предельных точек кривых указанных зависимостей, для преодоления которых используют смену ведущего параметра задачи [8,56], или выбирают в качестве ведущего параметра величину, монотонно изменяющуюся в процессе деформирования. В [25] представлен алгоритм, в котором в качестве ведущего параметра выбирается значение интегрального прогиба на правом конце интервала интегрирования, что обеспечивает развитие процесса деформирования и сходимость процесса последовательных приближений в значительном диапазоне изменения прогиба. Различным вариантам метода продолжения решения по параметру, используемым при решении нелинейных задач, посвящены работы [8,14,17,25,51,55,56,76,91] и др. Их классификация и обзор работ по их использованию в нелинейных задачах теории оболочек представлены в книге [55].

Развитие современной техники, сопряженное с существенным повышением интенсивности термосилового нагружения, требует при расчете конструкций учета такого фактора как зависимость механических и теплофизических характеристик материала от температуры [4,9,13,64,66,67,74,99,111], что существенно усложняет соотношения задачи и затрудняет получение ее решения. Однако это направление успешно развивается: [4, 5,27, 29, 49, 54, 73, 83, 85, 98, 101, 105, 107, 112, 116,117,131,132] и др. При этом следует отметить, что нужно аккуратно подходить к назначению характеристик материала исследуемого объекта в зависимости от параметров процесса, как-то давления [101], температуры [4,101], вида полуфабриката материала [4] и т.д. В частности, в законе Гука для нагретого упругого тела присутствует средний коэффициент линейного температурного расширения для интервала от начальной

-Qтемпературы T0 до достигнутой Та [4,29,73,132]. Из справочной литературы [67,74,109,111] известны мгновенный а1 (Та) и средний ат(Т0,Та) коэффициенты линейного температурного расширения материалов, которые в области низких температур различаются между собой существенно. На примере расчета НДС бака для криогенной жидкости в работе [29] показано, что использование коэффициента а1 (Та) вместо среднего аг(Т0,Та) снижает значения напряжений, особенно существенно на охлажденной (внутренней) поверхности резервуара - до 75%, а неучет изменения физико-механических характеристик в зависимости от температуры ведет к завышению значений напряжений в рассмотренной задаче до 30%.

Выделим работы, в которых исследуется воздействие на оболочки вращения неосесимметричного термосилового нагружения в условиях геометрически, физически нелинейного деформирования, или учета термочувствительности материала [3,8, 23, 28, 30-34, 38, 39, 42,43,53,54-57, 63,76-78, 84,89,90,92, 93, 110, 113, 116, 117, 120, 125, 127- 129,132,134,135] и др.

Для линейной краевой задачи одним из эффективных является метод разложения искомых функций в тригонометрические ряды по окружной координате [118] при условии, что действующие на оболочку нагрузка и температура могут быть представлены в виде тригонометрических рядов Фурье [35,56]. При этом задача сводится к ряду одномерных задач для амплитуд искомых функций. Если задача нелинейная или толщина и (или) физико-механические характеристики материала переменные по параллели (для краткости нетрадиционная двумерная задача), решение задачи значительно усложняется [56,58,94]. В работах же [31, 89] проведены вычисления, когда геометрически нелинейная неосесимметричная задача сводится к решению несвязанных одномерных задач для ряда меридианов

- fiоболочки. Результаты вычислений показали, что в рассмотренных задачах такой приближенный подход оправдан для получения наибольших значений прогиба w и напряжений в пределах w/h < I.

Одним из методов, позволяющих свести двумерную нелинейную краевую задачу к одномерной, является метод прямых. Полученную одномерную краевую задачу высокого порядка решают, например, методом линеаризации и ортогональной прогонки [57, 89] или методом последовательных приближений Пикара [10]. Следует отметить, что в [10,57, 89] порядок полученной одномерной нелинейной краевой задачи возрастает пропорционально количеству: линий, введенных в методе прямых. В [61] предлагается подход, основанный на понижении размерности задачи с помощью метода сплайн-аппроксимации.

В работах [77,78,121] предлагается метод сведения нелинейной двумерной краевой задачи к решению одномерных краевых задач невысокого порядка для ряда меридианов. Используются уравнения в перемещениях и метод конечных разностей. В работе [2] используется для решения нелинейной краевой задачи модификация метода конечных разностей - метод криволинейных сеток.

В работе [28] предлагается метод сведения двумерной нелинейной краевой задачи к ряду одномерных невысокого порядка на основе специальной записи разрешающих уравнений и метода общей итерации. При этом производные по одной из переменных заменяются конечно-разностными выражениями с использованием значений разрешающих функций с предыдущей итерации.

Поскольку во многих случаях исследуются замкнутые по окружной координате оболочки, многие авторы используют для понижения размерности нетрадиционной двумерной краевой задачи метод разложения искомых функций в тригонометрические ряды. При решении конкретных задач в применяемых тригонометрических рядах необходимо удерживать такое число членов, которое позволит получить достоверное решение. Следует иметь в виду, что при решении нелинейной задачи (в отличие от линейной) в тригонометрических рядах, представляющих искомые функции, необходимо удерживать больше гармоник, чем .при задании нагрузки и температуры [31, 94]. С ростом номера гармоники ее вклад в решение обычно уменьшается. В работах [24, 94] отмечается, что при решении полученной одномерной линеаризованной краевой задачи методом ортогональной прогонки число делений в меридиональном направлении, пригодное для решения систем дифференциальных уравнений для амплитуд тригонометрического ряда с меньшим номером, ч может оказаться малым для амплитуд с более высоким номером.

В обзорной работе [56] наряду с другими подходами к решению двумерных нелинейных краевых задач использовали тригонометрические ряды по одной из координат к численному решению краевых задач теории оболочек сложной геометрии в неортогональных криволинейных системах координат.

Метод разложения искомых функций по окружной координате в сочетании с численно устойчивым методом ортогональной прогонки применен в работах [31,110] для случая геометрической нелинейности (Г-задача), в работе [120] - для случая физической нелинейности (Ф-задача); в [32,93] - для случая совместной геометрической и физической нелинейностей. При этом в [93] для подсчета нелинейных членов берется решение с предыдущей итерации, что равносильно использованию в процессе последовательных приближений метода простой итерации. Известно [25], что в Г- и ГФ- задачах теории оболочек метод простой итерации имеет ограниченную область сходимости - до прогибов порядка половины толщины оболочки. В работе [31] разложение искомых функций в тригонометрические ряды по окружной координате применено для решения Г-задачи в сочетании с методом общей итерации [76], в работе

110] - в сочетании с методом линеаризации (Ньютона) [119], а в ГФ-задаче [32] - в сочетании с методами общей итерации и линеаризации, что позволило расширить область сходимости Г- и ГФ-задач до нескольких толщин оболочки. В [32] для Ф-задачи установлено, что надежно сходится и наиболее экономичен метод простой итерации. Данный факт отмечался ранее для осесимметричной задачи в [25] (стр.85- 86).

В работе [70] метод разложения искомых функций по окружной координате в сочетании с методом конечных элементов использовался для исследования неосесимметричного поведения цилиндрических оболочек в геометрически нелинейной постановке, в работе [129] — при совместном учете геометрической и физической нелинейностей; в статье [134] - с учетом геометрической и физической нелинейностей для составных оболочек вращения, в качестве примера рассмотрена составная оболочка вращения под локальной неосесимметричной нагрузкой.

Отметим также монографии [49, 96] и статьи [81,97], в которых представлен ряд разработанных алгоритмов и комплексов программ для расчетов прочности, устойчивости и динамики составных элементов конструкций, в том числе и для определения линейного НДС составных конструкций [96,97] и геометрически нелинейного НДС [49,81] при неосесимметричном статическом нагружении и нагреве. При этом в обсуждаемых комплексах программ отмечена автоматизация параметризации геометрии оболочки, вида граничных условий, задания температурного поля и нагрузки.

При расчете НДС составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом ко всем другим сложностям добавляются трудности, связанные с выполнением кинематических и статических условий в месте контакта оболочек. Более ранние работы, посвященные расчету НДС составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом, выполнены в линейной постановке при осесимметричном нагружении

47,65,80,96], линейные неосесимметричные задачи представлены в работе [59], осесимметричные Ф-задачи - в [21], Г-задачи - в [86], ГФ-задачи - в [30]. В статьях [42,43] предложена методика расчета неосесимметричного термоупруго-пластического НДС оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при использовании полуаналитического метода конечных элементов. Задача решается в рамках линейной теории оболочек Кирхгофа-Лява. В качестве примера рассмотрено неосесимметричное НДС цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами.

В работе [18] представлена методика расчета НДС в линейной постановке составных разветвленных оболочек вращения, основанная на применении методов строительной механики.

Из приведенного выше обзора видно, что число работ, посвященных численному исследованию НДС составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении в геометрически и физически нелинейной постановке с учетом зависимости физико-механических характеристик от температуры, невелико. В то же время растущие требования к прочности элементов конструкций, функционирующих в сложных экстремальных условиях, обуславливают необходимость дальнейшей разработки методик и комплексов программ для решения такого класса задач.

Цель работы - разработка методики, алгоритма и программного комплекса для расчета геометрически и физически нелинейного НДС непологих тонких оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом зависимости физико-механических свойств материала от температуры.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и изложена на 144 страницах, иллюстрирована 68 рисунками, 16 таблицами. Список использованной литературы состоит из 136 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Моисеева, Валерия Евгеньевна

Основные результаты и выводы

1. Разработаны методика, алгоритм и программный комплекс для расчета геометрически и физически нелинейного НДС непологих тонких составных оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при неосесимметричном термосиловом нагружении с учетом зависимости физико-механических свойств материала от температуры. Полученное в [24] в линейной постановке в окрестности полюса общее решение уравнений равновесия нетонкой оболочки вращения при неосесимметричном термосиловом нагружении используется в процессе последовательных приближений при решении нелинейной краевой задачи. Достоверность результатов, полученных по разработанной методике, подтверждена проведенными в некоторых частных случаях сравнениями с аналитическими и численными результатами других авторов.

2. Получены результаты решения задач расчета нелинейного НДС тонких сферической и эллипсоидальных оболочек с центральным отверстием и замкнутых в полюсе, под действием неосесимметричного нормального давления. Численно исследованы возможности алгоритма в зависимости от используемого метода последовательных приближений, геометрических характеристик, характера нелинейности краевой задачи. Показаны качественные и количественные различия геометрически и физически нелинейных и линейного решений в рассмотренных задачах. Построены зависимости напряжений и перемещений от параметра нагружения.

3. Проведен расчет НДС гиперболоидальной оболочки вращения при неосесимметричном нормальном давлении. Задача решалась в линейной и геометрически и физически нелинейной постановках. Определены области концентрации напряжений оболочки в

-1Z2 зависимости от ряда граничных условий. Предложены способы снижения концентрации напряжений. Установлены граничные условия, при которых в рассматриваемой оболочке возникает практически безмоментное напряженное состояние. При этом показано, что в нелинейной задаче зависимость напряжений от параметра нагружения близка к линейной.

4. Выполнен расчет НДС конструкции, представляющей собой сферический резервуар для криогенной жидкости, опирающийся на цилиндрическую оболочку и находящийся под действием нагрузки типа ветровой. Установлено, что для конструкции рассмотренного вида желательно введение подкрепления, препятствующего консольному повороту под действием нагрузки типа ветровой. Проведена оценка опасного уровня кольцевых сжимающих усилий, возникающих в цилиндрической опоре. Проведено исследование влияния на НДС конструкции учета зависимости характеристик материала от температуры. Показано, что граничные условия заделки, шарнирного закрепления, опирания не имитируют НДС конструкции в окрестности линии сопряжения ветвей, особенно для конструкции без подкреплений.

5. Получены результаты решения задачи о малых прогибах нетонкой полусферической оболочки с полюсом под действием неосесимметричных давления и нагрева. Показано, что в рассмотренной задаче центральное отверстие значительно изменяет НДС в оболочке, по сравнению с НДС оболочки, замкнутой в полюсе. Установлено, что в осесимметричном случае для ненагретой оболочки можно подобрать такое центральное отверстие и такие граничные условия на его краю, при которых нет существенного изменения напряженного состояния по сравнению с напряженным состоянием оболочки, замкнутой в полюсе.

-its

6. Разработан алгоритм решения задачи нелинейного осесимметричного изгиба нетонких оболочек вращения под действием термосилового нагружения. Алгоритм включает в себя выбор в качестве ведущего параметра интегрального прогиба оболочки или обобщенного параметра термосилового нагружения, применение методов линеаризации и ортогональной прогонки. Проведено численное исследование влияния пути термосилового нагружения на НДС и критические нагрузки пологих и непологих сферических сегментов под действием равномерного внешнего давления и нагрева. гзо

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моисеева, Валерия Евгеньевна, 2005 год

1. Артюхин Ю.П. Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов / Ю.П. Артюхин, А.П. Грибов. - Казань: Изд-во ФЭН, 2002. - 197с.

2. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Н.И. Безухов, B.JI. Бажанов, И.И. Гольденблат, Н.А. Николаенко, A.M. Синюков. М.: Машиностроение, 1965. - 567 с.

3. Биргер И.А. Термопрочность деталей машин / И.А. Биргер, Б.Ф. Шорр, И.В. Демьянушко М.: Машиностроение, 1975. 456 с.

4. Боли Б. Теория температурных напряжений: Пер. с англ. / Б. Боли, Дж. Уэйнер. М.: Мир, 1964. - 520 с.

5. Валишвили Н.В. Неосесимметричное деформирование и устойчивость пологих оболочек вращения / Н.В. Валишвили. -Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. - С.22-28.

6. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ / Н.В. Валишвили. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

7. Вигли Д.А. Механические свойства материалов при низких температурах. / Д.А. Вигли. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 374с.

8. Ю.Виноградов Ю.И Новый метод и алгоритм решения задач теории пластин и оболочек / Ю.И. Виноградов, Е.И. Кочемасова // Труды XIV Всес. конф. по теории пластин и оболочек. Т.1. Тбилиси: Изд-во ун-та, 1987. С. 303-308.

9. Виноградов Ю.И. Метод решения краевых задач механики деформирования тонкостенных конструкций / Ю.И. Виноградов, Ю.И. Клюев, И.Ф. Образцов // Изв. АН. Механика твердого тела, 2001, №1. С.159-166.

10. Виноградов А.Ю. Совершенствование метода прогонки С.К. Годунова для задач строительной механики / А.Ю.Виноградов, Ю.И. Виноградов // Изв. АН. Механика твердого тела, 1994, №4. -С.

11. Воробей В.В. Расчет термонапряженных конструкций из композиционных материалов / В.В. Воробей, Е.В. Морозов, О.В. Татарников М.: Машиностроение, 1992. 235 с.

12. Н.Ворович И.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек / И.И. Ворович, Н.И. Минакова // Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. Т.7. М.: ВИНИТИ, 1973. С.5-86.

13. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. / И.И. Ворович. М.: Наука. Физматлит, 1989. 376с.

14. Ворович И.И. Некоторые вопросы механики сплошной среды и математические проблемы теории тонкостенных конструкций /И. И. Ворович, Л.П. Лебедев // Прикл. мех., 2002, №4. С.3-20.

15. Гаврюшин С.С. Алгоритмы исследования больших прогибов гибких оболочек методами продолжения и их численная реализация / Гаврюшин С.С. // Труды XVI Межд. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. Н.-Новгород, 1994. С.72-77.

16. Газизов Х.Ш. Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения / Х.Ш. Газизов // Автореф. дисс. доктора техн. наук. Юж.-Уральск. гос. ун-т. Челябинск, 2003. 32с.

17. Галимов К.З. Некоторые вопросы прочности и устойчивости пластин и оболочек в неравномерном температурном поле / К.З. Галимов, Х.М. Муштари // Труды Физ.-техн. ин-та Казанск. филиала АН СССР. 1954, в.1. С.121-147.

18. Гапимов К.З. Основания нелинейной теории оболочек / К.З. Галимов, В.Н. Паймушин, И.Г. Терегулов. Казань: Изд-во ФЭН, 1996.-216с.

19. Галишин А.З. Расчет осесимметричного термоупруго-пластического напряженно-деформированного состояния оболочек вращения с разветвленным меридианом / А.З. Галишин //Прикл. механика, 1984, № 1. С. 66-71.

20. Ганеева М.С. Нелинейный осесимметричный изгиб непологой оболочки вращения средней толщины / Танеева М.С. // Прочность и устойчивость оболочек: Труды семинара. Казань, 1980, вып. XII. С. 29-41.

21. Танеева М.С. Термосиловая задача в геометрически и физически нелинейной теории нетонких и тонких оболочек / М.С. Танеева // КФТИ Казанск. филиала АН СССР. Казань, 1985, 126 с. Деп. в ВИНИТИ 24.06.85, №4459-85Деп.

22. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения / М.С. Танеева. М.: Наука, 1992. - 161 с.

23. Ганеева М.С. Нелинейная механика оболочечных конструкций при термосиловом нагружении / М.С. Танеева // Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 10-летию ИММ КазНЦ РАН. Казань, 2001. С.111-127.

24. Танеева М.С. Статика нетонких составных оболочек вращения из термочувствительного материала/ М.С.Ганеева, J1.A. Косолапова //Труды XV Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 1990. С.25-30.

25. Танеева М.С. Об одном методе решения неосесимметричной термосиловой задачи для гибких оболочек вращения / М.С.Ганеева, JI.A. Косолапова // Труды XVI Межд. конф. потеории оболочек и пластин. Т.2. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1994. С.65-70.

26. Ганеева М.С. О соотношениях закона Гука в температурной задаче упругого твердого тела / М.С.Ганеева, JI.A. Косолапова // Труды XVII Межд. конф. по теории оболочек и пластин. Т.1. Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 1996. С.33-37.

27. Ганеева М.С. Численное исследование непологих нетонких оболочек вращения с полюсом под действием неосесимметричного термосилового нагружения / М.С.Ганеева,

28. B.Е. Моисеева // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Казань, 1988, вып. XXI, ч.1. С. 120-129.

29. Ганеева М.С. Нелинейный изгиб нетонких составных оболочек вращения из термочувствительного упруго-пластического материала / М.С. Танеева, В.Е. Моисеева // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Казань, 1990, вып. XXV. С. 420.

30. Ганеева М.С. Несущая способность резервуара для криогенной жидкости под действием неосесимметричного нагружения / М.С. Танеева, В.Е. Моисеева // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Казань: ИММ КазНЦ РАН, 2004. С. Z&-92.

31. Ганиев Н.С. Об исследованиях по математическому моделированию и расчету деформирования элементов конструкций в КГТУ/ Н.С. Ганиев, В.А. Иванов, М.Н.

32. Серазутдинов // Вестн. Казан, гос. технол. ун-та. 1998. №1. С. 114122.

33. Гнитько В.И. Термоупругопластическое деформирование разветвленных оболочек вращения при неосесимметричном нагружении / В.И. Гнитько, Е.В. Еселева // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды Межд. конф. Казань: Новое Знание, 2000. С.173-177.

34. Гнитько В.И. Расчет неосесимметричного термоупругопласти-ческого состояния разветвленных оболочек вращения полуаналитическим методом конечных элементов / В.И. Гнитько, В.А. Мерзляков // Прикл. мех., 2002, №8. С. 105-115.

35. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / С.К. Годунов // Успехи математич. наук, 1961, 16, №З.С. 171-174.

36. Голованов А.И. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек / А.И. Голованов, М.С. Корнишин. Казань: КФАН КФТИ, 1990. - 269с.

37. Грибанов В.Ф. Прочность, устойчивость и колебания термонапряженных оболочечных конструкций / В.Ф. Грибанов, И.А. Крохин, С.Г. Паничкин и др. М.: Машиностроение, 1990. 368 с.

38. Григолюк Э.И. Устойчивость оболочек / Григолюк Э.И., Кабанов В.В. М.: Наука, 1978. - 360с.

39. Григолюк Э.И. О методе непрерывного продолжения по параметру/ Э.И. Григолюк, Е.А. Лопаницин // Докл. АН, 1994, т.335, №5. С.582-588.

40. Григолюк Э.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши / Э.И. Григолюк., В.И. Мамай // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Горький, 1979. С.3-19.

41. Григолюк Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э.И. Григолюк., В.И. Мамай. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 272 с.

42. Григолюк Э.И. Расчет температурных напряжений в трапециевидной пластине с переменными физико-механическими характеристиками / Э.И. Григолюк, В.Е. Попович, В.А. Пухлий // Прикл. механика, 1974, №5. С. 17-26.

43. Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. М.: Наука, 1988. - 232 с.

44. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к численному решению линейных и нелинейных задач теории оболочек в классической и уточненной постановках / Я.М. Григоренко // Прикл. мех., 1996, №6. С.3-39.

45. Григоренко Я.М. Методы расчета оболочек. Т.4. Теория оболочек переменной жесткости/Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко- Киев: Наук, думка, 1981. 544 с.

46. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к решению задач теории тонких оболочек с переменными геометрическими и механическими параметрами/ Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко // Прикл. мех., 2002, №11.- С.32-68.

47. Расчет напряженного состояния конструкций в виде оболочек вращения с разветвлениями / Я.М. Григоренко, В.И Гололобов, Л.Д. Криворучко, Н.А. Лобкова, В.В. Семенова // Прикл. механика, 1984, №7. С. 101-104.

48. Григоренко Я.М. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций (Обзор) / Я.М. Григоренко, Н.Н. Крюков // Прикл. мех., 1995, №6. С.22-27.

49. Григоренко Я.М. Линейные и нелинейные задачи упругого деформирования оболочек сложной формы и методы их численного решения / Я.М. Григоренко, Я.Г. Савула, И.С. Муха // Прикл. мех., 2000, № 8. С.3-27.

50. Гришунин В.В. Расчеты гибкой оболочки металлического силоса на действие ветровой нагрузки / Гришунин В.В., Кузнецов И.М. // Саратов, 1999, 11с. Деп. в ВИНИТИ, №3684-В99.

51. Гудков С.И. Механические свойства промышленных цветных металлов при низких температурах / С.И. Гудков. М.: Металлургия, 1971. - 304с.

52. Расчет осесимметричного напряженного состояния разветвленных составных оболочек вращения / М.И. Егоров, B.C. Корягин, В.И. Федоров, В.П. Коротихин // Проблемы прочности. 1974, №5. -С.26-30.

53. Жуков A.M. Зависимость модуля упругости и коэффициента линейного расширения от температуры для некоторых металлов /- т

54. Ильюшин А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин. М., JL: Гостехтеориздат, 1948.378с.

55. Кабанов В.В Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном давлении /

56. B.В. Кабанов, Л.П. Железное // Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1982. С. 83-85.

57. Каюмов Р.А. Метод вариации упругих характеристик в задаче о предельной нагрузке / Р.А. Каюмов // ПМТФ, 1990, №3. С.134-139.

58. Климанов В.И. Исследование прочности и устойчивости гибких составных оболочек вращения при осесимметричном нагружении и нагреве / В.И. Климанов, В.В. Чупин // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1985, №4. С.32-36.

59. Коваленко А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко.- Киев: Наук, думка, 1970. 307 с.

60. Кожевников И.Г. Теплофизические свойства материалов при низких температурах. Справочник / И.Г. Кожевников, Л.А. Новицкий. М.: Машиностроение, 1982. - 327с.

61. Коляно Ю.М. Термомеханика. Библиографический указатель отечеств, и иностр. литературы за 1965-1976 г.г. В двух частях / Ю.М. Коляно, М.И. Семерак, О.А. Яворская. Львов: Изд-во АН УССР, 1980. 4.1,359с.; 4.2. - 836с.

62. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М.С. Корнишин. М.: Наука, 1964. 192 с.-ns

63. Корнишин М.С. Сферическая оболочка под ветровой нагрузкой / М.С. Корнишин, Н.П. Байдарова // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Казань, 1988, вып.ХХ1, ч. 2. С.140-145.

64. Корнишин М.С. Неосесимметричное деформирование гибких пластин и оболочек вращения / М.С. Корнишин, А.Н. Шихранов, Н.П. Байдарова // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Казань, 1986, вып. XIX, чЛ. С. 50-57.

65. Коровайцев А.А. Метод частичной дискретной ортогонализации / Коровайцев А.А., Коровайцев А.В. // Матер. 5 Междунар. симп. «Динам, и технол. пробл. мех. конструкций и сплош. сред», Ярополец, 15-19 февр., 1999. С.38-39.

66. Корягин B.C. Прочность труб с наружным поперечным оребрением / B.C. Корягин // Теплоэнергетика, 1973, № 1. С. 19-21.

67. Крохин И.А. Программные комплексы для расчетов прочности, устойчивости и динамики конструкций ракетно-космической техники / И.А. Крохин, Н.Г. Паничкин // Космонавт, и ракетостр.,1995, №4. С.88-94.

68. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях / А.Н. Крылов.- М.: Гостехтеориздат, 1954. 400 с.

69. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек/ В.А. Крысько. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1976. -214 с.

70. Крысько В.А. Метод решения геометрически нелинейных задач МДТТ / В.А. Крысько, М.В. Жигалов // Труды XVIII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З.Саратов, 1997. СЛ18-122.

71. Кудинов А.Н. Уравнения термоупругости и термоустойчивости нелинейной теории пологих ортотропных оболочек / А.Н. Кудинов //Уч. зап. Томского ун-та. 1967, №68. С. 76-85.

72. Кузнецов В.В. Исследование нелинейного напряженно-деформированного состояния разветвленных оболочек/ В.В. Кузнецов, С.В. Левяков // Строит, механика и расчет сооруж. 1992, №1. СЛ 0-14.

73. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство / К. Ланцош. М.: Физматгиз, 1961. -524с.

74. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости / Н.Н. Лебедев.- Л., М.: ОНТИ, 1937. 110 с.

75. Лоос И.И. Численное исследование гибких цилиндрических оболочек переменных жесткостей в двух направлениях/ И.И. Лоос // Труды XIV Всес. конф. по теории пластин и оболочек. Т.2. Тбилиси: Изд-во ун-та, 1987. С. 157-162.

76. Майзель В.М. Температурная задача теории упругости / В.М. Майзель. Киев: Изд-во АН УССР, 1951. 152 с.

77. Малахов В.Г. Нелинейные задачи расчета и оптимизации оболочек вращения /В.Г. Малахов. Дисс. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Казань, 2003.- 153 с.

78. Мелан Э. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями / Э. Мелан, Г. Паркус. Пер. с нем. М.: Физматгиз, 1958. - 167 с.

79. Мерзляков В.А. Термоупругопластическое деформирование гибких оболочек вращения при неосесимметричном нагружении/ В.А. Мерзляков //Прикл. мех., 1990, №11. С.70-76.

80. Мерзляков В.А. Упругопластическое деформирование оболочек вращения при неосесимметричном нагружении. ( Обзор) / В.А. Мерзляков, Ю.Н. Шевченко // Прикл. мех., 1999, №5. С.3-39.

81. Муштари Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х.М. Муштари, К.З. Галимов. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

82. Мяченков В.И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. Справочник / В.И. Мяченков, И.В. Григорьев. М.: Машиностроение, 1981.-212с.

83. Мяченков В.И. Автоматизация конструирования и прочностных расчетов тонкостенных многослойных осесимметричных конструкций / В.И. Мяченков, Т.Н. Ольшанская, А.В. Чеканин // Изв. АН, Механика твердого тела, 1996, №4. С. 159-161.

84. Нерубайло Б.В. К учету изменения физических свойств материала при локальном нагреве оболочек вращения / Б.В. Нерубайло, А.И. Иванов // Расчет, и эксп. исслед. прочности, уст. и колебаний конструкций летат. аппаратов. М., 1987. С. 41-45.

85. Новикова С.И. Тепловое расширение твердых тел / С.И. Новикова. -М.: Наука, 1974.-291с.

86. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов. JI.: Судпромгиз, 1962.432 с.

87. Ю1.0гибалов П.М. Термоустойчивость пластин и оболочек / П.М. Огибалов, В.Ф. Грибанов. М.: Изд-во МГУ, 1968. - 520с.

88. Паймушин В.Н. Краевые задачи механики деформирования оболочек сложной геометрии / Паймушин В.Н. Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. Казань, 1980. - 38с.

89. Перроне Н. Большие прогибы и выпучивание частично и полностью нагруженных сферических куполов / Н. Перроне, Р. Као // Ракетная техника и космонавтика. Пер. с англ. 1970. Т.8, №12. С.23-30.

90. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития / В.В. Пикуль // Механика оболочек и пластин. Сборник докладов XIX Межд. конф. по теории оболочек и пластин. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 1999. -С.5-8.

91. Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных условиях. В 2-х т. / Под ред. Г.С. Писаренко. Т.2. Киев: Наук, думка, 1980. - 771с.

92. Рогалевич В.В. Решение краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокации /В.В. Рогалевич // Прочность и устойчивость оболочек: Труды семинара. Казанск. физ.-техн. ин-т, 1980,№13.-С. 5-20.

93. Розовский М.И. Напряжения в симметрично нагретой сферической оболочке, механические свойства которой зависят от времени и температуры / М.И. Розовский // ДАН СССР, 1958. 120, №2. С. 265-268.

94. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5-ти т. / В.И. Смирнов. М.: Гостехтеориздат, 1956. Т.З, ч.2. - 676с.

95. Солнцев Ю.П. Материалы в криогенной технике: Справочник / Ю.П. Солнцев, Г.Л. Степанов. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1982.-312 с.

96. Соловьев В.А. Об одном подходе к решению задач нелинейного неосесимметричного деформирования оболочечных конструкций / В.А. Соловьев, Н.Н. Голованов // Расчеты на прочность и жесткость. М., 1990. С.25-31.

97. Справочник по машиностроительным материалам. В 4-х т. Т.2. Цветные металлы и их сплавы. М.: Машгиз, 1959.- 640 с.

98. Стрижало В.А. Прочность материалов и конструкций при криогенных температурах / Стрижало В.А., Филин Н.В., Куранов Б.А. и др. Киев: Наук, думка, 1988. - 240с.

99. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

100. Хорошун Л. П. Напряженно-деформированное состояние термочувствительных оболочек вращения переменной толщины / Л. П. Хорошун, С. В. Козлов, И. Ю. Патлашенко // Прикл. мех., 1988,№9.-С. 38-44.1. Y3

101. Хорошун JI. П. Об учете термочувствительности при построении уравнений сдвиговой модели термоупругости слоистых пластин и оболочек / Л. П.Хорошун, С. Г. Шпакова / Прикл. мех., 1986, №11.- С. 78-85.

102. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения / В.С.Чернина. М.: Наука, 1968. 456 с.

103. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. 4.2. / В.Е. Шаманский. Киев: Наук, думка, 1966. - 244 с.

104. Шевченко Ю.Н. Расчет термоупруго-пластического неосесимметричного деформирования оболочек вращения/ Ю.Н. Шевченко, В.А. Мерзляков // Прикл. мех., 1988, №5. С.43-53.

105. Шихранов А.Н. Большие неосесимметричные прогибы пологих оболочек вращения / А.Н. Шихранов // Труды XVI Международ, конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. Н. Новгород: Изд-во Нижегородск. ун-та. 1994. С. 252-257.

106. Юсов В.Н. Экспериментальная проверка возможности применения модели нелинейно упругого материала при расчетах на устойчивость за пределами упругости/ В.Н. Юсов // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение. 1986, №27. С.208-214.

107. Яворская . О.А. Термомеханика. Указатель отечеств, и зарубежной литературы за 1977-1981г.г. В трех книгах./ О.А. Яворская, Ю.М. Коляно, М.Н. Семерак. Львов: Изд-во АН УССР, 1986. 4.1, 354с.; 4.2, 364с.; Ч.З, 296с.

108. Якупов Н.М. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / Н.М. Якупов, М.Н. Серазутдинов. Казань: ИММ КНЦ РАН, 1993.206 с.

109. Budiansky F. Numerical analysis of unsymmetrical bending of shells of revolution / F. Budiansky, P.P. Radkowsky // AIAA Journal, 1963, 1. №8. P. 1833-1842.

110. Effects of geometric and material nonlinearity on the stresses of various pressure shapes / W.M. Cho, B.E. Lee, S.H. Koo, Y.S. Lee // Computers and Structures. 1995. V.55, №6. P. 1063-1075.-/vv

111. Chandrashekhara К. Analysis of long cantilever cylindrical shell subjected to wind loading / K. Chandrashekhara // J. Eng. Mech., 1989, 115, №9. P.2101-2105.

112. Hong T. Nonlinear analysis of shells of revolution under arbitrary loads/ T. Hong, J. G. Teng // Computers and Structures. 2002. V.80, №18-19.-P.1547-1568.

113. Kaiser T.M.V. A nonlinear finite element for modelling nonaxisymmetric behaviour/ T.M.V. Kaiser, A.E. Elbi, A.A. Mioduchowski // Computers and Structures. 1993. V. 49, №2. P.219-230.

114. Krivoshapko S.N. Static, vibration and buckling analyses and applications to one-sheet hyperboloidal shells of revolution / S.N. Krivoshapko // Applied Mechanics Review. 2002.Vol. 55, №3. P. 241-270.

115. Noda N. Thermal stresses in material with temperature-dependent properties / N. Noda // Applied Mechanics Review. 1991. V.44, №9. -P.383-397.

116. Orcan Y. Thermal stresses in elastic-plastic tubes with temperature-dependent mechanical and thermal properties/ Y. Orcan, A.N. Eraslan //Journal of Thermal stresses, 2001. V.24, №11. P.l 097-1113.

117. Sanal Z. Nonlinear analysis of pressure vessels: some examples / Z. Sanal // Int. J. of Pressure Vessels and Piping, 2000. V.77, №12. -P.705-709.

118. Wunderlich W. Application of ring finite-elements in the nonlinear analysis of shells of revolution under non-axisymmetric loading / W. Wunderlich, H. Cramer, H. Obrecht // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1985.V. 51, P.259-275.

119. Zienkiewicz O.C. Incremental Displacement in Nonlinear Analysis / O.C. Zienkiewicz // Int. J. Num. Meth. Eng., 1971. №3. P.577-588.

120. Zienkiewicz O.C. The Era of Computational Mechanics: Where Do We Go Now? / O.C. Zienkiewicz // Meccanica, 2001. V.36, №1. P. 151- 157.