Численное моделирование МГД-течений в профилированных коаксиальных каналах плазменных ускорителей с продольным магнитным полем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Стёпин, Евгений Викторович

• Стёпин, Евгений Викторович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Стёпин, Евгений Викторович

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

1.1. Объект моделирования

1.2. Постановка задачи

1.2.1. Уравнения магнитной газодинамики

1.2.2. Граничные условия

1.2.3. Начальные условия

1.3. Метод численного решения

1.3.1. Единицы измерения

1.3.2. Криволинейная система координат

1.3.3. Метод расчётов

Глава 2. КВАЗИОДНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В УЗКИХ ТРУБКАХ

2.1. МГД-уравнения в квазиодномерном приближении

2.2. Граничные и начальные условия

2.3. Стационарные течения

2.3.1. Стационарные уравнения и их анализ

2.3.2. Первые интегралы

2.3.3. Уравнение для плотности

Глава 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЁТОВ И ИХ АНАЛИЗ

3.1. Узкие коаксиальные каналы постоянного среднего радиуса

3.1.1. Трансзвуковой сверхалъфвеновский режим течения с ускорением

3.1.2. Дозвуковой сверхалъфвеновский режим течения

3.1.3. Сверхзвуковой доалъфвеновский режим течения

3.1.4. Алъфвеновский режим течения

3.1.5. Заключение к разделу

3.2. Узкие коаксиальные каналы криволинейной конфигурации

3.2.1. Дозвуковой тип течения

3.2.2. Трансзвуковой тип течения с ускорением

3.2.3. Трансзвуковой тип течения с замедлением

2

3.2.4. Сверхзвуковой режим течения

3.2.5. Заключение к разделу

3.3. Режимы ускорения плазмы поперечным магнитным полем в каналах с профилированными электродами

3.3.1. Разбиение канала на узкие трубки

3.3.2. Канал с профилированным центральным электродом

3.3.3. Канал с профилированным внешним электродом

3.3.4. Заключение к разделу

3.4. Двумерные течения с продольным магнитным полем

3.4.1. Канал с профилированным центральным электродом

3.4.2. Канал с профилированным внешним электродом

3.4.3. Заключение к разделу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование МГД-течений в профилированных коаксиальных каналах плазменных ускорителей с продольным магнитным полем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность диссертационной работы

Разработка плазменных установок и исследование происходящих в них процессов представляют собой большой интерес благодаря широкому спектру их применений для решения актуальных и перспективных технологических задач.

К подобным вопросам, например, относится проблема управляемого термоядерного синтеза - в частности, задача удержания плазмы магнитным полем при высокой температуре (см., например, [1-4]) в установках типа токамака (тороидальная камера с магнитными катушками) или стелларатора (от лат. Stella -звезда).

Заслуживают упоминания магнитогазодинамические (МГД) генераторы (см., например, [5-7]), в которых происходит преобразование кинетической энергии движущегося рабочего вещества в электромагнитную, поэтому они могут быть применены как основные или резервные источники питания для различных энергосистем, требующих больших мощностей. К сожалению, несмотря на заманчивые перспективы, устройства на основе МГД-генераторов так и не нашли широкого промышленного применения (см., например, [8]) вплоть до настоящего времени по причине отсутствия материалов для поверхности электродов и самого генератора, способных выдерживать высокие температуры рабочего вещества достаточно длительное время.

Одним из важнейших направлений в области использования плазменных установок является создание и исследование плазменных ускорителей. Успешная разработка данных устройств была начата в 1950-е годы под началом Л.А. Арцимовича в созданном им Отделе плазменных исследований Института атомной энергии (ныне - Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»), а также в лаборатории Г.И. Будкера. Под руководством Л.А. Арцимовича была проведена I Всесоюзная конференция по плазменным ускорителем в МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1971 году. В качестве первых открытых публикаций на тему плазменных ускорителей широко известны статьи Л.А. Арцимовича, С.Ю. Лукьянова, И.М. Подгорного, С.А. Чуватина [9] и А.И.

Морозова [10]. Действующий ускоритель демонстрировался И.М. Подгорным на II Женевской конференции по мирному использованию атомной энергии в 1958 году. В течение последующих десятилетий разработка, исследование и создание нескольких разновидностей плазменных ускорителей велась в значительной мере по инициативе, под руководством и при участии А.И. Морозова (см. [11-13] с обширной библиографией). Благодаря высоким значениям скорости и энергии вытекающих из ускорителей плазменных потоков, с точки зрения своего технологического применения данные устройства могут быть использованы для создания электрореактивных плазменных двигателей аппаратов для космических перелётов (см. [11]). Они имеют ряд преимуществ по сравнению с жидкостными реактивными двигателями на химическом топливе, возможности которых ограничены выходом энергии из экзотермических окислительно-восстановительных реакций. Первая электрореактивная двигательная установка на базе абляционного импульсного плазменного двигателя, получившая высокую оценку С.П. Королёва, была разработана и испытана на основе пионерских исследований А.М. Андрианова, Л.А. Пеца, А.И. Симонова и В.А. Храброва. Электрореактивные двигатели могут обладать высокими параметрами тяги, но для своей работы требуют наличия мощного и компактного источника электроэнергии. Рекордные значения скорости и энергии вытекающего плазменного потока были получены в двухступенчатом квазистационарном сильноточном плазменном ускорителе (КСПУ) (см. [12-16, 71]), величина тяги в котором соизмерима с тягой ракетных двигателей (рис. 1). Ионизация и предварительное ускорение плазмы осуществляется в первой ступени, а вторая ступень представляет собой большой коаксиальный плазменный ускоритель, подсоединённый к независимой электрической цепи. В экспериментальных исследованиях КСПУ отмечалась высокая степень устойчивости и азимутальной симметризации поступающих в ускоритель плазменных потоков.

Стационарные плазменные двигатели (СПД) (см. [17]) малой мощности (рис. 2), но с длительным ресурсом работы, впервые разработанные в СССР, применяются для корректировки орбит, манёвров и стабилизации космических аппаратов с 1971 года.

Рис. 1. Вакуумная камера КСПУ в Рис. 2. Стационарные плазменные

ХФТИ. двигатели.

Вообще говоря, спектр применения плазменных ускорителей достаточно широк. Они могут использоваться как магнитоплазменный компрессор (см., например, [18]), который служит для получения высокотемпературной плазмы, или для инжекции высокоэнергичных плазменных потоков в магнитные ловушки, создаваемые в связи с работой по программе управляемого термоядерного синтеза (см., например, [19]).

В успешных разработках нескольких поколений плазменных установок

большую роль играет математическое моделирование происходящих в них

процессов и численное решение соответствующих математических задач, что

позволяет получить основные качественные закономерности и тенденции в

характере и свойствах этих процессов и способствует их пониманию.

Количественные результаты дают возможность снизить затраты на проведение

дорогостоящих (а иногда и принципиально невозможных) экспериментов. Яркими

тому примерами являются теоретические исследования устойчивости плазменных

образований (см. [20]), анализ стационарных течений плазмы в каналах (см. [21]) и

6

открытие явления компрессии в канале, в котором центральный электрод короче внешнего (см. [22-26]), послужившее основой для создания упомянутых выше магнитоплазменных компрессоров. Одно из важнейших направлений в области математического моделирования плазменных процессов связано с задачами об удержании в равновесии горячей плазмы в магнитных полях различной конфигурации для управляемого термоядерного синтеза. К этому классу вопросов относится задача о 7-пинче (см. [27-32]), в котором плазменный шнур с током располагается между двумя электродами и удерживается создаваемым им магнитным полем. Неустойчивость пинча (см. [20, 33-36]) преодолевается усложнением структуры магнитного поля за счёт дополнительных токов, окружающих установку (см. [37]). В предложенных А.И. Морозовым магнитных ловушках, названных им «Галатеями» (см. [38-47]), проводники с током погружены в плазменный объём, вследствие чего число вариантов конфигураций магнитного поля, призванного удерживать плазму, возрастает.

Диапазон параметров плазмы, в частности её плотности и температуры, достаточно широк, в связи с чем существует два основных типа её математических моделей. Первый тип моделей описывает относительно разреженную плазму. В его основе лежат операции с различными вариантами кинетического уравнения для функции распределения частиц каждого сорта, из которых состоит плазма.

Математические модели второго типа описывают динамику относительно плотной плазмы, которая рассматривается в терминах механики сплошной среды. Аппарат моделирования в данном случае основан на численном решении системы уравнений магнитной газодинамики, основные законы которой были открыты шведским учёным - лауреатом Нобелевской премии Х. Альфвеном при изучении поведения космической плазмы в магнитном поле (см. [48], а также [49-52]).

Задачи с уравнениями механики сплошных сред и, в частности, с

уравнениями магнитной газодинамики (МГД) практически всегда не имеют точных

аналитических решений, поэтому они решаются приближённо с помощью

различных численных алгоритмов (см., например, [53-56]). В монографии [57]

представлен обзор численных методов, используемых при решении задач механики

7

сплошных сред. В современных расчётах чаще используются явные разностные схемы по причине их экономичности, логической простоты и возможности выполнения параллельных вычислений в многопроцессорных системах. Основные свойства гладких течений в каналах были исследованы в ранней работе [72] с помощью простейшей схемы типа «крест» с разностями «навстречу потоку». В дальнейшем потребовались методы более высокого порядка точности с большим разрешением на разрывах, в которых используются консервативные разностные схемы с сохранением монотонности решения при переходе на следующий временной слой (см. [58]).

Повысить порядок точности удаётся в схемах Хартена за счёт нелинейных поправок, при этом требование монотонности в них заменяется более слабым требованием невозрастания полной вариации решения (TVD или ТУМ) (см. [59]). Схема Хартена в двумерных МГД-задачах с поперечным магнитным полем реализована в работе [60] и в трёхмерной постановке в работе [61].

Разностные схемы с коррекцией потоков ^СТ) (см. [62-65]) более предпочтительны с точки зрения экономии вычислительных ресурсов. Связанная со стремлением повысить точность немонотонность решения компенсируется в них нелинейным механизмом ограничения той же полной вариации. В работе [66] представлен сравнительный анализ методов TVD и FCT в решении осесимметричной МГД-задачи.

Применение указанных методов, зарекомендовавших себя в одномерных

расчётах, в многомерных задачах требует введения так называемого «расщепления

по направлениям», при котором расчёт каждого следующего временного слоя

разбивается на серии одномерных расчётов по каждой из пространственных

координат. Это снижает преимущества схем и ограничивает возможности

эффективного разбиения алгоритма на параллельные процессы. «Полностью

многомерные» явные разностные схемы не требуют расщепления по направлениям

и позволяют избежать этих недостатков. Примером метода решения многомерных

задач является обобщение метода FCT, основанное на «полностью многомерном»

разностном алгоритме Залесака (см. [67]). Предложенный В.Ф. Дьяченко для

8

решения двумерной МГД-задачи метод свободных точек (см. [29]) по причине своей логической сложности не получил широкого распространения, но был воспроизведён в работе [31] и сопоставлен с методом поточно-векторного расщепления (FVS) (см. [68]) и кусочно-параболическим методом (PPM) (см. [69]). В работе [70] найден способ приближённого решения задачи о распаде МГД-разрыва при двух частных значениях показателя адиабаты в случае поперечного магнитного поля с помощью схемы Годунова (см. [58]).

Темой диссертационной работы является математическое моделирование течений плотной плазмы в каналах плазменных ускорителей типа сопла, образованных двумя коаксиальными электродами. Течения плазменного потока в каналах данного типа при его взаимодействии с собственным поперечным магнитным полем подробно исследованы теоретически (см. [71-74]) и реализованы экспериментально в упомянутом выше КСПУ (см. [15, 16]). Существенную роль в этом сыграли численные исследования и расчёты, проведённые в основном в двумерных моделях, основанных на уравнениях магнитной газодинамики (см., например, [72] и [75] с подробной библиографией).

Подробные исследования процессов в КСПУ - теоретические, численные и экспериментальные - позволили считать хорошо известными порядки величин всех описывающих эти процессы параметров и сделать вывод об адекватности использования идеальной МГД-модели без учёта диссипативных факторов. Канал КСПУ имеет размер 1,5м х 0,5м, рабочее вещество - водород, характерные

значения плотности n ~ 1014 -1016 см-3, разрядного тока J ~ 400 кА, напряжения

U ~ 10 кВ, максимальной скорости потока на выходе v~ 4-107 см/с (см. [16]). Наиболее существенна из диссипативных факторов - конечная проводимость, количественная роль которой характеризуется безразмерным значением магнитной вязкости v , обратной магнитному числу Рейнольдса ReOT. Порядок этой величины

ReOT ~ 10 неоднократно обоснован и цитирован, например, в работах [81-83] с весьма высокой точностью электропроводности сг0 = 812,8.

Менее изучены течения в присутствии продольного (осевого) магнитного поля, которое в дополнение к основному (поперечному азимутальному) может быть создано, например, с помощью соленоида, окружающего установку.

Некоторые результаты, касающиеся стационарных течений в узких трубках, образованных близкими друг к другу траекториями, были получены в квазиодномерном (гидравлическом) приближении (см. [75, 76]). В обзоре [21] обращено внимание на существенные различия между течениями со сверхальфвеновскими и доальфвеновскими (по отношению к альфвеновской скорости, соответствующей продольному магнитному полю) скоростями и указаны особенности «пограничного» между ними течения с альфвеновской скоростью и постоянной («критической») плотностью. В [75, 76] приведены классификация всех возможных стационарных течений и результаты численных исследований основных свойств течений каждого типа. Тем не менее существование альфвеновских и близких к ним типов течений в реальных процессах вызывало ряд вопросов. Более того, эти результаты ограничены простейшим случаем трубок с постоянным средним радиусом траекторий. Более полные и содержательные исследования в терминах квазиодномерных задач должны учитывать криволинейную геометрию трубок с произвольно зависящим от продольной координаты средним радиусом траекторий (см., например, [77]).

Расчёты двумерных МГД-течений с продольным магнитным полем для одного варианта простейшей геометрии канала типа сопла со слабо профилированным центральным электродом изложены в работах [78, 79]. Двумерным моделям течений с продольным магнитным полем, дополнительно учитывающим эффект Холла и конечную проводимость плазмы, посвящены работы [81-83].

Цель диссертационной работы

Математическое моделирование и численное исследование течений плотной плазмы в каналах плазменных ускорителей типа сопла, образованных заметно профилированными коаксиальными электродами, в присутствии продольного магнитного поля.

Задачи

• Исследование альфвеновских и близких к ним МГД-течений в каналах плазменных ускорителей в присутствии продольного магнитного поля;

• Исследование влияния геометрии электродов, образующих каналы плазменных ускорителей, на параметры течений;

• Исследование влияния продольного магнитного поля на параметры течений в каналах плазменных ускорителей различной геометрии.

Методы исследования

Исследование течений плазменного потока в каналах плазменных ускорителей в присутствии продольного магнитного поля строилось на основе математического моделирования и численного решения соответствующих математических задач. Математические модели основаны на уравнениях магнитной газодинамики (МГД). Численное решение нестационарных осесимметричных МГД-задач проведено разностным методом FCT с коррекцией потоков по Борису-Буку и его обобщением, основанном на «полностью многомерном» (то есть не требующем расщепления по направлениям) разностном алгоритме Залесака. Стационарные решения задач получены методом установления во времени. Некоторые детали стационарных течений рассмотрены в квазиодномерном приближении с помощью первых интегралов. Программная реализация численных алгоритмов проводилась с помощью объектно-ориентированного языка программирования C++ в среде программирования Microsoft Visual Studio с подключением графической библиотеки OpenGL для визуализации процессов установления. Часть результатов расчётов была получена с помощью системы компьютерной математики Maple.

Научная новизна

Ускорение плазмы в собственном поперечном магнитном поле в коаксиальных каналах достаточно хорошо исследовано в более ранних работах, процитированных во введении, в связи с разработкой и созданием плазменных ускорителей. Роль продольного магнитного поля рассмотрена в небольшом числе недавних работ и охватывает каналы с постоянным средним радиусом.

Новизна представленных в диссертационной работе результатов относится к исследованиям роли криволинейной геометрии электродов и продольного магнитного поля. Сочетание этих двух направлений рассматривается впервые. Научный интерес также представляет альфвеновский режим течения плазмы в каналах и процесс его установления.

На защиту выносятся

1. Математические модели нестационарных и стационарных течений плазмы в каналах, образованных двумя коаксиальными электродами различной геометрии, в присутствии продольного магнитного поля. Постановка МГД-задач, выбор и реализация численных методов их решения, соответствующие программные комплексы. В расчётах реализованы следующие модели:

а. Квазиодномерная модель установления стационарных альфвеновских и близких к ним МГД-течений в узком канале постоянного среднего радиуса;

б. Квазиодномерные модели течений в узких каналах произвольной геометрии;

в. Двумерные модели установления трансзвуковых течений с ускорением в каналах различной геометрии в присутствии продольного магнитного поля.

2. Результаты численных решений поставленных задач, полученные в процессе реализации перечисленных моделей:

а. В процессе установления течений в узком канале получены альфвеновский режим течения плазмы с постоянной плотностью и близкие к нему доальфвеновские и сверхальфвеновские течения и определены условия их формирования. Альфвеновский режим характеризуется высокой чувствительностью к изменениям параметров задачи;

б. Исследованы все возможные типы течений (сверхзвуковые, дозвуковые, трансзвуковые с ускорением и трансзвуковые с замедлением) поперёк азимутального магнитного поля в узких каналах криволинейной конфигурации. По сравнению с каналами постоянного среднего радиуса в трансзвуковом ускорительном режиме течения могут возникать зоны сжатия и разрежения плазмы и связанные с ними области локального торможения и генерации электрического тока;

в. В двумерной МГД-модели исследовано установление стационарных трансзвуковых сверхальфвеновских течений с ускорением в присутствии продольного магнитного поля в каналах с профилированными отдельно центральным и внешним электродами. В обоих вариантах геометрии продольное магнитное поле отжимает плазму к внешнему электроду, отклоняет электрический ток в сторону входа в канал и вызывает вращение плазмы вокруг оси симметрии канала. Переход через скорость быстрого магнитного звука происходит в сечениях канала, смещённых относительно минимального. Ускорение плазмы более эффективно в каналах с выпуклым внутрь центральным электродом.

Теоретическая значимость

Результаты и выводы, полученные в диссертационной работе, вносят вклад в теорию МГД-течений в коаксиальных каналах плазменных ускорителей и их математических моделей.

Практическая значимость

Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в разработке новых поколений плазменных ускорителей и в развитии их дальнейшей технологической модернизации.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием математических моделей различной степени сложности и детализации и применением зарекомендовавших себя

13

методов численного решения. Проверка полученных результатов осуществлялась на основе сопоставления результатов расчётов, полученных с помощью разных математических моделей. Измельчение расчётной сетки в контрольных расчётах не оказывало существенного влияния на получаемые результаты, что говорит о внутренней сходимости численного метода. Некоторые полученные результаты совпадают с результатами предыдущих исследований других авторов.

Апробация

Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

• Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2015 год;

• V международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование», Москва, 2016 год;

• VI International Conference «The Problems of Mathematical Physics and Mathematical Modelling», Moscow, 2017.

Публикации

По результатам диссертационной работы опубликовано 8 материалов в период с 2014 по 2017 год. Из них 3 статьи (в том числе и 1 препринт) в журналах, включённых в перечень ВАК, 2 статьи в журналах, включённых в перечень ВАК и индексируемых в международных базах Scopus и Web of Science, 3 статьи в сборниках трудов всероссийских и международных конференций. В журналах, включённых в перечень ВАК:

1. Стёпин Е.В. Численная модель установления стационарных альфвеновских и близких к ним МГД-течений в коаксиальных каналах в присутствии продольного магнитного поля // Вестник Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». - 2014. - Т. 3, № 5. - С. 517-528.

2. Стёпин Е.В. Стационарные МГД-течения в коаксиальных каналах криволинейной конфигурации // Вестник Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». - 2015. - Т. 4, № 5. - С. 407-420.

3. Брушлинский К.В., Жданова Н.С., Стёпин Е.В. Ускорение плазмы в коаксиальных профилированных каналах с продольным магнитным полем // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2017. - № 42. - 19 с.

В журналах, включённых в перечень ВАК и индексируемых в базах Scopus и Web of Science:

4. Styopin E. V. Numerical simulation of near-Alfven MHD flows relaxation with a longitudinal magnetic field // J. Plasma Physics. - 2015. - V. 81. - 905810309.

5. Brushlinskii K.V., Styopin E.V. On the magnetohydrodynamics flows in curved coaxial channels // J. Phys.: Conf. Ser. - 2017. - V. 788. - 012009.

В сборниках трудов конференций:

6. Стёпин Е.В. Численная модель установления стационарных альфвеновских и близких к ним МГД-течений в коаксиальных каналах в присутствии продольного магнитного поля // Научная сессия НИЯУ МИФИ. Аннотации докладов. - 2015. -Т. 2. - С. 265.

7. Стёпин Е.В. О магнитогазодинамических течениях в криволинейных коаксиальных каналах // Сборник докладов V международной конференции «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». - Москва. - 2016. - C. 97-99.

8. Brushlinskii K.V., Styopin E.V. Numerical simulation of plasma flows in curved coaxial ducts with a longitudinal magnetic field // Book of abstracts of VI International Conference «The Problems of Mathematical Physics and Mathematical Modelling». -Moscow. - 2017. - P. 22-23.

Личный вклад автора

Результаты и выводы, представленные для защиты, получены автором лично или с его определяющим участием.

Структура и объём диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы. Общий объём диссертации 105 страниц, включая 43 рисунка. Список литературы содержит 88 наименований.

Краткое содержание

Во введении обсуждается современное состояние разработки и применения плазменных установок. Приводится информация о математическом моделировании и его месте в исследованиях процессов, происходящих в плазменных установках. Представлена информация о математических моделях, с помощью которых может быть описана плазма, и приводится обзор численных методов решения соответствующих математических задач. Приводится обзор текущего состояния исследований по тематике диссертационной работы -плазменным ускорителям. Обозначаются цель и задачи диссертационной работы, даётся краткая информация о методике исследований, приводится информация о научной новизне работы. Формулируются выносимые на защиту положения и обсуждается теоретическая и практическая значимость проведённых исследований. Даются комментарии по достоверности и обоснованности полученных результатов. Приводятся сведения об апробации полученных в работе результатов, перечень публикаций и оценивается личный вклад автора в работу.

В первой главе диссертационной работы приводится физическое описание исследуемого процесса течения плазменного потока в каналах плазменных ускорителей и производится постановка соответствующей задачи математического моделирования. Приводится система уравнений магнитной газодинамики в общем виде и в цилиндрических координатах в случае осевой симметрии. Формулируется информация о граничных и начальных условиях. С помощью заданных на входе в канал параметров потока формируются единицы измерения физических величин, описывающих исследуемый процесс. Для упрощения дальнейших расчётов вводится криволинейная система координат, преобразующая расчётную область канала в квадрат. Приводится метод численного решения.

Во второй главе диссертационной работы приводится математическая

модель МГД-течений плазменного потока в узких трубках каналов плазменных

ускорителей. Постановка задачи производится в квазиодномерном

(гидравлическом) приближении: приводятся соответствующим образом

преобразованные система уравнений магнитной газодинамики, а также граничные

и начальные условия. Формулируются основные закономерности в характере и

свойствах стационарных течений, полученные из анализа квазиодномерной

16

стационарной системы уравнений, разрешённой относительно производных, которая представлена в нескольких вариантах в зависимости от условий задачи. Приводятся следующие из неё первые интегралы, выражающие основные законы сохранения. Для расчёта стационарных течений в узких трубках даётся описание метода, который использует уравнение для плотности, следующее из первых интегралов.

В третьей главе диссертационной работы представлены результаты численного решения поставленных математических задач, соответствующих исследуемым процессам, и их анализ.

В разделе 3.1 рассматриваются течения в узком коаксиальном канале типа сопла постоянного среднего радиуса в присутствии продольного магнитного поля. Основное внимание раздела уделено исследованиям процессов установления альфвеновского и близких к нему типов течения - трансзвукового с ускорением и дозвукового сверхальфвеновских и сверхзвукового доальфвеновского. Исследования заключаются в решении соответствующих нестационарных квазиодномерных МГД-задач с учётом заданных граничных и начальных условий до установления стационарных режимов течения. Результаты расчётов сопоставляются с выводами, полученными ранее из анализа стационарной системы уравнений в квазиодномерном приближении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стёпин, Евгений Викторович, 2017 год

Список литературы

1. Арцимович Л.А. Управляемые термоядерные реакции. - М.: Физматгиз, 1961. -468 с.

2. Тамм И.Е., Сахаров А.Д. Теория магнитного термоядерного реактора // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. - М. : Изд. АН СССР, 1958. - Т. 1. - С. 3-19, С. 20-30.

3. МуховатовB.C. Токамаки // Итоги науки и техники. Физика плазмы / Под ред. В.Д. Шафранова. - М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 1, Ч. 1. - С. 6-10.

4. Мирнов С.В. Физические процессы в плазме токамака. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 184 с.

5. Велихов Е.П., Волков Ю.М. Перспективы развития импульсной МГД-энергетики и её применение в геологии и геофизике // Препринты ИАЭ им. Курчатова. - 1981. - № 3436/6. - 28 с.

6. Велихов Е.П., Жуков Б.П., Шейндлин А.Е. и др. Состояние и перспективы развития геофизической МГД-энергетики // Труды VIII Международной конференции по МГД-преобразованию энергии. - М. - 1983. - Т. 5. - С. 24-28.

7. Луис Дж., Гал Г., Блэкберн П. Теоретическое и экспериментальное исследование МГД-генератора большой мощности // Ракетная техника и космонавтика. - 1965. - № 8. - С. 137-147.

8. Рыжкин В.Я. Электростанции газотурбинные, парогазовые, атомные и с МГД-генераторами // Тепловые электрические станции. 2-е изд. - М.: Энергия, 1975. - Гл. 25.

9. Арцимович Л.А., Лукьянов С.Ю., Подгорный И.М., Чуватин С.А. Электродинамическое ускорение сгустков плазмы // ЖЭТФ. - 1958. - Т. 33, Вып. 1. - С. 3-8.

10. Морозов А.И. Об ускорении плазмы магнитным полем // ЖЭТФ. - 1957. - Т. 32, Вып. 2. - С. 305-310.

11. Морозов А.И. Физические основы космических электрореактивных двигателей. - М.: Атомиздат, 1978. - 328 с.

12. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2008. -616 с.

13. Морозов А.И. Плазмодинамика // Энциклопедия низкотемпературной плазмы / Под ред. В.Е. Фортова. - М.: Наука, 2000. - Вводный Том III, Раздел IX. -С. 383-574.

14. Морозов А.И. Принципы коаксиальных стационарных плазменных ускорителей (КСПУ) // Физ. плазмы. - 1990. - Т. 16, Вып. 2. - С. 131-146.

15. Асташинский В.М., Манъковский А.А., Минъко Л.Я., Морозов А.И. Исследование физических процессов, обусловливающих режимы работы КСПУ // Физ. плазмы. - 1992. - Т. 18, Вып. 1. - С. 90-98.

16. Волков Я.Ф., Кулик Н.В., Маринин Н.В., Морозов А.И., Терёшин В.И. и др. Анализ параметров потока плазмы, генерируемых полноблочным КСПУ Х-50 // Физ. плазмы. - 1992. - Т. 18, Вып. 11. - С. 1392-1402.

17. Morozov A.I., Savelyev V.V. Fundamentals of Stationary Plasma Thruster Theory // Reviews of Plasma Physics / Ed. by B.B. Kadomtsev and V.D. Shafranov. -NY: Kluwer Academic, Plenum Publishers, 2000. - V. 21. - P. 203-391.

18. Morozov A.I. Steady-state plasma accelerators and their possible applications in thermonuclear research // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research: Special Supplement. - 1969. - P. 111-119.

19. Podgorny I.M., Sumarokov V.N. The injection of plasmoids into a magnetic trap with a field which increases towards the periphery // J. Nucl. Energy, Part C Plasma Phys. - 1960. - V. 1. - P. 236-239.

20. Кадомцев Б.Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. - М.: Госатомиздат, 1963. - Вып. 2. -С. 132-176.

21. Морозов А.И., Соловьёв Л.С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. - М.: Атомиздат, 1974. - Вып. 8. - С. 3-87.

22. Брушлинский К.В., Морозов А.И., Савельев В.В. Некоторые вопросы течений

плазмы в канале магнитоплазменного компрессора // Двумерные численные

99

модели плазмы / Под ред. К.В. Брушлинского. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1979. - С. 7-66.

23. GarkushaI.E., Chebotarev V.V., KulikN.V., LadyginaM.S., Marchenko A.K., Petrov Yu.V., Solyakov D.G., Eliseev D.V., Staltsov V.V., Cherednichenko T.N., Morgal Ya.I., Kozlov A.N. Local MHD characteristics in compression zone and plasma stream generated by MPC // Problems of Atomic Science and Technology. Series: Plasma Physics. - 2012. - No. 6. - P. 123-125.

24. Морозов А.И. Термоядерные системы с плотной плазмой // Вест. АН СССР. -1969. - № 6. - С. 28-36.

25. Брушлинский К.В., Герлах Н.И., Морозов А.И. Влияние конечной проводимости на стационарные самосжимающиеся течения плазмы // Докл. АН СССР. -1968. - Т. 180, № 6. - С. 1327-1330.

26. Морозов А.И. О стационарных течениях плазмы, сопровождающихся её сжатием // ЖТФ. - 1967. - Т. 37, № 12. - С. 2147-2159.

27. Брагинский С.И., Гелъфанд И.М., Федоренко Р.П. Теория сжатия и пульсаций плазменного столба в мощном импульсном разряде // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций / Под ред. М.А. Леонтовича. -М.: Изд. АН СССР, 1958. - Т. 4. - С. 201-221.

28. Дъяченко В.Ф., Имшенник B.C. К магнитогидродинамической теории пинч-эффекта в высокотемпературной плотной плазме // Вопросы теории плазмы / Под. ред. М.А. Леонтовича. - М.: Атомиздат, 1967. - Вып. 5. - С. 394-438.

29. Дъяченко В.Ф., Имшенник B.C. Двумерная магнитогидродинамическая модель плазменного фокуса Z-пинча // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. - М.: Атомиздат, 1974. - Вып. 8. - С. 164-246.

30. Roberts K., Potter D. Magnetohydrodynamic calculations // Methods in Computational Physics / Ed. by B. Alder, S. Fernbach, M. Rotenberg. - Plasma Physics. - NY, London: Academic Press, 1970. - V. 9. - P. 339-420. (Перевод: Робертс К., Поттер Д. Магнитогидродинамические методы // Вычислительные методы в физике плазмы / Под ред. Б. Олдера, С. Вернбаха,

М. Ротенберга. - М.: Мир, 1974. - С. 335.)

100

31. Аксёнов А.Г., Герусов A.B. Сравнение численных методов расчёта двумерных МГД-течений, характеризующихся высокой степенью сжатия // Физ. плазмы. -1995. - Т. 21, № 1. - С. 14-22.

32. Имшенник B.C., Боброва H.A. Динамика столкновительной плазмы. -М.: Энергоатомиздат, 1997. - 320 с.

33. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. 2-е изд. - М.: Физматлит, 1993. - 336 с.

34. Трубников Б.А. Теория плазмы. - М.: Энергоатомиздат, 1996. - 463 с.

35. Бейтман Г. МГД-неустойчивости. - М.: Энергоатомиздат, 1982. - 200 с.

36. Белова И.В., Брушлинский К.В. Численная модель неустойчивости Z-пинча в плазме конечной проводимости // ЖВМиМФ. - 1988. - Т. 28, № 1. - С. 72-79.

37. Пустовитов В.Д., Шафранов В.Д. Равновесие и устойчивость плазмы в стеллараторах // Вопросы теории плазмы / Под ред. Б.Б. Кадомцева. -М.: Энергоатомиздат, 1987. - Вып. 15. - С. 146-293.

38. Морозов А.И. О магнитных ловушках с «плавающими» в плазме проводниками // Письма в ЖТФ. - 1990. - Т. 16, Вып. 15. - С. 86-89.

39. Морозов А.И. О галатеях - плазменных ловушках с омываемыми плазмой проводниками // Физ. плазмы. - 1992. - Т. 18, Вып. 3. - С. 305-316.

40. Брушлинский К.В., Горшенин К.П. Плоская МГД-модель образования плазменной конфигурации с погруженными в неё проводниками // Матем. моделирование. - 1997. - Т. 9, № 5. - С. 28-36.

41. Морозов А.И., Савельев В.В. О галатеях - ловушках с погруженными в плазму проводниками // Усп. физ. наук. - 1998. - Т. 168, № 11. - С. 1153-1194.

42. Брушлинский К.В., Савельев В.В. Магнитные ловушки для удержания плазмы // Матем. моделирование. - 1999. - Т. 11, № 5. - С. 3-36.

43. Дудникова Г.И., Морозов А.И., Федорук М.П. Численное моделирование прямых плазменных конфигураций - Галатей типа «Пояс» // Физ. плазмы. -1997. - Т. 23, № 5. - С. 387-396.

44. Брушлинский К.В., Морозов А.И., Петровская Н.Б. Численное моделирование равновесной винтовой конфигурации с плазмой на сепаратрисе // Матем. моделирование. - 1998. - Т. 10, № 11. - С. 29-36.

45. Брушлинский К.В., Зуева Н.М., Михайлова М.С., Петровская Н.Б. О единственности и устойчивости решений двумерных задач плазмостатики // Матем. моделирование. - 1995. - Т. 7, № 4. - С. 73-86.

46. Брушлинский К.В., Голъдич А.С., Давыдова Н.А. Плазменные конфигурации в ловушках-галатеях и токовых слоях // Матем. моделирование. - 2016. - Т. 28, № 7. - С. 107-120.

47. Брушлинский К.В., Голъдич А.С. Математическая модель тороидальной магнитной ловушки «Галатея-пояс» // Дифф. уравнения. - 2016. - Т. 52, № 7. -С. 887-895.

48. Alfven H. Cosmical Electrodynamics. - Oxford: Oxford Univ. Press, 1950. - 237 p. (Перевод: Альфвен Х. Космическая электродинамика. - М.: ИЛ, 1952. - 291 с.)

49. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд. -М.: Наука, 1982. - 623 с.

50. Сыроватский С.И. Магнитная гидродинамика // Усп. физ. наук. - 1957. - Т. 62, Вып. 3. - С. 247-303.

51. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. 2-е изд. -М.: Логос, 2005. - 328 с.

52. Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы магнитной гидродинамики. -М.: Энергоатомиздат, 1987. - 208 с.

53. Годунов С.К., Рябенъкий В.С. Разностные схемы. - М.: Наука, 1977. - 440 с.

54. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифф. уравнения. - 1981. - Т. 17, № 7. - С. 1317-1327.

55. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.

56. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука,1971. - 553 с.

57. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семёнов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. 2-е изд. -М.: Физматлит, 2012. - 656 с.

58. Годунов С.К. Разностный метод численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. сб. - 1959. - Т. 47(89), № 3. - С. 271-306.

59. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // J. Сотри! Phys. - 1983. - V. 49. - P. 357-393.

60. Калугин Г.А. Численный расчёт компрессионных течений в канале плазменного ускорителя // Матем. моделирование. - 1991. - Т. 3, № 1. - С. 25-36.

61. Заборов A.M. Трёхмерная модель динамики плазмы в магнитном поле квадрупольного типа // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. -1989. - № 138. - 28 с.

62. Oran E., Boris J. Numerical Simulation of Reactive Flow. - NY, Amsterdam, London: Elsevier, 1987. - 601 p. (Перевод: Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. - М.: Мир, 1990. - 660 с.)

63. Boris J., Book D. Solution of the Continuity Equation by the Method of Flux-Corrected Transport // Methods in Computational Physics / Ed. by J. Killeen. -Controlled Fusion. - NY: Academic Press, 1976. - V. 16. - P. 85-129. (Перевод: Бук Д., Борис Дж. Решение уравнений непрерывности методом коррекции потоков // Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез / Под ред. Дж. Киллина. - М.: Мир, 1980. - С. 92-141.)

64. Book D.L., Boris J.P. Flux-corrected transport. I: SHASTA, A fluid transport algorithm that works // J. Соmрut. Phys. - 1973. - V. 11. - P. 38-69.

65. Book D.L., Boris J.P., Hain K. Flux-corrected transport. II: Generalizations of the method // J. Соmрut. Phys. - 1975. - V. 18. - P. 248-283.

66. Горшенин К.П., Калугин Г.А., Савельев В.В. Сверхзвуковое МГД-течение в канале за срезом цилиндрического электрода // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. - 1988. - № 61. - 25 с.

67. Zalesak S.T. Fully Multidimensional Flux-Corrected Transport Algorithms for Fluids // J. Соmрut. Phys. - 1979. - V. 31. - P. 335-362.

68. Steger J.L., Warming R.F. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Application to Finite-Difference Methods // J. Соmрut. Phys. -1981. - V. 40. - P. 263-293.

69. Colella P., Woodward P.R. The Piecewise Parabolic Method (PPM) for Gas-Dynamical Simulations // J. Соmрut. Phys. - 1984. - V. 54. - P. 174-201.

70. Ратникова Т.А. Схема Годунова в МГД-задачах с поперечным магнитным полем // Матем. моделирование. - 1997. - Т. 9, № 8. - С. 3-15.

71. Брушлинский К.В., Заборов А.М., Козлов А.Н., Морозов А.И., Савелъев В.В. Численное моделирование течений плазмы в КСПУ // Физ. плазмы. - 1990. -Т. 16, Вып. 2. - С. 147-157.

72. Брушлинский К.В., Морозов А.И. Расчёт двумерных течений плазмы в каналах // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. - М.: Атомиздат, 1974. -Вып. 8. - С. 88-163. (Переиздание: Брушлинский К.В., Морозов А.И. Анализ двумерных течений плазмы в каналах // Энциклопедия низкотемпературной плазмы / Под ред. В.Е. Фортова. - М.: Янус-К, 2007. - Серия Б. - Т. IX-2. -С. 334-369.)

73. Брушлинский К.В. Численное моделирование течений ионизующегося газа в каналах // Плазменные ускорители и ионные инжекторы / Под ред. Н.П. Козлова и А.И. Морозова. - М.: Наука, 1984. - С. 139-151.

74. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Численная модель приэлектродной неустойчивости в каналах плазменных ускорителей // Физ. плазмы. - 1995. -Т. 21, Вып. 9. - С. 784-790.

75. Брушлинский К.В. Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. - 200 с.

76. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Стационарные МГД-течения в соплах с внешним продольным магнитным полем // Изв. РАН. МЖГ. - 2004. - № 3. -С. 135-146.

77. Горшенин К.П. Об особенностях осесимметричных течений плазмы в узкой трубке потока // ПМТФ. - 1991. - № 5. - С. 3-10.

78. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Расчёт осесимметричных МГД-течений в канале с внешним продольным магнитным полем // ЖВМиМФ. - 2006. -Т. 46, № 3. - С. 550-559.

79. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. МГД-течения в каналах плазменных ускорителей с продольным магнитным полем // Физ. плазмы. - 2008. - Т. 34, № 12. - С. 1120-1128.

80. Брушлинский К.В. Математические основы вычислительной механики жидкости, газа и плазмы. - М.: ИД Интеллект, 2017. - 272 с.

81. Козлов А.Н. Динамика вращающихся потоков в канале плазменного ускорителя с продольным магнитным полем // Физ. плазмы. - 2006. - Т. 32, № 5. - С. 413-422.

82. Козлов А.Н. Двухжидкостная магнитогидродинамическая модель течений плазмы в квазистационарном ускорителе с продольным магнитным полем // ПМТФ. - 2009. - Т. 50, № 3. - С. 44-55.

83. Козлов А.Н. Исследование приэлектродных процессов в квазистационарных плазменных ускорителях с непроницаемыми электродами // Физ. плазмы. -2012. - Т. 38, № 1. - С. 15-25.

84. Страуструп Б. Язык программирования С++ для профессионалов. 2-е изд. -М.: Интуит, 2016. - 670 с.

85. Буч Г. Объектно-ориентированнный анализ и проектирование. 2-е изд. -М.: Бином, 1998. - 560 с.

86. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. - СПб.: Питер, 2004. - 539 с.

87. Голоскоков Д.П. Практический курс математической физики в системе Maple. - СПб.: ПаркКом, 2010. - 643 с.

88. Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: Моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е изд. - М.: Вильямс, 2008. - 1104 с.